Matematik i biologi Faglig udvikling i praksis (FIP)

Matematik i biologi Faglig udvikling i praksis (FIP) 2. Marts 2016 Gl. Hellerup Gymnasium Frank Grønlund Jørgensen Tørring Gymnasium

Biologi er et kvantitativt fag På alle niveauer, også c-niveau Udvalgte faglige mål fra læreplanen for biologi C på STX (2.1) - bearbejde og fortolke biologiske data - analysere figurer og data og sætte dem i relation til relevante forklaringsmodeller Udvalgte faglige mål fra læreplanen for biologi C på HTX (2.1) - opsamle og bearbejde resultater fra kvalitative og kvantitative eksperimenter og undersøgelser under vejledning - analysere og forklare resultater fra eksperimenter og undersøgelser under hensyntagen til fejlkilder og usikkerhed - dokumentere og præsentere eksperimenter og resultater fra eksperimentelt arbejde Udvalgte faglige mål fra læreplanen for naturvidenskabelig faggruppe på HF (2.1) opsamle data og bearbejde resultater fra kvalitative og kvantitative eksperimenter og undersøgelser analysere figurer og data og sætte dem i relation til relevante forklaringsmodeller

Samarbejde med matematik? Udvalgte faglige mål fra læreplanen for matematik C på STX (2.1 Faglige mål) - anvende simple statistiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale, kunne stille spørgsmål ud fra modellen, have blik for, hvilke svar der kan forventes, og være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog - anvende variabelsammenhænge i modellering af givne data, kunne foretage fremskrivninger og forholde sig reflekterende til disse samt til rækkevidde af modellerne B-niveau - anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale eller fænomener fra andre fagområder, gennemføre hypotesetest, kunne stille spørgsmål ud fra modellen og have blik for, hvilke svar der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog Udvalgte faglige mål fra læreplanen for matematik C på STX (2.2 - Kernestof) - regningsarternes hierarki, ligningsløsning med grafiske og simple analytiske metoder, procent- og rentesregning, absolut og relativ ændring - simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale, grafisk præsentation af et statistisk materiale, simple empiriske statistiske deskriptorer - xy-plot af datamateriale samt karakteristiske egenskaber ved lineære sammenhænge, eksponentielle sammenhænge og potenssammenhænge, anvendelse af regression. B-niveau - simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale, grafisk præsentation af et statistisk materiale, empiriske statistiske deskriptorer, stikprøvers repræsentativitet og chi-i-anden test

Databehandling deskriptiv statistik Biologisk data er kendetegnet ved at have flere niveauer af variation end måleusikkerheder og fejlkilder, og kan derfor være yderst komplekse størrelser. Genetisk variation (og epigenetisk variation) Tidsbetinget variation Miljøbetinget variation Kombinationer af ovenstående Det gør at fx deskriptiv statistik, regression og andre typer for modellering, samt hypotesetests er velegnede til analyse og fortolkning af biologiske data. Mere systematisk brug af matematiske færdigheder i biologi, kan potentielt hjælpe med at strukturere elevernes dataanalyse og potentielt øge forståelsen af biologiske fænomener, og medvirke til at beskrive kompleksiteten i biologiske data. Måske kan brug af de matematiske færdigheder i biologi også øge den matematiske forståelse og fortroligheden med diverse matematiske metoder?

Konkrete eksempler - Antiobiotikaresistens Opsamling af resultater - Korrigerede inhiberingszoner areal (mm 2 ) Antibiotika Replikat 1 Replikat 2 Replikat 3 Replikat 4 Replikat 5 Replikat 6 Tetracyclin 577 544 784 414 673 636 Ampicillin 216 286 344 189 457 83 Erythromycin 25 85 420 0 11 470 Streptomycin 0 420 545 0 16 0 Neomycin 452 420 891 673 19 309 Penicillin 0 309 0 0 0 0 Chloramphenicol 678 891 493 929 344 419 Tabel 1. Resultater fra klasseforsøg med antibiotikaresistens på E. coli. Normal databehandling kunne være at eleverne fx laver et barplot over deres eget forsøg, eller eventuelt beregner gennemsnit for alle gruppers data og laver et barplot over disse data. Areal korrigeret inhiberingszone (mm 2 ) 800 700 600 500 400 300 200 100 0 Matematik C - anvende simple statistiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale, kunne stille spørgsmål ud fra modellen, have blik for, hvilke svar der kan forventes, og være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog. - simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale, grafisk præsentation af et statistisk materiale, simple empiriske statistiske deskriptorer.

Konkrete eksempler - Antiobiotikaresistens Et boksplot kan bruges til at analysere og fortolke de opnåede resultater, på en mere systematisk og dybdegående måde. Minimumsværdi Maximumsværdi Median (lodret streg i boksen) Middelværdi (punkt) Kvartiler Opsamling af resultater - Korrigerede inhiberingszoner areal (mm 2 ) Antibiotika Replikat 1 Replikat 2 Replikat 3 Replikat 4 Replikat 5 Replikat 6 Tetracyclin 577 544 784 414 673 636 Ampicillin 216 286 344 189 457 83 Erythromycin 25 85 420 0 11 470 Streptomycin 0 420 545 0 16 0 Neomycin 452 420 891 673 19 309 Penicillin 0 309 0 0 0 0 Chloramphenicol 678 891 493 929 344 419 Tabel 1. Resultater fra klasseforsøg med antibiotikaresistens på E. coli. Korrigerede inhiberingszoner (mm 2 ) Matematik C - anvende simple statistiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale, kunne stille spørgsmål ud fra modellen, have blik for, hvilke svar der kan forventes, og være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog. - simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale, grafisk præsentation af et statistisk materiale, simple empiriske statistiske deskriptorer.

Konkrete eksempler - Hæmatokritværdi Hæmatokritværdi (%) Drenge Piger 42,9 41,2 41,1 41,5 39,8 40,0 43,8 40,3 41,2 39,6 Normal databehandling kunne være at eleverne fx beregner gennemsnit for drenge og piger og sammenligner disse. Alternative muligheder: Boksplots for de to grupper (drenge og piger) Histogrammer (hvis datamaterialet er stort nok) t-test: H 0 : μ drenge = μ piger (fx SRO/SRP). I det pågældende tilfælde p < 0,01. 42,0 40,6 43,3 40,8 41,9 39,8 42,5 41,2 44,9 40,9 41,6 41,8 43,2 40,6 41,4 41,5 40,7 39,9 39,9 Tabel 1. Simulerede hæmatokritværdiresultater Drenge Piger Matematik C - anvende simple statistiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale, kunne stille spørgsmål ud fra modellen, have blik for, hvilke svar der kan forventes, og være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog. - simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale, grafisk præsentation af et statistisk materiale, simple empiriske statistiske deskriptorer.

Konkrete eksempler Grafisk fremstilling Mange elever har problemer med at lave fornuftige grafiske fremstillinger af simple dataset, fx et traditionelt xy-plot. Derudover har mange problemer med simple matematiske operationer som at beregne % Koncentration Døde Daphnia magma mg/l Ud af 250 i % 0 0 0 2 0 0 3 3 1 4 14 6 6 45 18 8 95 38 10 145 58 15 211 84 25 244 98 35 250 100 Tabel 1. Økotoksikologisk undersøgelse af et hormonforstyrrende stof. Simulerede data. 120 100 80 60 40 20 0-20 0 10 20 30 40 120 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Andel døde dafnier (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 Koncentration af stoffet (mg/l) Bløde kurver (frihåndstegning). Mangel på størrelser og enheder på akserne. Stykvis lineær. Mangel på størrelser og enheder på akserne. Kategori i stedet for x- værdier på x-aksen. Korrekt, men måske svær at aflæse særlige punkter, uden matematisk model (regression). Matematik C xy-plot af datamateriale samt karakteristiske egenskaber ved lineære sammenhænge, eksponentielle sammenhænge og potenssammenhænge, anvendelse af regression

Konkrete eksempler Transformation af data Det specifikke eksempel kunne fx bruges i SRP, eller i forbindelse med A-niveau forløb om økotoksikologi. Log-transformering af x-værdierne, og probit-transformering af y-værdierne (% døde) giver en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng som man nemt kan lave regression på. Dernæst kan værdier som fx LC50 bestemmes enten ved aflæsning eller analytisk vha. regressionsligning. PP = 1 2ππ YY 5 1 ee 2 uu2 dddd P = % døde i forsøget Y = Den tilsvarende probit Koncentration Log koncentration Døde Daphnia magma mg/l Log mg/l Ud af 250 i % Probit % corrected (Randhawa) 0 0,0000 0 0 2 0,3010 0 0 1,9098 * corrected (0,1%) 3 0,4771 3 1 2,6700 4 0,6021 14 6 3,4500 6 0,7782 45 18 4,0800 8 0,9031 95 38 4,6900 10 1,0000 145 58 5,2000 15 1,1761 211 84 5,9900 25 1,3979 244 98 7,0500 35 1,5441 250 100 8,0900 * corrected (99,9%) Tabel 1. Økotoksikologisk undersøgelse af et hormonforstyrrende stof. Simulerede data, log transformerede koncentationer, og probittransformerede andel døde. Simulerede data. Probit af andel døde dafnier 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 y = 4,8434x + 0,3903 R² = 0,9967 Log LC 50 0 0,5 1 1,5 2 Log konc. (Log mg/l) SRP Matematik A kernestof ubestemte og bestemte integraler, logaritmefunktioner, anvendelse af regression

Konkrete eksempler Bestemmelse af arealer Bestemmelse af fx GI for fødevarer baseres på estimering af arealer Håndtegne en kurve og bestemme areal ved optælling af tern, bestemmelse af masse. Fit en polynomieregression og bestem arealer vha. Bestemte integraler (A-niveau matematik). Kan løses i hånden eller let vha. CAS-regneprogrammer. Herunder er et eksempel hvor fasteværdien er fratrukket alle målinger. Blodsukker (mmol glukose/l) 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 y = -0,0008x 2 + 0,0708x R² = 0,99 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tid (min) 90 0 0,0008xx 2 + 0,0708xx dddd = L 1 3 0,0008xx3 + 1 90 2 0,0708xx2 = 194,4 + 286,74 (0 + 0) = 92,34 (mmol glukose * min) / 0 SRP Matematik A kernestof ubestemte og bestemte integraler, anvendelse af regression

Konkrete eksempler - Vækstmodeller I biologi er både lineære, eksponentielle, potens og logistiske vækstmodeller meget brugbare. De tre første undervises på matematik C-niveau - det samme gør middelværdi, spredning og varians. Grafer der viser både middelværdi og spredning kan være nyttige Dafniers kropslængde (mm) som funktion af alder Alder (døgn) 15 C 15 C 15 C Middel Spredning 20 C 20 C 20 C Middel Spredning 0 0,47 0,46 0,46 0,46 0,005 0,47 0,46 0,46 0,46 0,005 2 0,53 0,6 0,58 0,57 0,029 0,58 0,56 0,57 0,57 0,008 4 0,58 0,72 0,63 0,64 0,058 0,69 0,67 0,67 0,68 0,009 6 0,65 0,78 0,7 0,71 0,054 0,75 0,77 0,81 0,78 0,025 8 0,72 0,86 0,81 0,80 0,058 0,85 0,86 0,91 0,87 0,026 10 0,8 0,96 0,92 0,89 0,068 0,89 0,97 1,01 0,96 0,050 12 0,86 1,09 1,04 1,00 0,099 0,97 1,09 1,16 1,07 0,078 14 0,94 1,19 1,09 1,07 0,103 1,03 1,19 1,22 1,15 0,083 16 1,01 1,26 1,18 1,15 0,104 1,16 1,3 1,33 1,26 0,074 18 1,07 1,37 1,24 1,23 0,123 1,31 1,33 1,5 1,38 0,085 20 1,16 1,41 1,38 1,32 0,111 1,38 1,42 1,59 1,46 0,091 22 1,23 1,48 1,45 1,39 0,111 1,48 1,53 1,7 1,57 0,094 24 1,29 1,55 1,53 1,46 0,118 1,59 1,59 1,79 1,66 0,094 26 1,39 1,64 1,57 1,53 0,105 1,72 1,71 1,89 1,77 0,083 28 1,48 1,69 1,63 1,60 0,088 1,87 1,83 2,04 1,91 0,091 30 1,59 1,82 1,76 1,72 0,097 2,02 1,94 2,18 2,05 0,100 Tabel 1. Dafniers kropslængde i mm målt på 6 forskellige populationer ved to forskellige temperaturer ved en lav fødekoncentration. Simulerede data. y = 0,041x + 0,4807 R² = 0,9985 Matematik C xy-plot af datamateriale samt karakteristiske egenskaber ved lineære sammenhænge, eksponentielle sammenhænge og potenssammenhænge, anvendelse af regression Kropslængde (mm) Kropslængde (mm) 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0 10 20 30 40 y = 0,0512x + 0,4571 R² = 0,9982 Alder (døgn) y = 0,041x + 0,4807 R² = 0,9985 0 10 20 30 40 Alder (døgn)

Konkrete eksempler - Hypotesetests I biologi findes mange eksempler på data hvor forskellige hypoteser kan testes vha. χ 2 -tests, fx Genetiske modeller (fx simple 1- eller 2-gens udspaltninger af forsøg med byg, raps, majs, bananfluer m.fl.) Populationsgenetiske modeller (fx undersøgelse af HW-proportioner) Associationskortlægning Der findes også rigtig mange typer data hvor t-tests eller andre tests med fordel kan benyttes, men dette er vist nok ikke kernestof i matematik på STX. Har de lært de grundlæggende principper for hypotesetests, teststørrelse, signifikansniveau og p-værdi kan man efter min mening dog godt overveje at lære dem at anvende fx en student t-test, og fortolke på resultatet. Dette vil muliggøre en mere nuanceret dataanalyse ved eksperimentelt arbejde, ofte står vi med datasæt hvor det måske kunne være interessant at sammenligne middelværdien. Fx. Reaktionstid (højre/venstre hånd, forskellige stimuli, forskellige forhold, osv.) Kondital (drenge/piger, trænede/utrænede, tidsserier under træningsprogram, osv.) Størrelse på organismer under forskellige forhold Antal i forskellige prøver (sædceller, kimtal, dyr/planter på forskellige biotoper) Koncentration af forskellige stoffer i forskellige prøver (næringsstoffer, tungmetaller, ph, O 2, CO 2, osv.) Hæmatokritværdi hos drenge og piger (se tidligere dias) Forskellige fysiologiske parametre i forskellige grupper (muskelstyrke, blodtryk, puls, hudtemperatur, osv.) Matematik B anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale eller fænomener fra andre fagområder, gennemføre hypotesetest, kunne stille spørgsmål ud fra modellen og have blik for, hvilke svar der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog

Konkrete eksempler - Hypotesetests Eksempel baseret på forsøg med bananfluer. To forskellige krydsninger med samme han (simulerede data). Parental krydsning 1: Almindelig kropsfarve (han) x Almindelig kropsfarve (hun) F1 udspaltning Almindelig kropsfarve (han) 142 Almindelig kropsfarve (hun) 156 Mørk kropsfarve (han) 51 Mørk kropsfarve (hun) 46 Parental krydsning 2: Almindelig kropsfarve (han) x Mørk kropsfarve (hun) F1 udspaltning Almindelig kropsfarve (han) 97 Almindelig kropsfarve (hun) 101 Mørk kropsfarve (han) 99 Mørk kropsfarve (hun) 104 Hypotesen udspringer af et bud på en genetisk model og en indledende analyse af data 1 gen med to alleller (M/m) MM og Mm (Almindelig kropsfarve) mm (mørk kropsfarve) Begge fluer i parentalkrydsning 1 har genotypen Mm, og hunnen i parentalkrydsnings 2 genotypen mm. Ud fra ovennævnte vil man forvente, hvis modellen er korrekt, at udspaltningsforhold er uafhængig af køn, så derfor kan data lægges sammen. Matematik B anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale eller fænomener fra andre fagområder, gennemføre hypotesetest, kunne stille spørgsmål ud fra modellen og have blik for, hvilke svar der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog

Konkrete eksempler - Hypotesetests Ud fra buddet på den genetiske model, beregnes nu det forventede antal, her vises kun første krydsning. Parental krydsning 1: Almindelig kropsfarve (Mm) x Almindelig kropsfarve (Mm) / M m H 0 : 3 (alm.) :1 (mørk) fænotypisk udspaltningsforhold M MM Mm m Mm mm F1 - udspaltningsforhold Observeret Forventet OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO ffffffffffffffffff 2 ffffffffffffffffff Almindelig kropsfarve 298 (3/4)* 395 = 296,25 0,010338 Mørk kropsfarve 97 (1/4)* 395 = 98,75 0,031013 I alt 395 395 Teststørrelsen = 0,04135 Der er en frihedsgrad i denne test (2 kategorier). En teststørrelse på 0,04135 giver en p-værdi på ca. 0,84, og derfor giver data ikke belæg for at forkaste nulhypotesen (den foreslåede genetiske model). Matematik B anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale eller fænomener fra andre fagområder, gennemføre hypotesetest, kunne stille spørgsmål ud fra modellen og have blik for, hvilke svar der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog

Konkrete eksempler - Populationsgenetik Evnen til at smage det bitre stof PTC eller ej bestemmes bl.a. af to alleller af genet TAS2R38 på kromosom 7, disse kan bestemmes vha. simpel gelelektroforese, så genotype og fænotype kan sammenholdes. Ved hjælp af PCR kan man fx opformere et 221 bp langt stykke af dette gen. De to alleller i genet afviger med en punktmutation i det 221 bp lange stykke. Den dominante allel (T) gør at man kan smage PTC. T-Allellen indeholder en 5 GGCC - 3 sekvens Kan skæres med HaeIII-restriktionsenzymet, så der dannes et stykke på 44 bp og et på 177 bp. t-allellen indeholder en punktmutation så stykket i stedet er 5 - GGGC 3 Kan derfor ikke skæres med HaeIII-restriktionsenzymet. I en undersøgelse af 175 gymnasieelever har man fået følgende resultater. Homozygote smagere (TT): 37 Heterozygote smagere (Tt): 83 Homozygote ikke-smagere (tt): 55 a) Beregn allelfrekvenserne (p, q) i stikprøven, og beregn den forventede genotypefordeling under antagelse af HW-proportioner. pp = ff TT = 2 37 + 84 = 0,45 qq = ff tt = 1 ff TT = 1 0,45 = 0,55 2 (37 + 83 + 55) ff TTTT = pp 2 = 0,45 2 = 0,2012 ffffffffffffffffff aaaaaaaaaa mmmmmm gggggggggggggggggg TTTT = 0,2012 175 = 35,21 ff TTTT = 2 pp qq = 2 0,55 ffffffffffffffffff aaaaaaaaaa mmmmmm gggggggggggggggggg TTTT = 2 0,3040 0,2012 175 = 86,57 ff tttt = qq 2 = 0,55 2 = 0,3040 ffffffffffffffffff aaaaaaaaaa mmmmmm gggggggggggggggggg tttt = 0,3040 175 = 53,21 χ2-teststørrelse = 0,30 1 frihedsgrad, kritisk værdi 3,841 P-værdi = 0,58 Konklusion: HW-proportioner i populationen kan ikke forkastes.