- Har udviklet en første fornemmelse for, hvad matematikkens didaktik er.

Transkript

1 Indledning Denne bog har undertitlen Fagdidaktik hvad kan man så forvente? For det første kan man ikke med få ord forklare, hvad fagdidaktik eller matematikkens didaktik er, for det andet er det det, som hele bogen handler om. Men vi kan præsentere Delta som en bog om undervisning i og læring af matematik, der specielt er rettet mod lærerstuderende, lærere og læreruddannere i faget. Det betyder, at vi bogen igennem orienterer os mod undervisningens praksis, også når vi diskuterer teoretiske perspektiver på matematikundervisning og -læring. Praksisorienteringen skabes ved i vid udstrækning at referere til konkrete undervisningseksempler fra matematikklasserum. Ja, faktisk er det ofte med udgangspunkt i sådanne praksiseksempler, at de teoretiske perspektiver introduceres. Det er således en generel bestræbelse at komme til at forstå undervisningens praksis på nye måder i kraft af de teoretiske perspektiver, der udvikles. Det er en anden bestræbelse, at læsning af og arbejde med bogen giver en indsigt i didaktiske aspekter, der kan omsættes i den kommende praksis og kvalificere denne. Der er altså et dobbelt sigte med bogen. På den ene side er det hensigten, at læseren skal få et indblik i nogle af de teoridannelser, der diskuteres meget i matematikkens didaktik i disse år. På den anden side er det meningen, at disse teoridannelser netop ikke bare skal have en teoretisk interesse, men også gøre det muligt som underviser at tænke anderledes om og agere anderledes i matematikklasserum. Dette dobbelte sigte at udvikle teoretiske forståelser og at udvikle undervisningens praksis afspejler meget godt, hvad faget matematikkens didaktik har udviklet sig til i sin korte levetid. Det er det, vi skal se lidt nærmere på i denne introduktion til bogen. Vi skal altså kort diskutere, hvad der kendetegner matematikkens didaktik her i begyndelsen af det 21 århundrede. Det er hensigten, at læseren efter endt læsning: - Har udviklet en første fornemmelse for, hvad matematikkens didaktik er. - Har dannet sig et overblik over bogen og føler sig inspireret til at gå i gang med en fornemmelse af, at her findes en spændende viden, der har relevans for undervisningens praksis. Matematikkens didaktik et nyt fag Matematikkens didaktik er et relativt nyt forskningsområde. Det kan altid diskuteres, hvornår et sådant område er etableret, men i dette tilfælde er det ikke urimeligt at tidsfæste begyndelsen til ca Naturligvis har der i århundreder før været institutionaliseret undervisning i matematik, og der har også tidligere været seriøse overvejelser over, hvorfor der skal undervises i matematik, hvordan indholdet skal vælges ud, og hvordan undervisningen skal tilrettelægges og gennemføres. Det er imidlertid fra 1960erne, at systematiske og teoretiske undersøgelser af matematikundervisning og -læring for alvor vinder frem. Der etableres altså på det tidspunkt noget, man med rimelighed kan kalde et forskningsfelt. Men matematikkens didaktik er et stort og sammensat felt. Bent Christiansen, den første internationalt anerkendte danske matematikdidaktiker, plejede at sige, at matematikkens didaktik består i forsøget på at udvikle forståelser af matematikundervisningens problemfelt i sin fulde kompleksitet. Måske er det pga. af bredden i den hensigt, at der aldrig er opnået nogen høj grad af enighed om, hvad matematikkens didaktik egentlig bør beskæftige sig med. I hvert fald er matematikkens 1

2 didaktik kendetegnet ved et vidtforgrenet sæt af fokuspunkter, og brugen af et varieret sæt af forskningsmetoder. Til trods for mangfoldigheden af spørgsmål og metoder, synes der i de senere år at være to træk, der kendetegner store dele af matematikkens didaktik. Det ene er meget omhyggeligt at studere læring og undervisning, som den foregår i fx skoler og gymnasier. Matematikdidaktikere bruger altså i stort omfang klasserum som basis for deres forskning. Det er i modsætning til tidligere, hvor en større del af bestræbelsen gik ud på fx teoretisk at analysere og strukturere matematisk indhold, som lærere siden kunne undervise i i skolen. Det andet fællestræk for en stor del af matematikkens didaktik er en optagethed af at bidrage til undervisningens praksis. Det er altså forventningen, at det man lærer af at studere et eller nogle få klasserum i vid udstrækning bruges til at forbedre undervisning i matematik mere generelt. Den udfordring, at forskningens resultater skal være anvendelige, bliver måske formuleret så stærkt netop fordi, der ikke er nogen let forbindelse mellem teori og praksis. Resultaterne er ikke som i ingeniørvidenskab, hvor man ad videnskabelig vej direkte kan nå frem til forskrifter for, hvordan man skal handle i en given situation, fx konstruktion af en jernbanebro. Matematikkens didaktik giver kun undtagelsesvis klare handleanvisninger. Oftere tilbyder den begreber og teorier, der kan skabe forståelse af, hvad der foregår før, under og efter matematiktimerne eller kan benyttes til at stille sig selv eller andre kritiske og udviklende spørgsmål. Det er teorier, som også kan anvendes af de folk, der får til opgave at udforme nye læseplaner i faget, skrive lærebøger, udvikle evalueringsmateriale eller fx fungere som skolekonsulenter. At teorierne sjældent giver forskrifter for praksis, betyder altså ikke, at man ikke kan blive en bedre praktiker af at kende til teorierne. Det kan man, hvis de behandles i tilstrækkelig tæt tilknytning til praksis. Det er det, vi skal forsøge i store dele af bogen. Vores valg af matematikdidaktisk stof i denne bog I vores valg og strukturering af stof til denne bog, har vi altså prioriteret, at teori og praksis ikke kommer til at fremstå som to ret så forskelle arenaer i matematiklærerens verden. Undersøgelser af nye læreres opfattelse af, hvad de kunne bruge deres seminariekundskaber til i deres praktiske hverdag på skolerne, har antydet, at der faktisk er et problem (Jacobsen, 1989). Det er en af grundene til, at den nye læreruddannelse, der startede i 2007, har valgt at lade praktikken være omdrejningspunktet for hele uddannelsens professionsrettede karakter. Praktikfaget har derfor fokus på forholdet mellem praktiske og teoretiske erfaringsdannelser som forudsætning for den studerendes egen almen lærerfaglige læring og udvikling (Bek. 219, Bilag 1.1). Bemærk, at der her ikke er tale om en dyrkelse af praksis og slet ikke om mesterlære, hvor lærerhåndværket gives videre fra mester til elev. Faktisk er den teoretiske side af læreruddannelsen blevet opgraderet samtidig med, at praktikken har fået en central rolle. Således er der kommet et lille afsnit om forskningsresultater og innovation med i bekendtgørelsen: Uddannelsens undervisning skal i videst mulige omfang inddrage resultater af nationale og internationale forsknings-, forsøgs- og udviklingsarbejder, der er relevante for lærerprofessionen og egnede til at bidrage til at udvikle og anvende ny professionel viden. (Bek. 219, 17). Vi vil i denne bog lægge op til, at læreruddannelsens ambitioner om, at den studerende får mulighed for i praktikken at forene praktiske og teoretiske erfaringsdannelser, opfyldes samtidig med, at de teoretiske erfaringsdannelser omfatter nationale og internationale forsknings-, forsøgs- og udviklingsarbejder. Da udlandet er så langt større end indlandet, må vi ofte inddrage internationale forskningsresultater af relevans for matematikkens didaktik. Vi har bl.a. valgt at trække en del på erfaringerne 2

3 fra USA, dels fordi der her findes internationalt anerkendte forskere, og dels fordi forskningen ofte knyttes nært til praksis i klasseværelset fx gennem det formidlende arbejde, der udføres af den amerikanske matematiklærerforening, NCTM. Ganske vist afviger Danmark og andre skandinaviske lande både ved deres størrelse og hele undervisningskultur fra USA, så erfaringerne kan ikke direkte overføres. Alligevel kan refleksioner over udenlandske erfaringer være en stor inspirationskilde for undervisning, også på vore længdegrader. Læringsdelen Den første store del af bogen, del II, handler om børns læring. Men den er ikke bare om læring i al almindelighed, men om deres læring af matematik i uddannelsesmæssige sammenhænge. Her analyseres og udvikles de vigtigste moderne teorier for læring, og de sættes i relation til matematikundervisningens praksis. I kapitel 2 ser vi på læring som tilegnelse. Vi vil med hjælp fra den erkendelsesteori, der hedder radikal konstruktivisme, forsøge at få mening i, hvad det betyder at tilegne sig viden. Det vil vi gøre bl.a. ved at inddrage begreber som assimilation, akkommodation, mentale skemaer samt forholdet mellem det sociale og det individuelle i læring. Og ikke mindst vil vi relatere disse begreber og forhold til praktisk matematikundervisning ved at bruge dem i fortolkningen af elevernes matematiske aktiviteter. I kapitel 3 gør vi op med det fokus, der i kapitel 2 var på subjektet, den enkelte elevs private læring. Vi flytter fokus hen på det, der sker mellem individerne, altså til det sociale felt. Herved fremkommer et nyt syn på læring, der bedre kan beskrives som deltagelse end som tilegnelse. Hvor konstruktivismen særlig hæfter sig ved, hvordan mennesker hver for sig opbygger individuelle forståelser, så peger deltagelsesmetaforen på, at erkendelsen er en del af og uadskillelig fra det at tage del i sociale praksisser. Der er navne som Vygotsky og Lave & Wenger knyttet til dette syn på læring i almindelighed og didaktikere som Sfard, Cobb og Lerman knyttet til anvendelsen af teorien på matematiklæring. Vi mener, at både deltagelsessynet og tilegnelsessynet på læring er centrale. De er meget forskellige og teoretisk set stort set uforenelige. Men for forståelsen af praktisk læring, som den fx udfolder sig i matematikklasserum, er de begge nødvendige. Det er hovedformålet med kapitel 4 at sammenligne de to teorier og forme dem til at dobbeltsidigt værktøj, som læreren kan benytte til at fortolke og planlægge arbejdet i matematiktimerne. Undervisningsdelen Grundtanken i bogen er så at sige at rehabilitere begrebet undervisning, efter at der i nogle år har været stærkt fokus på læring. Hermed fastholdes læreren som den centrale person i klasseværelset. Ikke mindst i en fagdidaktik for læreruddannelsen er det naturligt at skrive udførligt om netop undervisning, da det jo er i det felt, at læreren skal tænke og handle. Der kan imidlertid ikke skrives meget fornuftigt om undervisning, med mindre det sker på et afklaret syn på elevernes læring i matematik. Af disse grunde bliver det nu i bogens tredje del, at den omfattende behandling af matematikundervisning kommer. I kapitel 5 diskuteres undervisningsbegrebet, altså hvordan man kan se på lærerens rolle som underviser i matematik. Det vil fremgå, at læreren er blevet en mere central person for matematikundervisningens praksis end for et par årtier siden. Vi skal se, at det bl.a. skyldes matematikreformens ændrede syn på fag og læring, og at det sætter sig igennem ved at opfatte undervisning som en refleksiv praksis. Et formål med dette og de følgende kapitler bliver derfor, at læseren udvikler en begyndende refleksiv kompetence med udgangspunkt i nogle konkrete eksempler på matematikundervisning. 3

4 Det vi i ϒ -bogen kalder for øvelser, opgaver og undersøgelser er eksempler på, hvad vi mere generelt kalder oplæg. I kapitel 6 vil vi se på, hvordan forskellige typer af oplæg til elevaktivitet giver forskellige muligheder for læring. Det er en vigtig opgave for matematiklæreren at finde, bearbejde og udvikle oplæg til elevarbejder. Derfor giver vi i kapitlet læseren anledning til at skelne mellem forskellige åbne og lukkede oplæg for at vurdere, om de stiller passende store kognitive krav til eleverne. Men læseren skal også lære selv at udforme oplæg eller måske mere korrekt skabe et arbejdsfællesskab i klassen, hvor det at stille spørgsmål og opgaver til hinanden (engelsk problem posing) bliver en naturlig del af kulturen i klasserummet. Vi kommer ind på nogle af de kendte teknikker som fx at stille hvad nu hvis ikke-spørgsmålet til lærebøgernes opgaver ved at fjerne eller tilføje information. Et væsentligt krav til et godt oplæg, hvad enten det kommer fra læreren eller fra eleverne selv, er, at det giver eleverne mulighed for at formulere og afprøve hypoteser og formodninger samtidig med, at det kan understøtte elevernes udvikling og konsolidering af faglige færdigheder og begreber. For at skabe en sådan kultur af spørgelyst og lyst til at komme med formodninger og forklaringer i klassen må læreren kende noget til kommunikation i matematikklasserum, hvilket vi derfor tager fat på i kapitel 7. Vi vil i kapitlet diskutere og udfordre dominerende kommunikationsformer og præsentere nogle muligheder for at udvide måderne at kommunikere på. Herunder vil vi komme ind på, hvordan almenpædagogiske og ikke-matematiske hensyn kan komme i konflikt med elevernes faglige læring, hvis der ikke tages højde for det i kommunikationen. I de følgende kapitler 8 og 9 kommer vi ind på nogle centrale læreropgaver knyttet til længere undervisningsforløb. Det gør vi ved at se på målsætning, planlægning og evaluering. Vi sætter disse tre begreber sammen, fordi det ene af dem ikke giver mening uden de andre. Specielt giver det ikke mening at evaluere uden mål for undervisningen. I kapitel 8 ser vi på, hvordan man klarer den vanskelige opgave med at formulere en årsplan ud fra skiftende læreplaner og forskellige lærebøger. Ganske vist vil der til enhver tid være en gældende læreplan og andre bestemmelser, som udstikker nogle mål for undervisningen, men vi foreslår at samle årets undervisning omkring nogle få såkaldte faglige fokuspunkter. En mulig ulempe ved denne teknik er, at man får faget indsnævret, men det kan modvirkes ved altid at lægge et kompetenceperspektiv over matematikundervisningen, også i planlægningsfasen. Derfor er det her i kapitel 8, at vi giver læseren lejlighed til at sætte sig godt ind i den dansk udviklede kompetencetækning indenfor matematikundervisning. Formålet med kapitel 9 om evaluering er, at læseren efter endt læsning kan planlægge, hvordan evaluering kan blive en central del af undervisningen, en del der alsidigt understøtter såvel elevernes læring og lærerens fortsatte undervisning. Derfor giver vi læseren mulighed for at analysere og diskutere grundlæggende intentioner, karakteristika og principper for evaluering, og vi gennemgår en række forskellige evalueringsformer. Vi markerer den særlige pointe, at evaluering kan have en stærk indflydelse på, hvad der opfattes som vigtigt i undervisningen. Evaluering er altså ikke en neutral registrering af elevernes læring, men den har indflydelse på, hvad de opfatter som vigtigt at lære. Med kapitel 9 afrunder vi tredje del af bogen og har hermed i stort omfang dækket de begreber, teorier og værktøjer, der er vigtigst for matematiklærerens praksis. Overordnede perspektiver Vi sagde tidligere, at vi i stort omfang vil inddrage internationale forskningsresultater, og at en betydelig del af disse er amerikanske. Men mhp. at springet fra andres landes erfaringer til skandinavisk praksis ikke skal blive for stort, har vi også søgt efter inspiration i lande, der ligger tættere på os i skolekultur end USA, herunder Holland. Desuden har en fransk fagdidaktisk skole vakt stor 4

5 international interesse i de sidste 15 år, hvorfor vi også har taget den med blandt vores internationale kilder til viden og inspiration. Bogens del IV præsenterer i alt tre fagdidaktiske skoler. For den enes vedkommende, en amerikansk, består præsentationen i en kort opsamling af de meget omfattende referencer, vi har til den mange steder i bogen. For de to andres vedkommende vil de få tildelt hver et kapitel. De tre skoler er: - en amerikansk fagdidaktisk skole centreret omkring Paul Cobb. Denne skole har på frugtbar vis søgt at koordinere de to hovedsyn på læring, som vi præsenterede i kapitel 2, - en hollandsk fagdidaktisk skole, der tager udgangspunkt i tysk-hollænderen Hans Freudenthals arbejder. Skolen kaldes RME, Realistisk Matematikundervisning, og har som kendetegn, at matematisk aktivitet er og skal være meningsfuld, også for eleverne mens de lærer, - den franske fagdidaktiske skole med Guy Brousseau som den centrale figur. Her skal vi møde begreber, der klinger teoretiske og fremmedartede, didaktisk situation, adidaktisk situation, devolution og didaktisk kontrakt, men som viser sig at have meget at sige om praktisk undervisning. Skolerne behandles også i ϒ -bogen i forbindelse med nogle konkrete faglige forløb, ligesom de på forskellig vis inddrages i specialiseringsdelene i ε- og ω-bøgerne. Vi kunne håbe, at læseren efter at have set et eksempel på et sådant forløb i en af de andre bøger, fik lyst til med det samme at få mere at vide om den hollandske eller franske skole. Det er så en mulighed at gå til kapitel 10 eller 11 i denne didaktikbog. Tilsvarende kan metaperspektiverne i bogens femte del tages op efter den enkelte læsers egne behov. Men her kan man også tænke sig, at et hold sætter samlet tid af til fx at diskutere, hvad der egentlig er de centrale begrundelser for, at matematik er så stort et fag i skolen. Ved en sådan lejlighed kan kapitel 13 være en passende baggrund for diskussionen. Også kapitel 12 om undervisningsfagets historie kan indgå i en sådan diskussion, fordi det er en pointe i dette historiske kapitel, at faget i stort omfang har skiftet sin eksistensberettigelse ud fra at være et formaldannende fag til at være et nyttefag eller måske endda et væsentlig bidrag til dannelsen af medborgeren i demokratiet. Det historiske kapitel kan dog også inddrages for at kaste et historisk perspektiv på behandlingen af læringsteorierne i bogens anden del, idet en stor del af kapitlet vies til en behandling af, hvordan det gennem historien har vekslet som i en bølge mellem en vægt på færdighed og en vægt på forståelse i matematikundervisningen. Også det mere videnskabsteoretiske kapitel 14 om, hvad matematik er, kan læses sammen med læringskapitlerne, idet sidste del af kapitlet, Hvordan produceres matematisk viden, dokumenterer, at moderne læringsteori på flere punkter stemmer smukt overens med videnskabsmandens måde at skaffe sig viden på. Da det gennemløbende eksempel i dette delkapitel er Eulers polyedersætning, kan kapitlet naturligt læses i forbindelse med det faglige arbejde med denne sætning i ε-bogen. Men før vi går til del II om læring, skal vi sætte scenen. Det skal vi gøre i kapitel 1 med en grundig diskussion af et eksempel på matematikundervisning. 5

6 Vi har med dette korte indledningskapitel introduceret bogens indhold. Samtidig har vi dog villet vise, at hensigten med bogen er at diskutere fagdidaktisk teori i meget tæt forbindelse med undervisningens praksis, hvilket er i god overensstemmelse med den videnskab, der er blevet etableret som matematikkens didaktik over de sidste ca. 50 år, og med intentionerne i den nye læreruddannelse. 6