C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L
Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge mellem variable og kunne diskutere rækkevidde af sådanne modeller. Forudsatte begreber: Potens, koefficienter, indekseret variabel, primtal, divisorer, kunne kopiere formler i et regneark. Materialer: saks, lim/limstift og farveblyanter. To verdener, PT1 og PT0 Forestil dig, at du er landet på en helt flad og dermed todimensional verden, som er fliselagt med ens fliser. Fliserne ligger på række, og rækkerne er forskudt en halv flise i forhold til hinanden. Der er uendeligt mange rækker og rækkerne strækker sig uendeligt i begge retninger. På fig.1 ser I personen stå på den blå landingsflise med næsen pegende fremad. Denne verden, vil vi kalde PT1. Den er styret af en eneste speciel fysisk lov: Fra en given flise kan man kun bevæge sig til to af de seks røde nabofliser, nemlig til de to fliser, man finder lige foran, den ene skråt til venstre og den anden skråt til højre(se fig. 1). I skal nu på matematisk vis udforske PT1. Fig.1 Hent en kopi af fig.1 her: bilag1.pdf. På den skal I på hver flise skrive antallet af veje, der fører fra landingsflisen til den pågældende flise, når I overholder den fysiske lov. Start med at markere nogle af de fliser man ikke kan nå fra landingsflisen. Udfyld derefter mange af de fliser man kan nå fra landingsflisen med antallet af veje der fører fra landingsflisen til den pågældende flise. Pascals Trekant 2 Øvelse 1
For enkelte udvalgte fliser skal I markere de veje, der fører fra landingsflisen til den pågældende flise. (hen evt. flere kopier af bilag 1) Når I er færdige, ser I et trekantet talmønster foran jer. Nu betragter vi en anden verden, PT0, som minder om PT1. PT0 er en slags cellekoloni, hvor fliserne er erstattet med celler, som kan indeholde tal. Alle cellerne indeholder i dette øjeblik tallet 0. PT0 er imidlertid også styret af en fysisk lov, idet cellerne påvirker hinanden. Loven siger, at en given celle kun er påvirket af de to celler, som står lige ovenover den. Indholdet i cellen vil nemlig altid være summen af celleindholdet i disse to celler (Se fig.2). Fig.2 Noget uventet sker. I et splitsekund har en af cellerne muteret til at have celleindholdet 1 (Se fig.3). Fig.3 Hvilken indflydelse får denne mutation på celleindholdet i alle de andre celler? Brug bilaget fra øvelse 1 til jeres undersøgelser, eller hent det her: bilag1.pdf. Hvilken geometrisk struktur danner cellerne med celleindhold forskellig fra nul? På fig.4 er kun vist celler med celleindhold forskellig fra nul. Udfyld cellerne med de nye tal (bilag2.pdf). Hvis I har udfyldt korrekt, så vil I i sidste række få tallene: 1-16-120-560-120-436-00-11440-1270-11440-00-436-120-560-120-16-1 Pascals Trekant 3 Øvelse 2
Sammenlign de to verdener PT1 og PT0. Fig.4 Som vi så i øvelse 2, danner cellerne med celleindhold forskellig fra nul en trekantet struktur. Denne uendelige trekant af tal kaldes Pascals Trekant efter den store franske filosof og matematiker Blaise Pascal (1623-1662). At trekanten er opkaldt efter Pascal, skyldes ikke, at han var den første, der opdagede den, men Pascal var den første, som systematisk undersøgte dens egenskaber. I 1654 skrev han en artikel på 36 sider om den, Traité du triangle arithmétique (Afhandling om den aritmetiske trekant), Fig.5 Pascals Trekant 4 Øvelse 3
På fig.5 ses bogens side 4. Her genkender vi taltrekanten, blot er de skrå trekantsider her vandrette og lodrette. I artiklen beskriver Pascal velkendte anvendelser af taltrekanten. Disse anvendelser kan spores helt tilbage til 00-tallet i ikke-europæiske kulturer (arabiske, jødiske, kinesiske og indiske). I Europa kendte nogle få disse anvendelser omkring år 1500, i den italienske renæssance. Det virkeligt nye og epokegørende i Pascals artikel var, at han viste, at tallene i trekanten også kan benyttes til at løse problemstillinger, hvori der indgår tilfældighed altså til beregning af det, vi i dag kalder sandsynligheder. På Pascals tid var der ikke noget, der hed sandsynlighedsregning. Men i løbet af ca. tre måneder i eftersommeren 1654 grundlagde Pascal sammen med landsmanden Pierre de Fermat (1601-1665) det, vi i dag kalder sandsynlighedsregningen. I dette kreative og nyskabende samarbejde indgik Pascals trekant som et vigtigt element. Hvis man i projektet Kugle-simulationer ønskede at bestemme sandsynlighederne ved beregning i stedet for ved simulering, ville indsigt i Pascals trekant være til stor hjælp. OPGAVER I skal her lære en navngivning af tallene i Pascals Trekant. (Se fig. 6) Fig. 6 Vi vedtager nu, at det øverste 1 tal står i række nr.0 og er tal nr.0 i rækken (vi starter altså nummereringen med 0 i stedet for med 1). Næste række (rækken med de to 1 taller) er derfor række nr.1, og de to 1 taller står på plads nr.0 og plads nr.1. Find det første 6-tal i trekanten. Kontroller, at det står i 4. række og er tal nr.2 i rækken. Der er tradition for at kalde dette tal for K(4,2). Altså har vi, at K(4,2) = 6. Pascals Trekant 5 Opgave 1
Generelt er K(n,r) navnet på tal nr. r i række nr. n. Find: K(6,4), K(,) og K(9,1). Angiv et navn for tallet 70. Angiv flere navne for tallet 126. Vi ved, at trekantens sider er afgrænset af 1 taller, og at alle indre tal fremkommer som summen af de to tal lige ovenover. Dvs., at K(n,0) = K(n,n) = 1 og at K(n,r) = K(n-1,r-1) + K(n-1,r). Prøv at sikre jer, inden I går videre, at I forstår linjen her over. Prøv evt. at indsætte tal i stedet for de variable n og r, og kik derpå i trekanten. Fra PT1 ved vi, at der er 15 forskellige veje fra felt (0,0) til felt (6,2), når man kun kan bevæge sig skråt nedad til højre og venstre i trekanten, idet K(6,2) = 15. På fig.7 er vist forskellige udsnit at Pascals trekant. Udfyld de tomme felter ved beregning. Den sidste skal I først løse efter opgave 3. Fig.7 Pascals trekant ser ud til at være spejlingssymmetrisk omkring midterlinien. F.eks. er K(6,2) = K(6,4) = 15 og K(,3) = K(,5) = 56. Pascals Trekant 6 Opgave 2 Opgave 3
Giv flere eksempler på at det er rigtigt. Giv en forklaring på symmetrien. I skal altså forklare, at to talfelter i samme række, der ligger lige langt fra midterlinien, har samme talindhold. (Det kan være en hjælp at argumentere ud fra PT1). En anden tolkning af Pascals Trekant benyttes i sandsynlighedsregning. Vi bruger K(6,2) som eksempel. K(6,2) = 15 er antallet af måder, man blandt 6 kan udtage 2. Hvis man fx har 6 par sokker og skal have to par med i tasken, så kan de to par udvælges på 15 forskellige måder. Nedskriv på samme måde alle 15 forskellige udvalg af to par sokker blandt 6 par. Benyt en passende navngivning af sokkerne. Fire personer skal køre i karrusel i Tivoli. Der er kun én ledig vogn med plads til to personer. På hvor mange måder kan disse to personer udvælges blandt de fire? Vis samtlige måder ved at skrive dem ned. I skal i denne opgave undersøge summen af tallene i de forskellige vandrette rækker i Pascals trekant. Summen i række nr. n betegnes S n. Dvs. S 0 = 1 og S 1 = 2. Fig. n 0 1 2 3 4 5 6 7 9 10 S n 1 2 Udfyld de tomme felter i fig... Kan I se systemet i tallene S 0, S 1, S 2, S n,? Opstil en formel hvor S n bliver udtrykt ved S n 1. Kan I opstille en formel, hvor S n bliver udtrykt ved n? Bestem S 20, S 50, S 100 og S 300 ud fra denne formel. Pascals Trekant 7 Opgave 4 Opgave 5
På fig.9 er der tegnet nogle skrå, parallelle diagonaler. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 2 56 70 56 2 1 1 9 36 4 126 126 4 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 2 Rækkenummer Bestem summen af tallene i hver diagonal. Opskriv resultaterne i skemaet i fig.10. 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 Fig. 9 Diagonal nr. 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 19 Fig.10 Sum: Beskriv, hvorledes et nyt tal i følgen fremkommer af de foregående tal og udfyld hele skemaet. Hvis den n te sum betegnes f n skal I prøve at udtrykke f n ved f n 1 og f n 2. Har I set disse tal før? (ellers kik evt. i projektet Det gyldne snit, opgave 5). Pascals Trekant Opgave 6
Vi ønsker at udregne (a + b) 10, som betyder (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b), i alt 10 faktorer. Skulle vi gøre det i hånden, ville risikoen for at lave fejl eller løbe træt i det være meget stor. Lad os derfor se lidt systematisk på det: (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b = 1 a + 1 b (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = 1 a 2 + 2 ab + 1 b 2 (a + b) 3 = (a + b) (a + b) 2 = (a + b) (a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = 1 a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + 1 b 3 Hvad er summen af eksponenterne i de enkelte led (Husk at a = a 1 )? Bemærk de røde koefficienter. Find en sammenhæng mellem eksponenterne og koefficienterne i relation til pascals trekant. (Husk at 1 = a 0 = b 0, så a 3 = a 3 1 = a 3 b 0 og b 3 = 1 b 3 = a 0 b 3 ) Opskriv (a + b) 4, (a + b) 5 og (a + b) 10 ved hjælp af Pascals trekant. Vores systematiske arbejde ovenfor hjalp os til at indse, at Pascals trekant giver os koefficienterne til ledene i udregningen af (a + b) n. Man kan også bevise, at det er korrekt, men her nøjedes vi med at indse det induktivt (se mere om beviser og induktive slutninger i projektet Ræsonnement og Bevis). Pascals Trekant 9 Opgave 7
Projekter LIGE/ULIGE I dette projekt skal I arbejde med fordelingen af lige og ulige tal i Pascals Trekant. Lad os først se på, hvad der sker, når man adderer lige og ulige tal. Når man adderer to lige tal, så får man et lige tal. To ulige tal giver også et lige tal, mens et lige og et ulige tal giver et ulige tal. Her er nogle eksempler: 2 + 6 =, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7 og 3 + 5 =. Dette bliver generaliseret i fig. 11. Fig.11 + LIGE ULIGE LIGE LIGE ULIGE ULIGE ULIGE LIGE Prøv at sikre jer, at I forstår fig.11, før I går videre. Vi kan udnytte dette til at lave en farvelægning af Pascals trekant med to farver. Vi laver fig.11 om til fig.12 ved at lade lige tal svare til farve1 og ulige tal svare til farve 2. Vælg selv to farver og udfyld fig.12. Hent Bilag 3, som viser felterne i de første 51 rækker i Pascals trekant. Print det ud. Farvelæg det, idet I starter fra spidsen af trekanten og benytter skemaet i fig.12. Efter farvelægningen: Blev I overrasket over resultatet? Prøv at beskrive, hvad I ser i denne farvelægning. Ved at benytte bilag 3 kan I lave meget store Pascal trekanter. Klip passende i bilagene og lim dem sammen. Benyt lige så mange, I ønsker. Farvelæg igen felterne med to farver, som før. Alle lige tal får én farve, alle ulige tal en anden. Fig.12 + Farve 1 Farve 2 Farve 1 Farve 2 Pascals Trekant 10 Projekt J
Hvis I hænger den store farvelagte trekant op på skolen, vil andre elever kunne opleve en lille snert af tallenes forunderlige verden. Hent EXCEL-filen: PTmod2.xls, som viser kant-ettallerne i Pascals trekant. 1 1 A B C D E F G H I J K L M N 2 1 1 3 1 0 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 7 1 1 1 1 9 1 1 10 1 1 11 1 1 12 1 1 13 1 1 14 1 1 Fig. 13 Udsnit af PTmod2.xls På grund af regnearkets faste celleopbygning er trekantens venstre side lodret, mens den anden side er skrå. Det bevirker, at indholdet i en celle er bestemt af cellen lige ovenover og cellen lige ovenover til venstre. I kan se, at alle kant-1 taller er placeret i de første 256 rækker. Desuden er der i celle B3 placeret en formel, der giver et 1 tal, hvis Pascal-tallet er ulige og et nul, hvis Pascal-tallet er lige. Kopier denne formel og sæt den ind i alle de indre tomme celler i Pascals trekant. Vort velkendte mønster vil træde tydeligt frem, hvis I formindsker regnearket passende. Prøv det. Pascals Trekant 11
