MIA Matematik i anvendelse (7,5 ECTS) Kursusplan

MIA Matematik i anvendelse (7,5 ECTS) Kursusplan Nat.bas., Roskilde Universitet Forår 2011 Kursusansvarlig: Peter Limkilde (peter.limkilde@skolekom.dk). Undervisere: Tomas Højgaard (tomas@dpu.dk), Kasper Bjering Søby Jensen (bjering@ruc.dk), Peter Limkilde (peter.limkilde@skolekom.dk) og Sif Skjoldager (sims@ruc.dk). Tidspunkt: Tirsdage kl. 9-12 og fredage kl. 13-16. Mål og indhold: Fra kursusbeskrivelsen: Formålet med kurset Matematik i anvendelse er at kvalificere de studerende til humanistiske og samfundsvidenskabelige overbygningsstudier, hvor matematik anvendes eller med fordel kan anvendes som kommunikations- og modelleringsværktøj. Målet er en integreret udvikling af de studerendes matematiske symbolbehandlings-, modellerings- og kommunikationskompetence, relationelle forståelse af begreberne variabel, sammenhæng og stokastisk variabel, og kompetence til at anvende de ovennævnte matematiske kompetencer og begreber til at forstå, formulere, analysere og formidle udvalgte matematikholdige problemstillinger fra et eller flere af RUC s overbygningsstudier. Symbolbehandlings-, modellerings- og kommunikationskompetence samt begreberne variabel, sammenhæng og stokastisk variabel. Mål og indhold kan visualiseres således: Udvalgte dele af RUC s overbygningsstudier i matematisk perspektiv Kompetence Stof Variable Sammenhænge Stokastiske variable Symbolbehandlingskompetence Modelleringskompetence Kommunikationskompetence Side 1 af 23

Kort og unuanceret handler matematisk symbolbehandlingskompetence om at kunne håndtere matematiske symboler. Mere præcist forstås det her som en eller flere personers indsigtsfulde parathed til både selv at gennemføre og forholde sig kritisk undersøgende til afkodning af symbol- og formelsprog, oversættelse frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, samt behandling af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Kort og unuanceret handler matematisk modelleringskompetence om at kunne håndtere matematikbeskrivelser af noget der i udgangspunktet ikke er matematisk. Mere præcist forstås det her som en eller flere personers indsigtsfulde parathed til både selv at gennemføre og forholde sig kritisk undersøgende til en matematisk modelleringsproces som helhed. Kort og unuanceret handler matematisk kommunikationskompetence om at kunne håndtere kommunikation i, med og om matematik. Mere præcist forstås det her som en eller flere personers indsigtsfulde parathed til både selv at gennemføre og forholde sig kritisk undersøgende til kommunikation i, med og om matematik og/eller anvendelser af matematik. Evaluering og eksamen: Som en integreret del af undervisningsforløbet arbejdes der individuelt eller gruppevis (maksimum fem studerende pr. gruppe) med udarbejdelse af en portefølje bestående af besvarelse af følgende skriftlige opgaver: Miniprojekt-rapporter: Udarbejd en rapport på maksimalt 10 normalsider (2400 anslag) der dokumenterer et forsøg på og refleksioner over at forstå, formulere, analysere og formidle matematikholdige problemstillinger fra et af de overbygningsstudier som kurset peger frem mod, gennem udfoldelse af henholdsvis I: matematisk symbolbehandlingskompetence. II: den produktive side af matematisk modelleringskompetence. III: den kritisk undersøgende side af matematisk modelleringskompetence. Skriftlig test: Besvar skriftligt opgaverne i den test som afvikles på en af kursets sessioner. Begrebskort: Udarbejd et begrebskort som viser tegn på relationel forståelse af de mest centrale dele af kursets indhold. Formålet med afleveringsopgaverne er primært at bidrage til den formative evaluering på kurset, hvilket er baggrunden for at de skal afleveres løbende. Besvarelsen af opgaverne indgår herudover i den summative evaluering, idet løbende rettidig aflevering og godkendelse heraf er en forudsætning for at kunne få godkendt den samlede portefølje, som gerne i en gennemskrevet version i forhold til de godkendte afleveringsopgaver afleveres individuelt eller gruppevis i ét eksemplar til nat.bas.-sekretariatet senest mandag d. 9. maj 2011 kl. 12.00. Herefter vurderer underviserne om der er grundlag for at lade hver enkelt studerende bestå kurset alene på baggrund af kvaliteten af den afleverede portefølje. I de tilfælde hvor det ikke skønnes at være tilfældet bliver den studerende indkaldt til individuel mundtlig eksamen af maksimalt 20 minutters varighed inklusive votering. Eksaminationen har udgangspunkt i den samlede portefølje. 2 af 23

Som indledning på eksaminationen vil eksaminanden få mulighed for at uddybe, perspektivere, eksemplificere eller på anden måde kommentere sit skriftlige eksamensgrundlag. Det sker i så fald i form af et op til 5 minutter langt mundtligt oplæg, hvor eksaminator og intern censor kun stiller opklarende spørgsmål. Den resterende del af eksaminationen foregår som en faglig samtale mellem eksaminand, eksaminator og eventuelt intern censor. Bedømmelse sker på grundlag af en samlet vurdering af hele porteføljen og den studerendes individuelle mundtlige præstation ved eksaminationen. Bedømmelsen er en vurdering af i hvilket omfang eksaminandens præstation lever op til målene nævnt i afsnittet Mål og indhold. Der anvendes intern censur og bedømmelsen foregår på baggrund af opfyldelsen af de i kursusbeskrivelsen udmeldte læringsmål. Karakteren gives som bestået/ikke-bestået. Litteratur: Kurset er bygget op omkring større dele af nedenstående publikationer, som det derfor anbefales at man anskaffer sig via bogladen på RUC. Clausen, F., Schomacher, G. & Tolnø, J. (2006a). Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2, Gyldendal, København. Clausen, F., Schomacher, G. & Tolnø, J. (2006b). Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2, Gyldendal, København. Højgaard, T. & Limkilde, P. (red.) (2011). Kompendium til kurset MIA matematik i anvendelse, januar 2011. RUC s trykkeri. Højgaard, T. & Limkilde, P. (2011). Opgavesamling til kurset MIA matematik i anvendelse, januar 2011. RUC s trykkeri. Tilrettelæggelse: Undervisningen er fordelt på 22 sessioner som falder i tre moduler. Hvert modul har et bestemt matematisk begreb og en bestemt matematisk kompetence som kerneindhold. Arbejdet hermed er tilrettelagt efter følgende skabelon: a) Introduktion til modulets kerneindhold. Opstart af miniprojekt. b) Lærerstyret minikursus om kerneindholdet. c) Færdiggørelse af studenterstyret miniprojekt om anvendelse af kerneindholdet. d) Kollega-evaluering af miniprojekt-rapporter. Overblik over og evaluering af modulet. 3 af 23

På de følgende sider findes en grundig beskrivelse af hver session, med *-markering af den litteratur som findes i kompendiet. I overbliksform kan indholdets fordeling over tid beskrives således: Modul I 1 (1. feb.): Introduktion. Overblik over kursets form og indhold. Om symbolbehandlingskompetence. Opstart af miniprojekt I. 2 (4. feb.): Variable. 3 (8. feb.): Ligninger. 4 (11. feb.): Formler. 5 (15. feb.): Miniprojekt I. 6 (18. feb.): Miniprojekt I. 7 (22. feb.): Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport I. Faglig afrunding og formativ evaluering af modul I. Modul II 8 (25. feb.): Om konstruktiv modelleringskompetence. Opstart af miniprojekt II. 9 (1. mar.): Sammenhænge. 10 (4. mar.): Kvalitativ analyse af grafer. 11 (8. mar.): Kvalitativ analyse af grafer: Hældningstal. 12 (11. mar.): Miniprojekt II. 13 (15. mar.): Miniprojekt II. 14 (18. mar.): Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport II. Faglig afrunding og formativ evaluering af modul II. Modul III 15 (22. mar.): Om modelleringskompetence og kritisk kommunikation. Opstart af miniprojekt III. 16 (25. mar.): Tilfældighed og sandsynlighedsmodeller. 17 (29. mar.): Sandsynlighedsmodeller: Binomialfordelinger. 18 (1. apr.): Sandsynlighedsmodeller: Test for uafhængighed (χ 2 -test). 19 (5. apr.): Miniprojekt III. 20 (8. apr.): Miniprojekt III. 21 (12. apr.): Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport III. Faglig afrunding af modul III. Skriftlig test. 22 (15. apr.): Aflevering af begrebskort. Repetition af kursets indhold. Evaluering af kurset som helhed. Mundtlige eksamener 23 (7. juni): Første eksamensdag. 24 (10. juni): Anden eksamensdag. 4 af 23

Session 1 Dato og klokkeslæt: 1. februar kl. 9-12. Titel: Introduktion. Overblik over kursets form og indhold. Om symbolbehandlingskompetence. Opstart af miniprojekt I. Undervisere: Tomas Højgaard, Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Klarhed over kursets tilrettelæggelse, undervisningsform, evalueringsform og eksamen. Matematisk symbolbehandling som begreb og som kompetence. Opstart af miniprojekt A. Clausen et al. (2006b), s. 232-241. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] *Niss & Jensen (2002), s. 43-47 og 58-60. [Kompendiet side 295-299 og 310-312] *Jessen et al. (1991), s. 10-20. [Kompendiet side 239-249] Supplerende: *Niss & Jensen (2002), s. 43-72. [Kompendiet side 295-324] Læs kursusplanen her og dan jer på denne baggrund så klart et billede som muligt af hvad I kan forvente jer af kurset her og hvad vi undervisere forventer os af jer. Formuler spørgsmål til eventuelle uklarheder omkring kursets tilrettelæggelse, undervisningsform, evalueringsform og eksamen. Læs og bearbejd den anførte litteratur. Forbered dig på at skulle vælge en problemstilling som omdrejningspunkt for det første miniprojekt med sigte på matematisk symbolbehandlingskompetence. Orienter dig eventuelt i opgaverne MIA 31.x mhp. at få inspiration til dette valg. Orienter dig i opgaverne MIA 11.1-11.3 mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. 5 af 23

Session 2 Dato og klokkeslæt: 4. februar kl. 13-16. Titel: Variable. Undervisere: Tomas Højgaard, Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Variabelbegrebet, typer af variable, afhængige og uafhængige variable, skala-typer, sammensatte variable, sammenhæng mellem variable, grafisk repræsentation, variabelkontrol. *Christensen & Limkilde (2007). [Kompendiet side 64-71] *Jensen et al. (2006), s. 13-24. [Kompendiet side 221-232] Supplerende: *Jensen et al. (2004), s. 10-13. [Kompendiet side 204-207] Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: Hvad er forskellen på et tal og en variabel? Overvej hvilke typer variable, du kender fra det fagområde, der har din interesse. Hvem/hvad er afgørende for om en variabel er uafhængig eller afhængig? Besvar så mange som muligt af opgaverne 7-16, 20 og 23 i Jensen et al. (2004) [kompendiet side 205-211] mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Orienter dig i problemstillingen i øvelse 1, 2, 3, 4, 5 og 8A i Christensen og Limkilde (2007) [Kompendiet side 66-69] mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. 6 af 23

Session 3 Dato og klokkeslæt: 8. februar kl. 9-12. Titel: Ligninger. Undervisere: Tomas Højgaard og Peter Limkilde. Ligninger og formler, ligninger og kurver, lineær regression (tendensligning), matematisk sprog om kurver og grafer, variabelsammenhænge. *Clausen et al. (2005b) (side 51-85). [Kompendiet side 72-89] Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: 1. En ligning udtrykker, at højre og venstre side af ligningen hver især er lige store talstørrelser. 2. Ligninger benyttes i formler, der udtrykker en sammenhæng og ud fra en sådan ligning kan en ukendt størrelse findes (løsning af ligningen). 3. En række punkter, der grupperer sig om en ret linje kan med tilnærmelse beskrives ved en lineær funktion. Metoden til bestemmelse af den rette linje, der passer bedst med punkterne, kaldes lineær regression. Se eksempel 44 og 45, regn efter på din egen PC i regneark med tendenslinje. 4. Endelig benyttes ligninger til (regne)forskrifter for en funktion. Læs eksempel 54+55+57. Grundlæggende funktioner og deres navne står på side 85 [Kompendiet side 89] 5. Grafen for en funktion eller en ligning med to variable x og y, kan tegnes i et koordinatsystem med x som den uafhængige variabel og y (eller f(x)) som den afhængige variabel. Side 68-69, Læs eksempel 60 omhyggeligt. Besvar så mange som muligt af opgaverne [Kompendiet side 90-107]: 244, 245, 246 (246 bruger spm. fra tabel i Kompendiet side 82), 201, 204, 205, 216, 222, 223, 226, 228, 234, 239, 261 mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Orienter dig i opgaverne MIA 13.x og 14.x mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. Tag en bærbar PC med, der har installeret regneark fx excel, open office eller numbers. Gratis open-office programmer til windows og Mac kan hentes her: http://da.openoffice.org/ Gratis matematik-tegneprogram der kan bruges på nettet http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_content&task=blogcategory&id=70&itemid=57&lang=da (Du skriver formlen i input så tegner programmet grafen): [alternativt kan millimeterpapir til håndtegninger downloades herfra: http://www.frbvucuv.dk/matematik/funktionspapirer/ind-funktionspapirer.htm]. 7 af 23

