INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006

Transkript

1 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006

2

3 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række mindre ændringer i perioden Det er derfor ikke alle opgaver som er direkte relevante mht pensum for 2003/04. Ligeledes kan der være formuleringer, som er lidt anderledes i det nuværende kursus. Forord til 2005 udgaven Odense, juli 2002 Hans J. Munkholm I forhold til 2003 udgaven er der tilføjet eksamenssæt fra den mellemliggende periode frem til august Kurset MM01-Matematik A kørte for sidste gang i det akademiske år 2004/2005, hvorefter det blev ersattet af de to kvartalskurser Calculus I og Calculus II. Forord til 2008 udgaven Odense, november 2005 Steen Thorbjørnsen De seneste opgaver fra MM501 Calculus I og MM502 Calculus II er blevet tilføjet samlingen. Forord til 2009 udgaven Odense, juni 2008 Andrew Swann Tidligere eksamensopgaver i kurserne Calculus I + II er nu samlet i en separat publikation. Herefter er nærværende hefte snart kun af historisk interesse Odense, august 2009 Hans J. Munkholm

4 Indhold Forord Forord til 2005 udgaven Forord til 2008 udgaven Forord til 2009 udgaven i i i i Indhold ii En typisk forside til et eksamenssæt Januar Juni August Januar Juni August Januar Juni Juni August Januar Juni August Januar Juni Besvarelse af Juni August Januar Juni August Januar Besvarelse af Januar Juni Besvarelse af Juni August Besvarelse af August Januar Juni Besvarelse af Juni ii

5 August Januar Juni Januar Facitliste, Januar Juni Facitliste, Juni August Besvarelse af August Januar Besvarelse af Januar Juni Besvarelse af Juni August Januar Juni August Juni August Marts iii

6

7 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET Skriftlig eksamen MM01 mandag den 17. juni 2002 kl Om anvendelse af computer/symbolmanipulerende lommeregner ved eksamen Det er tilladt at anvende computer (eller lommeregner), men ikke printer. Følgende grundregel gælder: Man må gerne bruge computeren til at udføre differentiationer, bestemme integraler og løse reelle ligningssystemer. Derimod vil besvarelser som udelukkende er baseret på mere avancerede funktioner (som f.eks. løsning af differentialligninger, bestemmelse af grænseværdier, beregning af Taylorpolynomier, løsning af ligninger i komplekse tal) ikke blive accepteret. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Der lægges vægt på at besvarelserne er klart formulerede, og at argumentationen fremtræder tydeligt. Benyttes resultater fra opgivelserne, er en henvisning ønskelig. Opmærksomheden henledes på, at det i visse opgaver kan være muligt at regne senere spørgsmål, selvom man ikke har regnet de tidligere. Opgavesættet består af 6 opgaver.

8 2 Januar 1993 OPGAVE 1 (10 point) Find Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 omkring punktet x = 0 for funktionen Find endvidere grænseværdien OPGAVE 2 (10 point) f(x) = log(1 + x 2 ). lim x 0 Find for 1 < x < 1 løsningen y = y(x) til OPGAVE 3 (10 point) Bestem de komplekse løsninger til ligningen log(1 + x 2 ). xsin x y (1 x) 1 y = 1 og y(0) = 1. z 2 4z + 5 = 0 og angiv disse på en figur i den komplekse plan. OPGAVE 4 (15 point) Find den fuldstændige løsning y = y(x) til Bestem dernæst den løsning, som opfylder OPGAVE 5 (10 point) Betragt funktionen af to reelle variable y 4y + 5y = x. y(0) = 0 og y (0) = 1. f(x,y) = log(1 + x 2 + y 2 ) og bestem de stationære punkter samt arten heraf. Samme spørgsmål for OPGAVE 6 (15 point) f(x,y) = log(1 + x 2 y 2 ). Med D betegner vi det plane område givet ved D = {(x,y) 0 y 2 x 2 }. Idet C betegner randen af D orienteret mod uret ønskes integralet I = xy 2 dx + xdy bestemt. C

9 Januar OPGAVE 7 (15 point) Lad S være fladestykket i R 3 med sædvanlige koordinater (x,y,z) givet ved z = 0 og x 2 +y 2 1, orienteret med positiv normal i z-aksens retning. Idet E betegner vektorfeltet skal fluxen af E gennem S beregnes, altså F = OPGAVE 8 (15 point) Beregn divergensen af vektorfeltet ( E = x E = ( 1 + y 2, zy sinx, z + x + y2 ) S E n ds. x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 i R 3, fraregnet (0,0,0). Udregn dernæst fluxen af E ud gennem overfladen S af det kasseformede område V = {(x,y,z) 1 x 3, 2 y 5, 1 z 6} ). altså integralet F = E n ds. S

10 4 Juni 1993 OPGAVE 1 (10 point) Find Taylor polynomiet af grad 2 omkring punktet x = 0 for funktionen Find endvidere grænseværdien f(x) = lim x sin x. 1 1+sinx 1 sin x. OPGAVE 2 (15 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen Hvilken løsning til ( ) opfylder endvidere ( ) y + 2y + 10y = 0. ( ) y(0) = 1 og y (0) = 1? Find Taylor polynomiet af grad 3 omkring punktet x = 0 for den funktion f(x), som opfylder f (x) + 2f (x) + 10f(x) = x for alle x og de samme begyndelsesbetingelser som i ( ). OPGAVE 3 (10 point) Lad θ være en fast vinkel, 0 < θ < π 2, og find de komplekse løsninger z til andengradsligningen Angiv endvidere løsningerne på en figur. OPGAVE 4 (10 point) Betragt funktionen z 2 2z cos θ + 1 = 0. f(x,y) = 1 + x 2 + y 2 i R 2 ; vis, at (0,0) er det eneste stationære punkt, og find arten af dette. OPGAVE 5 (10 point) I området V = {(x,y,z) R 3 (x,y,z) (0,0,0)} (altså R 3 fraregnet nulpunktet) er givet vektorfeltet ( x E = y z ) r 3, r 3, r 3 hvor r = ( x 2 + y 2 + z 2) 1 2.

11 Juni Lad C være kurven parametriseret ved α(t) = (cos t,sin t,t), 0 t 2π Beregn kurveintegralet af E langs C: I = C E dα (Vink: Vis, at E er gradienten af r 1.) OPGAVE 6 (15 point) Lad i planen D være området D = {(x,y) x 2 + y 2 1, x 0, y 0} og C randen af D orienteret mod uret (med D til venstre). Find først planintegralet I 1 = x dxdy og dernæst kurveintegralet I 2 = C D (x 2 + y)dy + xydx. OPGAVE 7 (15 point) Beregn arealet af fladen S, siddende i det 3 dimensionale rum, givet ved: S = {(x,y,z) z = 1 + x + y 2, 0 y 1, 0 x y}. (Vink: Vis først, at arealet er 2 + 4y 2 dxdy, hvor T er trekanten 0 y 1, 0 x y.) T OPGAVE 8 (15 point) I R 3 er givet området samt vektorfeltet V = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0} F = ( ) 1 2 x2 + sin y,y log(1 + x 2 ) + e z, e x2 z log(1 + x 2 ). Idet S betegner overfladen (randen) af V orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V, skal fluxen af F ud gennem S bestemmes: altså I = F n ds. S

12 6 August 1993 OPGAVE 1 (10 point) Find Taylor polynomiet P 1 (x) af grad 1 for funktionen f(x) = e x. omkring punktet x = 0. Hvor stort er det tilsvarende fejlled i intervallet x < 1 10? OPGAVE 2 (15 point) Find løsningen y = y(x) til differentialligningen y sinx cos x y = 0. i intervallet π 2 < x < π 2 løsning til i samme interval. med begyndelsesbetingelse y(0) = 1. Find endvidere den generelle y sin x cos x y = x OPGAVE 3 (10 point) Løs differentialligningen y 2y + y = 0 for y = y(x) med y(0) = 1 og y (0) = 2. OPGAVE 4 (10 point) Vis, at for i den imaginære enhed, i 2 = 1, er 2i = ±(1+i). Løs dernæst andengradsligningen z 2 + 4z + 4 2i = 0 for z en kompleks variabel. OPGAVE 5 (10 point) Lad D være området i planen R 2 givet ved D = {(x,y) x 2 + y 2 1, x 0,y 0}. Beregn dobbeltintegralet I = D x 2 dxdy.

13 August OPGAVE 6 (15 point) Med A betegnes området i planen beskrevet ved 0 x π 2 og 0 y 1, altså et rektangel, og C er randen af A. Beregn kurveintegralet I = xe y dx + sin xdy hvor C gennemløbes i retning mod uret. Bestem endvidere kurveintegralet I 1 = xe y dx + sin xdy C 1 C hvor C 1 er liniestykket fra 0 til π 2 på den reelle akse. OPGAVE 7 (15 point) Betragt vektorfeltet E i R 3 givet i de sædvanlige koordinater (x,y,z) ved: ( ) y E(x,y,z) = x 2 + y 2, x x 2 + y 2, 1 for x 2 +y 2 0 (altså ikke på z-aksen). Vis, at rotationen af E er nul, altså E = 0. Beregn kurveintegralet af E langs kurven C: α(t) = (cos t,sin t,t), 0 t π altså I = C E dα. OPGAVE 8 (15 point) Lad V være området i R 3 givet ved: V = {(x,y,z) x 2 + y 2 1, 0 z x 2 + y 2 } med overflade S orienteret således, at enhedsnormalen n peger ud af V. Idet E er vektorfeltet E(x,y,z) = (x,cos x, 12 ) z2 + y 5. skal fluxen af E ud gennem S bestemmes, altså fladeintegralet I = E n ds S

14 8 Januar 1994 OPGAVE 1 (10 point) Find Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 for funktionen f(x) = arctan x omkring punktet x = 0. Giv endvidere en vurdering af fejlen R 2 (x) = f(x) P 2 (x) i intervallet 0.01 x OPGAVE 2 (10 point) Udregn de to grænseværdier (a) lim x 0 xarctan x 1 cos x sin x (b) lim x 0 arcsin x OPGAVE 3 (10 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y (x) y(x) = x. Hvilken af disse tilfredsstiller y(0) = 1? OPGAVE 4 (15 point) Løs differentialligningen y y = cos x for y = y(x) med begyndelsesbetingelserne y(0) = 0, y (0) = 1. Bestem for denne løsning grænseværdien y(x) lim x 0 log(1 + x) OPGAVE 5 (10 point) Vis, at (0,0) er et stationært punkt for funktionen F(x,y) = xsin y + y sin x + x 2, og afgør, om der er tale om et lokalt minimum, maximum eller sadelpunkt. OPGAVE 6 (15 point) Betragt vektorfeltet i planen givet ved E(x,y) = (2x, 2y) og vis, at dette er et gradientfelt. Bestem en stamfunktion (= potentialfunktion), og beregn endelig kurveintegralet I = C E dα hvor C er den kurve, som følger ellipsen x 2 + 4y 2 = 4, gennemløbet mod uret fra punktet (2,0) til punktet (0,1).

15 Januar OPGAVE 7 (15 point) Lad D være området i planen bestemt ved D = {(x,y) x 2 + y 2 1 og 0 x} og C randen af D orienteret mod uret. Skitsér dette område. Beregn kurveintegralet I = xy dx + xy 2 dy samt kurveintegralet I 1 = xy dx + xy 2 dy C 1 hvor C 1 er cirkelbuen x = cos t, y = sint, π 2 t π 2 C OPGAVE 8 (15 point) Med V betegner vi følgende område i R 3 : V = {(x,y,z) 0 x 1, 0 y 1, 0 z x + y 2 } og med S overfladen af V orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Idet F betegner vektorfeltet F(x,y,z) = (xe y + x 2, e y + y, zxy) skal I = S F n ds bestemmes, altså fluxen af F ud gennem overfladen af V.

16 10 Juni 1994 OPGAVE 1 (10 point) Beregn følgende to grænseværdier: log x x + 1 (a) lim x 1 x 2 2x (b) lim x 0 x x t 2 dt, hvor log x som sædvanlig betegner den naturlige logaritme. OPGAVE 2 (10 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y x y = x, hvor den søgte funktion y = y(x) kun behøver at være defineret for x 1. Hvilke af disse løsninger opfylder y(0) = 2? OPGAVE 3 (15 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y + y = sin 2x. Beregn dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 1 og y (0) = 1 3. OPGAVE 4 (15 point) Betragt funktionen af to reelle variable: F(x,y) = xcos(x + y). Vis, at x = 0,y = π 2 er et kritisk punkt for F(x,y), og afgør, om det er et lokalt maximum, minimum eller sadelpunkt. Find endelig samtlige kritiske punkter og arten af disse. OPGAVE 5 (10 point) Lad D være området i R 2 givet ved D = {(x,y) 1 x 1, x 2 1 y x 2 + 1} og C randen af D gennemløbet mod uret. Beregn vejintegralet I = e x y dx + (e x x3 )dy. (Altså integralet langs C af vektorfeltet (e x y, e x x3 ).) C

17 Juni OPGAVE 6 (10 point) Givet det komplekse tal z = i 3 2, hvor i er den imaginære enhed: i2 = 1. Find den polære fremstilling for z, dvs. find r og θ med 0 < r og 0 θ < 2π således at z = re iθ. Benyt dernæst dette til at beregne tallet OPGAVE 7 (15 point) ( ) 6 z = 2 + i. 2 Med S betegnes grafen af funktionen f(x,y) = 1 x 2 y 2 over den lukkede enhedscirkelskive i R 2, altså: S = { (x,y,z) z = 1 x 2 y 2, x 2 + y 2 1 }. Find overfladearealet af S. Beregn dernæst rumfanget af OPGAVE 8 (15 point) I R 3 betragtes den øvre halvkugle V = { (x,y,z) 0 z 1 x 2 y 2, x 2 + y 2 1 }. V = { (x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 1, 0 z } samt dennes overflade S, orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Beregn fluxen ud gennem S I = E n ds S af vektorfeltet i R 3 E = ( xz, x 2 + y e z, e z). Find endelig tyngdepunktet for V, når vi tænker os halvkuglen bestående af et materiale med en konstant massetæthed.

18 12 August 1994 OPGAVE 1 (10 points) Find Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 for funktionen f(x) = (1 x) 2 omkring udviklingspunktet a = 0. Vis, at for 1 < x < 0 kan fejlen R 2 (x) = f(x) P 2 (x) vurderes ved: OPGAVE 2 (10 points) Beregn følgende 2 grænseværdier: a) lim x 0 log(1 + sinx) x b) lim x 0 log cos x x 2 hvor log betegner den naturlige logaritme. OPGAVE 3 (10 points) Løs den komplekse andengradsligning R 2 (x) 4 x 3. z 2 2z + 2 = 0, angiv løsningerne på en figur, og beregn deres polære form (dvs. z = re iθ ). OPGAVE 4 (10 points) Find en ligning for den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx = og angiv den løsning som opfylder y(0) = 3. OPGAVE 5 (15 points) Betragt den lineære differentialligning ex 1 + y 2 y 4y = e x for y = y(x). Hvad er den generelle løsning, og hvilken af disse opfylder y(0) = 2 3 og y (0) = 5 3? OPGAVE 6 (15 points) Bestem de stationære punkter for funktionen F(x,y) = (x 1)(x 2 + y 2 1) af 2 reelle variable x,y. Vis, at et af disse er et sadelpunkt. Hvad kan siges om de øvrige?

19 August OPGAVE 7 (15 points) Lad D være det indre af trekanten i planen R 2 med hjørner i punkterne (0,0), (2,0) og (0,1). Med C betegnes randen af D (altså de tre sider) gennemløbet i positiv omløbsretning. Beregn integralet (kurveintegralet/vejintegralet) I = xydx + y(1 + x)dy. OPGAVE 8 (15 points) I rummet R 3 er givet keglen C V = {(x,y,z) 0 z 2 x 2 + y 2 } og dennes overflade S, orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Beregn følgende to integraler: I 1 = 1dxdydz (altså rumfanget af V ) og hvor vektorfeltet (altså fluxen af F ud gennem S). I 2 = S V F nds, F(x,y,z) = (log(1 + x 2 ),y 2xy 1 + x 2,z)

20 14 Januar 1995 OPGAVE 1 (10 points) Beregn Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for hver af følgende to funktioner: (log betegner den naturlige logaritme). OPGAVE 2 (10 points) f 1 (x) = log(1 + x 2 ) og f 2 (x) = cos x Find de følgende to grænseværdier: (b) (a) arctan x lim x 0 x lim x π 2 sinx (x π 2 )2. OPGAVE 3 (15 points) Find løsningen y = y(x) til differentialligningen y + y = x e x med begyndelsesbetingelsen y(0) = 1. Hvad er grænseværdien lim x y(x)? OPGAVE 4 (15 points) Find den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningen y + 2y + 5y = sin3x. Betragt den løsning, som opfylder y(0) = 1, y (0) = 0 og vis, at denne har et lokalt maximum i x = 0. OPGAVE 5 (10 points) Med E betegnes vektorfeltet i planen R 2 givet ved ( ) 1 E(x,y) = = e 2y 1 + 2y e 2. Idet C er halvcirklen med centrum ( 1 2,0) parametriseret ved ( 1 α(t) = cos t ) 1 2 sint, π t 2π, skal integralet I af E langs med C beregnes, altså: I = E dα. (Vink: er E konservativt?) C

21 Januar OPGAVE 6 (15 points) Betragt funktionen F(x,y) = x(1 x 2 y 2 ) på R 2 og vis, at blandt de stationære punkter er punkterne (0,1) og (0, 1). Find dernæst samtlige stationære punkter samt arten af disse. OPGAVE 7 (10 point) I planen R 2 betegnes med D området {(x,y) x 2 + y 2 1 og y 0}, og C randen af D gennemløbet mod uret (altså den positive omløbsretning). Beregn kurveintegralet I = x 2 y dx + (xy + xy 2 )dy. OPGAVE 8 (15 points) C Lad V R 3 være givet ved { V = (x,y,z) x 2 + y 2 1, og 0 z 3 } x 2 + y 2 og S overfladen af V orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Beregn integralerne I 1 = 1 dx dy dz (altså rumfanget af V ) og I 2 = V S F n ds, hvor vektorfeltet F(x,y,z) = ( xyz, 1 2 y2 z,e z) (altså fluxen af F ud gennem S).

22 16 9. Juni 1995 OPGAVE 1 (10 points) Beregn Taylor polynomiet P 3 (x) af grad 3 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen: f(x) = log(1 + sin x) (log betegner den naturlige logaritme). OPGAVE 2 (10 points) Find de følgende to grænseværdier: (b) (a) lim x 1 log x cos( π 2 x) xlog(1 + x) lim x 0 sin(x 2 ) OPGAVE 3 (10 points) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y + xy = 2x. Beregn dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 3. OPGAVE 4 (10 points) Find de komplekse løsninger til andengradsligningen z 2 z + 1 = 0. Vis, at enhver af disse opfylder z 12 = 1. OPGAVE 5 (15 points) Find den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningen y 2y + 2y = 0. Find dernæst den løsning til y 2y + 2y = cos x + 2sin x, som opfylder y(0) = 1 og y (0) = 1.

23 9. Juni OPGAVE 6 (15 points) På R 2 er givet den skalare funktion F(x,y) = (1 x y)cos x. Vis, at ( π (x,y) = 2, 1 π 2) er et stationært punkt, og bestem arten heraf. Find dernæst samtlige stationære punkter samt arten af disse. OPGAVE 7 (15 point) Lad D være det plane område i R 2 givet ved D = {(x,y) 0 x 1 og 1 y e x }, og C randen af D gennemløbet mod uret (altså den sædvanlige orientering). Beregn kurveintegralet ( I = xlog y + yx 2 ) dx x3 dy. OPGAVE 8 (15 points) I rummet R 3 betegnes med V området C V = { (x,y,z) x 2 + y 2 1, og 0 z 2 + x + y } med S overfladen af V orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Beregn for vektorfeltet ) F(x,y,z) = (y sin x, y2 cos x,xz 2 fluxen af F ud gennem S, altså find integralet I = F n ds, S

24 Juni 1995 OPGAVE 1 (10 points) Beregn grænseværdien lim x 0 x 2 sin(x 2 ) Find dernæst Taylor polynomiet af grad 2 for funktionen: svarende til udviklingspunktet x = 0. OPGAVE 2 (10 points) Find de komplekse tal z, som opfylder: f(x) = sinx z 2 = 4i. Løsningerne ønskes angivet på såvel formen x + iy som på polær form re iθ. OPGAVE 3 (15 points) Find de generelle løsninger y = y(x) til hver af følgende to differentialligninger (a) y 5y + 6y = e x (b) dy dx = x2 y 2 (y 0) hvor vi i (b) har brugt notationen y = dy dx. OPGAVE 4 (10 points) Betragt cirkelbuen C i planen givet ved parametriseringen x = cos t, y = sin t, π 2 t π 2. Beregn kurveintegralet hvor E er vektorfeltet I = C E dα, E(x,y) = (e x cos y, e x sin y). OPGAVE 5 (15 points) Find samtlige stationære punkter for funktionen i planen F(x,y) = x 2 y 2 x 2 y 2. Vis at F har fire sadelpunkter og et relativt maximum, og ikke andre stationære punkter.

25 15. Juni OPGAVE 6 (15 points) Lad C være randen af trekanten i planen med hjørner (0,0),(1,0) og (0,1); C orienteres som sædvanligt mod uret. Beregn kurveintegralet I = (2xye x2 y 2 )dx + e x2 dy. Find dernæst hvor C 1 er liniestykket fra (1,0) til (0,1). OPGAVE 7 (10 point) Med S betegnes den del af planen C I 1 = (2xye x2 y 2 )dx + e x2 dy, C 1 z = x + y + 1 i rummet R 3, som ligger indenfor cylinderen x 2 + y 2 = 1. Beregn arealet af S. (Altså i de sædvanlige koordinater i R 3 er S givet ved OPGAVE 8 (15 points) z = x + y + 1 og x 2 + y 2 1). Idet V betegner området i R 3 givet ved { } V = (x,y,z) 0 z 1 (x 2 + y 2 ) 1/4, x 2 + y 2 1 skal V s volumen bestemmes. Idet E betegner vektorfeltet E(x,y,z) = (xsin y,cos y + z 2, x + z) bestem dernæst fluxen af E ud gennem overfladen S af V, altså integralet I = E n ds Her er n den udadrettede enhedsnormal og ds overflademålet på S. S

26 20 August 1995 OPGAVE 1 (10 points) Find Taylorpolynomiet P 2 (x) af grad 2 for funktionen f(x) = 1 x 1 + x omkring udviklingspunktet x = 0. Giv endvidere en vurdering af det tilsvarende restled for x OPGAVE 2 (15 points) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y + y = e x 1 + x 2. Bestem den løsning, som opfylder y(1) = 0, og find dennes grænseværdi OPGAVE 3 (10 points) Betragt det komplekse tal lim y(x). x z = 1 + i 3 + 4i, hvor i er den imaginære enhed. Find z s modulus z og angiv på en figur z s beliggenhed i den komplekse plan. OPGAVE 4 (15 points) I planen R 2 er givet vektorfeltet E(x,y) = (2xcos y, x 2 sin y + 2y). Vis, at E er konservativt, og find en potentialfunktion (stamfunktion). Beregn endelig integralet I = E dα af E langs vejen C givet ved parametriseringen { x(t) = e t cos t y(t) = e t sint, 0 t 2π. OPGAVE 5 (10 points) Vis, at funktionen C F(x,y) = e x2 2y 2 i planen R 2 har netop et stationært (= kritisk) punkt, og bestem arten af dette.

27 August OPGAVE 6 (10 points) Lad D være det plane område D = {(x,y) 0 x π, 0 y sin x}, og beregn dobbeltintegralet I = D (x + y)dx dy. OPGAVE 7 (15 point) Idet C betegner enhedscirklen i planen gennemløbet 1 gang mod uret, skal kurveintegralet I = y 3 dx + x 3 dy bestemmes. Gør rede for, at vi ved brug af Green s sætning kan udlede formlen 2π 0 C cos 4 t dt = 3π 4. OPGAVE 8 (15 points) Med V betegnes området i rummet R 3 givet ved V = { (x,y,z) x 2 + y 2 1, z 0, x 2 + y 2 + z 2 4 }. Find rumfanget af V, altså vol(v ) = V 1 dxdy dz. Find dernæst arealet af den øverste del S af overfladen af V, hvor altså { S = (x,y,z) x 2 + y 2 1, z = } 4 x 2 y 2

28 22 Januar 1996 OPGAVE 1 (10 points) (a) Find følgende grænseværdi: lim x x 3 e x. (b) Find Taylor polynomiet af grad 2 for funktionen: f(x) = log x x omkring punktet a = 1. (log betegner den naturlige logaritme). OPGAVE 2 (10 points) Løs differentialligningen dy dx = ey cos x, først generelt og dernæst med begyndelsesbetingelsen y(0) = 0. OPGAVE 3 (15 points) Løs den komplekse andengradsligning z 2 2z + 2 = 0 og angiv løsningerne på såvel formen x + iy som på polær form re iθ, og skitsér disse i den komplekse plan. Beregn z 8 for hver af disse løsninger z. OPGAVE 4 (15 points) (a) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y 4y + 5y = 0, og find dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 0, y (0) = 1. (b) Samme spørgsmål for ligningen y 4y + 5y = e x. OPGAVE 5 (10 points) Vis, at for funktionen F(x,y) = sin(x 2 + y 2 ) er (0, 0) et stationært punkt, og bestem arten heraf. Find endelig samtlige stationære punkter.

29 Januar OPGAVE 6 (10 points) Betragt i planen R 2 området D = { (x,y) x 2 + y 2 < 1 og 0 < y }, og lad C være randen gennemløbet mod uret. Beregn kurveintegralet ( I = y 3 + xy ) dx + x 3 dy. OPGAVE 7 (15 point) I rummet R 3 skal E betegne vektorfeltet C E(x,y,z) = (2x,3y 2, 1). (a) Vis, at E er konservativt, og find en stamfunktion, dvs. find en skalar funktion ϕ med ϕ = E. (b) Idet C betegner kurven med parametrisering r(t) = (t cos t,sin t,1 + t 2 ), 0 t π, skal integralet af E langs med C, dvs. beregnes. I = C E dα OPGAVE 8 (15 points) Lad V R 3 være området givet ved { V = (x,y,z) 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 } 1 + xy og vektorfeltet E som følger: E(x,y,z) = ( x 2 x,y 2 y,2z xz 2yz ). (a) Idet S betegner overfladen af V orienteret med udadrettet enhedsnormal n, skal fluxen af E ud gennem S beregnes, altså integralet I = E n ds. (b) Beregn yderligere integralet hvor S 1 er fladen S 1 = S I 1 = E n ds, S 1 { (x,y,z) 0 x 1, 0 y 1, z = 1 }, 1 + xy altså den øverste, krumme del af S. [Vink: se på størrelsen E n på hver af de øvrige 5 sider i S.]

30 24 Juni 1996 OPGAVE 1 (10 point) Find følgende to grænseværdier 1 e x (a) lim x 0 sinhx. e x2 1 (b) lim x 0 sin(x 2 ). OPGAVE 2 (10 point) Beregn Taylorpolynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen f(x) = ln(2 e x ). Bestem Taylorrækken for funktionen g(x) = e x2 svarende til udviklingspunktet x = 0 og angiv konvergensradius. OPGAVE 3 (10 point) Skriv det komplekse tal 4e i π 4 på formen a + ib. Find dernæst de komplekse tal z, som opfylder og angiv facit på polær form re iθ. z 2 = 8 + i 8 OPGAVE 4 (10 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx + 3x2 y = 3x 2. Bestem dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 2. OPGAVE 5 (15 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y 2y 3y = 0. Bestem dernæst den generelle løsning til y 2y 3y = 6cos x + 2sin x samt den løsning som opfylder y(0) = 0 og y (0) = 1.

31 Juni OPGAVE 6 (15 point) Lad R være det indre af trekanten i planen R 2 med hjørner i punkterne (0,0), (1,0) og (0,2). Med C betegnes randen af R (altså de tre sider) gennemløbet i positiv omløbsretning (dvs. mod uret). Beregn kurveintegralet I = xy dx + y dy. OPGAVE 7 (15 point) På R 2 er givet den skalare funktion C f(x,y) = x 3 + 4xy 2y Vis, at (x,y) = (0,0) er et stationært punkt, og bestem arten heraf. Find dernæst samtlige stationære punkter samt arten af disse. OPGAVE 8 (15 point) Lad D være området i R 3 givet ved Bestem volumen af D. Med F betegnes vektorfeltet D = { (x,y,z) 0 z 4(x 2 + y 2 ) + 2, x 2 + y 2 1 }. F(x,y,z) = (xcos y,z sin y,x 2 + z). Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af D, dvs. bestem integralet I = F ˆNdS, hvor ˆN er den udadrettede enhedsnormal og ds er overflademålet på S. S

32 26 August 1996 OPGAVE 1 (10 point) Find følgende to grænseværdier: (a) (b) x 2 + x 2 lim x 1 x 2. 1 e x e x 2x lim x 0 sin(2x) 2x OPGAVE 2 (10 point) Beregn Taylorpolynomiet Q 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen g(x) = 1 ex 1 + e x. Angiv Taylorpolynomiet P n (x) af grad n svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen f(x) = e x. Vis, at restleddet R n (x) = f(x) P n (x) opfylder, at og R n (x) xn+1 (n + 1)! R n (x) xn+1 e x (n + 1)! når x 0 når x 0 OPGAVE 3 (10 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx + 2 x y = 6x3. Bestem dernæst den løsning, der opfylder y(1) = 0. OPGAVE 4 (10 point) Find de komplekse løsninger til andengradsligningen z 2 3z + 1 = 0 og angiv facit både på formen a + ib og på polær form re iθ. Lad z 0 være en løsning til andengradsligningen ovenfor. Vis, at z 6 0 = 1.

