RESEARCH PAPER. Nr. 5, Prisoptimering i logitmodellen under konkurrence. Jørgen Kai Olsen

RESEARCH PAPER Nr. 5, 004 Prisoptimering i logitmodellen under onurrence af Jørgen Kai Olsen INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG PLADS 3, DK-000 FREDERIKSBERG TEL: +45 38 5 00 FAX NO: +45 38 5 0

Prisoptimering i logitmodellen under onurrence Jørgen Kai Olsen Institut for Afsætningsøonomi Handelshøsolen i København 004

Indholdsfortegnelse Side. Indledning 3. Modelonstrutionen 4. Generelle forudsætninger 4. Brugerandelen 4.3 Købssandsynligheden for produtategorien 5.4 Maredsandelen for de mærer 7.5 Købssandsynligheden for de mærer 8.6 Afsætningen af de mærer 0.7 Profitten for de mærer 0 3. Prisonurrencen under duopol 3. Generelle forudsætninger 3. Udgangssituationen 3.3 Autonom handlemåde 3 3.4 Ativ prisonurrenceligevægt 4 3.5 Asymmetris prisfastsættelse 5 3.6 Proportional prisfastsættelse 6 3.7 Neutraliseret prisfastsættelse 8 3.8 Prisrig 0 3.9 Monopol 3.0 Prisaftale 4. Konlusion Litteraturfortegnelse 4

. Indledning I artilen Prisoptimering i logitmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd (Olsen 003 C) har vi opstillet to simple logitmodeller med un én forlarende variabel for forbrugernes valg af et givet mære nemlig prisen for det pågældende mære. I den ene af disse modeller udviser forbrugerne homogen adfærd mht. deres valg af mære, medens forbrugerne i den anden model udviser heterogen adfærd. For disse to modeller har vi endvidere i artilen bestemt den optimale pris, den optimale øbssandsynlighed og den masimale forventede profit dels generelt, dels for et onret esempel. Endelig har vi i artilen draget en ræe generelle onlusioner mht. spørgsmålet om, hvorledes virsomheden bør tilrettelægge sin loyalitetspoliti over for maredets forbrugere. Problemstillingen i nærværende artiel er at generalisere ovennævnte logitmodel - der som nævnt un besriver forbrugerens valg af et enelt mære og derfor ie behandler onurrencen på det pågældende mared - til en model, der dels giver en mere detaleret besrivelse af forbrugerens øbsadfærd, dels besriver forbrugerens valg mellem forsellige mærer under onurrence. Mere præcist er problemstillingen, at opstille en model for Brugerandelen Købssandsynligheden for produtategorien Maredsandelen for de mærer Købssandsynligheden for de mærer Afsætningen af de mærer og Profitten for de mærer hvor samtlige begreber defineres nedenfor. Endvidere vil vi med udgangspunt i et onret esempel vise hvorledes den lassise øonomise teori for prisonurrence under duopol (som forudsættes endt) forløber i den i artilen opstillede model.

Med henbli på at simplificere fremstillingen vil vi opstille samtlige modeller under den antagelse, at forbrugerne udviser homogen forbrugeradfærd. Men det er vigtigt at bemære, at modellerne under heterogen forbrugeradfærd formuleres og optimeres på principielt samme måde som modellerne under homogen forbrugeradfærd.. Modelonstrutionen. Generelle forudsætninger I det følgende betragter vi et mared, hvor virsomheder hver udbyder ét mære inden for en given produtategori til en målgruppe på i alt N forbrugere. Det forudsættes, at de N forbrugere bortset fra stoastis variation udviser identis (dvs. homogen) øbsadfærd. Endvidere forudsættes det, at de eneste variable, der påvirer forbrugernes øbsadfærd, er den pris, som hver af de udbydere fastsætter for deres mære i en given beslutningsperiode. Endelig forudsættes det, at den betragtede beslutningsperiode er så ort, at enhver forbruger høst foretager ét øb af produtategorien i løbet af beslutningsperioden. For så vidt angår antagelsen om, at de udbyderes pris for deres mærer er modellens eneste forlarende variable, er det vigtigt at bemære, at modelonstrutionen vil blive foretaget således, at det (i hvert tilfælde i princippet) er forholdsvis simpelt at udbygge modellen ved at inddrage yderligere forlarende variable i den.. Brugerandelen Selv om der er N forbrugere på det betragtede mared, vil det være en lar undtagelse, at alle N forbrugere rent fatis også er brugere af (dvs. overhovedet øber) den betragtede produtategori. Dette syldes, at maredets (eller målgruppens) størrelse som hovedregel fastlægges subetivt af brugeren af modellen (som fx an være en af de udbydere), og at denne fastlæggelse ofte ser ud

fra en ortlægning af forsellige arateristia hos de potentielle forbrugere såsom forbrugerens øn, alder, bopæl, indomst og erhverv. Det er derfor lart, at brugeren af modellen ie an være sier på, at en forbruger, der besidder de af ham (subetivt) definerede arateristia, rent fatis også er bruger af produtategorien. (Produtategorierne alohol, toba, te, affe, sli, aviser og ugeblade er esempler på denne problemstilling). I det følgende vil vi alde den andel af forbrugerne, der er brugere af produtategorien eller mere præcist sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt forbruger er bruger af produtategorien for brugerandelen. Lad I i være en stoastis indiatorvariabel, der er lig med, hvis den i-te af maredets N forbrugere er bruger af produtategorien, og som er lig med 0 ellers (i =,,..., N). Vi vil da antage, at brugerandelen er bestemt således: P( I i = ) = γ ; i =,,..., N. Dvs. at brugerandelen er uafhængig såvel af de mærers pris som af forbrugerens nummer. (Det sidste er i øvrigt en følge af antagelsen om, at forbrugerne udviser identis øbsadfærd)..3 Købssandsynligheden for produtategorien Selv om en given forbruger er bruger af produtategorien, er det f. forudsætningen i afsnit. - ie siert, at han øber produtategorien i den betragtede (orte) beslutningsperiode. Lad ( J = ) være en betinget stoastis indiatorvariabel, der er lig med, hvis den i-te i I i forbruger øber den betragtede produtategori i beslutningsperioden, og som er lig med 0 ellers, givet at forbrugeren er bruger af produtategorien (i =,,, N). Vi vil da antage, at den betingede øbssandsynlighed for produtategorien afhænger af prisen for varen hos samtlige udbydere på følgende måde:

= exp( α + β ln( p )) P( J i = I i = ) = ; i =,,..., N, + exp( α + β ln( p )) = hvor p er den for beslutningsperioden gældende pris for den -te udbyders mære, hvor p = p, p,..., p ), og hvor α R og β R (,,..., ) er modellens parametre. ( = Denne model for den betingede øbssandsynlighed er en generalisation af logitmodellen, og modellens strutur anvendes hyppigt i den afsætningsøonomise litteratur - dog oftest uden ettallet i nævneren. Men dette er vigtigt i vor modelformulering, fordi det netop er det, der sirer, at der er en positiv sandsynlighed for, at forbrugeren ie øber produtategorien i beslutningsperioden. Om modellen sal det for det første bemæres, at vi har valgt at tage logaritmen af de priser i stedet for at benytte priserne direte. Dette syldes, at modellen derved bliver simplere at tole specielt for så vidt angår elasticiteterne - idet modellen minder meget om den såaldte Cobb- Douglas model. For det andet sal det bemæres, at parameteren α an toles som det -te mæres generelle loyalitetsparameter, dvs. som er et udtry for det -te mæres generelle maredsmæssige styre, medens parameteren β er det -te mæres prisreationsparameter, som er tæt forbundet med det -te mæres direte priselasticitet og dets (-) prisrydselasticiteter (f. afsnittene.4 og.5). Endelig sal det for det trede bemæres, at man opnår den simpleste og pæneste modelformulering ved at antage, at de prisreationsparametre β, β,..., β er lige store og lig med en fælles prisreationsparameter β. Dette forhold vender vi tilbage til i afsnit.4. Under ovenstående antagelser bliver den marginale øbssandsynlighed for produtategorien lig med

θ ( p) = P( J = i = ) = γ ;, + exp( α + β ln( p )) = exp( α + β ln( p )) i =,,... N..4 Maredsandelen for de mærer Lad ( K I J = ) være en betinget stoastis indiatorvariabel, der er lig med, hvis den i i = i i-te forbruger vælger det -te mære ved et givet øb af produtategorien - givet at forbrugeren er bruger af produtategorien, og givet at forbrugeren øber produtategorien i beslutningsperioden - og som er lig med 0 ellers (i =,,..., N ; =,,..., ). Vi vil da antage, at maredsandelen (eller mærevalgsandsynligheden) for mære er bestemt således: exp( α + β ln( p )) η ( p) = P( K i = I i = J i = ) = ; i =,,..., N ; =,,...,. exp( α + β ln( p )) = I denne type model for maredsandelen (den multinomise logitmodel), der benyttes hyppigt i den afsætningsøonomise litteratur for valg mellem alternativer, er de direte priselasticiteter e ( p) = β ( η ( p)) ; =,,...,, medens prisrydselasticiteterne er e m ( p) = β η ( p) ; =,,..., ; m =,,..., ( m). m m Imidlertid lider modellen når de prisreationsparametre er forsellige af den svaghed, at η ( p) η ( λ p), hvor λ er en positiv onstant. Dette betyder, at størrelsen af samtlige maredsandele vil ændre sig, hvis prisen for de mærer ændres proportionalt. Denne egensab ved

modellen foreommer ie hensigtsmæssig. I det esempel på prisoptimering under duopol, der betragtes i afsnit 3, vil vi da også antage, at de = mærer har samme prisreationsparameter β. Når denne antagelse ie opstilles for den generelle model, syldes det to forhold. For det første syldes det, at ændringen i maredsandelene er forholdsvis lille, når prisreationsparametrene er nogenlunde lige store, og når den proportionale ændring i prisvetoren ie er meget stor. For det andet syldes det, at vi er af den principielle opfattelse, at man under den statistise inferens om modellens parametre bør lade en statistis test afgøre, om prisreationsparametrene er ens, hvorefter man - i beræftende fald - bør erstatte de individuelle prisreationsparametre med en (lart mere operationel) fælles prisreationsparameter. Hvis de prisreationsparametre er ens, påvires de maredsandele som nævnt ie af en proportional ændring af de priser. Denne (pæne) egensab ved modellen medfører, at summen af en given udbyders direte priselasticitet og hans (-) prisrydselasticiteter er lig med nul. For esempel gælder der for udbyder nummer, at e ( p) + e ( p) +... + e ( p) = β ( η ( p)) βη ( p)... βη ( p) = β ( η ( p) η ( p)... η ( p)) = 0. Dette har den onsevens, at en given udbyders maredsandel påvires (-) gange så meget af en ændring af udbyderens egen pris som af en ændring af prisen hos en typis (gennemsnitlig) onurrent..5 Købssandsynligheden for de mærer Lad K i være en marginal stoastis indiatorvariabel, der er lig med, hvis den i-te forbruger øber mære i beslutningsperioden, og som er lig med 0 ellers (i =,,..., N ; =,,..., ). Da følger det af de hidtil opstillede modeller, at øbssandsynligheden for det -te mære bliver

θ ( p) = P( K i = ) = γ θ ( p) η ( p) = γ + = exp( α + β ln( p = exp( α + β ln( p )) )) exp( α + β ln( p = exp( α + β ln( p )) )) = γ exp( α + β ln( p )) + exp( α + β ln( p )) = i =,,..., N ; =,,...,. I denne model er de direte priselasticiteter e ( p) = β ( θ ( p) / γ ) ; =,,...,, medens prisrydselasticiteterne er e m ( p) = β θ ( p) / γ ; =,,..., ; m =,,..., ( m). m m Hermed har vi opstillet de fire fundamentale responsfuntioner på individniveau for hhv. Brugerandelen Købssandsynligheden for produtategorien Maredsandelen for de mærer og Købssandsynligheden for de mærer der tilsammen fastlægger forbrugerens øbsadfærd i beslutningsperioden..6 Afsætningen af de mærer

Lad Z i være en stoastis variabel, der angiver den mængde af den pågældende vare, som den i-te forbruger øber ved et givet øb af mære (i =,,..., N ; =,,..., ). Vi vil da antage, at forventningen af Z i er uafhængig af prisen for mære (samt af prisen for de øvrige - mærer) og lig med µ. (Som i esemplet nedenfor antages at være uafhængig af ). Under denne antagelse bliver forventningen af den totale afsætning af mære i beslutningsperioden lig med exp( α + β ln( p )) ξ ( p) = N µ θ ( p) = N µ γ ; =,,...,. + exp( α + β ln( p )) =.7 Profitten for de mærer Til sidst vil vi opstille en model for forventningen af den totale profit, der realiseres for det -te mære i løbet af den betragtede beslutningsperiode. Lad c ( =,,..., ) være de variable enhedsomostninger for mære, og antag, at disse er onstante og dermed uafhængige af produtionens og afsætningens størrelse. Da bliver forventningen af den totale profit, der realiseres for det -te mære i beslutningsperioden π ( p) = ( p c ) ξ ( p) = ( p c ) N µ θ ( p) = ( p exp( α + β ln( p )) c ) N µ γ + exp( α + β ln( p )) = ; =,,..., Hermed er den generelle model etableret. 3. Prisonurrencen under duopol

