Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen
4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3. A-niveau. Frydenlund og forfatterne, 2007. ISBN: 978-87-7887-688-1 Redaktion: Flemming B. Olsen Grafisk tilrettelæggelse: Jimmy N. Staal og Claus Nielsen Matematiske illustrationer: Jimmy N. Staal, Sofie Leweson og Flemming Mørk Grafisk produktion: Pozkal, Polen Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copy-Dan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser. Frydenlund Hyskenstræde 10 DK-1207 København K Tlf. 3393 2212 Fax 3393 2412 post@frydenlund.dk www.frydenlund.dk
5 Indhold Del 1. Vektorer og analytisk geometri....11 Del 1. Vektorer og analytisk geometri 11 1. Vektorer i 2D...13 1.Vektoreri2D... 13 Vektorer...13 Vektorer... 13 Regningmed vektorer...19 Regning med vektorer.................. 19 Midtpunkt af linjestykke og medianernes Midtpunkt skæringspunkt af linjestykke og i en medianernes trekant...22 skæringspunkt i en Polære koordinater...26 trekant................. 22 Skalarproduktet Polærekoordinater......28 26 Øvelser. Skalarproduktet......34 28 Projektion Projektion af vektor af vektor på vektor på vektor...36.............. Tværvektor Tværvektor og determinant og determinant...37............... Øvelser. Løsning...41 af to ligninger med to ubekendte....... 42 2. Løsning Analytisk af to geometri ligninger i 2D med.. to. ubekendte.........42........ 47 Øvelser. Parameterfremstilling...45 og ligning for den rette linje. 48 Afstand fra punkt til linje................. 54 2. Analytisk Skæring geometri mellemi 2D to linjer...47................. 57 Parameterfremstilling Cirklens ligning og og parameterfremstilling ligning for den rette linje......48.... 62 Øvelser. Parabler......53 69 3.Vektoreri3D Afstand fra punkt... til linje...54 72 Skæring Vektorer... mellem linjer...57 72 Øvelser. Regning...60 med vektorer.................. 76 Cirklens ligning og parameterfremstilling...62 Skalarproduktet... 79 Øvelser....67 Krydsproduktet mellem to vektorer.......... 86 Parabler...69 4. Analytisk geometri i 3D................... 91 Øvelser....70 Linjens parameterfremstilling.............. 91 Planensligning... 94 3. Vektorer i 3D...72 Vektorer Afstandfrapunkttilplan...72... 97 Øvelser. Planens...75 parameterfremstilling............. 99 Regning Kuglensligning med vektorer......76 101 Øvelser. Skæring...78 og vinkler mellem Skalarproduktet forskellige...79 figurer................. 103 Øvelser....83 Projektion af vektor på vektor i 3D....85 Øvelser....86 Krydsproduktet mellem to vektorer...86 Øvelser....89
6 4. Analytisk geometri i 3D...91 Linjens parameterfremstilling...91 Øvelser....93 Planens ligning...94 Øvelser....96 Afstand fra punkt til plan...97 Planens parameterfremstilling...99 Øvelser....101 Kuglens ligning...101 Øvelser....102 Skæring og vinkler mellem forskellige figurer....103 Øvelser....112 Oversigt over indholdet i del 1: Vektorer og analytisk geometri...116 Del 2. Taltegn og talbegreber...123 5. En historisk rejse....125 Indledning...125 Forhistorie...125 Tidlige talsymboler....126 Pythagoræerne: Alt er tal....128 Inkommensurable størrelser...129 Diskrete tal og kontinuerte geometriske størrelser...129 Græske og romerske taltegn....131 Det hindu-arabiske talsystem...131 Abacus, hindu-arabiske tal og regnemaskiner...133 Generalisering af talbegrebet....134 Umulige opgaver og udvidelser af talbegrebet...136 Ligningsløsning....136 Algebraens fundamentalsætning...139 Den geometriske fortolkning af komplekse tal....140 Kvaternioner...141 Konstruktionen af de reelle tal....142 Aksiomatisering...145 Mængdelæren...145 Konsistensspørgsmålet...147 Konklusion....148 Øvelser....150
