Skovbrand. 1 Formål. Tema-opgave om vektoranalyse Matematik 1 - FORÅR Semesteruge 13
|
|
- Per Søgaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Skovbrand Tema-opgave om vektoranalyse Matematik 1 - FORÅR Semesteruge 13 Figur 1: Brand!! 1 Formål Denne tema-opgave handler om en velkendt form for natur-katastrofer: På en vindstille sommerdag går der pludselig ild i en knastør skov og brandens frontkurve udbreder sig straks cirkulært ud fra antændingspunktet. Men hvis vinden blæser (op) og derved fører ekstra ilt til branden fra en given retning er frontkurven langt fra cirkulær. Formålet med denne tema-opgave er at finde tidsforløbet af skovbrande, dels med hensyn til hvor stort et skovområde der er blevet afbrændt til et givet tidspunkt og dels med hensyn til udbredelsesformen, altså formen af brandfrontkurven til tiden t efter antænding. Der er selvsagt adskillige gode grunde til at bekymre sig om disse sager. Det fremgår også tydeligt af følgende citater fra henholdsvis [Wik1] og [FA]: "A wildfire, also known as a forest fire, vegetation fire, grass fire, brush fire, or bush fire (in Australia), is an uncontrolled fire often occurring in wild land areas, but which can also consume houses or agricultural resources. Common causes include lightning, human carelessness and arson. One main component of Carboniferous north hemisphere coal is charcoal left over by forest fires. The earliest known evidence of a wildfire dates back to Late Devonian period (about 365 million years ago). Mat1 05/06 side 1
2 The powerful updraft caused by a large wildfire will draw air from surrounding areas. These self-generated winds can lead to a phenomenon known as a firestorm. []... models predict an elliptical shape [of the fire s front line] when the ground is flat and the vegetation is homogeneous. []... All the large catastrophic fires in the United States have been wind driven events where the amount of fuel (trees, shrubs, etc.) has not been the most important factor in the fire spread." "A working knowledge of the effects of wind and other weather elements on fire behaviour, supported by accurate fire intelligence, is vital for good suppression planning. Without good fire behaviour information firefighters are unable to: determine the number of firefighters and level of equipment necessary; identify the location of suitable areas for backburning; and ensure that the general public is informed about the precise fire situation." Se endvidere [Wik2] der indeholder en liste over nogle af de største kendte skovbrande i nyere tid. Figur 2: Brandbekæmpelse. 2 Modellering af skov, antændelse, vind, og tab Konkret betragtes et rektangulært vandret skov-område S. Vi antager, at skoven er fuldstændig homogen med konstant tæthed: ρ træer pr. arealenhed. Træerne har alle samme højde og samme brandtekniske beskaffenhed. Vi vil groft antage, at vi kan betragte brandens udbredelse som et plant 2-dimensionalt problem - herunder at udbredelsen foregår langs en veldefineret brandfront-kurve. 1. Hvorfor er det en grov antagelse? Vi indfører derfor et 2D-koordinatsystem i skovens plan således at Origo ligger i midten af skoven og således at skoven iøvrigt modelleres ved: S = {(x,y) R 2 L x L og M y M }, (1) Mat1 05/06 side 2
3 hvor L og M er givne værdier for skovens (halve) længde og (halve) bredde, henholdsvis: L ]0, ], og M ]0, ]. Skovens areal er altså (hvis ellers L og M begge er endelige): A(S) = 4LM. Antændelsesstedet betegnes med p = (x 0,y 0 ) S. Vinden antages konstant i størrelse og retning og repræsenteres derfor ved et konstant plant vektorfelt W med længden W i (x,y)-planen. Der findes altså en konstant vinkel θ og en konstant vind- fart W, således at W(x,y) = (W cos(θ), W sin(θ)) for alle (x,y) R 2. (2) Vi lader Ω(t) S betegne det del-område af S, der til tiden t > 0 er blevet afbrændt. Det tilsvarende udbrændte areal er så A(t) = Areal(Ω(t)), t > 0. (3) En del af opgaverne nedenfor går ud på at finde dette areal i forskellige givne situationer. Arealet svarer jo præcis til antallet af tabte træer ved branden: Tab(t) = ρ A(t). Initielt vil branden typisk udbrede sig som en ellipse med voksende halvakser og med en konstant translationshastighed (i vindretningen). Branden vil altså typisk danne en hovedfront, en halefront og to flanker. Fremdriften er størst ved hovedfronten hvor der afbrændes flest træer pr. tidsenhed. Fremdriften er lille - men ikke nødvendigvis forsvindende - i halen, hvor brandfronten bevæger sig baglæns i retning op mod vinden, se [AF] og [R]. Hvis der ikke er nogen udefra kommende vind, altså hvis W = 0, vil udbredelsen dog være fuldstændig symmetrisk ud fra antændelsesstedet til ethvert tidspunkt t > 0 - hvis ellers skoven er tilstrækkelig stor. 3 Model uden vind Den cirkulære udbredelse af brandkurven (med W = 0) kan modelleres på følgende måde, hvor φ betegner retnings-vinkel-parameteren, φ [ π, π]. Tiden betegnes med t > 0 og a er en konstant, der afhænger af skovens beskaffenhed, tæthed, træhøjde, tørhed, etc., der også antages konstant i hele skoven: x(t,φ) = at cos(φ) (4) y(t,φ) = at sin(φ). Ovenstående model medfører specielt, at radius af det cirkulære brændte område Ω(t) vokser proportional med tiden t. 2. Antag ovenstående cirkulære udbredelsesmodel (4) og antag, at skoven er enorm stor, L = M =. Hvad er arealet A(t) af Ω(t) som funktion af t når branden er antændt i et givet punkt (x 0,y 0 ) til tiden t = 0? 3. Antag igen (4) og antag nu mere realistisk, at skoven har endelig udstrækning givet ved endelige værdier af L og M, men antag også (lidt urealistisk) at modellen (4) gælder uanset hvor mange træer, der er tilbage i skoven. Hvor lang tid går der fra antænding, svarende til t = 0 på stedet (x 0,y 0 ) indtil skoven er helt udbrændt? Mat1 05/06 side 3
4 For enhver fastholdt retning φ 0 fås fra modellen (4) en t-parametriseret kurve langs hvilken den til den retning hørende "brand-front-partikel" bevæger sig: r φ0 (t) = (x(t,φ 0 ),y(t,φ 0 )) = (at cos(φ 0 ),at sin(φ 0 )). (5) Vi vil nu indføre følgende modificerede tidsafhængige eksplosions-vektorfelt i planen (jvf. [M] Eksemplerne 8.5, 8.12, 9.2, og 10.2.): ( x V t (x,y) = t, y t ), for alle t > 0. (6) For ethvert fastholdt t = t 0 er V t0 (x,y) faktisk et eksplosionsvektorfelt i planen - pånær den konstante faktor t 0. Det er Gauss sætning for sådanne plane vektorfelter, vi i det følgende vil benytte til en alternativ bestemmelse af areal-funktionen A(t). 4. Vis, at kurverne r φ0 (t) er flowkurver for det tidsafhængige vektorfelt V t (x,y) i følgende forstand (som er 4 ækvivalente formuleringer af den egenskab, at tangentvektorfeltet for kurverne på ethvert sted netop er værdien af vektorfeltet V t på stedet): d dt r φ0 (t) = V t (x(t,φ 0 ), y(t,φ 0 )) ( r x(t,φ0 ) φ 0 (t) =, y(t,φ ) 0) t t ( (x (t,φ 0 ),y x(t,φ0 ) (t,φ 0 )) =, y(t,φ ) 0) t t (t x (t,φ 0 ),t y (t,φ 0 )) = (x(t,φ 0 ),y(t,φ 0 )) (7) 5. Bestem divergensen af det plane vektorfelt V t0 (x,y) for ethvert fastholdt tidspunkt t 0 > 0 og benyt Gauss divergenssætning for plane vektorfelter (se Sætning 1 i afsnit 6 nedenfor) til at verificere følgende differentialligning for arealfunktionen A(t): 6. Find samtlige løsninger til differentialligningen d dt A(t) t 0 = 2 A(t 0) t 0. (8) d A(t) A(t) = 2 dt t, t > 0. (9) Benyt dernæst begyndelsesbetingelsen A(1) = πa 2 til at finde arealfunktionen A(t) for den cirkulære brand som den er repræsenteret i (4). Skoven antages uendelig stor, L = M =. Sammenlign med opgave 2. 4 Model med konstant vind og konstant vindretning Som allerede bemærket i indledningen spiller vinden en meget stor rolle for udbredelsen af skovbrande. En oplagt ide er at modificere den cirkulære model til en "elliptisk"model med translation i vindretningen. Det er præcis hvad der gøres i [R], hvorfra vi citerer: Mat1 05/06 side 4
