Rapport Udnyttelse af detaljeret råvareviden WP3. Optimering af råvarebrug til kødprodukter Status for 2016
|
|
- Rune Kristoffersen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Rapport Udnyttelse af detaljeret råvareviden WP3. Optimering af råvarebrug til kødprodukter Status for 2016 Chris Claudi-Magnussen/Holger Dirac 15. december 2017 Proj.nr Version 1 CCM/PAHD/MT Indledning Råvaren er den største omkostning i fremstilling af svinekød og forædlede kødprodukter til de globale markeder. Det er derfor vigtigt med teknologier og metoder, der kan bidrage til, at råvarerne bruges optimalt. De billigste råvarer skal anvendes, samtidig med at det sikres, at det færdige produkt lever op til kvalitetskravene. Som en del af projektet Udnyttelse af detaljeret råvareviden udvikler DMRI værktøjer til at optimere råvareanvendelsen til farsprodukter det vil sige kødprodukter baseret på en fars blandet af kødråvarer, hjælpestoffer, krydderier, vand m.m., og hvor flere alternative (kød)råvarer potentielt kan anvendes. Da de alternative råvarer kan have forskellige egenskaber (indhold af protein, fedt, vand, kollagen osv.), have forskellige priser og være tilgængelige i forskellige mængder, så er det ikke altid helt let at foretage det økonomisk set optimale valg af råvarer, samtidig med at slutproduktets kvalitet sikres. Formålet var derfor at udvikle generiske metoder og operationelle værktøjer til optimeringsproblemer for råvarevalg til farsprodukter. Arbejdet baseredes på 1-2 cases/farsprodukter med tilhørende produktkrav. Arbejdet koordineredes med en følgegruppe med repræsentanter fra den danske kødbranche. Arbejdet gennemførtes i Matematisk optimeringsværktøj Rammerne for et matematisk værktøj til optimering af valget af råvarer til kødprodukter er opbygget. Værktøjet er implementeret i softwaren GAMS (General Algebraic Modelling System), som kan anvendes til mange forskellige typer af optimeringsopgaver. I værktøjet beskrives alle de råvarer, som potentielt kan anvendes til et givet produkt. Hver råvares indhold af fedt, protein, kollagen, pigment, vand osv. kan angives. Også andre egenskaber som fedtets jodtal kan angives. Det er ikke kun kødråvarerne, som beskrives. Hjælpestoffer som sojaprotein, mel og diverse salte og krydderier kan også medtages. Generelt er værktøjet meget fleksibelt, og nye råvarer og nye egenskaber ved råvarerne kan let medtages. 1
2 Formålet med optimeringsværktøjet er at vælge, hvilke råvarer der skal anvendes og i hvilke mængder. Valget sker blandt andet på baggrund af råvarepriser og hensynet til det færdige produkts kvalitet. Råvarepriser og salgspris Når man skal finde det optimale råvarevalg til et givet produkt, baseres valget på økonomien det vil sige den samlede salgsværdi minus de samlede råvareomkostninger. Man angiver det færdige produkts salgspris og indkøbsprisen på hver af de råvarer, som potentielt kan indgå. Råvarepriser varierer med tiden, og derfor kan man opleve, at det optimale råvarevalg ændrer sig med tiden. Hvis det ønskes, vil produktionsomkostninger også kunne medtages. Begrænsninger og produktkvalitet Råvarevalget er selvfølgelig ikke kun baseret på råvarepriserne. En grillpølse, en kødpølse og en spegepølse har hver især nogle særlige egenskaber, som gør dem til netop det produkt. Dette beskrives i optimeringsværktøjet som begrænsninger. Det kan fx være, at fedtindholdet i produktet ikke må overskride x %, at proteinindholdet skal være over y %, og at andelen af kødråvarer skal være mindst z %. Det kan også være, at mængden af diverse salte og krydderier skal have en fastlagt størrelse. Andre begrænsninger kan være, at en bestemt råvare højst må udgøre en bestemt andel af produktet, og at forholdet mellem fx fedt og protein skal ligge i et bestemt interval osv. Afhængig af produktet kan der være varierende begrænsninger, men det er klart, at jo flere begrænsninger man lægger ind, jo mindre bliver spillerummet for optimeringen. I yderste konsekvens kan man have lagt så mange og stramme begrænsninger ind, at man altid får samme resultat (råvarevalg) uanset fx råvareprisernes variation. Variation i råvareegenskaber I første omgang blev der arbejdet med, at råvarernes egenskaber (fedtindhold, proteinindhold osv.) har en given størrelse, men som alt biologisk materiale er disse størrelser kun et gennemsnit. Der er altid en vis variation for hver råvare og egenskab. Der er tidligere gennemført arbejde, som har beskrevet gennemsnit og spredning af egenskaber for en lang række svinekødsråvarer (råvaredatabasen). Optimeringsværktøjet er derfor udvidet til at kunne håndtere gennemsnit og spredning på råvareegenskaberne. Håndtering af usikkerheder og variation Som beskrevet ovenfor er nogle tal (fx råvareegenskaberne) i optimeringsværktøjet ikke 100% sikre. Optimeringsværktøjet skal kunne håndtere sådanne usikkerheder. Der er arbejdet med to eksempler på dette: a. Usikkerhed på færdigvarens kvalitet Lad os sige, at vores produkt ikke må indeholde mere end 21% fedt. Hvis vi kender alle vores mulige råvarers fedtindhold helt præcist, så er det ikke svært at beregne produktets fedtindhold ved forskellige blandinger af råvarer, og så kan vi i vores optimering sikre, at vi ikke kommer over 21%. Ofte kender vi imidlertid ikke det enkelte 2
3 råvarepartis (batch) præcise fedtindhold. Der er en vis biologisk variation. Men hvis der på forhånd er gennemført undersøgelser af, hvordan denne variation er, så ved vi, hvad gennemsnittet og spredningen er for fedtindholdet for hver råvare. Det kan vi bruge til at beregne sandsynligheden for, at produktets fedtindhold overskrider de 21%. Der er udviklet en metode, hvor man angiver, hvor stor en sandsynlighed (risiko) for at fedtindholdet overstiger 21%, man kan leve med. Det kunne fx være 1 promille det vil sige, at vi kan leve med, at 1 ud af produktioner får for højt fedtindhold. Optimeringen tager så hensyn til dette ved valget af råvarer. Hvis man ikke kan leve med 1 promilles sandsynlighed, så må man stramme kravet, men så er der selvfølgelig risiko for, at økonomien bliver lidt dårligere. Metoden kan relativt let udvides til, at fedtindholdet fx skal ligge i et bestemt interval med en bestemt sandsynlighed og selvfølgelig også til andre produktegenskaber. Bemærk, at når der er usikkerhed på råvarernes fedtindhold, så giver det ikke mening at sige, at produktets fedtindhold skal være præcis 21%. Der vil altid være en vis usikkerhed. b. Usikkerhed på modeller for færdigvarekvalitet Lad os antage, at forholdet mellem fedt- og proteinindholdet i farsen har betydning for, om der sker en kvalitetsforringelse fx fedtudskillelse. Og lad os antage, at der er foretaget en række produktionsforsøg, som har vist, at hvis fedt-/protein-forholdet er større end 2, så sker der fedtudskillelse: Fedtudskillelse, hvis fedtprocent > 2 x proteinprocent Men som med alt biologisk materiale kan man måske i nogle tilfælde være heldig ikke at få fedtudskillelse selvom fedt-/proteinforholdet er lidt større end 2, og man kan også nogle gange være uheldig at få fedtudskillelse, selvom fedt-/proteinforholdet er lidt mindre end 2. Tallet 2 er således behæftet med en vis usikkerhed. Hvis man har gennemført mange produktionsforsøg, kan man få et indtryk af denne usikkerhed. Ligesom med råvarernes fedtindhold kan man udtrykke usikkerheden som en spredning på tallet 2. Spredningen kan fx være 0,5, og modellen for fedtudskillelse kan så skrives sådan: Fedtudskillelse, hvis fedtprocent > 2(± 0,5) x proteinprocent Usikkerheden betyder, at der altid er en vis risiko (sandsynlighed) for at få fedtudskillelse, men jo mindre fedt-/proteinforholdet er, jo mindre er sandsynligheden. Man kan beslutte, hvor stor en sandsynlighed for fedtudskillelse, man vil acceptere, og indlægge det som en begrænsning (som i punkt a). Men man kan også lade en økonomisk optimering afgøre, hvor stor sandsynligheden skal være. Det kræver, at man beskriver de økonomiske konsekvenser af, at et parti får fedtudskillelse. Den simpleste måde at gøre det på er at angive en værdi (salgspris) for produktet uden fedtudskillelse og en værdi for produktet, hvis der er fedtudskillelse. Den sidstnævnte værdi er selvfølgelig typisk mindre end den førstnævnte, og den kan være så lille som 0 eller måske endda negativ, hvis det koster penge at bortskaffe produktet med fedtudskillelse. 3
4 Optimeringen vil så forsøge at minimere de samlede råvareomkostninger og sammenholde det med risikoen for fedtudskillelse og dermed et økonomisk tab. Der er udviklet metoder til at håndtere denne form for usikkerheder/sandsynligheder i optimeringsværktøjet. Værktøjet fortæller, hvilke råvarer der skal anvendes og i hvilke mængder, men oplyser også sandsynligheden for fedtudskillelse. Hvis sandsynligheden fx er 1%, så betyder det, at i gennemsnit vil 1 ud af 100 produktioner medføre fedtudskillelse, men at det vil kunne betale sig med de givne økonomiske forudsætninger. Med de to eksempler er det vist, at det vil være muligt både direkte at styre, hvor stor risikoen for kvalitetsfejl må være, og at lade den optimale økonomi bestemme, hvor stor risikoen bliver. Detaljer omkring tilgangene til håndtering af usikkerhed og variation kan findes i bilag A. Alternative partier (batch) af råvarer Der er udviklet en metode til håndtering af flere forskellige partier af samme råvare, hvor partierne har forskellige råvareegenskaber og priser. Varierende råvareudbud Mængden af de enkelte råvarer (og partier) er måske i nogle tilfælde ikke tilstrækkelig til den produktion, man står overfor. Der skal så vælges andre råvarer. Der er udviklet metoder til håndtering af lagerbeholdning. Cases De udviklede faciliteter i optimeringsværktøjet er afprøvet med en case, baseret på en DMRI-opskrift, som kan varieres for at se konsekvenserne for optimeringen. De udviklede faciliteter er også afprøvet med enkelte virksomheder på deres fortrolige cases. Brugergrænseflade Der er udviklet brugergrænseflader, som muliggør at ændre diverse parametre fx råvarepriser og som kan præsentere optimeringsresultatet herunder den foreslåede recept, økonomien m.m. på en let tilgængelig måde. Kørsler med optimeringsværktøjet i GAMS er ikke specielt brugervenlige, og ændringer i diverse parametre kræver indsigt i programmeringssproget. Det er imidlertid muligt at opbygge mere let tilgængelige brugergrænseflader i andre værktøjer (fx Excel) og koble dem sammen med GAMS-programmerne. Det er under projektet blevet klart, at der findes et Microsoft programmeringssprog til optimeringsmodeller (Optimization Modelling Language OML), Solver Foundation, som er mere velegnet til brug i udviklingen af Windows-programmer til optimering, og hvor der ikke skal betales den ret bekostelige GAMS-licens. Ved brug af Solver Foundation er der udviklet en prototype i C# med en brugergrænseflade, som gør det nemt og hurtigt at foretage nye optimeringsberegninger. 4
5 Prototypeværktøjet kan bruges strategisk henholdsvis operationelt. Det kan bruges strategisk for at foretage optimeringer en gang i mellem, og man følger så de beregnede recepter over en længere periode. En operationel version bruges til at foretage optimeringer før hver produktion, så der løbende kan tages hensyn til varierende råvarepriser og lagerbeholdninger. Det understreges, at en operationel version med fordel vil skulle have grænseflade til virksomhedens øvrige it-systemer, men dette er uden for scope af projektet. Validering og potentiale Det udviklede værktøj ville med fordel kunne testes på mindst én virksomhed med henblik på at validere funktionaliteten og kravspecificere detaljerne i en driftsbrugergrænseflade. Dette er desværre ikke nået inden for rammerne af projektet, hvilket hovedsageligt skyldtes problemer med at skaffe den fornødne tid og ressourcer på virksomhederne. 5
6 Bilag A Optimering af råvarebrug til kødprodukter: Håndtering af usikkerheder i GAMS optimeringsmodeller uden brug af LINDO solver Problemstilling 1 Nogle parametre i vores optimeringsmodeller i GAMS er bestemt med en vis usikkerhed. Et eksempel, som vi har kendt længe, er usikkerheden på udbyttemodeller altså udbyttet af et givet produkt som funktion af slagtevægt og kødprocent for svin. I nærværende projekt om optimering af råvarebrug til kødprodukter kan der bl.a. være usikkerhed på råvareegenskaberne (fx fedt- og proteinindhold) for de enkelte råvarer. En anden usikkerhed kan være på færdigvarens egenskaber. Fx usikkerhed på, hvordan fedtudskillelse afhænger af færdigvarens fedt- og proteinindhold, som i denne problemstilling anvendes som case. Der findes en solver til GAMS (LINDO), som kan håndtere stokastiske variable på en foreløbig ikke helt gennemskuelig måde. Inden vi eventuelt investerer i en LINDO solver, ønsker vi at afklare, hvordan vi kan håndtere usikkerheder = stokastiske variable med vores nuværende licens. Case 1 1. Vi ønsker at finde den optimale råvaresammensætning for et farsprodukt. Vi antager i denne case, at hver råvare har 100% kendt fedt- og proteinindhold altså ingen usikkerhed på råvarernes egenskaber. 2. Meget forsimplet optimerer vi på denne størrelse (målfunktionen): Værdi = farsmængde*salgspris råvareomkostninger 3. Men hvis der kommer fedtudskillelse, så får vi en lavere salgspris. 4. Fedtudskillelse afhænger af fedt%/protein%-forholdet (FP) i farsen a. Fedtudskillelse er en binær variabel; enten er det der, eller også er det der ikke. FP >= K => fedtudskillelse og FP < K => ikke_fedtudskillelse b. FP er en positiv variabel, som antager en given værdi i optimeringen. Teoretisk kunne den være 0, men aldrig negativ, da fedt- og proteinindhold ikke kan være negativt. c. K er en positiv variabel, som via forsøg på forhånd er bestemt med en vis usikkerhed, og det antages, at K er en normalfordelt stokastisk variabel med gennemsnit = µ og spredning = µ, 5. Der er en række andre begrænsninger i denne case fx minimum proteinindhold, minimum indhold af kødråvarer og maksimum kollagenindhold. 6
7 Overvejelser 1 6. Da K er en stokastisk variabel, så kan vi ikke med 100% sikkerhed afgøre, om der kommer fedtudskillelse ved en given FP. Vi kan beregne sandsynligheden for fedtudskillelse p(fedtudskillelse;fp) = p(k<=fp). 7. Hvis > 0 a. Hvis FP = µ i farsen, så er p(fedtudsk) = p(k<=µ) = 0,5. b. Hvis FP = µ +, så er p(fedtudsk) = p(k<=µ+ = 1 0,167 = 0,833 c. Hvis FP = µ, så er p(fedtudsk) = p(k<=µ- = 0,167 d. Osv. e. Generelt: p(fedtudsk;fp) = p(k<=fp) f. Omvendt er p(ikke-fedtudsk;fp) = p(k>fp) = 1-p(K<=FP) 8. Specialtilfælde: Hvis = 0 a. Hvis FP >= K, så er p(fedtudsk) = p(k>=µ) = 1 b. Hvis FP < K, så er p(fedtudsk) = p(k<µ) = 0 9. Vi ved ikke på forhånd, hvad FP bliver ved en given optimering, men vi kan beregne sandsynligheden for fedtudskillelse for enhver FP og dermed også sandsynligheden for ikke-fedtudskillelse, idet de to sandsynligheder summer til 1. Det vil sige, at vi ved optimeringen finder den optimale FP opnået ved den optimale råvaresammensætning set over mange produktioner. 10. Salgsværdien (farsmængde*salgspris) i målfunktionen omskrives til summen af (a) salgsværdien ved ikke_fedtudskillelse gange sandsynligheden for ikke_fedtudskillelse og (b) salgsværdien ved fedtudskillelse gange sandsynligheden for fedtudskillelse: Værdi = farsmængde*pris_ikke_fedtudskillelse*p(k>fp) + farsmængde*pris_fedtudskillelse*p(k<fp) råvareomkostninger eller Værdi = farsmængde*pris_ikke_fedtudskillelse*(1-p(k<fp)) + farsmængde*pris_fedtudskillelse*p(k<fp) råvareomkostninger 11. Salgsværdien vil derfor ligge i intervallet [farsmængde*pris_fedtudskillelse; farsmængde*pris_ikke_fedtudskillelse] 12. Sandsynlighederne beregnes med normalfordelingens tæthedsfunktion for K~N(µ, ) 1 (x μ)2 exp ( 2 π σ2 2 σ 2 ) 13. For at få den kumulerede sandsynlighed for fedtudskillelse skal der integreres fra 0 til FP. 7
8 0 FP 1 (x μ)2 exp ( 2 π σ2 2 σ 2 ) dx Dette er fejlfunktionen ( ) fra 0 til FP. I GAMS kan man bruge funktionen ERRORF(a), som er fejlfunktionen fra - til a for standard normalfordelingen (N(0,1)). 1. Da fejlfunktionen i GAMS er for standard normalfordelingen, skal vi transformere sandsynlighederne til standard normalfordeling: p(fedtudskillelse) = p(fu) = p(k<=fp) = ((FP-µ)/ ) p(ikke_fedtudskillelse) = p(ikke_fu) = p(k<=fp) = 1 - ((FP-µ)/ )) Vi ser, at når FP nærmer sig, så nærmer p(fedtudskillelse) sig 1, og p(ikke_fedtudskillelse) nærmer sig 0, og summen af de to sandsynligheder er 1. MEN da K>0 skal fejlfunktionen af K=0 (p(k<=0) ikke med, når vi beregner p(k<=fp). Det gøres ved at korrigere p(fu) ved at trække ((0-µ)/ ) fra og dividere med 1- ((0-µ)/ ): p(fu) = p(k FP) = p(ikke_fu) = p(k > FP) = 1 Vi ser, at: ((FP µ)/σ) ((0 µ)/σ) 1 ((0 µ)/σ) ((FP µ)/σ) ((0 µ)/σ) 1 ((0 µ)/σ) a. Når FP nærmer sig 0, så nærmer p(fu) sig 0 og p(ikke_fu) nærmer sig 1 b. Når FP nærmer sig, så nærmer p(fu) sig 1 og p(ikke_fu) nærmer sig 0 c. Summen af de to sandsynligheder er 1. og det er, som det skal være! Omskrivning til GAMS-kode P(FU)=(ERRORF((FP-µ)/ )-ERRORF((0-µ)/ ))/(1-(ERRORF((0-µ)/ ))) P(ikke_FU)=1-(ERRORF((FP-µ)/ )-ERRORF((0-µ)/ ))/(1-(ERRORF((0-µ)/ ))) FP= (SUM(Raavarer,Maengde(Raavarer)*Raavareegenskaber(Raavarer,'Fedt')) /(SUM(Raavarer,Maengde(Raavarer)*Raavareegenskaber(Raavarer,'Protein'))) For at forhindre division med 0 i beregningen af FU lægges til i nævneren FP=(SUM(Raavarer,Maengde(Raavarer)*Raavareegenskaber(Raavarer,'Fedt')) /(SUM (Raavarer,Maengde(Raavarer)*Raavareegenskaber(Raavarer,'Protein')) )) 8
9 µ=gns_fedtudskillelsesfaktor =std_fedtudskillelsesfaktor FP(FU)= (ERRORF(((SUM(Raavarer,Maengde(Raavarer)*Raavareegenskaber(Raavarer,'Fedt')) /(SUM(Raavarer,Maengde(Raavarer)*Raavareegenskaber(Raavarer,'Protein')) ))-GNS_FedtudskillelsesFaktor)/std_FedtudskillelsesFaktor)-ERRORF((0- GNS_FedtudskillelsesFaktor)/std_FedtudskillelsesFaktor))/(1-(ERRORF((0- GNS_FedtudskillelsesFaktor)/std_FedtudskillelsesFaktor))) P(ikke_FU)= 1-(ERRORF(((SUM(Raavarer,Maengde(Raavarer)*Raavareegenskaber(Raavarer,'Fedt')) /(SUM(Raavarer,Maengde(Raavarer)*Raavareegenskaber(Raavarer,'Protein')) ))-GNS_FedtudskillelsesFaktor)/std_FedtudskillelsesFaktor)-ERRORF((0- GNS_FedtudskillelsesFaktor)/std_FedtudskillelsesFaktor))/(1-(ERRORF((0- GNS_FedtudskillelsesFaktor)/std_FedtudskillelsesFaktor))) Problemstilling 2 Her adresseres problemstillingen med at tage højde for usikkerheden på råvarernes indholdsstoffer. Case 2 1. Indtil nu har råvarernes indhold af fedt, protein, kollagen, vand og kulhydrat været konstanter for hver råvare. Hver af disse har imidlertid en variation = spredning. Spredningen er udtryk for usikkerheden på gennemsnittet. 2. Når vi blander flere råvarer til en fars, kan blandingens indhold af fx fedt beregnes med: Fedt%(Blanding) = (Andel i Fedt% i ) Hvor i er råvarerne. n i=1 3. Usikkerheden (spredningen) på blandingens fedtprocent beregnes via varianserne: Var(Fedt%(Blanding)) = (Andel i 2 Var(Fedt% i )) n i=1 Spredning(Fedt%(Blanding)) = Var(Fedt%(Blanding)) n = (Andel i 2 Var(Fedt% i )) i=1 9
10 Sandsynligheden for, at blandingens fedtprocent er mindre end eller lig en given procent beregnes med fejlfunktionen (se tidligere). Den kan bruges til at sikre en given lille sandsynlighed for, at maksimum fedtprocent overskrides: Angiv en maksimal sandsynlighed for, at fedtprocenten er større end maksimum fx p(fedt%(blanding)) 0,001 (1 promille). Med den beregnede spredning indsat i normalfordelingen får vi kravet, som skal inkluderes i optimeringsmodellen: p(fedt%(blanding)) = ((FP-µ)/ ) 0,001 Figur 1. Normalfordeling og fejlfunktion p(k=x) K=2 ± p(fu; FP=x)=p(K<x) K K=2 ± 1 FP 10
Rapport Udnyttelse af detaljeret råvareviden WP3. Optimering af råvarebrug til kødprodukter Status for 2016 Chris Claudi-Magnussen
Rapport Udnyttelse af detaljeret råvareviden WP3. Optimering af råvarebrug til kødprodukter Status for 2016 Chris Claudi-Magnussen 19. januar 2017 Proj.nr. 2004279 Version 1 Indledning Råvaren er den største
Læs mereWorkshop om optimering Tulip Svenstrup Holger Dirac, centerchef, Troels Mørch, konsulent,
Workshop om optimering Tulip Svenstrup 2018.04.25 Holger Dirac, centerchef, pahd@dti.dk Troels Mørch, konsulent, tmo@teknologisk.dk Dagsorden 1. Introduktion til optimering v. Holger (09:15-10:00) 2. Demonstration,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereProj.nr Opdatering af Råvaredatabasen. Formål Beskrive data til validering og udvidelse. I de to andre bovskæringer er ændringerne minimale.
20. februar 2019 Notat Proj.nr. 2007087 Opdatering af Råvaredatabasen Version 01 Kemisk sammensætning, validering og analyser anno 2018 MAHD/MT Baggrund Råvaredatabasen blev udviklet i perioden 2000-02.
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereRapport. Produktion af forædlede kødprodukter. Optimering af kogeprocessen for Kødpølse Lise Nersting og Hauke Hemmsen
Rapport 13.7.216 Proj.nr. 22983-14 Produktion af forædlede kødprodukter /HVHE/LNG/JUSS Optimering af kogeprocessen for Kødpølse Lise Nersting og Hauke Hemmsen Formål Baggrund Konklusion At undersøge om
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereLøsninger til kapitel 6
Opgave 6.1 a) 180 200 P ( X < 180) = Φ = Φ( = 0, 1587 b) 220 200 P ( X > 220) = Φ = Φ(1) = 0, 8413 c) 200 200 P ( X > 200) = 1 X < 200) = 1 Φ = ) = 1 0,5 = 0, 5 d) P ( X = 230) = 0 e) 180 200 P ( X 180)
Læs mere5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14
Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5
Læs mereRapport 1. Sensorisk profil af kødboller tilsat tekstureret ærteprotein. 3. april Proj.nr Init. ASNI/MT.
Rapport 1 3. april 2019 Sensorisk profil af kødboller tilsat tekstureret ærteprotein Astrid Nielsen Proj.nr. 2007094 Init. ASNI/MT Baggrund Sammendrag I projektet Nye kombinationer med kød- og planteproteiner
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereC) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.
