Partielle afledede og retningsafledede

Transkript

1 Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen f(h, k) = f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) definerer vi de partielle afledede i punktet (x 0, y 0 ) D ved og når disse grænseværdier eksisterer f x (x 0, y 0 ) = lim h 0 f(h, 0) h f(0, k) f y (x 0, y 0 ) = lim, k 0 k Afledede funktioner f x (x, y) og f y (x, y) fremkommer, når f x og f y er veldefinerede i alle punkter i et område I så fald er disse funktioner selv funktioner af to reelle variable, som hver giver anledning til to partielle afledede Disse benævnes f xx (x, y) og f xy (x, y) samt f yx (x, y) og f yy (x, y) De to funktioner f xx og f yy kaldes rene afledede, og de to andre f xy og f yx kaldes blandede afledede Tilsammen kaldes de for partielle afledede af anden orden Partielle afledede af første orden noteres på flere forskellige måder Her er et udvalg: 1) f x (x, y) = f x (x, y) = D 1f(x, y), f y (x, y) = f y (x, y) = D 2f(x, y), kort form f x, kort form f y Den mest udbredte notation er de korte former f x f og y, hvor punktet (x, y) er under-, er ét samlet symbol Tegnet kaldes et blødt d forstået Bemærk, at f x, subsidiært f y i modsætning til et hårdt d i df dx Notationen f 1 (x, y) og f 2 (x, y) benyttes også, men kan være problematisk, da f 1, f 2, ofte benyttes til at nummerere funktioner De partielle afledede af anden orden noteres f xx (x, y) = 2 f x 2 (x, y) = D 11f(x, y), kort form 2 f x 2, f xy (x, y) = 2 f y x (x, y) = D 12f(x, y), kort form 2 f y x, 1) f(h,0) h kan også skrives som f(x,y 0) f(x 0,y 0 ) x x 0, den såkaldte differenskvotient; analogt f(0,k) k 1

2 f yx (x, y) = 2 f x y (x, y) = D 21f(x, y), kort form 2 f x y, f yy (x, y) = 2 f y 2 (x, y) = D 22f(x, y), kort form 2 f y 2 Definition og notation af partielle afledede kan uden problemer udvides til at gælde for funktioner af flere reelle variable, dvs f(0,, 0, h i, 0,, 0) f xi (x 1, x 2,, x n ) = lim, i = 1,, n, hi 0 h i når grænseværdierne eksisterer Andre notationer er f xi (x) = f x i (x) = D i f(x) (= f i (x)), hvor x = (x 1, x 2,, x n ) Kort form f x i Anden ordens afledede følger umiddelbart som x 2, i x i x j, i, j = 1, 2,, n, i j Ud fra de anden ordens afledede kan vi definere tredie ordens afledede, når de pågældende grænseværdier eksisterer Processen kan fortsættes Eksempel på notation af en femte ordens blandet afledet af f(x, y): 5 f x 2 y 3 2 Sætninger om blandede afledede Vi betragter f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Under visse omstændigheder vil der gælde, at de blandede afledede f xy og f yx er identiske Sætning 1 Lad f have kontinuerte partielle afledede af første orden i en omegn af (x 0, y 0 ) D Hvis de blandede anden ordens partielle afledede eksisterer i omegnen af (x 0, y 0 ) og desuden er kontinuerte i punktet (x 0, y 0 ), så er f xy (x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) y (x 0, y 0 + k) (x 0 + h, y 0 + k) (x 0, y 0 ) (x 0 + h, y 0 ) x Figur 1: Omegn om (x 0, y 0 ) 2

3 Bevis Betragt en omegn om (x 0, y 0 ), se figur, og definer hjælpefunktionen ved Sæt og bemærk, at = f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 + k) + f(x 0, y 0 ) u(x) = f(x, y 0 + k) f(x, y 0 ), = u(x 0 + h) u(x 0 ) Anvendelse af middelværdisætningen på u(x) i intervallet mellem x 0 og x 0 + h giver u(x 0 + h) u(x 0 ) = hu (ξ 1 ), hvor ξ 1 ligger mellem x 0 og x 0 + h Udtrykket er ensbetydende med Sæt og bemærk, at = h ( f x (ξ 1, y 0 + k) f x (ξ 1, y 0 ) ) v(y) = f x (ξ 1, y), = h ( v(y 0 + k) v(y 0 ) ) Middelværdisætningen anvendt på v(y) i intervallet mellem y 0 og y 0 + k giver v(y 0 + k) v(y 0 ) = kv (η 1 ), hvor η 1 ligger mellem y 0 og y 0 + k Heraf følger, at = hkf xy (ξ 1, η 1 ) Idet (ξ 1, η 1 ) (x 0, y 0 ) for (h, k) (0, 0), og f xy er kontinuert i (x 0, y 0 ), får vi ved division med hk og grænseovergang, at lim = f xy (x 0, y 0 ) (h,k) (0,0) hk Analogt kan vi i anvende middelværdisætningen på og dernæst på hvilket fører til w(y) = f(x 0 + h, y) f(x 0, y) z(x) = f y (x, η 2 ), = hkf yx (ξ 2, η 2 ), hvor ξ 2 ligger mellem x 0 og x 0 + h, og η 2 ligger mellem y 0 og y 0 + k Division med hk og grænseovergang giver lim = f yx (x 0, y 0 ) (h,k) (0,0) hk Hermed har vi bevist, at f xy (x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) 3

4 En variant af sætningen med lidt andre forudsætninger lyder: Sætning 2 Lad f have kontinuerte partielle afledede af første orden i en omegn af (x 0, y 0 ) Hvis én af de blandede partielle afledede af anden orden eksisterer i omegnen af (x 0, y 0 ) og desuden er kontinuert i punktet (x 0, y 0 ), da vil den anden blandede partielle afledede af anden orden også eksistere i (x 0, y 0 ) og være identisk med den første Bevis Antag, at f yx (x, y) eksisterer i en omegn af (x 0, y 0 ) og er kontinuert i (x 0, y 0 ) Heraf følger, jf beviset for den foregående sætning, at = hkf x (ξ 2, η 2 ) Efter division med hk og to på hinanden følgende grænseovergange får vi lim lim = f yx (x 0, y 0 ) k 0 h 0 hk Også fra beviset for den foregående sætning har vi = h ( f x (ξ 1, y 0 + k) f x (ξ 1, y 0 ) ), hvor ξ 1 ligger mellem x 0 og x 0 + h Kontinuiteten af f x medfører, at lim = f x (x 0, y 0 + k) f x (x 0, y 0 ) = f x (0, k) h 0 h Division med k og fornyet grænseovergang giver lim lim f x (0, k) = lim k 0 h 0 hk k 0 k Da grænseværdien på venstre side eksisterer, må også grænseværdien på højre side eksistere, og idet får vi Hermed har vi igen bevist, at f x (0, k) lim = f xy (x 0, y 0 ) k 0 k lim lim k 0 h 0 hk = f xy (x 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) Sætningerne kan opretholdes for funktioner af flere reelle variable, idet vi blot definerer en funktion af to reelle variable ved at fastholde alle variable på nær to, dvs g(x i, x j ) = f(x 1,0,, x i 1,0, x i, x i+1,0,, x j 1,0, x j, x j+1,0,, x n,0 ) Ovenstående sætninger kan herefter benyttes på g(x i, x j ), hvilket fører til x i x j = 2 f x j x i For højere ordens blandede partielle afledede gælder følgende sætning, som vi anfører uden bevis: Sætning 3 Antag, at to blandede n te ordens partielle afledede er fremkommet ved de samme differentiationer, men i forskellig rækkefølge Antag desuden, at alle 2) partielle afledede af orden mindre end n eksisterer og er kontinuerte i en omegn x 0 Hvis de to pågældende blandede afledede eksisterer i omegnen af x 0 og er kontinuerte i punktet x 0, så er de identiske 2) Egentlig kun tilstrækkeligt mange; hvilke vil afhænge af de specifikke blandede afledede, der betragtes 4

5 3 Retningsafledede Betragt en funktion af n reelle variable f : D R, hvor D R n er et åbent område Den retningsafledede i retningen bestemt ved enhedsvektoren u defineres ved når denne grænseværdi eksisterer f(x 0 + tu) f(x 0 ) D u f(x 0 ) = lim, Ved at sætte u = e i, i = 1,, n ses umiddelbart, at f(x 0 + te i ) f(x 0 ) D ei f(x 0 ) = lim f(0,, 0, t, 0,, 0) = lim = f xi (x 0 ), i = 1,, n De retningsafledede i akseretningerne er altså identiske med de partielle afledede Hvis vi antager, at f er differentiabel i x 0 3), kan vi benytte kædereglen 4) til at udlede et formeludtryk for D u f(x 0 ) Sæt g(t) = f(x 0 + tu) = f r(t), hvor r(t) = x 0 + tu, og iagttag, at D u f(x 0 ) = g (0) Differentiation af g(t) giver g (t) = (Df) r(t)dr(t) = Df(x 0 + tu)dr(t), jf kædereglen, og idet Dr(t) = u for alle t, bliver Det søgte formeludtryk er altså Bemærk, at g (0) = f(x 0 ) u = f(x 0 ) u D u f(x 0 ) = f(x 0 ) u f(x 0 ) u = f(x 0 ) u cos θ, hvor u = 1 og θ er vinklen mellem f(x 0 ) og u Den retningsafledede er størst for θ = 0 og mindst for θ = π Størsteværdien og mindsteværdien er henholdsvis f(x 0 ) og f(x 0 ) Vektoren f(x) kaldes ofte for gradienten af f En huskeregel: Gradienten peger i den retning, hvor funktionen vokser kraftigst /BR 3) Se noten Differentiabilitet, afsnit 5 og 6 4) Se noten Kædereglen for vektorfunktioner 5