Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tal i hånden: a) 7, b) :, 4 5 6 9 6 c), d) 4. 5 5 0 Opgave Reducér følgende udtryk mest muligt: b ) a a a. ) b a b 44 4 ) a a b b a. 5 4) ( y) ( y) 5) 6 4y 64y y 6 6) a 4 a a 4 5 a a. Ligninger og uligheder a) En funktion f er givet ved: f ( ). Løs ligningen f( ). b) Løs uligheden + 6 < ( ) c) Løs følgende ligninger ) 6 + 9 = 0. ) 5
Opgave Løs ved hjælp af lige store koefficienters metode ligningssystemerne ) y y ) y y 0. Funktioner: Den rette linje, definitionsmængde, værdimængde, sammensatte funktioner, inverse funktioner, andengradspolynomiet, eksponentielle udviklinger og logaritmer. En ret linje l går gennem punktet P(,) og er vinkelret på linjen m givet ved: m : y Beregn ligningen for linjen l. Opgave To funktioner f og g er givet ved: f ( ) ln( ) og g( ). a) Bestem værdimængden for funktionen g. b) Bestem definitionsmængden for den sammensatte funktion f ( g( )) ( f g)( ). Opgave En funktion f er givet ved: f ( ) 5 a) Bestem definitionsmængden for funktionen f. b) Bestem en forskrift for den inverse funktion f til funktionen f. Opgave 4 Et andengradspolynomium f er givet ved: f ( ) 4. a) Bestem koordinatsættene til de punkter, hvor grafen for f skærer koordinatakserne. b) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen, givet ved grafen for f. c) Bestem værdimængden for funktionen f.
Opgave 5 Løs følgende ligninger: a) 4 e 0. e b) ln + ln( + ) = ln. c) log( ) log =. d) log log 0. 4. Differentialregning Angiv den afledede funktion af hver af funktionerne f () =, f () = e e + f () = 5 e, f 4 () = ln ( ). Opgave En funktion f er givet ved: f ( ) ln( ). a) Bestem definitionsmængden for f. b) Bestem f '( ) og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (, f ()). Opgave 4 En funktion f er givet ved: f ( ) 4. a) Bestem monotoniforholdene for f. b) Bestem koordinatsættene til de lokale ekstremumspunkter.
5. Trigonometri Løs følgende ligninger a) cos( ) 0, 75, 0;. b) cos( ) 0, 6 for 0,. c) sin( ) 0,4 for. Opgave En harmonisk svingning f er givet ved forskriften: f ( ) sin( ) 4. a) Bestem maksimums- og minimumsværdien samt perioden for f. b) Bestem f () og løs ligningen: f ( ) 0, for 0;. c) Løs ved beregning ligningen: sin ( ) sin( ) 0. 6. Integralregning Angiv 5 f() d, når f()d = f()d 5 =. Opgave Beregn følgende ubestemte integraler a) 6 d c) b) (cos ( ) ) sin( ) d. d) ( ) 6 e d. d Opgave Beregn følgende bestemte integraler 4 a) ln( ) d b) d b) ( ) d. c) d 0 0.
Opgave 4 To funktioner f og g er givet ved: f ( ) og g( ) 8, for 0 a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem, og gør rede for, at graferne skærer hinanden i punktet P(4, 4). Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g og y-aksen. b) Bestem ved hjælp af stamfunktion arealet af M. Punktmængden M drejes 60 om -aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem ved hjælp af stamfunktion volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g og -aksen. d) Bestem ved hjælp af stamfunktion arealet af M. 7. Differentialligninger En differentialligning er givet ved: dy y e d. a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen. b) Bestem den partikulære løsning y f ( ) til differentialligningen, hvis graf i punktet P0, f (0) har en tangent med ligningen: y. Opgave dy En differentialligning er givet ved: cos( ) y cos( ) d a) Bestem ved beregning en ligning for tangenten til grafen i punktet P (, ) for den partikulære løsning, der går gennem punktet P. b) Bestem ved beregning den fuldstændige løsning til differentialligningen. En anden differentialligning er givet ved: dy d y c) Vis at f ( ) e ( ) er en løsning til differentialligningen.
