Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen
|
|
- Kristen Holst
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen Aase D. Madsen (DF) fra folketingets talerstol 16. november 1999 (ved 1. behandling af lov til biblioteksvirksomhed):... og dér står, at 39 pct. af den mandlige del af befolkningen aldrig kommer på bibliotekerne, og at 30 pct. af den kvindelige del af befolkningen, altså fordelt gennemsnitligt over alder, aldrig kommer der. Og når jeg lægger mænd og kvinder sammen det skal man være lidt forsigtig med, men på det her område tør jeg godt så giver 39 pct. af mændene og 30 pct. af kvinderne befolkningen tilsammen, og det må være 69 pct. Tager jeg fejl?
2 2 Definition af betingede sandsynligheder Udfaldsrum E: Hændelser A, B f E Betinget sandsynlighed for A givet B P(A B) P(A B) = P(B) Denne definition har kun mening, hvis P(B) > 0. Bruger B som "nyt udfaldsrum": P(B B) = 1. Loven om den totale sandsynlighed (sætning 4.3) Klassedeling af E: E = A 1 cþca m, hvor A i 1 A j = Ø (i j) For hændelse B f E: B = (A 1 1B) c (A 2 1B) cþc (A m 1B) Bevis : m P (B) = P(A B) = P(A )P(B A ) m j j1 = j1 = j j
3 3 Bayes' formel (sætning 4.4) Klassedeling af E: E = A 1 cþca m, hvor A i 1 A j = Ø (i j) For hændelse B med P(B) > 0: P(Ai B) P(B A i)p(a i) P(A i B) = = P(B) P(B) = P(B A )P(A ) m j1 = i P(B A )P(A ) j i j Eksempel: Aase D. Madsen E = {alle danskere}, A 1 = {kvinder}, A 2 = {mænd} B = {de der aldrig bruger bibliotekerne} Givne betingede sandsynligheder: P(B A 1 ) = 0.30, P(B A 2 ) = 0.39 Total sandsynlighed for B: P(B) = = ! Hvad hvis hun i stedet havde beregnet P(B c )?
4 4 (2) Eksempel: Aase D. Madsen En tilfældigt udvalgt person angiver at vedkommende ikke bruger biblioteket. Hvad er sandsynligheden for at det er en mand? P(B A 2)P(A 2) P(A 2 B) = = = 0.57 P(B) Teoretisk Statistik, 15. marts ) Betingede sandsynligheder 2) Betinget middelværdi og varians Definition Beregning af marginal mv. og var. ved hjælp af betingede værdier 3) Kovarians og korrelationskoeficient
5 5 Betinget middelværdi og varians X 1 og X 2 diskrete variable. For givet x 1 definerer P(X = x,x = x ) f (x x) P(X x X x), x S = 2= 2 1= 1 = 2 2 P(X1= x 1) den betingede fordeling af X 2 givet X 1 = x 1. Man kan beregne middelværdi og varians i denne fordeling: [ ] EX X = x = xf(x x) x2 S x2 S [ = ] = [ = ] var X X x x f (x x ) (E X X x ) (2) Betinget middelværdi og varians Tilsvarende for kontinuerte variable, X 1 og X 2. Betinget middelværdi og varians af X 2 givet X 1 = x 1 : [ ] EX X = x = xf(x x)dx, [ 2 1= 1] = [ 2 1= 1] var X X x x f (x x )dx (E X X x ) hvor f(x 2 x 1 )=f(x 1,x 2 )/f 1 (x 1 ) er den betingede tæthed. Betinget middelværdi og varians afhænger (typisk) af x 1!
6 6 (3) Betinget middelværdi og varians Den betinget middelværdi og varians af X 2 givet X 1 = x 1 afhænger (som oftest) af x 1, altså af den obs. værdi af X 1. De er altså funktioner af den stokastiske variabel X 1 og dermed selv stokastiske variable, E[X 2 X 1 ] og var[x 2 X 1 ], som har middelværdi og varians. Vigtige formler (sætning 4.5): E[X 2 ] = E[E[X 2 X 1 ]] var[x 2 ] = E[var[X 2 X 1 ]] + var[e[x 2 X 1 ]] Eksempel 1 (opg. 12.6, fortsat fra sidst) Husk modellen: X 1 ~ N(µ,_σ 2 ); (X 2 X 1 = x 1 ) ~ N(βx 1, τ 2 ). Altså E[X 2 X 1 = x 1 ] = βx 1, var[x 2 X 1 = x 1 ] = τ 2 Påstod at: X 2 ~ N(βµ, τ 2 + β 2 σ 2 ). Middelværdi og varians passer i hvert fald: E[X 2 ] = E[E[X 2 X 1 ]] = TβE[X 1 ] = βµ var[x 2 ] = E[var[X 2 X 1 ]] + var[e[x 2 X 1 ]] = τ 2 + β 2 var[x 1 ] = τ 2 + β 2 σ 2
7 7 (2) Eksempel 2: Quiz med to runder Første runde: quizdeltageren får n ja/nej -spørgsmål; sandsynligheden for korrekt svar er p 1 på hvert spørgsmål. X = antal korrekte svar i første runde. Anden runde: deltageren får X spørgsmål; og sandsynligheden for korrekt svar er p 2. Y = antal korrekte svar i anden runde. Hvad er middelværdi og varians for antal korrekte svar i anden runde, altså E[Y] og var[y]? (2) Eksempel 2: Quiz med to runder Under passende uafhængighedsantagelser: X ~ bin(n,p 1 ), (Y X) ~ bin(x,p 2 ) Hvis man skulle beregne f.eks. middelværdi "direkte": n n n x n x x y x y f(y) = f(x)f(y x) = p 1(1 p 1) p 2(1 p 2)??? x= y x= y x y = [ ] n EY= yf(y) =??? y= 0
8 8 (3) Eksempel 2: Quiz med to runder Meget nemmere: og E[Y] = E[E[Y X]] = E[Xp 2 ] = p 2 E[X] = np 1 p 2 var[y] = E[var[Y X]] + var[e[y X]] = E[Xp 2 (1 - p 2 )] + var[xp 2 ] 2 = np 1 p 2 (1 - p 2 ) + np 1 (1 p 1 )p 2 = n p 1 p 2 (1 p 1 p 2 ) Teoretisk Statistik 15. marts Betingede sandsynligheder 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient Mål for (lineær) sammenhæng mellem to variable Fortolkning af korrelationskoefficient Diverse regneregler for middelværdi og varians
9 9 Positiv/negativ afhængighed Ønsker mål for (lineær) sammenhæng/afhængighed mellem to stokastiske variable, X 1 og X 2. Positiv afhængighed: Når X 1 er stor (lille), så er X 2 det typisk også. Negativ afhængighed: Når X 1 er stor, er X 2 typisk lille; når X 1 er lille er X 2 typisk stor. Eksempler: Antal m 2 og pris på lejlighed (+) _ Alder på køkken og pris på lejlighed ()) Empirisk kovarians Eksempel: Opgave Tn observationer af parrett (X 1,X 2 ): (x 11,x 21 ),,( x 1n, x 2n ). Empirisk kovarians n 1 s 12 = n 1 (x1i x 1)(x2i 2 x ) i = 1 s 12 numerisk stor og positiv: tegn på positiv afhængighed. s 12 numerisk stor og negativ: tegn på negativ afhængighed
10 _ 10 Teoretisk kovarians Definerer ny stokastisk variabel: (*) (X 1 E[X 1 ])(X 2 E[X 2 ] ) Ingen afhængighed: (*) lige ofte positiv og negativ. Positiv/negativ afhængighed: (*) er ofte positiv/negativ. Kovariansen mellem X 1 og X 2 : cov(x 1, X 2 ) = E[(X 1 -E[X 1 ])( X 2 E[X 2 ])) cov(x 1, X 2 ) numerisk stor: tegn på sammenhæng ml. X 1 og X 2. (2) Teoretisk kovarians Kovarians med sig selv : cov(x,x) = E[(X E[X] 2 ] = var[x] Middelværdi og varians af sum E[X 1 + X 2 ] = E[X 1 ] + E[X 2 ] var[x 1 + X 2 ] = E[(X 1 + X 2 (E[X 1 ] + E[X 2 ])) 2 ] = E[(X 1 E[X 1 ]) 2 + (X 2 - E[X 2 ]) 2 + 2(X 1 - E[X 1 ])(X 2 - E[X 2 ])] T= var[x 1 ] + var[x 2 ] + 2 cov(x 1,X 2 )
11 11 (3) Teoretisk kovarians Tilsvarende: var[x 1 X 2 ] = var[x 1 ] + var[x 2 ] 2 cov(x 1,X 2 ). Nyttig regneregel: cov(x 1,X 2 ) = E[(X 1 E[X 1 ]) (X 2 E[X 2 ])] = E[X 1 X 2 ] (E[X 1 ])(E[X 2 ]) Denne formel bruges ofte til beregning af kovariansen. (4) Teoretisk kovarians Altså: cov(x 1,X 2 ) = E[X 1 X 2 ] (E[X 1 ])(E[X 2 ]). X 1 X 2 er en funktion af den todimensionale s.v. (X 1,X 2 ) og dens middelværdi beregnes vha. den simultane fordeling: [ ] EXX 1 2 = xx f(x,x ) x1 x2 x1x 2f (x 1,x 2)dx 1,dx (X,X diskrete) (X,X kontinuerte) Eller via betingede middelværdier: E[X 1 X 2 ] = E[E[X 1 X 2 X 1 ]] = E[X 1 E[X 2 X 1 ]]
12 12 Eksempel: opgave 12.6 (fra sidst) Husk modellen: X ~N( µσ, ); (X X = x ) ~N( βx, τ ) ; X ~N( βµτ, +βσ ) NB: [ ] [ ] Vi får: 2 2 E[X ] = var X + (E X ) =σ +µ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] EXX 1 2 = EXEX 1 2 X1 = E[X1β X] 1 =β( σ +µ ) cov(x,x) = EXX (EX )(EX ) =β( σ +µ ) µβµ= βσ Empirisk kovarians: s 12 = Er dette meget eller lidt? Korrelationskoefficient Kovariansen afhænger af hvilken skala der måles på (uheldigt!): cov(a1x1+ b 1,a2X2 + b 2) = a1a 2cov(X 1,X 2), Korrelationskoefficienten defineres ved Så er: ρ=ρ (X,X ) = 1 2 cov(x,x ) var X 1 2 [ ] var[ X ] 1 2 aa cov(x,x) ρ (a X + b,a X + b ) = =± ρ(x,x ) avarx 1 [ 1] avarx 2 [ 2]
13 13 (2) Korrelationskoefficient Det gælder altid: - 1 #ρ(x 1,X 2 ) # 1 Bemærk at ρ(x,ax + b) = a cov(x,x) var X 2 [ ] a var[ X] + 1 (a > 0) = 1 (a < 0) Det modsatte gælder også (sætning 4.7): Hvis ρ(x 1,X 2 ) = 1 så findes a > 0 og b så X 2 = ax 1 + b. Hvis ρ(x 1,X 2 ) = - 1 så findes a < 0 og b så X 2 = ax 1 + b. (3) Korrelationskoefficient Korrelationskoefficienten måler lineær afhængighed! Vi siger, at X 1 og X 2 er ukorrelerede, hvis ρ( X 1 X,_ 2 ) = 0. Hvis X 1 og X 2 er uafhængige, er (sætning 4.7) E[ X 1, X 2 ] = ( E[X 1 ]) ( E[X 2 ]) cov(x 1, X 2 ) = ρ(x 1,X 2 ) = 0 var[x 1 ± X 2 ] = var[x 1 ] + var[x 2 ] Specielt altså: X 1 og X 2 uafhængige Y X 1 og X 2 ukorrelerede. Det modsatte gælder ikke (se f.eks. opgave HS.8)!
14 14 Eksempel: korrelation og stokastisk uafhængighed x f(x,y) y f 2 (y) f 1 (x) Tabel 1 Bemærk at f 1 (x) = f(x y) og f 2 (y) = f(y x) <=> f 1 (x) f 2 (y) = f(x,y) dvs. X og Y er uafhængige x f(x,y) y f 2 (y) f 1 (x) Bemærk at f 1 (x) f(x y) og f 2 (y) f(y x) <=> f 1 (x) f 2 (y) f(x,y) dvs. X og Y er afhængige. Tabel 2 Til karakteristik af de todimensionale fordelinger anvendes : E[X] = xf 1 (x) = = 3.0 E[Y] = 2.0 (f 2 (y) er symmetrisk om y = 2) var[x] = x 2 f 1 (x) E 2 [X] = = 1.4 var[y] = y 2 f 2 (y) E 2 [Y] = = 0.6 og cov(x,y) = E[XY] E[X]E[Y] = = 0 for f(x,y) i tabel 1. For f(x,y) i tabel 2 fås på tilsvarende måde cov(x,y) = = 0.57 Hvis X og Y er uafhængige er cov(x,y) = 0. Det omvendte gælder derimod ikke : cov(x,y) = 0 medfører ikke i almindelighed uafhængighed mellem X og Y, se tabel 3.
15 15 x f(x,y) y f 2 (y) f 1 (x) Tabel 3 Bemærk at X og Y er ukorrelerede : E[XY] = = 4.0 E[X] = E[Y] = 2 (pga. symmetri) dvs. cov(x,y) = 0 men X og Y er afhængige : f(x,y) f 1 (x)f 2 (y). Der er en cirkulær sammenhæng. (4) Korrelationskoefficient Empirisk korrelationskoefficient for n obs.(x 11,x 21 ),,(x 1n,x 2n ): r 12 = s ss hvor n 1 s = (x x )(x 12 1i 1 2i 2 n 1i= 1 n = 1i 1 n 1i= 1 n = 2i 2 n 1i= 1 s (x x ) ; s (x x ) x )
16 16 Oversigt 1. Betingede sandsynligheder Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians Beregning af marginal middelværdi og varians ved hjælp af de betingede 3. Kovarians og korrelationskoefficient Fortolkning af korrelationskoefficient Diverse regneregler for middelværdi og varians
hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereSandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.5 Den bivariate
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereNanostatistik: Middelværdi og varians
Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereKapitel 10 Simpel korrelation
Kapitel 10 Simpel korrelation Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Pearsons r 3 Spearmans ρ 1 Indledning 2 Pearsons r 3 Spearmans ρ Indledning Korrelation
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereSupplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable
IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereMat2SS Vejledende besvarelse uge 11
MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereIndblik i statistik - for samfundsvidenskab
Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereModul 6: Regression og kalibrering
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 6: Regression og kalibrering 6.1 Årsag og virkning................................... 1 6.2 Kovarians og korrelation...............................
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereDagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder
Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereStatistik for ankomstprocesser
Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 5.3 og 5.4 Simultane kontinuerte
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereFlerdimensionale fordelinger. Erik Michaelsen Nielsen
Flerdimensionale fordelinger Erik Michaelsen Nielsen Masterprojekt Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Forår 5 Forord Dette masterprojekt er udarbejdet af Erik Michaelsen Nielsen på Aalborg
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mere