Fremtidens gymnasiale matematik inspiration og pejlemærker fra matematikdidaktisk forskning

Institut for Naturfagenes Didaktik Fremtidens gymnasiale matematik inspiration og pejlemærker fra matematikdidaktisk forskning Niels Hvitved, Britta Jessen, Sara Lehné, Carl Winsløw Forskergruppen Matematikkens Didaktik

Institut for Naturfagenes Didaktik Hvilken matematik i gymnasiet i fremtiden? Forudsætning for mange & vigtige videregående uddannelser Matematik til fremtidens arbejdsmarked Udfordring: hvad skal vi selv kunne, når computere kan løse en række klassiske matematiske opgaver? Vigtig del af almen dannelse (verdens ældste fag, ræsonnement bygget på logisk nødvendighed) Matematik til fremtidens medborgerskab Udfordring: hvilket forhold skal alle studenter have til matematik? Matematiske begreber og metoder bruges og udvikles til at svare på spørgsmål (ikke kun matematiske i snæver forstand) Undersøgelsesbaseret matematikundervisning: elever udvikler viden om matematiske svar ved at arbejde med sådanne spørgsmål - Gennem undersøgelser, baseret på hvad de allerede ved - Gennem studium af matematiske værker (små og store) som de i et vist omfang selv vælger og tilgår - Gennem organiseret formulering og validering af svar

Institut for Naturfagenes Didaktik Generel tendens med konsekvenser for matematikundervisningen Kreativt matematisk arbejde Matematisk rutinearbejde

Institut for Naturfagenes Didaktik Matematikkens Didaktik Studiet af matematik i undervisningsmæssig sammenhæng - deskriptivt: matematikundervisningens indhold, metoder, og mekanik i naturen (institutionelle sammenhænge) - eksperimentelt: afprøvning af hypoteser gennem intervention Begge dele fordrer eksplicitte modeller af matematikken selv, af matematikundervisningens dynamik, og af dens betingelser (fx institutionelle, kulturelle og psykologiske) Historisk: opstår som følge af behov ift. læreruddannelse (fx Klein) og store reformer (fx Freudenthal, Brousseau) Aktuelt: stærkt heterogent fagområde med faglige og institutionelle relationer til matematik og uddannelsesvidenskab Forskning i matematikkens didaktik er fortsat stærkt knyttet til læreruddannelse i de fleste lande, i stigende grad også til eksternt finansierede projekter (fx NSF, EU-FPx, OECD, ) Internationalisering spiller en voksende rolle og bidrager til at reducere heterogeniteten.

Institut for Naturfagenes Didaktik To forskningsprogrammer som er centrale på IND Deskriptivt Fokus Udenlandske frontfigurer TDS (Teorien om Didaktiske Situationer) Didaktisk system Didaktisk konkrakt Adidaktisk potentiale Didaktiske variable Eksperimentelt Matematikundervisningens dynamik Brousseau, Artigue, Schneider, Bloch ATD (Antropologiske Teori om Didaktiske fænomener) Prakseologisk organisation Didaktisk co-determination Studie- og forskningsforløb Herbartisk skema Institutionelle betingelser for udvikling af matematik Chevallard, Artigue, Bosch, Gascón, Hardy, Barquero

Institut for Naturfagenes Didaktik Matematikkens Didaktik på KU Forskergruppe: Carl Winsløw, Niels Grønbæk 1, Tinne Hoff Kjeldsen 1, Britta Jessen, Klaus Rasmussen 2 Dyana Wijayanti, Jacob Bahn, Zetra Putra, Louise Meier Carlsen, Yukiko Asami Johansson (3 professorer, 2 postdocs, 5 phd-studerende) 1:IMF 2: Metropol Forskning og udvikling for fremtidens matematikundervisning preferred partner Ca. 40 specialestuderende i perioden 2007-2017 Ca. 10 offentlige seminarer om året (næste: 12/6) Ca. 100 videnskabelige publikationer (herunder 4 phdafhandlinger) siden 2007 Forskningsområder (de fleste af os arbejder med flere): - Matematik i gymnasiet - Matematik i læreruddannelse - Matematik i universitetsuddannelse - Matematik i folkeskolen I relation til gymnasiet: - forskningsprojekter - udrednings- og udviklingsopgaver - læreruddannelse (DidG, DidMatV, specialer) - efteruddannelse (nyt kursus i 2017)

Institut for Naturfagenes Didaktik Hvad vi vil tale om i resten af dette seminar Niels A. Hvitved : Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? (igangværende specialeprojekt; TDS - eksperimentelt) Britta Jessen: Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? (afsluttet PhD-projekt, marts 2017; ATD - eksperimentelt) Sara Lehné: Hvordan måles matematiklærerviden sammenligning af tre amerikanske bud (igangværende specialeprojekt; ATD - deskriptivt) og selvfølgelig jeres spørgsmål og kommentarer! Andre igangværende projekter: Bahn: Lektionsstudier og undersøgelsesbaseret matematikundervisning i folkeskolen (PhD-projekt; TDS eksperimentelt & deskriptivt) Wijayanti: Proportionalitet i grundskolens lærebøger mshp. samspillet mellem aritmetik, algebra og geometri (PhD-projekt; ATD - deskriptivt) Carlsen: Forsøg med CAS-baseret algebraundervisning i folkeskolens gennem lektionsstudier i læreruddannelsen (PhD-projekt; ATD - eksperimentelt) Putra: Komparativ undersøgelse af lærerviden om rationale tal (PhD-projekt; ATD - deskriptivt) Asami-Johansson: Sammenlignende studium af matematiklæreruddannelsens praksis i Japan, Finland og Sverige (ATD - deskriptivt) Barbaso: Lineære modeller og funktioner i gymnasiets grundforløb (specialeprojekt; TDS - deskriptivt)

Niels A. Hvitved Institut for Naturfagenes Didaktik

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Introduktion Hvad er Fermiproblemer? Dias 9

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Introduktion Hvad er Fermiproblemer? Eksempler: Hvor mange popkorn skal der til at fylde dette lokale? Dias 10

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Introduktion Hvad er Fermiproblemer? Eksempler: Hvor mange popkorn skal der til at fylde dette lokale? Hvor mange græsstrå er der i Botanisk have? Dias 11

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Introduktion Hvad er Fermiproblemer? Eksempler: Hvor mange popkorn skal der til at fylde dette lokale? Hvor mange græsstrå er der i Botanisk have? Hvor mange klaverstemmere er der i Chicago? Dias 12

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Introduktion Hvad er Fermiproblemer? Eksempler: Hvor mange popkorn skal der til at fylde dette lokale? Hvor mange græsstrå er der i Botanisk have? Hvor mange klaverstemmere er der i Chicago? altså generelt: Et spørgsmål der har ét korrekt svar hvilket dog sjældent er verificerbart. Dias 13

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Løsning af et Fermiproblem Løsning af et Fermiproblem: Hvor mange klaverstemmere er der i Chicago? Dias 14

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Løsning af et Fermiproblem Løsning af et Fermiproblem: Hvor mange klaverstemmere er der i Chicago? Koger ned til et problem i form af et produkt af estimater: PP = xx 1 xx 2 xx nn hvor xx ii er et estimat: xx 1 (±μμ 1 ) er antal indbyggere i Chicago xx 2 (±μμ 2 ) er antal husstande pr. indbygger xx 3 (±μμ 3 ) er antal klaverer pr. husstand etc. Dias 15

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? Dias 16

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan Dias 17

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan 2. Rig mulighed for niveau-tilpasning Dias 18

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan 2. Rig mulighed for niveau-tilpasning 3. Det er sjovt! Dias 19

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan 2. Rig mulighed for niveau-tilpasning 3. Det er sjovt! Fra læreplanen Matematik A-C STX 2017 En del af det faglige stof, der skal behandles i grundforløbet er centralt fastlagt og omhandler lineære modeller, herunder lineære funktioner. [ ] Der lægges i undervisningen stor vægt på matematisk ræsonnement, problemløsning og modellering tilpasset (A-C)-niveauets profil, hvor elevernes selvstændige arbejde med formulering af matematiske spørgsmål og problemer skal være central. Dias 20

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan 2. Rig mulighed for niveau-tilpasning 3. Det er sjovt! Fra læreplanen Matematik A-C STX 2017 En del af det faglige stof, der skal behandles i grundforløbet er centralt fastlagt og omhandler lineære modeller, herunder lineære funktioner. [ ] Der lægges i undervisningen stor vægt på matematisk ræsonnement, problemløsning og modellering tilpasset (A-C)-niveauets profil, hvor elevernes selvstændige arbejde med formulering af matematiske spørgsmål og problemer skal være central. Dias 21

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan 2. Rig mulighed for niveau-tilpasning 3. Det er sjovt! Kompleksiteten af et Fermi-problem er meget varierende: Dias 22

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan 2. Rig mulighed for niveau-tilpasning 3. Det er sjovt! Kompleksiteten af et Fermi-problem er meget varierende: Variation i antallet af relevante parametre Dias 23

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan 2. Rig mulighed for niveau-tilpasning 3. Det er sjovt! Kompleksiteten af et Fermi-problem er meget varierende: Variation i antallet af relevante parametre Involvering af variabelsammehænge (linære funktioner) Dias 24

