Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Transkript

1 Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære koordinater. Opgave Bestem cos π 5 + sin 11π 5. Opgave 5 I et xy-planen er givet linien l, der går igennem punktet, 1 med hældningen 1, se figur 1. Bestem liniens ligning for l og bestem de polære koordinater ρ og θ for linien , Figure 1: 1

2 Parameterfremstillinger Opgave 6 Bestem en parameterfremstilling r x t = xt, yt for x-aksen. Opgave 7 Bestem en parameterfremstilling r l t = xt, yt for linien l fra opgave 5. Opgave 8 Bestem en parameterfremstilling for enhedscirklen. Opgave 9 Bestem en parameterfremstilling for cirklen beskrevet ved x +y = 5. Opgave 10 En ellipse kan beskrives med ligningen x x0 a + y y0 b = 1, hvor a og b er længden af lille- og storhalvaksen. Bestem en parameterfremstilling for ellipsen beskrevet ved x 1 + y = 1. Opgave 11 Ekstra Et hjul med radius 1 og centrum i 0, 1 er givet. Punktet p er punktet på hjulet hvor det rører x-aksen. Hjulet gives et skub så det triller ned langs x-aksen. Bestem en parameterfremstilling for kurven p følger. Se figur, sådan en kurve kaldes en cykloid. Figure :

3 Profilkurver Opgave 1 Et cirkelobjekt er beskrevet ved funktionen { 1 hvis x + y < 1, fx, y = 0 ellers. 1. Tegn et xy-koordinatsystem og indtegn f.. Du observerer funktionen fra syd. Tegn profilkurven set fra denne retning og bestem funktionen for kurven: p 70 ρ.. Du observerer nu funktionen fra vest. Tegn profilkurven set fra denne retning og bestem p 180 ρ. Opgave 1 Et kvadratisk objekt er beskrevet ved funktionen { 1 hvis 1 < x < 1 og 1 < y < 1, fx, y = 0 ellers. 1. Tegn et xy-koordinatsystem og indtegn f.. Du observerer funktionen fra syd. Tegn profilkurven set fra denne retning og bestem funktionen for kurven: p 70 ρ.. Du observerer nu funktionen fra sydvest. Tegn profilkurven set fra denne retning og bestem p 5 ρ. Opgave 1 I figure ses objekter. Tegn for hver af dem profilkurverne fra retningerne A, B, C og D. Kurveintegraler Opgave 15 Givet fx, y = x på området Ω = [, 6] [, 6] R det er den del af xyplanen vi kan se i figure 1. Bestem fx, y ds i området Ω, hvor l er linien fra l opgave 5. Se figur venstre. vink #1: Du har allerede bestemt en parameterfremstilling for l i opgave 7. Tjek at r l t = 1 vink #: Bestem grænserne for t, så r t t bliver indenfor Ω vink #: Indsæt din parameterfremstilling ind i fx, y

4 D C D C B B A A D C D C B B A A Figure : Figure :

5 Opgave 16 Løs opave 15 igen, men med Se figur højre. Opgave 17 Ekstra fx, y = cos πx πy + sin. Vi ser igen på cykloiden fra opgave 11. kurven. Hint: sin x = 1 1 cosx. Bestem længden af en af buerne på Rekonstruktion Du skal i denne del af opgaverne kigge lidt på rekonstruktion. Du vil blive giver nogle profilkurver og skal så rekonstruere det oprindelige billede. Vi bruger at vi ved at billedet er x pixels og hver pixel kan enten være 1 eller 0. Du vil se at der ikke altid kun er en løsning, hvis man har for få vinkler, selv for så simple problemer som dem vi har her. Således ka du nok forestille dig at det bliver meget værre, når man vil rekonstruere større billeder. D C B A Figure 5: Opgave 18 En ukendt figur som i opgave 1 er givet. Profilkurverne for figuren fra retningerne B og D kan ses i figur 6. Bestem alle løsninger. Opgave 19 En ukendt figur som i opgave 1 er givet. Profilkurverne for figuren fra retningerne B og D kan ses i figur 7. Bestem alle løsninger. 5

6 Figure 6: Profilkurver. B til venstre, D til højre. Figure 7: Profilkurver. B til venstre, D til højre. Opgave 0 En ukendt figur som i opgave 1 er givet. Profilkurverne for figuren fra retningerne B og D kan ses i figur 8. Bestem alle løsninger. 6

7 Figure 8: Profilkurver. B til venstre, D til højre. 7

8 Løsninger Opgave 1 π, π, π, π, π, π 6 Opgave -1 Opgave r = + = 5 = 5 θ = tan 1 = 0.97 Opgave 11π 5 = π 5 + π sinx + π = sinx cos x + sin x = 1 dvs. cos π + sin 11π 5 = cos π + sin π 5 + π = cos π 5 + sin π 5 = 1 Opgave 5 n = 1, 1 P =, 1 x + y 1 = 0 x + y = x + y = x cos π + y sin π = ρ = θ = π Opgave 6 xt = t yt = 0 Opgave 7 xt = t yt = + t Opgave 8 xt = cos t yt = sin t 8

9 Opgave 9 xt = 5 cos t + yt = 5 sin t + Opgave 10 xt = cos t + 1 yt = sin t Opgave 11 xt = cos π t + t = t sin t yt = sin π t + 1 = 1 cos t Opgave 1 p 70 ρ = p 180 ρ = { 1 ρ hvis 1 < ρ < 1 0 ellers. Opgave 1 { hvis 1 < ρ < 1 p 70 ρ = 0 ellers. { ρ hvis 1 < ρ < 1 p 5 ρ = 0 ellers. Opgave 1... Opgave 15 t 0 = 9 t 1 = 9 fxt, yt = t = t t Opgave 16 9 fxt, yt dt = 9 9 π t fxt, yt = cos 9 fxt, yt dt = 9 cos 9 [ ] t t + 9 dt = t 9 6 t + 9 t = 81 9 π t π + t + sin π + t + sin dt 9

10 = 9 cos π 8 πt π +sin 8 + πt [ dt = π π sin 8 πt π π cos 8 + πt ] 9 9 = π fxt, yt dt = π [ π sin 8 πt π + cos 8 + πt ] 9 9 π 8 π 9 = π 8 + 9π 8 = 1π 8 = π π 8 π 9 = π 8 9π 8 = 6π 8 = π π 8 + π 9 = π 8 9π 8 = 6π 8 = π = π π 8 + π 9 = π 8 + 9π 8 = 1π sin π + cos 8 = π π sin = π π cos π Opgave 17 L = ds = r cykloid π 0 r cykloidt dt r cykloidt = 1 cost π π L = 1 cost = sin t = cos t Opgave 18 Se figur 9. Opgave 19 Se figur 10. Opgave 0 Se figur π 0 = + = 8 10

11 Figure 9: Løsning til opgave 18 Figure 10: Løsninger til opgave 19 Figure 11: Løsninger til opgave 0 11