Funktioner af to variable

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Funktioner af to variable"

Transkript

1 enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable, så vi vil i denne enote definere værdimængder, kontinuitet, og differentiabilitet af funktioner f (x, y) af to variable, her x og y. Ligesom for funktioner af én variabel vil vi bruge epsilon-funktions-begrebet (nu ligeledes af to variable) til formålet Definitionsmængder Ved beskrivelsen af en reel funktion f (x, y) af to variable anføres dels de punkter (x, y), i (x, y)-planen hvor funktionen er defineret, og dels de værdier, som kan fås ved at benytte funktionen på defintionsmængden. Definitionsmængden kalder vi Dm( f ) og værdimængden kalder vi Vm( f ). Det er især definitionsmængderne vi vil fokusere på her. Som noget nyt i forhold til funktioner af én variabel er definitionsmængderne i planen generelt ikke så simple som intervallerne på den reelle talakse. Eksempel 15.1 Definitionsmængde for en funktion af to variable Lad os se på en funktion f (x, y) af to variable: f (x, y) = ln( 5 x 2 y 2 ). (15-1) For hvilke punkter (x, y) i R 2 er denne funktion defineret? Vi har f.eks. at f (0, 0) = ln( 5), f (2, 0) = f (0, 2) = 0, f (1, 0) = f (0, 1) = ln(2), og faktisk er f (cos(t), sin(t)) = ln(2) for alle t, men f (3, 7) er ikke defineret for denne funktion. Ved inspektion af funktionen ses det, at definitionsmængden for f (x, y) består præcis af de punkter, der ligger helt inde i den cirkelskive, der har centrum i (0, 0) og radius 5: Dm( f ) = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 < 5 }. (15-2)

2 enote DEFINITIONSMÆNGDER 2 Læg mærke til, at cirkel-randen af cirkelskiven ikke er med i definitionsmængden. Vi vil nu indføre nogle vigtige begreber til beskrivelse af definitionsmængder og iøvrigt generelt til beskrivelse af vilkårlige delmængder af (x, y)-planen som kan være gode at benytte sig af, når man f.eks. skal tegne eller skitsere mængderne: Åbne og afsluttede mængder i planen Definition 15.2 Åbne mængder i planen En delmængde eller et område M i planen kaldes en åben mængde hvis ethvert punkt (x 0, y 0 ) i mængden er centrum for en eller anden (gerne meget lille) cirkelskive, som selv er helt indeholdt i M. Eksempel 15.3 En cirkelskive Mængden Dm = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 < 5 } er en åben mængde. Men mængden { (x, y) R 2 x 2 + y 2 5 } er ikke en åben mængde. Definition 15.4 Randen af en mængde i planen, indre og ydre Randen af et område M i planen består af de punkter (x 0, y 0 ) i planen som har følgende egenskab: Enhver cirkelskive med centrum i (x 0, y 0 ) indeholder både punkter som tilhører M og punkter som ikke tilhører M. Bemærk, randpunkterne for M ikke selv behøver at være med i mængden M. Mængden af randpunkter for M betegnes med M. Det indre af et område M er alle de punkter i M, som ikke ligger på randen af M. Det indre af M betegnes med M. Det ydre af et område M i planen er alle de punkter i planen som ikke tilhører hverken M eller M.

3 enote DEFINITIONSMÆNGDER 3 Eksempel 15.5 Randen af en åben cirkelskive Mængden Dm = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 < 5 } har randen: Dm = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 = 5 }. (15-3) Definition 15.6 Afslutningen af en mængde i planen Hvis en mængde M tilføjes sine randpunkter M fås afslutningen af mængden som betegnes med: M = M M. (15-4) Hvis randpunkterne allerede er med i mængden M fås ikke derved nogen udvidelse af M. Mængden M kaldes afsluttet hvis M = M. Eksempel 15.7 Figurativt om åbne og afsluttede mængder Mængden A i figur 15.1 er hverken åben eller afsluttet (der er nogle punkter på randen, som selv er med i mængden og der er andre punkter på randen som ikke er med i mængden. Tegne-forskriften er følgende: Punkter, der er med i mængden er grønne eller ligger på en fuldt optrukket stykke af randen; punkter, der ikke er med i mængden er ikke farvede eller (hvis de er en del af randen) markerede med røde cirkler. Mængden B i figur 15.1 er en åben mængde. Mængden C i figur 15.1 er en afsluttet mængde Stjerneformede mængder i planen Definition 15.8 Stjerneformede områder Hvis ethvert punkt (x, y) i en mængde M i planen kan ses fra et punkt (x 0, y 0 ) i mængden sådan at hele syns-linjestykket fra og med (x 0, y 0 ) til og med (x, y) er indeholdt i mængden, så siges M at være stjerneformet ud fra stjernepunktet (x 0, y 0 ). Med andre ord: Ethvert punkt (x, y) i mængden kan forbindes med stjernepunktet med et linjestykke, der helt er indeholdt i mængden. Se figur 15.3.

4 enote DEFINITIONSMÆNGDER 4 Figur 15.1: Områder i planen. Mængden A er hverken åben eller afsluttet, B er en åben mængde, og C er en afsluttet mængde. Opgave 15.9 Stjerneform og dobbelt-stjerneform Hvilke punkter i den mængde der er vist til venstre figur 15.3 kan bruges som stjernepunkter for mængden? Er mængden af samtlige mulige stjernepunkter afsluttet eller åben? I hvilken forstand ville man kunne sige, at figuren til højre i 15.3 er dobbelt-stjerneformet? Begrænsede mængder i planen Definition Begrænsede mængder En mængde M i planen siges at være begrænset hvis den er helt indeholdt i en (gerne meget stor) cirkelskive med centrum i (0, 0). Eksempel De tre mængder A, B, og C i figur 15.1 er tydeligvis begrænsede de er helt indeholdt i den cirkelskive som har centrum i (0, 0) og radius 100. Den mængde af punkter, der udgøres af punkterne på x-aksen er ikke begrænset.

5 enote GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE 5 Figur 15.2: Afslutningerne Ā, B, og C af områderne A, B, og C fra figur Udvidelser af definitionsmængden til hele R 2 Ligesom vi kan udvide definitionsmængder for funktioner af én variabel, kan vi gøre præcis det samme for funktioner f (x, y) af to variable: Definition Udvidelse af definitionsmængden Givet funktionen f (x, y) med definitionsmængde Dm( f ), så definerer vi 0- udvidelsen f (x, y) af f (x, y) på følgende måde: f (x, y) = { f (x, y), for (x, y) Dm( f ) 0, for (x, y) R 2 \ Dm( f ). (15-5) 15.2 Grafer for funktioner af to variable Med henblik på at illustrere funktioner af to variable tegner vi dem i rummet vi plotter den punktmængde, der fremkommer ved at konstruere graferne i { O, x, y, z }- koordinatsystemet:

6 enote NIVEAU-MÆNGDER OG HØJDESNIT 6 Figur 15.3: Mængden til venstre er stjerneformet. Mængden til højre er ikke stjerneformet. Definition Grafer for funktioner af to variable Lad f (x, y) være en funktion af to variable med definitionsmængden Dm( f ). Så er grafen for en funktion af to variable givet ved: z = f (x, y), hvor (x, y) Dm( f ). (15-6) Grafen består altså af den punktmængde i rummet som vi også kan beskrive på følgende måde: G( f ) = { (x, y, f (x, y)) (x, y) Dm( f ) }. (15-7) Hvert enkelt punkt på grafen fremkommer på følgende måde: Fra punktet (x, y, 0) i (x, y)-planen går vi højden (med fortegn) f (x, y) lodret op (eller ned) fra den (vandrette) (x, y)-plan og markere graf-punktet (x, y, f (x, y) i den højde som funktionsværdien f (x, y) foreskriver lige over (eller under) punktet (x, y, 0) Niveau-mængder og højdesnit I (x, y)-planen hvor funktionen f (x, y) er defineret kan vi gøre noget helt andet for at vise, hvordan funktionsværdierne varierer fra punkt til punkt.

7 enote NIVEAU-MÆNGDER OG HØJDESNIT 7 Definition Niveau-mængder For en funktion f (x, y) af to variable definerer vi for ethvert reelt tal c den tilhørende niveau-mængde på følgende måde: K c ( f ) = { (x, y) Dm( f ) f (x, y) = c }. (15-8) Mængden K c kan være tom, hele planen, en kurve, eller hvilken som helst punktmængde i planen. Eksempel Niveaumængder Vi lader A betegne en vilkårlig mængde i planen og konstruerer en funktion f (x, y) i hele planen på følgende måde: f (x, y) = { 1 for (x, y) A 0 for (x, y) R 2 \ A, dvs. f er 0-udvidelsen af den funktion, som er konstant 1 på A. Så er A for c = 1 K c ( f ) = R 2 \ A for c = 0 for c = 1 og c = 0. (15-9) (15-10) Ofte er niveau-mængden K c dog meget mere velstruktureret og består typisk af en eller flere kurver. De kurver kan med fuld ret kaldes niveau-kurver eller højdekurver, for de angiver jo præcis de punkter (x, y) i definitionsmængden hvor funktionen antager værdien c og hvor grafen for f derfor lige præcis har højden (med fortegn) c over (x, y)- planen. Med andre ord, hvis vi skærer grafen for f med den vandrette plan z = c i højden c over (x, y)-planen, så fås en snitkurve, hvis projektion ned i (eller op i) (x, y)- planen netop er K c, se figurerne , Nedenfor i afsnit vil vi i ethvert punkt i definitionsmængden for f (x, y) definere en vektor, gradientvektoren for f (x, y), som har den særlige egenskab, at hvis den ikke er 0 i et åbent område omkring et givet punkt (x 0, y 0 ), så er den niveau-mængde der indeholder (x 0, y 0 ) en kurve igennem punktet. Gradientvektorer er dog kun veldefinerede for differentiable funktioner, så den egenskab må vi derfor først have indført forfunktioner af to variable.

8 enote NIVEAU-MÆNGDER OG HØJDESNIT 8 Eksempel Grafer og niveau-kurver Følgende funktioner er alle definerede i hele (x, y)-planen. f (x, y) = x + y + 2 f (x, y) = 1 1 ( x 2 + y 2) 2 (15-11) f (x, y) = cos(3x) sin(3y). Funktionernes grafer er vist i figurerne 15.4, 15.5, og 15.6 dels sammen med deres respektive niveau-kurver i (x, y)-planen og dels sammen med en figur, der antyder, hvordan niveaukurverne i (x, y)-planen kan opfattes som projektionerne af de højde-snit-kurver der fremkommer ved at skære graffladerne for funktionerne i forskellige højder, altså med planerne z = c, hvor c er den konstante værdi som den aktuelle funktion f (x, y) antager på niveau-kurven K c. Bemærk, at niveaumængderne K c virkelig er kurver (eller punkter) i disse tilfælde. Figur 15.4: Grafen i (x, y, z)-rummet, niveaukurverne i (x, y)-planen, og højdesnitkurverne for funktionen f (x, y) = x + y + 2. Læg mærke til, at det naturligvis ikke er hele grafen for funktionen vi kan plotte. Her er kun vist det udsnit der hører til 1 x 1 og 1 y 1.

9 enote EPSILON-FUNKTIONER AF TO VARIABLE Figur 15.5: Grafen i ( x, y, z)-rummet, niveaukurverne højdesnitkurverne for funktionen f ( x, y) = 1 21 x2 + y2. i ( x, y)-planen, og 15.4 Epsilon-funktioner af to variable En meget vigtig klasse af funktioner af to variable er afstandsfunktionerne. For ethvert punkt ( x0, y0 ) i planen definerer vi afstanden til ( x0, y0 ) pa velkendt ma de: Definition Afstandsfunktioner Afstanden fra et punkt ( x, y) til et punkt ( x0, y0 ) i ( x, y)-planen betegnes med q (15-12) ρ( x0,y0 ) ( x, y) = ( x x0 )2 + (y y0 )2. Dette er den sædvanlige afstand mellem de to punkter ( x, y) og ( x0, y0 ) i planen bestemt med Pythagoras sætning.

10 enote EPSILON-FUNKTIONER AF TO VARIABLE 10 Figur 15.6: Grafen i (x, y, z)-rummet, niveaukurverne i (x, y)-planen, og højdesnitkurverne for funktionen f (x, y) = cos(3x) sin(3y). Det er denne funktion vi vil bruge på samme måde som vi benyttede funktionen (x x 0 ) til definitionerne af epsilon-funktioner af én variabel og til definition af kontinuitet og differerentiabilitet af funktioner af én variabel. Læg mærke til, at ρ (x0,y 0 )(x, y) altid er positiv eller 0; og læg mærke til at værdien 0 dog kun optræder for (x, y) = (x 0, y 0 ). Funktionen ρ (0,0) (x, y), altså afstanden fra (x, y) til (x 0, y 0 ) = (0, 0), er vist i figur Læg mærke til, at niveaukurverne er ækvidistante, og at grafen er konisk spids i kontaktpunktet til (x, y)-planen! Vi er nu klar til at definere klassen af epsilonfunktioner af to variable:

11 enote EPSILON-FUNKTIONER AF TO VARIABLE 11 Figur 15.7: Grafen for afstandsfunktionen ρ(0,0) ( x, y) til punktet ( x0, y0 ) = (0, 0), funktionens niveaukurver, og højdesnit-kurverne pa grafen. Definition Epsilonfunktioner af to variable Enhver funktion ε( x, y) som er defineret i et a bent omra de i R2 indeholdende (0, 0), og som antager værdien 0 i ( x, y) = (0, 0), og som derudover ga r imod 0 na r ( x, y) ga r imod ( x0, y0 ) kaldes en epsilon-funktion af ( x, y). Epsilon-funktioner af to variable er altsa karakteriserede ved egenskaberne: ε(0, 0) = 0 og ε( x, y) 0 for ( x, y) (0, 0). (15-13) Den sidste betingelse betyder, at den numeriske værdi af funktionsværdierne ε( x, y) kan gøres sa lille som ønsket ved blot at vælge ( x, y) tilstrækkelig tæt pa (0, 0). Helt præcis betyder betingelsen: For ethvert helt positivt tal k findes der et helt positivt tal K sa dan at ε( x, y) < 1/k for alle ( x, y) med ρ( x0,y0 ) ( x, y) < 1/K. Det følger direkte af definitionen, at afstandsfunktionen ρ( x0,y0 ) ( x, y) til et punkt ( x0, y0 ) selv er en epsilonfunktion af x x0 og y y0.

12 enote KONTINUERTE FUNKTIONER AF TO VARIABLE Kontinuerte funktioner af to variable Som for funktioner af én variabel definerer vi kontinuitet for funktioner af to variable ved hjælp af klassen af epsilonfunktioner: Definition Kontinuerte funktioner af to variable En funktion f (x, y) er kontinuert i (x 0, y 0 ) hvis der eksisterer en epsilon-funktion ε f (x x 0, y y 0 ) sådan at følgende gælder i et åbent område der indeholder (x 0, y 0 ): f (x, y) = f (x 0, y 0 ) + ε f (x x 0, y y 0 ). (15-14) Hvis f (x, y) er kontinuert i alle (x 0, y 0 ) i et givet åbent område i Dm( f ), så siger vi, at f (x, y) er kontinuert i hele området. Enhver epsilonfunktion af x x 0 og y y 0 som f.eks. ρ (x0,y 0 )(x, y) er derfor kontinuert i (x 0, y 0 ). Grafer og niveaukurver kan ofte afsløre, om en funktion er kontinuert i et punkt. Sætning Inspektion af niveau-mængder Hvis en funktion f (x, y) har to niveau-mængder K c1 og K c2 (hvor c 1 = c 2 ) som begge indeholder punkter (x, y) vilkårligt tæt på (x 0, y 0 ), så er f (x, y) ikke kontinuert i (x 0, y 0 ). Bevis Antag, at f (x, y) er kontinuert i (x 0, y 0 ). Hvis vi går i mængden K c1 hen mod (x 0, y 0 ) så skal (pr. kontinuitet) f (x 0, y 0 ) være c 1. Hvis vi derimod går i mængden K c2 hen mod (x 0, y 0 ) får vi f (x 0, y 0 ) = c 2, hvilket er en modstrid, da c 1 = c 2. To niveaukurver hørende til forskellige funktionsværdier for en funktion f (x, y) kan ligge meget tæt på hinanden i (x, y)-planen men altså ikke vilkårligt tæt hvis funktionen er kontinuert.

13 enote KONTINUERTE FUNKTIONER AF TO VARIABLE 13 Eksempel En funktion som ikke er kontinuert Vi ser på 0-udvidelsen f (x, y) af funktionen Det vil sige: f (x, y) = x2 y x 4 + y 2, hvor (x, y) R 2 \ { (0, 0) }. (15-15) f (x, y) = { x 2 y x 4 +y 2 for (x, y) = (0, 0) 0 for (x, y) = (0, 0). (15-16) Funktionen kan inspiceres i figur Ved den inspektion bemærkes, at niveaukurverne ligner parabler igennem (0, 0). Vi vil teste den hypotese, at det faktisk er parabler: Hvis vi sætter y = c x 2 (parabelligning) får vi følgende udregninger: f (x, y) = f (x, c x 2 ) = x2 c x 2 x 4 + (c x 2 ) 2 c x = 4 (1 + c 2 ) x 4 = c 1 + c 2, (15-17) hvilket netop betyder, at parablerne y = c x 2 er (indeholdt i) niveau-mængden K c/(1+c2 ). Da alle parablerne går igennem (0, 0) følger det af sætning at funktionen f (x, y) ikke er kontinuert i (0, 0). Opgave Vis, at 0-udvidelsen f (x, y) af følgende funktion ikke er kontinuert i (0, 0): f (x, y) = x x 2 + y 2. (15-18) Eksempel Første-grads-polynomier er kontinuerte Vi vil vise, at f (x, y) = αx + βy + γ er kontinuert i (x 0, y 0 ). Det følger direkte af, at f (x, y) f (x 0, y 0 ) = α(x x 0 ) + β(y y 0 ) 0 for (x, y) (x 0, y 0 )), (15-19) sådan at f (x, y) = f (x 0, y 0 ) + ε f (x x 0, y y 0 ) (15-20) med epsilonfunktionen ε f (x x 0, y y 0 ) = α(x x 0 ) + β(y y 0 ). Overvej hvorfor dette er en epsilonfunktion.

14 enote KONTINUERTE FUNKTIONER AF TO VARIABLE 14 Figur 15.8: Grafen i rummet og niveaukurve-forløbet i planen for funktionen i eksempel Opgave Vis, at følgende anden-grads polynomium er kontinuert i (0, 0): f (x, y) = x 2 + y 2. (15-21) Opgave Vis, at 0-udvidelsen af følgende funktion er kontinuert i (0, 0): f (x, y) = x y2 x 2 + y 2. (15-22) Eksempel Kvadratroden af afstandsfunktionen Funktionen f (x, y) = ρ (x0,y 0 )(x, y) er ligesom ρ (x0,y 0 )(x, y) selv en epsilonfunktion og er derfor kontinuert i (x 0, y 0 ). Se figur 15.9.

15 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER AF TO VARIABLE 15 Figur 15.9: Grafen, niveau-kurverne, og højdesnitkurverne for kvadratroden af afstandsfunktionen til punktet (x 0, y 0 ) = ( 1, 1) : f (x, y) = ρ (x0,y 0 )(x, y) Differentiable funktioner af to variable Langt de fleste af de funktioner vi betragter i Matematik 1 er differentiable i deres definitionsområder og af den grund også kontinuerte, som vi skal se nedenfor jævnfør tilsvarende for funktioner af én variabel. Differentiabilitet defineres som for funktioner af én variabel, men her igen ved brug af de indførte epsilonfunktioner af to variable:

16 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER AF TO VARIABLE 16 Definition Differentiabilitet og partielle afledede En funktion f (x, y) er differentiabel i (x 0, y 0 ) Dm( f ) hvis der findes to konstanter a og b og en epsilon-funktion ε f (x x 0, y y 0 ) sådan at f (x, y) = f (x 0, y 0 ) + a (x x 0 ) + b (y y 0 ) + ρ (x0,y 0 )(x, y) ε f (x x 0, y y 0 ). (15-23) Det er de to konstanter a og b vi herefter (når de findes, altså når f (x, y) er differentiabel) kalder de partielle afledede af f i (x 0, y 0 ). De betegnes henholdsvis: a = f x(x 0, y 0 ) og b = f y(x 0, y 0 ) (15-24) Med denne notation gælder altså når f (x, y) er differentiabel i (x 0, y 0 ): f (x, y) = f (x 0, y 0 ) + f x(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y(x 0, y 0 ) (y y 0 ) + ρ (x0,y 0 )(x, y) ε f (x x 0, y y 0 ). (15-25)

17 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER AF TO VARIABLE 17 Definition Partielle afledede af partielle afledede Hvis f (x, y) er differentiabel i alle punkter (x 0, y 0 ) i et givet åbent område i Dm( f ) R 2 siger vi, at f (x, y) er differentiabel i hele området. Vi skriver så ofte de partielle afledede af f (x, y) på følgende måde, idet de jo dermed selv er funktioner af de to variable (x 0, y 0 ): f x(x, y) = f f (x, y) = x x (x, y) og f y(x, y) = f f (x, y) = (x, y). (15-26) y y Hvis disse partielle afledede af f (x, y) selv er differentiable, kan vi fortsætte og finde de tilhørende partielle afledede af de partielle afledede, etc. De benævnes på følgende måde: f xx(x, y) = x f x(x, y) = 2 f (x, y) x x f xy(x, y) = y f x(x, y) = 2 f (x, y) y x f yx(x, y) = x f y(x, y) = 2 f (x, y) x y f yy(x, y) = y f y(x, y) = 2 f (x, y). y y (15-27) Hvordan finder vi så konkret de partielle afledede af en given funktion f (x, y), f.eks. f (x, y) = x sin(y)? Det er ikke svært:

18 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER AF TO VARIABLE 18 Sætning Hjælpefunktioner giver partielle afledede De partielle afledede af en funktion f (x, y), der er differentiabel i (x 0, y 0 ) kan findes ved sædvanlig differentiation af to funktioner af én variabel. Sæt f 1 (x) = f (x, y 0 ) f 2 (y) = f (x 0, y). (15-28) Så er funktionerne f 1 (x) og f 2 (y) to funktioner af hver én variabel, henholdsvis x og y, og de er begge differentiable i henholdsvis x 0 og y 0, og differentialkvotienterne er netop de partielle afledede: f x(x 0, y 0 ) = f 1 (x 0) og f y(x 0, y 0 ) = f 2(y 0 ) (15-29) Med andre ord: Ved at indføre de to hjælpefunktioner af én variabel, f 1 (x) og f 2 (y), fås de partielle afledede af f (x, y) ved at finde de sædvanlige differentialkvotienter af f 1 (x) og f 2 (y) i henholdsvis x 0 og y 0. Bevis Hvis vi sætter y = y 0 overalt i ligning (15-25) får vi: f 1 (x) = f (x, y 0 ) = f 1 (x 0 ) + f x(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + ρ (x0,y 0 )(x, y 0 ) ε f (x x 0, 0), (15-30) sådan at koefficienten til faktoren (x x 0 ) lige præcis er f x(x 0, y 0 ). Vi aflæser altså for det første, at f 1 (x) er differentiabel i x 0 og for det andet, at f 1 (x 0) = f x(x 0, y 0 ). Og det var den ene halvdel af det vi skulle vise; den anden halvdel vedrørende f 2 (y 0) = f y(x 0, y 0 ) fås på helt tilsvarende måde. Eksempel Bestemmelse af partielle afledede Vi vil bestemme de partielle afledede af funktionen f (x, y) = 3 x y x y 7 i ethvert punkt (x 0, y 0 ) i R 2. Vi opstiller først de to hjælpefunktioner f 1 (x) = f (x, y 0 ) og f 2 (y) = f (x 0, y): f 1 (x) = 3 x y x y 7 0 f 2 (y) = 3 x y x 0 y 7. De to hjælpefunktioner har differentialkvotienterne henholdsvis: f 1(x) = 6 x y 7 0 da y 0 jo er en konstant her, f 2(y) = y x 0 y 6 da x 0 er en konstant. (15-31) (15-32)

19 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER AF TO VARIABLE 19 Heraf får vi dernæst hjælpefunktionernes differentialkvotienter i x 0 henholdsvis y 0 : f 1(x 0 ) = 6 x y 7 0 = f x(x 0, y 0 ) f 2(y 0 ) = 21 y x 0 y 6 0 = f y(x 0, y 0 ). (15-33) Heraf fås generelt, det vil sige for alle (x, y) i R 2 : f x(x, y) = 6 x + 10 y 7 f y(x, y) = 21 y x y 6. (15-34) Opgave Vis (på samme måde som for differentiable funktioner af én variabel), at hvis f (x, y) er differentiabel i (x 0, y 0 ), så er de to konstanter a og b, altså konstanterne f x(x 0, y 0 ) og f y(x 0, y 0 ), veldefinerede i følgende forstand: Der findes ikke to forskellige par af konstanter a 1, b 1 og a 2, b 2 og to epsilonfunktioner ε 1 og ε 2 sådan at der samtidig gælder: f (x, y) = f (x 0, y 0 ) + a 1 (x x 0 ) + b 1 (y y 0 ) + ρ (x0,y 0 )(x, y) ε 1 (x x 0, y y 0 ) f (x, y) = f (x 0, y 0 ) + a 2 (x x 0 ) + b 2 (y y 0 ) + ρ (x0,y 0 )(x, y) ε 2 (x x 0, y y 0 ). (15-35) Opgave Bestem samtlige partielle afledede af de partielle afledede i ethvert punkt (x, y) for funktionen f (x, y) = 3 x y x y 7. Opgave Bestem samtlige partielle afledede af de partielle afledede i ethvert punkt (x, y) for funktionen f (x, y) = cos(3x) sin(3y). Den opmærksomme opgaveløser vil have observeret (f.eks. i opgaverne ovenfor) at f xy(x, y) og f yx(x, y) typisk er ens! Det er ikke nogen tilfældighed, det gælder sædvanligvis at man kan nøjes med at beregne den ene af de to dobbeltafledede:

20 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER AF TO VARIABLE 20 Sætning De blandede dobbeltafledede er ens Hvis alle de 4 dobbelt afledede af en given funktion f (x, y) er kontinuerte i et åbent område, så gælder i hele området: f xy(x, y) = f yx(x, y). (15-36) Opgave Vis (på samme måde som for funktioner af én variabel) at: Hvis en funktion f (x, y) af to variable er differentiabel i et punkt (x 0, y 0 ), så er funktionen også kontinuert i dette punkt. Vis også med et eksempel, at hvis en funktion er kontinuert i (x 0, y 0 ), så behøver den ikke at være differentiabel i (x 0, y 0 ). Se f.eks. på ρ (x0,y 0 )(x, y). Den opmærksomme vil også have noteret, at vi mangler en overvejelse: Hvis f (x, y) er differentiabel i et punkt (x 0, y 0 ), så findes de partielle afledede i konsekvens af differentiabiliteten og de kan bestemmes ved hjælp af de differentiable hjælpefunktioner f 1 (x) og f 2 (y). Man kan nu med god grund spørge: Hvis de to hjælpefunktioner findes for en given funktion f (x, y), og det viser sig, at de er differentiable i henholdsvis x 0 og y 0, betyder det så, at f (x, y) er differentiabel i (x 0, y 0 )? Følgende sætning kaster lys over dette spørgsmål: Sætning Fra partielle afledede til differentiabilitet Hvis f (x, y) har partielle afledede (fundet via hjælpefunktionerne f 1 (x) og f 2 (y)) i et åbent område A indeholdende (x 0, y 0 ), og hvis de partielle afledede af f (x, y) begge er kontinuerte i A, så er f (x, y) differerentiabel. At der nødvendigvis må være en ekstra betingelse i sætning følger af eksemplet her: Eksempel Differentiable hjælpefunktioner er ikke nok Vi ser på 0-udvidelsen af følgende funktion: f (x, y) = x y2 x 2 + y 4. (15-37) Den funktion er ikke differentiabel i (0, 0) den er nemlig ikke engang kontinuert i (0, 0) (!)

21 enote DET APPROKSIMERENDE FØRSTE-GRADS-POLYNOMIUM 21 (Hvorfor ikke?) Ikke desto mindre findes de to hjælpefunktioner f 1 (x) = f (x, 0) = 0 f 2 (y) = f (0, y) = 0, (15-38) og som det ses, er de begge to særdeles differentiable i (0, 0). Selv om hjælpefunktionerne er differentiable behøver den aktuelle funktion selv ikke at være differentiabel Det approksimerende første-grads-polynomium Som for funktioner af én variabel kan vi trunkere udtrykket i ligning (15-25) ved simpelthen at fjerne epsilon-funktions-delen hvorved vi står tilbage med et førstegradspolynomium i de to variable x og y: P 1,(x0,y 0 )(x, y) = f (x 0, y 0 ) + f x(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y(x 0, y 0 ) (y y 0 ). (15-39) Funktionen P 1,(x0,y 0 )(x, y) kaldes det approksimerende første-gradspolynomium for f (x, y) med udviklingspunkt (x 0, y 0 ). Læg mærke til, at P 1,(x0,y 0 )(x, y) virkelig er et første-grads-polynomium i de to variable x og y fordi de højst optræder med potensen 1 og alle andre faktorer og addender er konstanter. Eksempel Paraboloide med tangentplan Vi ser på funktionen f (x, y) = x2 1 2 y2. (15-40) Så er sådan at f x(x 0, y 0 ) = x 0 f y(x 0, y 0 ) = y 0, P 1,(x0,y 0 )(x, y) = f (x 0, y 0 ) x 0 (x x 0 ) y 0 (y y 0 ) = x y2 0 x x 0 + x0 2 y y 0 + y 2 0 = x y2 0 x x 0 y y 0.. (15-41) (15-42) Specielt får vi med udviklingspunktet (x 0, y 0 ) = (1, 1): P 1,(1, 1) (x, y) = y x + 2. (15-43) Se figur 15.10, hvor grafen for dette approksimerende første-gradspolynomium for f (x, y) er plottet sammen med grafen for funktionen selv. Højde-snit-kurverne og niveau-kurverne

22 enote DET APPROKSIMERENDE FØRSTE-GRADS-POLYNOMIUM 22 er ligeledes gengivet for begge funktionerne. I og omkring det markerede udviklingspunkt er funktionerne meget ens - grafen for det approksimerende førstegrads-polynomium med udviklingspunkt (x 0, y 0 ) fortjener helt klart at blive kaldt tangentplanen til grafen for f (x, y) i punktet (x 0, y 0, f (x 0, y 0 ). Definition Tangentplan til grafen for en funktion af to variable Givet en differentiabel funktion f (x, y). Tangentplanen til grafen for f (x, y) i punktet (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) er givet ved ligningen: z = P 1,(x0,y 0 )(x, y), (15-44) hvor højresiden er det approksimerende polynomium af første grad for f (x, y) med udviklingspunkt (x 0, y 0 ). Figur 15.10: Tangentplanen approksimerer grafen over udviklingspunktet og niveaulinjerne for det approksimerende førstegradspolynomium approksimerer niveaulinjerne for funktionen omkring udviklingspunktet i (x, y)-planen

23 enote PARTIELLE AFLEDEDE AF SAMMENSATTE FUNKTIONER 23 Opgave Bestem det approksimerende første-grads-polynomium for følgende funktion i ethvert punkt (x 0, y 0 ): f (x, y) = cos(3x) sin(3y). (15-45) 15.8 Partielle afledede af sammensatte funktioner Sammensatte funktioner af to variable optræder i rigtig mange anvendelser, lige fra GPS teknologi til geologi og termodynamik. En sammensat funktion af to variable fås typisk således: Lad f (x, y) være en funktion af to variable, hvor (x, y) Dm( f ) R 2 og lad p(u, v) og q(u, v) være to andre funktioner af to variable, hvor vi så antager, at (u, v) Dm(p) Dm(q) R 2. Antager vi nu yderligere, at (u, v) tilhører et område A i R 2 sådan at der gælder, at værdierne af p(u, v) og q(u, v) ligger i definitionsmængden for f (x, y) i den forstand, at (p(u, v), q(u, v)) Dm( f ) for (u, v) A, så er den sammensatte funktion h(u, v) = f (p(u, v), q(u, v)) veldefineret for alle (x, y) A. (15-46) Vi vil sædvanligvis kun se på sammensatte funktioner som er definerede i hele planen, sådan at A = R 2. Eksempel Sammensatte funktioner af to variable Lad f (x, y), p(u, v), og q(u, v) være bestemt ved de angivne funktioner nedenfor. Så fås de tilsvarende sammensatte funktioner h(u, v) ved at sætte x = p(u, v), y = q(u, v), og h(u, v) = f (x, y) = f (p(u, v), q(u, v)) i de respektive definitions-områder (de anføres ikke her): f (x, y) = x + y, p(u, v) = 2u v, q(u, v) = u 2 + v 2, h(u, v) = (u + v) 2 f (x, y) = y e x, p(u, v) = ln(uv), q(u, v) = 1/uv, h(u, v) = 1 f (x, y) = x + y, p(u, v) = u 4, q(u, v) = 8 u 4, h(u, v) = 3 u 2 (15-47)

24 enote PARTIELLE AFLEDEDE AF SAMMENSATTE FUNKTIONER 24 Sætning Kædereglen i planen Lad f (x, y), p(u, v), og q(u, v) være tre differentiable funktioner - hver af to variable. Lad h(u, v) betegne den sammensatte funktion h(u, v) = f (p(u, v), q(u, v)). (15-48) Så kan de partielle afledede af h(u, v) udtrykkes ved hjælp af dels de partielle afledede af f (x, y), dels de partielle afledede af p(u, v), og dels de partielle afledede af q(u, v). Vi vil udtrykke de partielle afledede af h(u, v) i (u 0, v 0 ) så vi sætter x 0 = p(u 0, v 0 ) og y 0 = q(u 0, v 0 ). Så har vi: h u(u 0, v 0 ) = f x(x 0, y 0 ) p u(u 0, v 0 ) + f y(x 0, y 0 ) q u(u 0, v 0 ) h v(u 0, v 0 ) = f x(x 0, y 0 ) p v(u 0, v 0 ) + f y(x 0, y 0 ) q v(u 0, v 0 ). (15-49) Bevis Resultatet følger efter præcis samme opskrift som beviset for differentiation af den sammensatte funktion f (g(x)) af én variabel der er bare lidt flere konstanter og funktioner at holde styr på. Opgave Bestem de partielle afledede i ethvert punkt (u, v) for hver af de sammensatte funktioner nedenfor dels ved at beregne dem direkte ud fra det givne eksplicitte udtryk for h(u, v) og dels ved at benytte kædereglen og de parteille afledede af ingredienserne i h(u, v), altså de partielle afledede af f (x, y), p(u, v) og q(u, v). f (x, y) = x + y, p(u, v) = 2u v, q(u, v) = u 2 + v 2, h(u, v) = (u + v) 2 f (x, y) = y e x, p(u, v) = ln(uv), q(u, v) = 1/uv, h(u, v) = 1 f (x, y) = x + y, p(u, v) = u 4, q(u, v) = 8 u 4, h(u, v) = 3 u 2 (15-50)

25 enote PARTIELLE AFLEDEDE AF SAMMENSATTE FUNKTIONER 25 Læg mærke til, at hver af de partielle afledede af den sammensatte funktion h(u, v) = f (p(u, v), q(u, v)) i et punkt (u 0, v 0 ) effektivt kan udtrykkes ( ved prikprodukter ) hvori indgår en fælles faktor, nemlig vektoren f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ) hvor x 0 = p(u 0, v 0 ) og y 0 = q(u 0, v 0 ): ( h u(u 0, v 0 ) = h v(u 0, v 0 ) = ) f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ) ) ( f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ) (p u(u 0, v 0 ), q u(u 0, v 0 ) ) (p v(u 0, v 0 ), q v(u 0, v 0 ) ) Gradientvektorer Definition Gradientvektor Lad f (x, y) betegne en differentiabel funktion af to variable. De partielle afledede af f (x, y) i et punkt (x 0, y 0 ) definerer gradientvektoren for f (x, y) i (x 0, y 0 ) på følgende måde: ( ) f (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ). (15-51) På denne måde får vi altså defineret en ganske bestemt vektor i ethvert punkt, hvor f (x, y) er differentiabel: ( ) f (x, y) = f x(x, y), f y(x, y). (15-52) Hvis vi for ethvert fodpunkt (x 0, y 0 ) afsætter gradientvektoren f (x 0, y 0 ) for f (x, y) ud fra det fodpunkt i planen R 2 får vi konstrueret gradientvektorfeltet for f (x, y). Opgave Bestem gradientvektorfeltet i ethvert punkt (x, y) for hver af følgende funktioner i deres respektive definitionsmængder: f (x, y) = x + y, f (x, y) = y e x, og f (x, y) = ρ 2 x 0,y 0 (x, y). Ved hjælp af gradientvektorfeltet f (x, y) for f (x, y) kan vi nu formulere de partielle afledede af den sammensatte funktion h(u, v) = f (p(u, v), q(u, v)) lidt smartere:

26 enote PARTIELLE AFLEDEDE AF SAMMENSATTE FUNKTIONER 26 Sætning Kædereglen udtrykt med gradienten af f (x, y) Lad f (x, y), p(u, v), og q(u, v) være tre differentiable funktioner - hver af to variable. Lad h(u, v) betegne den sammensatte funktion h(u, v) = f (p(u, v), q(u, v)). (15-53) Så kan de partielle afledede af h(u 0, v 0 ) med hensyn til henholdsvis u og v i (u 0, v 0 ) udtrykkes ved gradienten af f (x, y) i (x 0, y 0 ) = ( p(u 0, v 0 ), q(u 0, v 0 ) ) : h u(u 0, v 0 ) = f (x 0, y 0 ) (p u(u 0, v 0 ), q u(u 0, v 0 ) ) h v(u 0, v 0 ) = f (x 0, y 0 ) (p v(u 0, v 0 ), q v(u 0, v 0 ) ). (15-54) Kædereglen langs kurver i planen Hvis funktionerne p(u, v) og q(u, v) kun afhænger af den ene variable u kan vi selvfølgelig betegne funktionerne med henholdsvis p(u) og q(u). Den sammensattte funktion h(u) = f (p(u), q(u)) hvor f (x, y) er en givet differerentiabel funktion i planen angiver så de funktionsværdier, som f (x, y) antager langs den kurve i planen, som er givet ved de to funktioner p(u) og q(u): Definition Parametriserede kurver i planen En kurve i planen består af en punktmængde C i planen, som vi vil antage er givet ved to funktioner p(u) og q(u) på følgende måde: C r : r(u) = (p(u), q(u)) hvor u ]α, β[ R. (15-55) Det vil sige, at kurven er en parametriseret punktmængde med stedvektorerne r(u) og parameteren u i et givet interval. Kurven er differentiabel hvis de to funktioner p(u) og q(u) begge er differentiable i hele intervallet ]α, β[. Den parametriserede kurve siges at være regulær, hvis r (u) = 0 for alle u ]α, β[.

27 enote PARTIELLE AFLEDEDE AF SAMMENSATTE FUNKTIONER 27 Sætning Tangent til kurve Lad C r betegne en differentiabel kurve med parameterfremstillingen r(u) og antag at r (u 0 ) = (0, 0). Tangenten L u0 (igennem punktet r(u 0 )) til C r er så givet ved følgende parameterfremstilling: L u0 : T(t) = r(u 0 ) + t r (u 0 ) hvor t R. (15-56) Bevis Vi nøjes med at se på det tilfælde hvor p(u) er meget elementær: p(u) = u. Så er C r simpelthen grafen for funktionen q(x) i (x, y)-planen. Grafen for den funktion har en tangent i punktet (x 0, q(x 0 ), som er givet ved ved det velkendte udtryk: y = q(x 0 ) + q (x 0 )(x x 0 ). En parameterfremstilling for den tangent er derfor: T(t) = (x 0, q(x 0 )) + t (1, q (x 0 )) = (p(u 0 ), q(u 0 )) + t (p (u 0 ), q (u 0 )) (fordi x = p(u) = u = r(u 0 ) + t r (u 0 ), (15-57) og det var det, vi skulle indse. Vi kan nu undersøge hvordan kædereglen ser ud og simplificeres langs parametriserede kurver vi skal blot bruge den generelle kæderegel på de to v-uafhængige funktioner p(u) og q(u): Sætning Kædereglen langs kurver Lad r(u) = (p(u), q(u)) være en differentiabel parametriseret kurve i (x, y)-planen. En differentiabel funktion f (x, y) antager så værdierne h(u) = f (p(u), q(u)) = f (r(u)) langs kurven. Den sammensatte funktion h(u) af den ene variabel u er differentiabel, og h (u) = f (p(u), q(u)) (p (u), q (u)) = f (r(u)) r (u). (15-58)

28 enote PARTIELLE AFLEDEDE AF SAMMENSATTE FUNKTIONER 28 Bevis Resultatet følger direkte af den øverste ligning i (15-54). Bemærk, at funktionerne h(u), p(u), og q(u) jo ikke afhænger af v, sådan at den nederste ligning i (15-54) reducerer til 0 = 0. Motiveret af dette simple udtryk for den afledede af funktionen f (x, y) langs en parametriseret kurve r(u) indfører vi den retningsafledede af funktionen i den retning fra et givet punkt (x 0, y 0 ) som er givet ved en enhedsvektor e: Definition Retningsafledede Den retningsafledede af f (x, y) i punktet (x 0, y 0 ) i retningen med enhedsretningsvektor e betegnes med f ((x 0, y 0 ); e) og er givet ved prikproduktet: f ((x 0, y 0 ); e) = f (x 0, y 0 ) e. (15-59) Kædereglen langs kurver kan nu formuleres ved hjælp af den retningsafledede: Sætning Kæderegel langs kurver udtrykt ved retningsafledede Funktionen f (x, y) antager værdierne h(u) = f (p(u), q(u)) = f (r(u)) langs r(u). Hvis r(u) er en regulær parameterfremstilling for kurven får vi differentialkvotienten af h(u): h (u) = f (p(u), q(u)) (p (u), q (u)) = f ((x 0, y 0 ); e) r (u). (15-60) Læg mærke til, at den afledede af den sammensatte funktion h(u) = f (r(u)) i et punkt på kurven r(u) kun afhænger af tangentvektoren til kurven i punktet h (u) er uafhængig af resten af kurven. Eksempel Retningsafledede Funktionen f (x, y) = 2 x y 2 har de partielle afledede f x(x, y) = 4 x, f y(x, y) = 6 y, (15-61) og derfor gradientvektorfeltet f (x, y) = (4 x, 6 y) (15-62)

29 enote PARTIELLE AFLEDEDE AF SAMMENSATTE FUNKTIONER 29 Den retningsafledede af f (x, y) i punktet (x 0, y 0 ) = (1, 1) i retningen bestemt ved e(θ) = (cos(θ), sin(θ)), hvor θ [0, 2π] er derfor: f ((1, 1); (cos(θ), sin(θ))) = 4 cos(θ) + 6 sin(θ). (15-63) Kædereglen langs niveau-kurver for en funktion En kurve (p(u), q(u)) som er niveaukurve for en funktion f (x, y) giver anledning til en særlig simpel og meget vigtig version af kædereglen: Sætning Kædereglen langs niveaukurver Lad r(u) = (p(u), q(u)) være en parametriseret kurve i (x, y)-planen. Antag, at kurven er en niveau-kurve for f (x, y), dvs. f (x, y) er en konstant c langs hele kurven, Så er f (p(u), q(u)) = c for alle u. (15-64) f (r(u)) r (u) = 0. (15-65) Med andre ord: Gradienten for en funktion f (x, y) er i ethvert punkt hvor den ikke er 0 vinkelret på den niveau-kurve for f (x, y) som går igennem punktet: f (r(u)) r (u). (15-66) Bevis Funktionen h(u) = f (p(u), q(u)) = c har tydeligvis h (u) = 0 og da sætning giver h (u) = f (p(u), q(u)) (p (u), q (u)) fås resultatet. Læg mærke til, at sætning mere end antyder en anden sætning, som vi dog ikke vil vise her: Hvis en differentiabel funktion f (x, y) har et egentligt gradientvektorfelt dvs. hvis f (x, y) = (0, 0) for alle (x, y) i et givet åbent område A i definitionsmængden så består alle niveau-mængderne for f (x, y) i A af pæne kurver, dvs. de kan parametriseres med differentiable vektorfunktioner r(u) som ovenfor.

30 enote OPSUMMERING Opsummering Funktioner af to variable er behandlet i denne enote efter samme skema som funktioner af én variabel: Definitionsmængderne er her delmængder af planen og giver derfor anledning til nye begreber og deskriptorer, som kan bruges til beskrivelse af generelle mængder i planen. Vi har indført og illustreret begreberne: Åbne, afsluttede, begrænsede, og stjerneformede mængder samt defineret det indre af en mængde og det ydre af en mængde. Grafer og niveau-mængder for en funktion er vigtige hjælpemidler til at forstå hvordan funktionsværdierne f (x, y) opfører sig i afhængighed af hvor punktet (x, y) befinder sig i definitionsmængden. Kontinuitet og differentiabilitet (eller mangel på samme) for en funktion kan ofte inspiceres ved at konstruere eller tegne grafen for funktionen eller ved at tegne niveau-mængderne for funktionen. Niveaumængden hørende til værdien c for funktionen f (x, y) er givet ved K c ( f ) = { (x, y) Dm( f ) f (x, y) = c }. (15-67) En funktion f (x, y) er kontinuert i (x 0, y 0 ) hvis f (x, y) f (x 0, y 0 ) er en epsilonfunktion af x x 0, y y 0 ), dvs. f (x, y) = f (x 0, y 0 ) + ε f (x x 0, y y 0 ). (15-68) En funktion f (x, y) er differentiabel med de partielle afledede f x(x 0, y 0 ) og f x(x 0, y 0 ) i (x 0, y 0 ) hvis f (x, y) = f (x 0, y 0 ) + f x(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y(x 0, y 0 ) (y y 0 ) + ρ (x0,y 0 )(x, y) ε f (x x 0, y y 0 ). (15-69) De partielle afledede af f (x, y) i et punkt (x 0, y 0 ) kan findes ved at beregne de sædvanlige differentialkvotienter af de to hjælpefunktioner f 1 (x) = f (x, y 0 ) og f 2 (y) = f (x 0, y) i henholdsvis x 0 og y 0 : f x(x 0, y 0 ) = f 1 (x 0) og f y(x 0, y 0 ) = f 2(y 0 ) (15-70) Det approksimerende førstegradspolynomium for f (x, y) med udviklingspunkt (x 0, y 0 ) er givet ved: P 1,(x0,y 0 )(x, y) = f (x 0, y 0 ) + f x(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y(x 0, y 0 ) (y y 0 ). (15-71) Tangentplanen til grafen for f (x, y) i punktet (x 0, y 0, f (x 0, y 0 ) er givet ved: z = P 1,(x0,y 0 )(x, y). (15-72)

31 enote OPSUMMERING 31 Gradientvektorfeltet for en funktion f (x, y) er givet ved: ( ) f (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ). (15-73) Den retningsafledede af f (x, y) i punktet (x 0, y 0 ) i retningen givet ved en enhedsvektor e er givet ved: f ((x 0, y 0 ); e) = f (x 0, y 0 ) e. (15-74)

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1 Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Kurve- og plan-integraler

Kurve- og plan-integraler enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 + 2

CALCULUS SLIDES TIL CALCULUS 1 + 2 CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS + INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 4 Indhold Forord 5 I. Differentiation 7. Kontinuitet 7. Partielle afledede 7 3. Tangentplan 5 4. Kædereglen 34 5. Gradient

Læs mere

Største- og mindsteværdi Uge 11

Største- og mindsteværdi Uge 11 Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer Forord til den danske udgave Kros noter, som introducerer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere