Matematik Indhold Matematik Bilag M6 - stillads generelt til Den gode besvarelse af opgaver i matematik. Den gode besvarelse af opgaver i matematik.

Transkript

1 Matematik Indhold Matematik... 1 Bilag M1 Bilag: Genrekatalog matematik hhx - fageksempler... 2 Bilag M2 Matematik - vejledende opgavesæt efter 2011 og forår 2012 MatematikB samt eksamen juni Kommunikationskompetence... 4 Ræsonnementskompetence:... 5 Databehandlingskompetence... 6 Symbol og formalismekompetencen... 9 Hjælpemiddelskompetence (redskab) Tankegangskompetence Problembehandlingskompetence Repræsentationskompetence Modellering Bilag M3Forsøg på genrebeskrivelse i matematik - omfattende omend kun påbegyndt? Bilag M4 Kompetencerepræsentation i eksamensopgaver Kompetencerepræsentation efterår 2011 i eksamensopgaver vejledende opgavesæt 1 mat B Kompetencerepræsentation forår 2012 i eksamensopgaver vejledende opgavesæt 2 mat B Kompetencerepræsentation juni 2012 i eksamensopgaver matematik Bilag M5 Udkast Oversigt over matematiske faglige genrer - formidlingsskrivning Bilag M6 - stillads generelt til Den gode besvarelse af opgaver i matematik Den gode besvarelse af opgaver i matematik Bilag M7 Udklip vedrørende baggrunden for matematikopgaverne til eksamen - med fokus på Ny Skriftlighed Bilag M8 Om opgaveskrivning i matematik og naturvidenskabelige fag... Fejl! Bogmærke er ikke defineret. Bilag M9 Matrixoversigt - kompetencer i eksamensopgaver matb Bilag M10 Eksempel på udvidet kompetenceoversigt til matematik Bilag M11 Sammenhæng mellem kompetenceblomst og mål for matematik Bilag M12 Kompetencebeskrivelse i matematik jf. Komrapporten Bilag M13 Eksempel på skrivedidaktiske øvelser oplæg opstart Bilag M14 Matematik - diskursbegreb - oplæg Fællesmøde Bilag M15 Matematik - genrebegreb - oplæg Fællesmøde Bilag M16 Matematik - ændrede rettestrategier - oplæg Fællesmøde Bilag M17 Skriftlighed i matematik Bilag M18 Eksempler på ændrede rettepraksis Bilag M19 Eksempler på elev selvretter Bilag M20 Eksempler på elev selvretter Bilag M21 Eksempler på samarbejde - elevkommentarer og -repsons Bilag M22 Stilladsering - Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik B med brug af CAS-værktøj TEKST NOTATION og LAY-OUT REDEGØRELSE og DOKUMENTATION FIGURER KONKLUSION VEDR. BESVARELSE TIL EKSAMEN Gør det gode bedre Bilag M23 - Stillads - bedømmelse pixi fra mat-it Bilag M24 - htx råd og vink Bilag M25 De 8/9 kernekompetencer i matematik - uddybende forklaring (Komrapport) Bilag M26 Eksempler på eksamensopgaver i relation til kompetencerne Tankegangskompetence Learnmark Horsens 2012 IØ AØ VØ og MAT Side 1

2 Problembehandlingskompetence Modelleringskompetence Ræsonnementskompetence Repræsentationskompetence Symbol- og formalismekompetence Kommunikationskompetence Hjælpemiddelkompetence Databehandlingskompetence Bilag M1 Bilag: Kort stillads skr. matematik til elever Når du skriftligt løser en stillet opgave fag, kan du med fordel benytte følgende opskrift til din besvarelse: Introduktion Argumentation Konklusion Uddybende bemærkninger Du bør starte din besvarelse med en kort introduktion til opgaven skriv ganske kort, hvad det er opgaven drejer sig om. Efterfølgende skal du lave arbejdet under argumentationen, hvor du reelt set løser selve opgaven. Det er vigtigt at du skriver en passende mængde forklarende tekst til dine beregninger (også hvis det er en Learnmark Horsens 2012 IØ AØ VØ og MAT Side 2

3 regneopgave), idet din tankegang bag argumentationen skal fremgå klart af din besvarelse. Det er altså vigtigt, at du husker på, at beregninger ikke må stå alene de skal (næsten) altid forklares. Til slut er det vigtigt, at du skriver en konklusion på opgaven. Her skal du være kort og præcis, så læseren ikke kan være i tvivl om, hvad du svarer på opgaven. Learnmark Horsens 2012 IØ AØ VØ og MAT Side 3

4 Bilag M2 Matematik - vejledende opgavesæt efter 2011 og forår 2012 MatematikB samt eksamen juni 2012 Kommunikationskompetence Der hersker imellem fagfæller nogen uenighed om, i hvor høj grad denne kompetence skal være i spil (i alle opgaver) i matematik. Skal besvarelsen af de enkelte opgaver være kontekstuafhængige (altså kunne rettes og bedømmes alene ud fra det, eleven afleverer) eller er dette ikke påkrævet, da modtageren (læreren) kender opgaven i forvejen? Redegør - kræver dette ord eller er en beregning tilstrækkeligt? Deltageren i projektet lægger selv op til kontekstuafhængige opgaver, og at der skal knyttes nogle ord og konklusioner til de enkelte besvarelser; men i censorsituationen slækkes på dette krav! Eksempel 8 forår 2012 Eksempel 7 efterår 2011 Eksempel eksamen juni 2012 Genrebeskrivelse / stilladsering (Skriv et notat om) I opgaven skal demonstreres forståelse af de beregninger, der er foretaget (evt. af et CASprogram). Det kan være konfidensinterval, ulighed i modellering, ekstrema ved modellering, statistiske deskriptorer. Samtidig skal vises, at man kan oversætte matematik til hverdagssprog (der dog skal stiles en bestemt modtager) Der skal ikke digtes noget ind - men alene konkluderes på beregningerne; men samtidig skal man sørge for at teksten skrives, så det passer med målgruppen, der ikke er matematikere. 1. Skriv evt. først hvad der er tale om: Hermed følger konklusion på min undersøgelse af.. Indlæg til vort blad vedr. undersøgelse.. 2. Skriv så, hvad der er undersøgt/beregnet. En spørgeskemaundersøgelse af n medarbejdere har vist at En analyse af virksomhedens omsætningsforløb viser at Det største DB opnås derfor hvis 3. Skriv opsamlende konklusion, som alle (også de der ikke kan matematik) kan forstå uden brug af indforståede fagudtryk: Ud fra disse beregninger/data kan konkluderes, at flertallet af medarbejderne.. 25 % af de ansatte har højest I gennemsnit er En analyse af virksomhedens omsætning viser, at nulpunktsomsætningen ligger ved en produktion på hhv.? og? Det betyder, at vi har overskud, når vi afsætter mellem Side 4 af 76

5 Ræsonnementskompetence: Opgavegenren angår primært forklaring/uddybning af matematiske beregninger. Det kan være i forhold til ligningsløsning, men man kan også forestille sig det fx er redegørelse for de enkelte trin i beregning af en funktions ekstrema, beregning af forskrift for en given funktion gennem to punkter og lignende. Løsningen er givet - opgaven går ud på at redegøre for de enkelte trin i løsningen. Eksempel 6b efterår 2011 Genrebeskrivelse / stilladsering I opgaverne skal vises, at man kan anvende matematiske formler, definitioner, sætninger og lign. i forklaringer eller redegørelser. Det kan være en del af et bevis, ligningsløsning eller evt. reducering af udtryk eller isolering af en parameter i en formel 1. Ved hvert enkelt trin angives hvilke regneregler, der benyttes 2. Anvendte formler vises evt. 3. Vær opmærksom på, det ikke er løsningen der er interessant (den er måske givet); men dine argumenter. Demonstrer hvad du ved og kan omkring emnet Brug fagbegreber og fagudtryk Eksamen Juni 2012 opgave 6b Det er ikke nok at skrive, hvis en løsning skal begrundes, hvad man kan se af beregningen - det er matematikken, der ligger til grund herfor, der skal nævnes Forestil dig, at du gennemgår opgaven for en, der aldrig har set opgavetypen før - det er vigtigt, du ikke tager den matematiske viden for givet. Du må fx ikke skrive: der reduceres. Det er hvordan, der reduceres, der skal forklares. Hvis du skriver nulreglen benyttes - så skriv evt., hvad nulreglen går ud på! Lav evt. en note, hvor du nævner, de omvendte funktioner, der reelt er spil ved ligningsløsning sum - differens -> differens- sum (+ til -, - til plus) produkt - division -> division - produkt (. - :, : -.) logaritme - eksponentiel -> eksponentiel - logaritme (ln(x) - e x, e x - ln(x)) kvadrere - kvadratrod -> kvadratrod - kvadrere ( x 2 -,, - x 2 ) kvadratsætninger. (a+b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 Side 5 af 76

6 Databehandlingskompetence Typiske opgaver, hvor redskab/hjælpemiddel er afgørende, er opgaver med diverse data, der skal anvendes til enten statistik, chi i anden test eller modelopstilling med xy-plot. Der tegner sig her en tendens med, at der er tale om tre bestemte undergenrer (sandsynlighedsregning - binomialfordeling, normalfordeling, konfidensintervaller og lign. kunne også placeres her; men her er valgt at sige den hører hjemme under hjælpemidler): Eksempel 8 forår 2012 (7 efterår 2011) Genrebeskrivelse / stilladsering (Statistik) I opgaven skal demonstreres, at data kan sorteres/tælles enten i regneark eller CAS-program. Præsenter opgaven! 1. Argumenter for hvorvidt det er hensigtsmæssig at arbejde med diskrete eller grupperede observationer 2. Foretag optælling/gruppering - beskriv kort teknikken, der er anvendt 3. Konkluder hvilke diagrammer der er aktuelle (jf. pkt. 1) Disk: pinde/trappe (cirkel) Grup: histogram, sumkurve (cirkel). Tegn disse (med CAS-program/Excel/Graph) Eksamen Juni 2012 opgave 7 Husk korrekte akser! 4. Udvælg de deskriptorer, du ønsker (og som du kan forklare i forhold til eventuel redegørelse) Hertil anvendes smartest CAS/Excel. Vis formler, der anvendes ved beregning af fx gennemsnit, hvis beregningen foretages manuelt. Vær opmærksom på, alle deskriptorer er ligeværdige, så det giver ikke mere, at vælge deskriptorer, der er avancerede. Det kan tvært imod resultere i mangelfulde forklaringer på, hvad disse viser. Side 6 af 76

7 Eksempel Opgave 9 efterår 2011 (opgave 10 forår 2012) Eksamen Juni 2012 opgave 10 Genrebeskrivelse / stilladsering (Chi i anden-test) I opgaven skal demonstreres, at data kan sorteres/tælles enten i regneark eller CAS-program. Desuden skal dokumenteres kendskab til opstilling af hypoteser, beregning af forventede værdier, chi i anden bidrag, p-værdi 1. Skriv kort om der pivoteres i regneark eller om sortering foregår i CAS. Detaljer om metoden skal ikke med 2. Lav skema - husk at lave det præcis, som det er vist i opgaven. 3. Opstil H 0 hypotese (uafhængighed) og H 1 hypotese afhængighed; men med ord i forhold til den konkrete opgave. (Køn har ingen betydning for Alderen er ikke afgørende for Politisk holdning har ikke ) 4. Anvend enten regneark (med skabelon til forventede værdier og chi i anden bidrag) eller CAS-program til bestemmelse af forventede værdier. Notér den anvendte celle - formel hertil og vis evt. eksempel ( ) 5. Vis (bestem) chi i anden værdierne. Vis formel hertil og evt. eksempel på en beregning. 6. Noter evt. antal frihedsgrader og formel (rækkesum-1)(søjlesum- 1) 7. Slå enten p-værdien op (Excel) eller aflæs værdien i CAS. 8. Konklusion: Hvis der er tale om et bestemt signifikansniveau vurderes i forhold hertil. Ofte er det 5 %. Hvis p-værdien er lille, altså under 5 %, siger vi, at forskellen er signifikant på signifikansniveauet 5 %. Det betyder: Hvis p-værdien er under 5 %, så forkastes H 0 hypotesen. Der er altså ikke uafhængighed. Hvis p-værdien er over 5 %, så accepteres H 0, og der kan konkluderes, at der er uafhængighed Side 7 af 76

8 Opgave 11 forår 2012 (opgave 8 forår 2011) Eksamen Juni 2012 opgave 9 Genrebeskrivelse / stilladsering (xy-plot) I opgaven skal demonstreres, at data fra regneark kan vises som xy-plot i Excel, CASprogram eller Graph Ofte følger herefter bestemmelse af en lineær, eksponentiel eller potensmodel 1. Skriv kort hvilket program du har anvendt til xy-plottet (Det kan være hensigtsmæssigt at anvende CAS, idet der kan efterfølgende være tale om nogle beregninger, hvor resultaterne fremkommer ved en enkelt kommando i programmet) 2. Se på vinduet! Er akserne i orden? Hvis der kun er tale om punkter i 1. kvadrant, så sørg for, at de øvrige kvadranter er minimerede. Sørg for enheder og benævnelser på akserne er ok. 3. Vis plottet - ikke som et frimærke; men stort og tydeligt. Undlad at spare på papiret 4. Med det valgte programmel bestemmes bedste model. Vær opmærksom på, at i matematik er kravene markant skrappere end i IØ og samfundsfag 5. Noter værdien af r 2 og kommenter herpå: 1 - perfekt model glimrende acceptabel 6. Modellen kommenteres - hvad viser denne? Her er det ikke den matematiske generelle model, der skal kommenteres; men i forhold til modellen. (Der er tale om en konstant tilvækst i omsætningen på og oprindelig var værdien ) (her har væksten relativt (procentvis) været ens - der er tale om et fald på ) 7. Hvis der skal beregnes fx forventede værdi, kan dette enten gøres manuelt ud fra den valgte funktionsforskrift eller i CAS hvor funktionen defineres og værdien fastlægges. 8. Husk konklusion på opgaven Side 8 af 76

9 Matematik Symbol og formalismekompetencen På B niveau er opgaver med symbol- og formalismekompetencen nedtonet i forhold til tidligere. Der accepteres notationer, der fra et strengt fagligt synspunkt ikke er helt efter bogen. Eleverne skal kende de basale funktioners forskrifter, regler for differentiation af polynomium og lign., hvilket bl.a. også testes i prøven uden hjælpemiddel Med CAS og IT- programmel flyttes denne kompetence mere og mere over på hjælpemiddelkompetencen, hvor fx rente og annuitetsopgaver ikke nødvendigvis løses ved brug af formler Genrebeskrivelse / stilladsering (Differentiationsregler, Opgave 11C forår 2012 forskrift for lineære og eksponentielle funktioner, renteformler ) I opgaven skal demonstreres, at de mest simple formler kendes Juni 2012 opgave 1 og kan anvendes. Ofte vil der fx kunne indgå et negativt tal, hvor der skal demonstreres, at der skal sættes parentes om denne værdi. Der er tale om paratviden, fx med f(x) = a. x n f (x) = n. a. x n-1 Opgave 2 forår 2012 Forkortelser Dm(f) Mængdeklammer ]2; [ Matematiske tegn: σ μ 1. Skriv opgaven op 2. Notér evt. den regel/formel, der skal anvendes, hvis den 100 % sikkert er korrekt. Alternativt anvendes formlen blot og løsningen skrives op 3. Forklar hvad formel/symbol står for (også selvom det virker indlysende. Tallet er ikke med, da Det er bredden Gennemsnittet ) 4. Husk konklusion på opgaven Side 9 af 76

10 Efterfølgende opgavetype er på længere sigt næppe relevant; men da rente- og annuitetsregning er C-stof, vil elever på valghold nok i en overgangsperiode anvende de formler, der blev præsenteret på første år Opgave 12A efterår 2011 Genrebeskrivelse / stilladsering (Rente og annuitetsregning) Her skal ofte vises, man kan vælge en bestemt formel og indsætte heri. Bemærk det er markant lettere at anvende enten regneark eller CAS-program Husk regneark kan anvendes til restgældsbestemmelse K K n = k 0. (1+r) n K 0 = r = n K K n 0 n ( 1 r) K n ln - 1 n = K 0 ln(1 r) n = K n. (1+r) -n n i = 1 r 1 Opgave 11C forår 2012 Eksamen juni B A n= y. A 0 = ( 1 r) n 1 r 1 y 1 r r n y = y = A r n. ( 1 r) n 1 A * r 0 1 (1 r) R g = K n A n = k. 0 (1+r) n - y. ( 1 r) n 1 r n = A n r ln 1 y ln 1 r A0 r ln 1 n : n = y ln 1 r 1. Skriv de relevante oplysninger fra opgaven 2. Redegør for om der er tale om rentesregning (I bank en gang dvs. K) eller annuitetsregning (i bank hver termin dvs. A) 3. Vurder om det er en nutidsværdi K 0 eller A 0 eller fremtidsværdi K n eller A n 4. De aktuelle formler noteres og oplysninger indsættes på de respektive pladser. (Husk fx 5 % = 0,05) 5. Beregningerne udføres. Side 10 af 76

11 Hjælpemiddelskompetence (redskab) Opgave 12B efterår 2011 Opgave 8 forår 2012 Genrebeskrivelse / stilladsering (sandsynlighedsregning/konfidensintervaller mv.) I opgaven skal demonstreres, at der kan anvendes enten Excel eller CAS-værktøj til bestemmelse af sandsynligheder, fraktiler etc., samt at du behersker et værktøj 1. Skriv først hvilket program du har anvendt til beregningerne 2. Konkluder dernæst, hvad det er, der er i spil Taler vi om sandsynligheder ved binomialfordeling? Taler vi om fraktiler ved en normalfordeling? Er det konfidensinterval, der skal beregnes? Er der tale om en normalfordeling - standardiseret? Hvis test: Noter om standardafvigelsen er kendt ((Z) eller ukendt (T) Er det chi i anden test? 3. Skriv eventuelle formler, der skal anvendes, op. (Også gerne selv om der anvendes CAS. Notér da, at formlen kunne anvendes) 4. Brug herefter CAS -program til beregningen. Skriv hvad der beregnes og testen så som P(x>7000) H 0 : Der er uafhængighed mellem køn og rygevaner H 0 : = 0 = Vurdér om beregningen ser korrekt ud - kommenter herpå og konkludér med ord. Det er ikke nok at aflevere indtastninger 6. Se på opgaveformuleringen. Skriv svar på spørgsmålet. Side 11 af 76

12 Tankegangskompetence Eksamen Juni 2012 opgave 11B Genrebeskrivelse / stilladsering (rente- og annuitetsregning) I opgaven skal demonstreres, at der ud fra teksten kan bestemmes hvilke formler (rente eller annuitet) der skal i spil. Der skal indledningsvist to spørgsmål, hvor svaret er afgørende for valget. Ofte følger herefter bestemmelse af en lineær, eksponentiel eller potensmodel 1. Notér først, de oplysninger, der skal anvendes fra opgaven, så som r= 2. Skriv kort, hvilken formel der er aktuel. Argumentér evt. i to trin: a. Er der tale om et beløb der indsættes en gang? (Kapital) eller beløb, der indsættes hver termin? (annuitet) Eller: Indgår der en ydelse (annuitet) eller ej (Kapital) b. Det beløb, der er aktuelt, er det en fremtidsværdi (n) eller en nutidsværdi (0) Der kan nu konkluderes: K 0, K n, A 0, A n Hvis det er restgælden midt i et forløb, der skal bestemmes, kan enten anvendes amortiseringsplan i regneark eller restgældsformlen. K K n = k 0. (1+r) n K 0 = A n= y. ( 1 r) n 1 r n ( 1 r) A 0 = n = K n. (1+r) -n 1 y R g = K n A n = k. 0 (1+r) n - y. ( 1 r) n 1 r 1 r r 3. Den valgte formel skrives op, og de oplyste værdier indsættes i formlen, hvorefter beregningen udføres. Husk: r i formlerne skal skrives som tal. Dvs. ½ % = og 4 % = 0.04 Det er OK at anvende CAS-programmer og/eller regneark. 4. Konkludér på beregningen. Det er ikke nok bare at sætte ind i formlen. n Side 12 af 76

13 Problembehandlingskompetence Eksamen Juni 2012 opgave 5 Genrebeskrivelse / stilladsering - opgaven knyttes ofte til andre kompetencer også I opgaverne skal man vise, at man kan opstille og løse problemer, samt forholde sig til løsningen af problemer, det kan være såvel i modelleringsopgaver som i ren matematik. Til eksamen vil det ofte være modellering 1. Notér først de nødvendige oplysninger fra opgaveteksten 2. Rids herefter op, hvad der skal bestemmes, beregnes, løses. 3. Hvis det fx er lineær programmering, så notér evt. om der skal minimeres eller maksimeres. Skriv herefter, der er tale om en bestemt løsningsmetode. (Husk dog, at det optimale punkt kan bestemmes såvel ved Niveaulinjer som hjørneinspektion. Sidstnævnte er især aktuelt, hvis polygonområder ER tegnet op) Er det funktionsundersøgelse (fx til bestemmelse af maksimalt DB, nulpunktsomsætning eller lign.) så skriv, der er reelt er tale om bestemmelse af nulpunkter/ekstrema. Dette gøres ved at opstille ligninger og løse disse. (Det er OK at anvende CAS hertil, hvis det er med hjælpemiddel) Det kan også være en hypotesetest, der er i spil. Kan en virksomhed fx købe et bestemt produkt, når en stikprøve viser ) 4. Det er vigtigt at huske, det IKKE er svaret, der er interessant; men argument for løsningen. 5. Husk konklusion på opgaven Side 13 af 76

14 Repræsentationskompetence Eksamen Juni 2012 opgave 2 Opgavesæt 2 forår 2012 Genrebeskrivelse / stilladsering (grafer-tabeller-forskrifter) I disse opgaver skal man demonstrere forståelse for og anvendelse af forskellige repræsentationer af fx funktionsudtryk (tabel, graf, forskrift) og kunne forbinde repræsentationerne og oversætte i mellem dem. Samt afgøre hvilke styrker og svagheder en repræsentation har. 1. Som altid noteres først de nødvendige oplysninger fra opgaveteksten - og dermed en kategorisering af opgavetypen. Det er oftest enten deskriptiv statstik eller funktioner. 2. Hvis statistik: En tabel (data i regneark) kan vises i et diagram. Her er det afgørende at vælge et diagram, der viser noget - og det korrekte diagram. Husk vi arbejder primært med 2 diagrammer indenfor hver type (diskrete-grupperede) Hvis funktion, så skal man vise, man kan fx tegne en graf ud fra en forskrift - i et fornuftigt koordinatsystem. Eller at man kan ræsonnere sig frem til, hvordan grafen for en given funktions afledte (differentierede) ser ud. Det kan også være, der skal kobles mellem en graf og fx fordoblingstid. Endelig kan det være man bare skal tegne en graf ud fra givne oplysninger 3. Det afgørende er som altid ikke svaret - men argumentationen for svaret. 4. Skriv en præcis konklusion - har du svaret på spørgsmålet? Side 14 af 76

15 Modellering Eksamen Juni 2012 opgave 8 Genrebeskrivelse / stilladsering - tekstopgaver i relation til andre fag Her skal man vise, der kan kobles fra virkeligheden til matematik - og retur. Principielt er der tale om en firefasemodel Opgaven går ud på at lave en korrekt kobling Det er i disse opgavetyper, hhx profilen ses, så der er tale om problemtikker i relation til vø, iø, afsætning, samfundsfag. Der anvendes ofte også fagbegreber fra disse fag (DB, Ginikoefficient, Lorenzkurve, ligevægtspris, elasticitet..) Det er IKKE nødvendigt at kende begreberne da alle nødvendige informationer fremgår af teksten. 1. Skriv de relevante informationer fra opgaven 2. Diagnosticer evt. opgaven - hermed menes: Skriv hvilken matematik, der skal i spil. Det kan være: Lineær programmering, funktionsanalyse, differentialregning, ligningsløsning 3. Skriv kort, hvad der skal til for at løse problemet - altså oversæt til matematik. 4. Definer: hvad er x? Hvad er f(x)? Hvorfor differentieres (ekstrema - dvs. f (x) = 0, nulpunkt dvs. f(x) = 0, skæringspunkt: dvs. to ligninger med to ubekendte etc.) 5. Løs opgaven 6. Vurdér om løsningen ser fornuftig ud! Kan der produceres 5000 biler? Går der 55 år? Hvis ikke, så kommenter herpå, frem for kritikløst at skrive løsningen. 7. Kontroller gerne med graf? 8. Konkluder med et tekstsvar. En tekstopgave kræver et tekstsvar. Side 15 af 76

16 Bilag M3Forsøg på genrebeskrivelse i matematik - omfattende omend kun påbegyndt? Opgavegenrer i matematik - udkast: Skrivehandling Opgavegenre Eksempel 1 Løse (ligning) + formelindsætning Ligningsløsning a) x 2 -x-2=0 b) ln(2x-1)(x+3)=0 2 Differentiere Formelanvendelse og a) f(x) = 2x 3 -x 2 +5x-4 beregning 3 Analysere + Differentiere + Løse ligning + Formelanvendelse 4 Bevise+ Ligningsløsning + Differentiere+ ræsonnere 5 Formelanvendelse+ Forklare + Ræsonnere Funktionsanalyse og beregning (Nulpunkter Fortegnsvariation Ekstrema Monotoniforhold Punkt med vendetangent Tangentligninger) Bevis Finansiel analyse og beregning a) Bestem ekstremaer for funktionen f(x) = -2x 3 -x 2 +5x-4 b) Bestem tangentligning for funktionen f(x) = x 3-2x 2 +2e x i punktet (1, f(1)) a) Bevis x- koordinaten for toppunktsformlen for en parabel, f(x) = ax 2 +bx + c, idet differentialkvotienten for f(x) ikke skal udledes a) Gennem 10 år indbetales kr. 800,- om året på en konto. Renten er på 2 % p.a. Bestem det opsparede beløb efter 10 år 6 Formelanvendelse+ Beregning+ Ræssonnere+ Forklare 7 Ræsonnere+ Beregne+ Forklare+ Modellering m. funktionsanalyse og beregning Statistisk analyse og beregning a) En virksomhed afskriver efter saldometoden med 30 % p.a. Inventarets nyværdi er kr Bestem bogført værdi efter 4 år. a) En analyse viser, at 45 % læser sms under bilkørsel. 50 billister stoppes. Hvor stor er sandsynligheden for at det er Side 16 af 76

17 færre end 20, der læser sms er? NB: IT anvendelsen kan være vanskelig at se i efterfølgende. Hvis elektronisk så vælg 200 %. Der findes cas- og it-filer hertil Side 17 af 76

18 G 1 L I G N I N G S L Ø S N I N G Matematik Skabelon hånd Forklarende tekst Skabelon IT Forklarende tekst Skriv ligningen op Isolér x med anvendelse af gældende regneregler (notér benyttede regler) Ex: a) Givet ligningen: x 2 -x-2=0 x 2 -x-2=0 x= x=-1 V x = 2 L = {-1, 2} b) Givet ligningen: ln(2x-1)(x+3)=0 2x-1>0 x>½ ln(2x-1)(x+3)=0 for x>½ ln(2x-1) = 0 V x+3 = 0 2x-1 = e 0 =1 V x = -3 2x = 1 + 1= 2 V x = -3 X = 1 V x = -3 L = {1} HUSK: Hvis irr. funktion: Undersøg grundmængde Skriv hvilken teknik/formel der anvendes for at isolere x Forklar de enkelte trin i ligningsløsningen Konkluder: Skriv løsningen op a) Der er tale om en andengradsfunktion, hvorfor nulpunktsformlen anvendes Da diskriminanten er positiv er der to løsninger til ligningen b) Der er tale om en funktion med ln, dvs grundmængden skal fastlægges Der er tale om en produktfunktion, så nulreglen anvendes - dvs. hver side løses for sig Omvendte til ln er e x Ethvert tal i 0 te giver 1-3 er ikke indeholdt i grundmængden så den løsning forkastes Skriv ligningen op Anvend programmets løsningsfaciliteter Angiv hvilket program, der anvendes Skriv hvad programmets notation betyder i matematisk og almindeligt sprogbrug Skriv konklusion - løsning a) Ligningen løses med Nspire Der anvendes ligningsløsning, solve. Der oplyses der er to løsninger b) Ligningen løses med Nspire Der anvendes ligningsløsning, solve. Der er tale om en funktion med ln, dvs grundmængden skal fastlægges -3 er ikke indeholdt i grundmængden, så den løsning forkastes 2 Skriv funktionsforskriften Angiv evt. funktionstype og Skriv funktionsforskriften op Angiv hvilket program, der anvendes Side 18 af 76

19 F O R M E L A N V E N D E L S E Differentier funktionen a) f(x) = 2x 3 -x 2 +5x-4 f (x) = 6x 2-2x + 5 differentieringsregler (polynomium, irr. funktion, produktfunktion): a) Der er tale om et polynomium, hvor hvert led differentieres for sig f(x)=ax n f (x) =nax n-1 Definér funktionen i programmet Anvend programmets differentieringsfacilitet - eller beregn det selv (hvis det er en simpel funktion) Skriv hvad programmets notation betyder i matematisk og almindeligt sprogbrug Skriv konklusion a) Nspire anvendes f(x) defineres i programmet Nspire anvender skabelonen til differentiering f (x) er hermed bestemt Side 19 af 76

20 3 F U N K T I O N S A N A L Y S E Skriv funktionsforskriften Undersøg og notér hvilket element i funktionsanalysen, der er aktuelt Nulpunkter : løs ligning f(x) = 0 Fortegnsvariation: Bestem fortegn for f(x) ved først at bestemme nulpunkter Ekstrema: differentier funktion og løs ligningen f (x) = 0 Monotoniforhold: differentier funktionen og løs ligningen f (x) = 0 Fastlæg fortegn for f (x) Husk angives i intervaller hvor f er voksende og/eller aftagende Vendetangent: Bestem f (x) og løs ligningen f (x) = 0 a) Bestem ekstremaer for funktionen f(x) =- 2x 3 -x 2 +5x- 4 f (x) = -6x 2-2x+5 f (x = 0-6x 2-2x+5 = 0 x= x= Angiv evt. funktionstype og differentieringsregler (polynomium, irr. funktion, produktfunktion). Skriv tydeligt hvad det er, der skal bestemmes/beregnes - og hvilke analyseelementer, der indgår heri Notér anvendte formler til beregning a) Ekstremaer findes evt. hvor der er vandret tangent - dvs. hvor f (x) = 0. Funktionen skal derfor differentieres hvorefter ligningen f (x) = 0 løses Der er tale om et polynomium, hvor hvert led differentieres for sig f(x)=ax n f (x) =nax n-1 Til løsning af andengradsligninger anvendes nulpunktsformlen: Skriv funktionsforskriften op Definér funktionen i programmet Anvend programmets løsnings- og differentieringsfaciliteter eller evt. graffaciliteter (gerne kombination) Grafen viser beregningen er korrekt Angiv hvilket program, der anvendes Skriv hvad programmets notation betyder i matematisk og almindeligt sprogbrug Skriv konklusion a) Nspire anvendes f(x) defineres i programmet Nspire anvender skabelonen til differentiering Til løsning af ligninger anvendes solve f (x) er hermed bestemt f (x) = 0 løses Da vi har en 3. gradsfunktion med to ekstremaer og en negativ a-værdi ved vi funktionens monotoniforløb er: Aftage - vokse - aftage Første ekstrema er derfor minimum og det næste maksimum b) b) Nspire anvendes I Nspire er der en speciel menu til beregning af tangenters ligning Side 20 af 76

21 b) Bestem tangentligning for funktionen f(x) = x 3-2x 2 +2e x i punktet (1, f(1)) f (x)= 3x 2-4x + 2e x f (1) = e 1 = f(1) = e 1 = Vi får da: T 1: y= Tangentligningen kan findes på flere måder. En af metoderne er ved indsættelse i forlen til tangentligninger: T x0 : y=f (x 0 )(x-x 0 )+f(x 0 ) Vi skal derfor beregne:: f (x), f (1) samt f(1) da disse værdier skal indsættes i formlen f (e x ) = e x TangentLinie(f(x),x,x 0 ) Hvis f er defineret er tangentens ligning derfor meget let at bestemme Tangentens ligning I(1,f(1)) er derfor: y= x eller y = (2e-1)x Side 21 af 76

22 4 B E V I S Skriv, hvad der skal bevises Hvilken sætning, formel. a) Bevis for, at x-værdien for toppunktsformlen for en parabel er givet ved x = f(x) = ax 2 + bx + x f (x) = 2ax + b f (x) = 0: 2ax + b = 0 2ax = - b x = Dette er netop formlen for toppunktets x-værdi Angiv hvilke regneregler og formler, der benyttes når beviset skal udledes Fortæl hvordan beviset vil blive grebet an a) Toppunktets for en parabel kan bevises på flere måder. Man kan fx finde midtpunktet mellem nulpunkterne for en parabel, idet toppunktet ligger på den lodrette symmetriakse. Her vil blive anvendt at toppunktet ligger hvor tangenthældningen (altså f (x)) giver 0. Funktionen differentieres derfor - dvs f (x) beregnes. Herefter løses ligningen f (x) = 0 Den fundne værdi angiver toppunktets x-koordinat Vi anvender følgende differentieringsregler: Hvis f(x) = g(x) + h(x) så er f (x) = g (x) + h (x) samt f(x) =ax n så er f (x)=nax n-1 a) Beviser foretages ved tavlen; men man kan principielt godt anvende cas-værktøj i processen Der skal så de samme forklaringer til som ved håndarbejde Angiv hvilket program, der anvendes Forklar hvad programmets notation betyder i matematisk og almindeligt sprogbrug a) Nspire anvendes f(x) defineres i programmet Nspire anvender skabelonen til differentiering Til løsning af ligninger anvendes solve QED (Quod erat demonstrandum) Hermed bevist W 5 (Which was what we wanted) f(x) differentieres f (x) sættes lig med 0 Ligningen f (x) = 0 løses, dvs x isoleres Side 22 af 76

23 5 F I N A N S I E L A N A L Y S E Skriv de nødvendige informationer op (termin, rente, beløb) Indsæt i formlen (husk 3%=0,03) Husk konklusion a) Givet: opspares hvert år et beløb r = 2% = 0,02, n = 10, y = 800 A n = 800 (1,02) , 78 0,02 Det opsparede beløb vil således være på ca. kr 8759,78 efter 10 år Redegør først for om det er 1) Rente (K) eller annuitet(a) 2) Nutid (0) eller fremtid (n) Notér de formler, der er aktuelle Principielt er der tre: K n = K 0 (1 + r) n A n = y A 0 = y a) ( 1 r) n 1 r n 1 (1 r) r Da der er tale om en ydelse hvert år, har vi annuitetsregning. Det er en fremtidsværdi, der skal beregnes - dvs til tiden n. A n skal derfor anvendes. De respektive værdier indsættes i formlen. Skriv informationerne fra opgaven op Redegør for, om der anvendes 1) Program med N, I, NV, PMT, FV og hvad disse står for 2) Formler - som ved håndværk og dermed lignignsløsning. (Forklar dette) 3) Funktionsudtryk tvm.. Husk konklusion a) Angiv hvilket program, der anvendes Forklar, hvad programmets notation betyder i matematisk og almindeligt sprogbrug a) CAS-programmet Nspire anvendes. I finansmenuen anvendes tvm(fv) Time value money - future value Ved indsættelse i menuen fremkommer svaret Principielt ville det være ligeså hurtigt bare at indsætte i formlen for A n Side 23 af 76

24 6 M O D E L L E R I N G F U N K T I O N S A N A L Y S E Notér de nødvendige informationer og argument for eventuelle funktionsforskrifter/formler. Husk tekstsvar a) Afskrivning efter saldometoden med 30 % p.a. Nyværdi kr Bogført værdi efter 4 år? Der kan opstilles følgende funktion: f(x) = ,7 x, x>0 nyprisen =b, a=100%-30%=70% x=tid efter køb Vi får: f(4) = = Den bogførte værdi af inventaret er efter 4 år på kr. Påpeg der er tale om modellering - og angiv hvilke(n) funktion, der evt. er i spil. Hvis formler anvendes noteres disse også. Forklar eventulle mellemregninger a) Der er tale om et udviklingsforløb med en procentvis ændring, dvs. en eksponentiel funktion f(x) = b. a x f(x): bogført værdi til tiden x b: begyndelsesværdi a: frem- afskrivningsfaktor (1+%) De oplyste værdier indsættes i forskriften Vi beregner f(4), der netop er den bogførte værdi efter fire år Notér de nødvendige informationer fra opgaven. Skriv eventuelle funktionen og definer i programmet Anvend programmets løsnings- og differentieringsfaciliteter eller evt. graffaciliteter (gerne kombination). a) Angiv hvilket program, der anvendes Forklar, hvad programmets notation betyder i matematisk og almindeligt sprogbrug a) Programmet Nspire er anvendt. Her kan man definere en funktion f(x), hvorefter fx grafer kan tegnes automatisk og funktionsværdier kan beregnes. Der kan ligeledes opstilles en tabel, der vedrører funktionen Her vises to metoder til fastlæggelsen af den bogførte værdi Forskrift og f(4) samt Graf og tabel. I tabellen fremgår resultatet ud for x = 4 Side 24 af 76

25 Bilag M4 Kompetencerepræsentation i eksamensopgaver Kompetencerepræsentation efterår 2011 i eksamensopgaver vejledende opgavesæt 1 mat B 1 Bemærk: Opgavesættene er opbygget sådan, at hvert delspørgsmål indgår med samme vægt Opgave 1 til 5 er fra delprøven uden hjælpemiddel (1 time) og de resterende opgaver fra delprøven med hjælpemiddel. I delprøven med hjælpemiddel er sidste opgave en valgfri opgave, hvor der kan vælges mellem 2-3 opgaver Opgave 1 (5 %) Funktionen f - 3. gradspolynomium, er givet. Bestem f (x) Symbol- og formalismekompetence, da eleverne skal demonstrere, de kender formlen til differentiation af polynomier (paratviden) Opgave 2 (5 %) Omkostningerne ved en produktion af en vare kan beskrives ved en lineær funktion, hvor x angiver mængde i stk. og f(x) omkostningerne i kr. Det oplyses - tabel med talpar Modellering og repræsentationskompetence, da eleverne skal kunne se sammenhæng mellem en funktionsforskrift og en tabel. Samtidig er opgaven knyttet til viden fra erhvervsøkonomi Opgave 3 (5 %) Undersøg om x = 1 er løsning til ligningen..( 3. grad) Tankegang repræsentationskompetence, da eleverne skal vide at man kan dokumentere at en løsning er korrekt ved at indsætte den oplyste løsning. Eleverne kan ikke løse ligningen manuelt. Opgave 4 (5 %) Prisen på en vare vokser eksponentiel, som vist på figuren (Graf med tydelige enheder) Bestem fordoblingstiden for varens pris Modellering og repræsentationskompetence 2, da opgaven er en tekstopgave, der relaterer sig til VØ og samtidig skal eleverne kunne tolke grafen i forhold til forståelse af begrebet fordoblingstid 1 Se i øvrigt Bilag vedrørende Tanker med de vejledende opgavesæt Side 25 af 76

26 Opgave 5 (5 %) For en vare A er sammenhængen mellem efterspørgsel og stykpris bestemt ved funktionen Sammenhængen mellem udbud og stykpris er bestemt ved funktionen Sammenhængene vises såvel ved funktionsforskrifter som grafer. Bestem ligevægtsprisen Modellering, repræsentations- og tankegangskompetence, da opgaven angår en problematik i relation til VØ, der er vist såvel forskrifter som grafer og endelig skal der foretages beregning af skæringspunkt (der ikke kan aflæses præcist) 2 Dette skal vendes med kolleger Man kan koble opgaven sammen med flere andre kompetencer Side 26 af 76

27 Opgave 6 (10 %) a. Reducer udtrykket ved hjælp af et CAS-værktøj Hjælpemiddelskompetence, da eleverne skal demonstrere, at de kan anvende et CAS-værktøj b. Ligningen.. er løst nedenfor. Forklaring til følgende linjer skal gives. Kommunikations- og ræsonnementskompetencen idet der ikke skal regnes, men forklares. Samtidig skal angår redegørelsen de ræsonnementer, der ligger bag de enkelte trin i ligningsløsningen Opgave 7 (15 %) a. Forsikringsselskabet har 88 sælgere Nedenstående tabel viser udsnit af data, som findes i filen kundebesøg.. Lav en grafisk præsentation, som beskriver fordelingen (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal man demonstrere, at man ved hvordan der hensigtsmæssigt ud fra en tabel kan laves en grafisk præsentation (pindediagram eller trappediagram); men samtidig skal man vise, man behersker en optællingsstrategi i Excel (om det er Excel der foretager optællingen eller det sker manuelt skal ikke dokumenteres) b. Fordelingen kan beskrives ved forskellige deskriptorer som fx.. Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS og/eller regneark til statistikberegninger. Hvis fx gennemsnit beregnes anvendes enten programmel eller formel hertil c. HR-chefen vil skrive et indlæg i internt blad. Skriv ud fra dine svar i a og b er kort indlæg hvor du.. Kommunikationskompetence, idet eleverne her skal demonstrere, at de kan skrive kontekstuafhængigt og med en bestemt målgruppe for øje. De skal oversætte mellem matematikkens diskurs og hverdagssproget. Opgave 8 (10 %) a. tabellen nedenfor viser et udsnit af danske firmaers indenlandske salg.. Samtlige data er gengivet i filen indenlandsk salg. Lav et xy-plot af data (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal eleverne demonstrere, at de ved hvordan der hensigtsmæssigt ud fra en tabel kan laves en grafisk præsentation); og vise, de behersker et programmel, der kan vise xy-plot (GRAPH; Excel, CAS) b. Opstil en lineær model der kan beskrive udviklingen (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt modelleringskompetence. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS/Graph og bestemme (med regression) en matematisk model. Opgave 9 (15 %) Side 27 af 76

28 a.kommunikationsbureauerne.. gennemførte en undersøgelse personer blev spurgt om deres køn og foretrukne medie. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen mediemonitor Konstruer et skema som nedenstående (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence. Her skal eleverne vise, at de ved hvordan de kan sortere i data og foretage optællen (Enten pivottabel i Excel eller via CAS b. Der skal undersøges, om der er uafhængighed mellem køn og medie. Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese og bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS og/eller regneark til beregning af Chi i anden test. c. Bestem χ 2 -teststørrelsen og vurder om der er uafhængighed (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, kommunikation og ræssonnemtskompetence. Eleverne skal her demonstrere, at de med det rette værktøj kan beregne χ 2 -teststørrelsen, samtidig skal de ud fra de fundne data kunne ræsonnere sig frem til en konklusion Opgave 10 (10 %) a. Omkostningerne C ved en produktion af en vare kan.. Hele produktionen kan afsættes, derfor er omsætningen Overskuddet bestemmes som overskud = omsætning - omkostning Gør rede for, at overskuddet P kan beskrives ved funktionen P(x) = og bestem ved hvilken afsætning overskuddet er størst Modelleringsskompetence, symbol og formalisme og ræsonnement (evt. hjælpemiddel). Opgaven angår VØ. Eleverne skal vise, de kan håndtere formler (der skal sættes en minusparentes og ændres fortegn) eller anvende CAS-værktøj. Til bestemmelse af maksimum skal de ræsonnere sig frem til f (x) skal give 0 eller anvende programmel hertil b. Bestem intervallet for afsætningen hvor overskuddet er positivt Modelleringsskompetence, Problembehandling og tankegang (evt. hjælpemiddel). Opgaven angår VØ. Eleverne skal vise, de kan opstille en ulighed og løse denne enten via programmel eller håndtere formler Opgave 11A (10 %) a. En nystartet virksomhed opretter et lån, der tilbagebetales. Redegør for, at den månedlige ydelse er Hjælpemiddel- og tankegangskompetence (evt. symbol- og formalisme). Opgaven angår rente- og annuitetsregning. Eleverne kan vælge at gøre brug af formler og indsætte heri - alternativt kan anvendes CAS/Excel. For at løse opgaven b. Bestem restgælden umiddelbart efter betaling af.. Hjælpemiddel- og evt. symbol- og formalisme. Her kan fx anvendes regneark med amortiseringsplan eller restgældsformlen. Side 28 af 76

29 Opgave 11B (10 %) a. Kommunikationsbureauerne gennemførte en undersøgelse personer blev spurgt om deres køn og foretrukne medie. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen mediemonitor Den stokastiske variabel X er binomialfordelt X b(n,p), hvor p angiver.. Estimer andelen p Formel og symbolkompetence. Her skal eleverne vise, at de kan tolke matematisk symbolsprog og efterfølgende anvende en formel b. En tidligere undersøgelse viser Bestem et 5 % -konfidensinterval for andelen p og vurder om Hjælpemiddelskompetence, samt formel og symbol. Her skal enten Excel eller et CAS-program anvendes/en formel. Side 29 af 76

30 Kompetencerepræsentation forår 2012 i eksamensopgaver vejledende opgavesæt 2 mat B 3 Opgave 1 (5 %) Gør rede for at X = 2 er løsning til ligningen Tankegangskompetence, da eleverne skal vise, at man kan dokumentere at en løsning er korrekt ved at indsætte den oplyste løsning. Alternativt kan ligningen løses, da den er af en sådan beskaffenhed, at den kan løses uden hjælpemiddel Opgave 2 (5 %) Tegn grafen for funktionen f, idet det oplyses at Dm, Vm, monotoniforhold Repræsentationskompetence, da eleverne skal kunne se sammenhæng mellem en funktionsforskrift og en graf Opgave 3 (5 %) En virksomhed har anskaffet en maskine, der afskrives over 8 år. Værdien kan fastsættes ved den lineære funktion V(x) = Forklar betydningen af tallene i forskriften Modelleringskompetence, da der er tale om en tekstopgave, der knytter sig til afskrivning efter den lineære metode i VØ Opgave 4 (5 %) Funktionen f - 3. gradspolynomium, er givet. Bestem f (x) Symbol- og formalismekompetence, da eleverne skal demonstrere, de kender formlen til differentiation af polynomier (paratviden) Opgave 5 (5 %) En virksomhed afsætter hele sin produktion. Omkostningerne er givet ved forskriften, Break-evenpunktet angiver hvor de samlede omkostninger og omsætningen er lige store Bestem break-evenpunktet. (Graf for omsætning og de samlede omkostninger er vist. Værdien kan ikke aflæses præcist) Modellering (ligning + beregning) + repræsentationskompetence, da der er tale om en tekstopgave der indeholder begreber fra VØ. Funktionerne er vist som såvel graf som forskrift. Opgave 6 (10 %) a. Reducer udtrykket ved hjælp af et CAS-værktøj Hjælpemiddelskompetence, da eleverne skal demonstrere, at de kan anvende et CAS-værktøj b. Ligningen.. er løst nedenfor. Forklaring til følgende linjer skal gives. 3 Kategoriseringen af opgaverne er ligeledes diskuteret med Jane Brandsborg, Learnmark Horsens, Hans Mortensen og Tina Nørrelykke, Skive, og Tina Sneholm Andersen, Tietgenskolen Side 30 af 76

31 Kommunikations- og ræsonnementskompetencen idet der ikke skal regnes, men forklares. Samtidig skal angår redegørelsen de ræsonnementer, der ligger bag de enkelte trin i ligningsløsningen Opgave 7 (5 %) Overskuddet P for en produktion kan bestemmes ved en funktion med forskriften Bestem i hvilket interval overskuddet er positivt Modellering, hjælpemiddel - og repræsentationskompetence (forskrift-graf) idet der skal demonstreres forståelse af sammenhængen mellem funktionens forskrift og graf/nulpunkter. Opgaven er en tekstopgave med begreber fra VØ - endelig er det oplagt at anvende CAS-program (eller formel/symbol) hertil Opgave 8 (20 %) a. Tønder festival lavede en undersøgelse af 526 festivalsgæster forbrug på festivalen. Dataene fremgår af filen festival Lav en grafisk præsentation af dataene (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal man demonstrere, at man ved hvordan der hensigtsmæssigt ud fra en tabel at udarbejde en grafisk præsentation (histogram eller sumkurve); men samtidig skal man vise, man behersker en optællingsstrategi i Excel og ikke mindst en grupperingsmetode. (Om det er Excel/CAS der foretager optællingen eller det sker manuelt skal ikke dokumenteres) b. Fordelingen kan beskrives ved forskellige deskriptorer som fx.. Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS og/eller regneark til statistikberegninger. Hvis fx gennemsnit beregnes anvendes enten programmel eller formel hertil c. Antag at det beløb, der blev brugt, er normalfordelt med et gennemsnit på og en spredning σ på.. Gør rede for at sandsynligheden for at en festival gæst højest bruger Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol da eleverne skal kunne anvende enten Excel eller CAS-program eller sandsynllighedspapir til løsning af opgaven. Samtidig skal de være i stand til at tolke tegnene of formlen. d. Skriv ud fra dine svar i a, b og c en kort konklusion til ledelsen af Tønder Festival og redegør for hvad dine beregninger viser. Kommunikationskompetence, idet eleverne her skal demonstrere, at de kan skrive kontekstuafhængigt og med en bestemt målgruppe for øje. De skal oversætte mellem matematikkens diskurs og hverdagssproget. Opgave 9 (5 %) Side 31 af 76

32 Forskriften for en funktion er givet ved f(x) = (polynomium af 3. grad) Bestem f (x) og gør brug heraf til bestemmelse af funktionens to ekstrema Hjælpemiddel og/eller formel symbolkompetence/tankegang, idet eleverne enten skal kunne anvende CAS program til beregning af f (x) og herefter bestemme ekstrema (evt. vha. graf). Alternativt kan funktionen differentieres manuelt og 2. gradsligningen løses med nulpunktsformlen. Eleverne skal vide, ekstrema findes hvor f (x) giver 0 - dvs. kunne ræsonnere Opgave 10 (15 %) a. En virksomhed producerer varer på to maskiner og opdeler produktionen i 1. og 2. sortering. Virksomheden vil undersøge om kvaliteten afhænger af hvilken maskine, der er brugt, så de udtager en stikprøve af produktionen. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen maskiner Konstruer et skema som nedenstående (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence. Her skal eleverne vise, at de ved hvordan de kan sortere i data og foretage optællen (Enten pivottabel i Excel eller via CAS b. Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese og bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS og/eller regneark til beregning af Chi i anden test. Evt. beregnes forventede værdier med en formel herfor c. Kan det antages, at der er uafhængighed mellem kvalitet og maskine? (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence og tankegangskompetence. Eleverne skal her demonstrere, at de med det rette værktøj kan beregne χ 2 -teststørrelsen, samtidig skal de ud fra de fundne data kunne ræsonnere sig frem til en konklusion Opgave 11 A (10 %) a. På findes en oversigt over kvadratmeter pris og Nedenstående oversigt viser et udsnit heraf. I filen boliger findes data.. Lav et xy-plot af dataene (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal eleverne demonstrere, at de ved hvordan der hensigtsmæssigt ud fra en tabel kan laves en grafisk præsentation); og vise, de behersker et programmel, der kan vise xy- plot (GRAPH; Excel, CAS) b. Udviklingen af prisen kan beskrives ved en model f(x) = ba x Estimer en model og bestem værdien af parametrene a og b (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, modellerings- og formel-symbolkompetence (kommunikation. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS/Graph og bestemme (med regression) en matematisk model. Samtidig skal de kunne oversætte den eksponentielle model til hverdagssprog, hvor værdierne skal fortolkes (forklares). For at kunne dette, skal eleverne have forståelse for formlen (forskriften) for denne funktionstype Opgave 11 B (10 %) Side 32 af 76

33 a. En virksomhed producerer to lommelygter Dækningsbidraget er hhv. kr Funktionen F(x,y) = ax + by angiver det samlede DB Bestem forskriften for funktionen Modelleringsskompetence, symbol. Opgaven angår VØ og lineær programmering. Eleverne skal vise, de kan oversætte VØ til matematik og opsætte en simpel forskrift b. Produktionen er underlagt en række betingelser givet ved følgende. Disse resulterer i polygonområder, der er vist her. Bestem det størst mulige samlede DB Modelleringsskompetence og tankegang. Opgaven angår VØ. Eleverne skal vise, de enten kan beregne værdier i hjørnepunkterne eller tegne niveaulinjer der maksimeres. Spørgsmålet angår ikke produktionssammensætningen; men beregning af DB, så der skal argumenteres for metode og konkluderes. Tankegangen ved løsningen skal fremgå Opgave 11C (10 %) a. Ludvig indsatte følgende beløb på en konto, som. Redegør for, at Ludvig kunne hæve. Formel og symbol samt hjælpemiddel. Opgaven angår rente- og annuitetsregning. Eleverne kan vælge at gøre brug af formler og indsætte heri - alternativt kan anvendes CAS/Excel. For at løse opgaven b. Bestem den gennemsnitlige rente Formel og symbol samt hjælpemiddel da, formlen for gennemsnitlig rente skal i spil - alternativt kan man ræsonnere sig frem til svaret Prøven med hjælpemiddel har følgende kompetencer i spil: Sæt 1: Hjælpemiddelskompetence - Kommunikations- og Ræsonnement (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol. Kommunikationskompetence (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt modelleringskompetence. (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence. (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt formel og symbol. (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, kommunikation og ræssonnemtskompetence. Modelleringsskompetence, symbol og formalisme og ræsonnement (evt. hjælpemiddel). Modelleringsskompetence, Problembehandling og tankegang (evt. hjælpemiddel). Hjælpemiddel- og tankegangskompetence (evt. symbol- og formalisme). og formalisme Formel og symbolkompetence. Hjælpemiddelskompetence, samt formel og symbol. Hjælpemiddel- og evt. symbol- Side 33 af 76

34 Sæt 2: Hjælpemiddelskompetence Kommunikations- og ræsonnementskompetencen Modellering, hjælpemiddel - og repræsentationskompetence (forskrift-graf) (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol. Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol Kommunikationskompetence Hjælpemiddel og/eller formel symbolkompetence/tankegang (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence. (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt evt. formel og symbol (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence og tankegangskompetence (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, modellerings- og formel-symbolkompetence (kommunikation) Modelleringsskompetence, symbol. Modelleringsskompetence og tankegang. Formel og symbol samt hjælpemiddel Formel og symbol samt hjælpemiddel Side 34 af 76

35 Kompetencerepræsentation juni 2012 i eksamensopgaver matematik Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved. Bestem f (x) Symbol- og formalismekompetence, da eleverne skal demonstrere, de kender formlen til differentiation af polynomier (paratviden) Opgave 2 (5 %) Efterspørgslen på en vare kan beskrives ved en lineær funktion.. (graf vises) Bestem prisen pr kg og en forskrift for funktionen Modelleringskompetence, da der er tale om en tekstopgave, der knytter sig til afskrivning efter den lineære metode i VØ samt Repræsentation da grafen indgår og kan anvendes til bestemmelsen Opgave 3 (5 %) Undersøg om X = 4 er løsning Tankegangskompetence, da eleverne skal vise, at man kan dokumentere at en løsning er korrekt ved at indsætte den oplyste løsning. Alternativt kan ligningen løses, da den er af en sådan beskaffenhed, at den kan løses uden hjælpemiddel Opgave 4 (5 %) Prisen på en pose kaffe er givet som.. Kan beskrives ved p med forskriften p(x) = eksp. Funktion. Forklar betydning Kommunikationskompetence, idet der skal oversættes fra fagsprog til hverdagssprog. Symbol og formalisme, idet parametrenes betydning i forskriften skal kendes Opgave 5 (5 %) Der vises et polygonområde og oplyses forskrift for funktion i to variable. Maksim skal bestemmes Modellering + repræsentationskompetence, da der er tale om en tekstopgave og funktionen i to variable skal evt. omskrives Opgave 6 (10 %) a. Isoler F ved hjælp af et CAS-værktøj Hjælpemiddelskompetence, da eleverne skal demonstrere, at de kan anvende et CAS-værktøj b. Ligningen.. er løst nedenfor. Forklaring til følgende linjer skal gives. Kommunikations- og ræsonnementskompetencen idet der ikke skal regnes, men forklares. Samtidig skal angår redegørelsen de ræsonnementer, der ligger bag de enkelte trin i ligningsløsningen Side 35 af 76

36 Opgave 7 1(5 %) a. En børnetøjsforretning lavede en undersøgelse af 0. Dataene fremgår af filen dankort.. Lav en grafisk præsentation af dataene (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal man demonstrere, at man ved hvordan der hensigtsmæssigt ud fra en tabel at udarbejde en grafisk præsentation (histogram eller sumkurve); men samtidig skal man vise, man behersker en optællingsstrategi i Excel og ikke mindst en grupperingsmetode. (Om det er Excel/CAS der foretager optællingen eller det sker manuelt skal ikke dokumenteres) b. Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS og/eller regneark til statistikberegninger. Hvis fx gennemsnit beregnes anvendes enten programmel eller formel hertil c. Skriv ud fra dine svar i a og b en kort sammenfatning til indehaveren, hvor du præsenterer undersøgelsens resultater og betydningen af disse Kommunikationskompetence, idet eleverne her skal demonstrere, at de kan skrive kontekstuafhængigt og med en bestemt målgruppe for øje. De skal oversætte mellem matematikkens diskurs og hverdagssproget. Opgave 8 (5 %) De variable omkostnigner C og omsætningen R kan Dækningsbidraget DB kan bestemmes som.. en funktion med forskriften Gør rede for at DB kan beskrives som.. og bestem den afsætning, der giver det største db Modellering, hjælpemiddel - og repræsentationskompetence (forskrift-graf) idet der skal demonstreres forståelse af sammenhængen mellem funktionens forskrift og graf/nulpunkter. Opgaven er en tekstopgave med begreber fra VØ - endelig er det oplagt at anvende CAS-program (eller formel/symbol) hertil Opgave 9 (10 %) a. Tabellen viser et udsnit af antal ansatte.. Lav et xy-plot af dataene (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal eleverne demonstrere, at de ved hvordan der hensigtsmæssigt ud fra en tabel kan laves en grafisk præsentation); og vise, de behersker et programmel, der kan vise xy- plot (GRAPH; Excel, CAS) b. Udviklingen af prisen kan beskrives ved en model f(x) = ba x Estimer modellen og estimer antallet af ansatte i (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, modellerings- og formel-symbolkompetence (kommunikation. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS/Graph og bestemme (med regression) en matematisk model. Samtidig skal de kunne oversætte den Side 36 af 76

37 eksponentielle model til hverdagssprog, hvor værdierne skal fortolkes (forklares). For at kunne dette, skal eleverne have forståelse for formlen (forskriften) for denne funktionstype Opgave 10 (15 %) a. Virksomheden ECCO inddeler deres kollektion i tre kategorier. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen ecco Konstruer et skema som nedenstående (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence. Her skal eleverne vise, at de ved hvordan de kan sortere i data og foretage optællen (Enten pivottabel i Excel eller via CAS b. Bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS og/eller regneark til beregning af Chi i anden test. Evt. beregnes forventede værdier med en formel herfor c. Kan det antages, at der er uafhængighed mellem kvalitet og maskine? (Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence og tankegangskompetence. Eleverne skal her demonstrere, at de med det rette værktøj kan beregne χ 2 -teststørrelsen, samtidig skal de ud fra de fundne data kunne ræsonnere sig frem til en konklusion Opgave 11 A (10 %) Forskriften for en funktion er givet ved f(x) = irrationel funktion) Funktionen kan beskrives ved følgende analysepunkter Bestem funktionen ud fra 2 af de nævnte analysepunkter Hjælpemiddel og/eller formel symbolkompetence samt repræsentation, idet eleverne enten skal kunne anvende CAS program til beregning/bestemmelse af nulpunkter og eller af f (x) b Tegn grafen for f Hjælpemiddel samt repræsentationskompetence idet eleverne med CAS/IT skal tegne en graf ( Opgave 11 B (10 %) a. Peter optager et lån Redegør for, at ydelsen Formel og symbol samt hjælpemiddel. Opgaven angår rente- og annuitetsregning. Eleverne kan vælge at gøre brug af formler og indsætte heri - alternativt kan anvendes CAS/Excel. For at løse opgaven b. Gør rede for at restgælden og bestem ydelsen Formel og symbol samt hjælpemiddel da, formlen for gennemsnitlig restgæld skal i spil - eller alternativt regneark med amortiseringsplan Side 37 af 76

38 Opgave 11C (10 %) En virksomhed har udtaget 195 enheder. Af disse er der fejl.. Bestem den estimerede andel med fejl Hjælpemiddel og formel symbolkompetence da der skal anvendes lommeregner og formler Undersøg ved et 95 % konfidensinterval om.. Hjælpemiddel og formel symbolkompetence da der skal anvendes lommeregner/cas-program og formler Side 38 af 76

39 Bilag M5 Udkast Oversigt over matematiske faglige genrer - formidlingsskrivning Emneopgaver Præsentation af faget i samspil Opgaver uden hjælpemiddel Opgaver med hjælp 4 Projekter - SO1, sro, srp Anvendelse Udgangspunkt for mundtlig eksamen Afslutning og opsamling på et emne Studieretningsprojekt (SRP) Studieretningsopgave (SRO) Emneopgaver Projekter - fagligt samspil (SO1) Skriftlig eksamen Træning af paratviden/grundlæggende forståelse Afleveringsopgaver Træning i timerne Hjemmearbejde Fagligt samspil Kan være formaliseret men også uformelt (samarbejde med VØ fx omkring afskrivning, optimering og lign - samarbejde med IØ vedr. prognoser - samarbejde med AØ omkring spørgeskemaer) Større projekt og caseforløb i SO1 (krav) Input Undervisningsforløb - lærergennemgang Lærebøger Noter fra lærer/elevernes egne noter Skift fra eksperimenterende (undersøgende) til aksiomatisk opbygning med sætninger/beviser ved overgang fra C til B og A Selvstændig informationssøgning efter: Udviklingsforløb (omsætning og lign) Statistisk materiale Matematisk modellering Udleverede opgaver Opgaver i lærebog Opgaver i timerne - fælles på tavlen eller individuelt Opgaver fra lærebog Eksamensopgaver I forbindelse med nye emner trænes disse - ellers varieres mellem opgavetyperne for at vedligeholde læringen Oftest lærerundervisning/præsentation af det kernestof, der skal indgå i projektet. (Kan være over en længere periode) Kernestof indtænkes så vidt muligt hensigtsmæssigt i casen/projektet (gæld, prognoser, pris-afsætning, afskrivning etc.) Oftest søgning på nettet efter data og information Projekter kan også være casebaseret (SO1) Struktur Afhænger meget af lærerens valg: Ex 1.: Eleverne præsenteres for konkrete regnespørgsmål samt konkrete teoretiske spørgsmål - svarene udgør emneopgaven Ex. 2 Lærer og elever udarbejder en mindmap eller lign, med muligt indhold indenfor emnet. Visse elementer skal indgå i opgaven - Lærerformuleret eller selvstændigt formuleret problemformulering med stigende taksonomi: Redegørelse Analyse Vurdering Tendens til skifte fra Bloom til Solotaksonomi, hvor det er sagen der er central og Faste eksempler Forklar hvad forskriften fortæller/opstil forskrift der viser Vis? er løsning Differentier funktionen Bestemmelse af fx T2, maksimum, nulpunkter eller lignende(kan aflæses, men bør Opdelte opgaver der ikke skrives sammen Springes rundt i det meste af kernestoffet Der indgår fast: Modellering Kommunikation Databehandling (ofte) Strukturen er ofte fagopdelt - reelt fremgår fagene ofte tydeligt i projekterne.. 4 Se særskilt påbegyndt oversigt Side 39 af 76

40 andre er valgfrie. Den enkelte elev vælger de elementer vedkommende magter/ønsker at medtage. Ofte indgår et modelleringsaspekt ikke faget Kompleksiteten i matematik legaliserer redegørelse/beskrivelse kan være højt niveau beregnes) Fokus Emnet - centrale elementer Faglige elementer samt modellering Virksomhed, branche, marked eller teori Færdigheder - matematiske grundbegreber Træning af de otte matematiske kompetencer og kernestof generelt Faglige samspil - eleverne skal erkende fagene understøtter hinanden Fremstillingsform Afhænger af lærer Oftest rapportform sider. Forside og indholdsfortegnelse Kan være individuel - ok gruppe Mindmap kan godkendes som emneopgave Redegørelse Analyse Diskussion Vurdering Ofte kort - fokus på demonstration af færdigheder samt matematisk notation Vekslen mellem matematisk symbolsprog og dagligsprog Veksling mellem matematisk symbolsprog (primært på B og C) og hverdagssprog (som accepteres på C) Varieret fra Rapporter Synops PowerPoint Mundtlige fremlæggelser Gruppefremlæggelser Omfang Varierende 4 timers elevtid SRP: sider 2 ugers elevtid Andre projekter: varierende 1-2 A4sider hvis eksamen ditto ved aflevering/træning Varierende omfang Afleveringsopgaver ca 3 timer Træningsopgaver - varierende Varierer - fra en time til uger Noteapparat Henvisninger hvis andre materialer end lærebogen og lærernoter Hvis lånte opgaver (andre i klassen) Noter med kildehenvisninger Ingen noter Gængse Kildeliste Henvisning til bøger/hjemmesider - andre end de klassen anvender Krav sidst i rapporten Ingen Ved rapporter krav Projekter med data fra nettet Side 40 af 76

41 Typiske formuleringer a) "Opstil en matematisk model der " b) "Redegør for hvordan matematik kan og vurdér hvorvidt" c) "I Bilag 1 ses en. Vis hvordan man kan " Løs ligningen Vis at Bestem. Bydeform Se andet dokument Bilag M6 - stillads generelt til Den gode besvarelse af opgaver i matematik. Den gode besvarelse af opgaver i matematik. En besvarelse af et delspørgsmål i en matematikopgave skal som regel opbygges sådan: 1. Præsentation af væsentlige matematikbegreber, der skal bruges. Eksempler: f(x) = 4x 3-2x x = antal kilo foder, f(x) = pris pr. kg. X = antal defekte enheder i stikprøven 2. Skriv hvad der skal bestemmes: Nulpunkterne for f: = Skæringspunkterne mellem graferne f og g bestemmes: Differentialkvotienten for f: Det største overskud beregnes: Side 41 af 76

42 3. Skriv hvordan det ønskede bestemmes: Ligningen opstilles og løses! Differentialkvotienten beregnes! Grafen tegnes, der aflæses og der illustreres på grafen! Toppunktet beregnes! Sandsynligheden beregnes ved brug af CAS/Excell! Forskrift for dækningsbidrag bestemmes! Der henvises til anvendt IT-værktøj. Med WordMat: Med Nspire: Eller lignende. 4. Svar og konklusion Overskuddet er positivt, når afsætningen er mellem 100 og 550 stk. Da middeltallet ligger i det beregnede konfidensinterval, kan middelværdien i populationen antages at være 47 kg. x = 85 Altså er f voksende i inervallet [10 ; 20] Den årlige procentvise stigning i befolkningstallet 2 %. Ovenstående er en generel beskrivelse, der ikke altid passer på alle punkter. Gode råd Brug matematikord Skriv forklarende tekst til alle udregningerne/illustrationerne Side 42 af 76

43 f.eks. forklares hvad mean betyder efter følgende udskrift mean = 716,85 mean er middeltallet, som kan beregnes ved, at alle observationer lægges sammen og divideres med det samlede antal observationer Brug en matematikeditor og brug symbolerne rigtigt f.eks. Skriv og ikke 2/3 Skriv x 2 og ikke x^2 Brug dobbeltpil hvis der er flere ræsonnementer på en linje eller skriv kun et ræsonnement pr. linje Hvis du bruger andre betegnelser end dem i opgaveteksten, så skriv det. Husk enheder, fx kr. og lignende i løsningen Lav koordinatsystemer og grafer omhyggeligt, med benævnelse af akser og angivelse af enhed Kontroller dine resultater. Giv et tekstsvar på en tekstopgave Side 43 af 76

44 Bilag M7 Udklip vedrørende baggrunden for matematikopgaverne til eksamen - med fokus på Ny Skriftlighed Side 44 af 76

45 Bilag M9 Matrixoversigt - kompetencer i eksamensopgaver matb (efterår 2011 E11, forår 2012 F12, eksamen juni 2012 J12) regningsarterne s hierarki; potens; løsning ligninger Modellering F12-4 F12-5 J12-8,9b Ræsonnement E11-6b F12-6b J12-6b Problembehandli ng Tankegang E11-3 F12-1 J12-1 Symbol og formalisme funktioner i to variable: lineær program. F12-11Ba,b J12-5 det generelle funktionsbegre b, lineære, polynomier, eksponentielle, funktioner, potenslogaritme E11-2, 4, 5, 8b, 10a, b F12-5, 7,11Ab J12-2,8 E11-10b Kernestof ifølge læreplan xy-plot af datamateriale og samt anvendelse af regression E11-8a F12-11Aa J12-9a,b differentialregni ng: def. fortolk af diff. monoton ekstrema, optimering og sammenhæn ml disse og diff +tangentens ligning procentregning, indekstal rentes- og annuitetsregnin g F12-11Ba,b E11-5, 10b E11-11Aa E11-10a, F12-9,11Ab J12-4 Repræsentation E11-3 J12-5 E11-2, 4, 5 F12-2, 5, 11Aa J12-1, 8 kommunikation E11-6 F12-6b J12-6b Hjælpemiddel E11-6 F12-6a J12-6a,8 Databehandling E11-8a F12-11Aa J12-9a,b E11-1 F12-3 J12-1, 11Aa J12-11Aa,b E11-11Aa,b F12-8b, J12-11Ba,b beskrivende statistik, udtræk af data, konstruktion af tabeller og grafisk præsentation af data; Chi-ianden test E11-7a,b, 9a,b F12-10a,b,c,11Aa J12-7a,b, 10a,b,c E11-9c, E11-7a,9b E11-7a J12-7a,b J12-4 E11-7c, 9c F12-8d J12-7c E11-8b F12-11Ab J12-8 E11-8b F12-11Aa J12-9a,b E11-8a F12-11Aa J12-9a,b E11-8a F12-11Aa J12-9a,b J12-11Aa,b,11Ba,b E11-11Aa,b J12-11Ba,b E11-9a, b F12-8a,b,10a,b,c J12-7a,b, 10a,b,c E11-7a,b, 9a,b F12-10a,b,c,11Aa J12-7a,b, 10a,b,c grundlæggende sandsynlighedsr egning binl- og normalford, konfidensinterv aller for sandsynligheds parameteren og middelværdien. E11-11Ba,b F12-8c,11Ca,b J12-11Ca,b E11-11Ba,b F12-8c,11Ca,b J12-11Ca,b E11-11Ba,b F12-8c,11Ca,b J12-11Ca,b Side 45 af 76

46 Bilag M10 Eksempel på udvidet kompetenceoversigt til matematik Side 46 af 76

47 Side 47 af 76

48 Side 48 af 76

49 Bilag M11 Sammenhæng mellem kompetenceblomst og mål for matematik Side 49 af 76

50 Bilag M12 Kompetencebeskrivelse i matematik jf. Komrapporten Side 50 af 76

51 Bilag M13 Eksempel på skrivedidaktiske øvelser oplæg opstart Side 51 af 76

52 Bilag M14 Matematik - diskursbegreb - oplæg Fællesmøde Fagdiskurser regulerer, hvad der anerkendes som faglige udsagn - at beherske diskursen er at etablere faglig identitet fx Jeg slår en streg [Lærerkommentar:] Nej. Du tegner grafen for en line r funktion Fx Apparatet slår ud til venstre, når den puttes i [Lærerkommentar:] Nej. Amperemeteret slår ud til venstre, dvs. strømstyrken. når magnetens pol. Nogle siger: Lad være med at bruge ukendte ord, når 10 andre almindelige ord, som elever kender, kan forklare det. Gør det så simpelt som muligt. Forskere konkluderer: Sproget skal læres korrekt ellers får man ikke lært naturvidenskaben. Der benyttes nogle ord med særlig betydning disse ord skal forklares, så eleverne forstår dem på rette tid og rette sted. Fx På trods af at arbejdsløsheden er faldet imponerende siden den argentinske krise, antager man at 25 pct. af befolkningen stadig lever i fattigdom. Som tidligere nævnt ligger arbejdsløsheden på omkring de 8 pct., og dette niveau er egentlig nogenlunde acceptabelt. Når Argentina har så mange fattige mennesker skyldes det flere ting Fx Regnskabet er altså helt kanon (SRP-opgave 2011) Fx Parameteren a fortæller om grafen er glad eller sur Fx Jeg klasker lige forskriften ind i Sætter fokus på hvordan sprog i brug reguleres i bestemte kontekster Fagdiskurser regulerer hvad der tæller og anerkendes som faglige udsagn inden for de enkelte fag At beherske diskursen er at etablere faglig identitet Fagfolk kender hinanden på diskursen Fagdiskurser i gymnasiet er didaktiske versioner af videnskabsfagene Side 52 af 76

53 Bilag M15 Matematik - genrebegreb - oplæg Fællesmøde Genrer: Hvad forventes i en given situation er skabeloner for struktur er dynamiske og funktionelle i forhold til form og indhold: tilbyder en skabelon til at regulere alle former for socialt (læs: fagligt) samspil har sproglige kendetegn, der er typisk for netop de specifikke genrer er relativt stabile og fungerer som forventningshorisont for læseren og en skrivemodel eller mønster for skriveren er en del af fagdiskursen (kulturkonteksten): fagene privilegerer bestemte genrer -valg lægger et fagperspektiv ned over tekster I fagene dominerer forskellige skriftlige opgavegenrer Eksempler på overordnede opgavegenrer: essay, forsøgsrapport, notat, gymnasial udgave af videnskabelig artikel Falder dette i tråd med traditionel skrivning i naturvidenskabsfag og matematik? bevis, ligning, funktionsanalyse og beregning, statistisk analyse og beregning, finansiel analyse og beregning, trigonometrisk analyse og beregning, grafisk analyse og beregning, formelanvendelse og beregning, modellering Genrer: Hvad forventes i en given situation (præfabrikeret skabelon) Valg af genrer (opgavetyper) lægger et fagperspektiv ned over teksterne I fagene dominerer forskellige opgavegenrer og typiske kombinationer af skrivehandlinger Genrer er relativt stabile og fungerer som forventningshorisont for læseren og en skrivemodel eller mønster for skriveren Genrer er en del af fagdiskursen (kulturkonteksten); fagene priviligerer bestemte genrer Eksempler på faglige opgavegenrer: essay, forsøgs-/projektrapport, notat, journal, portfolio, videnskabelig afhandling/akademisk opgave (srp) Side 53 af 76

54 Bilag M16 Matematik - ændrede rettestrategier - oplæg Fællesmøde Flyt energi fra retning til vejledning Der er forskel på at rette og give respons Ikke alle opgaver skal rettes ens Ikke alt skal rettes hver gang Fokusér og ret det, der er i fokus Vejledning skal flytte noget Lær eleverne at skrive om og revidere Brug minimal marking Evaluering af skr. arbejde: Rettearbejde og responsgivning fra summativt: at rette i bund til formativt: fokuseret responsgivning = vores nye fokus Aftal med klassen hvilke fejltyper der bliver fokuseret på Ret det aftalte, sæt evt. prik ved resten af fejlene så kan eleverne selv prøve at finde fejlene På de første to sider retter man alt derefter kun indhold Andre strategier Med retteark kan eleverne selv tjekke sig selv/ hinanden inden aflevering Skrivegrupper på 2-3 Lad eleven genskrive en del af opgaven Lad elever føre top 10 liste over deres hyppigste fejl Side 54 af 76

55 Bilag M17 Skriftlighed i matematik Side 55 af 76

56 Bilag M18 Eksempler på ændrede rettepraksis Side 56 af 76

57 Bilag M19 Eksempler på elev selvretter Elev - rette med Alexander: Opgave 3: Skal skrive opgaverne op! Ved opg. 3 skulle jeg skrive at jeg skulle finde standardafvigelsen for observationer i uge 36. Man ved ikke hvor jeg har tallene fra! Side 57 af 76

58 Bilag M20 Eksempler på elev selvretter Side 58 af 76

59 Bilag M21 Eksempler på samarbejde - elevkommentarer og -repsons 1. Jeg finder de ting som personen ikke har skrevet og som jeg føler enten mangler eller som vi har gennemgået. Og respons modtager jeg og prøver at gøre bedre n ste gang Ja, - gør mit bedste for at komme med ideer/forslag som modtageren kan bruge, og retter evt. fejl. Jeg laver altid respons, mener det er vigtig at få lidt respons på de ting man laver. Jeg prøver at give en god respons, men når man synes opgaver er rigtig gode er det sv rt. Så jeg prøver at kigge meget kritisk på opgaven og siger de små ting jeg kan se. Kigger tit på opgaven flere gange inden jeg skriver den endelige respons. Når jeg modtager kan jeg godt tage kritik, men ikke alt for meget, så det virker til at jeg er totalt dum, så føler jeg at jeg bliver talt ned til, og det gider jeg ikke. 2. Først - det er en rigtig flot forside du har lavet, det ser rigtig godt ud! I din indledning kan du skrive hvordan og hvor man støder på rentesregning og annuitetsregning. Synes det virker som om du har rigtig meget styr på de forskellige formler, og tror det bliver rigtig godt når du får nogle flere eksempler med! Hvad med restgældsformlen? - Og til det med grafregneren kunne du fortælle om finansprogrammet. Synes du skal lave brøkstreger i stedet for de der divisions tegn, når du skriver dine formler, men det er jo små ting! Ellers kan jeg ikke find noget at kritisere, du er jo allerede kommet rigtig langt! Skide godt! Opgave 4 (Denne opgave er i samarbejde med Sidsel Le Fevre) a. Sortér dataene og opstil disse i et oversigtsskema! Side 59 af 76

60 Bilag M22 Stilladsering - Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik B med brug af CAS-værktøj 5 En vejledning for elever, der skal til skriftlig eksamen i matematik B. Hvad lægges der vægt på ved bedømmelsen af besvarelser af skriftlige matematikopgaver ved studentereksamen? Først og fremmest gælder det selvfølgelig om at løse opgaverne korrekt og fuldstændigt. Men ikke nok med det: Du skal også formidle hele løsningsprocessen skriftligt til din læser. Man skal kunne følge fremgangsmåden eller tankegangen At man løser en opgave korrekt, betyder ikke kun, at man når frem til et rigtigt resultat, men også at det gøres ved hjælp af korrekte metoder. At opgaverne skal løses fuldstændigt, betyder at man skal have alt det væsentlige med og gøre arbejdet helt færdigt. (Det er fx ikke godt nok at kun at angive x-koordinaten til et punkt hvis opgaven gik ud på at finde et koordinatsæt (x,y)) Også til formidlingen stilles der krav. Det overordnede krav er at din læser skal kunne følge med i hvordan du løser opgaven. Det kræver velvalgt notation og lay-out, omhyggelig redegørelse og dokumentation, hensigtsmæssig brug af figurer og klare konklusioner. Hvordan disse krav kan udmøntes, er emnet fremgår af følgende sider. Til allersidst er der et afsnit med titlen "Gør det gode bedre". Her gives forslag til hvordan du yderligere kan øge kvaliteten af din besvarelse. Hvorfor ikke bruge eksamenstiden fuldt ud og sikre sig at kvaliteten bliver så høj som mulig? Pointgivning og karakterer Til studentereksamen vurderes din besvarelse af to fremmede censorer. Hver for sig ser de to censorer på din besvarelse og giver point (5 point for hvert delspørgsmål og heri indgår helhedsindtrykket). Herefter mødes censorerne, sammenholder deres pointtal og helhedsindtryk og bliver enige om en karakter. Pointgivningen i de enkelte delspørgsmål er ikke et enten-eller, ikke 0 eller 5. Man kan sagtens få f.eks. 2 eller 4 point ud af de 5 mulige i et delspørgsmål. 5 Dokumentet er udarbejdet i 2009 af den såkaldte skriftlighedsgruppe på stx (Jytte Melin har revideret lidt heri for at tilpasse hhx) Side 60 af 76

61 Uvæsentlige smuttere takseres mildere end alvorlige principielle fejl. Åbenlyse fejl takseres hårdere end en lille fejl, du ikke selv havde mulighed for at opdage. Hvis du fx har en graf og skal bestemme ekstrema. Får du et helt andet resultat end det grafen viser, så bør du selv kommentere herpå. Brug af forkerte metoder trækker også ned. Står der, man skal bestemme ekstrema ved hjælp af f (x) så er det ikke ok med en aflæsning. Ikke kun fejl kan trække ned. Det samme gælder mangler. Du har måske tænkt det hele rigtigt, men bare ikke skrevet hvordan du nåede frem til dit resultat. Ærgerligt - et facit uden begrundelse giver i princippet ingenting! Læs derfor dette dokument grundigt, så du i hvert fald kan hive alle de point i land som vedrører spørgsmål du godt kan finde ud af! Til sidst: Husk at censorer også ser på alt det gode og rigtige og omhyggelige og med stor fornøjelse deler velfortjente point ud. God fornøjelse med det videre arbejde med skriftlig matematik! 1 TEKST Besvarelsen skal indeholde en tekst, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 1. Aflever en besvarelse, ikke blot en facitliste. 2. Begynd med en begyndelse. Hvilke relevante oplysninger giver opgaveteksten? 4 Eks: f ( x) x 3x 2 Eks: Årlig procentisk stigning: 13 % 3. Uddrag gerne det væsentlige af en lang opgavetekst. Eks: Omkostningerne kan beskrives ved funktionen.. 4. Omformuler gerne opgavens spørgsmål og ordrer, så de i stedet indgår som en del af et svar. Stikord er bedre end ingenting. Eks: Tidspunktet t hvor de to populationer er lige store, findes ved at løse ligningen [...] Eks: Jeg vil nu bestemme forskriften for funktionen [...] 2 NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. Dette er især vigtig ved Side 61 af 76

62 brug af specifikke CAS-programmer, hvor der anvendes nogle specielle udtryk (solve fx) 1. Vælg et klart og overskueligt lay-out. 2. Brug opgavens betegnelser Eks: (Fra opgaveteksten: Tabellen viser resultater fra en undersøgelse af omkostningerne, O(x), for en virksomhed, hvor x angiver tidspunkt efter 2008 Sammenhængen kan med god tilnærmelse beskrives ved en lineær funktion. Bestem forskriften for den linje, O(x), der bedst beskriver udviklingsforløbet Brug opgavetekstens variable O(x) og x når arbejder videre med opgaven. 3. Forklar de betegnelser du selv indfører. Det kan let gøres i den løbende tekst. Eks: Dækningsbidraget D(x) findes ved at løse ligningen [...] Eks: Det samlede overskud I(x) beregnes: [...] Eks: Hældningskoefficienten a m for linjen m bestemmes: [...] 4. Inden for samme opgave kan samme bogstav ikke bruges om flere forskellige ting. Men med små ændringer går det: Eks: Omkostningerne O(x er givet som jeg bestemmer overskuddet OS(x) som NB! Hvis Nspire ikke skelner mellem store og små bogstaver, må du vælge andre betegnelser, - og forklare dem. 5. Udnyt de matematiske symboler. Brug symbolerne korrekt. 2x 100 Eks: Vandret brøkstreg: (Det er fx IKKE ok at skrive n=ln(kn/k0)/ln(1+r)) 3 2 Eks: Parenteser om negative tal: d ( 3) 4 2 ( 5) 1 Eks: Differentialkvotient: f ( 3) 2 Eks: Eventuelt eller-tegn: x 2 x 5, - eller skriv bare x = 2, x = 5 1 Eks: Eventuelt dobbeltpil: 12x 4x 4 8x 4 x, 2 eller undlad pilene og skriv bare 12x 4x 4 8x 4 x Forklar nødvendig værktøjsprogram-notation Når Nspire f.eks. ikke kan skrive f (x) for differentialkvotienten af f (x), så notér det og påpeg den skrivemåden i Nspire. 7. Udtryk dig sprogligt korrekt. Brug de korrekte fagudtryk. Eks: Ligningen løses Eks: Funktionen er voksende/aftagende Eks: Jeg sætter de to funktioner lig med hinanden Eks: Tangentens røringspunkt bestemmes Side 62 af 76

63 Eks: Forskriften for funktionen er derfor... Eks: Jeg gør prøve ved at indsætte i ligningen 3 REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 1. Forklar hvad du tænker: Eks: Da diskriminanten til denne andengradsligning er negativ, har ligningen ingen løsninger. Eks: Da fremskrivningsfaktoren er 0,88, er der tale om et fald på 12 %, idet 100 % - 12 % = 88 % = 0,88. Eks: Da a < 0, er parablen konkav (parablens grene vender ned). Eks: Da x skulle ligge i intervallet [5; 10], kan løsningen x = 12 ikke bruges. Eks: For at finde monotoniforhold for f sætter jeg først f (x) lig med Husk dokumentation med passende mellemregninger Eks: (x-1)ln(x+2) = 0 x-1 = 0... eller henvisning til hvordan du bruger dit værktøjsprogram: Eks: Jeg skitserer grafen for funktionen i intervallet [4, 8] og bestemmer minimum i dette interval vha. Nspire, hvor jeg kan analysere grafen (se printscreen/udskrift) jf. skitse. Eks: Jeg laver eksponentiel regression med Nspire med tiden t som den uafhængige variabel og æblernes vægt m som den afhængige variabel. 3. Eventuelle ekstra beregninger inden brug af nspire skal også dokumenteres: Eks: For at tegne sumkurven beregner jeg først de summerede frekvenser F: [...] Eks: Årstallene fra opgaven omregnes til t = antal år efter 1980, se tabel, hvor 1980 = 0 4. Det er tilladt at gætte og bruge sin intuition, men det man gætter/fornemmer, skal dokumenteres ved kontrol: Eks: På tegningen ser det ud til at parablen med ligningen y x 2 4 går gennem de tre Side 63 af 76

64 punkter. Jeg tjekker ved indsættelse af punkterne: [...] 4 FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 1. Indsæt figurer passende steder. 2. Hvis du tegner i hånden: Husk en pil på hver koordinatakse. Pilen angiver den positive retning. Angiv enheder. Et enkelt 1-tal på hver akse er som oftest nok. 3. Graf med værktøjsprogram: Vælg passende vindue og akseformatering, så alle væsentlige egenskaber ved funktionerne vises grafisk. Hvad der er væsentligt, afhænger af opgaven (f.eks. monotoniforhold, ekstrema, nulpunkter, evt. asymptoter). 4. Husk benævnelser på koordinatakserne hvis opgaven vedrører noget fra det virkelige liv. 5. Henvis til graf når du bruger den i din argumentation. Eks: Det fundne nulpunkt for f (x) er et maksimumssted, jf. skitse af grafen. 6. Ved histogrammer og sumkurver: Førsteaksen skal være en ganske almindelig tallinje forsynet med Tal, der er anbragt korrekt i forhold til hinanden. Når tallene står der, er intervallerne automatisk bestemt. 5 KONKLUSION VEDR. BESVARELSE TIL EKSAMEN Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation. 1. Husk konklusion Eks: Altså: f er voksende i ]2; 4], aftagende i [4; 17] og voksende i [17; [. Eks: [...] så x-værdierne er 4 og 9. Skæringspunkterne er altså ( 4,0) og ( 9,0). 2. Svar som der bliver spurgt. Tekstspørgsmål kræver tekstsvar. Eks: Der er altså ikke nogen tangent med hældningskoefficient 3. Eks: Der skal altså i alt bruges 34,7 kg havregryn. 3. Gør arbejdet færdigt: Regn og reducer. Side 64 af 76

65 s 3 1 Eks: Overvej om et svar skal angives eksakt eller afrundet. Eks: Den eneste løsning er x. 3 Eks: Halveringstiden er altså 44,3 år. 5. Angiv resultater med et passende antal decimaler/betydende cifre. Hvad der er passende, afhænger af opgaven. Eks: Gennemsnittet af pointtallene 23, 15, 15, 26, 16, 14 og 20 er 18,4 Eks: Fremskrivningsfaktoren er 1,0225, 1-tallet "tæller ikke" 6. Husk benævnelse - når opgaven handler om størrelser med benævnelser Eks: Vinklen er 76,33 (eller 76,33 grader) Eks: Sukkerindholdet er 14 g pr. 100 g. 7. En tolkning skal relatere opgavens matematik konkret til opgavens emne. t Eks: Forskriften er f ( x) 204 1, 072. Tolkning af konstanterne i forskriften: Tallet 204 fortæller at prisen oprindeligt var på 204 kr; og fremskrivningsfaktoren 1,072 fortæller at prisen vokser med 7,2 % om året. Eks: 3. kvartil aflæses til 4,1 kg. Det betyder at en fjerdedel af de nyfødte i denne gruppe vejede over 4,1 kg. 8. Marker gerne et facit f.eks. med fed skrift eller dobbelt understregning. Eks: Stiens længde er altså 233 meter. 6 Gør det gode bedre 1. Skriv kort og klart. Skriv ikke opgaven af - men de væsentlige elementer heri, der er afgørende for løsnignen 2. Vælg den mest hensigtsmæssige metode. Undgå omveje. Eks: Denne ligning løste jeg i spørgsmål a, så jeg genbruger resultatet: [...] Eks: Da der er tale om produkt, der giver 0, kan nulreglen anvendes 3. Tegn gerne! Også når det ikke direkte bliver krævet. Eks: Sammen med grafen har jeg indtegnet de to fundne tangenter. Eks: Jf. grafen, hvor jeg har markeret aflæsningerne. 4. Kontroller dine resultater, og fortæl at du gør det. Eks: Resultatet stemmer med grafen. Eks: Se også bilag hvor jeg har tegnet grafen for funktionen fra min regression sammen med et plot af de opgivne datapunkter. 5. Vær opmærksom på sammenhæng inden for opgaven, og kommenter den! Side 65 af 76

66 Eks: Dette resultat passer godt med resultatet i forrige spørgsmål. Eks: Det er den samme hældningskoefficient som vi fandt før, og det passer godt med at [...] Side 66 af 76

67 Bilag M23 - Stillads - bedømmelse pixi fra mat-it Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 2. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation. Side 67 af 76

68 Bilag M24 - htx råd og vink Der skrives meget i matematik, og som matematiklærer har man ofte en stor tavs viden om skrivning i faget. Man ved præcis, hvornår en formulering eller brug af notation ikke følger de gængse normer (det man kalder fagdiskursen). Som et eksempel på fagdiskursen i matematik og de naturvidenskabelige fag, kan nævnes at man udtrykker sig objektivt, ofte i passiv og at man benytter det akademiske vi frem for jeg. På trods af mange års uddannelse med skrivning af sådanne tekster er det imidlertid ikke noget man sædvanligvis er bevidst om systematisk at undervise i. Så udfordringen nu bliver at kunne beskrive, forklare, begrunde diskurser og genrer i fagene, samt forskellen mellem fagene. Kort sagt hvordan der kan undervises i faglig og tværfaglig skrivning. Skriftlige opgaver skal ikke kun skrives efter man har lært og for at dokumentere at man har lært, men de skal bygges ind i læreprocesser så eleverne lærer at skrive for at udvikle viden. For at kunne arbejde med skrivning på denne måde, må man være opmærksom på, at der er to former for fagligt relevant skrivning. Den ene er udforskende skrivning, også kaldet tænkeskrivning eller reflekterende skrivning.. Den anden type er faglig præsentationsskrivning Disse tekster skal leve op til de faglige genrekonventioner og tekstnormer som gælder i det givne fag, og bliver typisk bedømt1. Traditionelt har man i matematik arbejdet med sidstnævnte type skrivning. Når man planlægger sin faglige skriveundervisning kan det anbefales at indlægge øvelser, hvor eleverne undervejs gennem fx skriveøvelser,. skal oversætte dele af deres viden til skrift eller grafiske fremstillinger. Denne måde at hjælpe eleverne i gang med en opgave, og støtte dem i at knække koden for fagsprog og terminologi kaldes stilladsering. I udfærdigelse af skriftlige materialer er den sproglige korrekthed vigtig. Her har man som lærer et ansvar for at påpege hvor væsentligt det er, at man også i matematikopgaver, rapporter etc. skriver korrekt mht. stavning og tegnsætning og altid læser korrektur. Særlig fokus skal der naturligvis være på brugen af matematiske fagudtryk og symboler samt fornuftig brug af figurer og disses sammenhæng med teksten. Side 68 af 76

69 Bilag M25 De 8/9 kernekompetencer i matematik - uddybende forklaring (Komrapport) Databehandlingskompetence Side 69 af 76

70 Tankegangskompetence - at kunne udøve matematisk tankegang Stille spørgsmål af matematisk art, forholde sig til mulige svar, herunder begrebers begrænsninger. stille spørgsmål hvad er det, jeg ikke kan finde ud af?, er dette et matematisk spørgs-mål? være bevidst om, hvilke slags spørgsmål, der er karakteristiske for matematik og selv at kunne stille sådanne spørgsmål have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes Eksempel: Er det sandt, at man kan tegne grafen for en andengradsfunktion alene ud fra toppunktet og kendskab til parameteren a i forskriften? Problembehandlingskompetence - at kunne formulere og løse matematiske problemer Opstille og løse problemer, samt forholde sig til løsningen af problemer. opstille (opdage, formulere, afgrænse og præcisere) forskellige problemer, såvel ren matematik matematik i anvendelse og åbne lukkede opgaver løse færdigformulerede matematiske problemer - egne såvel som andres Eksempel: Hvis man kun kan tegne i planen (to dimensioner) hvordan kan man da arbejde illustrere funktioner i to variable (tre dimensioner)? Modelleringskompetence - at kunne analysere og bygge matematiske modeller vedrørende andre felter Gennemføre og vurdere matematiske modeller. Modelleringskompetencen analysere virkeligheden matematisere (herunder begrænse) det område man vil modellere problemløsning validere analysere modellen og undersøge indenfor hvilke rammer den gælder diskutere modellen og dens resultater med andre. Eksempel: Ud fra data for befolkning i perioden at kunne sige noget om det forventede befolkningstallet i år Ræsonnementskompetence - at kunne ræsonnere matematisk Udføre og afgøre sandheden af matematiske beviser. følge og bedømme et matematisk ræsonnement (en kæde af argumenter) forstå hvad et bevis er, dvs afdække hovedpunkter i forhold til detaljer og teknikaliteter. udtænke og gennemføre matematiske ræsonnementer. Eksempel: Ligningen e 2x-4 = 1 er løst nedenfor. Forklar de enkelte trin i løsningen Repræsentationskompetence - at kunne håndtere forskellige repræsentationer af matematiske sagsforhold Forstå og anvende forskellige repræsentationer af f.eks. størrelser, fænomener osv. betjene sig af forskellige repræsentationer af samme matematiske begreb givet ved f.eks. symbol, tal, billede, geometri, graf, diagram, tabel. forbinde repræsentationerne og oversætte i mellem dem. afgøre hvilke styrker og svagheder en repræsentation har. Eksempel: Tegne en graf ud fra en funktionsforskrift Side 70 af 76

71 Symbol- og formalismekompetence - at kunne håndtere matematisk symbolsprog og formalisme Forstå og håndtere symbol- og formelsprog. afkode symbol- og formelsprog oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og alm. sprog behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk. Eksempel: konkludere hvilken punktmængde, der fremstilles ved ligningen: 2x+4>3x-5 Eksempel: ud fra kendskab til regnearternes hierarki kunne udregne: Kommunikationskompetence - at kunne kommunikere i, med og om matematik Udtrykke og forstå matematiske forhold. forstå og fortolke andres matematikholdige udsagn udtrykke sig i et præcist matematisk sprog - kendskab til fagets diskurs formidle et matematisk emne dvs. kunne få budskabet ud! (Differentieret i forhold til modtageren) Eksempel: Ud fra statistiske beregninger kunne forklare betydningen heraf i hverdagssprog (oversætte fra matematik til hverdagssprog) Hjælpemiddelkompetence - at kunne betjene sig af og forholde sig til hjælpemidler for matematisk virksomhed, herunder it. Kende til og gøre brug af hjælpemidler på en hensigtsmæssig måde. kende til eksistens og egenskaber ved forskellige redskaber forstå redskabernes muligheder og begrænsninger betjene hjælpemidler og reflektere over resultatet Eksempel: Lommeregner, computer: software som for eksempel regneark, geometriprogram-mer, men også formelsamling, passer, vinkelmåler etc. Databehandlingskompetence - at kunne indsamle og bearbejde data bl.a. ved brug af it. Kende til og gøre brug af elektroniske hjælpemidler på en hensigtsmæssig måde. sortere og optælle indsamlede data fx opstille krydstabeller foretage beregninger og opstille grafer/diagrammer ud fra indsamlede data foretage diverse tests på data - og konkludere herpå Eksempel: Ud fra en række indsamlede data i en Excel-fil vurdere om der er uafhængighed mellem de indsamlede data (chi i anden test) Eksempel: Ud fra en række data opstille og vælge den funktionsforskrift, der bedst kan beskrive udviklingsforløbet Side 71 af 76

72 Bilag M26 Eksempler på eksamensopgaver i relation til kompetencerne Tankegangskompetence Eksamen Juni 2012 Problembehandlingskompetence Eksamen Juni 2012 Side 72 af 76

73 Modelleringskompetence Ræsonnementskompetence Eksempel eksamen juni b) Side 73 af 76

74 Repræsentationskompetence Eksempel eksamen juni 2012 Symbol- og formalismekompetence Eksempel Forår 2012 Kommunikationskompetence Eksempel eksamen juni 2012 Eksempel eksamen juni c) Side 74 af 76

75 Hjælpemiddelkompetence Eksempel eksamen juni 2012 Databehandlingskompetence Eksamen Juni 2012 Side 75 af 76