A. Appendix: Løse ender.

Transkript

1 Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen π(x). I forbindelse med primtallenes fordeling er der en ræe andre funtioner, der spiller en vigtig rolle, bl.a. følgende: ϑ(x) = logp og ψ(x) = logp. p x p m x Den første sum er over alle primtal p x, den anden over alle primtalspotenser p m x. I den første sum er antallet af led lig med π(x), og hvert led er højst lig med logx. Altså er ϑ(x) π(x) logx. Vurderinger af π(x) medfører altså vurderinger af ϑ(x), og omvendt. Det er ie så dybtliggende at vise, at π(x) logx ϑ(x) ψ(x). Primtalssætningen er altså ævivalent med enhver af relationerne ϑ(x) x og ψ(x) x. Af vurderingen i Kapitel 1 følger, at ϑ(n) 3n for alle n 1. Den efterfølgende vurdering er lidt bedre; vi vil bruge den i beviset for Bertrand s Postulat. (A.2) Sætning. For alle n 1 er ϑ(n) (2 log 2)n. Bevis. Beviset, ganse parallelt til beviset for (1.5), forløber ved fuldstændig indution efter n. Uligheden er trivielt opfyldt for n = 1. Lad der nu være givet en værdin > 1, og antag, at uligheden gælder for alle mindre værdier. Sæt := (n + 1)/2. Specielt er så n/2 (n + 1)/2. Betragt binomialoefficienten, b := ( ) n n = n(n 1) ( + 1) (n )(n 1) 2 1. Da + 1 > n, er fatorerne i tælleren er større end fatorerne i nævneren. Specielt an primtallene blandt fatorerne i tælleren ie forortes med fatorer fra nævneren. Derfor er b delelig med produtet af disse primtal, og følgelig er log b mindst lig med logaritmen til produtet, dvs mindst lig med logp, hvor summen er over primtallene p med < p n. Den sidste sum er øjensynlig lig med ϑ(n) ϑ(). Altså er ϑ(n) ϑ() logb. Videre er b, som en binomialoefficienterne ( n l) for n 1, højst lig med 2 n 1. Under brug af indutionsforudsætningen får vi derfor, at som ønset. ϑ(n) = ϑ(n) ϑ() + ϑ() log 2 n 1 + (2 log 2) (n 1) log 2 + (2 log 2)(n + 1)/2 = (2 log 2)n, /local/notes/elmtal/ata.tex :15:10

2 27. otober 2008 Løse ender A.2 (A.3) Bertand s Postulat. For ethvert n 1 findes et primtal p med n < p 2n. Bevis. Uligheden p 2n må naturligvis være sarp, med mindre n = 1 og p = 2. Af postulatet fremgår specielt, at hvis p er det te primtal, så er p +1 < 2p. Den sidste påstand er fatis ævivalent med Bertrand s postulat. Mere generelt er det let at se, at hvis q 1, q 2, q 3,... er en vosende følge af primtal, der opfylder ulighederne q +1 < 2q for = 1,..., l 1, så gælder Bertrand s Postulat for alle n med q 1 /2 n < q l. Øjensynlig er uligheden q +1 < 2q opfyldt for det te primtal i følgen, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631. Derfor gælder Bertrand s postulat for alle n < 631. Nu vises påstanden med et indirete bevis. Antag, at der for et naturligt tal n ie findes primtal p med n < p 2n. Specielt er så n 631. Betragt binomialoefficienten, b = ( ) 2n = n (2n)(2n 1) (n + 1) n(n 1) 2 1 Lad p være en primdivisor i b, og lad p ν p være den potens, der indgår i primopløsningen af b. Af antagelsen følger, at ingen af fatorerne i tælleren er primtal. Derfor er p n. Yderligere er p 2 3 n. Et primtal q med 2 3n < q n foreommer nemlig én gang blandt fatorerne i nævneren, og i tælleren går q un op i fatoren 2q. De to foreomster af q forortes mod hinanden; derfor er b ie delelig med q. Altså er p 2 3n for enhver primfator p i b. Af (A.2) følger derfor: logp logp = ϑ( 2 3 n) ( 4 3 log 2)n. (A.3.1) p b p 3 2n. Da p ν p b, følger det af (1.6), at p ν p 2n. Hvis ν p 2, så er p 2 2n, og derfor er p 2n; specielt er der højst 2n primdivisorer p i b med ν p 2, og for hver af dem er ν p logp log(2n). Derfor får vi vurderingen, p b, ν p 2 ν p logp < 2n log(2n). Af denne vurdering og (A.3.1) fås: logb = logp + ν p logp < ( 4 3 log 2)n + 2n log(2n). p b, ν p =1 p b, ν p 2 (A.3.2) På den anden side giver binomialformlen: ( ) ( ) 2n 2n 2 2n = ( ) 2n +, 2n 1

3 27. otober 2008 Løse ender A.3 hvor de to yderste binomialoefficienter er slået sammen til = 2. Der er 2n led på højesiden, og b er det største. Derfor er 2 2n (2n)b, og altså Af (A.3.2) og (A.3.3) følger: (2 log 2)n log(2n) + logb. (A.3.3) (2 log 2)n log(2n) logb < ( 4 3 log 2)n + 2n log(2n). (A.3.4) Den opnåede ulighed an omsrives til ( 2 3 log 2)n (1 + 2n) log(2n), eller 1 3 log n 2n log(2n) 2n. (A.3.5) De to brøer på højresiden er aftagende som funtioner af n (den sidste for 2n e 2 ). Værdien på højresiden, for n 631, er derfor mindre end værdien for n = 512 = 2 9. Altså er log 2 3 log 2 < = log 2. Men den ulighed er øjensynlig gal. Hermed er den søgte modstrid opnået, hvormed Bertrand s Postulat er bevist. (A.4) Sætning. For alle naturlige tal n 7 er (log 2)n ψ(n). Ævivalent, hvis LCM(n) betegner det mindste fælles multiplum af alle tallene 1, 2,..., n, så er 2 n LCM(n) for n 7. (A.4.1) Bevis. (Efter [Nair].) Det mindste fælles multiplum LCM(n) er øjensynlig lig med produtet af primtalspotenserne p n med, for hvert primtal p, den størst mulige esponent. Alternativt er LCM(n) lig med produtet af primfatorer p, hvor hver fator p medtages én gang for hver potens p m med p m n. Med den alternative besrivelse er det lart, at log LCM(n) = ψ(n). Derfor er de to anførte uligheder ævivalente. Beviset for den sidste ulighed tager udgangspunt i følgende formel, for 1 n: n r=0 ( 1) r ( n r ) 1 r + = 1 ( n). For at vise formlen bemæres, at begge formlens sider er lig med det bestemte integral I := 1 0 x 1 (1 x) n dx: At integralet er lig med venstresiden fås ved at anvende binomialformlen på fatoren (1 x) n og så integrere de fremomne potenser x i. At integralet er lig med højresiden ses ved gentagne partielle integrationer: integrer potensen x i og differentier potensen (1 x) j.

4 27. otober 2008 Løse ender A.4 For at vise den anførte ulighed bemæres, at alle nævnerne r + på venstresiden er mindre end eller lig med n. Derfor er alle nævnerne r + divisorer i LCM(n). Multipliceres med LCM(n), fås altså et helt tal ud fra venstresiden, og derfor også ud fra højresiden. Det sidste betyder, at nævneren på højresiden er divisor i LCM(n), altså Relationen (A.4.2) medfører følgende to relationer, for 1: ( ) n LCM(n). (A.4.2) ( ) 2 ( ) 2 LCM(2 + 1) og (2 + 1) LCM(2 + 1). (A.4.3) Den første relation i (A.4.3) fås nemlig ved at anvende (A.4.2) med n := 2 og udnytte, at LCM(2) LCM(2 + 1). Den anden relation i (A.4.3) fås ved at anvende (A.4.2) med n := og := + 1; udnyt, at ( + 1) ( 2+1) ( +1 = (2 + 1) 2 ). I de to relationer i (A.4.3) er de to fatorer og primise. De to relationer medfører derfor følgende: ( ) 2 (2 + 1) LCM(2 + 1). (A.4.4) Øjensynlig er 2 2 = ( 2 ) ( i i. I summen er der binomialoefficienter 2 ) i for i = 0,...,2, og af dem er ( 2) den største. Derfor er 2 2 (2 + 1) ( 2). Relationen i (A.4.4) medfører derfor uligheden, 2 2 LCM(2 + 1). (A.4.5) Heraf ses, for 2, at LCM(2 + 1); uligheden (A.4.1) gælder derfor, når n er ulige og n 5. Videre er LCM(2 + 1) LCM(2 + 2), så af (A.4.5) følger, for 4, at LCM(2 + 2); uligheden (A.4.1) gælder derfor, når n er lige og n 10. I området n 7 mangler altså un uligheden for n = 8. Her finder vi: 2 8 = = LCM(8), hvormed også den manglende ulighed er eftervist. (A.5) Opgaver. 1. Vis, at ψ(x) = p x logx/ logp logp, og at ψ(x) π(x) logx. 2. Gælder uligheden 2 n LCM(n) for n = 6? Vis, at uligheden π(n) (log 2)n/ logn gælder for naturlige tal n Brug Lemma (1.6) til at vise, at enhver binomialoefficient ( n ) er divisor i LCM(n), og giv herved et simpelt bevis for (den svagere ulighed) 2 n (n + 1) LCM(n).

5 27. otober 2008 Løse ender A.5 4. Vis følgende særpede form af Bertrand s postulat: For alle n 4 findes et primtal p med n < p < 2n 2. [Vin: Kig på beviset i (A.3). For at vise den særpede form for små værdier af n ræves en følge q i af primtal med q i+1 < 2q i 2. En sådan følge er 5, 7, 11, 19, 31, 59, 113, 223, 443, 883. Det fremgår, at den særpede form gælder for n < 882. I et modesempel må der altså gælde n 882, og specielt, at n 2 9. Kig nu på de følgende argumenter i beviset for (A.3). De fleste er uændrede, men i tælleren på b an det foreomme, at n + 1 er et primtal. Det medfører, at man til højresiden i (A.3.1) må lægge leddet log(n+1). Det samme led sal herefter lægges til på højresiden i (A.3.2) og (A.3.4), og til højresiden i (A.3.5) må man lægge brøen (log(n + 1))/(2n). Også den sidste brø er aftagende som funtion af n. Vurder den opad ved værdien i 2 9, som an vurderes videre: (log( ))/2 10 < (log 2 10 )/2 10 = (10/1024) log 2. Med dette estra bidrag fås den afsluttende ulighed log 2 < 1024 log 2; og det er stadig er en modstrid.]