8. Vektorer i planen og plangeometri Givet er linjen l med ligningen y 0 og punktet P(, ). a) Beregn afstanden mellem linjen l og punktet P. b) Bestem en ligning for den cirkel, som har centrum i P og tangerer linjen l. c) Bestem en ligning for den linje m, som går gennem punktet P og er ortogonal på linjen l. Opgave I planen er givet vektorerne: a 5 og b. a) Bestem arealet af den trekant som de to vektorer udspænder. b) Bestem projektionen af a på b. c) Bestem vinklen mellem a og a b. En linje l er givet ved ligningen: y 6 0. d) Bestem afstanden fra punktet P (8,4) til linjen l. 9. Vektorer i rummet og rumgeometri To vektorer er givet ved: a og b 0. 0 Vektoren n er givet ved: n a b a) Vis, at n 6., og et punkt er givet ved:,, P. b) Bestem en ligning for den plan, der indeholder P og har n som normalvektor.
Opgave En linje er givet ved: y 4 t, t R, z 7 og en plan er givet ved: y z. a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjen og planen. b) Beregn afstanden mellem planen og punktet P (,4,0). c) Bestem den spidse vinkel mellem linjen og planen. d) Bestem en ligning for den kugle, der har centrum i P (, 4,0) og har planen som tangentplan. 0. Vektorfunktioner I et koordinatsystem i planen er en kurve givet ved parameterfremstillingen t t e y t t, t ;. a) Beregn koordinaterne til hvert af kurvens skæringspunkter med koordinatsystemets akser. b) Beregn hastighedsvektoren og vis, at kurven ikke har en tangent i punktet svarende til t-værdien. c) Beregn ligningen for tangenten til kurven i punktet svarende til t = 0. d) Bestem t-værdierene til kurvens skæringspunkter med linjen y =.
Facit. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion a) 49 b) (/) c) d) (/00) Opgave ) b a b + ) + ) a b 6 4) ( y)y 5) (y + 8) 6) a 5 a. Ligninger og uligheder a) =-8 b) ingen løsning c) ) =0 eller = ) =- eller =0 Opgave ) =, y= ) =, y=
. Funktioner: Den rette linje, definitionsmængde, værdimængde, sammensatte funktioner, inverse funktioner, andengradspolynomiet, eksponentialfunktioner, eksponentielle udviklinger og logaritmer. Opgave a) Vm [( 9 4 ), [ y = ( ) + b) Dm ], ( 7 )[ ]( 7 + )/, [ Opgave a) Dm [ 5, [ b) = f = y + 5 Opgave 4 a) (,0), (,0), (0,4) b) (, 9 ) c) Vm [ 9, [ Opgave 5 a) =0 b) = c) =00/0 d) =
4. Differentialregning f = 5 f = (e + ) e (e + ) f = (ln(5) + ) e (ln(5)+) f 4 = ( ) Opgave a) Dm ], [ b) f = c) y = Opgave a) f er voksende for ], ] [, + [ f er aftagende for [, ] b) (, ( 8 )) (, ( 8 ))
5. Trigonometri a) =,9. b) 0.69. c) 0.79 Opgave a) Ma =, min = 6 og T = π. b) L = { π 4 ; π 4 } c) = π 4 6. Integralregning 5 f() d = 0. Opgave a) 6 d ln( ) c t b) (cos ( ) ) sin( ) d t c. c) d) ( ) d 6 e d = e t + c. = 6 + 4 + + c
Opgave a) (ln()) ln( ) d 4 b) d ln(9) 0 c) ( ) d = 9. 0 d) d = ln(). Opgave 4 a) Hint: Løs ligning f() = g(). b) A(M ) = 40. c) V = 98 5 π. d) A(M ) = 56. 7. Differentialligninger a) y = e + + c e. b) f() = e + + e. Opgave a) y = + π +. b) y = + c e sin() c) Hint: Find f (). 8. Vektorer i planen og plangeometri a) dist(p, l) =. b) ( ) + (y ) = 9
Opgave a) b) a b = ( 5 ) c) v,4 d) dist(p, l) = 5 9. Vektorer i rummet og rumgeometri b) α: 6y z = 0. Opgave a)(, y, z) = (,7,0) b) dist(p, α) = 6 6 c)θ,0 d) ( ) + (y 4) + z = 6 0. Vektorfunktioner a) aksen: L = {,0}, y aksen: t = 0. b) Hint: Undersøg tangents hældning. c) y = d) L = {,}