7 Del 3.Mere om...155 6. Trigonometriske funktioner...157 Harmoniske svingninger...161 Differentiation af sinusfunktionen...163 Øvelser...164 7. Mere om regneregler for differentiable funktioner...169 Bevis for produktreglen (regneregel 4)...169 Redegørelse for differentiation af sammensat funktion (regneregel 6)...171 Øvelser...174 8. Mere om integralregning....177 Areal af område begrænset af to grafer...180 Integration ved substitution....184 Integralet som grænseværdi for summer....187 Rumfang af omdrejningslegemer...191 Øvelser...193 Oversigt over indholdet i del 3...198 Trigonometriske funktioner...198 Regneregler for differentiable funktioner...199 Integralregning...199 Del 4. Differentialligninger...201 9. Opstilling af differentialligninger...203 Væksthastighed og differentialligninger...203 Tangenter og differentialligninger af 1. orden...211 Løsning af differentialligninger ved hjælp af CASværktøj...216 Øvelser....217 10. Differentialligningsmodeller....219 SD-diagrammer...219 Eksempler på differentialligningsmodeller....220 Øvelser....235 11. Eksakt løsning af differentialligninger...236 Eksakt løsning af lineære differentialligninger af første orden....236 Logistisk vækst...244 Øvelser....249 Oversigt over indhold i del 4...253
8 Del 5.Modeller i anvendelse...255 12. Modeller i biologi...257 Introduktion...257 Vægtforhold mellem kerne og strå...257 Forurening af en sø...262 Øvelser...271 13. Modeller i økonomi...273 F som funktion udelukkende af K...................... 274 F som funktion af K og L...275 F som funktion af K og L og med antagelse omhomogenitet...277 Tilpasning mod ligevægt....280 Fleksibilitet af vækstmodellen...282 14. Modeller i fysik om klassisk mekanik...284 Parameterkurver...284 Hastighedsvektor og tangent til parameterkurver...288 Acceleration og Newtons anden lov...293 Jævn bevægelse og jævnt voksende bevægelse...295 Det skrå kast...296 Jævn cirkelbevægelse og andre parameterkurver....298 Arbejde og energi...301 Systemer med flere legemer...304 Opgaver med resultater...309 Opgaver til del 1....311 Resultater til opgaver del 1...324 Opgaver til del 3....332 Resultater til opgaver del 3...337 Opgaver til del 4....343 Resultater til opgaver del 4...351 Indeks....358
9 Forord Matema10k for A-niveau bygger oven på Matema10k for B-niveau både for stx og hf. Bogen indeholder kernestoffet på A-niveau og meget supplerende stof. Det supplerende stof uddyber og perspektiverer kernestoffet. A-bogen vil kunne anvendes som del af et stx A-forløb i matematik, som bog til frit valgt stx A-niveau og som bog til gymnasial supplering i matematik A. Matema10k for A-niveau har et bredt indhold, og den indeholder masser af fagligt stof. Stoffet giver udfordringer til både den gode og den mindre gode elev. Som i bøgerne for C- og B-niveau er bogen skrevet ud fra et princip om at fremlægge stoffet lagvis, dvs. at indgangen til stoffet er så alle elever kan forstå det, og at der derefter er flere typer af forklaringer på forskellige niveauer. Men bogen indeholder også mere krævende stof som vil inspirere og udfordre selv de bedste elever. På denne måde lægger bogen op til differentieret undervisning hvor alle elevtyper kan tilgodeses. Bogen indeholder foruden kernestoffet følgende større perspektiverende afsnit: Tallenes historie skrevet af professor Jesper Lützen, Københavns Universitet Modeller i biologi skrevet af lektor Thomas Vils Pedersen, Københavns Universitet Modeller i økonomi skrevet af docent Lars Lund, Handelshøjskolen i København Modeller i fysik der lægger op til et tæt samarbejde mellem matematik og fysik om klassisk mekanik.
10 Disse afsnit danner solidt grundlag for studieretnings- eller AT-forløb i samarbejde med biologi, samfundsfag og fysik. I bogen er øvelser til stoffet i umiddelbar forlængelse af kapitlerne og der er facit til øvelserne på bogens hjemmeside. Desuden findes opgaver bag i bogen til al bogens stof også med facit. Til bogen hører den meget omfattende og gratis hjemmeside www.matema10k.dk. Hjemmesiden er sponsoreret af it-virksomheden Casio. Hjemmesiden indeholder dynamiske appletter til at illustrere forskellige dele af stoffet, yderligere supplerende matematisk stof samt opgaver til A-niveau. Bogens hjemmeside www.matema10k.dk er en uhørt omfattende hjemmeside vi opfordrer dig til at anvende den. Vi vil gerne varmt takke Jesper Lützen, Thomas Vils Pedersen og Lars Lund for deres bidrag til bogen. Vi ønsker dig god fornøjelse med bogen. Hvis du har kommentarer eller gode råd til bogen, er du velkommen til at sende en mail på matema10k@frydenlund.dk. Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen
11 Del 1 Vektorer og analytisk geometri