C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011
Læs mereSimuleringsmodel for livsforløb
Simuleringsmodel for livsforløb Implementering af indkomststokastik i modellen 9. november 2009 Sune Sabiers sep@dreammodel.dk Indledning I forbindelse med EPRN projektet Livsforløbsanalyse for karakteristiske
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereDesign of Experiments
Design of Experiments -den moderne 128. beretning Gitte Nomanni Holm Arla Foods Hvem er jeg og hvor i Arla sidder jeg Gitte Nomanni Holm Siden 2008 uddannet levnedsmiddelsingeniør med speciale i Proces
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereKiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen
Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereAt vurdere om NitFom kan anvendes på slagtelinjen til prædiktion af slagtekroppes fedtkvalitet.
Rapport Fedtkvalitet i moderne svineproduktion NitFom til måling af fedtkvalitet i svineslagtekroppe Chris Claudi-Magnussen, DMRI og Mette Christensen, Carometec 23. maj 2014 Projektnr. 2001474 CCM Indledning
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereEstimation og usikkerhed
Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereRapport Optimeret produktion af forædlede produkter
Rapport Optimeret produktion af forædlede produkter 16.6.216 Proj.nr.22983 HVHE/LNG/JUSS Tilsætning af fugt og reduktion af procestider og temperaturer ved fremstilling af frankfurter mhp at minimere svind
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOptimering af vedligeholdelse. Chris Claudi-Magnussen,
Optimering af vedligeholdelse Chris Claudi-Magnussen, ccm@teknologisk.dk Vedligeholdelse! Hvornår! Driftstop Reparation Vedligeholdelse Kr. Kr. Reparation pris Vedligehold pris Levealder Gennemsnit og
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereOversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens
Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereBilag 1: Robusthedsanalyser af effektiviseringspotentialerne. Bilaget indeholder analyser af effektiviseringspotentialernes robusthed.
Bilag 1: Robusthedsanalyser af effektiviseringspotentialerne Bilaget indeholder analyser af effektiviseringspotentialernes robusthed. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2013 Indholdsfortegnelse Indledning
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereRapport. Tilvækstproblematik Slutrapport. Hardy Christensen. Sammendrag. Baggrund
Rapport Tilvækstproblematik Slutrapport 18. august 2010 Proj.nr. 1379712 Version 01 HCH/LHAN Hardy Christensen Sammendrag Baggrund Der er gennemført en række forsøg i forbindelse med marinering af kyllingeprodukter.
Læs mereRapport. Sammendrag. Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet. Chris Claudi-Magnussen
Rapport Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet Afprøvning af mørhedsmåling med LabSpec Portable Spectrometer og VideometerLab 2. august 2010 Proj.nr. 1378902 Version 1 Chris
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereRapport Fedtkvalitet i moderne svineproduktion Jodtal, smeltepunkt og sammenhæng mellem fedtvæv (fedtatlas) samt farve af spæk og ph i kam
Rapport Fedtkvalitet i moderne svineproduktion, smeltepunkt og sammenhæng mellem fedtvæv (fedtatlas) samt farve af spæk og ph i kam Chris Claudi-Magnussen 27. september 213 Proj.nr. 21474 Version 1 CCM/HNH
Læs mere2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.
2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereBilag 7. SFA-modellen
Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2
Læs mereFormålet med dette notat er at danne grundlag for denne beslutning. Notatet består af følgende 4 afsnit:
Notat Vedrørende: Notat om valg mellem statsgaranti og selvbudgettering i 2017 Sagsnavn: Budget 2017-20 Sagsnummer: 00.01.00-S00-5-15 Skrevet af: Brian Hansen E-mail: brian.hansen@randers.dk Forvaltning:
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π
Læs mereLokalisering af og samspil mellem distributionsterminaler
Lokalisering af og samspil mellem distributionsterminaler Louise Tranberg DTU, Lyngby Logistisk optimering Hvordan optimeres den fysiske struktur og logistik i transportfirmaer? Hvor mange terminaler skal
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereBesvarelser til øvelsesopgaver i uge 6
Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Opgave 7.46, side 228 (7ed 7.28, side 244 og 6ed: 7.28, side 240) Vi tænker os, at vi har data for emissionen {x 1, x 2,..., x n }, når det pågældende device er monteret.
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereGuidelines til produktapplikation af animalske proteiningredienser. Animalske proteiningredienser
Guidelines til produktapplikation af animalske proteiningredienser Animalske proteiningredienser Proteinberigelse med sidestrømme Kød og sidestrømsprodukter fra slagterier er grundlæggende gode proteinkilder
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mere