Vektorfelter langs kurver

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vektorfelter langs kurver"

Transkript

1 enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote 22 om kurveintegration til at opstille de såkaldte tangentielle kurveintegraler og bruge dem til at undersøge om et givet vektorfelt er et gradientvektorfelt eller ej. Hvis et vektorfelt er et gradientvektorfelt for en funktion f (x, y, z) så kan vi konstruere alle sådanne stamfunktioner ved hjælp af tangentiel kurveintegration af vektorfeltet. Og som vi skal se, gælder det også omvendt, at hvis det tangentielle kurveintegral af et givet vektorfeltet over enhver lukket kurve er, så er vektorfeltet et gradientvektorfelt. Det tangentielle kurveintegral af et vektorfelt over en lukket kurve kaldes cirkulationen af vektorfeltet over kurven. Alene ud fra navnet er det ikke overraskende, at en sådan generel cirkulation er ækvivalent med, at vektorfeltet selv har rotationsvektorfeltet Det tangentielle kurveintegral Lad V(x, y, z) være et glat vektorfelt i rummet, se enote 24 og lad K r betegne en glat parametriseret kurve: K r : r(u) (x(u), y(u), z(u)), u [a, b]. (25-1) Langs med kurven K r har vi så i ethvert punkt r(u) på kurven to vektorer, dels vektorfeltets værdi i punktet, V(r(u)), og dels tangentvektoren r (u) til kurven i punktet. Ved hjælp af disse to vektorer kan vi konstruere en glat funktion på kurven, som derefter kan integreres over kurven: Det tangentielle kurveintegral af V(x, y, z) langs en given parametriseret kurve K r er kurveintegralet af længden af projektionen (med fortegn) af V(r(u)) på kurvens tangent der er repræsenteret ved r (u). Det ønskede integral er altså defineret således:

2 enote DET TANGENTIELLE KURVEINTEGRAL 2 Definition 25.1 Det tangentielle kurveintegral af V(x, y, z) langs K r er defineret ved: Tan(V, K r ) V e dµ. (25-2) K r Integranden er altså i dette tilfælde givet ved skalarproduktet: f (r(u)) V(r(u)) e(u), (25-3) hvor e(u) er defineret ved e(u) { r (u)/ r (u) hvis r (u) hvis r (u). (25-4) Bemærk, at så har vi for alle u: e(u) r (u) r (u). (25-5) Det tangentielle kurveintegral Tan(V, K r ) af V langs K r er derfor relativt simpelt at udregne - vi behøver faktisk ikke først at finde Jacobi-funktionen Jacobi r (u), altså længden af r (u) : Tan(V, K r ) V e dµ K r b a b a b a (V(r(u)) e(u)) Jacobi r (u) du V(r(u)) (e(u) r (u) ) du V(r(u)) r (u) du. Vi har altså følgende simple udtryk for tangentielle kurveintegraler: (25-6) Sætning 25.2 Det tangentielle kurveintegral af V(x, y, z) langs K r kan beregnes således: b Tan(V, K r ) V e dµ K r a V(r(u)) r (u) du. (25-7)

3 enote DET TANGENTIELLE KURVEINTEGRAL 3 Læg mærke til, at den sidste integrand i (25-6) er kontinuert når V(x, y, z) og r (u) er kontinuerte selv om det ikke umiddelbart fremgår af definitionen (vektorfeltet e(u) er jo ikke nødvendigvis kontinuert - medmindre r(u) er en regulær parameterfremstilling). Hvis kurven gennemløbes baglæns, så skifter Tan(V, K r ) fortegn. Lad nemlig K r : r(u) r(b + a u), u [a, b]. (25-8) Så er r (u) r (u) og e(u) e(u) sådan at Tan(V, K r ) Tan(V, K r ). (25-9) Definition 25.3 I analogi med det tangentielle kurveintegral definerer vi det ortogonale kurveintegral Ort(V, K r ) af V langs K r ved at projicere V(r(u)) vinkelret ind på den plan i rummet, som selv står vinkelret på r (u) og dernæst finde kurveintegralet af længden af den projektion (som funktion af u). Eksempel 25.4 Lad V(x, y, z) (, z, y). Vi ønsker at bestemme det tangentielle kurveintegral af V langs følgende parametriserede stykke af en skruelinje [ K r : r(u) (cos(u), sin(u), u), u, π ]. (25-1) 2 Ved at indsætte i (25-6) fås Tan(V, K r ) π/2 π/2 π/2 V(r(u)) r (u) du (, u, sin(u)) ( sin(u), cos(u), 1) du (u cos(u) + sin(u)) du [u sin(u)] π/2 π 2. (25-11)

4 enote DET TANGENTIELLE KURVEINTEGRAL 4 Figur 25.1: Skruelinjen r(u) ( cos(u), sin(u), 1 1 u), u [ 2π, 2π], og vektorfeltet V(x, y, z) (x, (x + y), 2z) er her antydet dels i rummet og dels langs skruelinjen. Opgave 25.5 Lad V(x, y, z) (, x, z). Bestem både det tangentielle og det ortogonale kurveintegral af V langs følgende parametriserede stykke af en cirkel [ K r : r(u) (cos(u), sin(u), ), u, π ]. (25-12) 2

5 enote DET TANGENTIELLE KURVEINTEGRAL 5 Metode 25.6 Tangentielle linjeintegraler til variabel punkt Lad V(x, y, z) være et givet vektorfelt i rummet. Vi vil nu konstruere en funktion F (x, y, z) i rummet som i punktet (x, y, z ) er defineret til at være kurveintegralet af V(x, y, z) langs det rette linjestykke fra (,, ) til punktet (x, y, z ), dvs. F defineres således: F (x, y, z ) Tan(V, K r ), (25-13) hvor kurven er givet ved den simplest mulige kurve fra (,, ) til (x, y, z ): K r : r(u) (u x, u y, u z ) u (x, y, z ), u [, 1]. (25-14) Så har vi dermed følgende funktionsværdier for (stjerne-)funktionen hørende til V(x, y, z): F (x, y, z ) Tan(V, K r ) V(r(u)) r (u) du (x, y, z ) V(u x, u y, u z ) du. (25-15) Det sidste integral i (25-15) skal forstås som et integral af hver af de tre koordinatfunktioner af V(u x, u y, u z ). Integralet giver dermed en vektor med tre komposanter sådan at skalarproduktet med stedvektoren (x, y, z ) derefter giver en talværdi, som altså er værdien af -funktionen F (x, y, z) i (x, y, z ). Eksempel 25.7 Konstruktion af tangentiel linjeintegral til variable punkt Lad V(x, y, z) betegne følgende vektorfelt i rummet: V(x, y, z) (x, 2y, 3z). (25-16) Så er den tilhørende -funktion: F (x, y, z ) (x, y, z ) (x, y, z ) V(u x, u y, u z ) du (u x, 2u y, 3u z ) du 1 2 (x, y, z ) (x, 2 y, 3 z ) 1 2 (x y z 2 ) (25-17) 1 2 x2 + y z2.

6 enote STAMFUNKTION TIL ET GRADIENTVEKTORFELT 6 Bemærk, at (stjerne-)funktionen F (x, y, z) 1 2 x2 + y x2 som er konstrueret i eksempel 25.7 har følgende gradient, som netop er det vektorfelt vi begyndte med: F (x, y, z) (x, 2y, 3z) V(x, y, z). (25-18) Det er ikke nogen tilfældighed! Vektorfeltet har rotationsvektorfelt Rot, og er derfor et gradientvektorfelt, som vi skal se i sætning nedenfor Stamfunktion til et gradientvektorfelt Definition 25.8 Stamfunktion for et gradientvektorfelt Lad V(x, y, z) være et glat vektorfelt i rummet. Hvis der findes en glat funktion f (x, y, z) således at f (x, y, z) V(x, y, z), (25-19) så siges f (x, y, z) at være en stamfunktion til vektorfeltet V(x, y, z). Hvis vi kender én stamfunktion, så kender vi enhver af dem pånær en arbitrær konstant! Som vi skal se giver metode 25.6 en konstruktion af alle stamfunktioner til et givet vektorfelt. Hvis der ikke findes nogen stamfunktion til vektorfeltet, så får vi ikke desto mindre alligevel med den metode konstrueret en -funktion i rummet den funktion er imidlertid i så fald ikke nogen stamfunktion. Det kan og bør selvfølgelig afgøres ved at gøre prøve, altså ved direkte at beregne gradienten af -funktionen og sammenligne med det givne vektorfelt. Opgave 25.9 Lad V(x, y, z) betegne vektorfeltet: V(x, y, z) (x, 2y, 3z). (25-2) bestem funktionsværdierne for (stjerne-)funktionen F p (x, y, z) ud fra det generelle punkt p (a, b, c) hørende til V(x, y, z).

7 enote STAMFUNKTION TIL ET GRADIENTVEKTORFELT 7 Vink: Det rette linjestykke fra punktet (a, b, c) til (x, y, z ) kan parametriseres således: K r : r(u) (a + u (x a), b + u (y b), c + u (z c)), u [, 1]. (25-21) således at Gælder det stadig, at r (u) (x a), y b, z c). (25-22) F p (x, y, z) V(x, y, z)? (25-23) Sætning 25.1 Tangentielt kurveintegral af et gradientvektorfelt Lad f (x, y, z) betegne en glat funktion af de tre variable i rummet, og lad V(x, y, z) f (x, y, z) betegne gradientvektorfeltet for f (x, y, z). Lad K r være en glat parametriseret kurve fra et punkt p til et punkt q i rummet. Kurven behøver ikke nødvendigvis at være retlinjet. Så gælder følgende: Det tangentielle kurveintegral af f (x, y, z) langs K r afhænger kun af p og q og er uafhængig af kurven: Tan(V, K r ) f (q) f (p). (25-24) Bevis Vi bruger kædereglen fra enote 16 på den sammensatte funktion h(u) f (r(u)) hvor r(u), u ]u, u 1 [, er en vilkårlig differentiabel kurve fra p (x, y, z ) r(u ) til q (x 1, y 1, z 1 ) r(u 1 ) og får derved: h (u) r (u) f (r(u)). (25-25) Heraf følger, at h(u) er en stamfunktion til funktionen på højresiden af ovenstående ligning: Men da får vi dermed og det var det vi skulle vise. h(u 1 ) h(u ) u1 u r (u) f (r(u)) du. (25-26) h(u ) f (r(u )) f (p), h(u 1 ) f (r(u 1 )) f (q), u1 f (q) f (p) + r (u) f (r(u)) du u f (p) + Tan(V, K r ), (25-27) (25-28)

8 enote STAMFUNKTION TIL ET GRADIENTVEKTORFELT 8 Figur 25.2: Den lukkede kurve r(u) (cos(t), sin(t), cos(2 t)), u [ π, π] og gradientvektorfeltet V(x, y, z) (x, y, z) f (x, y, z) for f (x, y, z) (x 2 + y 2 + z 2 )/2 er her antydet dels i rummet og dels langs kurven. Hvis kurven er lukket gerne sammensat af et endeligt antal glatte kurver som f.eks i en polygon med retlinede kanter får vi at det tangentielle kurveintegral af et gradientvektorfelt over den lukkede kurve er. Definition Cirkulationen af et vektorfelt langs en lukket kurve Lad K r betegne en lukket kurve i rummet (som gerne kan være sammensat af et endeligt antal glatte kurver). Lad V(x, y, z) være et glat vektorfelt i rummet. Så kalder vi det tangentielle kurveintegral af V(x, y, z) over K r cirkulationen af V(x, y, z) over K r og skriver: Cirk(V, K r ) Tan(V, K r ). (25-29) Betegnelsen cirkulation er helt rimelig. Hvis vektorfeltet er et gradientvektorfelt ved vi, at rotationen er overalt, se enote 24, og det stemmer med, at cirkulationen i disse tilfælde også er for enhver lukket kurve. Vi har allerede nu indset den ene halvdel af følgende sætning den anden (lidt vanskeligere) halvdel er bevist nedenfor:

9 enote STAMFUNKTION TIL ET GRADIENTVEKTORFELT 9 Sætning Cirkulationssætningen Et glat vektorfelt V(x, y, z) i rummet er et gradientvektorfelt hvis og kun hvis der gælder: Cirk(V, K r ) (25-3) for alle lukkede kurver K r. En stamfunktion kan konstrueres ved linjeintegralmetoden Bevis Som nævnt ved vi allerede, at hvis V(x, y, z) er et gradientvektorfelt, så er cirkulationen for enhver lukket kurve. Den anden vej handler altså om at antage, at alle lukkede kurver giver cirkulation og derudfra slutte, at så er det pågældende vektorfelt et gradientvektorfelt. Vi vil derfor konstruere en funktion F(x, y, z) hvis gradientvektorfelt er det givne vektorfelt. Der er i ovenstående fremstilling stort set kun én kandidat, der eventuelt ville kunne bruges som en sådan funktion, nemlig -funktionen F (x, y, z) hørende til V(x, y, z): F (x, y, z) (x, y, z) V(u x, u y, u z) du. (25-31) Da cirkulationen er langs enhver lukket kurve ved vi, at denne funktion ikke afhænger af integrationsvejen: Det tangentielle kurveintegral af V(x, y, z) langs enhver anden kurve fra (,, ) til (x, y, z) vil give samme værdi som F (x, y, z). Vi vil vise, at gradienten af F (x, y, z) i punktet (x, y, x ) er V(x, y, z ), så vi ser på F (x, y, z) F (x, y, z ) + Tan(V, K r ), (25-32) hvor K r er en vilkårlig glat kurve fra (udviklings-)punktet (x, y, z ) til et vilkårligt andet punkt (x, y, z). Vi vælger igen det rette linjestykke mellem de to punkter: K r : r(u) (x, y, z ) + u ((x, y, z) (x, y, z )), u [, 1], (25-33) og får så: Tan(V, K r ) (x x, y y, z z ) V(r(u)) du (25-34) Det første bidrag til dette skalarprodukt er (x x ) V 1 (r(u)) du. (25-35) Vi vil nu benytte den observation (se opgave 25.13), at der for enhver glat funktion g(u) på [, 1] gælder, at der findes en værdi ξ imellem og 1 således at g(u) du g(ξ). (25-36)

10 enote STAMFUNKTION TIL ET GRADIENTVEKTORFELT 1 Ved at bruge den integral-middelværdisætning får vi til indsættelse i (25-35): (x x ) V 1 (r(u)) du (x x )V 1 (r(ξ 1 )) (x x ) (V 1 (x, y, z ) + ε 1 (x x, y y, z z )), (25-37) idet V 1 (x, y, z) V 1 (x, y, z ) for (x, y, z) (x, y, z ). Tilsvarende fås for de to andre bidrag til skalarproduktet i (25-34), således at vi samlet har: Tan(V, K r ) (x x, y y, z z ) (V(x, y, z ) + ε(x x, y y, z z )) (x x, y y, z z ) V(x, y, z ) + ρ (x,y,z )(x, y, z) ε(x x, y y, z z ) (25-38) Vi indsætter til sidst i (25-32) og får følgende ligning F (x, y, z) F (x, y, z ) + Tan(V, K r ) F (x, y, z ) + (x x, y y, z z ) V(x, y, z ) + ρ (x,y,z )(x, y, z) ε(x x, y y, z z ). (25-39) Gradienten af (stjerne-)funktionen F (x, y, z) i (x, y, z ) kan derefter aflæses ved direkte inspektion det er jo faktoren på (x x, y y, z z ) før epsilon-leddet: F (x, y, z ) V(x, y, z ), (25-4) hvilket netop betyder, at V(x, y, z) er et gradientvektorfelt (med F (x, y, z) som stamfunktion), og det var det vi skulle vise. Opgave Overvej og indse den påstand vi har brugt i beviset for sætning 25.12: For enhver glat funktion g(u) på [, 1] gælder, at der findes en værdi ξ imellem og 1 således at g(u) du g(ξ). (25-41) I analogi med cirkulationssætningen har vi ligeledes en to-vejs kobling mellem gradientvektorfelt-egenskaben og rotation :

11 enote STAMFUNKTION TIL ET GRADIENTVEKTORFELT 11 Sætning Stamfunktions-sætningen Et glat vektorfelt V(x, y, z) i rummet er et gradientvektorfelt hvis og kun hvis der gælder: Rot(V)(x, y, z) (,, ). (25-42) En stamfunktion til vektorfeltet V(x, y, z) kan konstrueres ved linjeintegralmetoden Bevis Vi nøjes med at se på den ene (lette) vej rotationen af et gradientvektorfelt er. Se også den påstand i sætning i enote 24. Lad altså f (x, y, z) være en glat funktion i rummet. Så er ( ) f (x, y, z) f x(x, y, z), f y(x, y, z), f z(x, y, z). (25-43) Idet vi nøjes med at fokusere på første koordinat i rotationsvektoren får vi heraf: ( Rot( f )(x, y, z) y f z(x, y, z) ) z f y(x, y, z),, ( ) f zy(x, y, z) f yz(x, y, z),, (,, ), (25-44) og tilsvarende for de to andre koordinater. Eksempel Tangentielt kurveintegral af et ikke-gradientvektorfelt Lad V(x, y, z) ( y, x, ). Så er V(x, y, z) ikke et gradientvektorfelt idet Rot(V)(x, y, z) (,, 2) (,, ), se også eksempel 24.3 i enote 24. Hvis vi vælger den lukkede kurve: K r : r(u) (cos(u), sin(u), ), u [ π, π], (25-45) får vi i overensstemmelse med cirkulationssætningen en cirkulation, der ikke er : Tan(V, K r ) π π π π π π ( sin(u), cos(u), ) ( sin(u), cos(u), ) du ( sin 2 (u) + cos 2 (u) ) du 1 du 2 π. (25-46)

12 enote STAMFUNKTION TIL ET GRADIENTVEKTORFELT 12 Hvis vi konstruerer -funktionen hørende til V(x, y, z) ( y, x, ) får vi en veldefineret funktion i rummet: F (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) V(u x, u y, u z) du ( u y, u x, ) du 1 ((x, y, z) ( y, x, )) 2 (25-47), og det er klart ikke en stamfunktion til V(x, y, z), hvilket er i fuld overensstemmelse med stamfunktionssætningen.

13 enote OPSUMMERING Opsummering Vi har defineret det tangentielle kurveintegral for glatte vektorfelter langs glatte parametriserede kurver og vist, hvordan de tangentielle kurveintegraler kan benyttes til at konstruere stamfunktioner til et vektorfelt V(x, y, z) hvis ellers vektorfeltet er et gradientvektorfelt. Det tangentielle kurveintegral af V(x, y, z) langs den parametriserede kurve K r kan beregnes således: Tan(V, K r ) b a V(r(u)) r (u) du. (25-48) Hvis kurven K r er lukket, så betegnes kurven med K r, det tangentielle kurveintegral kaldes i så fald cirkulationen af vektorfeltet langs den lukkede kurve, og vi skriver Cirk(V, K r ) Tan(V, K r ). (25-49) Stamfunktionssætningen giver en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at et givet vektorfelt er et gradientvektorfelt: V(x, y, z) er et gradientvektorfelt hvis og kun hvis Rot(V)(x, y, z) (,, ). Cirkulationssætningen udtrykker en tilsvarende nødvendig og tilstrækkelig betingelse for gradientfelt-egenskaben udtrykt ved cirkluationen af vektorfeltet langs lukkede kurver: V(x, y, z) er et gradientvektorfelt hvis og kun hvis Cirk(V, K r ) for alle lukkede kurver K r. Stjerne-funktionen F (x, y, z) hørende til et gradientvektorfelt V(x, y, z) er en stamfunktion til V(x, y, z). Funktionen beregnes som det tangentielle linjeintegral fra (,, ) til punktet (x, y, z) således: F (x, y, z) Tan(V, K r ) (x, y, z) V(r(u)) r (u) du V(u x, u y, u z) du. (25-5)

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Kurve- og plan-integraler

Kurve- og plan-integraler enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Stokes rotationssætning

Stokes rotationssætning enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1 Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK

STEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK STEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.1.1 Rumfang-problemet............................ 6 1.2 Approksimerende summer og

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Mat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.

Mat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016. Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ Spørgsmål Med udviklingspunktet

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 20. februar 2008 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.2 Approksimerende summer

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,

Læs mere

Flade- og rum-integraler

Flade- og rum-integraler enote 23 1 enote 23 Flade- og rum-integraler Flade og rumintegraler opstilles her på stort set samme måde som kurve- og planintegralerne i enote 22, som derved sammen med den grundlæggende generelle indførelse

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen DTU Matematik

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen DTU Matematik Integration i flere Variable Steen Markvorsen DTU Matematik 20. februar 2009 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.1.1 Rumfang-problemet............................

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Gauss divergenssætning

Gauss divergenssætning enote 26 1 enote 26 Gauss divergenssætning I denne enote vil vi bruge flowkurver for vektorfelter til at undersøge hvordan overfladen af et rumligt område deformeres ved flowet og dermed afspejler en tilsvarende

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 14. februar 2006 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6 1.2 Summer og integraler................................

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Integration i flere Variable

Integration i flere Variable Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik og Learning Lab DTU 28. januar 2005 2 Indhold Introduktion 5. Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6.2 Summer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Integralregning ( 23-27)

Integralregning ( 23-27) Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II

Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II Niels Kirkegaard og Peter Damkjær Senest redigeret af Hans J. Munkholm, juli 2009 Forord Denne formelsamling er oprindelig

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

DTU. License to Thrill

DTU. License to Thrill XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere