Figur 1.1: Blokdiagram over regulatorprincip

Transkript

1 Indhold 1 Design af regulator til DC-motor Besrivelse af regulatorer Krav til regulator Integrator anti-windup Overføringsfuntion for det samlede system Rodurveundersøgelse Bestem minimumsværdier for P og I En anden metode [?, side ]:

2 Kapitel 1 Design af regulator til DC-motor Der sal designes en regulator, der an regulere DC-motoren til at øre med en onstant vinelhastighed ud fra input fra vinelhastighedsmåleren? - sråstreg - omdrejningsmåleren? i såvel generator- som motordrift. Regulatoren indgår som en del af et luet redsløb, se gur 1.1. Regulatoren reagerer på fejlen e(s), der er dierensen mellem referencesignalet r(s) og det tilbageoblede signal. Styresignalet, u(s), justeres så fejlen bliver mindre, og når der ie er nogen fejl ører processen stationært. Figur 1.1: Blodiagram over regulatorprincip En regulator an opbygges af et eller ere led, afhængig af de rav, der stilles til reguleringen. De enelte led vil blive besrevet, derefter opstilles der rav til regulatoren, og der vælges den type regulator, der an opfylde ravene [?, side ]. 1.1 Besrivelse af regulatorer Den simpleste regulator er en P-regulator, hvor udgangssignalet, u, er proportionalt med indgangssignalet, e, med proportionalitetsfatoren, P : u = P e 2

3 1.2. KRAV TIL REGULATOR Ved Laplace-transformation fås: U(s) E(s) = P En P-regulator reducerer stigetiden og stationærfejlen, men forøger oversvinget. Det an være nødvendigt at give P-regulatoren en så stor P -værdi, at det gør systemet ustabilt, og der an stadig foreomme en vis stationær fejl. En måde at forbedre dette på er at tilføje et integratorled, der integrerer over fejlsignalet så regulatoren bliver en PI-regulator. Udgangssignalet an besrives som: Ved Laplace-transformation fås: t u(t) = P e + I e(τ)dτ U(s) E(s) = P + I s = P τis + 1 τ i s PI-regulatoren reducerer stigetiden, forøger oversvinget og indsvingningstiden og eliminerer stationærfejlen. hvor τ i er integraltiden, τ i = p / I Regulatoren har et nulpunt i s = 1 /τ i og har en pol i origo. For at ompensere for de ulemper, som de to ovennævnte reguleringsled har an der indsættes et dientialled, så regulatoren aldes en PID-regulator. Dientialleddet medfører, at regulatoren an reagere hurtigere på små ændringer. Regulatoren får en hurtigere stigetid, mindre oversving og ingen stationær fejl. Udgangssignalet an besrives som: Ved Laplace-transformation fås: u(t) = P e + I t e(τ)dτ + D de(t) dt U(s) E(s) = P + I s + Ds Afhængig af de rav, der stilles til regulering af systemet an regulatoren ombineres som en P-, PI-, PD- eller PID-regulator. 1.2 Krav til regulator Der an opstilles følgende rav til regulatoren: Stigetid, t r 3 s Oversving, M p 1 % Indsvingningstid, t s 1 s ved ±2 % 3

4 KAPITEL 1. DESIGN AF REGULATOR TIL DC-MOTOR Stationær fejl, e ss 1 % OBS!!!! Disse rav er grebet ud af den blå luft!!!!! Til regulering af motoren vælges en PI-regulator, D-reguleringen fravælges, da det meanise system er meget langsommere end det eletrise system. Derfor er der ie et behov for en så hurtig stigetid og regulering på små udsving, som D-reguleringen an give Integrator anti-windup Har vi behov for sådan en??? 1.3 Overføringsfuntion for det samlede system For luetsløjfesystemet, se gur 1.1 på side 2 an overføringsfuntionen opsrives med de fem tæller- og nævnerpolynomier [?, side ]: G ls = = = G r G e G m G g 1 + G r G e G m G g H T G r T Ge T Gm T Gg N Gr N Ge N Gm N Gg 1 + T Gr T Ge TGm T Gg T H N G r NGe NGm N Gg N H T Gr T Ge T Gm T Gg N H (1.1) N Gr N Ge N Gm N Gg N H + T Gr T Ge T Gm T Gg T H Da ie alle parametre og overføringsfuntioner endes endnu, sættes overføringsfuntionerne til nedenstående værdier for at prøve at se, om det er noget, vi an nde ud af at regne på: G r (s) = P + I s G e (s) = 12 G m (s) = Rodurveundersøgelse R a Js + (B + 2 R a ) G g (s) = 1 19, 16 H(s) = 1 I dette afsnit laves en rodurveundersøgelse for at unne fastlægge systemets luetsløjfe overføringsfuntion ud fra de opstillede rav, samt de målte og beregnede værdier... 4

