Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
|
|
- Simone Andresen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
2 Indhold 1 Introduktion Om regneregler Forlæns, baglæns og ordet formel Regel 1: De neutrale elementer 4 3 Regel 2: Inverse elementer 6 4 Regel 3: De associative love 7 5 Regel 4: De kommutative love 7 6 Regel 5: Den distributive lov 8 7 Afledte regler At gange med 0 og At gange ind i parenteser og sætte uden for parentes At hæve minusparenteser Brøkregnereglerne
3 Resumé I dette afsnit gennemgår vi de basale regler for omskrivninger af taludtryk. 1 Introduktion En stor del af gymnasiematematik handler om at nærstudere et eller andet regneudtryk 1, hvori der indgår kendte og ukendte talstørrelser samt nogle regneoperationer. Det foregår som regel ved at man omskriver udtrykket til noget som ser anderledes ud, men er præcis det samme. F.eks. er det forhåbentlig velkendt at udtrykket er det samme som x + x + x 3 x Det kan nogle gange være svært at følge med i de mange omskrivninger som foregår på tavlen, og man kan fristes til at føle at matematiklæreren opfinder en ny regel hver eneste gang. Den gode nyhed er: Det er overhovedet ikke rigtigt! Langt de fleste omskrivninger i gymnasiematematik (inklusive den ovennævnte) kan faktisk foretages ved at anvende en af de fem regneregler i dette dokument (enten forlæns eller baglæns). Den dårlige nyhed er: Livet ville være ekstremt besværligt hvis man skulle reducere alle omskrivninger til anvendelser af de fem regneregler i dette dokument. Nogle anvendelser af de fem regler i kombination bliver brugt så mange gange at man har givet dem deres eget navn. På den måde kan man nogle gange lave mange ting på en gang, og bare sige at vi f.eks. dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte. I det 1 Læs om udtryk her side 1
4 sidste afsnit samler jeg nogle af de mest brugte af den slags ekstraregler og beviser hvorfor de bare er en sammensætning af de fem første regler. Og når man definerer nye regneoperationer (såsom potensopløftninger) så kommer der naturligvis også nye regler, men disse regler er også bare en sammensætning af de fem første regler. Sagt med andre ord: De fem regler er så hamrende fundamentale at hvis ikke man kender dem alle fem (helst forfra, bagfra, udvendigt, indvendigt, i søvne og på tysk), så har man ikke en chance for at følge med i omskrivningerne når det går lidt stærkt. 1.1 Om regneregler Når man omskriver et regneudtryk hvori der indgår ukendte størrelser, skal man selvfølgelig passe på at man ikke omskriver det til noget helt andet. F.eks. må man gerne omskrive udtrykket x+x+x til 3 x fordi de to regneudtryk giver samme resultat, uanset hvad x måtte være. Omvendt må man ikke omskrive udtrykket: til udtrykket a + b x + y a x + b y fordi de to udtryk bestemt ikke giver det samme resultat, hvis f.eks. a = 1, b = 1, x = 1 og y = 1. (Regn selv efter!) Man må altså kun foretage lovlige omskrivninger, hvor man benytter en regneregel som er rigtig. I princippet skal enhver regneregel bevises før den må bruges, men de fem regneregler i dette dokument er en undtagelse. Det er fordi de er så fundamentale 2 at man ville være nødt til at fordybe sig meget grundigt i hvordan de reelle tal i første omgang er 2 Man kunne endda sige at de er aksiomer for de reelle tal. Altså regler som definerer hvad vi overhovedet mener med de reelle tal. Læs mere om aksiomer og de reelle tal her side 2
5 defineret før man kunne lave et sådant bevis. Og det viser sig at være meget sværere end man skulle tro. 1.2 Forlæns, baglæns og ordet formel En omskrivningsregel som f.eks. 3 x + x + x = 3 x fortæller os at to udtryk (som muligvis ser meget forskellige ud) er ens. Altså at det ene udtryk frit kan erstattes af det andet. Det er vigtigt at huske at en sådan erstatning kan gå begge veje!. Nogle gange står man med udtrykket til venstre for lighedstegnet og har lyst til at bruge udtrykket til højre i stedet for. Og nogle gange er det lige omvendt! Hvis du synes at denne tanke er meget underlig, så er det sandsynligvis fordi du har fået et (forkert) indtryk af matematik. Nemlig at det handler om at sætte tal ind i en formel. Mange elever har en opfattelse af at ordet formel betyder en magisk trylleformular som fremskaffer det rigtige facit til en opgave, idet den fortæller hvordan en størrelse kan regnes ud. Hvis du har denne opfattelse, så prøv med følgende lille mentale øvelse: Hver eneste gang du ser et lighedstegn, f.eks. y = 3 x + 1 så skriv det ned på et stykke papir, omvendt! Altså i vores eksempel: 3 x + 1 = y og sig til dig selv: Der står nøjagtigt det samme! og så i øvrigt læse alle lighedstegn som et udsagn om at to objekter er ens, og ikke som en opskrift på hvordan en af dem kan regnes ud 3 Vi skal snart se at dette ikke er en regel i sig selv, men derimod en kombination af to af de fem regneregler i dette dokument. side 3
6 2 Regel 1: De neutrale elementer De to tal, 0 og 1, udgør de såkaldt neutrale elementer i de reelle tal. At være neutral vil sige at man ikke ændrer noget. Og det er præcis hvad 0 og 1 gør når man henholdsvist lægger 0 sammen med et andet tal, og når man ganger 1 med et andet tal. Det additivt neutrale element (nul) Tallet 0 er neutralt med hensyn til addition. Det betyder at hvis man lægger et tal sammen med nul, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Regel 1A. For ethvert tal x, gælder: x + 0 = x Eksempel 1. Man bruger tit denne regel baglæns, idet man kan tillade sig at lægge nul til alle de steder man har lyst til, uden at det ændrer på udtrykket. Det kan være nyttigt hvis man f.eks. arbejder med ligninger af den generelle type 4 : y = ax + b hvor a og b er givne reelle tal. Hvis man så en dag møder ligningen: y = 5x så kan man komme i tvivl om hvorvidt den er af ovennævnte type. ( Der er jo ikke noget b. ) Men hvis man omskriver den til: y = 5x + 0 er det nemt at se at det er en ligning af den nævnte type. side 4
7 Det multiplikativt neutrale element (et) Tallet 1 er det neutrale element med hensyn til multiplikation. Det betyder at hvis man ganger et tal med 1, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Regel 1B. For ethvert tal x, gælder: x 1 = x Eksempel 2. Ligesom med regel 1A kan regel 1B også være nyttig når man arbejder med rette linjer. Hvis man f.eks. har en ligning med ligningen: y = x + 7 Så kan det igen være svært at se hvad der spiller rollen som a i forhold til den generelle linjes ligning: y = ax + b Men regel 1B siger jo at vi gerne må skrive ligningen som: y = 1 x + 7 og nu er det nemt at se at der er tale om en linje med hældningskoefficient 1. side 5
8 3 Regel 2: Inverse elementer Ordet invers betyder omvendt. Og et tals inverse element skal man lige præcis tænke på som en slags spejlbillede eller ond tvilling. Den præcise betydning af at være omvendte afhænger af hvilken regneoperation man snakker om, og derfor har man både inverse elementer med hensyn til addition og med hensyn til multiplikation. Det additivt inverse element Ethvert tal har et spejlbillede i form af det samme tal med omvendt fortegn. Den operation hvor man erstatter et reelt tal med sit spejlbillede kaldes fortegnsskift, og hvis x er et reelt tal, så skrives dette spejlbillede som: x Bemærk at x sagtens kan være negativt. I så fald bliver x positivt. F.eks. er: ( 8) = 8 Det spejlbillede som fremkommer når man laver fortegnsskift på et reelt tal, x, kaldes det additivt inverse tal til x. Følgende regel forklarer hvorfor: Regel 2A. Til ethvert tal, x, findes der et additivt inverst tal, x, med den egenskab at: x + ( x) = 0 (Altså: Man får 0 når man lægger x sammen med sit additivt inverse tal.) Det multiplikativt inverse element Man kan også spejle et tal med hensyn til regneoperationen gange. Så handler det om at finde et spejlbillede som opfylder at når man ganger et tal med sit spejlbillede, så får man det multiplikativt neutrale element. side 6
9 Regel 2B. Til ethvert tal, x 0, findes der et multiplikativt inverst tal, x 1, med den egenskab at: x (x 1 ) = 1 (Altså: Man får 1 når man ganger x med sit multiplikativt inverse tal.) 4 Regel 3: De associative love Regel 3A. Hvis x, y og z er tre tal, så er (x + y) + z = x + (y + z) Regel 3B. Hvis x, y og z er tre tal, så er (x y) z = x (y z) 5 Regel 4: De kommutative love Regel 4A. Hvis x og y er to tal, så er (x + y) = (y + x) Regel 4B. Hvis x og y er to tal, så er (x y) = (y x) side 7
10 6 Regel 5: Den distributive lov Den sidste regel er der kun en enkelt af. Til gengæld handler den (som den eneste) om begge regneoperationerne på samme tid. Regel 5. Hvis x, y og z er tre tal, så er x (y + z) = x y + x z 7 Afledte regler Nu er vi faktisk færdige 5 i den forstand at alle andre regneregler (og i øvrigt alle andre resultater om de reelle tal) er logiske konsekvenser af de ovennævnte regler. I dette afsnit vil jeg vise hvordan mange af de sædvanlige regler man har lært (og givet navne) bare er konsekvenser af de fem regler. 7.1 At gange med 0 og 1. Alle ved godt at når man ganger med nul, så giver resultatet altid nul. Men når dette ikke er taget med blandt de fem regler, så er det fordi det faktisk er en logisk konsekvens af de fem regler. Lad mig vise hvorfor: Sætning 1 (At gange med nul). For alle tal, x er x 0 = 0 5 Og så alligevel ikke helt. Det mangler en eneste regel, nemlig den såkaldte fuldstændighedsregel før vi har nok. side 8
11 Bevis. Ifølge regel 1A kan vi skrive: Derfor er: 0 = x 0 = x (0 + 0) Men ifølge den distributive lov (regel 5) er dette lig med: x 0 = x (0 + 0) = x 0 + x 0 (1) Men hvad end x 0 måtte være, så har det ihvertfald et additivt invers tal, (x 0), (ifølge regel 2A) som opfylder at: x 0 + ( (x 0)) = 0 Hvis vi nu lægger dette tal til begge sider af lighedstegnet (1) så får vi: x 0 + ( (x 0)) = (x 0 + x 0) + ( (x 0)) (Bemærk parentesen på højre side, som markerer at dette egentlig var den gamle højreside som vi nu lægger noget ekstra til.) Men regel 3A siger at vi gerne må flytte parentesen på højre side af lighedstegnet, så der står: x 0 + ( (x 0)) = x 0 + (x 0 + ( (x 0))) Og hvis vi så bruger at x 0 lagt sammen med sin additivt inverse giver nul (regel 2A), så står der: 0 = x Og til sidst kan vi bruge regel 1A igen til at lave højresiden om, så der står at: 0 = x At gange ind i parenteser og sætte uden for parentes 7.3 At hæve minusparenteser side 9
12 Man skifter fortegn på en sum ved at skifte fortegn på alle leddene. Dvs. for alle reelle tal, x og y er: (x + y) = ( x) + ( y) Subtraktion Hvis du er den skeptiske type, så har du sikkert lagt mærke til at ikke en eneste af de fem regneregler nævner regneoperationen minus eller division med så meget som et ord. Det er fordi minus (også kendt som subtraktion ) i virkeligheden ikke er en selvstændig regneoperation. Den er derimod defineret som en sammensætning af addition og fortegnsskift: Definition 2. Hvis x og y er to reelle tal, så defineres differensen: x y til at være: x y = x + ( y) Altså y med omvendt fortegn, lagt sammen med x. At hæve en minusparentes Division 7.4 Brøkregnereglerne Brøkregnereglerne er faktisk også bare en anvendelse af den distributive lov. Hvis man f.eks. omskriver en brøk med flere led i tælleren: a + b + c d = a d + b d + c d side 10
13 så er det i virkeligheden fordi a + b + c d = (a + b + c) 1 d side 11
De rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereIndhold. Kontrol af resultater, skrivemåder osv.
Indhold Kontrol af resultater, skrivemåder osv.... 1 Om materialer:... 2 Om opgaverne... 2 1.0 Om regningsarternes hierarki og talforståelse... Opgave 1.1... 4 Opgave 1.2... 4 Opgave 1.... 4 R1 Kortfattet
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereKomplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKomplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011
Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste
Læs mereTal og Regneoperationer
Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs mereEn forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.
1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereMat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereTal og Regneoperationer
Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereGrundlæggende færdigheder
Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereKomplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereSymbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med
Læs mereMatematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2
Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs meredynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.
Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:
Læs mereULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011
ULULU (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereRegneoperationerne plus og minus er hinandens omvendte regneoperation og at gange og dividere er hinandens omvendte regneoperation.
Ligninger Eksempel 1. Et eksempel på en ligning er 2x 4 = 10 En ligning er et matematisk udtryk hvor der indgår et lighedstegn. I en ligning indgår der et bogstav, en ukendt størrelse/variabel. Dette bogstav
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereMat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs mereEmil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning
Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereStruktureret læsning i Matematik
Struktureret læsning i Matematik Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereLektion 3 Sammensætning af regnearterne
Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,
Læs mereKomplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDifferentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011
Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mere