33 August OPGAVE 5 (15 point) Betragt funktionen F(x,y) = xsin y på R 2 og vis, at (x,y) = (0,0) er et stationært punkt. Find dernæst samtlige stationære punkter samt arten af disse. OPGAVE 6 (15 point) I planen R 2 er givet vektorfeltet F(x,y) = ( ) y cosh(xy), xcosh(xy). Vis, at F er konservativt, og find en potentialfunktion. Lad R være det indre af trekanten i planen R 2 med hjørner i punkterne (0,0), (0, 1) og (1,0). Med C betegnes randen af R (altså de tre sider) gennemløbet i positiv retning (dvs. mod uret). Beregn kurveintegralet I = OPGAVE 7 (15 point) C ( ) ( ) y cosh(xy) + y dx + xcosh(xy) + 2x dy. Find den generelle løsning y = y(x) til den homogene differentialligning y + 3y 4y = 0. Bestem dernæst den generelle løsning til den inhomogene differentialligning y + 3y 4y = x 2. Bestem endelig den løsning til den inhomogene differentialligning, som opfylder y(0) = 1 8 og y (0) = 0 og vis, at denne har et lokalt minimum i x = 0. OPGAVE 8 (15 point) Lad V betegne området i R 3 givet ved } V = {(x,y,z) x 2 + y 2 1, z 0 og z 1 + x 2. Bestem volumen af V. Med S betegnes den del af fladen z = (x2 + y 2 ) i rummet R 3, som ligger inden for cylinderen x 2 + y 2 = 1. Beregn arealet af S.

34 28 Januar 1997 OPGAVE 1 (10 point) Beregn Taylorpolynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen g(x) = (1 + x) 1/3. Angiv et udtryk for fejlen R 2 (x) ved approksimationen Vis, at restleddet R 2 (x) opfylder OPGAVE 2 (10 point) Find de komplekse tal z, som opfylder Bestem b,c R, således at 2. grads ligningen g(x) P 2 (x). R 2 (x) 5 81 x3, for x 0. z 3 = 1 + i. z 2 + bz + c = 0 har de to komplekse rødder 1 2 (1 + i) og 1 2 (1 i). OPGAVE 3 (15 point) Find for x > 0 den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx + 1 x y = sin x. Bestem dernæst den løsning, y p, som opfylder y p (π) = 0. Vis, at lim x π y p(x) sinx = 0. OPGAVE 4 (15 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y 4y + 4y = 0. Angiv dernæst en partikulær løsning til differentialligningen y 4y + 4y = e 2x. Bestem løsningen til begyndelsesværdiproblemet e x2 (y 2 1) dy dx + xy = 0 y(0) = 1.

35 Januar OPGAVE 5 (10 point) Vis, at (0,0) er et stationært punkt for funktionen Afgør arten af dette stationære punkt. OPGAVE 6 (15 point) Lad F betegne vektorfeltet i R 2 f(x,y) = xsinh2y + 2y sinhx + xy. F(x,y) = (3x 2 y 2, 2x 3 y). Vis, at F er konservativt, og find en potentialfunktion ϕ : R 2 R. Lad C være kurven med parametrisering Beregn integralet r(t) = (1 t, t 2 ), 0 t 1. I = C F dr af F langs med C. Angiv en enhedsvektor n i (1,1), der er vinkelret på niveaukurven ϕ(x,y) = 1 igennem (1,1). OPGAVE 7 (15 point) Lad V være området i R 3 givet ved Skitsér V og bestem volumen af V. Lad F betegne vektorfeltet V = { (x,y,z) 0 x 2 + y 2 4, 0 z 8 x }. F(x,y,z) = (x 2 + tanhz, xy + sin z, y) Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af V, dvs. bestem integralet I = F ˆN ds, hvor ˆN er den udadrettede enhedsnormal, og ds er overflademålet på S. OPGAVE 8 (10 point) Lad f : R 2 R være givet ved f(x,y) = e x2 +y 2. Find en ligning for tangentplanen i (0, 1, f(0, 1)). Lad F : R 2 R 2 betegne afbildningen, der er givet ved ( ) f f F(x,y) = (x,y), x y (x,y) Vis, at Jacobimatricen for F har formen ( a c d b ) med b = c. S.

36 30 Juni 1997 OPGAVE 1 (15 point) (a) Vis at x + 1 cos x lim = 1 x 0 sinh(2x) 2. (b) Bestem Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen f(x) = ln(1 + cosh x). (c) Bestem konvergensradius for potensrækken x n n 2 + 3n. OPGAVE 2 (10 point) n=1 (a) Bestem løsningerne til den komplekse andengradsligning (b) Angiv z = i 1 på polær form z = re iθ. (c) Lad b, c R og antag at ligningen z 2 4z + 8 = 0. z 2 + bz + c = 0 har løsningen z 0 = 3 + i. Vis, at det konjugerede tal z 0 = 3 i også er en løsning til z 2 + bz + c = 0. OPGAVE 3 (15 point) (a) Bestem den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningen y 2y + 2y = 2x. (b) Bestem dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 0 og y (0) = 2. (c) Angiv en differentialligning af formen y + by + cy = 0 som opfylder at y 1 (x) = e 2x og y 2 (x) = e x begge er løsninger. OPGAVE 4 (10 point) Betragt funktionen f : R 2 R givet ved f(x,y) = 1 x 2 + y (a) Vis at (0,0) er det eneste stationære punkt. (b) Bestem arten af dette stationære punkt.

37 Juni OPGAVE 5 (10 point) Et område D i planen R 2 er givet ved D = { (x,y) x 0, y 0, x 2 + y 2 4 }. Beregn dobbeltintegralet I = (y 2 + 2)dxdy. D OPGAVE 6 (10 point) Betragt vektorfeltet i R 3 givet ved F(x,y,z) = (2xy,x 2,2). (a) Vis, at F er konservativt og find en potentialfunktion ϕ: R 3 R. Lad C være kurven parametriseret ved r(t) = (t 3,t 2,t), 0 t 1. (b) Beregn kurveintegralet af F langs C: I = F dr. OPGAVE 7 (15 point) I R 3 er givet området V = { (x,y,z) 0 z cosh(x 2 + y 2 ),x 2 + y 2 1 }. Der er desuden givet et vektorfelt F(x,y,z) = ( z tan y,ln(1 + x 2 ),2z ). (a) Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af V, dvs. bestem integralet I = F NdS hvor N er den udadrettede enhedsnormal, og ds er overflademålet på S. (b) Bestem fluxen igennem den del af fladen S som er givet ved z = 0. (c) Bestem volumen af V. S C

38 32 OPGAVE 8 (15 point) I planen R 2 er der givet et område { D = (x,y) 1 x 2, 0 y 1 x }. (a) Skitsér D og beregn kurveintegralet I 1 = 4y dx + x 2 dy C 1 hvor C 1 er randen af D gennemløbet mod uret. (b) Beregn desuden I 2 = 4y dx + x 2 dy C 2 hvor C 2 er liniestykket fra (1,0) til (2,0). (c) Bestem en funktion f : R R således at vektorfeltet F(x,y) = ( 4y,x 2 f(x) ) er konservativt for x > 0.

39 Besvarelse af Juni Besvarelse af Juni 1997 Besvarelse af eksamensopgaver i MM01 juni ved Henrik Pedersen Opgave 1 (a) Sæt f(x) = x + 1 cos x og g(x) = sinh(2x). Da f(0) = 0 = g(0) bruges l Hopital s regel: Vi udregner de afledede: f (x) = 1 + sinx såf (0) = 1 g (x) = 2cosh(2x) såg (0) = 2 Da fås lim x 0 f(x) g(x) = lim x 0 f (x) g (x) = 1 2 (b) Vi har at P 2 (x) = f(0) + f (0)x f (0)x 2 og f(x) = ln(1 + cosh x). Da er f(0) = ln 2 og f (x) = sinhx 1 + cosh x ; f (0) = 0 f (x) = cosh x(1 + cosh x) sinhx sinhx (1 + cosh x) 2 ; f (0) = 1 2 Dvs. P 2 (x) = ln x2. (c) Konvergensradius R udregnes ved Dvs. R = 1 1 R = lim n a n+1 a n = lim n n 2 + 3n = lim n n 2 + 5n + 4 = 1 n 2 + 3n (n + 1) 2 + 3(n + 1) Opgave 2 (a) z 2 4z + 8 = 0 D = = 16 z = 1 2 (4 ± 16) = 2 ± 2i Dvs. z = 2(1 + i) og z = 2(1 i) er en løsning.