5 Figur 3: Øjebliksbillede af elliptisk udbredt brandzone. "Under constant conditions for homogeneous, non-spotting fuels it is generally accepted that a fire ignited at a point will expand, at a constant rate, as an ellipse of the form: x(t,φ) = at cos(φ) y(t,φ) = bt sin(φ) + ct, (10) where t is time, the origin being the point of ignition and the y-axis being the wind direction. The forward rate v, the lateral rate u and the back rate w are defined as: v = b + c u = a w = b c. (11) The Canadian Forest Fire Behaviour Prediction System (CFFBPS) assumes elliptical growth and has documented values of u, v, and w for a very large set of constant parameters affecting a fire. It has also been observed that, within certain limits, the ratio a/b is a function of wind speed only; this is also an assumption of the CFFBPS." Bemærk, at i denne model er det klart antaget, at antændingspunktet er (x 0,y 0 ) = (0,0) og vinden er i y-aksens positive retning således at W = (0,W). 7. Til ethvert tidspunkt t 0 > 0 er brandfrontkurven i denne model en ellipse med halvakserne at 0 og bt 0. Find arealet af denne ellipse som funktion af t Som i opgave 3: Find (for endelige værdier af L og M og ved brug af den elliptiske model i (10)) et udtryk for hvor lang tid, der går fra antænding i punktet (0,0) til skoven er helt udbrændt. Det antages også her at den anvendte elliptiske model for udbredelse holder uanset hvor mange træer der er tilbage i skoven. Forholdet mellem vindens fart og hovedfront-farten b + c kalder vi k, dvs: k = W b + c (12) Mat1 05/06 side 5
6 De nye konstanter b, c og k er ligesom a udtryk for brandtekniske egenskaber ved skov-materialet, nu med vinden (og den tilsvarende tilførsel af ilt) som en ny afgørende parameter. Desuden vil vi antage, at b > c, således at brandfront-ellipserne har en egentlig baglæns udbredelse, altså op imod vinden, jævnfør figur 4 og opgave 14. Bemærk, at for fastholdt retning φ 0 bevæger brand-front-partiklerne sig også her langs rette parametriserede linjer r φ0 (t). 9. Gennemfør de samme betragtninger som for den cirkulære model. Det vil sige: Skriv den elliptiske model (10) på vektor-parametriseret form som i (5). Benyt det samme tidsafhængige vektorfelt som for den cirkulære model (6) og løs de tilsvarende opgaver 4, 5, og 6 for den elliptiske model, idet man dog selvsagt ved løsning af den nye version af opgave 6 nu skal benytte den relevante begyndelsesbetingelse for den elliptiske model. 10. Hvor på brandfrontkurven afbrændes flest træer pr. tidsenhed og hvorfor? 11. Hvordan ser den elliptiske model (10) ud i det givne (x, y)-koordinatsystem hvis branden antændes i et (andet) givet punkt (x 0,y 0 ), som ikke nødvendigvis er (0,0)? 12. Hvordan ser den elliptiske model (10) ud i det givne (x, y)-koordinatsystem hvis branden antændes i et givet punkt (x 0,y 0 ) og hvis den konstante vind er givet ved en (anden) vektor W, som ikke nødvendigvis peger i y-aksens positive retning? Udtryk modellen ved brug af generelle positive konstanter a, b, c, k, W, og θ, eller ved passende valgte kombinationer af disse. 13. I fortsættelse af opgave 8: Find (for endelige værdier af L og M og ved brug af den generelle elliptiske model fundet i opgave 12) et udtryk for hvor lang tid, der går fra antænding i punktet (x 0,y 0 ) til skoven er helt udbrændt. Det antages også her at den anvendte elliptiske model for udbredelse holder uanset hvor mange træer der er tilbage i skoven. Figur 4: Elliptisk udbredelse af brandzone. Mat1 05/06 side 6
7 14. Bestem værdierne a, b, c og k for Waipawa branden, 31. januar 1991 ved Tikokino i New Zealand, hvis initielle udbredelse er vist i Figur 4. Det oplyses, og ses, at den ellipseformede brandfront efter 30 minutter var 7.2 km lang og 1 km bred; efter 60 minutter var den 2 km bred og 14.5 km lang. Efter 60 minutter var brandhalen rykket 350 meter i modvindsretning fra brandens antændelsespunkt. Vindhastigheden var 56 km/t i den angivne retning. 5 Model med vind-afhængigt drivende vektorfelt I de ovenstående modeller er det klart vigtigt at observere formen af brandens start-ellipse (til tiden t = 1, altså et øjeblik efter antænding) for at kunne forudsige form- og udbredelsesparametrene a, b, og c. Det drivende vektorfelt - det modificerede eksplosionsvektorfelt V t - bærer ikke selv nogen information om udbredelseskonstanterne a, b, c, eller k. Det kan af den grund være interessant at forsøge at ændre modellens drivende vektorfelt til faktisk at indeholde information om f.eks. vindretningen. Den dominerende udbredelsesretning indbygges derved i det drivende vektorfelt, f.eks. således: 15. Lad brandfronten til tiden t = 1 være en cirkel med radius a omkring (0,c). Branden antages igen antændt i (0,0) til tiden t = 0 og vi antager nu desuden, at a > c. Find de løsningskurver, flowkurverne, for følgende vektorfelt, der skærer den givne cirkel til tiden t = 1: hvor α β > 0, og α + β = 2. ( αx V t (x,y) = t, βy t ), t 1. (13) 16. Hvilke former for brandfrontkurver fremkommer ved at drive den initielle cirkel med vektorfeltet som i opgave Hvad er nu arealfunktionen A(t) når A(1) = πa 2? 6 Den 2-dimensionale, plane version af Gauss sætning Med argumenter og opstilling som i [M] afsnit 9.3 fås og motiveres følgende plane version af Gauss divergens-sætning. (Sætningen er kun til almindelig information og til brug ved løsning af ovenstående opgaver. Det er ikke en del af tema-opgaven at argumentere for dette resultat.) Sætning 1 (Gauss divergens-sætning for plane vektorfelter) Lad Ω betegne et plant område med randkurve Ω og udadrettet enhedsnormalvektorfelt n Ω langs med randkurven. For ethvert vektorfelt V i planen gælder så følgende: d du A(u) u=0 = div(v) dµ = V n Ω dµ = Flux(V, Ω), (14) Ω Ω Mat1 05/06 side 7
8 hvor fluxen altså skal beregnes med hensyn til det udadrettede enhedsnormalvektorfelt langs med randkurven af det givne plane område. Bemærk, at det sidste lighedstegn i (14) definerer fluxen af det plane vektorfelt ud igennem randkurven. Venstre siden, d du A(u) u=0, er den afledede (taget i u = 0) af arealet som funktion af flow-parameteren u for vektorfeltets flowkurver, når flowet antages startet i de respektive punkter på randen Ω. Litteratur [A] M. E. Alexander, Estimating the length-to-breadth ratio of elliptical forest fire patterns, Proc. 8th Natl. Conf. on Fire and Forest Meteorology, Society of American Foresters, Washington, D.C., [AF] M. E. Alexander and L. G. Fogarty, A pocket card for predicting fire behaviour in grasslands under severe burning conditions, Forest and Rural Fire Research, Fire Technology Transfer Note, Number 25, June [FA] L. G. Fogarty and M. E. Alexander, A Field Guide for predicting Grassland Fire potential: Derivation and Use, Forest and Rural Fire Research, Fire Technology Transfer Note, Number 20, July [M] S. Markvorsen, Integration i flere Variable, Institut for Matematik, februar [R] G. D. Richards, An Elliptical Growth Model of Forest Fire Fronts and its Numerical Solution, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 30, (1990). [Wik1] Wikipedia: [Wik2] Wikipedia: Mat1 05/06 side 8
Skovbrand. Tema-opgave om vektoranalyse Matematik 1 - FORÅR Semesteruge 13. Figur 1: Brand!!
Skovbrand Tema-opgave om vektoranalyse 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 - Semesteruge 13 Figur 1: Brand!! 1 Formål Denne tema-opgave handler om en velkendt form for natur-katastrofer: På en vindstille sommerdag
Læs mereXM @ DTU. License to Thrill
XM @ DTU License to Thrill Brand! S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU DK-2800 Kgs. Lyngby 1 Brand! Figur 1: Brand!! Niveau: C, B, og A. Tidsforbrug: Fra 1 til 5 lektioner.
Læs mereBrand! 16 Matematiske Horisonter. Matematiske Horisonter
Brand! 16 17 Af Professor Steen Markvorsen, DTU Matematik Hver sommer indløber beretninger om voldsomme skovbrande især i det sydlige Europa, USA, Canada og Australien. De seneste år har navnlig Spanien,
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereBasic statistics for experimental medical researchers
Basic statistics for experimental medical researchers Sample size calculations September 15th 2016 Christian Pipper Department of public health (IFSV) Faculty of Health and Medicinal Science (SUND) E-mail:
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72)
Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 18. januar 2006 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.),
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereAngle Ini/al side Terminal side Vertex Standard posi/on Posi/ve angles Nega/ve angles. Quadrantal angle
Mrs. Valentine AFM Objective: I will be able to identify angle types, convert between degrees and radians for angle measures, identify coterminal angles, find the length of an intercepted arc, and find
Læs mereCentral Statistical Agency.
Central Statistical Agency www.csa.gov.et 1 Outline Introduction Characteristics of Construction Aim of the Survey Methodology Result Conclusion 2 Introduction Meaning of Construction Construction may
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 31 Oktober 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af lommeregner
Læs mere28 April 2003 Retrospective: Semicore Visit
28 April 2003 Retrospective: Semicore Visit What is highest growth Industry? Rebuild versus remanufacture Importance of Documentation, blueprinting, spares What are barriers to high uptime? Review Homeworks
Læs mereFiltering on Wires Cable Ferrites, Usage & Comparison Alex Snijder Field Application Engineer Wurth Elektronik Nederland B.V.
Filtering on Wires Cable Ferrites, Usage & Comparison Alex Snijder Field Application Engineer Wurth Elektronik Nederland B.V. Agenda Electromagnetic Compatibility (EMC) Application of Cable Ferrites Impedance
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereLinear Programming ١ C H A P T E R 2
Linear Programming ١ C H A P T E R 2 Problem Formulation Problem formulation or modeling is the process of translating a verbal statement of a problem into a mathematical statement. The Guidelines of formulation
Læs mereTidevandstabeller for danske farvande. Tide tables for Danish waters
devandstabeller for danske farvande de tables for anish waters 0 Indhold ontents - orklaring til tabeller Explanation of tables Havnefortegnelse ist of ports - Tabeller for høj- og lavvandstidspunkter
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM58) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Torsdag den 1. januar 01 kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereEksamen maj 2018, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!
Læs mereDoodleBUGS (Hands-on)
DoodleBUGS (Hands-on) Simple example: Program: bino_ave_sim_doodle.odc A simulation example Generate a sample from F=(r1+r2)/2 where r1~bin(0.5,200) and r2~bin(0.25,100) Note that E(F)=(100+25)/2=62.5
Læs mereParticle-based T-Spline Level Set Evolution for 3D Object Reconstruction with Range and Volume Constraints
Particle-based T-Spline Level Set for 3D Object Reconstruction with Range and Volume Constraints Robert Feichtinger (joint work with Huaiping Yang, Bert Jüttler) Institute of Applied Geometry, JKU Linz
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereOn the complexity of drawing trees nicely: corrigendum
Acta Informatica 40, 603 607 (2004) Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s00236-004-0138-y On the complexity of drawing trees nicely: corrigendum Thorsten Akkerman, Christoph Buchheim, Michael Jünger,
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereAvancerede bjælkeelementer med tværsnitsdeformation
Avancerede bjælkeelementer med tværsnitsdeformation Advanced beam element with distorting cross sections Kandidatprojekt Michael Teilmann Nielsen, s062508 Foråret 2012 Under vejledning af Jeppe Jönsson,
Læs mereRichter 2013 Presentation Mentor: Professor Evans Philosophy Department Taylor Henderson May 31, 2013
Richter 2013 Presentation Mentor: Professor Evans Philosophy Department Taylor Henderson May 31, 2013 OVERVIEW I m working with Professor Evans in the Philosophy Department on his own edition of W.E.B.
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUser Manual for LTC IGNOU
User Manual for LTC IGNOU 1 LTC (Leave Travel Concession) Navigation: Portal Launch HCM Application Self Service LTC Self Service 1. LTC Advance/Intimation Navigation: Launch HCM Application Self Service
Læs mereProject Step 7. Behavioral modeling of a dual ported register set. 1/8/ L11 Project Step 5 Copyright Joanne DeGroat, ECE, OSU 1
Project Step 7 Behavioral modeling of a dual ported register set. Copyright 2006 - Joanne DeGroat, ECE, OSU 1 The register set Register set specifications 16 dual ported registers each with 16- bit words
Læs mereSmall Autonomous Devices in civil Engineering. Uses and requirements. By Peter H. Møller Rambøll
Small Autonomous Devices in civil Engineering Uses and requirements By Peter H. Møller Rambøll BACKGROUND My Background 20+ years within evaluation of condition and renovation of concrete structures Last
Læs mereSouth Baileygate Retail Park Pontefract
Key Details : available June 2016 has a primary shopping catchment of 77,000 (source: PMA), extending to 186,000 within 10km (source: FOCUS) 86,000 sq ft of retail including Aldi, B&M, Poundstretcher,
Læs mereTrolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 5
Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 5 English version further down Kim Finne med 11 kg laks Laksen blev fanget i denne uge øst for Bornholm ud for Nexø. Et andet eksempel er her to laks taget
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGeneralized Probit Model in Design of Dose Finding Experiments. Yuehui Wu Valerii V. Fedorov RSU, GlaxoSmithKline, US
Generalized Probit Model in Design of Dose Finding Experiments Yuehui Wu Valerii V. Fedorov RSU, GlaxoSmithKline, US Outline Motivation Generalized probit model Utility function Locally optimal designs
Læs mereUheldsmodeller på DTU Transport - nu og fremover
Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 20, 2019 på DTU Transport - nu og fremover Hels, Tove Publication date: 2011 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link back to DTU Orbit Citation (APA): Hels,
Læs mereTidevandstabeller for danske farvande. Tide tables for Danish waters
devandstabeller for danske farvande de tables for anish waters Indhold ontents - orklaring til tabeller Explanation of tables Havnefortegnelse ist of ports - Tabeller for høj- og lavvandstidspunkter samt
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereTrolling Master Bornholm 2013
Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger
Læs mereFejlbeskeder i SMDB. Business Rules Fejlbesked Kommentar. Validate Business Rules. Request- ValidateRequestRegist ration (Rules :1)
Fejlbeskeder i SMDB Validate Business Rules Request- ValidateRequestRegist ration (Rules :1) Business Rules Fejlbesked Kommentar the municipality must have no more than one Kontaktforløb at a time Fejl
Læs mereDiffusion of Innovations
Diffusion of Innovations Diffusion of Innovations er en netværksteori skabt af Everett M. Rogers. Den beskriver en måde, hvorpå man kan sprede et budskab, eller som Rogers betegner det, en innovation,
Læs merePattern formation Turing instability
Pattern formation Turing instability Tomáš Vejchodský Centre for Mathematical Biology Mathematical Institute Summer school, Prague, 6 8 August, 213 Outline Motivation Turing instability general conditions
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereHandelsbanken. Lennart Francke, Head of Accounting and Control. UBS Annual Nordic Financial Service Conference August 25, 2005
Handelsbanken Lennart Francke, Head of Accounting and Control UBS Annual Nordic Financial Service Conference August 25, 2005 UBS Annual Nordic Financial Service Conference Handelsbanken, first half-year
Læs mereVina Nguyen HSSP July 13, 2008
Vina Nguyen HSSP July 13, 2008 1 What does it mean if sets A, B, C are a partition of set D? 2 How do you calculate P(A B) using the formula for conditional probability? 3 What is the difference between
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereHelp / Hjælp
Home page Lisa & Petur www.lisapetur.dk Help / Hjælp Help / Hjælp General The purpose of our Homepage is to allow external access to pictures and videos taken/made by the Gunnarsson family. The Association
Læs mereEngelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com.
052430_EngelskC 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau C www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 13. maj 2017.
Mat. -timersprøve den. maj 7. JE.5.7 Opgave restart:with(plots): En funktion f af to reelle variable er for x, y s, givet ved f:=(x,y)-y/(x^+y^); f d x, y / y x Cy f(x,y); y x Cy Spørgsmål I x, y Kplanen
Læs mereBrug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes.
Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav f: Et dannebrogsflag Et hus med tag, vinduer og dør En fugl En bil En blomst Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funn
Læs mereSne, Vand, Is og Permafrost i Arktis
Sne, Vand, Is og Permafrost i Arktis Morten Skovgaard Olsen Gennemsnitstemperatur i Arktis Alle dele af kryosfæren påvirkes Havis Havis Økosystemer Feedbacks Katey Walter Anthony, UAF Muligheder og udfordringer
Læs mereINGEN HASTVÆRK! NO RUSH!
INGEN HASTVÆRK! NO RUSH! Keld Jensen Nr. 52, december 2018 No. 52, December 2018 Ingen hastværk! Vær nu helt ærlig! Hvornår har du sidst opholdt dig længere tid et sted i naturen? Uden hastværk. Uden unødvendig
Læs mereSikkerhed & Revision 2013
Sikkerhed & Revision 2013 Samarbejde mellem intern revisor og ekstern revisor - og ISA 610 v/ Dorthe Tolborg Regional Chief Auditor, Codan Group og formand for IIA DK RSA REPRESENTATION WORLD WIDE 300
Læs mereDen nye Eurocode EC Geotenikerdagen Morten S. Rasmussen
Den nye Eurocode EC1997-1 Geotenikerdagen Morten S. Rasmussen UDFORDRINGER VED EC 1997-1 HVAD SKAL VI RUNDE - OPBYGNINGEN AF DE NYE EUROCODES - DE STØRSTE UDFORDRINGER - ER DER NOGET POSITIVT? 2 OPBYGNING
Læs merePARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU
PARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU OUTLINE INEFFICIENCY OF ATTILA WAYS TO PARALLELIZE LOW COMPATIBILITY IN THE COMPILATION A SOLUTION
Læs mereSustainable use of pesticides on Danish golf courses
Indsæt nyt billede: Sustainable use of pesticides on Danish golf courses Anita Fjelsted - Danish EPA Ministry of the Environment 27 May 2015 - STERF The Danish Environmental Protection Agency 450 employees
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereGUIDE TIL BREVSKRIVNING
GUIDE TIL BREVSKRIVNING APPELBREVE Formålet med at skrive et appelbrev er at få modtageren til at overholde menneskerettighederne. Det er en god idé at lægge vægt på modtagerens forpligtelser over for
Læs mereMaj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Læs mereStatistik for MPH: 7
Statistik for MPH: 7 3. november 2011 www.biostat.ku.dk/~pka/mph11 Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: 333-365, 381-383) Per Kragh Andersen 1 Fra den 6. uges statistikundervisning:
Læs mereCoimisiún na Scrúduithe Stáit State Examinations Commission. Leaving Certificate Marking Scheme. Danish. Higher Level
Coimisiún na Scrúduithe Stáit State Examinations Commission Leaving Certificate 2017 Marking Scheme Danish Higher Level Note to teachers and students on the use of published marking schemes Marking schemes
Læs mereMultivariate Extremes and Dependence in Elliptical Distributions
Multivariate Extremes and Dependence in Elliptical Distributions Filip Lindskog, RiskLab, ETH Zürich joint work with Henrik Hult, KTH Stockholm I II III IV V Motivation Elliptical distributions A class
Læs merePROBLEMLØSNING - HVAD KAN DET?
PROBLEMLØSNING - HVAD KAN DET? UNDERVISNINGSDIFFERENTIERING I MATEMATIK Søs Spahn 1. maj 2019 POLYA HVEM OG HVAD? OPSLAG PÅ WIKIPEDIA: GEORGE PÓLYA (/ˈPOƱLJƏ/; HUNGARIAN: PÓLYA GYÖRGY [ˈPOːJɒ ˈɟØRɟ]) (DECEMBER
Læs mereVPN VEJLEDNING TIL MAC
VPN VEJLEDNING TIL MAC MAC OS X 1 VPN VEJLEDNING TIL MAC Formålet med en VPN forbindelse er, at du kan tilgå nogle af Aarhus Universitets services hjemmefra, som ellers kun er tilgængelige, når du er på
Læs mereCoimisiún na Scrúduithe Stáit State Examinations Commission. Leaving Certificate Marking Scheme. Danish. Higher Level
Coimisiún na Scrúduithe Stáit State Examinations Commission Leaving Certificate 2018 Marking Scheme Danish Higher Level Note to teachers and students on the use of published marking schemes Marking schemes
Læs mereMATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk
Læs mereComputing the constant in Friedrichs inequality
Computing the constant in Friedrichs inequality Tomáš Vejchodský vejchod@math.cas.cz Institute of Mathematics, Žitná 25, 115 67 Praha 1 February 8, 212, SIGA 212, Prague Motivation Classical formulation:
Læs mereShared space - mellem vision og realitet. - Lyngby Idrætsby som case
Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 27, 2017 Shared space - mellem vision og realitet. - Lyngby Idrætsby som case Brinkø, Rikke Publication date: 2015 Document Version Peer-review version Link to publication
Læs mereIBM Network Station Manager. esuite 1.5 / NSM Integration. IBM Network Computer Division. tdc - 02/08/99 lotusnsm.prz Page 1
IBM Network Station Manager esuite 1.5 / NSM Integration IBM Network Computer Division tdc - 02/08/99 lotusnsm.prz Page 1 New esuite Settings in NSM The Lotus esuite Workplace administration option is
Læs mereLUL s Flower Power Vest dansk version
LUL s Flower Power Vest dansk version Brug restgarn i bomuld, bomuld/acryl, uld etc. 170-220 m/50 g One size. Passer str S-M. Brug større hæklenål hvis der ønskes en større størrelse. Hæklenål 3½ mm. 12
Læs mereAristoteles Camillo. To cite this version: HAL Id: hal
An experimentally-based modeling study of the effect of anti-angiogenic therapies on primary tumor kinetics for data analysis of clinically relevant animal models of metastasis Aristoteles Camillo To cite
Læs mereExercise 6.14 Linearly independent vectors are also affinely independent.
Affine sets Linear Inequality Systems Definition 6.12 The vectors v 1, v 2,..., v k are affinely independent if v 2 v 1,..., v k v 1 is linearly independent; affinely dependent, otherwise. We first check
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereBusiness Rules Fejlbesked Kommentar
Fejlbeskeder i SMDB Validate Business Request- ValidateRequestRegi stration ( :1) Business Fejlbesked Kommentar the municipality must have no more than one Kontaktforløb at a time Fejl 1: Anmodning En
Læs mereStarWars-videointro. Start din video på den nørdede måde! Version: August 2012
StarWars-videointro Start din video på den nørdede måde! Version: August 2012 Indholdsfortegnelse StarWars-effekt til videointro!...4 Hent programmet...4 Indtast din tekst...5 Export til film...6 Avanceret
Læs mereOPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes
Læs mereSide 1 af 9. SEPA Direct Debit Betalingsaftaler Vejledning
Side 1 af 9 SEPA Direct Debit Betalingsaftaler Vejledning 23.11.2015 1. Indledning Denne guide kan anvendes af kreditorer, som ønsker at gøre brug af SEPA Direct Debit til opkrævninger i euro. Guiden kan
Læs mereBarnets navn: Børnehave: Kommune: Barnets modersmål (kan være mere end et)
Forældreskema Barnets navn: Børnehave: Kommune: Barnets modersmål (kan være mere end et) Barnets alder: år og måneder Barnet begyndte at lære dansk da det var år Søg at besvare disse spørgsmål så godt
Læs mereFejlbeskeder i Stofmisbrugsdatabasen (SMDB)
Fejlbeskeder i Stofmisbrugsdatabasen (SMDB) Oversigt over fejlbeskeder (efter fejlnummer) ved indberetning til SMDB via webløsning og via webservices (hvor der dog kan være yderligere typer fejlbeskeder).
Læs mereBlack Jack --- Review. Spring 2012
Black Jack --- Review Spring 2012 Simulation Simulation can solve real-world problems by modeling realworld processes to provide otherwise unobtainable information. Computer simulation is used to predict
Læs mereStokes rotationssætning
enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem
Læs mereDendrokronologisk Laboratorium
Dendrokronologisk Laboratorium NNU rapport 12, 1997 VEJDYB VED HALS, AALBORG AMT Nationalmuseets Marinarkæologiske Undersøgelser. Indsendt af Jan Bill og Flemming Rieck. Undersøgt af Aoife Daly. NNU j.nr.
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereStatistical information form the Danish EPC database - use for the building stock model in Denmark
Statistical information form the Danish EPC database - use for the building stock model in Denmark Kim B. Wittchen Danish Building Research Institute, SBi AALBORG UNIVERSITY Certification of buildings
Læs mere