Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger"

Transkript

1 Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet) er en funktion p : E R som opfylder de to betingelser (p) p(x) 0, (p2) p(x). x E En sandsynlighedsfordeling på en endelig mængde E er en afbildning P som til hver delmængde (eller hændelse) A E knytter et tal P (A), så følgende tre betingelser er opfyldt: (P) P (A) 0 for alle A E (P2) P (E) (P3) P (A B) P (A) + P (B) for A, B E, A B Sandsynlighedsfunktioner og sandsynlighedsfordelinger hører sammen i par, og kan konstrueres ud fra hinanden efter formlerne p(x) P ({x}), P (A) x A p(x). Dette gælder også for diskrete fordelinger på vilkårlige (ikke nødvendigvis endelige) udfaldsrum, når definitionen af en sandsynlighedsfordeling suppleres med en ekstra antagelse. Ligefordelingen P på en endelig mængde E er givet ved P (A) A / E og har sandsynlighedsfunktionen p(x) / E. Regneregler for sandsynligheder: () P ( ) 0.

2 (2) P (A B) P (A) + P (B) P (A B). (3) For parvis disjunkte mængder A,..., A n er P (A A n ) P (A ) + + P (A n ). (4) P (E \ A) P (A). En stokastisk variabel X på E med fordeling P er en variabel der antager en tilfældig værdi, således at P (A) er sandsynligheden for at denne værdi falder i A. Vi skriver også P (X A) P (A). Ud fra en stokastisk variabel kan afledte stokastiske variable dannes ved transformation: Hvis t : E F er en afbildning fra udfaldsrummet E ind i et andet udfaldsrum F, så er Y t(x) en stokastisk variabel på F med fordeling Q givet ved Q(B) P (t(x) B) P (X t (B)) P (t (B)). Sandsynlighedsfunktionen for Y bliver q(y) x t (y) p(x). Kapitel 2: Betingede fordelinger og uafhængighed Den betingede sandsynlighed for B, givet A, er størrelsen P (B A) P (A B). P (A) P (B A) fortolkes som sandsynligheden for, at hændelsen B vil indtræffe, under antagelse af at A indtræffer. Lad X være en stokastisk variabel på E med fordeling P. Som funktion af en variabel hændelse B E kaldes P (B A) den betingede fordeling af X, givet X A. Mere generelt, hvis Y t(x) er en afledt stokastisk variabel med udfaldsrum F kaldes P (t (C) A) som funktion af C F den betingede fordeling af Y, givet X A. Kædereglen siger at hvis A,..., A n er hændelser således at P (A A n ) > 0, så er P (A A n ) P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 )... P (A n A A n ) Reglen for udregning af sandsynligheder ved opdeling i tilfælde siger at hvis A, A 2,..., A n er parvis disjunkte hændelser med positive sandsynligheder, således at A A 2 A n E, så kan sandsynligheden for en vilkårlig hændelse B E udregnes som P (B) P (A )P (B A ) + P (A 2 )P (B A 2 ) + + P (A n )P (B A n ). Stokastisk uafhængighed. Hvis (X, X 2 ) er en stokastisk variabel på produktmængden E E 2 siges X og X 2 at være (stokastisk) u- afhængige hvis sandsynlighedsfunktionen p(x, x 2 ) for den simultane fordeling (dvs. fordelingen af (X, X 2 )) kan skrives som produktet p(x, x 2 ) p (x )p 2 (x 2 ) 2

3 af sandsynlighedsfunktionerne for de marginale fordelinger af X og X 2. Alternativt kan stokastisk uafhængighed beskrives ved reglen P (X A og X 2 A 2 ) P (X A )P (X 2 A 2 ) eller ved at den betingede fordeling af X 2, givet en hændelse som vedrører X, altid er lig med den marginale fordeling af X 2. Kapitel 3: Fordelinger af antal Fakultetsfunktionen: n! 2 3 n n udråbstegn antal måder hvorpå en mængde bestående af n elementer kan ordnes. Nedadstigende faktoriel: n (k) n (n ) (n k + ) n!/(n k)! n i k rund antal ordnede sæt bestående af k elementer fra en mængde med n elementer. ( Binomialkoefficient: n k) n (k) n! k! k! (n k)! n over k antal delmængder med netop k elementer af en mængde med n elementer. Binomialformlen: Polynomialkoefficient: (x + y) n n k0 ( ) n s s 2... s k ( ) n x k y n k, k n! s!s 2!... s k! antallet af inddelinger af {,..., n} i k klasser af størrelser s,..., s k. Oversigt over diskrete fordelinger. Binomialfordelingen med antalsparameter n N og sandsynlighedsparameter p ]0, [ er fordelingen på {0,,..., n} med sandsynlighedsfunktion ( ) n p(s) p s ( p) n s. s Middelværdi np, varians np( p). Den hypergeometriske fordeling med parametre (N, R, n) er fordelingen på {0,..., n} med sandsynlighedsfunktion p(r 0 ) ( R )( N R ) r 0 n r ( 0 N n) ( n Middelværdi n R N, varians n R N ( R N ) N n N. r 0 3 ) R (r 0 ) (N R) (n r 0) N (n).

4 Polynomialfordelingen eller multinomialfordelingen med antalsparameter n N, orden k og sandsynlighedsparametre p, p 2,..., p k (positive med sum ) er fordelingen på {(s,..., s k ) N k 0 s + +s k n} med sandsynlighedsfunktion ( ) n p(s,..., s k ) p s s... s... ps k k. k Den marginale fordeling af S j er binomialfordelingen med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p j, hvoraf følger at ES j np j og var(s j ) np j ( p j ). Kovariansen mellem S i og S j for i j er np i p j. Den geometriske fordeling med parameter p er fordelingen på N 0 {0,, 2... } med sandsynlighedsfunktion p(t) ( p) t p. Middelværdi p p p, varians p. 2 Poissonfordelingen med parameter λ er fordelingen på N 0 med sandsynlighedsfunktion λ λx p(x) e x!. Middelværdi λ, varians λ. Den negative binomialfordeling med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p er fordelingen på N 0 med sandsynlighedsfunktion ( ) t + n p(t) p n ( p) t. t Middelværdi n p p Grænsesætninger., varians n p p 2. Den hypergeometriske fordeling kan, når stikprøvestørrelsen n er lille i forhold til det samlede antal kugler N, approksimeres med binomialfordelingen med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p R N. Binomialfordelingen kan, når p er lille og n er stor, approksimeres med Poissonfordelingen med parameter λ np. Kapitel 4: Middelværdi og varians. Middelværdien eller den forventede værdi af en stokastisk variabel X på R med sandsynlighedsfunktion p er givet ved EX p(x)x, hvor summationen skal foretages over alle x R (eller alle x for hvilke p(x) > 0). 4

5 Hvis X er en stokastisk variabel på E med sandsynlighedsfunktion p og f : E R en reel funktion på E, kan middelværdien af den afledte stokastiske variable Y f(x) beregnes som EY x E p(x)f(x). Regneregler: E(a + by ) a + bey, E(Y + + Y n ) EY + + EY n. For Y,..., Y n uafhængige: E(Y... Y n ) EY... EY n. Indikatorfunktion: For A E defineres A : E R ved A (x) for x A og A (x) 0 for x E \ A. Der gælder så E A (X) P (X A). Variansen for en reel stokastisk variabel Y er var(y ) E((Y EY ) 2 ) E(Y 2 ) (EY ) 2. Standardafvigelsen er kvadratroden af variansen. Kovariansen mellem X og Y defineres ved cov(x, Y ) E((X EX)(Y EY )) E(XY ) (EX)(EY ). Der gælder følgende regneregler: var(a + bx) b 2 var(x), cov(x, X) var(x), cov(x, Y ) cov(y, X), cov(x, ay + bz) a cov(x, Y ) + b cov(x, Z), var(ax + by ) a 2 var(x) + b 2 var(y ) + 2ab cov(x, Y ). For stokastiske variable X,..., X n med cov(x i, X j ) 0 for i j (hvilket specielt gælder hvis de er stokastisk uafhængige) er var(x + + X n ) var(x ) + + var(x n ). Korrelationen mellem X og Y er corr(x, Y ) cov(x, Y ) var(x)var(y ) Korrelationer ligger mellem og. De ekstreme værdier og antages når X og Y er ens på nær lineært affin transformation. Chebychevs ulighed siger, at hvis X er en reel stokastisk variabel med middelværdi µ og varians σ 2 så er, for ethvert positivt tal a, P ( X µ a) σ2 a 2. 5

6 De store tals lov siger at hvis X, X 2,... er uafhængige, identisk fordelte med EX i µ og E(Xi 2 ) < +, så vil ( ) X + + X n P µ n < ɛ for n for ethvert ɛ > 0. Kapitel 5: Fordelinger på den reelle akse. Lad E være et interval på R (evt. E R). En sandsynlighedstæthed på E er en funktion p : E R) som opfylder (p) p(x) 0, og (p2) p(x) dx. E Den til p hørende kontinuerte sandsynlighedsfordeling P er givet ved P (A) p(x) dx A (x)p(x) dx. A Lad X være en stokastisk variabel med en kontinuert fordeling. Tæthedens lokale fortolkning går ud på, at der for små intervaller [x 0, x 0 +h] gælder P (X [x 0, x 0 + h]) p(x 0 )h. En kontinuert sandsynlighedsfordeling kan alternativt beskrives ved sin fordelingsfunktion F (x) P (X x) x p(z) dz, der kan fortolkes som et ubestemt integral af tætheden. p(x) F (x) i alle kontinuitetspunkter for p. Omvendt er Transformation. Hvis t : E F er en stykkevis konstant transformation kan Y t(x) fortolkes som stokastisk variabel på F med diskret fordeling, givet ved sandsynlighedsfunktionen q(y) P (t(x) y) P (X t (y)) p(x) dx. t (y) Hvis t : E F afbilder intervallet E bijektivt, monotont og kontinuert differentiabelt på et andet interval F kan Y t(x) fortolkes som stokastisk variabel på F med kontinuert fordeling givet ved tætheden q(y) p(x) t (x) p ( t (y) ) t (t (y)). Denne relation huskes (og forstås) lettest på formen p(x) dx q(y) dy 6

7 hvor man kan dividere over med enten dx eller dy, afhængigt af om det er transformationens differentialkvotient dy dx eller den omvendte transformations differentialkvotient dx dy der er lettest at opskrive som funktion af y. Dette resultat kan også benyttes for kontinuert differentiable transformationer som ikke er bijektive. Så skal q(y) blot udtrykkes som en sum af bidrag af samme form som ovenfor fra de punkter x, der afbildes over i y. Lineært affin transformation. Hvis X har tæthed p får Y a + bx (b 0) tæthed q(y) ( ) y a b p. b Fordelingen med tæthed q siges her at være fremkommet af fordelingen med tæthed p ved, at denne er forsynet med positionsparameter a og skalaparameter b. Transformation til rektangulær fordeling. Hvis X har en kontinuert fordeling med fordelingsfunktion F vil R F (X) være rektangulært fordelt på enhedsintervallet. Omvendt kan en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F konstrueres ud fra en rektangulært fordelt variabel R ved X F (R). Middelværdien af en stokastisk variabel X med tæthed p er givet ved EX p(x)x dx. Middelværdien af en afledt reel stokastisk variabel Y f(x) kan udregnes som EY p(x)f(x) dx. Definitionen af varians, kovarians og korrelation kan overtages uændret fra det diskrete tilfælde, og der gælder de samme regneregler. Den centrale grænseværdisætning siger, at hvis X, X 2,... er u- afhængige, identisk fordelte stokastiske variable med middelværdi µ og varians σ 2, så vil fordelingen af U n ( n X + + X n σ n ) µ konvergere mod en normeret normalfordeling, i den forstand at P (U n u) Φ(u). 7

8 Oversigt over kontinuerte fordelinger (også fra senere kapitler). Den rektangulære fordeling eller ligefordelingen på enhedsintervallet har tætheden på enhedsintervallet (og 0 udenfor). Middelværdi 2, varians 2. Ligefordelingen på et vilkårligt interval [a, b] (som fås ved lineært affin transformation af ligefordelingen på enhedsintervallet) har tæthed b a på intervallet (og 0 udenfor). Den normerede eksponentialfordeling har tæthed e x på [0, + [; middelværdi og varians. Eksponentialfordelingen med skalaparameter b har tæthed b e x/b ; middelværdi b, varians b 2. Cauchyfordelingen har tæthed (på hele den reelle akse) p(x) Middelværdi og varians er udefinerede. π( + x 2 ). Den tosidede eksponentialfordeling har tæthed (på hele den reelle akse) Middelværdi 0, varians 2. p(x) 2 e x. Den normerede normale fordeling har tæthed (på hele den reelle akse) ϕ(u) e u2 2. 2π Middelværdi 0, varians. Fordelingsfunktionen for den normale fordeling betegnes Φ(u) u ϕ(x) dx. Den normale fordeling med middelværdi µ og varians σ 2 (der kan fortolkes som fordelingen af X µ + σu for U normeret normalfordelt) har tæthed ( ) x µ σ ϕ σ ( exp 2πσ 2 ) (x µ)2 2σ 2. Den logaritmiske normalfordeling, fordelingen af Y exp(x) hvor X er normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, har tætheden p(y) ) ( y 2πσ exp (log(y) µ)2 2 2σ 2 ( på den positive halvakse. Middelværdi exp 8 µ + σ2 2 ).

9 Γ fordelingen (udtales gamma fordelingen) med formparameter λ er fordelingen med tæthed p(x) Γ(λ) xλ e x på den positive halvakse. Middelværdi λ, varians λ. χ 2 fordelingen (udtales ki i anden fordelingen) med f frihedsgrader er (for f N) fordelingen af 2X hvor X er Γ fordelt med formparameter f 2. Kan også fortolkes som fordelingen af U U 2 f, hvor U,..., U f er uafhængige, normeret normalfordelte. Middelværdi f, varians 2f. B fordelingen (udtales beta fordelingen) med formparametre λ og λ 2 er fordelingen med tæthed p(x) λ B(λ, λ 2 ) xλ ( x) λ 2 λ λ 2 (λ +λ 2 ) 2 (λ +λ 2 +). på [0,]. Middelværdi λ +λ 2, varians F fordelingen med frihedsgradsantal (f, f 2 ) er fordelingen af F X /f X 2 /f 2 hvor X og X 2 er uafhængige, χ 2 fordelte med henholdsvis f og f 2 frihedsgrader. T fordelingen med f frihedsgrader er fordelingen af T U X/f hvor U og X er uafhængige, U normeret normalfordelt og X χ 2 fordelt med f frihedsgrader. T 2 vil så være F fordelt med (, f) frihedsgrader. Kapitel 6: Fordelinger på reelle talrum. Lad E være R n eller et område i R n. En sandsynlighedstæthed på E er en funktion p : E R som opfylder (p) p(x,..., x n ) 0, og (p2) E p(x,..., x n ) dx... dx n. Den til p hørende kontinuerte sandsynlighedsfordeling P er givet ved P (A) p(x,..., x n ) dx... dx n A 9

10 A (x,..., x n )p(x,..., x n ) dx... dx n. Transformation. Hvis t : E F er en stykkevis konstant transformation kan Y t(x) fortolkes som stokastisk variabel på F med diskret fordeling, givet ved sandsynlighedsfunktionen q(y) P (t(x) y) P (X t (y)) p(x) dx... dx n. t (y) Fordelingen af (X,..., X k ) (k < n), altså den marginale fordeling af de første k variable, er igen en kontinuert fordeling med tæthed q(x,..., x k ) p(x,..., x n ) dx k+... dx n. Hvis t : E F afbilder E bijektivt og kontinuert differentiabelt på et andet område F R n kan Y t(x) fortolkes som stokastisk variabel på F med kontinuert fordeling givet ved tætheden q(y,..., y n ) p ( t (y,..., y n ) ) det Dt (t (y,..., y n )). Stokastisk uafhængighed. X,..., X n siges at være stokastisk uafhængige hvis tætheden kan skrives på formen p(x,..., x n ) p (x )... p n (x n ) hvor p,..., p n er sandsynlighedstætheder på R. Foldning. Lad X og X 2 være reelle stokastiske variable, uafhængige med tætheder p og p 2. Så har fordelingen af Y X + X 2 tætheden q(y) p (y x)p 2 (x) dx. Den normale fordelings foldningsegenskab. Hvis X,..., X n er uafhængige, normalfordelte med middelværdier µ,..., µ n og varianser σ, 2..., σn, 2 så er X + + X n igen normalfordelt med middelværdi µ + + µ n og varians σ σn. 2 0

11 Kapitel 7: Den normale fordelings teori. Γ funktionen: B funktionen: Γ(λ) B(λ, λ 2 ) x λ e x dx, λ > 0. x λ ( x) λ 2 dx, λ, λ 2 > 0. Γ funktionens funktionalligning: Γ(λ + ) λγ(λ). Relation mellem Γ og B funktionerne: B(λ, λ 2 ) Γ(λ )Γ(λ 2 ) Γ(λ + λ 2 ) Transformationsresultater. Hvis X og X 2 er uafhængige, Γ fordelte med formparametre λ og λ 2, så er S X + X 2 og Z X X + X 2 stokastisk uafhængige; S er Γ fordelt med formparameter λ + λ 2, og Z er B fordelt med parametre (λ, λ 2 ). Γ fordelingens foldningsegenskab. Lad X,..., X n være uafhængige, Γ fordelte med formparametre λ,..., λ n. Så er X + + X n Γ fordelt med formparameter λ + + λ n. Lad U,..., U n være uafhængige, normeret normalfordelte. Betragt for k < n de to afledte variable Z U U 2 k U U 2 n og S U U 2 n. Da er Z og S stokastisk uafhængige. Z er B fordelt med parametre k 2 og n k 2, og S er χ2 fordelt med n frihedsgrader. Endvidere er V (U U 2 k )/k (U 2 k+ + + U 2 n)/(n k) F fordelt med (k, n k) frihedsgrader. (n k)z k( Z) Lad Y,..., Y n være stokastisk uafhængige, identisk normalfordelte med middelværdi µ og varians σ 2, og definer Ȳ n (Y + + Y n ), SSD n (Y i Ȳ )2. i

12 Så er Ȳ og SSD stokastisk uafhængige, Ȳ normalfordelt (µ, σ2 /n) og SSD χ 2 fordelt med n frihedsgrader og skalaparameter σ 2. Hvis µ 0 er n Ȳ T T-fordelt med n frihedsgrader. n SSD Hvis U,..., U n er uafhængige, normeret normalfordelte, siges U (U,..., U n ) at være (n dimensionalt) normeret normalfordelt. Den lineært affint transformerede variabel X µ + CU, hvor µ R n og C er en regulær n n matrix, siges at være n dimensionalt normalfordelt med middelværdivektor µ og kovariansmatrix Σ CC. 2

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ. Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.

Læs mere

Repetition Stokastisk variabel

Repetition Stokastisk variabel Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X

Læs mere

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal succeser i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes. Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces

Læs mere

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable 3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Løsning til eksamen 16/

Løsning til eksamen 16/ 1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,

Læs mere

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive

Læs mere

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen 1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Fordelinger. En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave. Udvidet version. Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.

Fordelinger. En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave. Udvidet version. Ulrich Fahrenberg uli@math.auc. Fordelinger En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave Udvidet version Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.dk Da denne fordelingsoversigt's første udgave så verdens lys

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Flerdimensionale transformationer

Flerdimensionale transformationer Kapitel 18 Flerdimensionale transformationer Når man i praksis skal opstille en sandsynlighedsmodel for et eksperiment, vil man altid tage udgangspunkt i uafhængighed. Ofte kan man tænke på det udførte

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Oversigt over nyttige fordelinger

Oversigt over nyttige fordelinger Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Sandsynlighedsteori

Sandsynlighedsteori Fordelingskatalog til Sandsynlighedsteori 1.1 + 1.2 Svend Erik Graversen August 2005 1 Dette katalog indeholder de vigtigste egenskaber ved de 6 mest almindelige diskrete fordelinger samt de 11 mest almindelige

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Sandsynlighed og Statistik

Sandsynlighed og Statistik 36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Jørgen Larsen Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende 2006 Indhold Forord 5 Del I Sandsynlighedsregning 7 Indledning 9 Endelige udfaldsrum. Grundlæggende definitioner.....................

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder

Læs mere

Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable

Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................

Læs mere

STATISTIKNOTER. Mindre matematisk-statistisk opslagsværk, indeholdende bl.a. ordforklaringer, resuméer og tabeller. Jørgen Larsen

STATISTIKNOTER. Mindre matematisk-statistisk opslagsværk, indeholdende bl.a. ordforklaringer, resuméer og tabeller. Jørgen Larsen STATISTIKNOTER Mindre matematisk-statistisk opslagsværk, indeholdende bla ordforklaringer, resuméer og tabeller Jørgen Larsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Universitetscenter,

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Betingede fordelinger

Betingede fordelinger Kapitel 21 Betingede fordelinger Hvis man i et eksperiment observerer to stokastiske variable, X og Y, er det ofte hensigtsmæssigt at skrue sin sandsynlighedsteoretiske model sammen på en sådan måde at

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af

Læs mere