Mattip om Algebra 1 Du skal lære om: Reducering Kan ikke Kan næsten Kan Bogstaver som pladsholdere Bogstaver i ligninger Bogstaver i tekstopgaver Tilhørende kopier: Algebra 1 og 2 2016 mattip.dk 1
Algebra 1 At regne med bogstaver (reducering) Du kan regne med bogstaver, som du regner med tal. Du kan gange dem, trække dem fra hinanden, dividere og addere dem. Reglerne for bogstaver er de samme som for tal, men det ser lidt anderledes ud. Hvis du arbejder med mange af de samme bogstaver, kan du reducere dem for at gøre det mere overskueligt at arbejde med dem: a + a + a = 3a De 3 a er (a + a + a) kan skrives som 3a, der betyder 3 a. Du skal altså forestille dig, at der er et usynligt gangetegn mellem 3 og a. 1 a + a + b + b + b + c = 2a + 3b + c Prøv at reducere følgende bogstaver: De 2 a er (a + a) kan skrives som 2a, der betyder 2 a. De 3 b er (b + b + b) kan skrives som 3b, der betyder 3 b. Det sidste c kan skrives som 1 c, men at gange 1 med noget giver jo det samme 3 a) a + a + b + b + b + b + b b) v + v + v + v + v + v c) g + g + g + h + h + b + b d) a + a + a + b + b + b + b + c e) a + b + c + c + c + c Reducer følgende udtryk: a) 12a + 21a + 12c + 4c + c + 12a b) 21c + 12b + 81b + c + 45c c) 42b + 32c + 31c d) 4z + 12z + 4z + 17y Som du kan se, er - 2a trukket fra de 3a. Det giver 1a eller a. 2 Reducer følgende udtryk: a) a + a + 2a + 4c + c + a b) 2c + 3b + b + b + a + a c) a + 2b + 3a + 3b d) 4c + 2c + 4a + 7a e) 4f + 3f + f + c + 3a + a Du kan også trække bogstaver fra hinanden, hvis der er et minustegn foran: 4 Reducer følgende udtryk: a) 2b 4a + 3c + 2b c b) 8a + 3a 7c + a 4a c) 4b + 3b 8b + 3a + 2c d) 12b + 10a 14a + 4c 9a e) 23a + 4c 12c 8c + 12a a + 2a + 4b + b 2a = 3a 2a + 5b = a + 5b Du kan også godt have flere negative bogstaver end positive: a + 2a 7a + 4b 7b = 6a 3b 2016 mattip.dk 2
Bogstaver som pladsholdere I matematik kan det nogle gange være nyttigt eller ligefrem nødvendigt at benytte et bogstav i stedet for et tal. Det er fordi, bogstaver kan repræsentere forskellige værdier, hvor et enkelt tals værdi altid er konstant. Lad os tage et hurtigt eksempel: Du ønsker at købe 2 appelsiner og 3 bananer, men er ikke sikker på, hvad prisen bliver. Hvis hver appelsin erstattes med et a og hver banan med et b, så får du en udregning (ligning), der ser således ud: Pris for køb af 2 appelsiner og 3 bananer: a + a + b + b + b = pris Pris for køb af 2 appelsiner og 3 bananer: 2a + 3b = pris Koster en appelsin 2,5 kr. og en banan 4 kr., så kan vi efterfølgende erstatte bogstaverne med de tal: Pris for køb af 2 appelsiner og 3 bananer: 2 2,5 kr. + 3 4 kr. = 17 kr. Skulle prisen stige på bananer, så gælder udregningen (ligningen) med bogstaver stadig. Du kan blot erstatte bogstaverne med den nye pris. 5 Beregn, hvad prisen bliver, hvis en appelsin koster 5 kr., og en banan koster 4 kr. 6 Find et bogstav, der erstatter følgende varer: æble, citron, porre. Udregn derefter prisen på følgende antal varer, hvis prisen er som vist på skiltet til højre: a) 4 æbler, 3 citroner og 7 porrer. b) Et æble, 4 citroner. c) En citron, 8 porrer, 3 porrer og 8 