Noter til Lineær Algebra

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Noter til Lineær Algebra"

Transkript

1 Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, August 2007, Version π

2 INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter Abstrakte vektorrum 4. Definition af et vektorrum Underrum En matrices nulrum Lineær uafhængighed Basis og dimension Skift af basis Rækkerum og søjlerum Lineære afbildninger 2. Definition af en lineær afbildning Matrixrepræsentation af lineære afbildninger Similære matricer Egenværdier 5 3. Egenværdier og egenvektorer Diagonalisering Ortogonalisering 7 4. Skalarproduktet i R n Indre produkt rum Ortonormale systemer Ortogonale matricer Gram-Schmidt ortogonalisering Fourieranalyse Ortonormal basis Fourierrækker Fouriertransformation

3 INDHOLD 3 0. Om disse noter Disse noter indeholder en stor del af eksamensensum til LinAlg-kurset på Københavns Universitet (2006). Dog er emnerne lineære ligningssystemer, Gauss-Elimination/Gauss-Jordan Elimination, matrixalgebra og determinanter ikke medtaget. Versionsnummeret er givet ved udkommer en ny version. k= k2p, hvor p stiger med, når der Martin Sparre

4 ABSTRAKTE VEKTORRUM 4 Abstrakte vektorrum. Definition af et vektorrum Lad mængden V være et vektorrum og lad x,y V. Da gælder αx V, α R og x + y V. For x,y,z V og α,β R opstilles følgende aksiomer: (x + y) + z = x + (y + z) y + 0 = y x + ( x) = 0 x + y = y + x α(x + y) = αx + αy (α + β)x = αx + βx (αβ)x = α(βx) x = x. Elementerne i et vektorrum kaldes for vektorer. (0 kaldes 0-elementet) Her følger nogle eksempler på vektorrum og elementer i disse: Eksempel (Vektorrummet R n ) Talrummene R n er vektorrum. Her er et eksempel på vektorer i henholdsvis R 3 og R 5 : x = 7, y = Eksempel 2 (Vektorrummet R m n ) Mængden af alle m n matricer er et vektorrum og betegnes R m n. Her er et eksempel på en vektor i R 3 2 : 42 3 A =

5 ABSTRAKTE VEKTORRUM 5 Eksempel 3 (Vektorrummet P n ) Med P n betegnes mængden af polynomier af grad strengt mindre end n. Der gælder, at P n er et vektorrum. Her ses eksempler på en vektor i P 3 : p(x) = 2x 2 4x 2. Eksempel 4 (Vektorrummet C[a, b]) Det kan vises, at mængden, som består af alle kontinuerte funktioner defineret på et interval [a; b], udgør et vektorrum. Dette vektorrum betegnes C[a, b]. Et eksempel på en vektor i C[,]: f(x) = tan(x). Eksempel 5 (Vektorrummet C n [a, b] ) Mængden af alle n gange kontinuert differentiable funktioner på et interval [a; b] udgør et vektorrum, kaldet C n [a,b]..2 Underrum Lad V være et vektorrum og lad S V. Hvis S er en ikke-tom delmængde af V, så kaldes S et underrum af V, hvis følgende gælder: αx S, for alle x S og alle α R, x + y S for alle x,y S. (i) (ii) Betingelses (i) siger, at S er lukket under skalarmultiplikation og (ii) siger, at S er lukket under addition af elementer i S. I ethvert vektorrum V gælder der, at V og {0} er underrum. Disse to vektorrum kaldes trivielle underrum. Der gælder generelt, at alle underrum i sig selv er vektorrum..3 En matrices nulrum Lad A være en m n matrix. Så betegner N(A) mængden af alle løsninger til ligningen Ax = 0. Der gælder, at N(A) = {x R n Ax = 0}.

