Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 11 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 II.3 III.1 III.2 III.3 III.4 IV.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave IV.2 V.1 V.2 V.3 VI.1 VI.2 VI.3 VII.1 VII.2 VIII.1 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave VIII.2 VIII.3 IX.1 IX.2 IX.3 X.1 X.2 XI.1 XI.2 XI.3 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 17; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I Benzinforbruget for tre typer benzin blev undersøgt i fire forskellige bilmodeller og man fik følgende resultater (i km/liter): Bilmodel A Bilmodel B Bilmodel C Bilmodel D Benzintype Benzintype Benzintype Spørgsmål I.1 (1): Hvilken af følgende metoder er bedst egnet til at analysere om benzinforbruget afhænger af hvilken benzintype, der anvendes? 1 Tosidig variansanalyse 2 Ensidig variansanalyse 3 Uafhængig t-test 4 Rang sum test 5 Goodness-of-fit test Spørgsmål I.2 (2): Medianen for benzinforbruget (udtrykt ved km/liter) for benzintype 2 er: 1 1/ Fortsæt på side 3 2

3 Opgave II Levetiden for en bestemt type elektroniske knapper antages at følge en eksponentialfordeling med et gennemsnit på β = 3 år. Spørgsmål II.1 (3): Hvad er spredningen i levetiden for sådanne knapper? 1 1 år 2 1/3 år 3 3 år 4 9 år 5 1/9 år Spørgsmål II.2 (4): Hvis 10 af disse knapper er installeret i forskellige systemer (uden indbyrdes påvirkning), hvad er da sandsynligheden for at ingen af disse bryder sammen inden for det første år? 1 e 10/3 = e 10/3 = (1 e 3 ) 10 = (1 e 10 ) 3 = (1/3) 10 = Spørgsmål II.3 (5): Eksponentialfordelingen er af samme type som: 1 normalfordelingen og den uniforme fordeling, idet de alle beskriver fænomener med kun positive udfald 2 lognormalfordelingen og den uniforme fordeling, idet de alle beskriver fænomener med kun positive udfald 3 normal- og binomialfordelingen, idet de alle er kontinuerte fordelinger 4 den hypergeometriske fordeling, idet man ikke kan skrue tiden tilbage 5 normal- og lognormalfordelingen, idet de alle er kontinuerte fordelinger Fortsæt på side 4 3

4 Opgave III En malerproducent registrerede følgende tørretider (i timer) for en bestemt type maling testet 10 gange: Følgende Splus kommandoer: x=c(3.4,2.8,2.7,5.6,4.3,4.2,5.1,3.1,4.4,4.2) t.test(x) gav outputtet: One Sample t-test data: x t = , df = 9, p-value = 3.805e-07 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x 3.98 Spørgsmål III.1 (6): Hypotesen, at den gennemsnitlige tørretid µ er 4 timer, testes på niveau α = 5% mod et tosidet alternativ. Hvilket udsagn udtrykker mest korrekt resultatet? 1 Hypotesen accepteres, idet P-værdien er mindre end 5% 2 Hypotesen accepteres, idet 4 er inkluderet i 95% konfidensintervallet for µ 3 Hypotesen forkastes, idet P-værdien er mindre end 5% 4 Hypotesen accepteres, idet 3.98 kan afrundes til 4. 5 Hypotesen forkastes, idet er større end 4. Fortsæt på side 5 4

5 Spørgsmål III.2 (7): Splus kommandoen var(x) gav resultatet (afrundet til fire decimaler): Et 99% konfidensinterval for µ kan findes som: ± /10 som er omtrent det samme som [3.289,4.671] ± /10 som er omtrent det samme som [3.381,4.579] ± /10 som er omtrent det samme som [3.270,4.690] ± /10 som er omtrent det samme som [3.118,4.842] ± /10 som er omtrent det samme som [2.987,4.973] Spørgsmål III.3 (8): Kald spredningen for tørretiden σ. Et 95% konfidensinterval for σ fås som ± / ± / < σ < < σ < < σ < Spørgsmål III.4 (9): I en ny undersøgelse vil man gerne kende den gennemsnitlige tørretid µ ret præcist. Man ønsker et 95% konfidensinterval for µ på omtrent plus/minus 5 minutter (= 5/ time). Hvor mange gange skal man teste malingen for at opnå denne præcision? (Hjælp: Antag at variansen er lig med den beregnede varians ovenfor) 1 Omtrent 516 gange 2 Omtrent 10 gange 3 Omtrent 366 gange 4 Omtrent 50 gange 5 Omtrent 481 gange Fortsæt på side 6 5

6 Opgave IV Herunder ses fire scatterplots af y-målinger mod x-målinger: a) b) y y x x c) d) y y x Spørgsmål IV.1 (10): Hvilke fire korrelationskoefficienter (i rækkefølgen a), b), c), d)) passer bedst med figuren? 1 0.7, 0.9, 0, ,-0.9, 0, , 0.7, -0.9, 0 4 0, 0.7, -0.9, , 0.7, 0.9, Spørgsmål IV.2 (11): Ud fra inspektion af sammenhængen i plot c) i figuren, hvilke estimater for parametrene i den sædvanlige lineære regressionsmodel Y = α + βx + ε passer da bedst? 1 α-estimat: 3, β-estimat: 1 og σ-estimat: 2 2 α-estimat: 16, β-estimat: 3 og σ-estimat: 2 3 α-estimat: 0, β-estimat: 3 og σ-estimat: 1 4 α-estimat: 16, β-estimat: 3 og σ-estimat: α-estimat: 16, β-estimat: 3 og σ-estimat: 0.1 x Fortsæt på side 7 6

7 Opgave V Hos NASA i USA testede man betjeningen af to forskellige mekaniske knapper for personer med og uden rumdragt på. Ud af 30 personer uden dragt foretrak 20 knap A frem for knap B, mens ud af andre 30 personer med dragt foretrak 15 personer knap A frem for knap B. Spørgsmål V.1 (12): Man ønsker at teste hypotesen (på niveau 5%) om, at det ikke betyder noget for betjeningen af knapperne, om man har rumdragt på eller ej. En brugbar teststørrelse G og dens tilhørende kritisk værdi c er: 1 G = G = G = og c = 1.96 og c = og c = G = og c = / / G = og c = / /30 Spørgsmål V.2 (13): Der planlægges en ny undersøgelse. Man ønsker at kende andelen, der (uden dragt) foretrækker knap A med en præcision, der svarer til et 95% konfidensinterval på plus/minus Man vil bruge informationen fra den foreliggende undersøgelse, hvor 20 ud af 30 foretrak knap A. Hvor mange personer skal man teste i den nye undersøgelse? ( ) 2 1 Omtrent Omtrent 2 9 ( ) Omtrent 1 4 ( ) Omtrent 3 9 ( ) ( ) 2 5 Omtrent Fortsæt på side 8 7

8 Spørgsmål V.3 (14): Hvis man antager at knap A og B foretrækkes lige ofte, hvad er da sandsynligheden for, at man ud af 100 testpersoner observerer mere end 60, der foretrækker knap B? I alle svarmuligheder nedenfor angiver F fordelingsfunktionen for en standard normalfordeling. 1 Omtrent F(50) F(40.5) 2 Omtrent F(50) F(40) 3 Omtrent 1.96 F(0.5) 4 Omtrent F((50 40)/25) 5 Omtrent F(( )/5) Fortsæt på side 9 8

9 Opgave VI Der ses herunder et plot af bryststørrelse (cm) mod vægt (kg) for 9 nyfødte babyer: Bryststørrelse(y) Et tilhørende output fra Splus blev: Vægt(x) Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Value Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x Residual standard error: on 7 degrees of freedom Multiple R-Squared: F-statistic: on 1 and 7 degrees of freedom, the p-value is Correlation of Coefficients: (Intercept) x Fortsæt på side 10 9

10 Spørgsmål VI.1 (15): Kan man ud fra det foreliggende med rimelig sikkerhed påvise en relation mellem bryststørrelse og vægt? 1 Ja, idet den relevante P-værdi er Nej, idet der er for få observationer 3 Ja, idet den relevante P-værdi er Nej, idet den relevante P-værdi er Nej, idet den relevante P-værdi er Spørgsmål VI.2 (16): Korrelationskoefficienten mellem bryststørrelse og vægt for de 9 børn er: Spørgsmål VI.3 (17): Hvad er estimaterne (afrundet) for parametrene i den sædvanlige lineære regressionsmodel Y = α + βx + ε? 1 α-estimat: 16.8, β-estimat: 4.1 og σ-estimat: α-estimat: 1.87, β-estimat: 0.49 og σ-estimat: α-estimat: 2.02, β-estimat: 22.4 og σ-estimat: α-estimat: 22.4, β-estimat: 2.02 og σ-estimat: α-estimat: 22.4, β-estimat: 4.1 og σ-estimat: 2.43 Fortsæt på side 11 10

11 Opgave VII Der ses herunder såkaldte modificerede boxplots for tre forskellige grupper af data bestående af 100 observationer i hver gruppe: Spørgsmål VII.1 (18): Hvilket af følgende udsagn er mest korrekt? 1 Der er ingen observationer mindre end -5 2 Den mindste af de tre medianer er omkring -5 3 De tre gruppers første kvartiler (Q 1 ere) svinger mellem ca. 2 og 7 4 De tre gruppers medianer svinger mellem ca. 2 og 12 5 De tre gruppers tredje kvartiler (Q 3 ere) svinger mellem ca. 2 og 7 Spørgsmål VII.2 (19): Hvilket af følgende intervaller er det eneste, der kan være et 95% konfidensinterval for middelværdien svarende til det midterste boxplot? (Det kan antages, at data stammer fra en normalfordeling) ± ± ± ± ± 2.2 Fortsæt på side 12 11

12 Opgave VIII Downloadtiden for en bestemt fil registreredes på tre forskellige tidspunkter på døgnet: morgen, aften og nat. For hvert tidspunkt registreredes downloadtiden (i sekunder) 16 gange, og man fik følgende (ufuldstændige) ANOVA tabel som resulatet: DF SS MS F Tidspunkt Fejl Total 47 Den gennemsnitlige downloadtid for de tre tidspunkter på døgnet er (afrundet): Morgen: 113 sek., aften: 273 sek., nat: 193 sek. Spørgsmål VIII.1 (20): Hvad er den sædvanlige teststørrelse for hypotesen om, at der ingen forskel er på downloadtiden for de forskellige tidspunkter, og hvad er den kritiske værdi for et test på niveau 5%: , kritisk værdi: F 0.05 (2,45) = , kritisk værdi: F 0.05 (45,2) = , kritisk værdi: χ (45) = , kritisk værdi: χ (2) = , kritisk værdi: F 0.01 (2,45) = 99.5 Spørgsmål VIII.2 (21): Hvad er den gennemsnitlige varians i de tre grupper? ( ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2) / /45 5 (( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 ) /3 Fortsæt på side 13 12

13 Spørgsmål VIII.3 (22): Følgende Splus-kommandoer og resultater kan eventuelt bruges i det efterfølgende: Kommando Resultat (afrundet) Kommando Resultat (afrundet) qt(0.95,45) qt(0.95,30) qt(0.975,45) qt(0.975,30) qt(0.99,45) qt(0.99,30) qt(0.995,45) qt(0.995,30) Et 99% konfidensinterval for forskellen i downloadtid mellem nat og morgen er givet ved: 1 0 ± / ± / ± / ± / ± / 8 Opgave IX Den nye 7-trins karakterskala har fem trin over beståelsesgrænsen: 2, 4, 7, 10, 12. Spørgsmål IX.1 (23): Hvis studerende, der består, fordeler sig med hhv. 10%, 20%, 40%, 20% og 10% hen over disse fem kategorier, hvad er da middelværdi µ og spredning σ for karakterfordelingen (blandt beståede)? 1 µ = 7, σ = µ = 7, σ = µ = 7, σ = µ = 7, σ = µ = 6, σ = 9.00 Fortsæt på side 14 13

14 Spørgsmål IX.2 (24): Ved en eksamen, hvor 100 studerende bestod, var der følgende antal i hver af de fem kategorier: Karakter Antal studerende Den sædvanlige teststørrelse for at vurdere om disse antal er i modstrid med hypotesen om at fordelingen er 10%, 20%, 40%, 20% og 10% er givet ved: /100 2 (5 20) 20 + (17 20) 20 + (53 20) 20 + (18 20) 20 + (7 20) /100 4 (5 10) (17 20) (53 40) (18 20) (7 10) (5 10) (17 20) (53 40) (18 20) (7 10)2 100 Spørgsmål IX.3 (25): Der var 53 ud af 100 studerende, der fik karakteren 7. Et 95% konfidensinterval for andelen, der får middelkarakteren 7 er: ± / ± t 0.25 (99) 4/ ± / ± / ± /100 Fortsæt på side 15 14

15 Opgave X I et forsøg undersøgte man holdbarheden af to typer bildæk. For 15 dæk af hver slags registreredes antallet af kilometer indtil nedslidning, og man fik følgende resultater: Type Antal dæk Gennemsnit (km) Spredning (km) A B Spørgsmål X.1 (26): Det sædvanlige test for, om der er forskel i holdbarheden mellem de to typer dæk er givet ved: ( )/ / /15 ( )/ / /15 ( )/ ( )/ ( )/15 Spørgsmål X.2 (27): Producenten af dæktype A påstår, at spredningen for holdbarheden af deres dæk højst er 3000 km. Er de foreliggende data i modstrid med denne påstånd? 1 Ja, idet (4.9/3) 2 < χ (1) = Nej, idet (4.9/3) 2 > z = Ja, idet 14 (4.9/3) < χ (14) = Nej, idet 15 (4.9/3) < χ (15) = Ja, idet 14 (4.9/3) 2 > χ (14) = Fortsæt på side 16 15

16 Opgave XI Sorbinsyrerester i skinkepålæg blev undersøgt. Man dyppede 8 skiver skinke i sorbinsyreopløsning, og målte koncentrationen i hver skive umiddelbart efter dette samt efter 60 dages lagring. Resultaterne blev (i enheden ppm): Skive Før lagring Efter lagring Gennemsnit Spredning Man ønsker at besvare spørgsmålet: Har niveauet for sorbinsyrerester i kødet ændret sig som følge af lagringen? Spørgsmål XI.1 (28): Hvis målingerne kan antages at være normalfordelte, hvad er da det bedste svar blandt de følgende på dette spørgsmål: 1 Ja, idet / 8 t 0.05(7) = Nej, idet / 8 < t 0.025(7) = Ja, idet / 8 > t 0.025(7) = Nej, idet ( )/2/ < t 0.025(14) = Nej, idet /4 < t 0.025(14) = Fortsæt på side 17 16

17 Spørgsmål XI.2 (29): Hvis man vil besvare spørgsmålet uden at basere det på en normalfordelingsantagelse, hvad er da det rette test at anvende? 1 Test for tilfældighed 2 Uafhængig t-test 3 Parret t-test 4 Sign test 5 Rang sum test Spørgsmål XI.3 (30): Antag at sorbinsyrekoncentrationen i skinkeskiver umiddelbart efter dypningen følger en log-normalfordeling med α = 6 og β = 0.5. Hvor stor en del af populationen af skiver vil man forvente har en sorbinsyrekoncentration på 1000ppm og derover umiddelbart efter dypning? (I nedenstående svar betegner Z en standard normalfordelt stokastisk variabel N(0,1 2 )) 1 Stort set ingen, idet P(Z > ) = Stort set ingen, idet P(Z > 1000 e6 e 0.5 ) = Stort set alle, idet P(Z < ) = 1 4 Omtrent 1.3%, idet P(Z > ) = Omtrent 3.5%, idet P(Z > ln(1000) ) =