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan 2. Rig mulighed for niveau-tilpasning 3. Det er sjovt! Kompleksiteten af et Fermi-problem er meget varierende: Variation i antallet af relevante parametre Involvering af variabelsammehænge (linære funktioner) Estimater i form af intervaller Dias 25

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Hvorfor Fermi-problemer i grundforløbet? 1. Den nye læreplan 2. Rig mulighed for niveau-tilpasning 3. Det er sjovt! Kompleksiteten af et Fermi-problem er meget varierende: Variation i antallet af relevante parametre Involvering af variabelsammehænge (linære funktioner) Estimater i form af intervaller Potentielt stor forskel på elevernes individuelle niveau Dias 26

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer TDS som analyse- og designværktøj Eksperimentelt med udgangspunkt i Teorien om didaktiske situationer (Brousseau) Adidaktisk potentiale Didaktiske variable Dias 29

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer TDS som analyse- og designværktøj Eksperimentelt med udgangspunkt i Teorien om didaktiske situationer (Brousseau) Adidaktisk potentiale Oplagt til gruppearbejde Fermi-problemer er let tilgængelige for eleverne (og giver således anledning til i grupperne - selvstændigt elevarbejde) Realistiske (meningsfulde for eleverne) Lægger op til diskussion i grupper og/eller i klasseundervisningen (handling/formulering/validering) Appellerer til elevernes egne sunde fornuft og erfaringer Dias 30

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer TDS som analyse- og designværktøj Eksperimentelt med udgangspunkt i Teorien om didaktiske situationer (Brousseau) Didaktiske variable Detaljegrad af problemstilling Anvendelse af CAS Kompleksitet Forbyde/tillade brug af søgemaskiner (Efter Skott, Jess og Hansen, Matematik for lærerstuderende, 2008) Dias 31

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer TDS som analyse- og designværktøj Eksperimentelt med udgangspunkt i Teorien om didaktiske situationer (Brousseau): Didaktiske variable Detaljegrad af problemstilling Anvendelse af CAS Kompleksitet Forbyde/tillade brug af søgemaskiner Dias 32

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer TDS som analyse- og designværktøj Eksperimentelt med udgangspunkt i Teorien om didaktiske situationer (Brousseau): Didaktiske variable Detaljegrad af problemstilling Anvendelse af CAS Kompleksitet Forbyde/tillade brug af søgemaskiner Dias 33

Fermiproblemer i gymnasial matematik en idé til grundforløbet? - Et specialestudie med udgangspunkt i teorien om didaktiske situationer Tak for nu! For mere information om dette speciale (herunder en analyse af et gennemført undervisningsforløb) må I desværre vente til efter afleveringsdeadline (august 2017) Dias 34

Britta Jessen Institut for Naturfagenes Didaktik

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Institut for Naturfagenes Didaktik Baseret på et genererende spørgsmål, Q 0. Sted og dato Dias 36

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Institut for Naturfagenes Didaktik Baseret på et genererende spørgsmål, Q 0. Videnslandkort Sted og dato Dias 37

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Department of Science Education Eksponentiel vækst forberedende analyse: Q 0 : Hvad karakteriserer en eksponentialfunktion og hvordan kan den anvendes? Dias 38

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Eksponentiel vækst forberedende analyse: Q 0 : Hvad karakteriserer en eksponentialfunktion og hvordan kan den anvendes? Q 3 : Hvis børnene først må hæve pengene fra børneopsparingen, når beløbet er fordoblet, hvor længe skal de så vente? Dias 39

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Department of Science Education Forberedelse: elevers mulige spørgsmål Q 3,1 : Hvordan kan problemet løses ved afprøvning, hvor y- værdierne i udtrykket: y=5,000. 1.025 x beregnes for forskellige x-værdier indtil man får 10,000? Dias 40

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Department of Science Education Forberedelse: elevers mulige spørgsmål Q 3,1 : Hvordan kan problemet løses ved afprøvning, hvor y- værdierne i udtrykket: y=5,000. 1.025 x beregnes for forskellige x-værdier indtil man får 10,000? Q 3,2,1 : Hvordan kan spørgsmålet besvares grafisk, hvis man indtegner dataene fra tidligere, tegner grafen og aflæser hvilken x-koordinat, der svarer til y=10,000? Dias 41

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Department of Science Education Forberedelse: elevers mulige spørgsmål Q 3,1 : Hvordan kan problemet løses ved afprøvning, hvor y- værdierne i udtrykket: y=5,000. 1.025 x beregnes for forskellige x-værdier indtil man får 10,000? Q 3,2,1 : Hvordan kan spørgsmålet besvares grafisk, hvis man indtegner dataene fra tidligere, tegner grafen og aflæser hvilken x-koordinat, der svarer til y=10,000? Q 3,5 : Hvordan kan formlen T 2 =log(2)/log(a) være med til at besvare opgaven? Dias 42

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Department of Science Education Forberedelse: elevers mulige spørgsmål Q 3,1 : Hvordan kan problemet løses ved afprøvning, hvor y- værdierne i udtrykket: y=5,000. 1.025 x beregnes for forskellige x-værdier indtil man får 10,000? Q 3,2,1 : Hvordan kan spørgsmålet besvares grafisk, hvis man indtegner dataene fra tidligere, tegner grafen og aflæser hvilken x-koordinat, der svarer til y=10,000? Q 3,5 : Hvordan kan formlen T 2 =log(2)/log(a) være med til at besvare opgaven? Dias 43

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Department of Science Education Elevernes faktiske arbejde Dias 44

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Department of Science Education Elevernes faktiske arbejde Dias 45

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Elevernes faktiske arbejde undersøgende tilgang Gruppe 6: Fortsætter hvor gruppe 1 slap: 1.025 x =2 x. log(1.025)=log(2) (x. log(1.025))/(log(1.025))=(log(2)/log(1.025)) x=28.07 Dias 46

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Elevernes faktiske arbejde undersøgende tilgang Gruppe 6: Fortsætter hvor gruppe 1 slap: 1.025 x =2 x. log(1.025)=log(2) (x. log(1.025))/(log(1.025))=(log(2)/log(1.025)) x=28.07 Gruppe 8: Vi har gjort som gruppe 4, men hvad sker der der? [peger på anden linje ovenfor] Dias 47

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Elevernes faktiske arbejde undersøgende tilgang Gruppe 6: Fortsætter hvor gruppe 1 slap: 1.025 x =2 x. log(1.025)=log(2) (x. log(1.025))/(log(1.025))=(log(2)/log(1.025)) x=28.07 Gruppe 8: Vi har gjort som gruppe 4, men hvad sker der der? [peger på anden linje ovenfor] Gruppe 6 svarer: vi brugte reglen log(a x )=x. log(a). Er det ikke sådan at hvis f(x)=10 x så er den modsatte f(x)=log(x)? [ikke tidligere berørt I undervisningen] Gruppe 6 og læreren fandt referencer til de øvrige grupper Dias 48

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Elevernes faktiske arbejde undersøgende tilgang Læreren, Q 3 : Hvor lang tid vil det tage, hvis pengene blev på kontoen indtil beløbet var fordoblet igen. Hvor lang tid ville det tage? Gruppe 7 & 8 stillede (implicit) følgende afledte spørgsmål: Q 3,6 : Kan den dobbelte fordoblingskonstant beskrives som én, T 4? Q 3,6,1 : Hvordan kan vi bevise en formel for T 4? Her trak eleverne på det tidligere arbejde fra gruppe 6 Dias 49

Studie- og forskningsforløb i gymnasiet et muligt paradigmeskift? Department of Science Education Elevernes faktiske arbejde undersøgende tilgang Dias 50

Sara Lehné Institut for Naturfagenes Didaktik

Teachers mathematical knowledge for teaching Institut for Naturfagenes Didaktik Modeling and Measuring Teachers' Knowledge Inspiration til specialet Sted og dato Dias 52

Teachers mathematical knowledge for teaching Institut for Naturfagenes Didaktik Hvordan uddanner vi kommende undervisere? Hvad skal en lærer vide og kunne? Hvordan måler vi på denne viden og kunnen? Sted og dato Dias 53

Institut for Naturfagenes Didaktik Teachers mathematical knowledge for teaching Deborah L. Ball Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) Sted og dato Dias 54

Teachers mathematical knowledge for teaching TEDS-M den internationale test Institut for Naturfagenes Didaktik Et andet formål sammenligning af hele systemer. Ligheder bagvedliggende teori og deraf en hvis lighed i indhold Sted og dato Dias 55

Institut for Naturfagenes Didaktik Teachers mathematical knowledge for teaching Patrick Thomson Mathematical Meaning for Teaching Secondary Mathematics Sted og dato Dias 56

Teachers mathematical knowledge for teaching ATD & Referencemodellen: Anthropological Theory of Didactics Chevallard Dias 57

Teachers mathematical knowledge for teaching Institut for Naturfagenes Didaktik Eksempel på et item fra Pat Thomsons instrument Sted og dato Dias 58

Institut for Naturfagenes Didaktik