5 1.3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM Nedenstående formler anvendes un som retningslinier i forbindelse med dimensionering af PI-regulatoren, idet de un er nøjagtige for andenordens systemer uden nulpunter. Dæmpningsfatoren, ξ, ndes ved hjælp af formel 1.2 ud fra ravet om M p 1 % [?, side 147]: M p = e ( πξ/ 1 ξ 2), ξ 1. (1.2) Ved indsættelse ndes, at ξ sal være, 6. I det omplese plan indtegnes ξ som to rette linier i s-planets venstre halvplan med start i origo, og vinlen φ ξ = sin 1 ξ med imaginærasen, se gur 1.2 på næste side. For ξ =, 6 er φ ξ 37. Overføringsfuntionens poler sal ligge mellem linerne med hældningsoecienten, α = ± cos(37 ) = ± 1, 33. sin(37 ) Indsvingningstiden, t s, sal være 1 s ved ± 2 %. Dette er bestemmende for placeringen af den negative realdel af polerne, σ = ξω n. σ ndes ved hjælp af formel 1.4:, 2 = e ξωnts (1.3) σ = 3, 912 t s Indsættes ravet for t s ndes ravet til σ som σ, 3912 s. Dette rav indtegnes som en lodret linie på gur 1.2 på næste side, og området for polplacering ligger til venstre for denne linie. Ud fra ravet til stigetid, t r 3 s ndes ravet til den naturlige egenfrevens, ω n ud fra følgende formel [?, side 145]: ω n = 1, 8 t r (1.4) Kravet til ω n beregnes som ω n, 6 rad s. ω n indtegnes som en halvcirel i s-planets venstre halvplan med centrum i origo og radius =, 6, se 1.2 på den følgende side. Området for polplacering ligger til venstre for denne halvcirel. Systemets luetsløjfe overføringsfuntion an srives som: G ls (s) = G ls (s) = P τ 1 s 12 Ra 1 19,16 + P 12 Ra 1 19,16 τ i J s 2 +τ 1 (B+ 2 Ra ) s Ra 1 19,16 1+ P 12 Ra 1 (1.5) 19,16 τ i J s 2 +τ 1 (B+ 2 Ra ) s P τ 1 s 12, 6263 P s P s 2 + ( B J + 2 +, 6263 P τ i JRa )s +, 6263 P τ i JRa Der ndes et udtry for proportionalforstærningen, P, idet ξω n =, 3912 indsættes : 2ξω n = B J + 2 +, 6263 P (1.6) P =, 7824 B J 2,

6 KAPITEL 1. DESIGN AF REGULATOR TIL DC-MOTOR Figur 1.2: Område for polplacering For at overholde ravet til indsvingningstiden, t, sal P være større end eller lig med ovennævnte formeludtry. Der er en lineær sammenhæng mellem P og polernes realdel, σ, og for den valgte P (valgt), beregnes σ som: σ = B J + 2 +, 6263 P (valgt) 2 Polernes imaginærdel er givet ved ± ω n (1 ξ 2 ). For at overholde ravet til størrelsen af oversvinget, sal følgende overholdes: ω n (1 ξ 2 ) < α σ (1.7) ω 2 n(1 ξ 2 ) 2 < (α σ) 2 Tidsonstanten, τ i, ndes idet ξ sættes til, 6, og ωn 2 fremgår af formel 1.6 på foregående side, og er, 6263 P τ i JRa : B, 6263 P (valgt) τ i JRa (1, 62 J ) < (1, 33 ( + 2 +, 6263 P (valgt) 2, 964 P (valgt) τ i > (BR a P (valgt) ) 2 6 ) 2 (1.8)

7 1.3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM Den stationære fejl, e ss, ndes som: (Denne formel sal lige vericeres!). 1 e ss = lim s sg aa (s) (1.9) Bestem minimumsværdier for P og I [?, side ] (Dette afsnit sal/an sandsynligvis ie bruges til noget??). Den arateristise ligning for luetsløjfeoverføringsfuntionen er: Ligningen omsrives til: Der opstilles en Routh's matrix: 1 + ( P + I s ) 1, s s = s s 2 + ( , P )s + 1, I = s 3 : 1 ( , P ) s 2 : , I 2355 (378+1,87 1 s: P ) 1, I 2355 s : 1, I Tabel 1.1: Routh's matrix til bestemmelse af minimumsværdier af P og I For asymptotis stabilitet gælder I > og K > 794 I 378. Dette er afbilledet på gur på den følgende side, hvor det tilladte område for 6 P og I er området mellem de to linier (der var engang to linier, men Matlab an ie nde ud af tegne linien for x =!) En anden metode [?, side ]: (Dette afsnit sal/an sandsynligvis ie bruges til noget??). I denne metode tages der udgangspunt i systemets åbensløjfe overføringsfuntion, hvor der startes med at se, hvad der ser, hvis der anvendes en P-regulator for derefter at udbygge det med en PI-regulator. G aa (s) = p s s , 16 Den statise sløjfeforstærning bliver: K = 97599, 2 P Systemet er et type system, og fejlen e(s) an ndes til: e(s) = (s , 39)(s + 1, 61) (s , 39)(s + 1, 61) , 2 P r s 7

8 KAPITEL 1. DESIGN AF REGULATOR TIL DC-MOTOR 5 x P I Figur 1.3: Tilladt område for P og I Den stationære fejl for et step med højden h an beregnes ved hjælp af Laplace: e ss = lim s e(s) = h , 2 P Hvis ravet til reguleringsnøjagtigheden er, at den stationære fejl højst må være 1 % af trinhøjden, an den nedre grænse for p ndes som: h , 2 P, 1 h P 92, P vælges til 1. Åbensløjfe Bodeplottet er vist på gur 1.4 på næste side. Af guren fremgår det, at fasemargenen er cira 8 ved en frevens, ω c, på 48,6 rad /s. Et steprespons for luetsløjfen ses på gur 1.5 på modstående side. Herefter puttes der en integrator på, og PI-regulatorens næfrevens, ω, placeres ved 1 1 af ω c : ω = 1 τ i =, 1 ω c = 4, 86 8

9 1.3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM Bode Diagrams 4 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Figur 1.4: Bodeplot af åbensløjfe overføringsfuntion Step Response Amplitude Time (sec.) Figur 1.5: Steprespons af luetsløjfe overføringsfuntion τ i =, 245 s 9

10 KAPITEL 1. DESIGN AF REGULATOR TIL DC-MOTOR Regulatorens overføringsfuntion, der erstatter den ovenfor omtalte P -blo bliver: G r (s) = P Systemets åbensløjfe overføringsfuntion bliver: G aa (s) = P, 245s + 1, 245 1, 245s + 1, s s , 16 Bodeplottet for åbensløjfe systemet ses på gur 1.6. Af guren fremgår det, at fasemargenen er cira 75 ved en frevens, ω c, på 41,56 rad /s. Bode Diagrams 1 5 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Figur 1.6: Bodeplot af åbensløjfesystem for P = 1 Et steprespons for luetsløjfen ses på gur 1.7 på modstående side. Bodeplottet for luetsløjfe systemet ses på gur 1.8 på næste side. 1

11 1.3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM Step Response 1.8 Amplitude Time (sec.) Figur 1.7: Plot af steprespons for luetsløjfesystem for P = 1 Bode Diagrams 1 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Figur 1.8: Bodeplot af luetsløjfesystem for P = 1 11

12 KAPITEL 1. DESIGN AF REGULATOR TIL DC-MOTOR Figur 1.9: Blodiagram over det samlede reguleringssystem 12