Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet indeholder point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMMER: Side af 9
Opgave (8 point) En plan kurve er givet ved x = + t, y = + t 3, hvor parameteren t gennemløber de positive reelle tal. Markér de korrekte svar herunder. (a) ( point). Hvilket punkt på kurven svarer til parameterværdien t =? (, ) (3, ) (9, ) (, ) ( 4, (b) (7 point). Hvad er krumningen af kurven for t =? 3 3 ) 5 45 3 5 Opgave (6 point) En kurve i rummet er givet ved x = cos(t), y = sin(t), z = t + 3, hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. Makér det korrekte udtryk for buelængden af kurven fra t = til t = 3. + 4t dt + t dt ( + t)dt + (t + 3) dt (4 + t )dt ( sin(t) + cos(t) + t)dt Side af 9
Opgave 3 (6 point) En funktion er defineret ved f (x) = ln( + x ). Hvilket af nedenstående polynomier er. ordens Taylor polynomiet for f (x) med udviklingspunkt a =? + x + x x + x x x x + 6 x x x + 6 x3 Opgave 4 (7 point) Betragt differentialligningen dy dx = 6x y, y >. Der er en entydig løsning y(x) med begyndelsesværdi y() = 3. Besvar følgende spørgsmål angående denne løsning: (a) (3 point). Hvad er funktionsværdien y()? 6e 3 3e 6 8e (b) (3 point). Hvad giver differentialkvotienten y ()? 8e 36e 3 36 ln(6) (c) ( point). Hvad giver differentialkvotienten y ()? 6 4 3 Side 3 af 9
Opgave 5 (8 point) Betragt begyndelsesværdiproblemet dy + xy = x, y() =. dx Besvar følgende spørgsmål angående den entydige løsning y(x). (a) (4 point). Hvad er funktionsværdien y()? + e 3 + e + e (b) (4 point). Hvad giver differentialkvotienten y ()? e e e 5 Opgave 6 (7 point) Betragt differentialligningen y + 6y + y =. Herunder er angivet en række funktionsudtryk, hvori der indgår to arbitrære konstanter c og c. Markér det udtryk, som udgør den fuldstændige løsning til differentialligningen. y(t) = c e t + c e 3t y(t) = c e t cos(3t) + c e t sin(3t) y(t) = c e 3t + c te 3t y(t) = c e t + c e 4t y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) y(t) = c e t cos(3t) + c e t sin(3t) y(t) = c e t + c e 3t y(t) = c e 5t + c te 5t y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) y(t) = c e 3t cos(t) + c e 3t sin(t) y(t) = c e 6t + c e t Side 4 af 9
Opgave 7 (6 point) Betragt den inhomogene differentialligning y + 4y + 6y = 3t 4. (a) (3 point). Hvilken af følgende funktioner y p (t) kan, for passende valg af konstanterne A og B, blive en partikulrær løsning til differentialligningen? yp (t) = Ae 4t + Be 6t yp (t) = A sin(4t) + B cos(6t) yp (t) = At + B yp (t) = Ae 3t + Be 4t (b) (3 point). Hvad skal konstanterne A og B være, for at man får en partikulær løsning? A =, B = 3 A = 5, B = 4 A =, B = 5 A =, B = Opgave 8 (8 point) En funktion er givet ved f (x, y) = e 4y+xy. (a) (3 point). Hvad giver den partielle afledede f x (x, y)? y y 6e 4y+xy 4y+xy (4y + xy)e 4y+xy ye 4y+xy (b) (3 point). Hvad giver den partielle afledede f y (x, y)? (4 + x)e 4y+xy 4+x 4y+xy 4e 4y+xy (4y + xy)e 4y+xy 4y+xy (c) ( point). Hvilket af følgende punkter er et kritisk punkt for funktionen f? (, ) (, ) (, ) (3, ) (, 3) (, ) Side 5 af 9
Opgave 9 (8 point) En funktion er defineret som f (x, y) = x sin(y) + x. (a) (3 point). Hvad giver gradientvektoren f (P) i punktet P = (, )? i j i i + j j (b) ( point). Hvad giver den retningsafledede D u f (P) i punktet P = (, ) og retningen bestemt ved enhedsvektoren u = 4 5 i + 3 5 j? 85 5 7 5 3 5 (c) (3 point). Hvilken af nedenstående ligninger bekriver tangentplanen til grafen for f i punktet Q = (,, )? 3x y z = x y z = z = x y + z = 3 x + y z = π x + y z = Opgave ( point) Et område R i planen er beskrevet ved de punkter (x, y), som opfylder ulighederne x + y 4, x, y. Markér værdien af planintegralet R (x + y ) da. 3π 5 7 π 4 9π8 7π 5 5 π 9 Side 6 af 9
Opgave (5 point) To komplekse tal er givet ved z = + i 3 i + 3 + i, z = (e + π 3 i ) 6. (a) (3 point). Hvad giver z skrevet på standard form? + i 3 i i 5 3 5 i (b) ( point). Hvad giver z skrevet på standard form? e 6 3 6 Bemærkning. I opgave evalueres der efter følgende princip: Hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning. Opgave (6 point) Lad T være området i rummet bestående af de punkter (x, y, z), som opfylder ulighederne x, y 4 x, y z y. Et legeme med massetætheden (densiteten) δ(x, y, z) = 3 y dækker netop området T. Legemets rumfang (volumen) betegnes V, og legemets masse betegnes m. Markér samtlige korrekte udtryk nedenfor. Bemærk: Du skal ikke beregne integralerne. m = 4 x y 4 4 y m = m = 4 x 4 y y y y y y (3 y) dzdydx. (3 y) dzdxdy. (3 y) dzdxdy. V = 4 x V = y y 4 x y y dzdxdy. dzdydx. Side 7 af 9
Opgave 3 ( point). Besvar følgende 5 sand/falsk opgaver: (a) ( point). Der gælder, at arctan ( tan ( 5π )) 5π = 4 4. (b) ( point). Lad D være området i planen bestående af de punkter (x, y), som opfylder ulighederne x og < y. Lad f være funktionen med forskrift f (x, y) = x y + y og definitionsmængde D. Da antager f globalt maksimum på D. (c) ( point). Definitionsmængden for funktionen f (x, y) = x + y er R svarende til hele xy-planen. (d) ( point). For funktionen f (x, y) = x + y, eksisterer den partielle afledede f x (x, y) ikke i punktet (x, y) = (, ). (e) ( point). Punktet med rektangulære koordinater (x, y) = (, ) kan i polære koordinater angives ved (r, θ) = (, 5π 4 ). Side 8 af 9
Opgave 4 (5 point) Figuren nedenfor viser grafen for funktionen r = f (θ), θ π afbildet i polære koordinater. Hvilken af nedenstående forskrifter for f svarer til figuren? f (θ) = cos(3θ) f (θ) = + cos(θ) f (θ) = + sin(3θ) f (θ) = + cos(θ) f (θ) = + sin(θ) f (θ) = + sin(θ) Side 9 af 9