Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Transkript

1 Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser, der udtrykker materialets karakteristiske egenskaber. Specielt kan nævnes sumkurver og boksplot. Noterne er supplement til Vejen til matematik AB1 Deskriptiv statistik Version 2.1 Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1

2 Indhold Deskriptiv statistik... 1 Ikke grupperet observationer... 2 Statistiske deskriptorer... 2 Pindediagram... 3 Trappediagram... 4 Grupperet observationer... 6 Statistiske deskriptorer... 7 Histogram... 7 Sumkurve... 8 Fraktiler... 9 Kvartilsæt for ikke grupperede observationer Kvartilsættet for et grupperet observationssæt Boksplot Normalfordeling Definition: Normalfordeling Påvise en normalfordeling: Spredning/standardafvigelse Sætning: spredning Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

3 Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik betyder beskrivende statistik (video). Vi kan ud fra nogle observationer udlede nogle interessante informationer, som vi så kan anskueliggøre bl.a. billedeligt ved grafer. Dette felt inden for matematik er i særdeleshed et godt redskab til især samfundsfag og det daglige liv. På Frividen.dk kan du se en helt anden måde at forklare det på. Deskriptiv statistik kan deles op i to afdelinger: 1. En afdeling som kigger på de enkelte observationer i et observationssæt som (oftest) kun indeholder hele tal på et begrænset interval. Det kunne være karakterer, antal elever i klasserne mm. Dette kaldes de IKKE grupperet observationssæt. 2. En afdeling som kigger på observationer, som kan puttes i kasser også kaldet intervaller. Her er der mulighed for at medtage decimaltal. Det kunne være højden på 1g elever, kondital for 1g elever mm. Dette kaldes et grupperet observationssæt. Helt grundlæggende så har vi i begge situationer et observationssæt, som ser sådan her ud. Observation Hyppighed Her kan vi så udtrække de tre statistiske deskriptorer. 1. Observationssættets størrelse, også kaldet n 2. Typetallet/type intervallet, som er det tal/interval, som har den største hyppighed. Der kan godt være flere typetal/intervaller. 3. Middelværdien, som er den gennemsnitlige værdi af observationerne, og den bestemmes ved at lægge alle observationer sammen og dividere med det samlede antal observationer. Her efter kan vi udfærdige dette skema: Observation Hyppighed Frekvens Kumuleret frekvens Frekvensen beregnes som eller i procent som. Den kumulerede frekvens er en betegnelse for den opsummerede frekvens fra start og til den pågældende observation. Det vil sige at eks. eller Ud fra ovenstående tabel kan vi så tegne diverse grafer som illustration af observationssættet, hvilket vi vil komme ind på i det næste. 1

4 Ikke grupperet observationer Til at belyse det tekniske indenfor ikke grupperede observationer, tager vi udgangspunkt i et eksempel, som så vil blive belyst hele vejen igennem dette afsnit. Der vil løbende være forklaring til hvordan TI Nspire kan inddrages. (video) Til en matematikeksamen på matematik B har der for 10 klasser været følgende fordeling af karakterer (opdigtet). Karakter Antal Som en start kan jeg i TI Nspire definere to lister med de nævnte værdier: obs_list := -3, 0, 2, 4, 7, 10, 12 hyp_list := 5, 24, 34, 58, 80, 52, 25 Se her for grundlæggende beregninger i TI Nspire (video) Statistiske deskriptorer De tre statistiske deskriptorer bliver her: 1. Observationssættets størrelse n bliver I TI Nspire kan vi gøre det ved 2. Typetallet er 7, da dette er blevet set 80 gange. 3. Middelværdien bestemmes ved formlen I TI Nspire kan vi gøre det ved mean obs_list, hyp_list Lav opgave 91 a, b side122, opgave 92 side 122 2

5 Pindediagram For at anskueliggøre fordelingen af observationerne kan vi tegne et pindediagram over hyppighederne eller frekvensen (video). Frekvensen kan som tidligere nævnt bestemmes ved. Dermed bliver I TI Nspire gøres det simpelt ved: frek := hyp_list n , , , , , 18.7 Dette giver os følgende tabel: Karakter Antal Frekvens Pas på med afrunding, da summen af frekvenserne SKAL give 100 (ser vi senere). Vi tegner nu de to pindediagrammer. Læg mærke til at de er helt ens på nær anden aksen. Begge diagrammer har observationer som første aksen, men derefter har de enten hyppigheder eller frekvenser som anden aksen. Hyppighed Frekvens i procent Observation/karakter Observation/karakter I TI Nspire tegnes pindediagrammet ved at indskrive tallene i et dataark og herefter lave et kombinationsdiagram. (video) 3

6 Frekvensen kan eksempelvis bruges til at bestemme hvor mange procent af eleverne der fik enten 2, 4 eller 7. Svaret må være (Men vi kan gøre det nemmere for os selv ved at indføre den opsummerende frekvens.) Lav øvelse 1.5 side 96, øvelse 1.6 side 96, opgave 91 c og opgave 94 side 122 Trappediagram Vi kan tegne et trappediagram ud fra den kumulerede frekvens (video). Den kan bestemmes ved:. I eksemplet I TI Nspire kan de bestemmes ved kumfrek := cumsum frek , , , , Dette giver følgende tabel Karakter Antal Frekvens Kumuleret frekvens i % Det sidste tal i den kumulerede frekvens SKAL give 1 eller 100% Vi har illustreret hyppighederne og frekvenserne ved pindediagrammer. Tilsvarende kan vi illustrere den kumulerede frekvens ved et trappediagram. Vi afsætter ud for de aktuelle observationer den tilsvarende kumulerede frekvens. Der efter tegnes en vandret linje hen til den næste observationsværdi. Vi tegner IKKE direkte fra værdi til værdi, da dette ville forudsætte at der eksisterede værdier imellem de aktuelle observationer. Kumuleret frekvens i procent Observation/karakter 4

7 Det kan være svært at tegne et trappediagram i TI Nspire, men hvis afstanden mellem de observerede værdier er lige store, så kan vi godt (udvider blot bredden på pindene i pindediagrammet) I Nspire kunne det se således ud: Læg mærke til at vi gør intervallerne lige store og flytter søjlerne. (video) Lav øvelse 1.8 side 100, opgave 91 (trappediagram) og opgave 94 (lave et trappediagram) 5

8 Grupperet observationer Hvis vi har et observationssæt som har MANGE forskellige observationer eks. højden af gymnasieelever, vægt på køer mm. så opstiller vi et grupperet observationssæt (video). Vi putter simpelthen vores observationer i kasser også kaldet intervaller. Vores intervaller skal sikre at ALLE tænkelige observationer kan medtages. Til at belyse det tekniske indenfor grupperede observationer, tager vi udgangspunkt i et eksempel, som så vil blive belyst hele vejen igennem dette afsnit. Der vil løbende være forklaring til hvordan TI NSPIRE kan inddrages. Eleverne som tog eksamen i matematik (i afsnittet om ikke grupperede observationer) fik også målt deres højde. Højden blev målt i cm. Der var ingen under 160 cm og ingen over 200 cm Højde [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] Antal Den første række kaldes nulrækken, og er en, som man med fordel kan vælge at sætte ind, da dette gør det nemmere når diverse grafer skal tegnes. Jeg får senere brug for følgende tre lister: Værdierne midt i intervallerne midt_list := 157.5, 162.5, 167.5, 172.5, 177.5, 182.5, 187.5, 195 Intervalendepunkterne endepunkt := 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 200 Hyppighederne hyp_list := 0, 19, 39, 64, 70, 50, 26, 10 En vigtig pointe i ovenstående lister er, at vi går ud fra at: observationerne er ligeligt fordelt i intervallerne. 6

9 Statistiske deskriptorer De tre statistiske deskriptorer bliver her: 1. Observationssættets størrelse n bliver I TI NSPIRE kan vi gøre det ved 2. Typeintervallet er ] ], da dette er blevet set 70 gange. 3. Middelværdien bestemmes ved formlen I TI NSPIRE kan vi gøre det ved mean midt_list, hyp_list Dette kaldes for den teoretiske middelværdi, da vi jo antog at observationerne er ligeligt fordelt i intervallerne. Bestem de statistiske deskriptorer i opgave 105 og opgave 106 side 124 Bestem middelværdien i opgave 95 side 122 og opgave 99 side 123 Histogram For at anskueliggøre fordelingen af observationerne kan vi tegne et histogram over hyppighederne eller frekvensen (video). Vi udfærdiger derfor tabellen, da proceduren for frekvens og kumuleret frekvens er den samme som tidligere nævnt: Frekvensen i procent frek := hyp_list 100 n 0., , , , , , , Nu har vi tabellen: Højde [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] Antal Frek Vi kan se at der er af eleverne der var mellem 170 og 180 cm høje Vi kan nu tegne histogrammet. 7

10 Begge diagrammer har observationer som første aksen, hvor vi indsætter kasser på de aktuelle intervaller. Kasserne har et areal, som svarer til deres indhold (læg især mærke til det sidste interval). 10 personer 2.5% Første graf er over hyppighederne. Anden graf er over frekvenserne. Det som er helt specielt ved histogrammer er, at de ikke har nogen anden-akse. Det vi afbilder, det er arealer. Her kan du se hvordan vi kan gøre det i TI Nspire (video) Tegn et histogram for opgave 99 side 123 og opgave 95 side 122 Sumkurve Vi har illustreret hyppighederne og frekvenserne ved histogrammer. Tilsvarende kan vi illustrere den kumulerede frekvens ved en sumkurve (video). Men først skal vi bruge den kumulerede frekvens. Den kumulerede frekvens: kum_frek := cumsum frek 0., , , , , , , 100. Højde [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] Antal Frek Kum Vi kan ud fra den kumulerede frekvens aflæse at 87% var under 185cm. 8

11 For at tegne sumkurven skal vi bruge vores intervalendepunkter, som bliver afsat på første aksen. VIGTIGT at det er intervalendepunkter da vi skal anskueliggøre hele intervallet. Vi afsætter ud for de aktuelle intervalendepunkter den tilsvarende kumulerede frekvens. Derefter forbindes punkterne. Vi forbinder punkterne, fordi at vi antager, at alle observationerne i intervallerne er ligeligt fordelt. Se her hvordan du kan gøre det i TI Nspire (video) Kumuleret frekvens i procent Observation/Højde Lav en sumkurve for opgave 96 side 122, opgave 99 side 123 Lav opgave 101 a side 123, opgave 102 a side 123 Fraktiler Kigger vi i den store danske ordbog, så står der: fraktil, (af lat.fractus 'brudt', af frangere 'bryde, brække itu'), i beskrivende statistik afgrænsning af en vis andel af en mængde observationer. Når vi tager alle vores observationer og lister dem op i rækkefølge, så kan vi aflæse det der kaldes fraktiler, som er værdien på en bestemt plads i rækken af observationer (video). Vi kunne eksempelvis liste vores observationer fra det ikke grupperede observationssæt op. Det er det samme princip for det grupperede (hvis vi da kender alle observationernes nøjagtige værdi.) Et eksempel: 10% fraktilen aflæses ved at tage 10% af observationssættets størrelse, og så tælle ind i rækken, og aflæse værdien: 9

12 Hvis vi lander lige oven på en observation, så er fraktilen denne værdi. Hvis positionen er imellem to observationer, så er der to metoder: 1. Danskstandard: Vi tager den største værdi, nemlig værdien til højre. 2. Internationalstandard: Vi tager et snit af de to. TI NSPIRE kører på denne standard. De mest benyttede fraktiler er 25%-, 50%- og 75%-fraktilen. De kaldes nedre kvartil, median og øvre kvartil tilsammen udgør de det, som hedder kvartilsættet. I vores eksempel ville 10% fraktilen lande på plads 27,8 altså mellem plads 27 og 28. obs Danskstandard giver værdien af 28 og internationalstandard er gennemsnittet af de to. Vi kan se at de to værdier er 0 og 0, så uanset standard, så er 10% fraktilen 0. Men oftest så kan vi aflæse direkte fra vores grafer. Kvartilsæt for ikke grupperede observationer Lad os vende tilbage til vores trappediagram og vores sumkurve, hvor vi kan aflæse vores fraktiler. Vi tegner en vandret linje ud for den givne fraktal (procent) og der hvor den rammer trappen/kurven går vi lodret ned og aflæser værdien af fraktalen. Kvartilsæt ikke grupperet: Nedre kvartil er 4 Medianen er 7 Den øvre kvartil er 10 Kumuleret frekvens i procent Observation/karakter DETTE ER DANSK STANDARD Kvartilsættet samt mindste værdi og maksimale værdi kan bruges til at tegne et boksplot. 10

13 I TI Nspire kan vi bestemme kvartilsættet samt andre statistiske størrelser for et ikke grupperet observationssæt ved at lave statistik med en variabel på vores observationsliste og vores hyppighedsliste. DETTE ER INTERNATIONALSTANDARD Argumenter for hvorfor at begge standarder gav det samme resultat. Kvartilsættet for et grupperet observationssæt For at bestemme kvartilsættet for et grupperet observationssæt, så kræver det at vi har en sumkurve. Vi kan ikke som under ikke grupperede observationer lave en statistisk analyse, da vi jo ikke har samtlige observationer, men kun et estimat af hvordan de fordeler sig. Vi indtegner tre vandrette linjer ( vores sumkurve kan vi aflæse vores kvartiler som førstekoordinaten. ). Der hvor de skærer 11

14 I eksemplet har vi fundet Mindste værdi 160 Nedre kvartil 171 Median 176 Øvre kvartil 182 Maksimum værdi 200 Vi kan også beregne vores kvartilsæt (hvis vi skal være lidt mere præcise). Vi finder blot to koordinater som ligger på hver sin side af en kvartil, og herefter findes forskriften for den rette linje gennem disse to punkter. Den fundne linje løses så lige med den aktuelle kvartil. Nedre kvartil: Mellem (170,20.9) og (175,43.9) Tilsvarende kan laves for: Median: Mellem (175,43.9) og (180,69.1) Øvre kvartil: (180,69.1) og (185,87.1) Hvis vi har givet samtlige observationer, så er fremgangsmåden den samme som i trappediagrammet (ved internationalstandard). Lav øvelse 1.7 side 99, øvelse 1.8 side 100, opgave 2.2 side 105, opgave 2.7, 2.8 og 2.9 side

15 Boksplot Når man kender kvartilerne i et observationssæt, kan man skaffe sig et overblik over disse ved at tegne et boksplot (video). Boksplottet illustrerer hvor stort et interval af kvartilerne (altså 25 % af observationssættet) fordeler sig over. Når vi skal tegne et boksplot kan vi gøre det i hånden ved at sætte en lille lodret streg ud for den mindste værdi der er observeret. Der næste afsættes en lidt større lodretstreg ud for nedre kvartil. Disse to forbindes med en streg. Så afsættes som ved den nedre kvartil medianen og den øvre kvartil. Disse lodrettes streger tegnes nu som en kasse. Til sidst afsættes som ved mindste værdi den største observerede værdi. Denne forbindes til kassen. Eller vi kan få TI Nspire til det. Boksplot grupperet (video), ikke grupperet (video) Læg mærke til det lille trick, at den nedre og øvre kvartil gentages. Ud fra et boksplot kan vi så udtale os om spredningen hen over kvartilerne. Eksempelvis kan vi se at højden fordeler sig således at 25% er mellem 160 og 171. Der er større spredning på de 25% største, og noget mindre spredning på 25%-50%. De midterste 50% fordeler sig mellem 171 og 182 cm. Lav øvelse 2.6 side 107, lav boksplot over opgav 2.8 side 108 og sammenlign disse. Lav opgave 106 d side

16 Normalfordeling Normalfordelingen er en af de vigtigste sandsynlighedsfordelinger og benævnes også Gaussfordelingen. Den er kontinuert og kan principielt omfatte alle reelle tal. Den er symmetrisk og kan entydigt bestemmes ved observationssættets middelværdi og varians. (se video) Normalfordelingen bruges som en "model" af hvordan et stort antal statistiske elementer fordeler sig omkring deres gennemsnit/middelværdi. Hvis man for eksempel måler højden eller vægten af hver enkelt i en stor, ensartet gruppe af personer, vil de fleste ligge omkring et vist gennemsnit, mens meget store eller små personer er mere sjældne. Vi kobler normalfordelingen til grupperet observationer, da alle værdier i intervallet skal kunne forekomme. Vi kan derfor kun bruge normalfordelingen i forbindelse med grupperet observationer. 2:Hvis et observationssæt er normalfordelt, vil man kunne tegne en klokke form over histogrammet. (tæthedsfunktionen) 1: Hvis et observationssæt er normalfordelt, så kan man tegne en sumkurve som er symmetrisk omkring medianen. (fordelingsfunktionen) Både erfaring og teoretiske argumenter viser, at når der er stokastiske elementer, dvs. tilfældighed, med i spillet, fremkommer der en symmetrisk klokkekurve. Kurven kan være smal eller bred, men den har næsten altid samme grundform. Mange størrelser som soldaters højde, tandpastatubers vægt og menneskers intelligens fordeler sig på denne måde. Du to grafer, som vi kigger på i denne sammenhæng er tæthedsfunktionen som er et udtryk for klokkens form (histogram), og så fordelingsfunktionen som viser det udstrakte S (sumkurven). Begge grafer viser altså fordelingen af sandsynlighederne. 14

17 Definition: Normalfordeling Udfaldene x fra et eksperiment med uendeligt mange tætliggende udfald siges at være normalfordelte, hvis tæthedsfunktionen har forskriften. Tallet kaldes den teoretiske middelværdi og tallet kaldes den teoretiske spredning. I praksis til at bestemme om et datasæt er normalfordelt kan man men fordel benytte et normalfordelingspapir. Påvise en normalfordeling: Hvis man bliver bedt om at redegøre for, at nogle observationer er normalfordelte er det ikke tilstrækkeligt at tegne et pindediagram (eller et histogram) over fordelingen, og dermed vise, der er tale om noget, der næsten ligner en klokke. På et normalfordelingspapir afsættes som på samme måde som ved sumkurven punkterne (højre intervalendepunkt, kumuleret frekvens). Hvis der forekommer en tilnærmelsesvis ret linje så er observationssættet normalfordelt. VIGTIGT: vi afsætter ikke 0% og 100% 15

18 Vi kan se at vores observationssæt med gymnasieelevernes højder er normalfordelte, da der forekommer en tilnærmelsesvis ret linje på normalfordelingspapiret. Lav opgave 102 a side 123, opgave 105 side 124 og opgave 106 d side

19 Spredning/standardafvigelse Standardafvigelsen eller spredningen bruges inden for sandsynlighedsregning og statistik og er et udtryk for, hvor meget en stokastisk variabel fordeler sig omkring dens gennemsnit/middelværdi. Spredningen angiver altså hvor bred en normalfordeling er. g(x) På grafen ses tre normalfordelinger f(x) har g(x) har og og f(x) h(x) har og h(x) Her ses det tydeligt at deres top er ud for deres teoretiske middelværdi og jo større spredning jo fladere og bredere er grafen Sætning: spredning Ved standardafvigelsen for et datasæt forstår man kvadratroden af variansen Bevis: Udelades her. Hvis man har et normalfordelingspapir til rådighed, kan spredningen aflæses ved at bestemme de værdier som resulterer i 16% og 84%. Afstanden fra disse og til middelværdien er et udtryk for spredningen. (spredningen skal være ens uanset hvilken side den findes på). 17

20 Den kan aflæses til ca 7.5. Men aflæsningen er klart mest upræcist. Vi prøver nu at bestemme spredningen via formlerne: hyp := 19, 39, 64, 70, 50, 26, 10 midt := 162.5, 167.5, 172.5, 177.5, 182.5, 187.5, 195 n := 278 spredning = sumlist hyp midt n 2 spredning = Den kan altså beregnes til ca Så 68% af observationerne ligger inden for. Bestem spredningen i opgave 101 side 123 og opgave 102 side