æbler. d) 7 æbler, 4 æbler, 3 citroner, 4 porrer og 7 citroner. e) 3 porrer, 10 æbler, 17 citroner, 7 æbler og 4 porrer. Pris på grønt: Et æble 4 kr. En citron 3 kr. En porre 5 kr. 7 I følgende opgave skal du regne med addition (lægge til). Tag et stykke papir og riv eller klip det i 16 lige store stykker. Skriv A på 4 stykker, B på 4 stykker, C på 6 stykker og D på 2 stykker. Fold papirstykkerne 2 gange, så du ikke kan se, hvad der står. Bland stykkerne og udtræk: a) 7 stykker papir og reducer udtrykket. b) 9 stykker papir og reducer udtrykket. c) 12 stykker papir og reducer udtrykket. Erstat bogstaverne i de 3 udtryk ovenover med følgende tal: A = 7, B = 10, C = 5 og D = 2,5. d) Udregn de reducerede udtryk ovenover. e) Hvis alle 16 papirstykker udtrækkes, hvad vil summen så blive, hvis ovenstående værdier indsættes? 2016 mattip.dk 3
8 En fisker har været ude med sin båd og har fanget følgende: 25 rødspætter, 50 torsk og 1 sildehaj på 75 kg. a) Hvor meget tjener han, hvis han kan sælge: en rødspætte for 9 kr. en torsk for 23 kr. sildehajskød for 10 kr./kg. b) Han skal kassere!! af rødspætterne og af torskene. Hvor meget har han nu tjent? "!# 9 En familie skal i den lokale biograf, der kaldes Biozonen. De er 2 voksne og 4 børn. Priserne er som vist på skiltet nederst: a) Hvilket af følgende regneudtryk kan bruges til at udregne, hvad de skal betale (p)? 1 2 3 3v + 3b = p 2v + 4b - h = p 4b + 2v = p b) Hvad bliver prisen? De 4 børn vil alle have en mellem popcorn og en mellem Fanta. Forældrene vil derimod hver have en stor popcorn og en stor Coca Cola. c) Lav et regneudtryk, der viser den samlede pris for familien med billetter, popcorn og sodavand. d) Udregn den samlede pris for familiens biograftur. 4 2 + v + 4 + b = p Priser i Biozonen Biografbilletter: Voksne: 75 kr. Børn: 30 kr. Pensionister: 40 kr. Drikkevarer: Lille sodavand: 25 kr. Mellem sodavand: 35 kr. Stor sodavand: 45 kr. Danskvand: 20 kr. Snacks: Lille popcorn: 15 kr. Mellem popcorn: 25 kr. Stor popcorn: 50 kr. Slikpose: 10 kr. e) Hvad vil det koste, hvis hele din klasse + din matematiklærer skal i Biozonen for at se en film, og alle skal have en lille sodavand, en lille popcorn og en slikpose? f) Hvis du har 500 kr. og vil have, at alle får en stor sodavand og en stor popcorn, hvor mange venner kan du så invitere med i biffen? (Glem nu ikke dig selv.) 2016 mattip.dk 4
10 Reducer: a) 3x + 4y 5 + 8x + 10 b) 21 3y + 14 7y c) 12 5v + 24 3v + 7y d) 90 21 + 10x +14x 12 e) 120 98x + 67 138 + 45x Opstil bogsaver og tal efter hinanden, når du skal reducere dem: 7a + 12a 70 9a + 37 = 7a + 12a 9a 70 + 37 = 19a -9a 70 + 37 = 10a 33 Du kan reducere i både tal og bogstaver på samme tid, men du skal holde dem adskilt. Det er en god ide at holde styr på dem ved at arrangere dem hver for sig. 11 Michael og Alex laver et spil, hvor de slår med to terninger. Det første slag med de to terninger lægges sammen og indsættes på a s plads i ligningen, det næste slag lægges sammen og indsættes på b s plads: 4a - 3b = Facit Derefter udregnes værdien af ligningen. Den, der får den højeste sum har vundet, og den anden skal tage 3 mavebøjninger. Ender det uafgjort, skal de begge tage to armbøjninger. a) Michael slår følgende: (5 + 3) og (4 + 2). Alex slår følgende: (4 + 3) og (1 + 4). Hvem vinder første omgang? b) Michael slår: (6 + 4) og (4 + 3). Alex slår: (5 + 5) og (2 + 5). Hvem vinder anden omgang? c) Hvad er den højeste sum, de kan få i spillet? d) Hvad er den laveste sum, de kan få i spillet? e) Spil spillet med en kammerat. I skal spille 10 omgange. Lav et pointskema i jeres hæfte. 12 Find på et spil hvor du skal konkurrere med og mod nogle klassekammerater. Spillet skal indeholde et bogstavsudtryk (f.eks. 7b 3a + 4), og der skal kunne vindes eller tabes omgange. Find også på hvad der skal ske, hvis der tabes en omgang. 13 Reducer følgende: a) a + a + a + a + d + d + d b) d + d + d + d + d + v + v + v c) 2b + b + b + a + a + a + 3c d) f + f + 2f + 7c + 6c + f 14 Reducer følgende udtryk: a) a a 3a + 4c + c a b) 9c 3b b b + 12a + 8a c) 9a 9b + 3a 9b d) 4c 4c 4a 7a e) 8f 4f 3f c 3a 10a 2016 mattip.dk 5
15 16 Reducer følgende: a) 5 + 6 7 3 + 12 b) 6 + 8 + 8 3 5 c) 14 18 + 9 + 9 8 d) 3 + 4 + 17 18 + 12 e) 120 + 90 70 30 + 140 Reducer: a) 90 + 30 5v + 8v + 10 12v b) 81 37y 140 7y + 50 + 14y c) 120 76 80 + 76 30 d) 30x + 75x 89b + 32x + 140b e) 90 21 + 100 + 320 80 35 Husk det ofte kan betale sig at opdele i positive og negative tal, før der udregnes. Opstil evt. positive og negative tal på denne måde, før du reducerer: 120 76 80 + 76 30 = Positive tal forrest, negative bagerst: 120 + 76 80 76 30 = Læg positive og negative tal sammen: 196 186 = Udregn facit 196 186 = 10 17 Arnold Svendsen ejer virksomheden Sjov på hjul, der sælger forskellige legetøjsbiler. På listen til højre kan du se, hvor mange forskellige biler han har solgt til 3 byer i Danmark. Desværre er der brugt en forkert maling til ambulancerne, så de bliver sendt retur: a) Hvilke 3 forskellige biltyper sælger virksomheden? b) I hvilke 3 byer sælger virksomheden biler? c) Hvor mange politibiler har virksomheden solgt i Aalborg? d) Hvor mange ambulancer må virksomheden tage retur fra Randers? e) Hvor mange brandbiler har virksomheden solgt i København? Legetøjstype: Forretning ligger i: Solgte stk.: Pris/stk.: Brandbil: Aalborg 15 199 kr. Politibil: Aalborg 21 149 kr. Ambulance: Aalborg -12 175 kr. Brandbil: København 32 199 kr. Politibil: København 43 149 kr. Ambulance: København -15 175 kr. Brandbil: Randers 23 199 kr. Politibil: Randers 42 149 kr. Ambulance: Randers -18 175 kr. Bogstavsudtrykket for biler solgt i Aalborg kan skrives således: Solgte biler Aalborg = b15 + p21 12 f) Lav et tilsvarende bogstavsudtryk for København og Randers. g) Vis med et bogstavsudtryk hvor mange brandbiler (b) virksomheden har solgt tilsammen i de 3 byer. h) Vis med et bogstavsudtryk hvor mange ambulancer virksomheden har måtte tage retur i de 3 byer. i) Vis med et bogstavsudtryk hvor mange politibiler (p), brandbiler (b) og ambulancer (a) virksomheden har solgt eller fået retur i/fra de 3 byer. j) Hvad har virksomheden tjent tilsammen i de 3 byer, når man fratrækker de ambulancer, byerne sender retur? 2016 mattip.dk 6