HOT (i matematik-fysik)

HOT (i matematik-fysik) Af Peter Limkilde, HOT (Højere Ordens Tænkning) bygger på en ide om, at evnen til at tænke abstrakt udvikles med alderen, og at man kan fremme den naturlige udvikling gennem målrettet undervisning i at tænke/ræsonnere. Schweizeren Jean Piaget gennemførte i perioden 1920-1960 løbende en række observationer og interviews af børn i alderen 0-16 år med henblik på at studere udviklingen i deres tænkemåder. Ifølge Piaget 1 fører barnets udvikling til, at børn i alderen 7-12 år mestrer, hvad han kalder konkrete operationer, dvs. at gruppere tanker om ting, der findes i den fysiske verden omkring os, mens børn i alderen fra 11 år- voksen udvikler en evne til at udføre formelle operationer, dvs. at opbygge teorier med abstrakte begreber om noget, som (til dels) kun findes i en tankeverden, lege med forskellige hypotetiske antagelser og gennemtænke deres mulige følgevirkninger osv. Engelske erfaringer I en stor engelsk undersøgelse, hvor man testede 14.000 elever (45 skoler) i alderen 10-16 år, viste det sig overraskende, at kun et mindretal af eleverne selv i 16 års alderen mestrede formel operationel tænkning fuldt ud. 2 I 11 års alderen var andelen så lille som 5%. Det var altså ikke alle børn, som automatisk udviklede tænkekompetencer i samme takt som forudsagt af Piaget. Samtidig viste en analyse af sværhedsgraden af pensum i naturfag (science), at store dele af det for at kunne forstås til bunds, forudsatte tænkning på et så højt niveau, at en del elever ikke ville kunne følge med. 2 Tænkeniveauer: 1 Præoperationel tænkning 2A Tidlig konkret operationel tænkning 2B Sen konkret operationel tænkning 2A/3B Overgangs niveau, nogle gange betegnet 2B* 3A Tidlig formel operationel tænkning 3A/3B Overgangs niveau 3B Sen formel operationel tænkning Kendetegn, der karakteriser de enkelte niveauer, er udførligt beskrevet af Shayer og Adey 2 og er i et kortfattet udvalg vist i bilag 1. De niveauer, der er interessante i forbindelse med gymnasieelever, er niveauerne 2A til 3B. Som konsekvens af undersøgelsesresultaterne blev der i England på forsøgsbasis iværksat et to-årigt indsatsprogram CASE (Cognitive Acceleration through Science Education) for 11-12 årige elever på en række skoler i årene 1984-87. En del af undervisningen (25%) i faget science blev erstattet af lektioner i tænketræning. Det viste sig, at ikke alene var det muligt at forbedre elevernes tænkning, men de elever, der deltog, fik også bedre karakterer ved afgangsprøven to år senere i fagene science (naturfag), matematik og engelsk 3 1

Danske erfaringer De opmuntrende resultater i England, har i Danmark givet anledning til flere projekter f.eks. TA FAT (Træning Af Folkeskoleelevers Abstrakte Tankegang, sigter mod 11-12-årige lavet i samarbejde mellem fysik/kemi-lærergruppen på Aalborg Seminarium og Center for Naturfagenes Didaktik Århus Universitet), KUF 4 (Kognitiv Udvikling gennem Fysikundervisningen sigter mod 16-19 årige) og senere HOT mat-fys. 5 De to sidste iværksat af Center for Naturfagenes didaktik (Jens Dybkjær Holbech & Poul V. Thomsen) indebar også efteruddannelseskurser for gymnasielærere i årene 2001-2003. Inspireret af et foredrag af Poul V. Thomsen testede jeg i et mindre projekt (2000-2001) sammen med Bjarne Hansen og Anita Lauridsen 194 elever fordelt på otte forskelle matematikhold på handelsgymnasierne i Ringkøbing og Skjern. Der deltog elever fra alle tre årgange. Den anvendte test var en oversat udgave af en af de engelske test og fulgte den samme niveauinddeling, som blev anvendt i de engelske studier. Resultaterne fra hhx, der ses i figur 1, afviger ikke væsentlig fra tilsvarende tal for det almene gymnasium 6 1,2 1 Y-akse 0,8 0,6 0,4 1.år HHX 2. år HHX 3. år HHX 0,2 0 2B 2B* 3A 3A/3B 3B X-akse Figur 1. Figuren angiver andelen af elever, der mestrer de enkelte tænkeniveauer fordelt på tre årgange i hhx. Alle elever mestrer niveau 2B, mens kun 5% mestrer niveau 3B. Et slående træk ved graferne i figur 1, er den store lighed mellem de tre årgange. Med andre ord kunne noget tyde på, at de ældre elever ikke i større grad får udviklet mere abstrakt tankegang gennem den almindelige undervisning. Derfor var det oplagt at forsøge at undervise direkte i tænkning. Selvom de engelske erfaringer alene drejede sig om folkeskoleelever, var det nærliggende at forsøge at overføre tænkeundervisningen til gymnasieniveau. I Ringkøbing-Skjern projektet blev klasserne delt op i to grupper: Interventionsklasser og kontrolklasser. Interventionsklasserne fik en del af deres 2

matematiktimer erstattet af aktiviteter, der skulle træne tænkningen, mens kontrolklasserne fik almindelig undervisning. Resultaterne af test ved årets afslutning viste, at forholdet mellem antallet af elever på niveau 2B* og 3A ændrede sig i interventionsklasserne, mens en tilsvarende ændring ikke kunne påvises i kontrolklasserne. Et stort studie ledet af Jens Holbech med mange klasser i det almene gymnasium er under bearbejdelse og vil muligvis give mere detaljerede resultater. CASE undervisningsmodellen Det engelske CASE projekt udviklede en undervisningsmodel til træning af formel operationel tænkning. I modellen deles undervisningslektionerne op 3 faser: 1. En indledende fase, hvor problemstillingen bliver præsenteret, og man beskæftiger sig med problemstillingen udelukkende i en konkret tankegang, som alle elever kan være med på. 2. Dernæst flytter læreren opmærksomheden hen på omhyggeligt udvalgte spørgsmål, der kun kan besvares korrekt, hvis eleverne forstår at anvende formel operationel tænkning, en tænkning eleverne måske netop ikke endnu kan mestre (kognitiv konflikt). 3. En fase, hvor lærer og elever sammen diskuterer, hvordan det kunne være, at den forkerte tankegang ikke slog til, hvilke tilsvarende tilfælde med samme type tankegang eleverne allerede har mødt i andre sammenhænge osv. (metakognition, brobygning). Denne undervisningsmodel er også inspireret af Lev Vygotskys udviklingsteorier, eleverne skal arbejde med problemer, der ligger i elevernes nærmeste udviklingszone. Problemstillingerne blev hentet fra områderne variabelkontrol og udelukkelse af irrelevante variabler forhold og proportionalitet kompensation og ligevægt sandsynlighed og korrelation brugen af abstrakte modeller til forklaring og forudsigelse Det hele forudsætter naturligvis, at læreren kan se en ide med både udviklingsmodellen og indsatsen. En skematisk udførelse af undervisningen efter en fastlagt fremgangsmåde vil sandsynligvis ikke give noget resultat. Det er også bedst, at tænketræningen integreres i den daglig undervisning og også medtænkes i differentierede tilbagemeldinger og rådgivning til den enkelte elev svarende til elevens behov. Sammenhæng med fagene På havde jeg en 1.g. klasse i både matematik og fysik og en anden klasse i fysik. På begge hold arbejdede jeg med tænketræning og ved årets slutning blev elevernes tænkeniveau testet en måned før den afsluttende årsprøve i matematik. Hvis man opdeler eleverne efter deres tænkeniveau, viser der sig en mulig sammenhæng mellem gruppen gennemsnitlig karakter og tænkeniveauet. Jo mere formelt operationelt niveauet er, jo bedre er gennemsnitskarakteren. Det er vigtigt at understrege, at der er store individuelle forskelle. Det er alene på gennemsnitskarakteren at tendensen viser sig. 3

1.g. forår 2002, N=34 Karaktergennemsnit Matematik 12 9 6 3 0 2B- 2B 2B* 3A 3A/3B 3B Tænkeniveau i Pendultest forår 2002 Figur 2. Karaktergennemsnit ved mundtlig årsprøve i matematik for elevgrupper med forskelligt tænkeniveau på. Litteratur henvisninger/noter: 1 Piaget. J. (2002), The Psychology of Intelligence, Routlegde London and New York 2 Shayer M. og Adey P. (1981), Towards a Science of Science Teaching, Heinemann educational books 3 Adey P. og Shayer M. (1997), Really raising Standards, Routlegde London 4 http://www.matnatverdensklasse.dk/publikat/kuf.pdf 5 http://www.nat.au.dk/cnd/hot-2002.html#start 6 Holbech J. Resultater fra pretest, privat korrespondance (2000) 4

Bilag 1 Peter Limkilde April. 2004 Problemområde 2A Tidlig konkret 2B Sen Konkret 3A Tidlig formel 3B Sen formel Matematiske operationer Hastighed og acceleration Kategorisering Sandsynlighed Talbegreb: tal er forstået som noget i sig selv adskilt fra størrelse, form etc. på det, som tælles Intuitiv fornemmelse af hastighed, men sammenblander hastighed og det at være forrest Elementær klassifikation. Der klassificeres efter en enkelt egenskab ad gangen, senere også flerdoblet klassifikation f.eks. Store røde firkanter, små røde firkanter Intet sandsynlighedsbegreb Kan beregne resultater i entydige (lukkede) regnestykker men ikke løse åbne udsagn, dvs, udregne 5+4=x men ikke?-7=7-3 eller?-7=5:4 Hastighed som et forhold mellem vejlængde og tid, hastigheder sammenlignes som længder kørt på samme tid. Intuitiv forståelse af acceleration. Delmængder og hierakier. Klasser ikke knyttet alene til en enkelt egenskab og kan være delvist ordnede: 1) Dyr - 2) dyr, der kan flyve - 3) husdyr, der kan flyve. To-delte klassifikationer Syre-base Tre røde og 3 hvide kugler blandet i skål giver 50/50 chance for at trække en hvid Kan arbejde med relationen V=hlb, men kun skridtvis ved at bruge regneregler for konkrete tal. Kan løse?-7=7-3 ved hjælp af en serie operationer udført på hver side af ligningen. Acceleration forstået som mål for hastighedsændring per tidsenhed. Kan benytte en andengrads ligning med konstant acceleration, men kun som en lærergiven algoritme (S=vt+½at 2 ) Generalisering. Klassifikation benyttes til at give mening til mange forskellige fænomener. En formel som V=hlb kan benyttes som instruktion til at udregne rumfang. Som næste trin i serien Etna-Vulkan-...vælges Bjerg Tæller antal af en given type (n) og antal af alle objekter (N) udtrykker sandsynlighed som n N Forstår begrebet variabel. Kan begynde at arbejde med eksplicitte regler gældende indenfor et system og derudfra udvikle bevis-strategier. Acceleration forstås som grænseværdien af v t Abstraktion: som næste trin i serien Etna-Vulkan-...vælges geologisk betegnelse Dette tillader også udforskning af ikke bjerge I formlen V=hlb indses den måde h og b varierer i forhold til hinanden når V og l er konstant 5

Bilag 1 Peter Limkilde April. 2004 Problemområde 2A Tidlig konkret 2B Sen Konkret 3A Tidlig formel 3B Sen formel Anvendelse af modeller Konkret modellering består i at organisering af virkeligheden i rækkefølger eller 1:1 korrespondancer. Kun simple sammenligninger Dette i modsætning til dette (andet) Kilde: M. Shayer and P. Adey: Towards a science of science teaching, Heinemann, London 1981 Rækkefølger med vilkårlig lineær skala. Model er nu en leksikal definition for 1:1 korrespondance model Kan overveje muligheden af flere årsager til en bestemt virkning og omvendt flere virkninger af en bestemt årsag. Modellen bliver opfattet som absolut sandhed, og ikke som en hypotese, derfor er kritisk sammenligning af forskellige modeller ikke mulig. Kan aktivt lede efter en forklaringsmodel, udvide en given model og sammenligne alternative modeller for at se hvilken, der bedst gør rede for samme data. Kan formulere kvantitative deduktioner ud fra modellen og reflektere over sammenhængen mellem indgående variable. 6