Projekt 5.9 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse hos Archimedes og Kepler

Transkript

1 Hvad er matemati? Projeter: Kapitel 5 Differentialregning Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse hos Archimedes og Kepler 1 Indledning Kepler fortæller selv om hvordan han i 1613 blev optaget af problemerne med opmåling af vintønder: "Da jeg i november sidste år havde hjembragt en ny one til mit hus, var det netop på dette tidspunt, at en omfattende og lige så fremragende vinhøst blev ført op på utallige pramme langs Donau, og overfloden af denne rigdom blev fordelt til vores Noricum 1, så hele flodbredden i Linz var overstrøet med vintønder, der blev tilbudt til en overommelig pris Fordi min pligt som ægtemand og en god familiefader rævede at jeg forsynede mit hus med det nødvendige lager, lod jeg mange tønder hente til mit hus, for at opbevare dem der Fire dage senere om nu sælgeren med en målesto, som han brugte som det eneste værtøj, for at opmåle alle tønder uden at tage hensyn til deres form eller foretage eventuelle beregninger Han satte spidsen af jernstangen sævt ned i spunsen af den fulde tønde indtil den nåede bunden af det cirulære trælåg, som vi i det loale sprog alder basen Når han på denne måde havde fundet begge sider af længden fra toppen af fadrundingen til det laveste punt i de to cirulære baser, fandt han på staven det mære, der svarede til det punt, hvor denne længde ophørte, og angav antallet af spande vin, der var hældt op i tønden, og satte det fastlagte antal i forhold til prisen Det virede underligt, hvis det sulle være muligt at afgøre rumfanget af en halv tønde alene ud fra den fastlagte linje på tværs af tønden, og jeg var i tvivl om pålideligheden af disse målinger " 1 Navnet på en gammel romers provins, der nærmest svarer til vore dages Østrig 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrud

2 Hvad er matemati? Projeter: Kapitel 5 Differentialregning Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse Opmåling af vintønder: Figur fra Adrianus Metius 1633 Vintønden opmåles ved at finde længderne OB og OE fra spunshullet O til bundpunterne B og E for vintønden i begge retninger Kepler astede sig derfor ud i et omfattende studium af vintønders rumfang, der resulterede i været Stereometria Doliorum Vinarium (Rumfangsberegninger for vintønder) fra 1615, som han selv aldte for et supplement til Archimedes Her foregreb han dels den tidlige differentialregning ved at undersøge forsellige optimeringsproblemer, dels den tidlige integralregning ved at udlede mange af Archimedes rumfangsformler med simplere tenier Vi fortæller mere om Keplers bidrag til integralregningen i A- bogen Her vil vi oncentrere os om at disutere hans bidrag til den tidlige differentialregning Kepler forenlede problemet og betragtede i første omgang de to halvdele af en vintønde som cylindre Og det er udeluende denne forenlede version vi her vil betragte Som Descartes og Galilei var Kepler afsåret fra at bruge moderne funtioner og oordinatsystemer, så han nøjedes med at tabellægge problemet for at få indsigt i hvad der foregi 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrud

3 Hvad er matemati? Projeter: Kapitel 5 Differentialregning Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse Her er en tabel fra Keplers Sterometria, der aster lys over rumfanget af hans cylinder (svarende til en halv vintønde): Højde Basisdiameter Søjlens omfang Kvadratis fordobling Lige store Tabel fra Keplers: Neue Stereometrie Der Fasser (Tys oversættelse 1908) a) Undersøg Keplers tabel med støtte i grafer og ligninger: Hvilen sammenhæng gælder der åbenbart mellem højden og diameteren i hans cylinder? Hvad er længden af diagonalen a i hans cylinder? Hvilen formel har Kepler brugt til at udregne det samlede omfang af cylinderen? Hvad er sammenhængen mellem omfanget og rumfanget af cylinderen? NB! Der er et par tryfejl i tabellen! Kan du finde dem? b) Hvad menes der med Lige store i tabellen? Hvad menes der med Kvadratis fordobling i tabellen? Ifølge tabellen ser det ud som om omfanget (og dermed rumfanget) er masimalt, når diameteren er et sted mellem 11 og 1 og højden tilsvarende et sted mellem 16 og 17 og det masimale omfang synes at være 3080 Kepler bemærede nu også at omfanget un varierer langsomt i nærheden af den masimale værdi c) Undersøg variationen i omfanget af cylinderen og forlar med egne ord, hvad Kepler mon mener med at omfanget un varierer langsomt i nærheden af det masimale omfang Illustrer din forlaring med passende tabeller og grafer 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrud

4 Hvad er matemati? Projeter: Kapitel 5 Differentialregning Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse Fordi omfanget varierer så langsomt lige i nærheden af masimumspuntet, aldes dette også for et stationært punt, idet væsten spå at sige går i stå i dette punt Det er altså her tangenten er vandret Heri så Kepler nu en løsning på sit vintøndeproblem: Hvis vintøndefabrianterne i Linz benytter tønder, der ligger tæt op af de masimale tønder, så giver det god mening at bestemme deres rumfang alene ved en opmåling af den halve diagonal fra spuns til modsat bind Kepler målte nu på sine vintønder og fandt at de netop lå tæt op af målene fra den optimale vintønde! Det er ie trivielt For esempel passede tønderne fra hans barndomsegn ie med de optimale mål! d) Forlar dette med egne ord! Keplers cylinderproblem Men Kepler var selvfølgelig ie matematier for ingen ting, så han udmøntede resultatet af sine undersøgelser i en matematis sætning om cylinderens rumfang: Sætning V: Blandt alle cylindre med den samme diagonal er den største cylinder, dvs cylinderen med det masimale rumfang, den, hvor forholdet mellem vadratet på diameteren og vadratet på højden er Det er denne sætning vi nu vil prøve at forstå: a) Hvilen sammenhæng gælder der mellem højden h, diameteren D og diagonalen a? b) Hvordan udregnes rumfanget for en cylinder? c) Rumfanget af cylinderen afhænger af såvel højden h, som diameteren D Vi an nu eliminere en af disse variable ved at udnytte resultatet fra spørgsmål e) Hvilen af de to variable er den nemmeste at eliminere? Du sulle nu gerne have udtryt rumfanget ved en formel af typen π V( ) = ( a ) 4 d) Hvilen rolle spiller den uafhængige variabel i denne formel for cylinderens rumfang? Det drejer sig altså om at masimere tredjegradspolynomiet p( ) ( a ) =, hvor 0 a e) Hvilen sammenhæng er der mellem dette tredjegradspolynomium og Keplers tabel? 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrud

5 Hvad er matemati? Projeter: Kapitel 5 Differentialregning Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse f) Differentiér nu tredjegradspolynomiet og finde herved det stationære punt Illustrér din løsning med en passende graf g) Gør rede for hvorfor det fundne resultat er ævivalent med Keplers sætning V om den masimale cylinder med en fast diagonal 3 Masimum for et tredjegradspolynomium à la Archimedes Da Kepler ie endte til differentialregning og heller ie til polynomier an det være værd at overveje, hvordan han så unne løse problemet Han endte til Archimedes værer og i et af Archimedes værer bestemmer Archimedes masimum for tredjegradspolynomiet ( a ) =, jfr Esemplet om Archimedes undersøgelse af ugleafsnit, apitel 3, afsnit Vi vil nu se nærmere på hvordan Archimedes løste dette optimeringsproblem og derefter an du selv prøve ræfter med Keplers problem Archimedes udgangspunt er endsab til eglesnittene, i dette tilfælde, parablen y = a disse to eglesnit: y=, og den ligesidede hyperbel Løsningen af tredjegradsligningen an nemlig omformes til et tilsvarende problem om særing mellem Opret nu to grafrum lige oven over hinanden med samme enheder på -asen, så du umiddelbart an sammenligne de to grafrum I det øverste grafrum oprettes sydere for parametrene a og, f med værdierne a = 3 og = 1 I det øverste grafrum tegnes graferne for tredjegradspolynomiet y= y = ( a ) og seanten I det nederste grafrum tegnes graferne for de to eglesnit y= og y = a Bestem i begge grafrummene særingspunterne mellem graferne Tilføj også seanten i det nederste grafrum som forbinder de to særingspunter ( a ) = = a Træ nu forsigtigt i syderen for (små trin!) Hvad ser der når særingspuntet forsvinder? Hvad ser der med seanten? Hvordan ligger de to grafer i forhold til hinanden, når de to særingspunter er smeltet sammen til et særingspunt? Hvilen værdi synes at have i det fælles røringspunt? Hvilen værdi synes onstanten at have? 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrud

6 Hvad er matemati? Projeter: Kapitel 5 Differentialregning Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse For at omme videre i analysen må vi have styr på eglesnittenes tangenter Det havde Archimedes fra Apollonius, der på rent geometris manér havde fundet tangenterne til eglesnittene For parablen og den ligesidede hyperbel gælder der de følgende særligt simple arateriseringer, som vi gengiver i moderne formulering med brug af oordinatsystemer: Sætning 1: Tangenten til parablen y = a asen, dvs tangenten i toppuntet, halvejs henne, dvs i med røringspuntet ( 0, y 0) særer - 0 = Tilsvarende særer den y-asen, dvs parablens ase, lige så langt på den anden side af toppuntet, dvs i y y0 = Øvelse Vis selv sætningen ved først at opstille ligningen for tangenten gennem apitel 5A, og dernæst indsætte = 0, samt løse ligningen y = 0 (, a ) 0 0 med brug af sætning 5 i Sætning : Tangenten til den ligesidede hyperbel y = med røringspuntet (, y ) særer -asen, dvs den vandrette asymptote dobbelt så langt ude, dvs i = 0 Tilsvarende særer den y-asen, dvs den lodrette asymptote, dobbelt så langt ude, dvs i y= y0 0 0 Øvelse Vis selv sætningen ved først at opstille ligningen for tangenten gennem ( 0, ) med brug af sætning 5 i apitel 5A, og dernæst indsætte = 0, samt løse ligningen y = 0 0 Bevæbnet med disse geometrise arateriseringer af tangenter til eglesnit vender vi tilbage til Archimedes analyse af tredjegradsligningen I toppuntet for tredjegradspolynomiets graf har vi en vandret tangent Det udnytter vi til at finde masimumspuntet ved hjælp af differentialregning Men samtidigt er det også der, hvor parablen og den ligesidede hyperbel har en fælles tangent! Det an vi nu udnytte til at finde masimumspuntets -værdi, dvs røringspuntet for den fælles tangent 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrud

7 Hvad er matemati? Projeter: Kapitel 5 Differentialregning Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse Archimedes var un interesseret i målbare størrelser (positive tal!), dvs hvad der foregår i første vadrant VI an derfor gråtone de andre vadranter, så det er tydeligt at tredjegradsligningen har 0, 1 eller positive løsninger, når er positiv, og at den vandrette tangent netop svarer til tilfældet 1 positiv løsning Det øverste grafrum: Den an findes med brug af differentialregning, idet vi løser ligningen for stationære punter: = p = + a 0 ( ) 3 0 = (3 a) = a (i det = 0 ie er positiv) 3 Det nederste grafrum: Uden differentialregning! Da fællestangenten er en parabeltangent gælder AB = BC Da fællestangenten er en hyperbeltangent gælder tilsvarende BC = CD, dvs de fire punter A, B, C og D ligger ævidistant Derfor gælder netop 0 = a, hvor er -oordinaten til det fælles 3 røringspunt Vi an selvfølgelig også sætte oordinater på til sidst: 0 0 A = 0, B = (fordi det er en parabeltangent), C = 0 og endelig D = a Men fordi det er en hyperbeltangent gælder: C B = D C dvs 0 0 = a = a = a 0 = a I begge tilfælde finder vi den tilsvarende værdi for til y0 ( a 0) = 0 ( a 0) = a a = a I dag vil vi foretræe at løse optimeringsproblemet ved brug af differentialregning, fordi det giver en meget generel metode, der f virer på alle polynomier Men Kepler endte ie differentialregningen, hvorfor det blev Fermat, der først løste problemet med at finde stationære punter for polynomier med brug af differentialregning Så Kepler var henvist til at benytte Archimedes metode med særing/røring af to eglesnit 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrud

8 Hvad er matemati? Projeter: Kapitel 5 Differentialregning Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse 4 Masimum for et tredjegradspolynomium à la Kepler Du an nu selv prøve ræfter med Keplers problem Keplers tredjegradspolynomium er givet ved p a ( ) = ( ) hvor a er diagonalen i cylinderen Ligesom før an vi omsrive tredjegradsligningen nemlig parablen y = a p( ) og den ligesidede hyperbel = så den i stedet handler om særingen mellem to eglesnit, y = a) Gør rede for detaljerne i omformningen b) Opret nu to grafrum lige oven over hinanden med samme enheder på -asen, så du umiddelbart an sammenligne de to grafrum I det øverste grafrum oprettes sydere for parametrene a og, f med værdierne a = 3 og = 1 I det øverste grafrum tegnes graferne for tredjegradspolynomiet y ( a ) nederste grafrum tegnes graferne for de to eglesnit y = a og = og seanten y I det y = c) Bestem i begge grafrummene særingspunterne mellem graferne Tilføj også seanten i det nederste grafrum som forbinder de to særingspunter d) Træ nu forsigtigt i syderen for (små trin!) Hvad ser der når særingspuntet forsvinder? Hvad ser der med seanten? Hvordan ligger de to grafer i forhold til hinanden, når de to særingspunter er smeltet sammen til et særingspunt? Hvilen værdi synes at have i det fælles røringspunt? Hvilen værdi synes onstanten at have? e) Tag nu udgangspunt i det øverste grafrum og udnyt differentialregning til at finde det stationære punt med den vandrette tangent Hvilen sammenhæng gælder der mellem 0 og a? Hvilen sammenhæng gælder der mellem og a i det stationære punt? Kommentér resultaterne i lyset af Keplers egen løsning på problemet f) Tag derefter udgangspunt i det nederste grafrum og udnyt din viden om tangenter til eglesnit til at finde en sammenhæng mellem 0 og a Hvilen sammenhæng gælder der mellem og a når de to eglesnit har en fælles tangent? Kommentér resultaterne i lyset af Keplers egen løsning på problemet = 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrud