Opgave 6 Vi sætter P = 1000 og isolerer x i ligningen Se Bilag 2! P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0.6 ( 10 y 0.4 )1 /0.6 = x 10 1 /0.6 y 0.4 /0.6 = x x = 10 5 /3 y 2 /3 Opgave 7 Data fra filen pension konverteres til csv-format og indlæses i programmet R som benyttes til de efterfølgende beregninger. > pensiondata = read.csv2("pension.csv") Vi laver en tabel over hvor mange, der har en privat pension alt eftersom de er offentligt ansatte eller ej. > pensionstabel = table(pensiondat > addmargins(pensionstabel) Pension Ansættelse Ikke pension Pension Sum Offentligt ansat 25 38 63 Privat ansat 16 35 51 Sum 41 73 114 Data lægges ind i en matrix. > w = matrix(c(25,38,16,35), nrow=2, ncol=2,byrow=true) > w [,1] [,2] [1,] 25 38 [2,] 16 35 Herefter laver jeg en χ 2 -test. > test = chisq.test(w) > test Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: w X-squared = 0.5228, df = 1, p-value = 0.4697 Da p-værdien er 0.47 og dermed langt over signifikansniveauet, kan vi ikke afvise en hypotese om at pensionsforholdene er uafhængige af ansættelsestypen. side 1 af 6
Opgave 8 Omsætningen er givet ved så Vi sætter den afledte lig nul og løser ligningen. R (x) = x 2 + 502x R (x) = 2x + 502 R (x) = 0 2x + 502 = 0 2x = 502 x = 251 Da parablen har benene nedad må der være maksimum i dette punkt, så den størst mulige omsætning er så den maksimale omsætning er 63 001 kr. En forskrift for dækningsbidraget bestemmes. Eventuelle nulpunkter bestemmes. R (251) = 251 2 + 502 251 = 251 2 = 63001 DB (x) = R (x) C (x) = ( x 2 + 502x ) 50x = x 2 + 452x DB (x) = 0 x 2 + 452x = 0 x ( x + 452) = 0 x = 0 x + 452 = 0 x = 0 x = 452 Da de angivne beregningsforskrifter kun gælder i [25; 475] er x = 452 det eneste nulpunkt. Ved instættelse af tilfældige punkter ses at dækningsbidraget er positivt i intervallet [25; 452[. Opgave 9 Ydelsen af en annuitet med en nutidsværdi 25 000 kr. som betales over 60 måneder med en månedlig rente på 2.05% beregnes ved formlen r y = A 0 1 (1 + r) n = 25000 = 727.93 0.0205 1 1.0205 60 hvilket bortset fra en lille afrundingsfejl passer med de givne oplysninger. Den effektive årlige rente er 1.0205 12 1 = 0.275722187 så den effektive rente er 27.6%. side 2 af 6
Hvis man låner hos L easy er der mulighed for at betale en relativt lav ydelse på 728 kr. pr. måned men til gengæld skal indbetalingerne fortsætte i 5 år. Til sammenligning kan lånet tilbagebetales over kun 3 år hvis lånet optages Lån & Spar Bank. Dette skyldes dels, at den månedlige ydelse er oppe på 967.29 og dels at renten hos Lån &Spar Bank er 1.91% i modsætning til L easys rente som er 2.05%. Hvis familien har mulighed for at betale den høje ydelse hos Lån & Spar Bank vil det bedre kunne betale sig at foretage lånet der end hos L easy. Opgave 10 Grafen A har et nulpunkt i x = 5 men grafen B ikke har vandret tangent for x = 5, så A kan ikke være grafen for f. Derfor må A være grafen for f og B må være grafen for f hvilket også passer fint med at nulpunkterne for B ser ud til at være de steder hvor A har vandret tangent. Opgave 11 Data indlæses i programmet R. > kundedata = read.csv2("kunder.csv") Sammenhængen mellem mængde x og pris y ses af følgende figur. > model = lm(kundedata$pris ~ kundedata$mængde) > plot(kundedat > abline(model) Pris 800 1000 1200 1400 1600 1800 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Mængde side 3 af 6
Koefficienterne i regressionsmodellen er givet ved > model Call: lm(formula = kundedata$pris ~ kundedata$mængde) Coefficients: (Intercept) kundedata$mængde 2180.49696-0.03837 så regressionalinjen har ligning p (x) = 0.03837 x + 2180.49696 Ved en pris på 925 kr. kan den efterspurgte mængde beregnes ved at løse ligningen 925 = p (x) 925 = 0.03837 x + 2180.49696 0.03837 x = 2180.49696 925 x = 2180.49696 925 0.03837 x = 32720.79646 så den efterspurgte mængde vil være ca. 32 700 stk. Opgave 12A Det forventede antal defekte varer i en stikprøve på 1500 varer som hver har en sandsynlighed for defekt på 0.05 er 1500 0.05 = 75.0 Da antallet af defekte varer må antages være binomialfordelt med succes sandsynlighed p = 0.05 og antalsparameter n = 1500, vil sandsynligheden for at der er højst 65 defekte varer kunne udregnes ved > pbinom(65, size=1500, prob=0.05) [1] 0.1290231 så sandsynligheden er 0.13. Opgave 12B Data indlæses i R. > exdata = read.csv(file="experimentarium.csv", sep=";" ) > antal = exdata$antalbesøgende side 4 af 6
Nedenfor er vist et histogram over antallet af besøgende på Experimentarium. > hist(antal) Histogram of antal Frequency 0 2 4 6 8 10 250000 300000 350000 400000 450000 500000 550000 antal Diverse descriptorer beregnes. > mean(antal) [1] 341423.1 > median(antal) [1] 330253.5 > quantile(antal, c(0.90)) 90% 420386.7 så gennemsnittet er ca. 341 000, medianen er ca. 330 000 og 90% fraktilen er ca. 420 000. side 5 af 6
Opgave 12C Funktionen f er givet ved f (x, y) = 15x + 20y I y G 12 x = 5 10 (5, 9) y = 2.5x + 22.5 8 N(205) 6 4 (7, 5) y = 0.25 + 6.75 2 (19, 2) y = 2 x H 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Der er 3 hjørner med koordinaterne (5, 10), (7, 5) og (19, 2), hvilket fremgår af figuren og kan checkes ved at indsætte i ligningerne for kanterne. Kriteriefunktionens værdi udregnes i de tre hjørner. f (5, 10) = 15 5 + 20 10 = 275 f (7, 5) = 15 7 + 20 5 = 205 f (19, 2) = 15 19 + 20 2 = 325 Det ses at de mindst mulige daglige omkostninger opnås, hvis der bruges 7 kg oksekød og 5 kg lammekød. side 6 af 6