Session 4 Dato og klokkeslæt: 11. februar kl. 13-16. Titel: Formler. Undervisere: Tomas Højgaard, og Peter Limkilde. Formel som begreb. Symbolbehandlingskompetence og formler. Begrebskort med bla. variabel, ligning og formel som begreber. Kort status vedrørende miniprojekt I. *Gregersen et al. (2008), s. 116-119. [Kompendiet side 123-125] Læs og bearbejd den anførte litteratur. Besvar så mange som muligt af opgaverne på side 117 i den angivne tekst [Kompendiet side 123] mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Øv dig i at behandle formler så meget du orker og har brug for ved hjælp af øvelserne på tekstens side 120-121 [Kompendiet side 126-127]. Orienter dig i opgaverne på tekstens side 122-124 [Kompendiet side 128-130] mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. Hovedvægten vil ligge på opgaverne på side 124.[Kompendiet side 130] 8 af 23

Session 5 og 6 Dato og klokkeslæt: 15. februar kl. 9-12 og 18. februar kl. 13-16. Titel: Miniprojekt I. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Arbejde med miniprojekt I. Projektgruppernes eget valg af relevant litteratur. Sørg for sammen med din gruppe at være så langt med miniprojekt I at I kan bruge tiden på sessionerne effektivt, bla. med henblik på at udnytte vores tilstedeværelse som vejledere. 9 af 23

Session 7 Dato og klokkeslæt: 22. februar kl. 9-12. Titel: Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport I. Faglig afrunding og formativ evaluering af modul I. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen og Peter Limkilde. Gruppevis kollegasparring vedrørende miniprojekt-rapport I. Formativ evaluering af kurset indtil nu. Overblik over kursets første modul. Opstart af arbejdet med begrebskort. Egen og makkergruppens projektrapport, samt litteraturen fra de øvrige sessioner i dette modul med henblik på repetition og overblik. Udarbejd miniprojekt-rapport I og aflever den elektronisk via bscw.ruc.dk senest lørdag d. 19. februar. Læs og forbered kritik af makkergruppens projektrapport, med fokus på opfyldelsen af det matematikfaglige mål med projektarbejdet. Makkergrupperne aftales på de forudgående sessioner. Orienter dig fx ved hjælp af hjemmesiderne http://www.graphic.org/concept.html og http://cmap.ihmc.us/ om, hvad det vil sige at udarbejde et begrebskort og hvad det er meningen man skal have ud af et sådant arbejde. Påbegynd arbejdet ved at lave et begrebskort med begreberne variabel, ligning og formel. 10 af 23

Session 8 Dato og klokkeslæt: 25. februar kl. 13-16. Titel: Om konstruktiv modelleringskompetence. Opstart af miniprojekt II. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen og Peter Limkilde. Matematisk modellering som begreb og som kompetence. Opstart af miniprojekt II. *Blomhøj (2006). [Komp. S. 42-63] *Clausen et al. (2006b), s. 90-101 og 115-117. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] *Jensen et al. (2002), s. 8-13. [Komp. s. 137-142] *Niss & Jensen (2002), s. 52-53. [Komp. s. 304-305] Supplerende: Clausen et al. (2006b), s. 81-90. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: Formuler for dig selv hvad du på baggrund af litteraturen mener kernen i matematisk modellering er. Arbejd et kvarters tid med hver af opgaverne MIA 21.1-21.3, og overvej hvad det svære ved hver opgave består i. Besvar udvalgte (efter egen interesse) af opgaverne MIA 22.x mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Overvej hvilken problemstilling du godt kan tænke dig at arbejde med som udgangspunkt for den matematiske modellering i miniprojekt II. Orienter dig eventuelt i opgaverne MIA 32.x mhp. at få inspiration til dette valg. 11 af 23

Session 9 Dato og klokkeslæt: 1. marts kl. 9-12. Titel: Sammenhænge. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Sammenhænge: Forskellige typer sammenhænge, - forskellige typer repræsentationer af funktioner *Antonius et al. (2000), s. 126-128. [Komp. s. 2-4] *Antonius et al. (2001), s. 92-97. [Komp. s. 17-22] *Gregersen et al. (2008), s. 88-91. [Komp. s. 108-111] *Jensen et al. (2006), s. 55-60. [Komp. s. 233-238] *Jessen et al. (1991), s. 29-39. [Komp. s. 253-263] Clausen et al. (2006b), s. 101-106. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] Clausen et al. (2006a), s. 7-9. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2] Læs og bearbejd den anførte litteratur. Begynd med Gregersen et al. (2008) som er den lettest tilgængelige, derefter Jensen et al. (2006) [Komp. 232-238]. Hjælp til bearbejdningen: Bemærk en funktion er en særlig sammenhæng, hvor der er en entydig værdi af den afhængige variabel til hver værdi af den uafhængige variabel. Bemærk at en funktion kan beskrives med ord eller en tabel eller en graf eller en regneforskrift. Grafer for forskellige udvalgte funktioner bliver rette linjer i koordinatsystemer med en eller flere akser, der har logaritmisk skala. Besvar så mange som muligt af opgaverne repetition:001-a)+b); 005 a)+b)+c); nyt: 009+017+018+025+026 i Clausen et al. (2006a), s. 7-9. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2] facit bag i bogen. Øvelse 1-9 i kompendiet side [155-159]. Øvelse 1 i Kompendiet s. 20 Orienter dig i opgaverne mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen: MIA 15.5-15.14; Øvelse 1-7 i Komp. s. 238; Ø1+Ø8+9 [Komp. s. 253-257]; Øvelse 319-322 [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2] facit bag i bogen. Ø1+Ø3+Ø4 [Komp. s. 259-263] mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. 12 af 23

Session 10 Dato og klokkeslæt: 4. marts kl. 13-16. Titel: Kvalitativ analyse af grafer. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Analyse (læsning) af grafer. *Jessen et. al (1991), s. 16-17 [Komp. side 245-246] *Jensen et al. (2002), s. 60-63. [Komp. side 155-158] *Clausen et. al. (2005b) side 68-70 [Komp. side 80-85] og side 80-85 [Komp. side 87-89] Clausen et al. (2006b), s. 6-9 og 27-32. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] Læs og bearbejd den anførte litteratur. Begynd med Jensen et al. (2002) som er den lettest tilgængelige. Det væsentlige er forståelse af begreberne: værdimængde definitionsmængde - begyndelsesværdi - skæring med akserne monotoniforhold voksende aftagende - typer af vækst - globalt maksimum/minimum. De tekniske udregninger er ikke så væsentlige, bortset fra beregning af hældning og regneforskrift for en ret linie; Hjælp til bearbejdningen: Besvar så mange som muligt af opgaverne 1-21 i *Jensen et. al. (2002) [kompendiet side 161-169] mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Orienter dig i opgaverne MIA 16.1-16.10 og 231+230+262+263+264 i Clausen et. al. (2005a) s. 65-69 [Komp. side 103-107] mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. 13 af 23

Session 11 Dato og klokkeslæt: 8. marts kl. 9-12. Titel: Kvalitativ analyse af grafer: Hældningstal. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Tangenter, tangentens hældning, f (x), og optimering. Clausen et al. (2006b), s. 10-14, s. 19-26 s. 37-39 og s. 43-47. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] Clausen et al. (2006a), s. 9. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2] *Limkilde (2009a). [Komp s. 287] Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: En tangent til grafen for en funktion er en linje, der følger grafen og snitter den i et enkelt røringspunkt. Tangenten har som alle skrå linjer et hældningstal. Dette hældningstal kaldes for differentialkvotienten for f(x) i røringspunktet. Bemærk skivemåderne på side 21, der viser måder på hvilke man kan angive denne differentialkvotient som variabel i formler. Husk hele tiden den grafiske betydning dvs. alle de mærkelige formler er altså (bare) formler og regler for hældningstal på de linjer, der hedder tangenter. Når tangentens hældningstal er et positivt tal vil grafen være voksende i et område omkring røringspunktet. Toppunkter optræder, hvor tangenten er vandret dvs. hvor tangentens hældningstal er lig 0. Maksimum og minimum for en funktion findes derfor hvor f (x) = 0. Se i kompendiet side 77-82. Besvar så mange som muligt af opgaverne: Hvad er hældningen på grafen i figur 218? Find koordinaterne for de punkter, der har vandret tangent og bestem for hvilke x- værdier graferne vokser og aftager i figur 231, 232, 240, 241, 242, 243 mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Orienter dig i opgaverne MIA 16.11 samt 139, 303, 304, 308, 305, 306, 314 [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2] og opg. 238, 230, 240, 241 [i kompendiet side 95] (tegn evt grafen først i geogebra eller grafregner), Ø4 [side 33 i kompendiet] (vink: hvis f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d så er tangenthældningen givet ved f (x) = 3ax 2 +bx+c) mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. 14 af 23

Session 12 og 13 Dato og klokkeslæt: 11. marts kl. 13-16 og 15. marts kl. 9-12. Titel: Miniprojekt II. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Arbejde med miniprojekt II. Projektgruppernes eget valg af relevant litteratur. Sørg for sammen med din gruppe at være så langt med miniprojekt II at I kan bruge tiden på sessionerne effektivt, bla. med henblik på at udnytte vores tilstedeværelse som vejledere. 15 af 23

Session 14 Dato og klokkeslæt: 18. marts kl. 13-16. Titel: Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport II. Faglig afrunding og formativ evaluering af modul II. Undervisere: Tomas Højgaard, Kasper Bjering Søby Jensen og Sif Skjoldager. Gruppevis kollegasparring vedrørende miniprojekt-rapport II. Formativ evaluering af kurset indtil nu. Overblik over kursets andet modul. Videre arbejde med begrebskort, nu med afsæt i modul I og II set som helhed. Egen og makkergruppens projektrapport, samt litteraturen fra de øvrige sessioner i dette modul med henblik på repetition og overblik. Udarbejd miniprojekt-rapport II og aflever den elektronisk via bscw.ruc.dk senest onsdag d. 16. marts. Læs og forbered kritik af makkergruppens projektrapport, med fokus på opfyldelsen af det matematikfaglige mål med projektarbejdet. Makkergrupperne aftales på de forudgående sessioner. Nedskriv hvad du opfatter som de mest centrale begreber fra modul II, og arbejd med hvilke begrebsrelationer du opfatter som de væsentligste og hvilke af disse relationer du har vanskeligt ved at formulere som led i begrebskort-arbejdet. 16 af 23

Session 15 Dato og klokkeslæt: 22. marts kl. 9-12. Titel: Om modelleringskompetence og kritisk kommunikation. Opstart af miniprojekt III. Undervisere: Tomas Højgaard, Kasper Bjering Søby Jensen og Sif Skjoldager. Repetition af betydningen af matematisk modellering som begreb og som kompetence, med fokus på den kritisk undersøgende del af modelleringsprocessen. Opstart af miniprojekt III. Clausen et al. (2006b), s. 129-143. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] *Limkilde (2009b og 2009c). [Kompendiet, side 288-290] *Niss & Jensen (2002), s. 52-53 og 60-61. [Kompendiet, side 304-305 og 312-313] Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: Hvordan vil du forklare hvad matematisk modellering er til en person som ikke har hørt om det før? Hvad har teksten af Inge Henningsen i Clausen et al. (2006b) side 129-135 [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] at gøre med matematisk modellering? Arbejd et kvarters tid med hver af opgaverne MIA 24.1-24.3, og overvej hvilke dele af den matematiske modelleringsproces disse opgaver handler om. Overvej hvilken problemstilling du godt kan tænke dig at arbejde med som udgangspunkt for den kritisk undersøgende tilgang til matematisk modellering i miniprojekt III. Orientér dig eventuelt i opgaverne MIA 33.x mhp. at få inspiration til dette valg. 17 af 23

Session 16 Dato og klokkeslæt: 25. marts kl. 13-16. Titel: Tilfældighed og sandsynlighedsmodeller. Undervisere: Tomas Højgaard, Kasper Bjering Søby Jensen og Peter Limkilde. Sandsynlighed teoretisk og statistisk. Sandsynlighedsmodeller. Begreberne variabel, stokastik og stokastisk variabel. Clausen et al. (2006b), s. 144-156. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: Hvad er sandsynlighed egentlig for noget? Hvad er forskellen på empirisk sandsynlighed og a priori sandsynlighed? Hvordan kan man med hverdagsord forklare hvad en model er? Hvad er en sandsynlighedsmodel? Hvad er en stokastisk variabel og hvad har det at gøre med sandsynlighedsmodeller? Besvar så mange som muligt af øvelserne 501-508 på side 46-47 i Clausen et al. (2006a) [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2] og opgaverne MIA 17.1-17.3 mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Orienter dig i opgaverne MIA 17.4-17.21 mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. 18 af 23

Session 17 Dato og klokkeslæt: 29. marts kl. 9-12. Titel: Sandsynlighedsmodeller: Binomialfordelinger. Undervisere: Tomas Højgaard, Kasper Bjering Søby Jensen og Peter Limkilde. Sandsynlighedsmodeller. Binomialfordelinger. Clausen et al. (2006a), s. 121-134. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2] Clausen et al. (2006b), s. 157-165. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] Husk PC med regneark. Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: Binomialfordelingen er en teoretisk matematikmodel. Den tildeler en sandsynlighed til de hændelser, der svarer til at få et bestemt antal succes er i en række gentagelser af samme basis-eksperiment. Fx at få 2 succeser en række på 10 eksperimenter. Den anvendes ved stikprøver med tilbagelægning, hvor man ser efter et bestemt kendetegn (succes) eller forsøgsrækker, hvor en række uafhængige forsøg med kun to udfald succes/fiasko gentages. Forudsætninger ved stikprøver: 1) Populationen har to slags elementer: med og uden et bestemt kendetegn (succes). 2) I populationen er andelen med kendetegnet (succes) konstant og kaldes p. 3) Stikprøven har n elementer, der vælges simpelt tilfældigt med tilbagelægning. 4) Man tæller med variablen X antallet af elementer i stikprøven, der har kendetegnet (succes). Forudsætninger ved forsøgsrækker: 1) Hvert basiseksperiment har kun to mulige udfald: succes/fiasko. 2) De enkelte eksperimenter er uafhængige dvs. sandsynligheden for succes, p, er den samme i hvert basiseksperiment uanset udfaldet af de foregående eksperimenter. 3) Man tæller (med variablen X) antallet af succes er i en række på i alt n eksperimenter. I hver opgave afgør om det drejer sig om stikprøver eller gentagne forsøg. I hver opgave tænk over om forudsætningerne holder. Ved beregninger husk at sandsynligheden for noget er (100%- sandsynligheden for det modsatte ). Besvar så mange som muligt af opgaverne 519-529 i Clausen et al. (2006a), s. 49-51 [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2] facit bag i bogen, og opg. 109-121 i Jessen (1994) side 190-192 [Komp. side 283-285] mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. OBS: Regneark til udregning af Binomialsandsynligheder ligger på session 17 i BSCW i formaterne Numbers til Mac og Openoffice (.ods) til Windows/Mac og Excel til Windows. Punktsandsynlighed er sandsynligheden for lige netop at få fx 2 succeser ud af 10 forsøg mens kumuleret sandsynlighed tilsvarende er sandsynligheden for at få op til og med 2 ud af 10 mulige. Orienter dig i opgaverne MIA 18.x mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. 19 af 23

Session 18 Dato og klokkeslæt: 1. april kl. 13-16. Titel: Sandsynlighedsmodeller: Test for uafhængighed (χ 2 -test). Undervisere: Tomas Højgaard, Kasper Bjering Søby Jensen og Peter Limkilde Sandsynlighedsmodeller: Test for uafhængighed (χ 2 -test). Clausen et al. (2006b), s. 182-189. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B2] *Malmberg (1995). χ 2 -Tabeller [Kompendiet side 291-294] Supplerende: *Bertelsen (2005). [Kompendiet side 40-41] *Limkilde (2009b) [Kompendiet side 288-289] *Limkilde (2009c) [Kompendiet side 290] Clausen et al. (2006a), s. 137-142. [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2] Husk PC med regneark. Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: OBS: En p-fraktil (i en sandsynlighedsfordeling) er et tal på x-aksen, et tal, der har den egenskab, at sandsynligheden for at få en værdi, der er mindre eller lig tallet, er p. Fraktiler kan beregnes eller slås op i tabeller. Besvar så mange som muligt af opgaverne MIA 19.1, 19.2 ; opgave 5025, 5026, 5030, 5031 [Bog: Gyldendals gymnasiematematik, Arbejdsbog B2], facit bag i bogen, mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Hypotesetest består i at afgøre om en hypotese (fx uafhængighed mellem køn og hvilket parti man stemmer på) kan forkastes på baggrund af et talmateriale indsamlet i en tilfældigt valgt stikprøve. 1) Man beslutter sig for hvor sjældne hændelser må være, før vi mener, at de ikke er opstået ved et tilfælde. Fx 5%. 2) Ud fra den givne hypotese (fx uafhængighed mellem køn og hvilket parti man stemmer på) beregnes hvor stor en afvigelse (den kritiske værdi), vi kan tillade mellem de teoretisk forventede tal (E) og de faktiske observerede tal (O) i rubrikkerne i en tabel med stikprøvens resultater, 3) Stikprøven indsamles og kommer afvigelsen over den tilladte værdi [fx som her: 95%- fraktilen], vil vi mene, at afvigelsen ikke kan være opstået ved tilfældig variation. Hypotesen kan forkastes. Note: Afvigelsen angives som værdien af en variabel Q, der beregnes efter en 2 ( O E) formel givet ved i hver rubrik at udregne tallet,og så lægge tallene for alle rubrikker sammen. Resten (fx beregningen af E og Q og Q kritisk er regneteknik og opslag i E tabeller). Orienter dig i opgaverne MIA 19.6-19.9 mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. 20 af 23

Session 19 og 20 Dato og klokkeslæt: 5. april kl. 9-12 og 8. april kl. 13-16. Titel: Miniprojekt III. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Arbejde med miniprojekt III. Projektgruppernes eget valg af relevant litteratur. Sørg for sammen med din gruppe at være så langt med miniprojekt III at I kan bruge tiden på sessionerne effektivt, bla. med henblik på at udnytte vores tilstedeværelse som vejledere. 21 af 23

Session 21 Dato og klokkeslæt: 12. april kl. 9-12. Titel: Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport III. Faglig afrunding af modul III. Skriftlig test. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Gruppevis kollegasparring vedrørende miniprojekt-rapport III. Overblik over kursets tredje modul. Videre arbejde med begrebskort, nu med afsæt i kurset som helhed. Skriftlig test. Egen og makkergruppens projektrapport, samt litteraturen fra de øvrige sessioner i dette modul med henblik på repetition og overblik. Udarbejd miniprojekt-rapport III og aflever den elektronisk via bscw.ruc.dk senest onsdag d. 13. april. Læs og forbered kritik af makkergruppens projektrapport, med fokus på opfyldelsen af det matematikfaglige mål med projektarbejdet. Makkergrupperne aftales på de forudgående sessioner. Nedskriv hvad du opfatter som de mest centrale begreber fra modul III, og arbejd med hvilke begrebsrelationer du opfatter som de væsentligste og hvilke af disse relationer du har vanskeligt ved at formulere som led i begrebskort-arbejdet. Besvar/repetér så mange som muligt af opgaverne stillet her i kursusplanen i forbindelse med session 2-4, 9-11 og 16-18 mhp. forberedelse til testen. 22 af 23

Session 22 Dato og klokkeslæt: 15. april kl. 13-16. Titel: Aflevering af begrebskort. Repetition af kursets indhold. Evaluering af kurset som helhed. Undervisere: Kasper Bjering Søby Jensen, Peter Limkilde og Sif Skjoldager. Feedback på besvarelserne af testen. Overblik over og repetition af kursets samlede indhold. Kollegasparring vedrørende begrebskort. Klarhed over processen omkring den summative evaluering. Kursusevaluering. Ingen særskilt. Udarbejd begrebskortet og tag fire udskrifter med til undervisningen. Tænk tilbage på besvarelsen af testen. Hvad vil du på den baggrund selv pege på du har godt styr på, og hvad kunne du godt trænge til at arbejde mere med? Hvilke spørgsmål i forlængelse af testen kunne du godt tænke dig at få svar på? Besvar skriftligt de på forhånd via bscw.ruc.dk udleverede spørgsmål som led i den samlede kursusevaluering, og tænk over eventuelle mundtlige kommentarer. Læs afsnittet om evaluering og eksamen på de første sider her i kursusplanen og formuler eventuelt spørgsmål til den summative evaluering, hvis der er ting der fremstår uklart. 23 af 23