I kan også farvelægge Pascals trekant inde i Excel. Marker trekanten Vælg Formater Vælg Betinget formatering Vælg celleindhold lig med 0 og vælg en farve til cellen. Print trekanten ud. Klip og klister til I har samlet alle printarkene til en 256 liniers Pascal trekant. Studér både den farvelagte og den udprintede Excel-trekant. Hvad ser I? Hvordan ser de ud? Hvilke egenskaber har de? Er de smukke eller ligegyldige? Giv en skriftlig beskrivelse. De centrale trekanter med 0 ere omkring den lodrette midterlinje i Pascals trekant adskilles alle af rækker udelukkende med ettaller. Er der et system i numrene på disse rækker? (Denne gang kalder vi rækken med det øverste 1 tal for række nr.1!) Hvilke kantlængder har trekanterne udelukkende med 0 ere, og hvor mange 0 ere er der i dem? Sæt resultaterne op i en tabel, så man kan se sammenhængen. (Kantlængden af siderne i disse trekanter er lig med antallet af 0 er langs siderne). Der er en interessant sammenhæng mellem disse kantlængder og antallet af lige tal(0 ere) i de tilhørende trekanter. Med T p betegner vi antallet af lige tal(0 ere) i trekanten med kantlængde p. Nogle af trekanternes kantlængder er primtal. For disse primtal skal I bestemme divisorerne i T p, dog ikke T p selv. Læg divisorerne i T p forskellig fra T p sammen. Hvad ser I? Gælder dette også, hvis p ikke er et primtal? Undersøg f.eks. T 15. (Eksempel: 24 har divisorerne 1, 2, 3, 4, 6, og 12, når vi ikke medregner 24 selv. Summen af disse divisorer er 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 12 = 36.) I kan også undersøge, hvordan den relative fordeling af lige og ulige tal ændrer sig, efterhånden som Pascals trekant bliver større og større. Pascals Trekant 12
Udfyld skemaet i fig.14 Antal rækker fra toppen Antal ulige tal fra toppen Antallet af tal fra toppen Frekvensen af ulige Fig.14 tal Hvad ser I? 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 1 3 5 1 3 6 1,000 1,000 0,33 Hvor vil tallene i sidste række ende, når trekanten er blevet uendelig stor? Man kan få en ide om fordelingen af lige og ulige tal, når Pascals trekant er uendelig stor, ved at se på følgende proces i en ligesidet trekant: Fig. 15 I denne proces bliver den midterste trekant hele tiden fjernet fra de ligesidede sorte trekanter. Dette kan fortsættes i det uendelige. Hvis den første trekant har arealet 1, så har den næste arealet 3/4. Der er altså forsvundet 25%. Dette vil ske, hver gang vi går til en ny trekant i pilens retning i figur 15. Hvis man hele tiden fjerner 25 % af det tilbageværende areal, vil man til sidst ende med noget, der ingen areal har, og så er trekanten blevet til en kurve, en såkaldt fraktal kurve kaldet Sierpinskis trekant. Da strukturen af denne trekant minder meget om Pascals trekant, når man har farvet de ulige tal sorte og de lige tal hvide, kan vi overføre vores arealbetragtninger til fordelingen Pascals Trekant 13
af lige og ulige tal i Pascals trekant. Det betyder, at når Pascals trekant er blevet uendelig stor, så fylder de ulige tal intet i forhold til de lige. Så er vi vist også ved grænsen af det, der giver mening for os! Naturlig udvidelse af projektet: Det, I har gjort i det foregående, svarer til at se på, om Pascal-tallene er delelige med to (lige tal) eller ikke delelige med to (ulige tal). Når et helt tal deles med tre, kan man få resterne 0 (tallet er deleligt med tre), 1 eller 2. Fig.16 Benyt samme ide som før og udfyld additionstabellen i fig.16. + Rest ved division med 3 0 1 2 Rest ved division med 3 0 1 2 Farvelæg Pascals trekant med tre farver, en for hver af resterne. Farvelæg med to farver. En farve til tal, der er delelige med 3, og en farve til de andre tal. I kan evt. opbygge en stor trekant ved at benytte bilag 3. Hvordan går det med frekvenserne af de tal, der er delelige med 3, efterhånden som Pascals trekant vokser? Lav tilsvarende for andre divisorer, f. eks. 5, 7,, 11 og 24. Kan man se forskel på mønstrene, om man bestemmer resterne mht. et primtal eller et sammensat tal? Pascals Trekant 14