3. Generelle forudsætninger I dette afsnit vil vi for at simplificere problemstillingen - betragte prisonurrencen under duopol, dvs. i tilfældet =, under en ræe forsellige antagelser med hensyn til de to udbyderes reation på den af modparten fastsatte pris for sit mære. I samtlige tilfælde vil vi antage, at de to udbydere udbyder og udbyder har fuld viden om den model, der er opstillet i afsnit herunder specielt om det onrete værdisæt af samtlige modellens parametre, dvs. også om onurrentens parametre. Endvidere vil vi overalt i det følgende belyse prisonurrencen ved hælp af et onret esempel, hvor vi vil antage, at den betragtede produtategori er affe, at målgruppen for affe er på i alt N = millioner forbrugere (husstande), at den øbte mængde pr. indøb er µ = µ enhed for begge mærer, = at de variable enhedsomostninger er hhv. c = 5r. og c = 6 r., at den nuværende pris for en pose affe er p = p = 30 r. for begge mærer, at brugerandelen for produtategorien er γ = 0. 9, at de to generelle loyalitetsparametre er hhv. α = 4 og α = 3, og at de to prisreationsparametre er β = β = β = 4 for begge mærer. Endelig vil vi (som nævnt ovenfor) antage, at alle ovennævnte størrelser er endt uden usierhed af begge udbydere, (således at de begge har fuld viden om modpartens reationsfuntion, f. nedenfor). Ovenstående parameterværdier er valgt således, at øbssandsynligheden for produtategorien er 0.60 i udgangssituationen og varierer mellem 0.8 og 0.35, når prisen for de to mærer er ens og varierer mellem 0 og 40 roner, og således, at maredsandelen for de to mærer er hhv. 0.73 og 0.7, når de to udbydere holder samme pris. Dette betyder, at udbyder (pga. hans større generelle

loyalitetsparameter) er ca. tre gange så stor som udbyder og derfor må formodes at være prisfører under den nedenfor behandlede prisonurrence. 3. Udgangssituationen Det første tilfælde vi vil betragte er udgangssituationen for prisonurrencen. I dette tilfælde fastsætter begge udbydere (i vilårlig ræefølge) prisen for deres mære til 30 r., og ingen af de to udbydere reagerer på den af modparten fastsatte pris. Derfor foreligger der ie noget prisoptimeringsproblem, hvorfor vi umiddelbart an indsætte de ovenfor specificerede parameterværdier i de i afsnit opstillede modeller for hhv. øbssandsynligheden for produtategorien, maredsandelen for hvert af de to mærer, øbssandsynligheden for hvert af de to mærer, afsætningen af hvert af de to mærer, profitten for hvert af de to mærer samt den totale profit, de to udbydere hemtager fra maredets N forbrugere. Hovedresultaterne for udgangssituationen fremgår herefter af følgende tabel, hvor afsætningen er angivet i 000 st. og profitten i 000 r. Tabel. Udgangssituationen for prisonurrencen. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 30.00 30.00 0.60 0.73 0.7 0.44 0.6 88 34 36 454 7767 Denne situation er imidlertid ie optimal for nogen af de to udbydere, hvilet fremgår nedenfor. 3. 3 Autonom handlemåde

Vi vil først betragte den situation, hvor udbyder handler autonomt. Dvs. at han fastsætter sin pris ud fra en antagelse om, at udbyder a priori fastsætter sin pris til p og ie reagerer på den pris, som udbyder dernæst fastsætter for sit mære. Under autonom handlemåde er det optimalt for udbyder at fastsætte prisen til p = ϕ ), hvor udbyder s reationsfuntion ϕ er defineret ved, at ( p π ( ϕ( p ), p ) = Max π ( p, p ) for p R +. I esemplet vil vi antage, at p = 30 r. som i udgangssituationen. I denne situation følger det af anvendelsen af et specielt onstrueret Pascal program, at det er optimalt for udbyder, at fastsætte sin pris til p (30 = ϕ r.) = 9.80 r. Hovedresultaterne for det betragtede tilfælde fremgår herefter af følgende tabel. Tabel. Udbyder handler autonomt. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 9.80 30.00 0.6 0.74 0.6 0.45 0.6 894 30 38 448 770 Som det fremgår af tabellen opnår udbyder en beseden forøgelse af profitten i forhold til udgangssituationen, medens udbyder opnår en noget mindre profit. Vi vil dernæst betragte den symmetrise situation, hvor det nu er udbyder, der handler autonomt, og hvor udbyder fastholder sin pris på udgangsniveauet til p = 30 r. I denne situation anvender udbyder sin reationsfuntion ϕ til at fastsætte optimalprisen p = ϕ ( p) = ϕ (30 r.) = 5.09 r., hvor ϕ er defineret ved, at π ( p, ϕ ( p)) = Max π ( p, p) for p R +. Hovedresultaterne af denne situation fremgår af tabel 3.

Tabel 3. Udbyder handler autonomt. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 30.00 5.09 0.65 0.57 0.43 0.37 0.8 74 558 3 5073 605 Som det fremgår af denne tabel opnår udbyder en betydelig forøgelse af profitten i forhold til udgangssituationen, medens udbyder opnår en betydelig mindre profit. Dette vil han næppe uden videre acceptere (f. nedenfor). 3. 4 Ativ prisonurrenceligevægt I dette tilfælde handler såvel udbyder som udbyder autonomt, idet ingen af de to udbydere på noget tidspunt under prisonurrenceforløbet regner med, at den af dem fastsatte pris øver nogen indflydelse på den af modparten fastsatte pris. Dette betyder, at de to udbydere siftevis anvender reationsfuntionerne ϕ og ϕ til at fastsætte deres pris som besrevet i afsnit 3.3. Denne situation an man muligvis godt omme ud for under monopolistis onurrence, hvor antallet af udbydere er stort, og hvor den enelte udbyder er lille i forhold til det totale mared. Men i duopoltilfældet, hvor hver udbyder un har en enelt onurrent at oncentrere sig om, er den ovenfor besrevne prisonurrenceform næppe realistis. Den resulterer nemlig i, at de to udbydere fra udgangsniveauet p = p = 30 r. siftevis underbyder hinanden, indtil priserne er onurreret ned i den såaldte ative prisonurrenceligevægt, hvor det ie længere er optimalt for nogen af de to udbydere at ændre prisen. Med esemplets tal betyder dette, at udbyder ender med at fastsætte sin pris til p (4.70 = ϕ r.) = 8.8 r., medens udbyder ender med at fastsætte sin pris til p (8.8 = ϕ r.) = 4.70 r. Det samlede resultat i ativ prisonurrenceligevægten fremgår af tabel 4. Tabel 4. Ativ prisonurrenceligevægt. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 8.8 4.70 0.68 0.6 0.38 0.4 0.6 838 5 046 4545 559

Som det fremgår af tabellen resulterer denne onurrenceform sammenlignet med de hidtil betragtede alternativer - i den mindste totale profit for de to udbydere under ét og i den mindste profit for udbyder. For udbyder er situationen dog bedre, end hvis udbyder handler autonomt. 3. 5 Asymmetris prisfastsættelse Vi vil først betragte det tilfælde, hvor udbyder fastsætter den såaldte asymmetrise pris. Denne prisfastsættelse bygger på, at udbyder har erendt, at udbyder - for enhver fiseret pris p for mære - vil benytte reationsfuntionen ϕ og fastsætte sin pris optimalt til p = ϕ ( p ). Derfor afstår udbyder fra at deltage i den ative prisonurrence. I stedet fastsætter han den pris p, der masimerer hans profitfuntion under bibetingelsen p = ϕ ). Dette betyder, at asymmetrioptimalprisen p er bestemt ved, at ( p π ( p, ϕ ( p)) = Max π ( p, ϕ ( p)) for p R +. I vort talesempel resulterer denne strategi i, at udbyder fastsætter sin pris til p = 9.78 r., hvorefter udbyder fastsætter sin pris til p (9.78 = ϕ r.) = 5.05 r. Og hovedresultaterne for denne situation fremgår af tabel 5. Tabel 5. Asymmetris prisfastsættelse hos udbyder. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 9.78 5.05 0.66 0.58 0.4 0.38 0.8 754 554 37 50 648 Af denne tabel fremgår det, at begge udbydere (men især udbyder ) opnår en høere profit end under ativ prisonurrence.

Det helt symmetrise tilfælde, hvor udbyder afstår fra at deltage i den ative prisonurrence og fastsætter sin pris til p = 6.94 r., hvorefter udbyder masimerer sin profitfuntion og fastsætter prisen til p (6.94 = ϕ r.) = 8.97 r., fremgår af tabel 6. Tabel 6. Asymmetris prisfastsættelse hos udbyder. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 8.97 6.94 0.64 0.67 0.33 0.43 0. 866 46 03 4663 6766 Også i dette tilfælde opnår såvel udbyder som udbyder høere profit end under ativ prisonurrence. Det er derfor mere sandsynligt, at den fatise prisonurrence vil resultere i asymmetris prisfastsættelse end i ativ prisonurrence. Men det er lart, at den udbyder, der resignerer og fastsætter sin asymmetrise pris, opnår den mindste profitforøgelse i forhold til ativ prisonurrence. 3. 6 Proportional prisfastsættelse I dette afsnit vil vi behandle den situation, hvor den ene af de to udbydere altid fastsætter sin pris proportionalt med den anden udbyders pris. For at undgå en ræe symmetrise tilfælde, vil vi i det følgende un betragte det (mest realistise) tilfælde, hvor den udbyder, der har den stæreste maredsmæssige position, dvs. udbyder, er prisfører og derfor fastsætter sin pris først, hvorefter medløberen, dvs. udbyder, fastsætter sin pris proportionalt med udbyder s pris. Dette betyder, at udbyder s reationsfuntion altid er funtionen p p) = ϕ ( = λ p, hvor λ er en positiv onstant, der varierer fra tilfælde til tilfælde nedenfor.

I denne situation er det optimalt for udbyder at fastsætte sin pris p således, at den bliver den funtion ψ af den af udbyder valgte λ - værdi, som masimerer profitfuntionen π under bibetingelsen p = ϕ ( p) = λ p. Reationsfuntionen p = ψ ) for udbyder er med andre ord bestemt ved, at ( λ π ( ψ ( λ), λψ ( λ)) = Max π ( p, λ p) for p R +. Først vil vi betragte det tilfælde, hvor udbyder - uden specielle optimeringsmæssige overveelser - vælger at underbyde udbyder med 0%, dvs. at λ = 0. 9. I dette tilfælde er det optimalt for udbyder, at fastsætte prisen til p (0.9) = ψ = 34.8 r., hvorefter udbyder fastsætter prisen til p (34.8 = ϕ r.) = 0.9 34.8 r. = 3.34 r. (Disse værdier er fundet vha. et specielt onstrueret Pascal program). Resultatet af dette tilfælde fremgår af tabel 7. Tabel 7. Udbyder underbyder udbyder med 0%. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 34.8 3.34 0.50 0.64 0.36 0.3 0.8 647 363 80 556 838 Som det fremgår af tabellen er denne situation særdeles gunstig for udbyder og også bedre for udbyder end flere af de ovenfor betragtede tilfælde. Men dette alternativ er ie det bedste for udbyder. Dette syldes, at han har fastsat proportionalitetsfatoren λ mere eller mindre vilårligt, dvs. uden optimeringsmæssige overveelser. I stedet bør han erende, at udbyder altid vil fastsætte sin pris vha. reationsfuntionen ψ. Derfor bør udbyder a priori vælge den proportionalitetsfator λ, der masimerer hans egen profitfuntion π under bibetingelsen p ( = ψ λ). Den optimale proportionalitetsfator λ er med andre ord bestemt ved, at

π ψ ( λ), λψ ( λ)) = Max π ( ψ ( l), l ( l)) for l R. ( ψ + I vort talesempel fører denne strategi til, at udbyder s proportionalitetsfator sal fastsættes til λ = 0.547, hvilet resulterer i nøgletallene i tabel 8. Tabel 8. Udbyder anvender den optimale proportionalitetsfator. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 44.0 4.08 0.56 0.0 0.80 0. 0.45 9 898 6346 760 3606 Denne situation er pga. det optimale valg af λ - særdeles gunstig for udbyder. Men netop derfor er situationen også fuldstændig uacceptabel for udbyder. Man må derfor regne med, at denne iværsætter en egentlig prisrig (f. afsnit 3.8 nedenfor) for at tvinge udbyder væ fra at fastsætte en pris, der un er godt og vel halvt så stor som prisen hos udbyder. 3. 7 Neutraliseret prisfastsættelse Neutraliseret prisfastsættelse defineres som enhver form for prisfastsættelse, der resulterer i en prisonstellation p, ), som de to udbydere stiltiende dvs. uden nogen form for prisaftale ( p opfatter som så acceptabel, at de foretræer denne prisonstellation frem for at starte en prisonurrence eller måse endog en prisrig (f. nedenfor). Da udbyder har den stæreste maredsmæssige position, fordi han har den største generelle loyalitetsparameter (i talesemplet 4 mod udbyder s 3) an man esempelvis forestille sig, at følgende to situationer an føre til neutraliseret prisfastsættelse: (i) (ii) De to udbydere fastsætter altid den samme pris, men udbyder realiserer en maredsandel, der er så meget større end udbyder s maredsandel, at den netop ompenserer for styreforsellen mellem de to udbydere. De to udbydere realiserer altid den samme maredsandel (på ½), men udbyder fastsætter en så meget høere pris end udbyder, at den netop ompenserer for styreforsellen mellem de to udbydere.

Begge disse tilfælde er specialtilfælde af den i forrige afsnit behandlede proportionale prisfastsættelse. (Men dette gælder naturligvis ie generelt for neutraliseret prisfastsættelse). I det første tilfælde anvender medløberen, dvs. udbyder, proportionalitetsfatoren λ =, hvorefter prisføreren, dvs. udbyder, masimerer sin profitfuntion. Resultatet af denne prispoliti fremgår af tabel 9. Tabel 9. De to udbydere fastsætter samme pris. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 33.98 33.98 0.49 0.73 0.7 0.36 0.3 77 67 3795 4808 8603 Som det fremgår af tabellen, sirer udbyder s stærere maredsmæssige position ham en maredsandel, der, når p = p, er nap tre gange så stor, som udbyder s maredsandel. Denne situation er naturligvis lart bedre for udbyder, end når han bliver underbudt med 0%. Men situationen er samtidig dårligere for udbyder, hvorfor denne muligvis ie vil opfatte prisonstellationen p = p = 33.98 r. som neutral, dvs. fair for begge parter. I det andet tilfælde anvender udbyder proportionalitetsfatoren λ = Exp (( α ) / α β ) = 0.7788, som er bestemt således, at den sirer, at de to maredsandele bliver lige store. Herefter masimerer udbyder sin profitfuntion, hvorefter resultatet af den førte prispoliti fremgår af tabel 0. Tabel 0. De to udbydere opnår samme maredsandel. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot

36.49 8.4 0.5 0.50 0.50 0.6 0.6 58 58 35 6434 7569 På trods af, at udbyder - på grund af sin stærere maredsmæssige position - opnår en prispræmie på hele 8.07 r., dvs. på hele 8.4%, er det lart, at hans profit er uacceptabel lille i forhold til hovedparten af de ovenfor betragtede alternativer. Derfor er det usandsynligt, at udbyder vil opfatte prisonstellationen p = 36.49 r. og p = 8.4 r. som en neutral og fair prisonstellation. Derimod an udbyder være særdeles tilfreds med den foreliggende situation. 3. 8 Prisrig I det sidst behandlede esempel og i alle andre tilfælde, der er lart uacceptable for udbyder an den bedste langsigtede strategi for udbyder være at indlede en egentlig prisrig med udbyder med henbli på at tvinge ham væ fra den benyttede prisstrategi eller - endnu bedre - helt ud af maredet. For esempel an udbyder i det sidst behandlede esempel fastsætte sin pris til p = 0.54 r. Thi hvis udbyder i denne situation anvender proportionalitetsfatoren λ = 0. 7788, så bliver hans pris lig med de variable enhedsomostninger på 6 r., hvorfor hans profit bliver lig med nul. Dette fremgår af tabel. Tabel. Prisrig mellem de to udbydere. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 0.54 6.00 0.84 0.50 0.50 0.4 0.4 838 838 4644 0 4644 Det er lart, at denne situation er væsentligt dårligere for udbyder end situationen i tabel 0. Men på den anden side er situationen atastrofal for udbyder, som (med begrænsede finansielle ressourcer) hurtigt onurreres ud af maredet (pga. de faste omostninger). 3. 9 Monopol

Hvis udbyder onurreres ud af maredet, bliver udbyder monopolist, hvorfor han an fastsætte sin pris optimalt til p = 3. r., hvilet resulterer i den for ham særdeles gunstige tabel. Tabel. Udbyder er monopolist. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 3. 0.00 0.48.00 0.00 0.48 0.00 955 0 6347 0 6347 Monopolsituationen er naturligvis det bedste alternativ for udbyder blandt samtlige betragtede alternativer. 3. 0 Prisaftale Det sidste tilfælde, vi vil betragte, er det tilfælde, hvor de to udbydere træffer en aftale om, at fastsætte deres priser således, at den totale profit, som de to udbydere hemtager fra samtlige N forbrugere på maredet, bliver størst mulig. En sådan prisaftale er som beendt i strid med den danse onurrencelovgivning. Tilfældet behandles derfor alene for, at det an tene som sammenligningsgrundlag med de hidtil behandlede egentlige prisonurrencetilfælde. I prisaftaletilfældet masimerer de to udbydere altså den totale profitfuntion π ( p, p ) = π ( p, p ) + π ( p, p ) med hensyn til p og p. Resultatet af denne masimering bliver, at udbyder sal fastsætte prisen p = 33.79 r., medens udbyder sal fastsætte prisen p = 35.3 r. Det bemæres, at optimalprisen for mære er mindre end optimalprisen for mære. Dette syldes, at de variable enhedsomostninger er mindst (5 r. mod 6 r.) for mære. Hovedresultaterne for det betragtede tilfælde fremgår af tabel 3. Tabel 3. De to Udbydere indgår en prisaftale. Pris Pris Køb Andel Andel Køb Køb Afs. Afs. Profit Profit Profit Tot 33.79 35.3 0.50 0.76 0.4 0.38 0. 750 36 4099 450 869

Ved at sammenligne denne tabel med de øvrige tabeller ses det, at udbyder bortset fra monopoltilfældet opnår den høeste profit ved at indgå en prisaftale. Derimod er der flere af de egentlige prisonurrencetilfælde, der giver en høere profit til udbyder, end prisaftalen. Hvis udbyder an få lov til at underbyde udbyder med fx 0%, er udbyder naturligvis ie interesseret i at indgå en prisaftale (især ie fordi en sådan som nævnt er i strid med dans onurrencelovgivning). I øvrigt er det interessant at bemære, at den totale profit i prisaftaletilfældet bliver større, end i det tilfælde, hvor udbyder er monopolist. Dette syldes forsellen i de to udbyderes variable enhedsomostninger og især forsellen i de to udbyderes maredsmæssige styre udtryt ved de generelle loyalitetsparametre. Hermed er det betragtede esempel på prisonurrencen under duopol afsluttet. 4. Konlusion I denne artiel har vi opstillet en individmodel for en given forbrugers øbsadfærd på et mared, hvor der udbydes mærer under en given produtategori. Denne model bygger på følgende fire fundamentale begreber Brugerandelen Købssandsynligheden for produtategorien Maredsandelen for de mærer og Købssandsynligheden for de mærer. Med udgangspunt i denne individmodel har vi endvidere opstillet en maredsmodel for Afsætningen for de mærer og Profitten for de mærer.

Endelig har vi med udgangspunt i disse 6 modeller analyseret en ræe forsellige strategier for Prisonurrencen under duopol. Disse prisonurrencestrategier har vi illustreret ved et onret esempel, hvor vi har bestemt den optimale pris, den optimale afsætning og den masimale profit hos de to udbydere på maredet. Esemplets tal er naturligvis ie interessante i sig selv, men de illustrerer hvilet slagraftigt værtø, man råder over, hvis man tilveebringer et datamateriale til estimation af modellens parametre. Specielt fordi modellen uden større besvær an generaliseres til at omfatte flere forlarende variable end prisen. Ta til Tue Tur for mange værdifulde disussioner af artilens problemstilling. Litteraturfortegnelse E. Chamberlin (933) The Theory of Monopolistic Competition

Cambridge, Mass: Harvard University Press Jørgen Kai Olsen (003 A) En stoastis model for total og partiel undeloyalitet Research Paper No Institut for Afsætningsøonomi, Handelshøsolen i København Jørgen Kai Olsen (003 C) Prisoptimering i logitmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd Research Paper No 7 Institut for Afsætningsøonomi, Handelshøsolen i København Jean Tirole (997) The Theory of Industrial Organization The MIT Press, Cambridge H. Winding Pedersen (947) Omring Den Moderne Pristeori Einar Harc, København 947 Tue Tur (00) Logistic regression models for single-source data a simulation study Preprint No 4 Department of Management Science and Statistics Copenhagen Business School