Projekt 7.1 Ægyptisk matematik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 7.1 Ægyptisk matematik"

Transkript

1 Projekt 7.1 Ægyptisk matematik Dette projekt kan anvendes på flere måder. I 1.g kan det anvendes som et matematikhistorisk projekt, gerne i et samarbejde med faget historie. Man kan her vælge at fokusere på det geometriske, hvor eksempelvis afsnittet om pyramidestub er lidt udfordrende. Man kan også vælge at fokusere på det aritmetiske, specielt ægypternes brøkregning og deres evner til at omskrive alle resultater som en sum af stambrøker. Der er givet forslag til små opgaveforløb / projekter, og der ligger en litteraturliste bagest i projektmaterialet. Projektet kan også anvendes som materiale til et studieretningsprojekt Indhold 1. De store pyramider og matematikken bag.... Det ægyptiske landbrug og arealberegninger af firkantede marker Den ægyptiske beregning af arealet af en rund mark... 6 Kommentarer til den ægyptiske beregning Avanceret matematik rumfanget af en pyramidestub... 8 Moderne metode... 8 Ægyptisk metode Kommentarer til den ægyptiske beregning Aritmetik Det ægyptiske talsystem Stambrøker Omskrivning til stambrøker en mulig algoritme Forslag til opgaver og problemformulering Litteratur... 17

2 1. De store pyramider og matematikken bag De store ægyptiske pyramider blev bygget for år siden i den periode, vi i dag kalder Det Ældste Rige. Vi ved ikke præcis, hvordan de har båret sig ad med at gennemføre så ubegribeligt store byggeprojekter. Men det betyder ikke, at så kan den ene teori være lige så god som enhver anden. En teori skal kunne forklare nogle fænomener på en sådan måde, at vi har muligheder for at undersøge og efterprøve, om det er god og brugbar teori, der giver en rimelig forklaring på det, vi ser eller ræsonnerer os til, eller om den må afvises, da den åbenlyst strider mod den viden, vi i øvrigt har. Mystiske forestillinger om, at pyramiderne og andre af oldtidens store bygningsværker i virkeligheden er opført af rumvæsener, er slet ikke nogen teori hvordan skulle den efterprøves? Cheopspyramiden, der blev bygget omkring 600 f.v.t., er den største. Den er bygget af ca.,3 millioner stenblokke, der hver vejer omkring 500 kg. Nogle af blokkene vejer helt op mod 15 tons. Den er bygget med en forbløffende nøjagtighed. Grundfladen er et perfekt kvadrat, sidelængderne er 30,3 meter med en variation på kun 0,01%. Og hældningen af sidefladerne er fuldstændig ens. Da Cheopspyramiden blev bygget, var den 147 m høj, og den var i ca år verdens højeste bygning. Den havde dengang en glat overflade lavet med hvide kalksten, men et voldsomt jordskælv i år 1300 løsnede disse kalksten og noget af det øverste af pyramiden, så den kom til at se ud, som vi nu ser den. Et sådant byggeri kan ikke være lavet uden ingeniører, arkitekter og matematikere til at tegne og beregne samt lede hele byggeprocessen, herunder udregne behovet for arbejdskraft osv. Man vurderer, at der har været ca arbejdere beskæftiget gennem 0 år og hvordan sikrer man fødevarer og andre fornødenheder til dem? De kan ikke bare have kastet sig ud i det og prøvet sig frem. Men vi har ikke nogen overleveringer, der eksempelvis fortæller om deres ingeniørkunst. Der findes kun nogle få kilder til den ægyptiske matematik, fordi de skrev på papyrus, der er en art papir lavet på basis af siv, og som er forgængeligt materiale, i modsætning til babylonierne, der skrev på lertavler, som de brændte, og som der er bevaret tusinder af. Der er bevaret en håndfuld papyrus, og ud af deres opbygning og af andre papyrus kan vi slutte os til, at der foregik en matematikundervisning, og at kendskab til matematik var uomgængelig for de embedsmænd, der hed skrivere, og som hørte til den ledende gruppe i samfundet. Når der er så få kilder bevaret, og vi samtidig ved, at der foregik matematikundervisning gennem mange hundrede år, kan vi ikke vide, om undervisning og videnskab også foregik på et højere niveau, end vi får kendskab til gennem kilderne. Vi kan se af de papyrus, vi kender, at skriverne har været gode til at regne med tal og brøker. Det vender vi tilbage tii i afsnittet om Tal og aritmetik nedenfor.

3 Øvelse 1 I den største papyrus, der er fundet, den såkaldte Papyrus Rhind, opkaldt efter Henry Rhind, der fandt den i 1858, er der flere opgaver med beregninger af hældningen på pyramideflader. I dag vil vi normalt beregne eller spørge: Hvor langt går vi op, når vi går 1 enhed vandret ud. Hos ægypterne spurgte de modsat: Hvor langt går vi ud, når vi går 1 enhed lodret op? Denne hældning kaldte de seqt. Problem nr. 46 i Papyrus Rhind lyder: Hvis en kvadratisk pyramide er 93,5 enheder høj, og siden i grundfladen er 140 enheder lang, hvad er så dens seqt? a) Først regner vi moderne : Tegn en model af tværsnittet af denne pyramide i et koordinatsystem. De skrå sideflader kan betragtes som en rette linjer i koordinatsystemet. Bestem stigningstallet (hældningskoefficienten) for linjen med positiv hældning. b) Så regner vi som ægypterne: Hvad bliver pyramidens seqt? c) Hvad er Cheopspyramidens seqt? d) Hvad kan være årsagen til, at de anvendte dette mål for hældningen? (Hjælp: Forestil dig, du er den ledende ingeniør på bygningen af omtalte pyramide. Du har lavet en geometrisk model og udregnet dens seqt. Du har bestilt sten, der alle er 1 enhed på den ene led, og de skal nu placeres i næste lag af pyramiden. Hvordan vil du markere overfor arbejderne, hvor de skal placere stenene i det nye lag i forhold til kanten? Hvis stenene i stedet var 1,5 seqt på den ene led, hvordan ville du så angive, hvor de skulle lægges i forhold til kanten?)

4 . Det ægyptiske landbrug og arealberegninger af firkantede marker Den rigdom, som de store pyramider demonstrerer, bunder i, at den ægyptiske befolkning lærte at udnytte de meget frugtbare jorder langs Nilen. Markerne her får tilført næringsrigt dynd, når Nilen regelmæssigt går over sine bredder. Nilen er verdens længste flod, så der er samlet set tale om meget store arealer. Faraoerne, de ægyptiske herskere fik deres hovedindtægt gennem beskatning af bønderne, og størrelsen heraf blev bestemt af markernes areal. Derfor var det nødvendigt med en nøje opmåling og registrering af markerne. Og efter oversvømmelser, hvor skellene mellem markerne blev udvisket, og Nilen måske tog eller gav nyt land, var det altid nødvendigt med en ny opmåling. Der er overleveret en fortælling herom af den græske historiker Herodot ( f.v.t.). Herodot, der levede mere end 000 år efter, Cheopspyramiden blev bygget, foretog mange rejser i middelhavsområdet, og han samlede sine indtryk i et værk, der simpelthen hed Historien. Han kom også til Ægypten og fortæller: Det var ifølge præsternes udsagn denne konge (Se-sostris), der udstykkede jorden til alle ægypterne, idet han tildelte hver en firkantet lod af samme størrelse, og han byggede sine indtægter på dette ved at påligne dem en årlig afgift. Hvis floden tog noget fra en mands jordlod, henvendte han sig til kongen og meddelte, hvad der var sket. Denne sendte så synsmænd ud, der skulle måle op, hvor meget mindre stykket var blevet, for at besidderen i fremtiden kunne svare afgift i forhold dertil. Jeg mener, dette var anledningen til, at landmålerkunsten blev opfundet, som siden er kommet til Hellas. (Herodot, Bog II, 109, Thure Hastrup og Leo Hjortøs oversættelse, Gyldendal 1979)) Vi kan se af de forskellige papyrus, der er overleveret, at udregning af arealer spillede en stor rolle i matematikundervisningen.

5 Øvelse Nedenfor er gengivet et udsnit af Papyrus Rhind. Hvilke geometriske figurer optræder på denne side? Øvelse 3 I Papyrus Rhind findes eksempler på arealberegninger af firkanter, trekanter og trapezer. Fx finder vi følgende formel for beregning af arealet af en firkant ABCD: Udregn gennemsnittet af længden af siderne over for hinanden, dvs. disse tal. a c og b d, så er arealet produktet af a) Lad ABCD være et rektangel med siderne 10 og 0. Hvad er arealet? Hvilket resultat giver den ægyptiske formel? b) Lad ABCD være et ligesidet trapez med de modstående parallelle sider af længder 4 og 1, og med skrå sider af længde 8. Hvad er arealet? Hvilket resultat giver den ægyptiske formel? Øvelse 4 a) Tegn en firkant i et dynamisk geometriprogram og bestem arealet (evt. ved at opdele i trekanter). Den kan se således ud: b) Udregn det resultat man, man får, når man bruger den ægyptiske formel: 1. b b 1 h h 1 A til at beregne arealet. c) Lav en beregning, der udtrykker, hvor stor afvigelsen er fra det korrekte areal. d) Træk i firkanten, og giv et bud på, for hvilke typer firkanter formlen giver det rigtige areal. Nogle matematikhistorikere mener, at ægypterne godt vidste, at formlen ikke giver der korrekte areal, men at formlen blev anvendt til at foretage en hurtig overslagsberegning, dvs. lave en tilnærmet beregning.

6 3. Den ægyptiske beregning af arealet af en rund mark I dag ved vi, hvordan vi beregner omkreds og arealer af cirkler: Omkreds O af en cirkel med radius r beregnes ud fra formlen: O π r Arealet A af en cirkel med radius r beregnes ud fra formlen: A π r π er et såkaldt irrationalt tal, hvor vi skulle have uendeligt mange decimaler med, før det er helt præcis. Det kan vi naturligvis ikke, og derfor er alle beregninger hvor π indgår tilnærmede beregninger. Disse formler kendte ægypterne klart nok ikke, men de havde runde marker! Så hvordan beregnede de arealer af sådanne? Problem 50 i Rhind papyrus lyder: En rund mark har diameteren 9 khet. Hvor stort er arealet? Fjern 1/9 af diameteren, nemlig stykket 1. Resten er 8. Gange 8 med 8, det giver 64. Derfor rummer marken et areal på 64 setat. Dette er en sproglig beskrivelse som vi kan prøve at udtrykke som formel. Lad d betegne diameteren af en cirkel. Når vi fjerner 1/9, så får vi resten: d ( d ) 9 Den ægyptiske formel for arealet af en cirkel med diameter d er så: d 8d A ( d ) ( ) 9 9 Øvelse 5 Sammenlign med den moderne formel og angiv den ægyptiske værdi af π. Kommentarer til den ægyptiske beregning Vi ved ikke hvordan de kan være nået frem til denne formel, men måske er der en anvisning i et foregående problem, nemlig nr. 48, hvor der er tegnet et kvadrat med de fire hjørner skåret af, så der fremkommer en 8- kant. Inde i denne figur er skrevet tallet 9, som vi antager, er sidelængden.

7 Øvelse 6 Konstruer en figur svarende til den nedenfor, hvor siderne deles i tre og de hjørner, vi skærer af, er små retvinklede trekanter med sidelængder 3. Vis, at arealet af denne figur er 63. Det er således en teori, at 8-kanten med areal 63 er opfattet som en første tilnærmelse til cirklen, der er blevet vurderet som en smule større, altså 64. Øvelse 7. Bestem cirklen areal ved moderne metoder og sammenlign med grækernes anslåede værdi.