6 ABSTRAKTE VEKTORRUM 6 Til at finde nulrummet for en matrix udføres Gauss elimination eller Gauss- Jordan elimination og herudfra bestemmes løsningsrummet N(A) til lignignen Ax = 0. Eksempel 6 (Bestemmelse af nulrum) Lad ( ) 0 A =. 2 0 Efter Gauss-Jordan elimination fås: ( ). Ligningssystemet tilsvarende denne matrix er: x = x 3 x 4 x 2 = 2x 3 + x 4. Ved at sætte x 3 = α og x 4 = β fås, at 2 N(A) = span 0, 0, hvor span angiver mængden, som udspændes af de to vektorer..4 Lineær uafhængighed Definition (Lineær uafhængighed) Vektorerne v,v 2,...,v n V er lineært uafhængige hvis udsagnet, α v + α 2 v α n v n = 0, kun er sandt, når α,α 2,...,α n er 0. Definition 2 (Lineær afhængighed) Vektorerne v,v 2,...,v n V er lineært afhængige, hvis udsagnet er sandt, α v + α 2 v α n v n = 0, selvom ikke alle α,α 2,...,α n er 0.

7 ABSTRAKTE VEKTORRUM 7 For at afgøre om n vektorer, x,x 2,...,x n i R n er lineært afhængige kan man opskrive matricen, X = (x,x 2,...,x n ). Vektorerne er lineært afhængige hvis og kun hvis det (X) = 0. En anden måde at teste, hvorvidt en samling af vektorer er lineært afhængige, er, at opskrive en matrix med de givne vektorer som søjlevektorer. Efter Gauss-elimination af matricen er der en nulrække, hvis og kun hvis de givne vektorer er lineært afhængige. Hvis man har m vektorer i R n og m > n er de m vektorer altid lineært afhængige..5 Basis og dimension Definition 3 (En basis for et vektorrum) Vektorerne v,v 2,...,v n er en basis for vektorrummet V, hvis og kun hvis (i) v,v 2,...,v n er lineært uafhængige, (ii) v,v 2,...,v n udspænder V. Definition 4 (Dimensionen af et vektorrum) Lad V være et vektorrum. Hvis V har en basis, der består af n vektorer, så har V dimension n. Specielt defineres at underrummet {0} af V har dimension 0..6 Skift af basis Den naturlige basis for R 2 er de to standardenhedsvektorer e,e 2. I stedet for disse kunne man vælge at beskrive vektorer i R 2 ud fra en anden basis; eksempelvis vektorerne, ( ) ( ) 3 u =, u 2 =, 2 som her er angivet i forhold til den naturlige basis. Ved at bruge u og u 2 som basisvektorer vil man ofte få brug for at løse følgende problemer:

8 ABSTRAKTE VEKTORRUM 8. Givet en vektor x = (x,x 2 ) T mht. e og e 2, find dennes koordinater mht. u og u Givet en vektor c u + c 2 u 2 find dennes koordinater mht. e og e 2. Først løses problem 2. Det ses, at u = 3e + 2e 2, u 2 = e + e 2. Dvs., c u + c 2 u 2 = 3c e + 2c e 2 + c 2 e + c 2 e 2 = (3c + c 2 )e + (2c + c 2 )e 2. Ved at sætte U = (u,u 2 ) og c = (c,c 2 ) T fås: x = U c. (.) Nu er problem 2 således løst. U er sammensat af lineært uafhængige basisvektorer, hvorfor U er invertibel. Det følger af (.), at løsningen til problem er c = U x. Nu betragtes et mere generelt basisskift fra [v,v 2 ] til [u,u 2 ]. For at gå fra [v,v 2 ] til [e,e 2 ] skal den oprindelige koordinatvektor multipliceres med V. For at gå fra [e,e 2 ] til [u,u 2 ] skal der multpliceres med U således, at koordinattransformationsmatricen bliver U V. Koordinattransformationen illustreres her: V [v,v 2 ] [e,e 2 ] U V U [u,u 2 ] I det netop gennemregnede eksempel optrådte, der vektorer i R 2. Proceduren mht. basisskift kan dog let oversættes til ethvert andet endelig dimensionalt vektorrum;.

9 ABSTRAKTE VEKTORRUM 9 Definition 5 Lad V være et vektorrum med den tilhørende ordnede basis E = [v,v 2,...,v n ]. Hvis v er et element i V, så kan v skrives som v = c v + c 2 v c n v n, hvor c,c 2,...,c n er skalarer. Vektoren v V kan præsenteres af vektoren c = (c,c 2,...,c n ) T i R n. Vektoren c kaldes koordinatvektoren af v mht. den ordnede base E og betegnes [v] E. c i erne er koordinaterne af v med hensyn til E..7 Rækkerum og søjlerum I dette delafsnit præsenteres en række af de vigtigste sætninger og definitioner angående rækkerum og søjlerum. Først præsenteres definitionen af rækkerum og søjlerum; Definition 6 Lad A være en m n matrix. Underrummet af R n som udspændes af matricens rækkevektorer kaldes rækkerummet for A. Underrummet af R m, som udspændes af søjlevektorerne i A, kaldes søjlerummet for A. Sætning To rækkeækvivalente matricer har samme rækkerum. Definition 7 (Rang) Rangen af en matrix A er dimensionen af rækkerummet for matricen A. Eksempel 7 Lad A = Ved at udføre Gauss-elimination fås 2 3 U = Rækkerummet for matricerne A og U er således udspændt af de to vektorer (, 2,3) T og (0,,5) T. Rangen af begge matricer er 2.

10 ABSTRAKTE VEKTORRUM 0 Sætning 2 (Konsistens af lineære systemer) Et lineært system A x = b er konsistent, hvis og kun hvis b er indeholdt i søjlerummet for A. I øvrigt gælder der, at summen af rangen og dimensionen af nulrummet altid er lig antallet af søjler i en matrix. Sætning 3 Hvis A er m n, så er dimensionen af rækkerummet lig dimensionen af søjlerummet.

11 2 LINEÆRE AFBILDNINGER 2 Lineære afbildninger 2. Definition af en lineær afbildning Definition 8 En afbildning L : V W er en lineær afbildning, hvis L(αv + βv 2 ) = αl(v ) + βl(v 2 ), for alle v,v 2 V og for alle skalarer α og β. Heraf følger, at en afbildning er lineær, hvis og kun hvis den opfylder følgende:. L(v + v 2 ) = L(v ) + L(v 2 ). 2. L(αv) = αl(v). Eksempel 8 Betragt operatoren L : R 2 R 2 defineret ved L(x) = ( x 2,x ) T. Det kan let eftervises, at L er en lineær afbildning: ( ) αx2 βy 2 L(αx + βy) = αx + βy ( ) ( αx2 βy2 = + αx βy ) = αl(x) + βl(y) Det er hermed vist, at afbildningen er lineær. Definition 9 (Kernen af en lineær afbildning) Lad L : V W være en lineær afbildning. Kernen af L er givet ved ker(l) = {v V L(v) = 0 W }.

12 2 LINEÆRE AFBILDNINGER Matrixrepræsentation af lineære afbildninger Der gælder, at enhver lineær afbildning af typen L : R n R m kan repræsenteres af en m n matrix. Dette følger af denne sætning: Sætning 4 Hvis L er en lineær afbildning fra R n ind i nymodens R m, så eksisterer der netop en m n matrix A så L(x) = Ax, for alle x R n. Den j e søjle i A er givet ved a j = L(e j ). Eksempel 9 Lad L : R 3 R 2 være defineret ved L(x) = (x + x 2,x 2 + x 3 ) T. Nu skal matricen tilsvarende denne lineære afbildning findes. Når L virker på de tre naturlige basisvektorer i R 3 fås følgende for de tre søjlevektorer i A: ( ) L(e ) = 0 ( ) L(e 2 ) = ( ) 0 L(e 3 ) = Det følger nu af sætning 4, at ( 0 A = 0 ). I den følgende sætning betragtes mere generelle lineære afbildninger fra et vektorrum V med basen E = [v,v 2,...,v n ] til et andet vektorrum W med basen F = [w,w 2,...,w m ]:

13 2 LINEÆRE AFBILDNINGER 3 Sætning 5 Lad E = [v,v 2,...,v n ] og F = [w,w 2,...,w m ] være ordnede baser for henholdsvis V og W. Til enhver lineær afbildning L : V W er der en m n matrix A således, at [L(v)] F = A[v] E for alle v V. A er her matricen, som repræsenterer L mht. de ordnede baser E og F. Der gælder, at a j = [L(v j )] F. Eksempel 0 Lad L : R 3 R 2 være defineret ved L(x) = x b + (x 2 + x 3 )b 2, hvor ( ) ( ) b = og b 2 = Nu skal matricen A, der repræsenterer den lineære afbildning mht. de ordnede baser [e,e 2,e 3 ] og [b,b 2 ], findes. Der gælder, at L(e ) = b + 0b 2 = [L(e )] F = (,0) T L(e 2 ) = 0b + b 2 = [L(e 2 )] F = (0,) T L(e 3 ) = 0b + b 2 = [L(e 3 )] F = (0,) T. Af sætning 5 følger det nu, at ( 0 0 A = ([L(e )] F,[L(e 2 )] F,[L(e 3 )] F ) = 0 ). Sætning 6 Lad E = [u,u 2,...,u n ] og F = [b,b 2,...,b m ] være baser for henholdsvis R n og R m. Hvis L : R n R m er en lineær afbildning, så er den j e søjle i matricen A, som repræsenterer L mht. E og F, givet ved a j = B L(u j ), hvor B = [b,b 2,...,b m ].

14 2 LINEÆRE AFBILDNINGER 4 Sætning 7 Hvis A repræsenterer den lineære afbildning L : R n R m mht. til baserne E = [u,u 2,...,u n ] og F = [b,b 2,...,b m ], så er den reducerede rækkeechelonform af (b,...,b m L(u ),...,L(u n )) givet ved (I A) Se eksempel 6 side 90 i Leon. 2.3 Similære matricer Sætning 8 Lad E = [v,...,v n ] og F = [w,...,w n ] være ordnede baser for et vektorrum V og lad L være en lineær operator på V. Transformationsmatricen, der repræsenterer skiftet fra F til E, kaldes S. Hvis A repræsenterer den lineære afbildning mht. basen E, så er matricen, der repræsenterer L mht. F givet ved B = S AS. Definition 0 Lad A og B være m n matricer. B er similær til A, hvis der findes en invertibel matrix S således, at B = S AS. Det skal bemærkes, at hvis B er similær til A, så følger det, at A er similær til B.

15 3 EGENVÆRDIER 5 3 Egenværdier 3. Egenværdier og egenvektorer Definition Lad A være en n n matrix. En skalar λ er en egenværdi til A, hvis der findes en egentlig vektor x 0, så Ax = λx. (3.) x er da en egenvektor, som hører til λ. (3.) kan omskrives til (A λi)x = 0. Denne ligning har en ikke triviel løsning, hvis og kun hvis A λi er singulær. Dvs., hvis det(a λi) = 0. Det karakterristiske polynomium defineres ved p(λ) = det(a λi). Rødderne til dette polynomium er egenværdierne til n n matricen A. Det karakterristiske polynomium vil altid have n komplekse rødder (talt med multiplicitet). For en n n matrix A er følgende udsagn ækvivalente:. λ er en egenværdi for A. 2. (A λi)x = 0 har en ikke-triviel løsning. 3. N(A λi) {0}. 4. A λi er singulær. 5. det(a λi) = 0. Eksempel Lad A = ( ).

16 3 EGENVÆRDIER 6 For at finde egenværdierne til A opskrives det karakterristiske polynomium: 3 λ 2 p(λ) = 3 2 λ = λ2 λ 2. Dette giver egenværdierne λ = 4 og λ 2 = 3. Enhver vektor, der er element i nulrummet N(A + 3I) er en egenvektor tilsvarende egenværdien 3. Enhver vektor, der er et element i nulrummet N(A 4I) er en egenvektor tilsvarende egenværdien Diagonalisering Definition 2 En n n matrix A er diagonaliserbar, hvis der findes en invertibel matrix X og en diagonalmatrix D så X AX = D. Man siger, at X diagonaliserer A. Sætning 9 En n n matrix A er diagonaliserbar, hvis og kun hvis A har n lineært uafhængige egenvektorer. Vigtige bemærkninger:. Hvis A er diagonaliserbar, så er søjlevektorerne i diagonaliseringsmatricen X egenvektorer for A. Diagonalelementerne af D er de til egenvektorerne tilsvarende egenværdier. 2. Diagonaliseringsmatricen X er ikke unik. Ved at ombytte søjler for diagonaliseringsmatricen eller ved at multiplicere med en skalar, der er forskellig fra 0, kan man konstruere en ny diagonaliseringsmatrix. 3. Hvis A er n n og A har n forskellige egenværdier, så kan A diagonaliseres. Hvis der er flere ækvivalente egenværdier så er A diagonaliserbar afhængigt af om, der er n lineært uafhængige egenvektorer (Se sætning 9). 4. Hvis A er diagonaliserbar, så kan A skrives som produktet X D X. 5. A k = X D k X.

17 4 ORTOGONALISERING 7 4 Ortogonalisering 4. Skalarproduktet i R n Skalarproduktet mellem to vektorer a,b R n defineres ved a T b. Dvs., a b Normen af en vektor defineres ved n a i b i. i= a a a. Projektionen af en vektor a på en vektor b er givet ved og størrelsen af projektionen er a b = a b b 2 b a b = a b b. To vektorer a og b er defineret til at være ortogonale, hvis a b = 0. Vinklen mellem a og b er 4.2 Indre produkt rum cos θ = a b a b. Definition 3 (Indre produkt) Et indre produkt på en vektor i et abstrakt vektorrum V er en operator på V, der til ethvert par af vektorer x, y V tildeler en skalar x, y, som opfylder I x,x 0, med lighed hvis og kun hvis x = 0. II x,y = y,x. III αx + βy,z = α x,z + β y,z for alle x,y,z V og alle skalarer α,β. Et vektorrum V med et indre produkt kaldes et indre produkt rum. Her følger en række eksempler på indre produkter:

18 4 ORTOGONALISERING 8 Eksempel 2 (R n ) Skalarproduktet i R n er et indre produkt; x,y = x T y. Et andet eksempel på et indre produkt i R n er x,y = n w i x i y i, i= hvor w,w 2,...,w n er skalarer. Eksempel 3 (R m n ) For A,B R m n kan man definere et indre produkt ved A,B = m n a ij b ij. i= j= Eksempel 4 (C[a, b]) Et eksempel på et indre produkt for f, g C[a, b] er f,g = b a f(x)g(x) dx. Hvis en funktion w(x) er kontinuert på [a,b] kan et indre produkt også defineres som f,g = b a f(x)g(x)w(x) dx. Eksempel 5 (P n ) Lad x,x 2,...,x n være forskellige skalarer. For ethvert par af polynomier af mindre grad end n kan man definere: n p,q = p(x i )q(x i ). i=0 Der gælder, at normen af en vektor i et indre produkt rum kan defineres ved: x = x,x. Definition 4 (Projektion) Lad u og v være vektorer i et indre produkt rum. Projektionen af u på v er u v = u,v v 2 v.

19 4 ORTOGONALISERING Ortonormale systemer Definition 5 (Ortogonalt system) Lad v,v 2,...,v n være vektorer forskellig fra nulvektoren i et indre produkt rum V. Hvis v i,v j = 0, når i j, så er basen {v,v 2,...,v n } et ortogonalt system. Definition 6 (Ortonormalt system) Et ortonormalt system af vektorer er et ortogonalt sæt af enhedsvektorer. Et system u,u 2,...,u n er således ortonormalt, hvis og kun hvis { hvis i = j u i,u j = 0 hvis i j. Hvis man har et ortogonalt system {v,v 2,...,v n } kan man definere u i = v i v i. Da udgør {u,u 2,...,u n } er ortonormalt system. Her følger tre sætninger angående ortonormale baser: Sætning 0 Lad u,u 2,...,u n være en ortonormal basis for et indre produkt rum V. Hvis så er v = n c i u i, i= c i = v,u i. Af denne sætning følger det, at hvis man ønsker at skrive en vektor, som x = c u + c 2 u c n u n, hvor u,u 2,...,u n er en ortonormal basis, så er c i givet ved c i = x,u i. Sætning Lad u,u 2,...,u n være en ortonormal basis for et indre produkt rum V. Hvis u = n i= a iu i og v = n i= b iu i, så er u,v = n a i b i. i=

20 4 ORTOGONALISERING 20 Sætning 2 (Parseval s formel) Hvis u,u 2,...,u n er en ortonormal basis for et indre produkt rum V og v = n i= c iu i, så er v 2 = n c 2 i. i= Eksempel 6 Lad {u,u 2,u 3 } være en ortonormal basis for et indre produkt rum V. Betragt de to vektorer, Ifølge sætning er Og ifølge Parseval s formel er u = u + 2u 2 + 2u 3, v = u + 7u 3. a,b = = 5. u = = 3, v = = 5 2. Om vinklen mellem de to vektorer gælder: cos θ = a,b a b = = 2. Hermed er θ = π Ortogonale matricer Definition 7 (Ortogonal matrix) En reel matrix Q er en ortogonal matrix, hvis søjlevektorerne i Q udgør et ortonormalt sæt i R n. Sætning 3 En n n matrix Q er ortogonal, hvis og kun hvis Q T Q = I. Af denne sætning følger umiddelbart, at Q T = Q. I øvrigt gælder altid, at Qx,Qy = x,y. Hvis x,y = x T y gælder desuden, at Qx = x.

21 4 ORTOGONALISERING 2 Sætning 4 Hvis A er en reel symmetrisk matrix, så findes der en ortogonal matrix U, som diagonaliserer A. Dvs., D = U T AU, hvor D er en diagonalmatrix. En symmetrisk matrix er opfylder, at A T = A. Hvis A er en reel n n matrix, så er følgende betingelser ækvivalente:. Der findes en orthonormal basis for R n bestående af egenvektorer for A. 2. Der findes en matrix U, så U T AU er diagonal med egenværdier for A i diagonalen (U kan bestemmes ved at køre Gram-Schmidt på egenvektorerne i A. Søjlevektorerne i U er da vektorerne i den ortonormale basis). 3. A er symmetrisk; dvs., A T = A. 4.5 Gram-Schmidt ortogonalisering I dette kapitel beskrives Gram-Schmidt ortogonaliseringsmetoden. Ved hjælp af denne metode kan man ud fra enhver basis, danne en ortonormal basis, som opfylder, at [x,x 2,...,x n ], [u,u 2,...,u n ], span{[u,u 2,...,u n ]} = span{[x,x 2,...,x n ]}. Den første vektor i den ortonormale basis fås ved at normere x : u = x x.

22 4 ORTOGONALISERING 22 For at konstruere den anden vektor i den ortonormale basis opskrives projektionen af x 2 på nymodens u (Denne vektor kaldes p ): p = x 2,u u Der må af geometriske årsager gælde, at (x 2 p ) u. Ved at normere x 2 p denne kan man således danne en ny vektor i den ortonormale basis: u 2 = x 2 p x 2 p. Den tredje vektor i den ortonormale basis kan konstrueres ved at definere vektoren, og så er p 2 = x 3,u u + x 3,u 2 u 2, u 3 = x 3 p 2 x 3 p 2. Følgende sætning beskriver Gram-Schmidt Ortogonaliseringsmetoden: Sætning 5 (Gram-Schmidt) Lad [x,x 2,...,x n ] være en ortogonal basis for et indre produkt rum V. Lad og definer u 2,u 3...,u n rekursivt ved hvor u = x x u k+ = x k+ p k x k+ p k, p k = x k+,u u + x k+,u 2 u x k+,u k u k er projektionen af x k+ på spannet af [u,u 2,...,u k ]. Der gælder, at [u,u 2,...,u n ] er en ortonormal basis for V. Bemærk at i udledning af Gram-Schmidt-metoden anvendte vi vores geometriske intuition om vektorer i R n. Metoden er dog ikke begrænset til vektorer i R n, men kan anvendes i alle abstrakte vektorrum.

23 5 FOURIERANALYSE 23 5 Fourieranalyse 5. Ortonormal basis I dette delafsnit forklares den teoretiske baggrund for fourierrækker. Betragte et indre produkt rum, hvor det indre produkt mellem to funktion f og g er defineret ved f,g 2 L L 0 f(x)g(x)dx. Betragt funktionerne ( ) ( ) ( ) ( ) 2πr 2πs 2πr 2πs cos L x, cos L x, sin L x, sin L x, hvor r og s er ikke-negative heltal og L er en skalar. Ved at udregne indre produkter fås: ( 2πr cos L x ) ( ) 2πs,sin L x = 2 L ( ) ( ) 2πr 2πs cos L x,cos L x ( ) ( ) 2πr 2πs sin L x,sin L x = 0, L 0 L ( ) ( ) 2πr 2πs cos L x sin L x dx ( ) ( ) 2πr 2πs cos L x cos L x dx = 2 L 0 2 for r = s = 0 = for r = s > 0 0 for r s = 2 L ( ) 2πr sin L 0 L x 0 for r = s = 0 = for r = s > 0 0 for r s ( ) 2πs sin L x dx Ud fra de netop udregnede indre produkter ses det, at enhver funktion (der er uendeligt mange gange differentiabel) kan opskrives i en ortonormal basis således f(x) = a [ ( ) ( )] 2πr 2πr a r cos L x + b r sin L x, r=

24 5 FOURIERANALYSE 24 hvor de r e koefficienter er givet ved projektionen af f på de r e basisvektorer således: a r = b r = ( 2πr f,cos f,sin ) L x = 2 L ) = 2 L ( 2πr L x x0 +L x 0 x0 +L x 0 ( 2πr f(x)cos ( 2πr f(x)sin L x ) L x dx ) dx. I det næste delafsnit opskrives dette resultat på mere stringent vis. 5.2 Fourierrækker En funktion f kan udvikles vha. fourierrækker, hvis den opfylder Dirichlets betingeler: i) f er periodisk, ii) f skal være kontinuert. Dog er det tilladt med et endeligt antal diskoninuitetspunkter, iii) f skal have et endeligt antal maksimum- og minimumpunkter inden for en enkelt periode, iv) Integralet over en periode af f(x) skal konvergere. Hvis Dirichlets betingelser er opfyldt er fourierrækken for f givet ved f(x) = a [ ( ) ( )] 2πr 2πr a r cos L x + b r sin L x, r= hvor Fourier koefficienterne er givet ved a r = 2 x0 +L ( ) 2πr f(x)cos L x 0 L x dx b r = 2 x0 +L ( ) 2πr f(x)sin L L x dx. Lige og ulige funktioner For en funktion f gælder: x 0 hvis f er lige er f( x) = f(x) hvis f er ulige er f( x) = f(x)

25 5 FOURIERANALYSE 25 Eksempelvis er f(x) = x 2 en lige funktion og f(x) = x 3 er en ulige funktion. For enhver funktion gælder: f(x) = 2 [f(x) + f( x)] + [f(x) f( x)] 2 = f lige (x) + f ulige (x) For en fourierrække repræsenterer a r de lige led (I a r indgår cosinus og cosinus er en lige funktion) og b r repræsentere de ulige led (I b r indgår sinus og sinus er en ulige funktion). For en ulige funktion er alle a-leddene således 0 og tilsvarende er alle b-leddene 0 for en lige funktion. For en maclaurin-række gælder i øvrigt det samme. 5.3 Fouriertransformation Den fouriertransformerede af en funktion f(t) er givet ved Den inverse er: f(ω) = 2π f(t) = 2π f(t)e iωt dt. f(ω)e iωt dω.

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Lineær Algebra Dispositioner

Lineær Algebra Dispositioner Lineær Algebra Dispositioner Michael Lind Mortensen, 20071202, DAT4 12. august 2008 Indhold 1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer 4 1.1 Disposition............................

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,

Læs mere

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1 1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1 Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Lineær Algebra. Differentialligninger

Lineær Algebra. Differentialligninger Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer..............................

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens

Læs mere