Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
|
|
- Jens Bech
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme dens egenværdier, ledte jeg efter en betingelse for, at en matrix har denne egenskab, der kunne være nem at vise i praksis. Jeg skulle ikke lede længe efter et: Sylvesters kriterium, som vises sidst i denne artikel, er et tilpas simpelt og samtidigt overraskende resultat (kort sagt, det kilder en lille smule, når man læser det). For at komme frem til sætningen vil vi undervejs bevæge os forbi en række virkelig interessante sætninger om komplekse matricer, som jeg ikke selv har set før forarbejdet til denne artikel, og forhåbentlig vil man kunne drage nytte af disse. For at alle kan følge med, har jeg sørget for, at jeg kun bevæger mig inden for territoriet trådt under LinAlg-kurset, og jeg vil henvise til alles førsteårs-linalg-bog [2] i det følgende i form af sætningsangivelser sat i parenteser. Først noget notation. Vi definerer M m,n som værende vektorrummet af m n -matricer med indgange i C. M n betegner rummet M n,n, og I n M n betegner enhedsmatricen (bestående af ettaller i diagonalen og nuller alle andre steder). For enhver matrix A = (a ij ) i M m,n (forstået på den måde, at a ij er indgangen i skæringen mellem i te række og j te søjle) defineres den adjungerede matrix A = (b ij ) M n,m ved b ij = a ji ; for eksempel vil vi have for 1 i A = i 0, i 23. årgang, nr. 2
2 10 Sylvesters kriterium at dens adjungerede er givet ved ( ) A 1 i 4 =. i 0 2 3i Regneregler for adjungering er såre simple og ganske vigtige: der gælder, at (AB) = B A, (λa 1 + µa 2 ) = λa 1 + µa 2, (A ) = A for alle A 1, A 2 M m,n, B M n,p og λ, µ C. En kompleks n n - matrix A kaldes selvadjungeret eller hermitisk hvis A = A. I tilfælde af, at nogen har glemt et ekstremt relevant koncept fra LinAlg, bliver det kort genopfrisket her: ved en egenvektor for en matrix A M n forstås en vektor x C n, så x ikke er nulvektoren, og Ax = λx for et λ C. λ kaldes i dette fald den til x hørende egenværdi for A. A kaldes diagonaliserbar, hvis der findes en basis for C n bestående af egenvektorer for A. Et centralt og ganske uomstændigt resultat fra lineær algebra lyder, at egenværdierne for A netop er rødderne til det såkaldte karakteristiske polynomium defineret ved λ det(a λi n ) (6.1.8), så ved Algebraens Fundamentalsætning har enhver kompleks matrix A i alt n egenværdier talt med multiplicitet (summa summarum: de behøver ikke at være forskellige). I det følgende opfattes enhver vektor x C n endvidere automatisk som en n 1 -matrix og enhver 1 1 -matrix som et komplekst tal. Vi definerer et indre produkt på C n ved n x, y = y x = x i y i i=1 Famøs november 2013
3 Rasmus Sylvester Bryder 11 for vektorer x = (x 1,..., x n ) og y = (y 1,..., y n ) med komplekse indgange. 1 Lemma 1 Alle egenværdier for en selvadjungeret matrix A er reelle. Bevis. Antag, at λ er en egenværdi for A med en tilhørende egenvektor x. Da vil så λ = λ; altså vil λ R. Nu til det vigtige. λ x 2 = λx, x = Ax, x = x Ax = x A x = (Ax) x = x, Ax = x, λx = λ x 2, Definition 2 En matrix U M n kaldes unitær, hvis U U = UU = I n. Vi husker, at en n n -matrix er unitær, hvis og kun hvis dens søjler udgør en ortonormalbasis i C n jf. (7.2.3); vi kommer til at bruge dette en masse i det følgende. Vi starter først med en ordentlig moppedreng. Sætning 3 (Schurs triangulariseringssætning, 1909) For hver kompleks matrix A M n findes en unitær matrix U M n således at U AU er en øvre trekantsmatrix. 1 Nogle studerende er måske mere vant til notationen x y frem for x, y. Under alle omstændigheder gælder regnereglerne (7.1.1) selvfølgelig stadig. 23. årgang, nr. 2
4 12 Sylvesters kriterium Bevis. Vi viser dette ved induktion efter n; i tilfældet n = 1 er der intet at vise (sæt U = I 1 ). Antag derfor, at sætningen gælder for komplekse n n -matricer; vi viser ud fra dette, at sætningen holder for (n + 1) (n + 1) -matricer. Lad derfor A M n+1, og lad λ være en egenværdi for A med en tilhørende egenvektor x C n+1. Da vil x 1 = 1 x x også være en egenvektor for A hørende til λ. Mængden {x 1 } kan nu udvides til en basis {x 1,..., x n+1 } for C n+1 jf. (4.5.12) og ved Gram-Schmidt-ortogonalisering (7.1.8) opnås en ortonormalbasis {z 1,..., z n+1 } for C n+1, hvor z 1 = 1 x 1 x 1 = x 1. Lades U være matricen givet ved U = (z 1 z n+1 ), altså med søjle i lig vektoren z i, vil U dermed være unitær. Den første søjle i matricen U AU er nu produktet U AUe 1 jf. (1.3.5), hvor e 1 = (1, 0,..., 0) C n+1. Bemærk, at U 1 = U, hvormed Ue 1 = z 1 = x 1 og U 1 z 1 = e 1, således at U AUe 1 = U A(Ue 1 ) = U Ax 1 = U (λx 1 ) = λ(u 1 x 1 ) = λe 1, hvor vi brugte, at x 1 var egenvektor for A. Altså vil ( ) U λ B AU =, 0 n,1 A 1 hvor B er en 1 n -matrix, 0 n,1 er en n 1 -matrix med nuller overalt og A 1 er en n n -matrix (vi har skrevet U AU som en blokmatrix). Ved induktionsantagelsen findes en unitær matrix Famøs november 2013
5 Rasmus Sylvester Bryder 13 U 1 M n så U 1 A 1U 1 er en øvre trekantsmatrix med diagonalen bestående af egenværdier for A. Bemærk, at blokmatricen ( ) U 1 01,n = M 0 n,1 U n+1 1 er unitær: dens søjlevektorer har alle længde 1 og er indbyrdes ortogonale, hvorpå de tilmed er lineært uafhængige jf. (7.1.6) og derfor udgør en basis for C n+1 jf. (4.5.7). Bemærk endvidere, at (UU ) C(UU ) = (U ) (U CU)U ( ) ( ) ( ) 1 01,n λ B 1 01,n = 0 n,1 U1 0 n,1 A 1 0 n,1 U 1 ( ) λ B = 0 n,1 U1 A, 1U 1 hvor B er en 1 n -matrix 2. Eftersom U 1 A 1U 1 er en øvre trekantsmatrix fra induktionsantagelsen, fås at sidst forekommende matrix i ovenstående udregninger også er en øvre trekantsmatrix. Da UU er unitær (tjek selv!), fås det ønskede for (n+1) (n+1) - matricer, så induktion giver, at sætningen holder for alle n. Bemærk, at ovenstående sætning ikke nødvendigvis for reelle matricer A atter giver en reel unitær matrix U. Korollar 4 For A M n er determinanten af A lig produktet af de n egenværdier for A. 2 Her anbefales det at bruge et par minutter på at overbevise sig om, hvorledes blokmatricer af denne form ganges sammen og hvorfor vi får det ovenstående. 23. årgang, nr. 2
6 14 Sylvesters kriterium Bevis. Tag jf. ovenstående sætning en unitær matrix U således at T = U AU er en øvre trekantsmatrix. Da er det(a λi n ) = det(u (A λi n )U) = det(t λi n ) for alle λ C, således at egenværdierne for A netop er egenværdierne for T. Lades λ 1,..., λ n være diagonalelementerne i T, ses hurtigt, at det(t λi n ) = (λ λ 1 ) (λ λ n ), λ C, da T er en øvre trekantsmatrix. Altså er egenværdierne for T lig diagonalelementerne i T. Da følger det ønskede. det(a) = det(ut U ) = det(t ) = λ 1 λ n, Korollar 5 For enhver selvadjungeret matrix A M n findes en ortonormalbasis af egenvektorer for A, og egenværdierne knyttet til de n egenvektorer er netop de n egenværdier for A. Hermed er A diagonaliserbar. Bevis. Lad U M n være en unitær matrix, således at U AU er en øvre trekantsmatrix jf. Schurs triangulariseringssætning. Da (U AU) = U A (U ) = U A U = U AU, er U AU også en nedre trekantsmatrix, idet den er lig (U AU), hvormed U AU er en diagonalmatrix D M n. Søjlevektorerne i U udgør en ortonormalbasis for C n, da U er unitær. Lad z i være den i te søjlevektor i U. Da vil Ue i = z i, hvor e i er den i te Famøs november 2013
7 Rasmus Sylvester Bryder 15 basisvektor i C n (1.3.5). Betegnes det i te diagonalelement i D med λ i, fås nu Az i = AUe i = U(U AUe i ) = U(De i ) = U(λ i e i ) = λ i (Ue i ) = λ i z i. Altså er den i te søjlevektor i U en egenvektor for A med tilhørende egenværdi lig det i te diagonalelement i D. Ved beviset for Korollar 4 indses, at egenværdierne λ 1,..., λ n netop udgør alle egenværdier for A. Vi nærmer os nu det ønskede kriterium så småt. Først skal bemærkes, at hvis W 1 og W 2 er underrum af et vektorrum V, da er W 1 W 2 og W 1 + W 2 = {x 1 + x 2 x 1 W 1, x 2 W 2 } også underrum af V. Hvis V 1 og V 2 er vektorrum, opnås et nyt vektorrum ved at betragte produktmængden V 1 V 2 = {(x 1, x 2 ) x 1 V 1, x 2 V 2 } og definere addition og skalarmultiplikation på denne koordinatvist, altså ved (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), λ(x 1, y 1 ) := (λx 1, λx 2 ) for x 1, x 2 V 1, y 1, y 2 V 2 og λ C. Dette vektorrum kaldes den direkte sum af V 1 og V 2 og betegnes V 1 V 2. Det er endvidere let at indse, at hvis {x 1,..., x m } er en basis for V 1 og {y 1,..., y n } er en basis for V 2, opnås en basis for V 1 V 2 ved vektorsættet {(x 1, 0),..., (x m, 0), (0, y 1 ),..., (0, y n )}. Altså er dim(v 1 V 2 ) = dim V 1 +dim V 2. Ud fra disse konstruktioner kan vi udlede følgende meget vigtige formel som konsekvens af Dimensionssætningen. 23. årgang, nr. 2
8 16 Sylvesters kriterium Lemma 6 (Grassmanns formel) Lad W 1 og W 2 være underrum af et endeligdimensionalt vektorrum V. Da vil dim W 1 + dim W 2 = dim(w 1 + W 2 ) + dim(w 1 W 2 ). Bevis. Definér en lineær afbildning f : W 1 W 2 W 1 + W 2 ved f(x, y) = x + y. f er surjektiv. Hvis f(x, y) = 0 for en vektor (x, y) W 1 W 2, vil x + y = 0 og dermed y = x i V. Endvidere vil x W 1 og x = y W 2, så x W 1 W 2. Dermed vil ker f {(x, x) x W 1 W 2 }. Omvendt ses, at f(x, x) = 0 for alle x W 1 W 2, så kernen er lig ovenstående mængde. ker f er et underrum af W 1 W 2. Definéres nu en afbildning g : ker f W 1 W 2 ved g(x, y) = x, er det let at vise, at g er lineær og en isomorfi. Altså er dim ker f = dim(w 1 W 2 ), hvormed vi ved Dimensionssætningen (4.7.7) får dim W 1 + dim W 2 = dim(w 1 W 2 ) og dermed det ønskede. = dim(f(w 1 W 2 )) + dim(ker f) = dim(w 1 + W 2 ) + dim(w 1 W 2 ), Nu er vi beredte og bevæbnede til tænderne med en kavalkade af evergreens inden for sætninger om matricer. Tally-ho! Definition 7 En matrix A M n er positivt definit, hvis x Ax > 0 for alle x C n, hvor x ikke er nulvektoren. Lemma 8 En selvadjungeret matrix A M n er positivt definit, hvis og kun hvis alle dens egenværdier er strengt positive. Specielt er determinanten af A positiv, hvis A er positivt definit. Famøs november 2013
9 Rasmus Sylvester Bryder 17 Bevis. Hvis A er positivt definit og λ er en egenværdi for A med en tilhørende egenvektor x, vil 0 < x Ax = Ax, x = λx, x = λ x 2, hvormed vi ved division med x 2 får, at λ > 0. For at vise den anden implikation, bemærker vi, da A er selvadjungeret, at der findes en ortonormalbasis for A bestående af egenvektorer jf. Korollar 5. Lad {z 1,..., z n } være en sådan, med den til z i hørende egenværdi betegnet λ i. For ethvert x C n findes da entydigt bestemte tal µ 1,..., µ n C så x = n i=1 µ i z i, hvormed x Ax = Ax, x n n = λ i µ i z i, µ j z j i=1 j=1 n = λ i µ i µ j z i, z j i,j=1 n = λ i µ i µ i z i, z i i=1 n = λ i µ i 2, i=1 da z i erne er ortonormale. Hvis alle egenværdier er strengt positive og x er forskellig fra nulvektoren, må der være et j {1,..., n}, så µ j 0 hvormed x Ax λ i µ i 2 > 0. Altså er A positivt definit. Det sidste resultat følger af Korollar 4. Følgende pudsige begreber er essentielle for det næste (og sidste) resultat. 23. årgang, nr. 2
10 18 Sylvesters kriterium Definition 9 Lad A M n. For k = 1,..., n kaldes den k k - matrix, der opnås ved at slette de sidste n k rækker og søjler i A, for den k te ledende undermatrix af A. Den k te ledende underdeterminant af A er determinanten af den k te ledende undermatrix af A. Sætning 10 (Sylvesters kriterium) Lad A M n være selvadjungeret. Da er A positivt definit hvis og kun hvis dens ledende underdeterminanter er positive. Bevis. Antag først, at A er positivt definit, lad k {1,..., n} og lad A k være den k te ledende undermatrix af A. For enhver vektor x C k forskellig fra nulvektoren defineres x C n ved x = (x 1,..., x k, 0,..., 0), hvor x = (x 1,..., x k ). Specielt er x ikke nulvektoren, og ved direkte udregning indses, at x A k x = x A x > 0, således at A k er positivt definit. Specielt fås ved Lemma 8, at determinanten af A k er positiv og dermed fås den ene implikation. Den anden retning vises ved induktion efter n, hvori starttilfældet n = 1 er klart. Antag derfor, at det gælder for alle selvadjungerede n n - matricer, at positivitet af de ledende underdeterminanter medfører, at matricen er positivt definit, og lad A være en selvadjungeret (n + 1) (n + 1) -matrix med positive ledende underdeterminanter. Ved Lemma 8 ses, at det er nok at vise, at egenværdierne for A er positive. Grundet induktionsantagelsen vil den n te ledende undermatrix af A være positivt definit; kald denne for A n. Eftersom A er selvadjungeret, findes ved Korollar 5 en ortonormalbasis z 1,..., z n+1 af egenvektorer for A med tilhørende egenværdier λ 1,..., λ n+1, som udgør alle egenværdier for A. Vi kan ved omarrangering sørge for, at λ 1 λ n+1, idet Famøs november 2013
11 Rasmus Sylvester Bryder 19 egenværdierne er reelle ved Korollar 4. Som i beviset for Lemma 8 har vi nu for ethvert x C n+1 på formen x = n+1 i=1 µ iz i, at n x Ax = λ i µ i 2. i=1 Bemærk, at µ i erne er entydigt bestemt ud fra x, eftersom z i erne er en basis. Hvis x span{z 1, z 2 }, vil vi i så fald have så µ 3 =... = µ n+1 = 0, x Ax = λ 1 µ λ 2 µ 2 2 λ 2 ( µ µ 2 2 ) = λ 2 x 2, hvoraf sidste lighedstegn indses ved at regne på x, x direkte. Lad W være det underrum af vektorer i C n+1, hvis (n + 1) te koordinat er lig 0. For enhver vektor x = (x 1,..., x n, 0) W forskellig fra nulvektoren indses nu igen ved direkte udregning, at x Ax = (x ) A n x > 0, hvor x = (x 1,..., x n ) C n, idet A n er positivt definit. Eftersom span{z 1, z 2 } har dimension 2, W har dimension n og de begge er indeholdt i vektorrummet C n+1 af dimension n + 1, må vi have dim(w span{z 1, z 2 }) > 0 og dermed W span{z 1, z 2 } = {0} ved Grassmanns formel. Der findes altså en vektor x W span{z 1, z 2 } forskellig fra nulvektoren, hvorved vi får λ 2 x 2 x Ax > årgang, nr. 2
12 20 Sylvesters kriterium og dermed λ n+1 λ 2 > 0. Eftersom λ 1 λ n+1 = det A > 0, må λ 1 > 0, så alle egenværdier for A er positive, hvormed A er positivt definit. Induktion giver nu den anden retning for alle n, og altså følger Sylvesters kriterium. Litteratur [1] Kumaresan, S. Sylvester Criterion for Positive Definiteness, University of Hyderabad, Department of Mathematics and Statistics, [2] Pedersen, Niels Vigand. Forelæsningsnoter til lineær algebra, 2. udgave, Københavns Universitet, Matematisk Afdeling, [3] Prasolov, Viktor Vasil evich. Problems and theorems in linear algebra, American Mathematical Society, Famøs november 2013
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereLæser du ikke normeret? UD!
FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 2, november 2013 Læser du ikke normeret? UD! Regeringen og KU svinger pisken med såkaldt studiefremdriftsreform Mød op til stormøde
Læs mereIndhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereNoter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)
Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereMat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereLinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereLineær Algebra Dispositioner
Lineær Algebra Dispositioner Michael Lind Mortensen, 20071202, DAT4 12. august 2008 Indhold 1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer 4 1.1 Disposition............................
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereNoter til Lineær Algebra
Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition
Læs mereSandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!
LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereMatematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereMATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1
LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:
Læs mereLineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =
Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereSymmetriske matricer. enote Skalarprodukt
enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereMATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1
LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [P] Lawrence Perko: Differential equations
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mere