Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016"

Transkript

1 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave at forklare, hvordan man kommer frem til facit i de enkelte opgaver. Der er altså ikke afkrydsningsfelter, der er kun facit og tilhørende udregninger. Udregningerne er meget udpenslede, så de fleste kan være med.

2 Indhold Opgave 1 3 Opgave 4 Opgave 3 6 Opgave 4 7 Opgave 5 8 Opgave 6 9 Opgave 7 1 Opgave 8 11 Opgave 9 1 Opgave 1 13 Opgave Opgave 1 15 Opgave Opgave 14 17

3 Opgave 1 Find den fuldstændige løsning til differentialligningen givet ved Svar: y + y + 6y =. Vi opstiller først den karakteristiske ligning: r + r + 6 =. Vi finder nu diskriminanten til denne andengradsligning og får D = = = 4(1 6) = 4 ( 5) = 1 = (1i). Som det ses er determinanten 1, hvilket vi kan omskrive til (1i), hvilket er praktisk i forhold til formlen for løsningerne af andengradsligningen: Vi får altså ved indsættelse, at r = b ± D. a r = ± (1i) 1 = ± 1i = 1 ± 5i. Den karakteristiske ligning har altså rødderne 1±5i. Vi kan derfor benytte formlen for den fuldstændige løsning i tilfælde af komplekse rødder på formen α±βi, nemlig: y(t) = c 1 e αt cos(βt) + c e αt sin(βt). Vi har altså fra vores komplekse rødder, at α = 1 og β = 5, og dermed er den fuldstændige løsning: y(t) = c 1 e t cos(5t) + c e t sin(5t). 3

4 Opgave Det oplyses, at den fuldstændige løsning til differentialligningen y y + y = kan angives som y(t) = c 1 e t + c te t, hvor c 1 og c er arbitrære konstanter. a. Hvad giver y()? Vi indsætter blot på t s plads i y(t) = c 1 e t + c te t, og vi får dermed: y() = c 1 e + c e = c 1 1 = c 1. b. Hvad giver y ()? Vi differentierer først y(t) givet i opgaveteksten. Vi kan differentiere c 1 e t og c te t hver for sig. Vi har, at (c 1 e t ) = c 1 e t, da c 1 er en konstant og (e t ) = e t. For c te t bruges produktreglen Vi får med f = c t og g = e t, at og dermed 1 (f g) = f g + f g. (c te t ) = (c t) e t + c t (e t ) = c e t + c te t, y (t) = c 1 e t + c e t + c te t = e t (c 1 + c + c t) = e t (c 1 + c (1 + t)). Indsættes på t s plads i ovenstående opnås: y () = e (c 1 + c (1 + )) = 1(c 1 + c 1) = c 1 + c. 1 Hvis du er usikker på omskrivningerne efter det andet =, så fortvivl ej, disse er ikke nødvendige. - Dog nødvendige for at følge med efterfølgende. 4

5 c. Begyndelsesværdiproblemet y y + y =, y() = 1, y () = 4, har en entydig løsning y(t). Find denne løsning og angiv derefter funktionsværdien y(1). Vi nu har fået oplyst, at y() = 1, og y () = 4. Vi fandt i opgave a, at y() = c 1. Dermed er y() = c 1 = 1. Vi har også fra opgave b, at y () = c 1 + c. Da vi ved, at c 1 = 1, får vi nu, at y () = c 1 + c = 1 + c = 4 c = 3. Vi får altså, at og dermed y(t) = e t + 3te t, y(1) = e e 1 = e + 3e = 4e. 5

6 Opgave 3 En funktion er defineret ved f(x) = x cos(x). a. Find den dobbelt afledede f (x). Vi differentierer først f(x) ved brug af produktreglen, at f (x) = (x) cos(x) + x(cos(x)) = cos(x) + x( sin(x)) = cos(x) x sin(x). Nu kan vi så differentiere f (x) ledvist og ved brug af produktreglen for andet led og opnå: f (x) = (cos(x)) + ( x) sin(x) x (sin(x)) = sin(x) sin(x) x cos(x) = sin(x) x cos(x). b. Find Taylor polynomiet af orden for f(x) med udviklingspunkt a =. Et n te ordens Taylor polynomium findes ved P n (x) = n i= f (i) (a) (x a) i. i! Vi sætter altså n =. Vi har givet f(x), og fra Opgave a har vi allerede fundet f (x) og f (x), og vi kan nu finde funktionsværdierne for disse i punktet x = a = og får: f() = cos() =, f () = cos() sin() = 1, f () = sin() cos() =. Vi kan nu opstille P : P (x) = i= f (i) () (x ) i = i! i= f (i) () x i, i! og udskrives summen opnås P (x) = f () ()! x + f (1) () 1! = f() + f ()x + f () x = + x + x = x. Husk, at! = 1, 1! = 1 og! = 1 =. x 1 + f () () x! 6

7 Opgave 4 En kurve er givet ved x = cos(t), y = sin(t), z = t, hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. Find buelængden af kurven for t = til t = π. Svar: Vi skal bruge formlen buelængde = b a (x (t)) + (y (t)) + (z (t)) dt, hvor a og b er henholdsvis start- og slutpunkt af den del af kurven, man "måler". Vi ser i formlen, at vi skal bruge de afledede funktioner x, y og z, vi får altså: Vi indsætter i formlen og får, at b a x (t) = sin(t), y (t) = cos(t), z (t) = 1. ( sin(t)) + ( cos(t)) + (1) dt = b a sin (t) + 4 cos (t) + 1 dt Vi vil gerne kunne bruge idiotformlen, cos (t) + sin (t) = 1, og derfor splitter vi i ovenstående 4 cos (t) op til cos (t) + 3 cos (t) og får: b a sin (t) + cos (t) + 3 cos (t) + 1 dt = = = b a b a cos (t) + 1 dt 3 cos (t) + dt. Opgaven fortæller os, at vi skal finde buelængden for t = til t = π, hvilke vi altså indsætter på hhv. a og b s plads: π 3 cos (t) + dt. Dermed er det ønskede integrale, der repræsenterer buelængden, fundet. 7

8 Opgave 5 En plan kurve er givet ved x = sin(t), y = t, hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. a. Hvilket punkt på kurven svarer til parameterværdien t =? Vi indsætter blot på t s plads og får P = (x(), y()) = (sin(), ) = (, ). b. Hvad er krumningen af kurven for t =? Vi skal bruge formlen κ = x y x y ((x ) + (y ) ) 3/ = x y x y (x ) + (y ) 3. Derfor kræver det, at vi finder første- og andenordens afledede for x og y: Indsættes i formlen fås x (t) = cos t, x (t) = sin t, y (t) = t, y (t) =. κ(t) = cos(t) ( sin t) t (cos t) + (t) 3 = cos(t) + sin(t) t (cos t) + (t) 3. Sættes t = opnås: κ() = cos() + sin() (cos ) + ( ) 3 = = 1 =. 8

9 Opgave 6 En funktion er givet ved f(x, y) = x + y + 1. x + y a. Find definitionsmængden. Funktionen f(x, y) giver ikke mening, hvis nævneren er lig med, da vi ikke må dividere med, hvilket vil sige, at x + y y x. b. Hvilken form har niveakurven f(x, y) =? Vi betragter f(x, y) =, hvilket vil sige f(x, y) = x + y + 1 x + y =. Dette kan omskrives ved at gange med nævneren på begge sider: x + y + 1 x + y = x + y + 1 = (x + y). Altså er x + y + 1 = 4x + y x + y + 1 4x y =. (7.1) Vi husker nu kvadratsætningen (a + b) = a + b + ab. Vi kan prøve at identificere x med a, dvs ab = xb skal relateres til leddet 4x, altså fås: Vi ser, at Gøres det tilsvarende for (y + c) fås og ydermere xb = 4x b =. (x ) = x + 4 4x. yc = y c = 1, (y 1) = y + 1 y. Betragt nu igen (7.1) og læg 4 til på begge sider, så fås: x + y + 1 4x y + 4 = (x + 4 4x) + (y + 1 y) = (x ) + (y 1) = 4 Dette er præcis cirklens ligning, og vi aflæser centrum til (, 1), og da r = 4 er radius r =. 9

10 Opgave 7 En funktion er defineret ved f(x, y) = sin(x 3 + x y + y 1). a. Hvad giver funktionsværdien f(1, 1)? Vi sætter blot x = 1 og y = 1 i ovenstående funktion: f(1, 1) = sin( ( 1) + ( 1) 1) = sin( ) = sin() =. b. Find den partielle afledede f x (x, y). Vi benytter her kædereglen, som siger, at "differentialet er den indre funktion differentieret ganget den ydre funktion differentieret", eller skrevet mere matematisk (g(h(x))) = g (h(x)) h (x). Lader vi g(h(x)) = sin(h(x)), så h(x) = (x 3 + x y + y 1). Sinus differentieret giver cos, altså bliver Differentieres h(x) i forhold til x fås: Dermed giver kædereglen os, at g (h(x)) = cos(h(x)) = cos(x 3 + x y + y 1). h (x) = 3x + xy. f x (x, y) = (g(h(x))) = (3x + xy) cos(x 3 + x y + y 1). 1

11 Opgave 8 En funktion er givet ved f(x, y) = x y + 3xy 8x + 5y + 1. a. Hvilket af følgende punkter er et kritisk punkt for f? Vi differentierer først f(x, y) i forhold til både x og y og får: f x (x, y) = x + 3y 8, f y (x, y) = 4y + 3x + 5. Et punkt (x 1, y 1 ) er et kritisk punkt, hvis både f x (x 1, y 1 ) = og f y (x 1, y 1 ) =. Vi isolerer først x i f x (x, y) = og får: f x (x, y) = x + 3y 8 = x = 3y + 8 x = 3y + 8. Dette kan vi så indsætte på x s plads i ligningen f y (x, y) =, og dermed: 4y + 3x + 5 = 4y + 3 3y = 8y + 3( 3y + 8) + 1 = 17y + 34 =. Vi har blot ganget hver side med i ovenstående sidste omskrivning. Nu isoleres y i ovenstående, og vi får: 17y + 34 = 17y = 34 y =. Vi kan nu indsætte denne værdi for y i udtrykket for x. Vi finder, at Altså er (1, ) et kritisk punkt. x = = = = 1. b. Bestem den retningsafledede D u f(p ) i punktet P = (1, 1) og retningen bestemt ved enhedsvektoren u = 4 5 i j = ( 4 5, 3 5). Fra opgave a. kender vi gradientvektoren Indsættes punktet P = (1, 1) i denne fås: f(x, y) = (x + 3y 8, 4y + 3x + 5). f(p ) = f(1, 1) = ( , ) = (+3 8, 4+3+5) = ( 3, 4). Skalarproduktet(/prikproduktet) mellem D u f(p ) og u giver da, at ( D u f(p ) = f(p ) u = ( 3, 4) 4 5, 3 ) ( = 3 4 ) ( ) = =

12 Opgave 9 En flade i rummet F er bestemt ved F (x, y, z) =, hvor F (x, y, z) = e x + y + z 3 6. Fladen F har en tangentplan i punktet P = (,, 1). Find ligningen for denne. Svar: Vi differentierer først F (x, y, z) i forhold til x, y og z: F x (x, y, z) = e x, F y (x, y, z) = y, F z (x, y, z) = 3z. Indsættes punktet P = (,, 1) i disse fås: F x (,, 1) = e = 1, F y (,, 1) = = 4, F z (,, 1) = 3 1 = 3. (Bemærk: Allerede nu, er det muligt at aflæse svaret i multiple choice opgaven, men vi fortsætter udregningen.) Da P er et punkt med tangentplan, må F (P ) =, men vi regner lige efter for en sikkerheds skyld: F (P ) = F (,, 1) = e = =. Vi kan nu opstille ligningen for tangenten ved brug af og hvilket bliver F x (P )(x P x ) + F y (P )(y P y ) + F z (P )(z P z ) + F (P ) =, 1(x ) + 4(y ) + 3(z 1) + = x + 4y 8 + 3z 3 = x + 4y + 3z 11 =. Lægges 11 til på begge sider, så får vi ligningen x + 4y + 3z = 11, hvilket er en måde at skrive løsningen på. 1

13 Opgave 1 Et område R i planen er beskrevet ved de punkter (x, y), som opfylder ulighederne x + y 1, y. Bestem værdien af planintegralet ( x + y ) 3 da. Svar: Vi vil for at minimere udregningerne benytte polær integration. Cirklens ligning for en cirkel med centrum i origo, (, ), er R x + y = r, hvoraf vi fra den første ulighed i opgaven kan aflæse, at r 1, hvilket betyder, at r 1. Af den anden ulighed kan vi se, at vi kun skal have den øverste del af cirklen med, dvs. halvcirklen, der går fra radianer til π radianer. Vi har altså de polære grænser: r 1, θ π, da r ikke kan være negativ og dermed mindst. Når man skal omskrive et kartesisk integral til et polært, så skal man huske at gange r på inde i selve integralet, og husk desuden, at x = r cos θ, og y = r sin θ. Dette giver ( x + y ) π 1 3 ( da = (r cos θ) + (r sin θ) ) 3 r dr dθ. R Bruger vi idiotformlen, cos (θ) + sin (θ) = 1, får vi π 1 ( (r cos θ) + (r sin θ) ) 3 r dr dθ = π = = = 1 π 1 π 1 π 1 Vi kan nu udregne integralet på helt normal vis π 1 r 7 dr dθ = π ( r cos (θ) + r sin (θ) ) 3 r dr dθ ( r (cos (θ) + sin (θ)) ) 3 r dr dθ ( r ) 3 r dr dθ r 3 r dr dθ = [ ] 1 1 π 1 π 1 8 r8 dθ = 8 18 dθ = 8 dθ = π 1 r 7 dr dθ. [ ] π 1 = π 8 8. Der er π på en cirkel, dvs. 36 = π π =

14 Opgave 11 To komplekse tal er givet ved z 1 = 3 + i 1 + i + 7 i, z = 5e 3πi. Hvad giver z 1 skrevet på standard form? Vi behandler først brøken. Vi vil gerne have i væk fra nævneren. Dette gøres ved at forlænge brøken med den kompleks konjugerede til nævneren, dvs. gange 1 i på i tælleren og nævneren. 3 Vi får: z 1 = (3 + i)(1 i) (1 + i)(1 i) + 7 i = 3 6i + i i = 5 5i + 7 i Hvis ovenstående gik for stærkt i nævneren, så tjek evt. fodnoten, hvis du ikke har gjort dette. Da der står 5 i alle led i tælleren og kun et 5-tal i nævneren, går disse 5 ere ud, og vi får, at z 1 = 5 5i + 7 i = 1 i + 7 i = 8 i. 5 Hvad giver z skrevet på standard form? Da e iθ = cos(θ) + i sin(θ), får vi, at z = 5e 3πi = 5(cos(3π) + i sin(3π) = 5(cos(π) + i sin(π)) = 5( 1 + i) = 5. Bemærk, at vi har brugt, at cos(θ + π) = cos(θ), og sin(θ + π) = sin(θ), da vi kan skrive cos(3π) = cos(π + π) og tilsvarende for sinus. Grunden til, at +π er "ligegyldig"er, at det for sinus og cosinus svarer til at gå en hel omgang rundt i cirklen, og man lander derfor i samme punkt. 3 Da vi med en kvadratsætning har, at (a + bi)(a bi) = a (bi) = a b i = a + b, som ikke afhænger af i for a, b R. 14

15 Opgave 1 Lad T være området i rummet bestående af de punkter (x, y, z), som opfylder ulighederne x 1, y x, z 3x. Et legeme med massetætheden (densiteten) δ(x, y, z) = x+1 dækker netop området T. Legemets rumfang (volumen) betegnes V, og legemets masse betegnes m. Første integral m = x 1 3x (x + 1) dz dx dy Et problem, der falder i øjnene, er, at det yderste integral har en øvre grænse, som afhænger af x. Dermed bliver massen en variabel, der afhænger af x - men denne bør være konstant, da området ikke ændrer sig! Andet integral m = 1 x +x (x + 1) dz dy dx Vi ser, at det inderste integral har forkert øvre grænse, da z 3x. Tredje integral m = 1 x 3x (x + 1) dz dy dx Vi ser her, at grænserne passer, og dette giver et konstant tal. Fjerde integral V = y 3x dz dx dy Her er blot ændret på integrationsrækkefølgen af x og y. Da x 1 er y. Desuden er y x x y x y, hvilket er grænserne. Femte integral V = 1 y 3x dz dx dy Da den øvre grænse for det midterste integral er det eneste, der er ændret ifht. "Fjerde integral", og da y = 1 y 1 y, er denne falsk. 15

16 Opgave 13 a. Kan punktet med rektangulære koordinater (x, y) = (, ) angives i polære koordinater med (r, θ) = (, π )? Relationen mellem rektangulære og polære koordinater ses gennem x = r cos θ og y = r sin θ. Vi ser altså, at x = cos(π/) = =. Da x-koordinaten ikke stemmer over ens med radius og vinkel, kan vi svare nej til spørgsmålet. b. Lad D være området i planen bestående af de punkter, som opfylder ulighederne x 1 og y 1. Lad f være funktionen med forskriften f(x, y) = x x + y + 1 og definitionsmængde D. Antager f et globalt maksimum? Ja, da f er defineret på hele D, og D er lukket (da og ikke <) og begrænset (da x og y ikke kan gøres uendeligt store eller uendeligt små, begrænset af og 1). c. Lad D være området i planen bestående af de punkter, som opfylder ulighederne < x 1 og y 1. Lad f være funktionen med forskriften f(x, y) = 1 x + y og definitionsmængde D. Antager f et globalt maksimum? Nej! Hvis vi betragter y = er funktionen 1/x. Jo tættere vi lader x komme på, des større bliver funktionen. Der er altså ikke en øvre grænse. d. For ethvert reelt tal b har følgende ligning i den ubekendte x netop én løsning: arctan(x) = b. Dette er ikke sandt, da arctan har værdimængde [ π, π ], hvilket vil sige, at der ikke findes en løsning til b > π eller b < π. 16

17 Opgave 14 Figuren nedenfor viser grafen for funktionen r = f(θ), θ π afbildet i polære koordinater. Svar: Hvilken af nedenstående forskrifter for f svarer til figuren? f(θ) = 3 cos θ, f(θ) = cos θ, f(θ) = + sin θ f(θ) = 1 + sin θ, f(θ) = sin θ, f(θ) = 3 cos(θ). Vi bruger udelukkelsesmetoden til at finde den rigtige funktion. Vi ser, at funktionen har radius for θ =. Vi indsætter altså i hver af funktionerne og får: f() = 3 cos = 3 1 =, f() = cos = 1 = 1, f() = +sin = + = f() = 1+sin = 1+ = 1, f() = sin = =, f() = 3 cos( ) = 3 1 = 3. Vi ser, at der kun er funktioner, der passer på θ = giver en radius på, nemlig f(θ) = 3 cos θ og f(θ) = +sin θ. Vi ser igen på figuren og bemærker, at θ = π giver en radius på 3. Vi indsætter derfor denne vinkel i de to tilbageværende funktioner: ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) f = 3 cos = 3 = 3, f = + sin = + 1 = 3 De giver begge det samme, så vi må prøve en ny vinkel! Figuren viser, at θ = π giver en radius på, og gør som før: f(π) = 3 cos π = 3 ( 1) = 4, f(π) = + sin π = + = De er forskellige, og vi indser, at den rigtige funktion er f(θ) = + sin θ. 17

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.

Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17. Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015

Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013

Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Besvarelser til Calculus Reeksamen August 2017

Besvarelser til Calculus Reeksamen August 2017 Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave

Læs mere

Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014

Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014

Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Notesæt - Eksempler på polær integration

Notesæt - Eksempler på polær integration Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012

Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.

20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2. 17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Eksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)

Eksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige) Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene. MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

En sumformel eller to - om interferens

En sumformel eller to - om interferens En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017

Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017 Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række

Læs mere

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016 Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Mat H 2 Øvelsesopgaver

Mat H 2 Øvelsesopgaver Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere