Største- og mindsteværdi Uge 11
|
|
|
- Frode Kronborg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Uge 11 : Definitioner Efterår 2009
2 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner
3 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. : Definitioner
4 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. Analogt defineres egentligt lokalt maksimumspunkt. Fællesbetegnelse: ekstremumspunkt. : Definitioner
5 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. Analogt defineres egentligt lokalt maksimumspunkt. Fællesbetegnelse: ekstremumspunkt. Punktet a kaldes et globalt minimumspunkt for f, hvis f (x) f (a) for alle x A. : Definitioner
6 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. Analogt defineres egentligt lokalt maksimumspunkt. Fællesbetegnelse: ekstremumspunkt. Punktet a kaldes et globalt minimumspunkt for f, hvis f (x) f (a) for alle x A. Analogt defineres globalt maksimumspunkt. : Definitioner
7 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. Analogt defineres egentligt lokalt maksimumspunkt. Fællesbetegnelse: ekstremumspunkt. Punktet a kaldes et globalt minimumspunkt for f, hvis f (x) f (a) for alle x A. Analogt defineres globalt maksimumspunkt. Mindsteværdien for f er værdien af f i et globalt minimumspunkt. Størsteværdien er værdien af f i et globalt maksimumspunkt. : Definitioner
8 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. : Definitioner
9 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. : Definitioner
10 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. Ekstremumspunkterne for f på mængden A (hvis der er nogen) findes blandt : Definitioner
11 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. Ekstremumspunkterne for f på mængden A (hvis der er nogen) findes blandt 1. Stationære punkter for f. : Definitioner
12 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. Ekstremumspunkterne for f på mængden A (hvis der er nogen) findes blandt 1. Stationære punkter for f. 2. Punkter hvor f ikke har partielle afledede. : Definitioner
13 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. Ekstremumspunkterne for f på mængden A (hvis der er nogen) findes blandt 1. Stationære punkter for f. 2. Punkter hvor f ikke har partielle afledede. 3. Randpunkterne for A. : Definitioner
14 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. : Definitioner
15 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. : Definitioner
16 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. : Definitioner
17 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Vi finder største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 og på cirkelskiven x 2 + y 2 1. : Definitioner
18 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Vi finder største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 og på cirkelskiven x 2 + y 2 1. Hele undersøgelsen præsenteres i Maple-worksheet til denne uge. : Definitioner
19 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Vi finder største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 og på cirkelskiven x 2 + y 2 1. Hele undersøgelsen præsenteres i Maple-worksheet til denne uge. Lad f (x, y) = (2x + y) e xy. Vi finder største- og på området givet ved ulighederne y + 2x 4, x 0, y 0. : Definitioner
20 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Vi finder største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 og på cirkelskiven x 2 + y 2 1. Hele undersøgelsen præsenteres i Maple-worksheet til denne uge. Lad f (x, y) = (2x + y) e xy. Vi finder største- og på området givet ved ulighederne y + 2x 4, x 0, y 0. Hele undersøgelsen præsenteres i Maple-worksheet til denne uge. : Definitioner
21 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. : Definitioner
22 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f kan udvides til en kontinuert funktion på A, så har f på A en største- og en. : Definitioner
23 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f kan udvides til en kontinuert funktion på A, så har f på A en største- og en. Hvis størsteværdien kun antages på den del af randen, som ikke tilhører A, så har f ingen størsteværdi. : Definitioner
24 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f kan udvides til en kontinuert funktion på A, så har f på A en største- og en. Hvis størsteværdien kun antages på den del af randen, som ikke tilhører A, så har f ingen størsteværdi. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Både største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 antages kun på randen. Derfor har f hverken største- eller på den åbne cirkelskive x 2 + y 2 < 9. n er ] 81, 46 [ 3. : Definitioner
25 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f kan udvides til en kontinuert funktion på A, så har f på A en største- og en. Hvis størsteværdien kun antages på den del af randen, som ikke tilhører A, så har f ingen størsteværdi. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Både største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 antages kun på randen. Derfor har f hverken største- eller på den åbne cirkelskive x 2 + y 2 < 9. n er ] 81, 46 [ 3. På cirkelskiven x 2 + y 2 1 antages størsteværdien i (0, 0), mens en antages på randen. Derfor har f ingen på den åbne cirkelskive x 2 + y 2 < 1, men har en størsteværdi, nemlig f (0, 0) = 0. n er ] 2, 0]. : Definitioner
26 Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. : Definitioner
27 Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f ikke er opadtil begrænset på A, dvs. ikke opfylder nogen ulighed af formen f (x, y) C for alle (x, y) A, så har f ingen størsteværdi på A. : Definitioner
28 Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f ikke er opadtil begrænset på A, dvs. ikke opfylder nogen ulighed af formen f (x, y) C for alle (x, y) A, så har f ingen størsteværdi på A. Lad f (x, y) = 1 1 (x 2 +y 2 ) for x 2 + y 2 < 1. f er ikke opadtil begrænset på cirkelskiven x 2 + y 2 < 1, så har ingen størsteværdi, men har en 1. n er [0, [. : Definitioner
29 Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f ikke er opadtil begrænset på A, dvs. ikke opfylder nogen ulighed af formen f (x, y) C for alle (x, y) A, så har f ingen størsteværdi på A. Lad f (x, y) = 1 1 (x 2 +y 2 ) for x 2 + y 2 < 1. f er ikke opadtil begrænset på cirkelskiven x 2 + y 2 < 1, så har ingen størsteværdi, men har en 1. n er [0, [. Betragt f (x) = (1 x) sin ( 1 x ) på intervallet ]0, 1]. f er kontinuert og begrænset, men har hverken største eller. f kan ikke udvides til en kontinuert funktion på [0, 1], da lim x 0 f (x) ikke eksisterer. n er ] 1, 1[. : Definitioner
30 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. : Definitioner
31 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. : Definitioner
32 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. : Definitioner
33 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). : Definitioner
34 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. : Definitioner
35 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. : Definitioner
36 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 2 ). Værdi g ( 0, 3 2 ) = 1 2. : Definitioner
37 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 ) ( ) 2. Værdi g 0, 3 2 = 1 2. Randen af cirkelskiven er cirklen givet ved y 2 = 4 z 2. : Definitioner
38 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 2 ). Værdi g ( 0, 3 2 ) = 1 2. Randen af cirkelskiven er cirklen givet ved y 2 = 4 z 2. På cirklen er g (y, z) = h (z) = z 2 6z + 8 = (z 2) (z 4). : Definitioner
39 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 2 ). Værdi g ( 0, 3 2 ) = 1 2. Randen af cirkelskiven er cirklen givet ved y 2 = 4 z 2. På cirklen er g (y, z) = h (z) = z 2 6z + 8 = (z 2) (z 4). for h på [ 2, 2] er h ( 2) = 24 og h (2) = 0. : Definitioner
40 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 2 ). Værdi g ( 0, 3 2 ) = 1 2. Randen af cirkelskiven er cirklen givet ved y 2 = 4 z 2. På cirklen er g (y, z) = h (z) = z 2 6z + 8 = (z 2) (z 4). for h på [ 2, 2] er h ( 2) = 24 og h (2) = 0. Konklusion: Størsteværdi for f er f (0, 0, 2) = h ( 2) = 24 og er f (0, 0, 1) = 3. : Definitioner
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Ekstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Ekstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Lokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Partielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
MM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt
Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7
Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1
MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Klassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/40/21809007.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/48/24213798.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Funktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Gamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver
Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej
11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Pointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 06 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Differential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Optimering i Moderne Portefølje Teori
Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT
Funktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Lineær programmering. Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0. Vores metode er også nytteløs her. Ekstrema- teori og praksis
Lineær programmering Ekstrema- teori og praksis Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0 Vores metode er også nytteløs her MAT3, EFTERÅR 2011 GROUP G3-112 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AALBORG UNIVERSITET 16. DECEMBER
Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Mat 1. 2-timersprøve den 13. maj 2017.
Mat. -timersprøve den. maj 7. JE.5.7 Opgave restart:with(plots): En funktion f af to reelle variable er for x, y s, givet ved f:=(x,y)-y/(x^+y^); f d x, y / y x Cy f(x,y); y x Cy Spørgsmål I x, y Kplanen
Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Differentialregning 2
Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 016 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2
PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
PeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Kapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014
Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002
GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger,
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleor og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afleee i flere variable Notation og regneregler for partielle afleee Test partielle afleee Grafisk afleee
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 + 2
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS + INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 4 Indhold Forord 5 I. Differentiation 7. Kontinuitet 7. Partielle afledede 7 3. Tangentplan 5 4. Kædereglen 34 5. Gradient
MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Mat 1. 2-timersprøve den 14. maj 2018.
Mat. 2-timersprøve den 4. maj 28. JE 9.5.8 Opgave restart:with(linearalgebra):with(plots): En reel fnktion f af to reelle variable er givet ved f:(x,y)-4*y*(x^2+/3*y^2-); expand(f(x,y)); f d x, y 4 y x
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
: B r (x 0 )! R, j =1, 2,..., m, i =1, 2,...,n. alle er kontinuerte i x 0.SåerF differentiabel i x 0.
Sætning 9.32 Lad F : U! R m være en funktion og lad x 0 2 U. Antag, at de partielt afledte af F s koordinatfunktioner eksisterer i alle punkter i en åben kugle B r (x 0 ) U, og at de derved fremkomne funktioner
Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Eksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable
Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable Morten Grud Rasmussen 1. marts 2016 1 Taylors Sætning for funktioner af én variabel Sætning 1.1 (Taylors Sætning med restled).
Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013
Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
IKKE-LINEÆR OPTIMERING
IKKE-LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Konvekse funktioner 1 2 Optimering uden bibetingelser 1 3 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder 2 4 Optimering under bibetingelser givet
Mere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
![= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).](/thumbs/58/42581589.jpg "= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).")
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
![Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19](/thumbs/63/49989105.jpg "Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19")
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
er en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Ekstrema, Teori og Praksis
Kasper H. Christensen Andreas D. Christoffersen Christoffer Gøthgen Stine M. Jensen Kenneth V. L. Offersen Vini M. Olsen Ekstrema, Teori og Praksis - Ikke-lineæar optimeringsproblemer Vejleder: Martin
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:
Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og
Indhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable. udgave 015 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
UGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Funktioner af to og tre variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Ekstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering
Ekstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering Gruppe G3-106 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag 20. december 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
Differentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Gradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE
MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På
Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Gamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.