8 4. Avanceret matematik rumfanget af en pyramidestub Den såkaldte Moskva-papyrus indeholder kun 5 problemer, men en af opgaverne giver os indblik i, at de åbenbart havde en ret avanceret matematik i det gamle Ægypten. Problem nr.14 (til venstre på figuren) handler om beregning af rumfanget af en pyramidestub. Der står følgende: 6 høj og grundfladen har siden 4, mens topstykket har siden, så skal du kvadrere de 4, det bliver 16; du skal gange de med de 4, det er 8; du skal kvadrere de, det er 4. Nu skal du lægge 16, 8 og 4 sammen, det er 8. Nu skal du tage en tredjedel af de 6, det er. Du skal gange de 8 med de, resultatet er 56. Det er sandelig rumfanget af pyramidestubben! Det er faktisk korrekt! De kendte altså formlen for rumfanget. Vi ville sige, at er højden h, siderne af de to 1 kvadrater a og b, så er rumfanget V givet ved formlen: V h ( a ab b ). Den kan de ikke have gættet 3 sig til, så de må have et matematisk miljø, hvor sådanne sammenhænge bliver undersøgt. Øvelse 8 Argumenter for, at den ægyptiske opskrift svarer til den moderne formel, ved at angive hvad a, b og h er. Moderne metode Hvordan vil vi i dag udlede formlen for rumfanget af en pyramidestub? Hvis vi ikke har lært integralregning, så må vi udnytte geometriske metoder: Skitsér en pyramide med kvadratisk grundflade som vist nedenfor, hvor sidelængden kaldes a, og højden kaldes h. Det følgende bygger på, at vi ved, at rumfanget af en pyramide er: 1 V h a pyramid e 3 En pyramidestub er en pyramide, hvor vi stykket h oppe har skåret den øverste del af med et vandret snit, således at der her er en ny mindre kvadratisk grundflade. Højden af pyramidestubben er altså h. Hvis vi kalder sidelængden i det lille øverste kvadrat for b, så gælder der, at rumfanget af en pyramidestub er: 1 Vstub h ( a ab b ) 3

9 Øvelse 9 Denne formel kan vi få af pyramideformlen på følgende måde (tegn med):. Træk linjer lodret ned fra hjørnerne i b-kvadratet. Herved får vi en kasse inde i pyramidestubben med grundflade b og højde h. Rumfanget er: Vkasse h b 3. Tegn en skitse af pyramidens bund, hvor b-kvadratet er tegnet op inden i a-kvadratet. Forlæng alle siderne i b-kvadratet ud til pyramidens sider. Dette giver i hvert hjørne af pyramidens bund et lille kvadrat. Argumenter for, at disse har sidelængden: ( a b) s 4. Trækkes linjer fra hjørnet i dette lille kvadrat op til det hjørnet på pyramidestubbens øverste flade får vi en (skæv) pyramide. Rumfanget af denne udregnes efter formel 1 med sidelængden. Argumentér for, at det samlede rumfang af de fire små pyramider bliver: 1 a b 1 ( a b) 1 4skæv e V 4 h 4 h h ( a b) 5. Den resterende del af rumfanget af pyramidestubbe er de fire halve kasser ved hver af pyramidens fire sideflader, med grundflade bestemt af henholdsvis b og ( a b) samlede rumfang af disse fire halve kasser kan beregnes ved: 1 ( a b) V4 halv ekasser 4 h b h b ( a b) 6. Rumfanget af pyramidestubben kan nu bestemmes ved: Vstub Vkass e V4 skæv e V4 halv ekass er Vis, at denne sum netop kan reduceres til den søgte formel., og højde h. Argumenter for at det s

10 Ægyptisk metode Problem nr.14 i Moskvapapyrus handler som nævnt om beregning af rumfanget af en pyramidestub: 6 høj og grundfladen har siden 4, mens topstykket har siden, så skal du kvadrere de 4, det bliver 16; du skal gange de med de 4, det er 8; du skal kvadrere de, det er 4. Nu skal du lægge 16, 8 og 4 sammen, det er 8. Nu skal du tage en tredjedel af de 6, det er. Du skal gange de 8 med de, resultatet er 56. Det er sandelig rumfanget af pyramidestubben! Selv om vi kun har én beregning, hvor der udnyttes et taleksempel, så er der generel enighed om, at det er et udtryk for, at de har kendt metoden til at beregne rumfanget af en pyramidestub. Kommentarer til den ægyptiske beregning Skitsér en overskåret pyramide med målene fra den ægyptiske tekst, hvor bredden af toppen er netop halvt så stor som bredden af grundfladen. Øvelse Hvad må højden have været for den oprindelige pyramide? En pyramides rumfang er givet ved formlen: V = Gh 1 3 hvor G er grundfladens areal, og h er højden af pyramiden.. Hvad bliver så rumfanget af den oprindelige pyramide, toppen af pyramiden og pyramidestubben? 3. Hvordan passer det med den ægyptiske formel for pyramidestubbens rumfang? 4. Hvorfor er formlen for pyramidestubbens rumfang (den ægyptiske formel) smartere end fremgangsmåden beskrevet ovenfor, når man vil finde rumfanget af en pyramidestub?

11 5. Aritmetik Det ægyptiske talsystem Aritmetikken handler om tal og regning med tal. I grundbogen har vi behandlet tallenes historie, talordenes udvikling og talsymbolernes oprindelse. Alle civilisationer har arbejdet med tal, og udviklet talsystemer. I oldtidens kulturer kan vi se, at selv om vores hjerner har en indbygget talsans, ligesom mange dyrs hjerner har det, så har vi ikke gennem evolutionen fået udviklet en fælles forståelse af et talsystem. Hver kultur udvikler sit specielle system. De naturlige tal findes repræsenteret i naturen, og alle urfolk og alle civilisationer har udviklet metoder til at tælle. Men talsystemerne er kulturprodukter. Det afhænger i betydelig grad af talsystemet, hvor svært eller hvor let der er at håndtere regningsarterne, addition, subtraktion, multiplikation og division. De kulturer, der fandt på at opbygge positionstalsystemer, som det fx skete i det gamle Babylon, gav deres børn og unge en stor gave når det drejer sig om at lære regningsarterne. De kulturer, der skabte andre systemer, som den ægyptiske og den romerske klarede sig som bekendt fint alligevel. Men regnekunsten blev hos dem netop en kunst, der eksempelvis i Ægypten var forbeholdt skriverne. Den vestlige civilisation anvendte romertallene helt op til tallet, og her var det et universitetsstudium at lære at multiplicerer og dividere. Det var først med indførelsen af decimaltallene, at regning blev allemandseje. Den historie er fortalt i projekt Projekt 7.8 Da folket lærte at regne - om Stevins opgør med brøkregning. Brøkregning er vanskelig det kan de fleste skoleelever blive enige om. Det tager lang tid at lære, der er mange faldgruber, synes man, og mange regler, som man måske ikke får forklaret, men netop kun får serveret som en regel. Brøkregning er faktisk ægypternes gave til alle efterfølgende civilisationer selv om ikke alle ser det som en gave. Men det var i Ægypten brøkerne blev opfundet. Og de lærte brøkregning på et niveau, som de færreste i dag kan hamle op med. Der er almindelig enighed om i dag, at de bla. udviklede brøkregningen som et værktøj til at sikre en retfærdig betaling af alle de der arbejde ved de store fælles projekter, som fx pyramidebyggerierne. Det tog lang tid at bygge de store pyramider, og mens arbejdet stod på, blev der etableret store byer i nærheden, hvor arbejderne boede. De havde ikke et møntsystem, som vi kender i dag, værdien af en dags arbejde, eller af en genstand man vil erhverve blev normalt opgjort i brød og øl. I byerne var der butikker / markedspladser, hvor man kunne købe brød og andet fornødent. Hvor mange brød og hvor mange liter øl skal man betale eller skal man have i dagsløn. Da de ikke havde skillemønt var det vigtigt at finde metoder, til at udmåle fx 4/7 af et brød. Som en introduktion til den ægyptiske brøkregning kan du se følgende to korte you tube film. Den første giver en god introduktion til begrebet stambrøker og omskrivning til sådanne, og den stiller en række opgaver, du kan forsøge at løse. Den anden formulerer nogle af metoderne i et lidt mere abstrakt sprog, og giver en række udfordringer: I-aV6c

12 6. Stambrøker Brøker har været kendt og anvendt siden det gamle Ægyptens tid, ca. 500 fvt. Vi kan af de få matematiske tekster, der er bevaret se, hvordan de har opfattet brøker, selv om de ikke har skrevet noget teoretisk om det. Det fundamentale begreb var stambrøker, som er alle brøker med et et-tal i tælleren: ,,,, Den eneste brøk, de udover disse var tryg ved at bruge var En stambrøk som Hver del er så er forholdsvis let at forstå. Man deler en kage, et brød eller en arv i 10 lige store dele. Man skulle tro, det så var let at forklare, hvad man skal forstå ved fx Tal af typen 5 7 og omskrev de konsekvent til summer af forskellige stambrøker: Men sådan så de ikke på det. Øvelse 11 Omskriv brøkerne og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på mange måder som summer af stambrøker. Hvis vi ikke lægger begrænsninger på antallet af led, så kan hver brøk skrives på uendeligt mange måder som en sum af stambrøker. Øvelse 1. Tag udgangspunkt i følgende identitet: Vi vil som eksempel omskrive 3 7. a) Argumenter for følgende omskrivninger er korrekt (du vil nedenfor få en metode til disse omskrivninger, så lige nu skal du blot tjekke det er ok): b) Anvend nu den førte identitet til at vise: c) Vis nu: d) Argumenter ud fra de foregående punkter for, at 3 7 sum af stambrøker kan skrives på uendeligt mange måder som en

13 Resultatet i øvelse 1 har naturligvis kun teoretisk interesse. I praksis er det latterligt at tænke i sådanne diminutive brøker der vil fremkomme. Men resultatet har alligevel en vis praktisk interesse set fra en anden vinkel: Når opsplitningen langt fra er entydig, hvordan går man så frem for at få en hensigtsmæssig opdeling? Hvad gjorde man i det gamle Ægypten. Vi ved meget lidt om dette, men kan dog ræsonnere ud fra det vi har kendskab til. I Rhind papyrus findes flere tabeller, bla. en over n skrevet som sum af stambrøker: /n tabellen fra Rhind Papyrus /3 = 1/ + 1/6 /5 = 1/3 + 1/15 /7 = 1/4 + 1/8 /9 = 1/6 + 1/18 /11 = 1/6 + 1/66 /13 = 1/8 + 1/5 + 1/104 /15 = 1/10 + 1/30 /17 = 1/1 + 1/51 + 1/68 /19 = 1/1 + 1/76 + 1/114 /1= 1/14 + 1/4 /3 = 1/1 + 1/76 /5 = 1/15 + 1/75 /7 = 1/18 + 1/54 /9 = 1/4 + 1/58 + 1/ /3 /31 = 1/0 + 1/14 + 1/155 /33 = 1/ + 1/66 /35 = 1/30 + 1/4 /37 = 1/4 + 1/ /96 /39 = 1/6 + 1/78 /41 = 1/4 + 1/46 + 1/38 /43 = 1/4 + 1/86 + 1/19 + 1/301 /45 = 1/30 + 1/90 /47 = 1/30 + 1/ /470 /49 = 1/8 + 1/196 /51 = 1/34 + 1/10 /53 = 1/30 + 1/ /795 /55 = 1/30 + 1/330 /57 = 1/38 + 1/114 /59 = 1/36 + 1/36 + 1/531 /61 = 1/40 + 1/44 + 1/ /610 /63 = 1/4 + 1/16 /65 = 1/39 + 1/195 /67 = 1/40 + 1/ /536 /69 = 1/46 + 1/138 /71 = 1/40 + 1/ /710 /73 = 1/60 + 1/19 + 1/9 + 1/365 /75 = 1/50 + 1/150 /77 = 1/44 + 1/308 /79 = 1/60 + 1/37 + 1/ /790 /81 = 1/54 + 1/16 /83 = 1/60 + 1/33 + 1/ /498 /85 = 1/51 + 1/55 /87 = 1/58 + 1/174 /89 = 1/60 + 1/ / /890 /91 = 1/70 + 1/130 /93 = 1/6 + 1/186 /95 = 1/60 + 1/ /570 /97 = 1/56 + 1/ /776 /99 = 1/66 + 1/198 /101 = 1/ /0 + 1/ /606 Øvelse 13 Vis, hvordan tabellen ovenfor kan anvendes til at skrive brøkerne 3 13 og 7 13 som sumer af stambrøker Vi vil nu arbejde os frem til en mulig algoritme, de anvendte, med brug af tabellen. Her vil vi følge en engelsk artikel skrevet af Marc Dominus.

14 7. Omskrivning til stambrøker en mulig algoritme The Ahmes papyrus is one of the very oldest extant mathematical documents. It was written around 3800 years ago. As I mentioned recently, a large part of it is a table of the values of fractions of the form /n for odd integers n. The Egyptians, at least at that time, did not have a generalized fraction notation. They would write fractions of the form 1/n, and they could write sums of these. But convention dictated that they could not use the same unit fraction more than once. So to express 3/5 they would have needed to write something like 1/ + 1/10, which from now on I will abbreviate as [, 10]. (They also had a special notation for /3, but I will ignore that for a while.) Expressing arbitrary fractions in this form can be done, but it is non-trivial. A simple algorithm for calculating this so-called "Egyptian fraction representation" is the greedy algorithm: To represent n/d, find the largest unit fraction 1/a that is less than n/d. Calculate a representation for n/d - 1/a, and append 1/a. This always works, but it doesn't always work well. For example, let's use the greedy algorithm to find a representation for /9. The largest unit fraction less than /9 is 1/5, and /9-1/5 = 1/45, so we get /9 = 1/5 + 1/45 = [5, 45]. But it also happens that /9 = [6, 18], which is much more convenient to calculate with because the numbers are smaller. Similarly, for 19/0 the greedy algorithm produces 19/0 = [] + 9/0 = [, 3] + 7/60 = [, 3, 9, 180]. But even 7/60 can be more simply written than as [9, 180]; it's also [10, 60], [1, 30], and, best of all, [15, 0]. So similarly, for 3/7 this time, the greedy methods gives us 3/7 = 1/3 + /1, and that /1 can be expanded by the greedy method as [11, 31], so 3/7 = [3, 11, 31]. But even /1 has better expansions: it's also [1, 84], [14, 4], and, best of all, [15, 35], so 3/7 = [3, 15, 35]. But better than all of these is 3/7 = [4, 7, 8], which is optimal. Anyway, while I was tinkering with all this, I got an answer to a question I had been wondering about for years, which is: why did Ahmes come up with a table of representations of fractions of the form /n, rather than the representations of all possible quotients? Was there a table somewhere else, now lost, of representations of fractions of the form 3/n? The answer, I think, is "probably not"; here's why I think so. Suppose you want 3/7. But 3/7 = /7 + 1/7. You look up /7 in the table and find that /7 = [4, 8]. So 3/7 = [4, 7, 8]. Done. OK, suppose you want 4/7. You look up /7 in the table and find that /7 = [4, 8]. So 4/7 = [4, 4, 8, 8] = [, 14]. Done. Similarly, 5/7 = [, 7, 14]. Done. To calculate 6/7, you first calculate 3/7, which is [4, 7, 8]. Then you double 3/7, and get 6/7 = 1/ + /7 + 1/14. Now you look up /7 in the table and get /7 = [4, 8], so 6/7 = [, 4, 14, 8]. Whether this is optimal or not is open to argument. It's longer than [, 3, 4], but on the other hand the denominators are smaller.

15 Anyway, the table of /n is all you need to produce Egyptian representations of arbitrary rational numbers. The algorithm in general is: To sum up two Egyptian fractions, just concatenate their representations. There may now be unit fractions that appear twice, which is illegal. If a pair of such fractions have an even denominator, they can be eliminated using the rule that 1/n + 1/n = 1/n. Otherwise, the denominator is odd, and you can look the numbers up in the /n table and replace the matched pair with the result from the table lookup. Repeat until no pairs remain. To double an Egyptian fraction, add it to itself as per the previous. To calculate a/b, when a = k, first calculate k/b and then double it as per the previous. To calculate a/b when a is odd, first calculate (a-1)/b as per the previous; then add 1/b. So let's calculate the Egyptian fraction representation of 19/0 by this method: 19/0 = 18/0 + 1/0 19/0 = 9/10 + 1/0 o 9/10 = 8/10 + 1/10 o 9/10 = 4/5 + 1/10 4/5 = /5 + /5 /5 = [3, 15] (from the table) 4/5 = [3, 3, 15, 15] 4/5 = /3 + /15 /3 = [, 6] (from the table) /15 = [1, 0] (from the table) 4/5 = [, 6, 1, 0] o 9/10 = [, 6, 10, 1, 0] 19/0 = [, 6, 10, 1, 0, 0] 19/0 = [, 6, 10, 10, 1] 19/0 = [, 5, 6, 1] (The Egyptians would have been happy with /3 in the middle step there, and would have ended up with 19/0 = /3 + [5, 1].) Our final result is suboptimal; to fix it, we need to notice that [6, 1] = [4] and get 19/0 = [, 4, 5]. But even without this, the final result is pretty good, and required no understanding or tricky reasoning; just a lot of grinding. An alternative algorithm is to expand the numerator as a sum of powers of, which the Egyptians certainly knew how to do. For 19/0 this gives us 19/0 = 16/0 + /0 + 1/0 = 4/5 + [10, 0]. Now we need to figure out 4/5, which we do as above, getting 4/5 = [, 6, 1, 0], or 4/5 = /3 + [1, 0] if we are Egyptian, or 4/5 = [, 4, 0] if we are clever. Supposing we are neither, we have 19/0 = [, 6, 1, 0, 10, 0] = [, 6, 1, 10, 10] = [, 6, 1, 5] as before. (It is not clear to me, by the way, that either of these algorithms is guaranteed to terminate. I need to think about it some more.) Getting the table of good-quality representations of /n is not trivial, and requires searching, number theory, and some trial and error. It's not at all clear that /105 = [90, 16]. Once you have the table of /n, however, you can grind out the answer to any division problem. This might be time-consuming, but it's nevertheless trivial. So Ahmes needed a table of /n, but once he had it, he didn't need any other tables.

16 8. Forslag til opgaver og problemformulering - Under inspiration fra: MATEMATIK I TVÆRFAGLIGE projekter. ÆGYPTISK MATEMATIK. KU. Angiv for hver af de følgende dine kilder. 1. Beskriv ægypternes metode til at bestemme arealet af en cirkel, og oversæt ægypternes forskrift/algoritme til en formel med moderne matematisk notation. Ud fra denne formel skal der endvidere bestemmes en talværdi for pi. Kilde: Papyrus Rhind nr 41. : Beskriv ægypternes metode til at bestemme rumfanget af en pyramidestub, og oversæt ægypternes forskrift/algoritme til en formel med moderne notation. Er det den korrekte formel? Kilde: Papyrus Moskva nr Forklar endvidere hvordan ægypterne kunne beregne hældningen for en pyramides sideflade. Kilde Papyrus Rhind nr 46 4: Redegør for ægypternes metode til at bestemme arealet af firkanter. Formlen findes indskrevet i en tekst på et Horus tempel. 5. Redegør for opbygningen af ægypternes talsystem og vis, ved brug af konkrete eksempler, hvordan ægypterne anvendte de fire regneoperationer, specielt fordoblingsmetoden ved multiplikation. 6. Redegør for ægypternes brøkregning med omskrivning til stambrøker. Hvad kan være årsagen til udviklingen af denne metode. Hvor mange måder kan en sådan omskrivning ske på. Hvad forstås ved den grådige algoritme? Redegør for Marc Dominus bud på en metode med brug af /n tabellen. 7. Undersøg ægypternes brug af geometri og elementær aritmetik i forbindelse med Nilens oversvømmelse (landmåling, kalenderholdning og beregning af skatter), og diskutér hvorfor dette nødvendiggør brugen af matematik. 8. Kilderne, der danner udgangspunkt for den ægyptiske matematik, er skrevet i opgaveform, og kan betragtes som brugt i undervisningsmæssig sammenhæng. Redegør for skrivernes betydning for det ægyptiske samfund. Man kan desuden komme ind på opbygningen af det ægyptiske samfund, herunder klasserne og arbejdet i den Ægyptiske verden. 9. På baggrund af konkrete historiske kilder ønskes en vurdering af hvor væsentlig matematikken var som magtfaktor i det gamle Ægypten. Diskuter hvorvidt en centralmagt er nødvendig for at opnå maksimalt udbytte af landbrug i områder, hvor oversvømmelser er grundlaget for frugtbarhed (flodkulturer).

17 9. Litteratur Her er udvalgte opgaver fra Rhind og Moskva papyrus oversat og kommenteret Her er alle Rhinds opgaver oversat og kommenteret Materialer om ægyptisk brøkregning Epsteins side indeholder flere algoritmer til at finde stambrøksudtryk. Hjemmesiden indeholder desuden en kommenteret liste med links til engelsksprogede sider om emnet. Vær opmærksom på, at siden ikke holdes løbende opdateret, så der kan være en række døde links Sekundær litteratur Lund, Jens (1997). Regn med en skriver. Forlaget Munksgaard. God gennemgang af de simplere dele af ægyptisk matematik. Ikke teknisk svær, men giver et godt grundlag for arbejdet med stambrøker. Skrevet til gymnasiet Frandsen, Jesper (1996). Ægyptisk matematik. Forlaget Systime. Grundig gennemgang af ægyptisk matematik, herunder geometri og ligninger. Skrevet til gymnasiet. Litteratur om Ægypten Dansk Ægyptologisk Selskab Kommenteret liste over artikler udgivet af Dansk Ægyptologisk Selskab. Artiklerne kan fås ved henvendelse til foreningen eller gennem Holm-Rasmussen, Torben (003). Politikens bog om det gamle Egypten. Forlaget Politiken. Generel bog om Ægyptens historie under faraoerne. Af formanden for Dansk Ægyptologisk Selskab. Holm-Rasmussen, Torben (003). Ansigt til ansigt med ægypterne. Forlaget Pantheon. Skrevet specifikt til historie og religion i gymnasiet.

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,

Læs mere

Vina Nguyen HSSP July 13, 2008

Vina Nguyen HSSP July 13, 2008 Vina Nguyen HSSP July 13, 2008 1 What does it mean if sets A, B, C are a partition of set D? 2 How do you calculate P(A B) using the formula for conditional probability? 3 What is the difference between

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes.

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes. Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav f: Et dannebrogsflag Et hus med tag, vinduer og dør En fugl En bil En blomst Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funn

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2012

Trolling Master Bornholm 2012 Trolling Master Bornholm 1 (English version further down) Tak for denne gang Det var en fornøjelse især jo også fordi vejret var med os. Så heldig har vi aldrig været før. Vi skal evaluere 1, og I må meget

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Observation Processes:

Observation Processes: Observation Processes: Preparing for lesson observations, Observing lessons Providing formative feedback Gerry Davies Faculty of Education Preparing for Observation: Task 1 How can we help student-teachers

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Basic statistics for experimental medical researchers

Basic statistics for experimental medical researchers Basic statistics for experimental medical researchers Sample size calculations September 15th 2016 Christian Pipper Department of public health (IFSV) Faculty of Health and Medicinal Science (SUND) E-mail:

Læs mere

Black Jack --- Review. Spring 2012

Black Jack --- Review. Spring 2012 Black Jack --- Review Spring 2012 Simulation Simulation can solve real-world problems by modeling realworld processes to provide otherwise unobtainable information. Computer simulation is used to predict

Læs mere

GUIDE TIL BREVSKRIVNING

GUIDE TIL BREVSKRIVNING GUIDE TIL BREVSKRIVNING APPELBREVE Formålet med at skrive et appelbrev er at få modtageren til at overholde menneskerettighederne. Det er en god idé at lægge vægt på modtagerens forpligtelser over for

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM58) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Torsdag den 1. januar 01 kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov.

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. På dansk/in Danish: Aarhus d. 10. januar 2013/ the 10 th of January 2013 Kære alle Chefer i MUS-regi! Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. Og

Læs mere

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension DK - Quick Text Translation HEYYER Net Promoter System Magento extension Version 1.0 15-11-2013 HEYYER / Email Templates Invitation Email Template Invitation Email English Dansk Title Invitation Email

Læs mere

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen. og

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen.  og 052431_EngelskD 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau D www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard)

Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard) Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard) På den allerførste skoledag fik de farver og papir. Den lille dreng farved arket fuldt. Han ku bare ik la vær. Og lærerinden sagde: Hvad er

Læs mere

Project Step 7. Behavioral modeling of a dual ported register set. 1/8/ L11 Project Step 5 Copyright Joanne DeGroat, ECE, OSU 1

Project Step 7. Behavioral modeling of a dual ported register set. 1/8/ L11 Project Step 5 Copyright Joanne DeGroat, ECE, OSU 1 Project Step 7 Behavioral modeling of a dual ported register set. Copyright 2006 - Joanne DeGroat, ECE, OSU 1 The register set Register set specifications 16 dual ported registers each with 16- bit words

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 85 tilmeldte både. Det er stadig lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Tilmeldingen er åben

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål

Færdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.

Læs mere

Årsplan for matematik

Årsplan for matematik Årsplan for matematik Målgruppe: 04A Periode: Oprettet af: BK Mål for undervisningen: Årsplan Matematik 4.klasse 2017/2018 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 4, som består af en

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Årsplan Matematik 4.klasse 2016/2017 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 4, som består af en grundbog og en arbejdsbog. Der vil derudover suppleres med opgaver i Pirana 4 samt opgaver

Læs mere

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau) Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette

Læs mere

Financial Literacy among 5-7 years old children

Financial Literacy among 5-7 years old children Financial Literacy among 5-7 years old children -based on a market research survey among the parents in Denmark, Sweden, Norway, Finland, Northern Ireland and Republic of Ireland Page 1 Purpose of the

Læs mere

Matematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole

Matematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt

Læs mere

Det er muligt at chekce følgende opg. i CodeJudge: og

Det er muligt at chekce følgende opg. i CodeJudge: og Det er muligt at chekce følgende opg. i CodeJudge:.1.7 og.1.14 Exercise 1: Skriv en forløkke, som producerer følgende output: 1 4 9 16 5 36 Bonusopgave: Modificer dit program, så det ikke benytter multiplikation.

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2015

Trolling Master Bornholm 2015 Trolling Master Bornholm 2015 (English version further down) Panorama billede fra starten den første dag i 2014 Michael Koldtoft fra Trolling Centrum har brugt lidt tid på at arbejde med billederne fra

Læs mere

Giza-pyramiderne. Oplæg til matematik. www.galapagos.dk. foto: Otto Nielsen & Søren Sørensen grafik: Brian Ravnborg udgave 1.

Giza-pyramiderne. Oplæg til matematik. www.galapagos.dk. foto: Otto Nielsen & Søren Sørensen grafik: Brian Ravnborg udgave 1. Giza-pyramiderne Oplæg til matematik Navn: Klasse: www.galapagos.dk af Brian Ravnborg foto: Otto Nielsen & Søren Sørensen grafik: Brian Ravnborg udgave 1.01 2007 Find mere om pyramiderne på www.galapagos.dk

Læs mere

INGEN HASTVÆRK! NO RUSH!

INGEN HASTVÆRK! NO RUSH! INGEN HASTVÆRK! NO RUSH! Keld Jensen Nr. 52, december 2018 No. 52, December 2018 Ingen hastværk! Vær nu helt ærlig! Hvornår har du sidst opholdt dig længere tid et sted i naturen? Uden hastværk. Uden unødvendig

Læs mere

tjek.me Forårskatalog 2018 Matematik By Knowmio

tjek.me Forårskatalog 2018 Matematik By Knowmio tjek.me Forårskatalog 2018 Matematik Velkommen til tjek.me forårskatalog for matematik 1. til 9. klasse tjek.me er et online, spilbaseret evalueringsværktøj, som giver indsigt i elevernes progression.

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Barnets navn: Børnehave: Kommune: Barnets modersmål (kan være mere end et)

Barnets navn: Børnehave: Kommune: Barnets modersmål (kan være mere end et) Forældreskema Barnets navn: Børnehave: Kommune: Barnets modersmål (kan være mere end et) Barnets alder: år og måneder Barnet begyndte at lære dansk da det var år Søg at besvare disse spørgsmål så godt

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8 English version further down Der bliver landet fisk men ikke mange Her er det Johnny Nielsen, Søløven, fra Tejn, som i denne uge fangede 13,0 kg nord for

Læs mere

3. Har du oplevet blackout, mens du har styret skibet? Have you ever been steering the vessel, when a blackout have happened?

3. Har du oplevet blackout, mens du har styret skibet? Have you ever been steering the vessel, when a blackout have happened? Blackout på Orateca -Interview med styrmand Name Aleksander Andrzejczak Rank 1. officer / mate Years of navigator 3 years 1 year at Orateca 2 maybe 1 time during sea passage Open sea, average weather,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72)

Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 18. januar 2006 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.),

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii Årsplan 08/9 Matematik. årgang TriX A Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Kapitlet har især fokus på kerneområderne

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 5

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 5 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 5 English version further down Kim Finne med 11 kg laks Laksen blev fanget i denne uge øst for Bornholm ud for Nexø. Et andet eksempel er her to laks taget

Læs mere

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii Årsplan Matematrix. kl. A Første halvår Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Dette er samtidig et redskab for

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6 English version further down Johnny Nielsen med 8,6 kg laks Laksen blev fanget seks sømil ud for Tejn. Det var faktisk dobbelthug, så et kig ned i køletasken

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder

Færdigheds- og vidensområder Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil

Læs mere

På opdagelse i GeoGebra

På opdagelse i GeoGebra På opdagelse i GeoGebra Trekanter: 1. Start med at åbne programmet på din computer. Du skal sørge for at gitteret i koordinatsystem er sat til. Dette gør vi ved at trykke på Vis oppe i venstre hjørne og

Læs mere

Dato: 24. oktober 2013 Side 1 af 7. Teknologisk singularitet. 24. oktober 2013

Dato: 24. oktober 2013 Side 1 af 7. Teknologisk singularitet. 24. oktober 2013 Side 1 af 7 Teknologisk singularitet 24. oktober 2013 Side 2 af 7 Begreberne teknologisk singularitet og accelereret udvikling dukker ofte op i transhumanistiske sammenhænge, idet de beskriver en udvikling,

Læs mere

how to save excel as pdf

how to save excel as pdf 1 how to save excel as pdf This guide will show you how to save your Excel workbook as PDF files. Before you do so, you may want to copy several sheets from several documents into one document. To do so,

Læs mere

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds

Læs mere

Titel: Barry s Bespoke Bakery

Titel: Barry s Bespoke Bakery Titel: Tema: Kærlighed, kager, relationer Fag: Engelsk Målgruppe: 8.-10.kl. Data om læremidlet: Tv-udsendelse: SVT2, 03-08-2014, 10 min. Denne pædagogiske vejledning indeholder ideer til arbejdet med tema

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 English version further down Den første dag i Bornholmerlaks konkurrencen Formanden for Bornholms Trollingklub, Anders Schou Jensen (og meddomer i TMB) fik

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2014

Trolling Master Bornholm 2014 Trolling Master Bornholm 2014 (English version further down) Så er ballet åbnet, 16,64 kg: Det er Kim Christiansen, som i mange år også har deltaget i TMB, der tirsdag landede denne laks. Den måler 120

Læs mere

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com.

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com. 052430_EngelskC 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau C www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

The X Factor. Målgruppe. Læringsmål. Introduktion til læreren klasse & ungdomsuddannelser Engelskundervisningen

The X Factor. Målgruppe. Læringsmål. Introduktion til læreren klasse & ungdomsuddannelser Engelskundervisningen The X Factor Målgruppe 7-10 klasse & ungdomsuddannelser Engelskundervisningen Læringsmål Eleven kan give sammenhængende fremstillinger på basis af indhentede informationer Eleven har viden om at søge og

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

LESSON NOTES Extensive Reading in Danish for Intermediate Learners #8 How to Interview

LESSON NOTES Extensive Reading in Danish for Intermediate Learners #8 How to Interview LESSON NOTES Extensive Reading in Danish for Intermediate Learners #8 How to Interview CONTENTS 2 Danish 5 English # 8 COPYRIGHT 2019 INNOVATIVE LANGUAGE LEARNING. ALL RIGHTS RESERVED. DANISH 1. SÅDAN

Læs mere

PARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU

PARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU PARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU OUTLINE INEFFICIENCY OF ATTILA WAYS TO PARALLELIZE LOW COMPATIBILITY IN THE COMPILATION A SOLUTION

Læs mere

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Husk at trykke "Send (Submit)" nederst (Remember to click "Send (Submit)" below - The questions are translated into English below each of the

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Drengenes viden om pyramider

Drengenes viden om pyramider Fibonacieprojekt Pyramider - Matematik 7. klasse - Lundergårdskolen 1. Elevernes observationer: Eleverne startede med at sidde alene og skrive hvad de vidste om pyramider. Eleverne var delt i en drenge-

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Matematik i 5. klasse

Matematik i 5. klasse Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2014

Trolling Master Bornholm 2014 Trolling Master Bornholm 2014 (English version further down) Den ny havn i Tejn Havn Bornholms Regionskommune er gået i gang med at udvide Tejn Havn, og det er med til at gøre det muligt, at vi kan være

Læs mere

DET KONGELIGE BIBLIOTEK NATIONALBIBLIOTEK OG KØBENHAVNS UNIVERSITETS- BIBLIOTEK. Index

DET KONGELIGE BIBLIOTEK NATIONALBIBLIOTEK OG KØBENHAVNS UNIVERSITETS- BIBLIOTEK. Index DET KONGELIGE Index Download driver... 2 Find the Windows 7 version.... 2 Download the Windows Vista driver.... 4 Extract driver... 5 Windows Vista installation of a printer.... 7 Side 1 af 12 DET KONGELIGE

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

United Nations Secretariat Procurement Division

United Nations Secretariat Procurement Division United Nations Secretariat Procurement Division Vendor Registration Overview Higher Standards, Better Solutions The United Nations Global Marketplace (UNGM) Why Register? On-line registration Free of charge

Læs mere

Kildebaseret matematikhistorie i SRP

Kildebaseret matematikhistorie i SRP Kildebaseret matematikhistorie i SRP Mie Johannesen 18. marts 2016 Mie Johannesen Foredrag ved matematiklærerdag 1 / 23 Introduktion Speciale: Studieretningsprojekter i matematik og historie: Kvalitative

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Bilag. Resume. Side 1 af 12

Bilag. Resume. Side 1 af 12 Bilag Resume I denne opgave, lægges der fokus på unge og ensomhed gennem sociale medier. Vi har i denne opgave valgt at benytte Facebook som det sociale medie vi ligger fokus på, da det er det største

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2014

Trolling Master Bornholm 2014 Trolling Master Bornholm 2014 (English version further down) Ny præmie Trolling Master Bornholm fylder 10 år næste gang. Det betyder, at vi har fundet på en ny og ganske anderledes præmie. Den fisker,

Læs mere

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April Algebra 3

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April Algebra 3 University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April 2009 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

How Long Is an Hour? Family Note HOME LINK 8 2

How Long Is an Hour? Family Note HOME LINK 8 2 8 2 How Long Is an Hour? The concept of passing time is difficult for young children. Hours, minutes, and seconds are confusing; children usually do not have a good sense of how long each time interval

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet penge Periode Mål Eleverne skal: Lære at anvende simpel hovedregning gennem leg og praktiske anvende addition og

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

USERTEC USER PRACTICES, TECHNOLOGIES AND RESIDENTIAL ENERGY CONSUMPTION

USERTEC USER PRACTICES, TECHNOLOGIES AND RESIDENTIAL ENERGY CONSUMPTION USERTEC USER PRACTICES, TECHNOLOGIES AND RESIDENTIAL ENERGY CONSUMPTION P E R H E I S E L BERG I N S T I T U T F OR BYGGERI OG A N L Æ G BEREGNEDE OG FAKTISKE FORBRUG I BOLIGER Fra SBi rapport 2016:09

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Regneregler Grundbogen side 7-19 Arbejdsbogen side 1-6

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Regneregler Grundbogen side 7-19 Arbejdsbogen side 1-6 Årsplan Matematik 5.klasse 2016/2017 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 5, som består af en grundbog og en arbejdsbog. Der vil derudover suppleres med opgaver i Pirana 5 samt opgaver

Læs mere

Privat-, statslig- eller regional institution m.v. Andet Added Bekaempelsesudfoerende: string No Label: Bekæmpelsesudførende

Privat-, statslig- eller regional institution m.v. Andet Added Bekaempelsesudfoerende: string No Label: Bekæmpelsesudførende Changes for Rottedatabasen Web Service The coming version of Rottedatabasen Web Service will have several changes some of them breaking for the exposed methods. These changes and the business logic behind

Læs mere