40 34 (b) Da z = i 1 ses, at z = = 2 og θ = 3π 4. Altså fås z = 2 e i3π 4. (c) Da b,c R og z bz 0 + c = 0 fås: 0 = 0 = z bz 0 + c = z b z 0 + c, så den konjugerede z 0 er også en løsning - dvs. z 0 = 3 i er en løsning. Opgave 3 (a) Først løses den homogene ligning: y 2y + 2y = 0 Hjælpeligning: r 2 2r + 2 = 0. Vi får D = 4 8 = 4 og r = 1 2 (2 ± 2i) = 1 ± i. Altså er y(x) = e x (Acos x + B sin x). Gæt på y p (x) = Cx + D: y p(x) = C og y p(x) = 0 Vi indsætter og får: 2C + 2Cx + 2D = 2X Dvs. 2C = 2 og D C = 0 Altså C = 1 og D = C = 1 så y p (x) = x + 1 og den fuldstændige løsning bliver y(x) = e x (Acos x + B sin x) + x + 1. (b) Vi udregner den afledede y (x) = e x (Acos x + B sin x) e x ( Asin x + B cos x) Heraf fås (A,B) = ( 1,2) Altså fås løsningen y(x) = e x (2sin x cos x) + x + 1 y (0) = A B = 2 y(0) = A + 1 = 0 (c) y + by + cy = 0. 2 Hjælpeligning: r 2 br + c = 0. Vi ønsker at denne ligning har løsningerne r = 1 r 2 + br + C = (r 2)(r + 1) = r 2 r 2 så b = 1 og C = 2 og ligningen bliver y y 2y = 0.

41 Besvarelse af Juni Opgave 4 f(x,y) = 1 x 2 + y f x = f y = x x 2 + y y x 2 + y Dvs. gradienten er nul præcis i (x,y) = (0,0), som derfor er eneste stationære punkt. 2 f y 2 = (0,0) x 2 x 2 + y x 2 + y x 2 + y (0,0) = 2 4 = f y 2 = 1 2 (0,0) 2 f = 1 y x 2 x(x2 + y 2 + 4) 3 2 2y = 0 (0,0) (0,0) Derfor fås at A = C = 1 2 og B = 0 så AC B 2 = 1 4 > 0 og A < 0. Derfor er (0,0) et (lokalt) maksimum. Opgave 5 (0,2) D (2,0) Vi benytter polære koordinater I = 2 0 π 2 0 (r2 sin 2 θ + 2)rdr dθ 2 0 π 2 0 2rdr dθ = π r dr = π 2 [r 2] 2 0 = 2π

42 π 2 0 [ r r 3 sin 2 4 θ dr dθ = 4 ] 2 0 π 2 0 sin 2 θ dθ [ θ = ] π 2 sin 2θ 4 0 = π. Dvs. I = 2π + π = 3π. Opgave 6 F 1 y = 2x, F 2 x = 2x F 2 z = 0, F 3 y F 3 x = 0, F 1 z = 0 = 0 Dvs. krydsdifferentiationsreglen gælder, så da R 3 er konveks findes en potentialfunktion. Vi skal have at ϕ x = 2xy Dvs. ϕ(x,y,z) = 2xy dx + c(y,z) = x 2 y + c(y,z). Af Af ϕ y = x2 fås x 2 + c y = x2 så c(y,z) = k(z) ϕ z = 2 fås k = 2 så k(z) = 2z og ϕ(x,y,z) = x 2 y + 2z + konstant. Da grad ϕ = F fås I = ϕ( r (I)) ϕ( r (0)) = ϕ(1,1,1) ϕ(0,0,0) = 3 Opgave 7 (a) Af Gauss sætning fås: I = div F dv V div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z = = 2

43 Besvarelse af Juni I = 2cosh(x 2 + y 2 )dxdy Disk 1 2π = 2 = 4π cosh(r 2 )r drdθ; cosh udu = 2π sinhu 1 = 2π sinh(1). 0 u = r 2, du = 2rdr (b) For z = 0 er F = (0,ln(1 + x 2 ),0) Da F (0,0, 1) = 0, fås at flux = nul. (c) Volumen = dxdy dz = cosh(x 2 + y 2 )dxdy V Disk = π sinh(1) i følge ovenstående. Opgave 8 (a) F = ( 4y,x 2 ); F 2 x F 1 y = 2x + 4 C D 1 2 Af Greens sætning fås ( F2 I 1 = x F ) 1 dxdy y = = D x 0 (2x + 4)dy dx (2 + 4 x )dx = 2 + 4[ln x] 2 1 = 2 + 4ln 2.

44 38 (b) C 2 parametriseres: r (t) = (t,0) 1 t 2 r (t) = (1,0) F ( r (t)) = (0,t 2 ) F ( r (t)) r (t) = (0,t 2 ) (1,0) = 0 så I 2 = 0. (c) Da området x > 0 er enkeltsammenhængende, er det nok at bestemme f så krydsdifferentiationsreglen gælder: F 2 x F 1 y = 0;giver 2xf(x) + x 2 f (x) + 4 = 0 Dvs. for x > 0 : f (x) + 2 x f(x) = 4 x 2. Vi finder en løsning til ligningen: p(x) = 2 x så µ(x) = 2ln x (x > 0). Vi løser: I = e µ(x) q(x)dx = x 2 ( 4 x 2 Dvs. f(x) = 4 x opfylder det ønskede. ) dx = 4x + C.

45 August August 1997 OPGAVE 1 (15 point) (a) Løs andengradsligningen for z en kompleks variabel. z 2 14z + 50 = 0 (b) Bestem de komplekse løsninger til ligningen z 3 = 4 + i4 3. (c) Bestem komplekse tal a,b,c således at trediegradsligningen z 3 + az 2 + bz + c = 0 har de tre rødder z = 1 + i, z = 2i og z = 3. OPGAVE 2 (10 point) (a) Vis at 2x + 2 2cosh(x) lim = 1 x 0 sin(16x) 8. (b) Lad E 3 (x) være restleddet hørende til Taylor polynomiet P 3 (x) af grad 3 svarende til udviklingspunktet x = 1 for funktionen f(x) = ln x. Vis at E 3 (x) opfylder E 3 (1,2) < 0,001. OPGAVE 3 (15 point) I R 3 er givet en flade S = { (x,y,z) R 3 x 0, y 0, z 0, 2x + 2y + z = 6 }. (a) Skitsér S på en tegning, og find arealet af S.

46 40 Lad der desuden være givet et vektorfelt F(x,y,z) = ( y 2,z,x). (b) Beregn fladeintegralet I 1 = S curlf N ds, hvor N er den opadrettede enhedsnormalvektor på fladen S. (c) Beregn desuden kurveintegralet rundt langs randen C af S, dvs. beregn I 2 = F dr hvor orienteringen af C er arvet fra fladen S. C OPGAVE 4 (15 point) Et område i planen R 2 er givet ved D = { (x,y) 1 x 2 + y 2 9, x 0, y x }. (a) Skitsér D på en tegning, og beskriv D i polære koordinater. (b) Udregn integralet y dxdy. (c) Bestem volumen af området V i R 3 givet ved V = { (x,y,z) (x,y) D, 0 z 3y }. D OPGAVE 5 (15 point) (a) Bestem den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningen y 3y + 2y = e 2x. (b) Bestem dernæst den løsning y p som opfylder y p (0) = 0 og y p (0) = 1. y p (x) (c) Vis, at lim x 0 sinh(2x) = 1 2.

47 August OPGAVE 6 (10 point) (a) Find den generelle løsning y = y(t) til differentialligningen (b) Bestem løsningen som opfylder y(0) = 1. dy dt = et y. OPGAVE 7 (10 point) Lad f : R 2 R være funktionen givet ved f(x,y) = 2 + (x 2 + y 2 + 1) 1 3. (a) Bestem de afledede f f x (x,y), y (x,y), 2 f x y (x,y), 2 f (x,y) og 2 f (x,y). x 2 y 2 (b) Bestem stationære punkter for f samt arten heraf. OPGAVE 8 (10 point) 3 (a) Vis at 2 n = 6. n=0 (b) Bestem konvergensradius for potensrækken n=0 x n (2n + 2)!.

48 42 Januar 1998 OPGAVE 1 (10 point) Lad z C være givet ved z = 6 4i 5 + i. (a) Bestem modulus og argument for z. (b) Angiv på en figur z s beliggenhed i den komplekse plan. OPGAVE 2 (15 point) (a) Bestem den fuldstændige løsning y = y(t) til differentialligningen d 2 y dt 2 2dy + 5y = 0. dt (b) Bestem dernæst den fuldstændige løsning til ligningen y 2y + 5y = 4te t. (c) Bestem den løsning y p til differentialligningen i (b), som opfylder y p (0) = 0 og y p(0) = 3. (d) Vis, at lim t 0 y p (t) tanh(t) = 3. OPGAVE 3 (10 point) Betragt funktionen f : R 2 R givet ved (a) Bestem de stationære punkter for f. (b) Bestem arten af de stationære punkter. f(x,y) = 24y y3 y 4 32x 2. (c) Bestem de punkter på grafen for f, hvor tangentplanen er horisontal (dvs. parallel med XY -planen).

49 Januar OPGAVE 4 (15 point) Lad V 1 R 3 være området givet ved V 1 = {(x,y,z) x 2 + y 2 + (z 2) 2 4} og lad V 2 R 3 være området V 2 = {(x,y,z) z 0, z 2 x 2 + y 2 }. (a) Gør rede for, at V 1 kan beskrives i sfæriske koordinater ved 0 θ 2π, 0 φ π/2, 0 ρ 4cos φ. (b) Gør rede for, at V 2 kan beskrives i sfæriske koordinater ved 0 θ 2π, 0 φ π 4, 0 ρ <. (c) Bestem volumen af isvaflen V 1 V 2. OPGAVE 5 (10 point) I R 3 er der givet et vektorfelt F(x,y,z) = (2xy cosh(x 2 y),x 2 cosh(x 2 y),1). (a) Vis, at F er konservativt og find den potentialfunktion ϕ: R 3 R som opfylder ϕ(0,0,0) = 0. Lad C være kurven parametriseret ved (x(t),y(t),z(t)) = (7,9t,13t 2 ); 0 t 1. (b) Beregn kurveintegralet af F langs C: I = C F dr.

50 44 OPGAVE 6 (15 point) Lad V R 3 være området i R 3 givet ved (a) Vis, at volumen af V er lig med 4. Betragt dernæst vektorfeltet V = {(x,y,z) 0 y 3, 0 z 1 x 2 }. F (x,y,z) = (x + 7cos y,y + 9sin z,z + 13e x ). (b) Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af V. (c) Bestem fluxen igennem den del af fladen S, som er givet ved de to betingelser z = 0, x 0. OPGAVE 7 (15 point) Lad g: R 2 R 2 være afbildningen givet ved g(x,y) = (g 1 (x,y),g 2 (x,y)), hvor g 1 (x,y) = sinh 1 (xy) og g 2 (x,y) = xe y. (a) Bestem Jacobimatricen for g i et vilkårligt punkt (x,y). (b) Vis, at Jacobimatricen for g i punktet (1,0) er lig med ( ) og angiv Taylorpolynomiet af grad 1 omkring (1,0) for g 2. (c) Løs approximativt ligningssystemet g 1 (x,y) = 0,01 g 2 (x,y) = 1,02 for (x,y) nær ved (1,0).

51 Januar OPGAVE 8 (10 point) Betragt området D R 2 givet ved D = {(x,y) 0 x 1, 0 y x 3 }. (a) Skitsér D og bestem kurveintegralet I = y dx x2 dy, hvor C er randen af D gennemløbet mod uret. (b) Bestem kurveintegralet J = C K y dx x2 dy, hvor K er den del af parablen y = x 2, som svarer til x [0,1].

52 46 Juni 1998 OPGAVE 1 (15 point) (a) Vis, at z = 1+i 3 og z = 1 i 3 begge er løsninger til den komplekse andengradsligning z 2 2z + 4 = 0. (b) Angiv z = 1 + i 3 og z = 1 i 3 på polær form z = re iθ, og angiv på en figur de to tals beliggenhed i den komplekse plan. (c) Bestem løsningerne til den komplekse ligning og angiv løsningerne på formen a + ib. w 4 2w = 0. OPGAVE 2 (15 point) (a) Vis, at 1 (1 + x) 1 2 lim x 0 1 (1 + x) 1 3 = 3 2. (b) Bestem Taylors polynomium P 1 (x) af grad 1 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen f(x) = e x (1 + 2x) 2. (c) Vis, at 1 12 x = 1 + (x 11) + (x 11)2 + (x 11) og angiv for hvilke x R at rækken er konvergent.

53 Juni OPGAVE 3 (10 point) (a) Find den generelle løsning til differentialligningen dy + sinh(x)y = sinh(x). dx (b) Bestem den løsning, som opfylder y(0) = 1. OPGAVE 4 (10 point) Lad g : R 2 R være funktionen givet ved g(x,y) = 2x 3 3x 2 + y 2 12x (a) Vis, at ( 1,0) er et stationært punkt for g. (b) Find alle stationære punkter for g. (c) Bestem arten af det stationære punkt ( 1,0). OPGAVE 5 (10 point) Lad F(x,y) = (x 2 y 2, xy) være et vektorfelt i planen og lad C være randen, orienteret mod uret, af området M = {(x,y) x 2 y x,0 x 1}. (a) Skitsér området M. (b) Undersøg om F er et gradient felt (dvs. undersøg om F er konservativt). (c) Bestem integralet I = C F dr.

54 48 OPGAVE 6 (15 point) (a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen d 2 y dx 2 2dy dx + y = 0. (b) Bestem dernæst den fuldstændige løsning til differentialligningen y 2y + y = 16e x. (c) Bestem den løsning y til ligningen i (b), som opfylder begyndelsesbetingelserne y(0) = 1, y (0) = 1 OPGAVE 7 (10 point) Lad S være overfladen af det rumlige område og lad F være vektorfeltet (a) Beregn divf (x, y, z). V = {(x,y,z) x 2 + y 2 4, 1 z 1}, F(x,y,z) = ( 1 3 x3, 1 3 y3 + 7, z 3 ). (b) Bestem fluxen af F ud gennem S, dvs. bestem integralet I = F N ds, hvor N er den udadrettede enhedsnormal, og ds er overflademålet på S. S OPGAVE 8 (15 point) Lad der være givet et vektorfelt i R 3 F(x,y,z) = (xy, 4, tan 1 (x 2 )) (Bemærk at tan 1 er den inverse funktion til tan, der også kan skrives arctan)

55 Juni (a) Beregn vektorfeltet curlf. Lad D R 2 være givet ved D = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 9}. (b) Beregn fladeintegralet hvor k = (0,0,1). Lad S R 3 være fladen I 1 = D curlf k ds S = {(x,y,z) z 0,z = 9 x 2 y 2 }. (c) Beregn fladeintegralet I 2 = S curlf N ds hvor N er den udadrettede enhedsnormalvektor på fladen S.

56 50 August 1998 OPGAVE 1 (10 point) Find de komplekse løsninger til ligningen (z 1) 4 = 1, og angiv løsningerne på formen a + ib. Illustrer endvidere løsningerne på en figur. OPGAVE 2 (15 point) (a) Bestem den løsning, y p, til differentialligningen y + y = cosh x som tilfredsstiller begyndelsesbetingelserne y p (0) = 0, y p (0) = 0. (b) Bestem for denne løsning Taylorpolynomiet P 3 (x) af grad 3 svarende til udviklingspunktet x = 0. OPGAVE 3 (10 point) Lad F(x,y) = (cos x, siny) være et vektorfelt i planen R 2. (a) Vis at F er konservativt. (b) Bestem en potentialfunktion for F. (c) Beregn kurveintegralet I = C F dr, hvor C er en kurve langs ellipsen 16x 2 + 4y 2 = 16, gennemløbet mod uret fra punktet (1,0) til punktet (0,2).

57 August OPGAVE 4 (15 point) (a) Bestem den generelle løsning til differentialligningen dy dx x 2y = x 2; x ] π 2, π [. 2 (b) Bestem dernæst den løsning, y p, som opfylder y p (0) = 0. y p (x) (c) Vis, at lim = 4. x 0 x OPGAVE 5 (10 point) Lad S betegne grafen for funktionen f(x,y) = 7 + 2xy defineret på D = { (x,y) R 2 x 2 + y 2 1 }. (a) Bestem overfladearealet af S. (b) Bestem rumfanget af området V = { (x,y,z) 0 z 7 + 2xy,x 2 + y 2 1 }. OPGAVE 6 (10 point) Lad F betegne vektorfeltet F(x,y,z) = ( xsinhz,yx y3, cosh z ). (a) Bestem rotationen curl F. Lad V være området i R 3 givet ved V = { (x,y,z) x 2 + y 2 1,1 z 3 }. (b) Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af V, dvs. bestem integralet I = F NdS, hvor N er den udadrettede enhedsnormal og ds er overflademålet på S. S

58 52 OPGAVE 7 (15 point) Lad f : R 3 R 3 være afbildningen givet ved f(x,y,z) = (y cosh x,ze x2,xy + z). (a) Bestem Jacobimatricen for f i et vilkårligt punkt (x,y,z) R 3. (b) Vis at Jacobimatricen for f i punktet (x, y, z) = (0, 0, 0) er givet ved A = 0 0 1, og vis at 0 er en egenværdi for A med egenvektor (1,0,0). (c) Find samtlige egenværdier for A og find de tilhørende egenvektorer. OPGAVE 8 (15 point) (a) Bestem den uendelige sum n=3 49 ( 1) n. 7 (b) Bestem konvergensradius for potensrækken n=0 (2x + 2) n 2n + 1. (c) Undersøg om rækken er konvergent. n=1 1 7n! + 9n n

59 Januar Januar 1999 OPGAVE 1 (10 point) (a) Bestem de komplekse løsninger til trediegradsligningen z 3 2iz 2 z = 0, og angiv facit på formen a + ib og på polær form re iθ. Lad z 0 = 4e i π 2. (b) Bestem de komplekse tal w C som opfylder w 2 = z 0. OPGAVE 2 (15 point) (a) Bestem grænseværdien sin x x lim x3 x 0 x 5. (b) Bestem Taylorpolynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet a = 8 for funktionen f(x) = 3 x. (c) Vis, at restleddet R 2 (x) = f(x) P 2 (x) opfylder at for 7 x 9. R 2 (x) /3 OPGAVE 3 (10 point) (a) Bestem en ligning for den kurve i planen, som har hældning 4x 3 y i punktet (x,y), og som går igennem punktet (0,7). (b) Bestem den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx 1 y = xsinh(x), x > 0. x

60 54 OPGAVE 4 (15 point) I planen R 2 er givet et vektorfelt F (x,y) = (xy,sinh(x)). (a) Undersøg om F er konservativt. Lad R være det indre af trekanten med hjørnerne (0,0), (1,0) og (1,1). Lad C betegne randen af R gennemløbet i positiv retning. (b) Angiv C på en tegning. (c) Beregn kurveintegralet I = C (xy + y)dx + (sinh(x) + x)dy. OPGAVE 5 (10 point) (a) Vis at (1,1) er et stationært punkt for funktionen f(x,y) = (x y)(xy 1). (b) Afgør arten af dette stationære punkt. OPGAVE 6 (10 point) (a) Vis, at der findes en funktion f : R 2 R, således at og f x (x,y) = 2xy3 + e x sin y f y (x,y) = 3x2 y 2 + e x cos y + 1. (b) Bestem f.

61 Januar OPGAVE 7 (15 point) (a) Bestem den generelle løsning til den homogene ligning y 10y + 9y = 0. (b) Bestem dernæst den generelle løsning til den inhomogene differentialligning y 10y + 9y = 8e x. (c) Bestem den løsning til den inhomogene differentialligning som opfylder y(0) = 7 og y (0) = 1. (d) Bestem A,B R, således at differentialligningen y + Ay + By = 0 har løsningerne y 1 (x) = cos 2x, y 2 (x) = sin 2x. OPGAVE 8 (15 point) Betragt området i R 3 givet ved og lad F være vektorfeltet V = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 4, z 0} F = (xy + sinh(y),ye x7,cosh(x 2 ) ze x7 ). Randen (overfladen) af V betegnes med S og orienteres med enhedsnormal N rettet ud af V. Bestem fluxen I af F ud gennem S.

62 56 Besvarelse af Januar 1999 Besvarelse af eksamensopgaver i MM01 januar ved Henrik Pedersen Opgave 1 (a) z 3 2iz 2 z = z(z 2 2iz 1) = 0 netop når z = 0 eller z 2 2iz 1 = 0. D = = 0; z = i er dobbeltrod Dvs: z = 0 z = i = e i π 2 (b) w = 2e i π 4 eller w = 2e i5π 4 Opgave 2 (a) Rækken for sinx er givet ved sinx x+ Dvs. lim 1 6 x3 1 x 0 = lim x 5 x 0 sinx = x x3 6 + x x5 = 1 x (b) f(x) = 3 x,f (x) = 1 3 x 2/3, f (x) = 2 9 x 5 3,f (x) = x 8 3 f(8) = 2, f (8) = 1 12, f (8) = P 2 (x) = f(8) + f (8)(x 8) f (8)(x 8) 2 så P 2 (x) = (x 8) 288 (x 8)2. (c) På intervallet 7 x 9 gælder f (x) = 10 Af Lagrange Restled fås R 2 (x) x /3 3! /3 x 8 3 Opgave 3 (a) dy dx = 4x3 y så dy y = 4 x 3 dx og ln y = x 4 + konstant /3 6 = /3 3. Dvs. y = ce x4 og 7 = y(0) = c, så y(x) = 7e x4.

63 Besvarelse af Januar (b) dy dx 1 x y = xsinh(x) q(x) = xsinh(x) p(x) = 1 x, µ(x) = lnx 1 e µ(x) q(x)dx = x xsinh(x)dx = sinh(x) dx = cosh(x) + c y(x) = e µ(x) e µ(x) q(x)dx så y(x) = xcosh(x) + xc Opgave 4 (a) (F 1,F 2 ) = (xy,sinh(x)) F 2 x = cosh(x); F 1 y = x, så da F 2 2x F 1 y, ses, at F ikke er konservativt. (1,1) C (b) (1,0) (c) Ē = (y,x) = grad(xy), så C y dx + xdy = 0, da C er en lukket kurve. Af Green s sætning fås nu ( F2 I = R x F ) 1 dxdy y = (cosh x x)dxdy R 1 ( x ) = (cosh x x) dy = = (xcosh x x 2 ) dx [ xsinhx ] dx sinhx dx [ ] x = sinh1 cosh = e.