Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet"

Transkript

1 Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, Indledning Dette notesæt giver en oversigt over nogle fundamentale begreber for plane kurver. Kinematiske begreber såsom vejlængde, hastighed og acceleration omtales kort. Især diskuteres det, hvad der skal forstås ved en glat kurve, dvs. geometrisk kontinuitet. I den forbindelse indføres nogle beslægtede geometriske begreber (naturlig parameterfremstilling, krumning, enhedstangentvektor og krumningscirkel). Forskellige eksempler illustrerer betydningen af de forskellige begreber. 2 Nogle fundamentale kinematiske begreber ( ) x Vi erindrer om, at vektorer i planen bekvemt kan anskues som punkter (x, y) med y hensyn til et sædvanligt retviklet koordinatsystem, så vi skal tillade os at skrive ( ) x = (x, y). y Lad I = [a, b] betegne et lukket og begrænset interval og betragt en 2-dimensional reel funktion defineret på I, r(t) = (x(t), y(t)), t I; (1) med andre ord koordinatfunktionerne x(t) og y(t) er reelle funktioner defineret på I. Billedmægden for funktionen r(t) (dvs. mægden {r(t) t I}) kaldes en plan kurve med parameterfremstilling givet ved funktionen r(t). Bemærk, at kurven har uendelig mange mulige parameterfremstillinger, se for eksempel Eksempel 1 nedenfor. Vi indfører nu nogle fundamentale kinematiske begreber, hvor koordinatfunktionerne antages at være differentiable eller om nødvendigt to gange differentiable. De afledede betegnes x (t), x (t), etc., og vi fortolker t som tid og I som et tidsinterval. Kurvens 1

2 hastighedsvektor (eller blot hastighed) og accelerationsvektor (eller blot acceleration) til tid t I defineres ved henholdsvis v(t) = (x (t), y (t)), a(t) = (x (t), y (t)). Ved farten (til tid t) forstås længden af hastighedsvektoren, f(t) = v(t). Bemærk at disse begreber afhænger af valget af parameterfremstilling for kurven (se Eksempel 1). Eksempel 1. For liniestykket {(x, 0) 0 x 1} med parameterfremstilling r(t) = (t, 0), 0 t 1, er hastigheden v(t) = (1, 0), så farten er konstant lig 1 og accelerationen er lig nulvektoren. Vi kunne også havde valgt parameterfremstillingen r(t) = (t/β, 0), 0 t β, hvor β > 0. Hvis for eksempel β = 2 bliver tidsintervallet dobbelt så langt, hastigheden og farten bliver halveret og accelerationen er stadig lig nulvektoren. Et tredje eksempel på en parameterfremstilling, hvor accelerationen ikke er nul (og endda er diskontinuert) er givet i Eksempel 2 nedenfor. For en ellipse med r(t) = (α cos t, β sin t), 0 t 2π, hvor α > 0 og β > 0 angiver længderne af de to halvakser (se Figur 1), er v(t) = ( α sin t, β cos t), f(t) = α2 sin 2 t + β 2 cos 2 t og a(t) = ( α cos t, β sin t) = r(t). Farten er konstant netop når α = β, dvs. i tilfældet med en cirkel, og i så fald er farten lig med radius for cirklen (f(t) = α). 3 Buelængde og naturlig parameterfremstilling I det følgende antages koordinatfunktionerne i (1) at være kontinuert differentiable (dvs. x (t) og y (t) eksisterer og er kontinuerte for alle t I). Endvidere antages farten f(t) > 0 for alle t I. Vi siger da kort og godt, at kurven er differentiabel. Betragt et vilkårligt punkt P = r(t) på kurven og lad P 0 = r(a) betegne startpunktet. Buelængden eller vejlængden fra P 0 til P defineres ved s(t) = t a f(u)du. Da f(t) > 0 for alle t I, er s(t) en strengt voksende funktion af t med kontinuert differentialkvotient s (t) = f(t). Så s(t) har en invers funktion, som vi betegner χ(s) for s Ĩ, hvor Ĩ = [s(a), s(b)] er billedmængden for funktionen s(t). Vi skal stiltiende for ethvert s Ĩ lade t I være givet ved χ(s) = t; og omvendt for ethvert t I lade s Ĩ være givet ved s(t) = s. Bemærk at χ(s) også er en strengt voksende funktion med kontinuert differentialkvotient χ (s) = 1/f(t) = 1/f(χ(s)). 2

3 y P x Figure 1: Ellipse med α = 4 og β = 2. Punktet P viser r(π/4). Vi kalder r(s) = r(t) = r(χ(s)), s Ĩ, (2) for den naturlige parameterfremstilling med udgangspunkt i P 0 (svarende til s = 0). Koordinatfunktionerne i (2) er også kontinuert differentiable, idet de hver især er en sammensat funktion af den kontinuert differentiable funktion χ og en af de kontinuert differentiable koordinatfunktioner i (1). Desuden er hastigheden (med hensyn til den naturlige parameterfremstilling) givet ved ṽ(s) = r (s) = r (t)/f(t) = v(t)/f(t). (3) Altså er f(s) = ṽ(s) = 1, (4) dvs. farten er konstant lig med 1, når vi benytter den naturlige parameterfremstilling. Det kan vises (beviset udelades her), at den naturlige parameterfremstilling for en differentiabel kurve ikke afhænger af valget af parameterfremstillingen i (1); man siger derfor, at den naturlige parameterfremstilling er et geometrisk begreb. Eksempel 2. Hvad forstår vi ved en glat kurve? Vi er sikkert alle enige om, at for eksempel et liniestykke bør være glat. Betragt for eksempel liniestykket L = {(x, 0) 0 x 1}. En 3

4 parameterfremstilling for L er givet ved { (t, 0) for 0 t 1/2 r(t) = (2t 1/2, 0) for 1/2 < t 1, hvor r(t) er en kontinuert funktion for alle t [0, 1], men den er ikke differentiabel for t = 1/2; det skyldes, at farten er 1 for t < 1/2 og 2 for t > 1/2. Betragtes i stedet for følgende parameterfremstilling for L: { (2t r(t) = 2 /5, 0) for 0 t 1 (4t 2 /5 4t/5 + 2/5, 0) for 1 < t 3/2, så er r (t) = { (4t/5, 0) for 0 t < 1 (8t/5 4/5, 0) for 1 < t 3/2, hvorfor r (1) = (4/5, 0), dvs. hastigheden v(t) = r (t) er veldefineret og kontinuert for alle t [0, 3/2]; derimod eksisterer a (1) ikke. Altså synes det ikke altid naturligt at definere glathed ved, at den første og anden afledede af en vilkårlig parameterfremstilling r(t) eksisterer og er kontinuerte; vi skal sidenhen i Eksempel 7 vende tilbage til denne diskussion. Som vi skal se i det følgende giver det bedre mening at betragte den naturlige parameterfremstilling. Denne er givet ved r(s) = (s, 0) for 0 s 1; r(s) er klart to gange kontinuert differentiabel. For ellipsen i Eksempel 1 er den naturlige parameterfremstilling r(s) = (α cos t, β sin t)/ α 2 sin 2 t + β 2 cos 2 t, 0 s b, hvor t er givet ved s(t) = s, b = s(2π) og s(t) = t 0 α 2 sin 2 u + β 2 cos 2 u du, 0 t 2π (læseren bedes overveje, hvorfor farten f(t) ikke kan være nul). Dette integral kan kun regnes ud i tilfældet med en cirkel (α = β); i så fald er s(t) = tα, dvs. t = s/α. For α β findes der dog tabeller til beregning af s(t) (eller man kan let benytte numerisk integration). I eksemplet ovenfor var det let at angive den naturlige parameterfremstilling for liniestykket og cirklen, mens det var mere kompliceret for ellipsen; i de fleste andre anvendelser er det også en kompliceret funktion. I praksis kan vi heldigvis undgå at benytte den naturlige parameterfremstilling (herom i sidst afsnit). Den naturlige parameterfremstilling er derimod særlig egnet til at give en forståelse af de geometriske egenskaber ved kurver, der beskrives i det følgende afsnit. 4

5 4 Geometrisk kontinuitet Vi definerer nu forskellige geometriske begreber ved hjælp af den naturlige parameterfremstilling (under de samme antagelser som i forrige afsnit, dvs. der findes en parameterfremstilling, så kurven er differentiabel). I næste afsnit udtrykkes disse begreber med hensyn til en vilkårlig parameterfremstilling. Enhedstangentvektoren i punktet P = r(s) defineres ved ẽ(s) = ṽ(s), (5) dvs. hastighedsvektoren for den naturlige parameterfremstilling. Ifølge (3) er ẽ(s) = r (s) en tangentvektor og ifølge (4) er ẽ(s) en enhedsvektor (hvorimod den unormerede tangentvektor r (t) naturligvis ikke behøver at være af længde 1). Dette forklarer, hvorfor ẽ(s) kaldes en enhedstangentvektor. Vi definerer retningsvinklen ϕ(s) i P ved ẽ(s) = (cos ϕ(s), sin ϕ(s)). (6) Krumningen κ i P er defineret som grænseværdien af ændring i krumningsvinkel ϕ(s + ) ϕ(s) per tilbagelagt buelængde, når 0; med andre ord κ κ(s) = ϕ (s) forudsat at ϕ(s) er differentiabel. Krumningsbegrebet forstås måske bedre ved hjælp af et andet begreb kaldet krumningsradius (se næste afsnit). Da accelerationsvektoren med hensyn til den naturlige parameterfremstilling er givet ved ã(s) = ṽ (s) = ẽ (s) = ϕ (s)( sin ϕ(s), cos ϕ(s)) = κ(s)( sin ϕ(s), cos ϕ(s)), (7) ses den numeriske værdi af krumningen κ(s) at være lig med længden af accelerationsvektoren. Fortegnet af krumningen er som regel mindre interessant, da fortegnet blot afhænger af hvilken vej kurven gennemløbes, jfr. Eksempel 3 nedenfor. Endelig siges kurven at være geometrisk kontinuert (eller glat), hvis både enhedstangentvektoren og krumningen er kontinuerte funktioner. Bemærk at enhedstangentvektor, krumning og geometrisk kontinuitet er geometriske begreber; de er jo defineret med hensyn til r(s), som ikke afhænger af den valgte parametrisering i (1), jfr. forrige afsnit. 5 Beregning i praksis og fortolkning af geometrisk kontinuitet I anvendelser, hvor man vil undersøge, om en given kurve er glat, er det ofte hensigtsmæssigt at vælge en anden parameterfremstilling end den naturlige parameterfremstilling. Dertil er forskellige beregningsformler nyttige. 5

6 Til beregning af enhedstangentvektoren benytter vi (3), dvs. for en differentiabel kurve med en parameterfremstilling som i (1) er enhedstangentvektoren i punktet P = r(t) givet ved e(t) = v(t)/f(t), (8) hvor v(t) = (x (t), y (t)), f(t) = (x (t) 2 + y (t) 2 ) 1/2. Til beregning af krumningen benyttes (9) nedenfor; her antages en parameterfremstilling som i (1) at have to gange kontinuert differentiable koordinatfunktioner, og farten antages stadig at være forskellig fra nul; vi siger da, at kurven er to gange differentiabel. I punktet P = r(t) er krumningen κ = κ(t), hvor κ(t) = v(t) a(t) /f(t) 3 (9) (beviset for dette resultat udelades her, selvom det ikke er så svært), hvor v(t) a(t) betegner determinanten af de to vektorer v(t) og a(t), dvs. v(t) a(t) = x (t) x (t) y (t) y (t) = x (t)y (t) x (t)y (t). Det følger af (8) og (9), at en to gange differentiabel kurve er geometrisk kontinuert. Det modsatte er som regel men ikke altid tilfældet, jfr. Eksempel 6 nedenfor. Antag kurven specielt er givet ved ligningen y = g(x), hvor x selv kan benyttes som parameter og g er en to gange kontinuert differentiabel funktion. Så er hastigheden v(x) = (1, g (x)) (hvorfor farten f(x) = 1 + g (x) 2 > 0) og accelerationen a(x) = (0, g (x)), hvilket indsat i (9) giver κ(x) = g (x)/(1 + g (x) 2 ) 3/2. Altså gælder der, at en kurve givet ved ligningen y = g(x), hvor g er en to gange kontinuert differentiabel funktion, er geometrisk kontinuert. Eksempel 3. Betragt igen ellipsen r(t) = (α cos t, β sin t), 0 t 2π. Koordinatfunktionerne er oplagt to gange kontinuert differentiable, og vi har tidligere observeret, at farten ikke er nul, så ellipsen er geometrisk kontinuert. Benyttes (8) og (9) fås e(t) = ( α sin t, β cos t)/ α 2 sin 2 t + β 2 cos 2 t og For en cirkel (α = β) fås κ(t) = αβ/(α 2 sin 2 t + β 2 cos 2 t) 3/2. (10) e(t) = ( sin t, cos t), κ = 1/α. (11) Hvis vi igen sætter α = β men i stedet for benytter parameterfremstillingen r(t) = (α cos( t), α sin( t)), 0 t 2π, svarende til at cirklen gennemløbes med uret, fås e(t) = (sin( t), cos( t)), κ = 1/α. 6

7 Sammenlign med (11) ovenfor. I forbindelse med begrebet krumning er det nyttigt at indføre begrebet krumningscirkel i punktet P = r(t) for en to gange differentiabel kurve med parameterfremstilling (1). Lad e(t) = (e 1 (t), e 2 (t)) være angivet ved sine koordinatfunktioner. Sæt n(t) = ( e 2 (t), e 1 (t)); denne enhedsvektor, der fremkommer ved at dreje e(t) med en vinkel på π/2 (mod uret), kaldes normalvektoren. Antag κ(t) 0 og sæt ρ(t) = 1/κ(t). Betragt cirklen C(t) med radius ρ(t) og centrum z(t) = r(t) + ρ(t)n(t). Anvend en parametrisering som gennemløber cirklen enten med eller mod uret, således at cirklens enhedstangentvektor i P er lig med e(t); dermed har C(t) krumning κ(t) i P (jfr. Eksempel 3). Det kan vises (beviset udelades her), at cirklen C(t) krummer ligesom kurven i punktet P ; betragt nemlig en cirkel, der berører kurven i P (dvs. står vinkelret på e(t)) og er på samme side af e(t) som kurven samt går gennem et andet kurvepunkt Q; da er C(t) grænsestillingen af cirkelen, når Q går mod P (Q P ). Derfor kaldes C(t) for kurvens krumningscirkel i P ; ρ(t) for kurvens krumningsradius i P ; og z(t) for kurvens krumningscenter i P (se venstre tegning i Figur 2). Bemærk at ρ(t) kan være negativ (i så fald kan vi jo altid sørge for, at den bliver positiv, ved at gennemløbe kurven omvendt). Hvis κ(t) = 0, kan vi betragte tangenten i P som en uegentlig krumningscirkel med uendelig stor krumningsradius. y e(-0.5) n(-0.5) z(-0.5) y x x Figure 2: Venstre: parabel givet ved r(t) = (t, t 2 ), 2 t 2, og enhedstangentvektor, normalvektor og krumningscirkel for t = 0.5. Højre: motorvejsafkørsler givet ved henholdsvis cirkelbue med radius 2 (fuld optrukken) og klotoide (stiplet). Afkørslerne har samme længde og samme krumning lig 1/2 for enden af afkørslerne. 7

8 Eksempel 4. Fra (10) følger, at ρ(t) = (β 2 + (α 2 β 2 ) sin 2 t) 3/2 /(αβ) er krumningsradius for en ellipse i punktet P = (α cos t, β sin t), hvor 0 t 2π. Vi har, at ρ(t) > 0 og n(t) = ( β cos t, α sin t), så det er kun når α = β, at z(t) = (0, 0), jfr. Eksempel 1. For t = 0 og t = π/2, altså for toppunkter på ellipsen, fås krumningsradier β 2 /α og α 2 /β. Og ρ(t) ligger mellem β 2 /α og α 2 /β for alle værdier af t, idet 0 sin 2 t 1 (det følger også ved en geometrisk betragtning). Antag for eksempel at α > β. For 0 t π/2 (svarende til den del af ellipsen, der er i første kvadrant) er ρ(t) så en voksende funktion af t (prøv at forstå dette ved at betragte Figur 1). Og z(0) = (α β 2 /α, 0) er et punkt mellem 0 og 1 på x-aksen, mens z(π/2) = (0, β α 2 /β) er et punkt på den negative del af y-aksen. Inden vi betragter det næste eksempel, er det nyttigt at notere følgende. Når en kurve er to gange differentiabel, så er den naturlige parameterfremstilling to gange kontinuert differentiabel. Hastigheden med hensyn til den naturlige parameterfremstilling er lig med enhedsvektoren, jfr. (5), og accelerationen ã(s) og normalvektoren ñ(s) med hensyn til den naturlige parameterfremstilling opfylder ã(s) = κ(s)ñ(s), jfr. (6) og (7). Ifølge Newton s anden lov er kraften for et køretøj, der kører med konstant fart lig 1 langs kurven, proportional med ã(s), hvor proportionalitetsfaktoren er massen af legemet. Hvis κ(s) > 0, peger kraften altså ind mod krumningscenteret. Dette er også tilfældet, hvis køretøjet kører langs kurven med en konstant hastighed, der ikke nødvendigvis er lig 1, jfr. følgende eksempel. Eksempel 5. Hvordan skal en motorvejsafkørsel se ud? Et forslag kunne være foreningen A = L C af liniestykket L = {(x, 0) 1 x 0} (som vi tænker os er motorvejen) og cirkelstykket C = {α(cos t 1, 1 + sin t) 3π/2 t b} (som vi tænker os er afkørslen), hvor α > 0 er cirklens radius og b > 3π/2 bestemmer cirkelstykkets længde. Men da er krumningen i punktet (0, 0) ikke kontinuert, idet L har krumning 0 og C har krumning 1/α. Det medfører, at et køretøj let kan forulykke i afkørslen. I højre tegning i Figur 2 er α = 2 og b = π/2. Et bedre men stadig simpelt forslag er at betragte en parameterfremstilling r(t) = (x(t), y(t)), 0 t b, for afkørslen, således at farten er konstant, accelerationvektoren peger i samme retning som normalvektoren og κ(t) = αt, hvor t = 0 svarer til punktet (0, 0); her er b > 0 igen en konstant, der bestemmer afkørslens længde. Betragtes først den naturlige parameterfremstilling, kræves det altså, at κ(s) = αs, dvs. ϕ (s) = αs. Desuden forudsætter vi, at ϕ(0) = 0, idet L har krumning 0. Følgelig er ϕ(s) = αs 2 /2, 8

9 hvorfor og dermed ṽ(s) = (cos ϕ(s), sin ϕ(s)) = (cos(αs 2 /2), sin(αs 2 /2)), ( s r(s) = 0 s ) cos(αs 2 /2) ds, sin(αs 2 /2) ds, 0 s b, 0 hvor b > 0 som før er en konstant (der bestemmer afkørslens længde). Denne kurve for afkørslen kaldes en klotoide. For klotoiden i højre tegning i Figur 2 er b = π og α = 1/(2π). Betragt dernæst tilfældet, hvor farten er β > 0, som ikke nødvendigvis er lig 1. Det svarer blot til, at tiden bliver t = s/β, idet ds/dt = β (se også Eksempel 1). Så r(t) = r(s) = r(βt) er stadig en klotoide. 6 Diskussion af antagelser og resultater Som sagt spiller den naturlige parameterfremstilling en vigtig rolle, når vi definerer begrebet geometrisk kontinuitet, men andre parameterfremstillinger kan være mere hensigtsmæssige ved anvendelser. I praksis går det som regel godt, fordi man vælger en fornuftig parameterfremstilling. Dog kan det gå helt galt, hvis man vælger en mere syg parameterfremstilling, som illustereret i Eksempel 2 og nedenstående eksempler; her menes syg fra et geometrisk synspunkt (fra et kinematisk synspunkt kan parametriseringen være ganske naturlig, jfr. Eksempel 2). Det første eksempel viser, at man kan godt have en geometrisk kontinuert kurve, hvor hastigheden for en parameterfremstilling ikke eksisterer i et punkt for kurven. Eksempel 6. Halvcirkelen C = {(cos t, sin t) π/2 t π/2} er som bekendt geometrisk kontinuert (jfr. Eksempel 3). En syg parameterfremstilling for C er givet ved følgende sammensætning af to kvarte cirkler: { (sin(πt r(t) = 2 /2), cos(πt 2 /2)) for 0 t 1 (cos(π(t 1) 2 /2), sin(π(t 1) 2 /2)) for 1 < t 2. Da er r (t) = { (πt cos(πt 2 /2), πt sin(πt 2 /2)) for 0 < t 1 ( π(t 1) sin(π(t 1) 2 /2), π(t 1) cos(π(t 1) 2 /2)) for 1 < t 2. Eftersom r (t) går mod (π, 0), når t > 1 går mod 1, og mod (0, 0), når t < 1 går mod 1, eksisterer r (0) ikke. I Eksempel 2 så vi, at et liniestykke, som jo klart er geometrisk kontinuert, har en syg parameterfremstilling, hvor hastigheden eller accelerationen ikke er veldefineret. Det næste eksempel viser omvendt, at enhedstangentvektoren godt kan være diskontinuert, selvom der findes en parametrisering med kontinuert hastighed. 9

10 Eksempel 7. Følgende er en parameterfremstilling for en knækket linie: { (2t t r(t) = 2, 2t t 2 ) for 0 t 1 (1 + (t 1) 2, 1 (t 1) 2 ) for 1 < t 2. Da r (t) = { (2 2t, 2 2t) for 0 t < 1 (2t 2, 2t 2) for 1 < t 2 eksisterer r (1) = (0, 0), så hastigheden v(t) = r (t) er altså veldefineret og kontinuert for alle t [0, 2]. På grund af knækket i punktet r(1) = (1, 1) eksisterer e(1) ikke. Bemærk at i punktet (1, 1) er farten f(1) = 0. Desuden eksisterer a (1) ikke. Det sidste eksempel omhandler en differentiabel kurve, hvor krumningen eksisterer overalt pånær i et punkt P. For to forskellige parameterfremstillinger for denne kurve vises, at den ene fremstilling har en fart lig 0 i P, mens den anden fremstilling ikke er to gange differentiabel i P. Eksempel 8. Betragt r(t) = (t 2, t 3 ), 1 t 1. Denne parameterfremnstilling er to gange kontinuert differentiabel med afledede v(t) = (2t, 3t 2 ) og a(t) = (2, 6t). Farten er nul, netop når t = 0. For t 0 eksisterer krumningen og (9) giver, at κ(t) = 12t2 6t 2 (4t 2 + 9t 4 ) 3/2 = 6 t(4 + 9t 2 ) 3/2. Altså går krumningen mod +, når t > 0 går mod 0, og mod, når t < 0 går mod 0. Følgelig eksisterer krumningen ikke i punktet (0, 0). En anden parameterfremstilling for den samme kurve er givet ved ligningen y = g(x), hvor { x 3/2 for 0 x 1 g(x) = ( x) 3/2 for 1 x 0. Denne parameterfremstilling er kontinuert differentiabel med v(x) = (1, (3/2) x ) og f(x) = 1 + (9/4) x > 0 for alle x [ 1, 1]. For 0 < x 1 er g (x) = (3/4)/ x; for 1 x < 0 er g (x) = ( 3/4)/ x; derimod eksisterer g (0) ikke. 10

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Vejgeometri. Erik Vestergaard

Vejgeometri. Erik Vestergaard Vejgeometri Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, Haderslev 007 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk 3 Indholdsfortegnelse. Indledning... 5. Plane kurver... 5. Parametriserede

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Danske besvarelser af udvalgte opgaver.

Danske besvarelser af udvalgte opgaver. IMFUFA, INM Carsten Lunde Petersen Danske besvarelser af udvalgte opgaver. Introduction Forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. Opgave 7.9: Vis, at en ikke plan glat kurve α : I R 3 i rummet forløber

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Kurver i planen og rummet

Kurver i planen og rummet Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er

Læs mere

Matematik og Form Splines. NURBS

Matematik og Form Splines. NURBS Matematik og Form Splines. NURBS Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Opgave: Find 3.grads polynomium p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 sål. at y b = p(0) = a 0 y s = p(1) = a 0 +

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006 Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................

Læs mere

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kurve- og plan-integraler

Kurve- og plan-integraler enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Vektorfunktioner vha. CAS

Vektorfunktioner vha. CAS Vektorfunktioner vha. CAS 1 Forord Vi skal i de kommende uger arbejde med emnet Vektorfunktioner ved: 1) at I selv arbejder med siderne 3 10 som en opstart. Siderne baserer sig på CAS-programmet TI-Nspire.

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fredag den 30. maj 2008 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 Matematik A Prøvens varighed er 5

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach. Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger Numerisk løsning af differentialligninger Begyndelsesværdiproblemet Vi vil se på løsning af begyndelsesværdiproblemet: dx( t) x ( t) f ( x, t) dt x ( t ) 0 x0 hvor vi vil foretage numerisk integration

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx1-mat/a-170801 Fredag den 17. august 01 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere