Gradienter og tangentplaner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Gradienter og tangentplaner"

Transkript

1 enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem gradientvektorerne i (x, y)-planen og tangentplanerne i (x, y, z)-rummet. Vi vil se på parameterfremstillinger for og normalvektorer til tangentplanerne for grafen for en funktion f (x, y) af to variable via det approksimerende førstegradspolynomium for f (x, y). De partielle afledede er i hele enoten de grundlæggende ingredienser. Et globalt resultat om de partielle afledede er at gradienten kan benyttes til at bestemme funktionen overalt i et sammenhængende område hvis vi blot kender funktionsværdien i et enkelt punkt. Kurver i (x, y)-planen kan løftes til graf-fladen for f (x, y), og vi vil vise, at alle tangenterne for enhver kurve igennem et givet punkt på graf-fladen er indeholdt i tangentplanen for fladen i det punkt Gradienterne bestemmer funktionen For funktioner af én variabel ved vi, at vi kan finde og rekonstruere funktionen f (x) ud fra den afledede f (x) = q(x) og ud fra værdien af f (x) i blot ét punkt x 0. Vi skal bare integrere og finde en stamfunktion til q(x). Stamfunktionen er så den ønskede funktion f (x) pånær en konstant, der til sidst kan bestemmes ud fra kendskabet til f (x 0 ). Det samme er tilfældet for funktioner af to variable. Selv om vi kun kender de partielle afledede, dvs. de sædvanlige afledede af hjælpefunktionerne f 1 (x, y 0 ) og f 2 (x 0, y), i de to koordinatakseretninger, så er de faktisk tilstrækkelige til at rekonstruere funktionen. Men for at kunne integrere og rekonstruere funktionen ud fra gradientvektorfeltet har vi brug for, at det område vi betragter i (x, y)-planen er sammenhængende:

2 enote GRADIENTERNE BESTEMMER FUNKTIONEN 2 Definition 16.1 Sammenhængende mængde En mængde M i planen siges at være kurve-sammenhængende eller blot sammenhængende hvis ethvert punkt i M kan forbindes med ethvert andet punkt i M via en differentiabel parametriseret kurve r(u) = (p(u), q(u)), hvor u ]α, β[. Eksempel 16.2 Stjerneformede mængder er sammenhængende Enhver stjerneformet mængde i (x, y)-planen er kurvesammenhængende. Vi kan forbinde to givne punkter via rette linjestykker til stjernepunktet, hvor der så imidlertid typisk vil optræde et knæk. Overvej, hvorfor det ikke er et problem. Vi har så følgende sætning, som vi vil give et konstruktivt bevis for: Sætning 16.3 Gradientvektorfeltet giver funktionen pånær en konstant Antag, at vi kender gradientvektorfeltet f (x, y) for en funktion f (x, y) overalt i et åbent kurvesammenhængende område i definitionsmængden. Og antag, at vi kender funktionsværdien i et enkelt punkt (x 0, y 0 ). Så kan vi rekonstruere alle funktionsværdierne for f (x, y) i hele området. Bevis Vi bruger kædereglen fra enote 15 på den sammensatte funktion h(u) = f (r(u)) hvor r(u), u ]u 0, u 1 [, er en vilkårlig differentiabel kurve fra (x 0, y 0 ) = r(u 0 ) til (x 1, y 1 ) = r(u 1 ) og får derved: h (u) = r (u) f (r(u)). (16-1) Heraf følger, at h(u) er en stamfunktion til funktionen på højresiden af ovenstående ligning: Men da får vi dermed h(u 1 ) h(u 0 ) = u1 u 0 r (u) f (r(u)) du. (16-2) h(u 0 ) = f (r(u 0 )) = f (x 0, y 0 ), h(u 1 ) = f (r(u 1 )) = f (x 1, y 1 ), (16-3) u1 f (x 1, y 1 ) = f (x 0, y 0 ) + r (u) f (r(u)) du, (16-4) u 0 og det var præcis det vi skulle rekonstruere værdien af f (x, y) i punktet (x 1, y 1 ) ud fra værdien af f (x, y) i punktet (x 0, y 0 ) og gradientvektorfeltet.

3 enote GRADIENTERNE BESTEMMER FUNKTIONEN 3 Som en direkte konsekvens af sætning 16.3 og beviset for den, især ligning (16-4), har vi Sætning 16.4 Nul gradient giver konstant funktion Hvis en funktion f (x, y) har gradienten f (x, y) = (0, 0) overalt i et åbent kurvesammenhængende område, så er funktionen konstant i hele området. Bemærk, at det er ligegyldigt hvilken kurve man vælger at integrere langs for at finde funktionsværdien i endepunktet. Hvis man har mulighed for det vil man naturligvis vælge den simpleste kurve til formålet. Det gør vi i følgende eksempel: Eksempel 16.5 Bestemmelse af funktionen ud fra de partielle afledede Vi vil bestemme funktionen f (x, y) udelukkende ud fra kendskab til en given funktionsværdi f (0, 0) = 0 samt kendskab til gradientvektorfeltet i (x, y)-planen: f (x, y) = (6 x + 10 y 7, 21 y x y 6 ). (16-5) Lad r(u) være en parameterfremstilling for det rette linjestykke i (x, y)-planen fra (x 0, y 0 ) = (0, 0) til et vilkårligt andet punkt (x 1, y 1 i (x, y)-planen: r(u) = (0, 0) + u (x 1, y 1 ) = (u x 1, u y 1 ), hvor u ]0, 1[, (16-6) sådan at r (u) = (x 1, y 1 ), f (r(u)) = (6ux u 7 y 7 1, 21u2 y u7 x 1 y 6 1 ), (16-7) r (u) f (r(u)) = 6ux u7 x 1 y u2 y u7 x 1 y 7 1. Heraf får vi så ved at benytte (16-4), at 1 f (x 1, y 1 ) = 0 + = x ( 6ux u 7 x 1 y u2 y u7 x 1 y 7 ) 1 du 6u du + 80x 1 y 7 1 = 3x x 1y y u 7 du + 21y u 2 du (16-8) Vi får derfor den rekonstruerede funktion: f (x, y) = 3 x y x y 7. (16-9) Vi kan for en ordens skyld gøre prøve og undersøge, om denne funktion faktisk er 0 i (0, 0) (det er den) og desuden har det korrekte gradientvektorfelt, som er givet ved ligning (16-5) (det har den).

4 enote GRADIENTERNE BESTEMMER FUNKTIONEN 4 Opgave 16.6 En funktion f (x, y) vides at være differentiabel i hele R 2 med f (1, 0) = 1 og f (x, y) = (cos(y), x sin(y)). (16-10) Bestem f (x, y) i ethvert (x, y) Gradientvektorfelter Gradientvektoren for en funktion af to variable f (x, y) indeholder information om den lokale tilvækst af funktionen omkring ethvert punkt (x 0, y 0 ): Sætning 16.7 Gradienten udpeger retningen med størst tilvækst Lad f (x, y) betegne en funktion af to variable, der har en egentlig gradientvektor i et punkt (x 0, y 0 ), dvs. f (x 0, y 0 ) = 0. Der gælder så: Den retningsafledede f ((x 0, y 0 ); e) af f (x, y) i punktet (x 0, y 0 ) er størst i den retning e som er bestemt ved gradientvektoren f (x 0, y 0 ), dvs. for e = e max = f (x 0, y 0 ) f (x 0, y 0 ) (16-11) Den retningsafledede f ((x 0, y 0 ); e) af f (x, y) er mindst i den retning som er bestemt ved minus gradientvektoren i punktet: e = e min = f (x 0, y 0 ) f (x 0, y 0 ) (16-12) Den retningsafledede er 0 i hver af de to (niveukurve-)retninger der er vinkelrette på gradientvektoren. Bevis Vi lader g betegne den enhedsvektor, der angiver gradientens retning: g = f (x 0, y 0 ) f (x 0, y 0 ). (16-13) Enhver (anden) enheds-retningsvektor e i planen kan derefter opløses efter g på følgende

5 enote GRADIENTERNE BESTEMMER FUNKTIONEN 5 måde e = cos(ϕ) g + sin(ϕ) g, (16-14) hvor ϕ er vinklen mellem de to enhedsvektorer e og g, og hvor g betegner den ortogonale (tvær-)vektor til g. Så er den retningsafledede af f (x, y) i punktet (x 0, y 0 ): f ((x 0, y 0 ); e) = f (x 0, y 0 ) e = ( f (x 0, y 0 ) g) e = ( f (x 0, y 0 ) g) (cos(ϕ) g + sin(ϕ) g ) = f (x 0, y 0 ) cos(ϕ) (g g + g g ) = f (x 0, y 0 ) cos(ϕ) (1 + 0) = f (x 0, y 0 ) cos(ϕ). (16-15) Da cos(ϕ) er størst (med værdien 1) når ϕ = 0 (dvs. når e og g peger i samme retning) og da cos(ϕ) er mindst (med værdien 1) når ϕ = π (dvs. når e og g peger i modsatte retninger), og da cos(ϕ) er 0 når ϕ = π/2 (dvs. når e og g er ortogonale retninger), så følger de tre påstande i sætningen. Den sidste påstand i sætningen kender vi allerede fra enote 15 hvor vi så, at den retningsafledede er 0 i de retninger som står vinkelret på gradientvektoren. Hvis vi står i punktet (x 0, y 0 ) i (x, y)-planen og ønsker at flytte til nabopunkter med højere funktionsværdier f (x, y), så er det mest effektivt at gå i den retning, som gradienten af f (x, y) udpeger i punktet, altså i retningen med enheds-retningsvektor f (x 0, y 0 )/ f (x 0, y 0 ). Hvis vi ønsker at flytte til nabo-punkter med lavere funktionsværdier, så er det mest effektivt at gå i den modsatte retning af gradienten i (x 0, y 0 ). Hvis vi ønsker at bevæge os til nabopunkter med samme funktionsværdi f (x 0, y 0 ) så skal vi blot gå langs den niveaukurve K f (x0,y 0 ) for f (x, y) som går igennem (x 0, y 0 ) (!) det svarer (lokalt) til at gå i en af de to (niveaukurve-) retninger, der er bestemt ved en vektor, som er vinkelret på gradientvektoren i punktet. Eksempel 16.8 Geometrisk analyse af en funktion af to variable En funktion er givet ved f (x, y) = e x2 2y 2. (16-16) De partielle afledede af f (x, y) i (x, y) er så f x(x, y) = 4xe x2 2y 2 f y(x, y) = 8ye x2 2y 2. (16-17)

6 enote GRADIENTERNE BESTEMMER FUNKTIONEN 6 Gradientvektorfeltet er derfor f (x, y) = ( 4xe x2 2y 2, 8ye x2 2y 2). (16-18) Dette vektorfelt er skitseret i figur 16.1 sammen med niveaukurverne for f (x, y) og sammen med en kurve (en cirkel) med parameterfremstillingen ( ) 1 r(u) = 2 + cos(u), sin(u), hvor u ] π, π[. (16-19) Bemærk, at gradientvektorfeltet overalt er vinkelret på niveaukurverne, og at de alle peger ind mod midten, hvor funktionsværdierne er størst se grafen for funktionen i figur Bemærk også, at der på cirklen er præcis to punkter, hvor gradienten står vinkelret på cirklen. I de punkter har den sammensatte højde-funktion h(u) = f (r(u)) derfor den afledede h (u) = 0. Cirklen har i de punkter samme tangent som de respektive niveaukurver igennem de to punkter. Vi kan bestemme de to punkter på cirklen ved at bestemme de to værdier af u som løser ligningen h (u) = f (r(u)) r (u) = 0. Figur 16.1: Niveaukurver og gradientvektorfelt for funktionen f (x, y) = e x2 2y 2.

7 enote GRADIENTERNE BESTEMMER FUNKTIONEN 7 Figur 16.2: Grafen i (x, y, z)-rummet for f (x, y) = e x2 2y 2. Opgave 16.9 Bestem gradientvektorfelterne for følgende funktioner og skitser vektorfelterne ved at tegne et passende antal af gradientvektorerne f (x 0, y 0 ) med forskellige fodpunkter (x 0, y 0 ) i (x, y)-planen: f (x, y) = 3x + y, f (x, y) = x 2 + y 2, f (x, y) = y e x. (16-20)

8 enote LØFTEDE KURVER PÅ GRAF-FLADER 8 Hvis vi bevæger os på cirklen i (x, y)-planen i figur 16.1 (for eksempel i positiv omløbsretning) og samtidig holder øje med hvilke niveau-kurver der krydses undervejs vil vi kunne afgøre, om vi bevæger os mod stigende eller faldende funktionsværdier dels ved at holde øje med farveskiftet og dels ved at se, om projektionen af gradientvektoren ind på bevægelsesretningen (den retningsafledede) er positiv eller negativ; hvis projektionen er positiv er vi på vej mod større funktionsværdier, hvis projektionen er negativ er vi på vej mod mindre funktionsværdier. Det samme kan naturligvis ses på grafen for funktionen, hvor det på ethvert sted på den løftede kurve er klart om vi er på vej opad eller nedad på graf-fladen Løftede kurver på graf-flader Motiveret af graf-fladen med den løftede cirkel i figur 16.2 og motiveret af analysen i eksempel 16.8 vil vi nu helt generelt definere og undersøge løftede kurver: Definition Løftede kurver Vi lader f (x, y) betegne en funktion af to variable og lader r(u) betegne en differentiabel parametriseret kurve i (x, y)-planen: r(u) = (p(u), q(u)), hvor u ]α, β[, (16-21) og hvor p(u) og q(u) betegner to differentiable funktioner af én variabel u. Den løftede kurve som hører til den plane kurve r(u) defineres til at være følgende kurve i (x, y, z)-rummet: C r ( f ) : r(u) = (p(u), q(u), f (p(u), q(u))), hvor u ]α, β[. (16-22) Den løftede kurve r(u) er en rumlig kurve, som ligger på graf-fladen G( f ) for funktionen f (x, y). Projektionen (lodret, langs z-aksen) af r(u) på (x, y)-planen er naturligvis den plane kurve r(u). De løftede kurver r(u) har tangentvektorer og tangentlinjer i rummet og de må jo afhænge dels af kurven r(u) i (x, y)-planen og dels af funktionen f (x, y). Følgende udtryk fås direkte ud fra kædereglen for funktionen f (x, y) langs kurven r(u) dvs. kædereglen for den sammensatte funktion h(u) = f (r(u)) = f (p(u), q(u)):

9 enote LØFTEDE KURVER PÅ GRAF-FLADER 9 Sætning Tangenter for løftede kurver Den u-afledede af den løftede kurve r(u) er givet ved de u-afledede af de tre koordinatfunktioner: ( ) r (u) = p (u), q d (u), f (p(u), q(u)) du = ( p (u), q (u), h (u) ) (16-23) = ( p (u), q (u), f (p(u), q(u)) (p (u), q (u)) ). Tangenten til den løftede kurve på graf-fladen for f (x, y) er derfor bestemt ved følgende udtryk i et givet kurvepunkt r(u 0 ) = (p(u 0 ), q(u 0 ), f (p(u 0 ), q(u 0 )) = (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )): L u0 : T(t) = r(u 0 ) + t r (u 0 ) = (x 0, y 0, f (x 0, y 0 ))+ t (p (u 0 ), q (u 0 ), f (x 0, y 0 ) (p (u 0 ), q (u 0 )) ), (16-24) hvor parameteren t gennemløber hele R Løftede koordinat-kurver Koordinatkurverne i (x, y)-planen er de særligt simple kurver (rette linjer), som er parallelle med koordinatakserne. Igennem punktet (x 0, y 0 ) har vi følgende to: r 1 (u) = (u, y 0 ) hvor u R, r 2 (u) = (x 0, u) hvor u R. (16-25) De har derfor også særligt simple løft til graf-fladen for en given funktion f (x, y): r 1 (u) = (u, y 0, f (u, y 0 )), u R, r 2 (u) = (x 0, u, f (x 0, u)), u R, (16-26) med særligt simple u-afledede for ethvert u: r 1 (u) = (1, 0, f x(u, y 0 )), u R, r 2(u) = (0, 1, f y(x 0, u)), u R. (16-27) Tangenterne i punktet (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) til de løftede koordinatkurver er derfor også

10 enote LØFTEDE KURVER PÅ GRAF-FLADER rimeligt simple: e L1 e L2 : ( x0, y0, f ( x0, y0 )) + t (1, 0, f x0 ( x0, y0 )), t R : ( x0, y0, f ( x0, y0 )) + t (0, 1, f y0 ( x0, y0 )), t R (16-28) Opgave Bestem (for ethvert punkt ( x0, y0 ) i ( x, y)-planen) tangenterne til de løftede koordinatkurver igennem graf-fladepunktet ( x0, y0, f ( x0, y0 )) for funktionerne: f ( x, y) = 3x + y 2 f ( x, y) = x + y f ( x, y) = y ex, 2, (16-29). I figurerne 16.3 ses den løftede cirkel og graf-fladen for funktionen f ( x, y) fra eksempel Den løftede kurves tangenter er indtegnet i et par udvalgte punkter. Bemærk, at de rumlige tangenter til den løftede kurve projicerer ned pa de tilsvarende tangenter til cirklen i ( x, y)-planen som det ogsa følger af ligning (16-24). Figur 16.3: Grafen for f ( x, y) = e x 2 2y2 med udvalgte tangenter til en løftet cirkel.

11 enote LØFTEDE KURVER PÅ GRAF-FLADER 11 Graf-fladens tangentplan i et givet punkt (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) er jo selv graffladen for det approksimerende første-gradspolynomium for f (x, y) med udviklingspunktet (x 0, y 0 ) og er derfor uafhængig af hvilken kurve vi måtte finde på at løfte op på graf-fladen igennem punktet (x 0, y 0, f (x 0, y 0 ))! Ikke desto mindre ser det i figurerne ud til, at kurvens tangenter ligger helt indeholdt i de respektive tangentplaner. Den inspektion giver derfor anledning til følgende formodning, som vi vil vise rigtigheden af i sætning nedenfor: Enhver tangent til enhver løftet kurve igennem et givet punkt (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) ligger i tangentfladen for f (x, y) i punktet. Og omvendt: Enhver ret linje i tangentplanen som går igennem punktet (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) er tangent til en eller anden løftet kurve som går igennem punktet. Figur 16.4: Grafen for f (x, y) = e x2 2y 2 punkt på den løftede cirkel, se figur og tangentplanen igennem et udvalgt

12 enote LØFTEDE KURVER PÅ GRAF-FLADER 12 Figur 16.5: Grafen for f (x, y) = e x2 2y 2 og tangentplanen igennem et andet udvalgt punkt på den løftede cirkel, se figur Sætning Tangenterne ligger i tangentplanen Lad f (x, y) være en differentiabel funktion af to variable og lad r(u) betegne en løftet kurve igennem punktet r(u 0 ) = (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) på graf-fladen G( f ). Så er tangenten til den løftede kurve indeholdt i tangentplanen til G( f ) for f (x, y). Med andre ord: Ethvert punkt (x, y, z) som ligger på tangenten L u0 også tangentplanens ligning: tilfredsstiller z = P 1,(x0,y 0 )(x, y) = f (x 0, y 0 ) + f x(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y(x 0, y 0 ) (y y 0 ). (16-30)

13 enote LØFTEDE KURVER PÅ GRAF-FLADER 13 Figur 16.6: Grafen for f (x, y) = e x2 2y 2 og tangentplanen igennem et tredje udvalgt punkt på den løftede cirkel, se figur Bevis Vi skal blot indse, at tangentvektoren r (u 0 ) er vinkelret på en normalvektor til tangentplanen. En sådan normalvektor konstrueres i næste afsnit (se nedenfor): N (x0,y 0 )( f ) = ( f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), 1), (16-31) og da r (u 0 ) = ( p (u 0 ), q (u 0 ), f (p(u 0 ), q(u 0 )) (p (u 0 ), q (u 0 )) ) ( ( ) ) = p (u 0 ), q (u 0 ), f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ) (p (u 0 ), q (u 0 )), (16-32) får vi ortogonaliteten ved at beregne skalarproduktet: r (u 0 ) N (x0,y 0 )( f ) = f x(x 0, y 0 ) p (u 0 ) f y(x 0, y 0 ) q (u 0 ) ( ) + 1 f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ) (p (u 0 ), q (u 0 )) (16-33) = 0.

14 enote GRADIENTEN BESTEMMER NORMALVEKTOREN Gradienten bestemmer normalvektoren En plan i rummet med ligningen a x + b y + c z + d = 0 (16-34) har en normalvektor N = (a, b, c) som altså fås direkte fra koefficienterne til x, y, og z i ligningen. Vi kan nu skrive ligningen for tangentplanen for graf-fladen for f (x, y) i punktet (x 0, y 0, f (x 0, y 0 ) på netop den form således: z = P 1,(x0,y 0 )(x, y), z = f (x 0, y 0 ) + f x(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y(x 0, y 0 ) (y y 0 ), som er ækvivalent med: f x(x 0, y 0 ) (x x 0 ) f y(x 0, y 0 ) (y y 0 ) + z f (x 0, y 0 ) = 0, og dermed: f x(x 0, y 0 ) x f y(x 0, y 0 ) y + z + d = 0, (16-35) hvor d = x 0 f x(x 0, y 0 ) + y 0 f y(x 0, y 0 ) f (x 0, y 0 ). Normalvektoren til tangentplanen aflæses direkte af den sidste ligning i (16-35): N (x0,y 0 )( f ) = ( f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), 1). (16-36) En normalvektor til tangentplanen for graf-fladen for f (x, y) kan altså bygges af de samme ingredienser som gradienten til f (x, y) de partielle afledede. Læg dog mærke til minusserne og 1-tallet. Og bemærk, at gradienten er en vektor i planen, normalvektoren er en vektor i rummet. En alternativ udledning af normalvektorens koordinater fås på følgende måde: Hvis vi kan finde to lineært uafhængige vektorer i tangentplanen, så er deres krydsprodukt en normalvektor til planen. Vi kender altid to lineært uafhængige vektorer i tangentplanen igennem (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )), nemlig tangentvektorerne til de løftede koordinatkurver igennem punktet, dvs. r 1 (x 0) = (1, 0, f x(x 0, y 0 )), r 2(y 0 ) = (0, 1, f y(x 0, y 0 )). (16-37)

15 enote GRADIENTEN BESTEMMER NORMALVEKTOREN 15 En normalvektor til tangentplanen er derfor N (x0,y 0 )( f ) = r 1 (x 0) r 2(y 0 ) = ( f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), 1) (16-38) - altså præcis den samme normalvektor som fundet ovenfor. De to tangentvektorer r 1 (x 0) og r 2 (y 0) giver os ligeledes en parameterfremstilling for tangentplanen: Sætning Parameterfremstilling for tangentplaner Tangentplanen igennem punktet (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) på graf-fladen G( f ) for funktionen f (x, y) har parameterfremstillingen T (x0,y 0 )( f ) : T(t 1, t 2 ) = (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) + t 1 r 1 (x 0) + t 2 r 2(y 0 ) = (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) + t 1 (1, 0, f x(x 0, y 0 )) + t 2 (0, 1, f y(x 0, y 0 )), (16-39) hvor t 1 R og t 2 R. Eksempel Løftede koordinatkurver Enhedsnormalvektoren i retningen N til de tangentplaner, der er vist i figurerne 16.4, 16.5, 16.6 er også indtegnet på de figurer. Desuden ses koordinatkurverne i (x, y)-planen samt de løftede koordinatkurver på graf-fladerne, dels for funktionen f (x, y) og dels for de respektive approksimerende førstegradspolynomier (tangentplanerne). Eksempel Funktioner af én variabel Enhver funktion af én variabel kan betragtes som en funktion af to variable. Vi må forvente, at niveau-kurverne, gradientvektorfelterne, tangentplanerne, etc. er forholdsvis simple for sådanne funktioner. Vi ser på nogle eksempler, der viser det: 1. Funktionen f (x, y) = x 2 har følgende gradientfelt, tangentplaner, og normalvektorer: f (x, y) = (2x, 0), T (x0,y 0 )( f ) : T(t 1, t 2 ) = (x 0 + t 1, y 0 + t 2, x x 0 t 1 ), N (x0,y 0 )( f ) = ( 2x 0, 0, 1). (16-40) Se figur 16.7 hvor niveu-kurverne, gradientvektorfeltet, og graf-fladen er vist for funktionen.

16 enote GRADIENTEN BESTEMMER NORMALVEKTOREN Funktionen f (x, y) = x 3 har f (x, y) = (3x 2, 0), T (x0,y 0 )( f ) : T(t 1, t 2 ) = (x 0 + t 1, y 0 + t 2, x x 2 0 t 1 ), N (x0,y 0 )( f ) = ( 3x 2 0, 0, 1). (16-41) Se figur 16.8 hvor kun niveu-kurverne og gradientvektorfeltet er vist. Sammenlign med niveaukurver og gradientvektorfeltet for f (x, y) = x 2 i figur Funktionen f (x, y) = cos(3x) har f (x, y) = ( 3 sin(3x), 0), T (x0,y 0 )( f ) : T(t 1, t 2 ) = (x 0 + t 1, y 0 t 1 3 sin(x 0 ) + t 2, cos(3x 0 )), N (x0,y 0 )( f ) = (3 sin(3x 0 ), 0, 1). (16-42) Se figur Sammenlign med figur Inspektion af grafen og af niveaukurverne for funktionen i leder til den ide, at man måske ved at dreje koordinatsystemet og dermed skifte koordinater i planen også kan beskrive den funktion som en funktion af én variabel. Det er da også tilfældet, idet den viste funktion er f (x, y) = cos(3x + 3y). Figur 16.7: Grafen for f (x, y) = x 2 samt tilhørende niveaukurver og gradientvektorfelt i (x, y)-planen.

17 enote GRADIENTEN BESTEMMER NORMALVEKTOREN 17 Figur 16.8: Niveaukurver og gradientvektorfelt for f (x, y) = x 3. Opgave Bestem enheds-normalvektoren til tangentplanerne igennnem punktet (x 0, y 0, f (x 0, y 0 ) på graf-fladerne for enhver af følgende funktioner for ethvert punkt (x 0, y 0 ) i (x, y)-planen. f (x, y) = 3x + y f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = y e x. (16-43)

18 enote GRADIENTEN BESTEMMER NORMALVEKTOREN 18 Figur 16.9: Grafen, niveaukurver, og gradientvektorfelt for f ( x, y) = cos(3x ). Figur 16.10: Grafen, niveaukurver, og gradientvektorfelt for f ( x, y) = cos(3x + 3y).

19 enote OPSUMMERING Opsummering De partielle afledede af en funktion af to variable har forskellige geometriske iklædninger, som er særdeles nyttige at bruge ved beskrivelse og analyse af funktionerne. Gradientvektorfeltet der jo har de partielle afledede som koordinatfunktioner indeholder (næsten) al information om funktionen. I denne enote har vi arbejdet med følgende: Gradienten udpeger i ethvert punkt den retning hvori funktionen lokalt vokser mest og den (modsatte) retning hvori funktionen aftager mest. Længden af gradienten for f (x, y) i punktet (x 0, y 0 )) er værdien af den største retningsafledede af f (x, y) i punktet, og den tilsvarende negative værdi er værdien af den mindste retningsafledede i punktet. Gradientvektorfeltet for f (x, y) er overalt ortogonal på niveaukurverne for f (x, y). De løftede kurver på graf-fladen for en funktion har tangenter, der er helt indeholdt i tangentplanen til graf-fladen. Tangentplanen til graf-fladen for funktionen f (x, y) i et givet punkt (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) har en normalvektor, der er bygget op af de partielle afledede: N (x0,y 0 )( f ) = ( f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), 1). Tangentplanen til graf-fladen for funktionen f (x, y) i et givet punkt (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) er repræsenteret dels ved ligningen z = P 1,(x0,y 0 )(x, y) = f (x 0, y 0 ) + f x(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y(x 0, y 0 ) (y y 0 ) og dels ved parameterfremstillingen T (x0,y 0 )( f ) : T(t 1, t 2 ) = (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) + t 1 r 1 (x 0) + t 2 r 2(y 0 ) hvor t 1 R og t 2 R. = (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) + t 1 (1, 0, f x(x 0, y 0 )) + t 2 (0, 1, f y(x 0, y 0 )),

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II

Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II Niels Kirkegaard og Peter Damkjær Senest redigeret af Hans J. Munkholm, juli 2009 Forord Denne formelsamling er oprindelig

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer Forord til den danske udgave Kros noter, som introducerer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-Jun. 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Stokes rotationssætning

Stokes rotationssætning enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA04

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere