Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
|
|
- Olaf Graversen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, Indledning Dette notesæt giver en oversigt over nogle fundamentale begreber for plane kurver. Kinematiske begreber såsom vejlængde, hastighed og acceleration omtales kort. Især diskuteres det, hvad der skal forstås ved en glat kurve, dvs. geometrisk kontinuitet. I den forbindelse indføres nogle beslægtede geometriske begreber (naturlig parameterfremstilling, krumning, enhedstangentvektor og krumningscirkel). Forskellige eksempler illustrerer betydningen af de forskellige begreber. 2 Nogle fundamentale kinematiske begreber ( ) x Vi erindrer om, at vektorer i planen bekvemt kan anskues som punkter (x, y) med y hensyn til et sædvanligt retviklet koordinatsystem, så vi skal tillade os at skrive ( ) x = (x, y). y Lad I = [a, b] betegne et lukket og begrænset interval og betragt en 2-dimensional reel funktion defineret på I, r(t) = (x(t), y(t)), t I; (1) med andre ord koordinatfunktionerne x(t) og y(t) er reelle funktioner defineret på I. Billedmægden for funktionen r(t) (dvs. mægden {r(t) t I}) kaldes en plan kurve med parameterfremstilling givet ved funktionen r(t). Bemærk, at kurven har uendelig mange mulige parameterfremstillinger, se for eksempel Eksempel 1 nedenfor. Vi indfører nu nogle fundamentale kinematiske begreber, hvor koordinatfunktionerne antages at være differentiable eller om nødvendigt to gange differentiable. De afledede betegnes x (t), x (t), etc., og vi fortolker t som tid og I som et tidsinterval. Kurvens 1
2 hastighedsvektor (eller blot hastighed) og accelerationsvektor (eller blot acceleration) til tid t I defineres ved henholdsvis v(t) = (x (t), y (t)), a(t) = (x (t), y (t)). Ved farten (til tid t) forstås længden af hastighedsvektoren, f(t) = v(t). Bemærk at disse begreber afhænger af valget af parameterfremstilling for kurven (se Eksempel 1). Eksempel 1. For liniestykket {(x, 0) 0 x 1} med parameterfremstilling r(t) = (t, 0), 0 t 1, er hastigheden v(t) = (1, 0), så farten er konstant lig 1 og accelerationen er lig nulvektoren. Vi kunne også havde valgt parameterfremstillingen r(t) = (t/β, 0), 0 t β, hvor β > 0. Hvis for eksempel β = 2 bliver tidsintervallet dobbelt så langt, hastigheden og farten bliver halveret og accelerationen er stadig lig nulvektoren. Et tredje eksempel på en parameterfremstilling, hvor accelerationen ikke er nul (og endda er diskontinuert) er givet i Eksempel 2 nedenfor. For en ellipse med r(t) = (α cos t, β sin t), 0 t 2π, hvor α > 0 og β > 0 angiver længderne af de to halvakser (se Figur 1), er v(t) = ( α sin t, β cos t), f(t) = α2 sin 2 t + β 2 cos 2 t og a(t) = ( α cos t, β sin t) = r(t). Farten er konstant netop når α = β, dvs. i tilfældet med en cirkel, og i så fald er farten lig med radius for cirklen (f(t) = α). 3 Buelængde og naturlig parameterfremstilling I det følgende antages koordinatfunktionerne i (1) at være kontinuert differentiable (dvs. x (t) og y (t) eksisterer og er kontinuerte for alle t I). Endvidere antages farten f(t) > 0 for alle t I. Vi siger da kort og godt, at kurven er differentiabel. Betragt et vilkårligt punkt P = r(t) på kurven og lad P 0 = r(a) betegne startpunktet. Buelængden eller vejlængden fra P 0 til P defineres ved s(t) = t a f(u)du. Da f(t) > 0 for alle t I, er s(t) en strengt voksende funktion af t med kontinuert differentialkvotient s (t) = f(t). Så s(t) har en invers funktion, som vi betegner χ(s) for s Ĩ, hvor Ĩ = [s(a), s(b)] er billedmængden for funktionen s(t). Vi skal stiltiende for ethvert s Ĩ lade t I være givet ved χ(s) = t; og omvendt for ethvert t I lade s Ĩ være givet ved s(t) = s. Bemærk at χ(s) også er en strengt voksende funktion med kontinuert differentialkvotient χ (s) = 1/f(t) = 1/f(χ(s)). 2
3 y P x Figure 1: Ellipse med α = 4 og β = 2. Punktet P viser r(π/4). Vi kalder r(s) = r(t) = r(χ(s)), s Ĩ, (2) for den naturlige parameterfremstilling med udgangspunkt i P 0 (svarende til s = 0). Koordinatfunktionerne i (2) er også kontinuert differentiable, idet de hver især er en sammensat funktion af den kontinuert differentiable funktion χ og en af de kontinuert differentiable koordinatfunktioner i (1). Desuden er hastigheden (med hensyn til den naturlige parameterfremstilling) givet ved ṽ(s) = r (s) = r (t)/f(t) = v(t)/f(t). (3) Altså er f(s) = ṽ(s) = 1, (4) dvs. farten er konstant lig med 1, når vi benytter den naturlige parameterfremstilling. Det kan vises (beviset udelades her), at den naturlige parameterfremstilling for en differentiabel kurve ikke afhænger af valget af parameterfremstillingen i (1); man siger derfor, at den naturlige parameterfremstilling er et geometrisk begreb. Eksempel 2. Hvad forstår vi ved en glat kurve? Vi er sikkert alle enige om, at for eksempel et liniestykke bør være glat. Betragt for eksempel liniestykket L = {(x, 0) 0 x 1}. En 3
4 parameterfremstilling for L er givet ved { (t, 0) for 0 t 1/2 r(t) = (2t 1/2, 0) for 1/2 < t 1, hvor r(t) er en kontinuert funktion for alle t [0, 1], men den er ikke differentiabel for t = 1/2; det skyldes, at farten er 1 for t < 1/2 og 2 for t > 1/2. Betragtes i stedet for følgende parameterfremstilling for L: { (2t r(t) = 2 /5, 0) for 0 t 1 (4t 2 /5 4t/5 + 2/5, 0) for 1 < t 3/2, så er r (t) = { (4t/5, 0) for 0 t < 1 (8t/5 4/5, 0) for 1 < t 3/2, hvorfor r (1) = (4/5, 0), dvs. hastigheden v(t) = r (t) er veldefineret og kontinuert for alle t [0, 3/2]; derimod eksisterer a (1) ikke. Altså synes det ikke altid naturligt at definere glathed ved, at den første og anden afledede af en vilkårlig parameterfremstilling r(t) eksisterer og er kontinuerte; vi skal sidenhen i Eksempel 7 vende tilbage til denne diskussion. Som vi skal se i det følgende giver det bedre mening at betragte den naturlige parameterfremstilling. Denne er givet ved r(s) = (s, 0) for 0 s 1; r(s) er klart to gange kontinuert differentiabel. For ellipsen i Eksempel 1 er den naturlige parameterfremstilling r(s) = (α cos t, β sin t)/ α 2 sin 2 t + β 2 cos 2 t, 0 s b, hvor t er givet ved s(t) = s, b = s(2π) og s(t) = t 0 α 2 sin 2 u + β 2 cos 2 u du, 0 t 2π (læseren bedes overveje, hvorfor farten f(t) ikke kan være nul). Dette integral kan kun regnes ud i tilfældet med en cirkel (α = β); i så fald er s(t) = tα, dvs. t = s/α. For α β findes der dog tabeller til beregning af s(t) (eller man kan let benytte numerisk integration). I eksemplet ovenfor var det let at angive den naturlige parameterfremstilling for liniestykket og cirklen, mens det var mere kompliceret for ellipsen; i de fleste andre anvendelser er det også en kompliceret funktion. I praksis kan vi heldigvis undgå at benytte den naturlige parameterfremstilling (herom i sidst afsnit). Den naturlige parameterfremstilling er derimod særlig egnet til at give en forståelse af de geometriske egenskaber ved kurver, der beskrives i det følgende afsnit. 4
5 4 Geometrisk kontinuitet Vi definerer nu forskellige geometriske begreber ved hjælp af den naturlige parameterfremstilling (under de samme antagelser som i forrige afsnit, dvs. der findes en parameterfremstilling, så kurven er differentiabel). I næste afsnit udtrykkes disse begreber med hensyn til en vilkårlig parameterfremstilling. Enhedstangentvektoren i punktet P = r(s) defineres ved ẽ(s) = ṽ(s), (5) dvs. hastighedsvektoren for den naturlige parameterfremstilling. Ifølge (3) er ẽ(s) = r (s) en tangentvektor og ifølge (4) er ẽ(s) en enhedsvektor (hvorimod den unormerede tangentvektor r (t) naturligvis ikke behøver at være af længde 1). Dette forklarer, hvorfor ẽ(s) kaldes en enhedstangentvektor. Vi definerer retningsvinklen ϕ(s) i P ved ẽ(s) = (cos ϕ(s), sin ϕ(s)). (6) Krumningen κ i P er defineret som grænseværdien af ændring i krumningsvinkel ϕ(s + ) ϕ(s) per tilbagelagt buelængde, når 0; med andre ord κ κ(s) = ϕ (s) forudsat at ϕ(s) er differentiabel. Krumningsbegrebet forstås måske bedre ved hjælp af et andet begreb kaldet krumningsradius (se næste afsnit). Da accelerationsvektoren med hensyn til den naturlige parameterfremstilling er givet ved ã(s) = ṽ (s) = ẽ (s) = ϕ (s)( sin ϕ(s), cos ϕ(s)) = κ(s)( sin ϕ(s), cos ϕ(s)), (7) ses den numeriske værdi af krumningen κ(s) at være lig med længden af accelerationsvektoren. Fortegnet af krumningen er som regel mindre interessant, da fortegnet blot afhænger af hvilken vej kurven gennemløbes, jfr. Eksempel 3 nedenfor. Endelig siges kurven at være geometrisk kontinuert (eller glat), hvis både enhedstangentvektoren og krumningen er kontinuerte funktioner. Bemærk at enhedstangentvektor, krumning og geometrisk kontinuitet er geometriske begreber; de er jo defineret med hensyn til r(s), som ikke afhænger af den valgte parametrisering i (1), jfr. forrige afsnit. 5 Beregning i praksis og fortolkning af geometrisk kontinuitet I anvendelser, hvor man vil undersøge, om en given kurve er glat, er det ofte hensigtsmæssigt at vælge en anden parameterfremstilling end den naturlige parameterfremstilling. Dertil er forskellige beregningsformler nyttige. 5
6 Til beregning af enhedstangentvektoren benytter vi (3), dvs. for en differentiabel kurve med en parameterfremstilling som i (1) er enhedstangentvektoren i punktet P = r(t) givet ved e(t) = v(t)/f(t), (8) hvor v(t) = (x (t), y (t)), f(t) = (x (t) 2 + y (t) 2 ) 1/2. Til beregning af krumningen benyttes (9) nedenfor; her antages en parameterfremstilling som i (1) at have to gange kontinuert differentiable koordinatfunktioner, og farten antages stadig at være forskellig fra nul; vi siger da, at kurven er to gange differentiabel. I punktet P = r(t) er krumningen κ = κ(t), hvor κ(t) = v(t) a(t) /f(t) 3 (9) (beviset for dette resultat udelades her, selvom det ikke er så svært), hvor v(t) a(t) betegner determinanten af de to vektorer v(t) og a(t), dvs. v(t) a(t) = x (t) x (t) y (t) y (t) = x (t)y (t) x (t)y (t). Det følger af (8) og (9), at en to gange differentiabel kurve er geometrisk kontinuert. Det modsatte er som regel men ikke altid tilfældet, jfr. Eksempel 6 nedenfor. Antag kurven specielt er givet ved ligningen y = g(x), hvor x selv kan benyttes som parameter og g er en to gange kontinuert differentiabel funktion. Så er hastigheden v(x) = (1, g (x)) (hvorfor farten f(x) = 1 + g (x) 2 > 0) og accelerationen a(x) = (0, g (x)), hvilket indsat i (9) giver κ(x) = g (x)/(1 + g (x) 2 ) 3/2. Altså gælder der, at en kurve givet ved ligningen y = g(x), hvor g er en to gange kontinuert differentiabel funktion, er geometrisk kontinuert. Eksempel 3. Betragt igen ellipsen r(t) = (α cos t, β sin t), 0 t 2π. Koordinatfunktionerne er oplagt to gange kontinuert differentiable, og vi har tidligere observeret, at farten ikke er nul, så ellipsen er geometrisk kontinuert. Benyttes (8) og (9) fås e(t) = ( α sin t, β cos t)/ α 2 sin 2 t + β 2 cos 2 t og For en cirkel (α = β) fås κ(t) = αβ/(α 2 sin 2 t + β 2 cos 2 t) 3/2. (10) e(t) = ( sin t, cos t), κ = 1/α. (11) Hvis vi igen sætter α = β men i stedet for benytter parameterfremstillingen r(t) = (α cos( t), α sin( t)), 0 t 2π, svarende til at cirklen gennemløbes med uret, fås e(t) = (sin( t), cos( t)), κ = 1/α. 6
7 Sammenlign med (11) ovenfor. I forbindelse med begrebet krumning er det nyttigt at indføre begrebet krumningscirkel i punktet P = r(t) for en to gange differentiabel kurve med parameterfremstilling (1). Lad e(t) = (e 1 (t), e 2 (t)) være angivet ved sine koordinatfunktioner. Sæt n(t) = ( e 2 (t), e 1 (t)); denne enhedsvektor, der fremkommer ved at dreje e(t) med en vinkel på π/2 (mod uret), kaldes normalvektoren. Antag κ(t) 0 og sæt ρ(t) = 1/κ(t). Betragt cirklen C(t) med radius ρ(t) og centrum z(t) = r(t) + ρ(t)n(t). Anvend en parametrisering som gennemløber cirklen enten med eller mod uret, således at cirklens enhedstangentvektor i P er lig med e(t); dermed har C(t) krumning κ(t) i P (jfr. Eksempel 3). Det kan vises (beviset udelades her), at cirklen C(t) krummer ligesom kurven i punktet P ; betragt nemlig en cirkel, der berører kurven i P (dvs. står vinkelret på e(t)) og er på samme side af e(t) som kurven samt går gennem et andet kurvepunkt Q; da er C(t) grænsestillingen af cirkelen, når Q går mod P (Q P ). Derfor kaldes C(t) for kurvens krumningscirkel i P ; ρ(t) for kurvens krumningsradius i P ; og z(t) for kurvens krumningscenter i P (se venstre tegning i Figur 2). Bemærk at ρ(t) kan være negativ (i så fald kan vi jo altid sørge for, at den bliver positiv, ved at gennemløbe kurven omvendt). Hvis κ(t) = 0, kan vi betragte tangenten i P som en uegentlig krumningscirkel med uendelig stor krumningsradius. y e(-0.5) n(-0.5) z(-0.5) y x x Figure 2: Venstre: parabel givet ved r(t) = (t, t 2 ), 2 t 2, og enhedstangentvektor, normalvektor og krumningscirkel for t = 0.5. Højre: motorvejsafkørsler givet ved henholdsvis cirkelbue med radius 2 (fuld optrukken) og klotoide (stiplet). Afkørslerne har samme længde og samme krumning lig 1/2 for enden af afkørslerne. 7
8 Eksempel 4. Fra (10) følger, at ρ(t) = (β 2 + (α 2 β 2 ) sin 2 t) 3/2 /(αβ) er krumningsradius for en ellipse i punktet P = (α cos t, β sin t), hvor 0 t 2π. Vi har, at ρ(t) > 0 og n(t) = ( β cos t, α sin t), så det er kun når α = β, at z(t) = (0, 0), jfr. Eksempel 1. For t = 0 og t = π/2, altså for toppunkter på ellipsen, fås krumningsradier β 2 /α og α 2 /β. Og ρ(t) ligger mellem β 2 /α og α 2 /β for alle værdier af t, idet 0 sin 2 t 1 (det følger også ved en geometrisk betragtning). Antag for eksempel at α > β. For 0 t π/2 (svarende til den del af ellipsen, der er i første kvadrant) er ρ(t) så en voksende funktion af t (prøv at forstå dette ved at betragte Figur 1). Og z(0) = (α β 2 /α, 0) er et punkt mellem 0 og 1 på x-aksen, mens z(π/2) = (0, β α 2 /β) er et punkt på den negative del af y-aksen. Inden vi betragter det næste eksempel, er det nyttigt at notere følgende. Når en kurve er to gange differentiabel, så er den naturlige parameterfremstilling to gange kontinuert differentiabel. Hastigheden med hensyn til den naturlige parameterfremstilling er lig med enhedsvektoren, jfr. (5), og accelerationen ã(s) og normalvektoren ñ(s) med hensyn til den naturlige parameterfremstilling opfylder ã(s) = κ(s)ñ(s), jfr. (6) og (7). Ifølge Newton s anden lov er kraften for et køretøj, der kører med konstant fart lig 1 langs kurven, proportional med ã(s), hvor proportionalitetsfaktoren er massen af legemet. Hvis κ(s) > 0, peger kraften altså ind mod krumningscenteret. Dette er også tilfældet, hvis køretøjet kører langs kurven med en konstant hastighed, der ikke nødvendigvis er lig 1, jfr. følgende eksempel. Eksempel 5. Hvordan skal en motorvejsafkørsel se ud? Et forslag kunne være foreningen A = L C af liniestykket L = {(x, 0) 1 x 0} (som vi tænker os er motorvejen) og cirkelstykket C = {α(cos t 1, 1 + sin t) 3π/2 t b} (som vi tænker os er afkørslen), hvor α > 0 er cirklens radius og b > 3π/2 bestemmer cirkelstykkets længde. Men da er krumningen i punktet (0, 0) ikke kontinuert, idet L har krumning 0 og C har krumning 1/α. Det medfører, at et køretøj let kan forulykke i afkørslen. I højre tegning i Figur 2 er α = 2 og b = π/2. Et bedre men stadig simpelt forslag er at betragte en parameterfremstilling r(t) = (x(t), y(t)), 0 t b, for afkørslen, således at farten er konstant, accelerationvektoren peger i samme retning som normalvektoren og κ(t) = αt, hvor t = 0 svarer til punktet (0, 0); her er b > 0 igen en konstant, der bestemmer afkørslens længde. Betragtes først den naturlige parameterfremstilling, kræves det altså, at κ(s) = αs, dvs. ϕ (s) = αs. Desuden forudsætter vi, at ϕ(0) = 0, idet L har krumning 0. Følgelig er ϕ(s) = αs 2 /2, 8
9 hvorfor og dermed ṽ(s) = (cos ϕ(s), sin ϕ(s)) = (cos(αs 2 /2), sin(αs 2 /2)), ( s r(s) = 0 s ) cos(αs 2 /2) ds, sin(αs 2 /2) ds, 0 s b, 0 hvor b > 0 som før er en konstant (der bestemmer afkørslens længde). Denne kurve for afkørslen kaldes en klotoide. For klotoiden i højre tegning i Figur 2 er b = π og α = 1/(2π). Betragt dernæst tilfældet, hvor farten er β > 0, som ikke nødvendigvis er lig 1. Det svarer blot til, at tiden bliver t = s/β, idet ds/dt = β (se også Eksempel 1). Så r(t) = r(s) = r(βt) er stadig en klotoide. 6 Diskussion af antagelser og resultater Som sagt spiller den naturlige parameterfremstilling en vigtig rolle, når vi definerer begrebet geometrisk kontinuitet, men andre parameterfremstillinger kan være mere hensigtsmæssige ved anvendelser. I praksis går det som regel godt, fordi man vælger en fornuftig parameterfremstilling. Dog kan det gå helt galt, hvis man vælger en mere syg parameterfremstilling, som illustereret i Eksempel 2 og nedenstående eksempler; her menes syg fra et geometrisk synspunkt (fra et kinematisk synspunkt kan parametriseringen være ganske naturlig, jfr. Eksempel 2). Det første eksempel viser, at man kan godt have en geometrisk kontinuert kurve, hvor hastigheden for en parameterfremstilling ikke eksisterer i et punkt for kurven. Eksempel 6. Halvcirkelen C = {(cos t, sin t) π/2 t π/2} er som bekendt geometrisk kontinuert (jfr. Eksempel 3). En syg parameterfremstilling for C er givet ved følgende sammensætning af to kvarte cirkler: { (sin(πt r(t) = 2 /2), cos(πt 2 /2)) for 0 t 1 (cos(π(t 1) 2 /2), sin(π(t 1) 2 /2)) for 1 < t 2. Da er r (t) = { (πt cos(πt 2 /2), πt sin(πt 2 /2)) for 0 < t 1 ( π(t 1) sin(π(t 1) 2 /2), π(t 1) cos(π(t 1) 2 /2)) for 1 < t 2. Eftersom r (t) går mod (π, 0), når t > 1 går mod 1, og mod (0, 0), når t < 1 går mod 1, eksisterer r (0) ikke. I Eksempel 2 så vi, at et liniestykke, som jo klart er geometrisk kontinuert, har en syg parameterfremstilling, hvor hastigheden eller accelerationen ikke er veldefineret. Det næste eksempel viser omvendt, at enhedstangentvektoren godt kan være diskontinuert, selvom der findes en parametrisering med kontinuert hastighed. 9
10 Eksempel 7. Følgende er en parameterfremstilling for en knækket linie: { (2t t r(t) = 2, 2t t 2 ) for 0 t 1 (1 + (t 1) 2, 1 (t 1) 2 ) for 1 < t 2. Da r (t) = { (2 2t, 2 2t) for 0 t < 1 (2t 2, 2t 2) for 1 < t 2 eksisterer r (1) = (0, 0), så hastigheden v(t) = r (t) er altså veldefineret og kontinuert for alle t [0, 2]. På grund af knækket i punktet r(1) = (1, 1) eksisterer e(1) ikke. Bemærk at i punktet (1, 1) er farten f(1) = 0. Desuden eksisterer a (1) ikke. Det sidste eksempel omhandler en differentiabel kurve, hvor krumningen eksisterer overalt pånær i et punkt P. For to forskellige parameterfremstillinger for denne kurve vises, at den ene fremstilling har en fart lig 0 i P, mens den anden fremstilling ikke er to gange differentiabel i P. Eksempel 8. Betragt r(t) = (t 2, t 3 ), 1 t 1. Denne parameterfremnstilling er to gange kontinuert differentiabel med afledede v(t) = (2t, 3t 2 ) og a(t) = (2, 6t). Farten er nul, netop når t = 0. For t 0 eksisterer krumningen og (9) giver, at κ(t) = 12t2 6t 2 (4t 2 + 9t 4 ) 3/2 = 6 t(4 + 9t 2 ) 3/2. Altså går krumningen mod +, når t > 0 går mod 0, og mod, når t < 0 går mod 0. Følgelig eksisterer krumningen ikke i punktet (0, 0). En anden parameterfremstilling for den samme kurve er givet ved ligningen y = g(x), hvor { x 3/2 for 0 x 1 g(x) = ( x) 3/2 for 1 x 0. Denne parameterfremstilling er kontinuert differentiabel med v(x) = (1, (3/2) x ) og f(x) = 1 + (9/4) x > 0 for alle x [ 1, 1]. For 0 < x 1 er g (x) = (3/4)/ x; for 1 x < 0 er g (x) = ( 3/4)/ x; derimod eksisterer g (0) ikke. 10
Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereVektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereVejgeometri. Erik Vestergaard
Vejgeometri Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, Haderslev 007 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk 3 Indholdsfortegnelse. Indledning... 5. Plane kurver... 5. Parametriserede
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereDanske besvarelser af udvalgte opgaver.
IMFUFA, INM Carsten Lunde Petersen Danske besvarelser af udvalgte opgaver. Introduction Forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. Opgave 7.9: Vis, at en ikke plan glat kurve α : I R 3 i rummet forløber
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatematik og Form Splines. NURBS
Matematik og Form Splines. NURBS Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Opgave: Find 3.grads polynomium p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 sål. at y b = p(0) = a 0 y s = p(1) = a 0 +
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKurver i planen og rummet
Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereDen Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006
Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereKortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.
Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit
Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereUVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas
UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fredag den 30. maj 2008 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 Matematik A Prøvens varighed er 5
Læs mereVektorfunktioner vha. CAS
Vektorfunktioner vha. CAS 1 Forord Vi skal i de kommende uger arbejde med emnet Vektorfunktioner ved: 1) at I selv arbejder med siderne 3 10 som en opstart. Siderne baserer sig på CAS-programmet TI-Nspire.
Læs mereVektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013
Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereM A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mere