Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider Skriftlig prøve: 2. juni 2004 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dettesæterbesvaretafeksaminant nr Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen. Bevarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelig besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Kun skemaet tillægges betydning ved besvarelsen. Opgaveteksten skal dog afleveres i sin helhed, inden eksamen forlades også selv om du vælger at aflevere blankt. Opgave I II III III IV V VI VII VIII VIII Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave IX IX X X X XI XI XI XII XII Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave XIII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XVIII XIX XIX Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 19; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I Nedenstående figur viser sammenhørende værdier af erfaring og årsløn for 97 amerikanske ledere. Årsløn ($) Erfaring (År) Spørgsmål I.1 (1): Baseret på observationerne i figuren har man estimeret korrelationskoefficienten, ˆr, mellem erfaring og løn. Hvilke af nedenstående muligheder er det eneste, der kan være et korrekt estimat af r? 1 ˆr = ˆr = ˆr = ˆr = ˆr =+1.00 Fortsæt på side 3 2

3 Opgave II Nedenstående figur viser den kumulative fordeling for målinger af regn påårets mest regnfulde dag for en periode på 47år. Fraktiler (%) Regn (mm) Spørgsmål II.1 (2): Medianen for ovenstående observationssæt bliver 1 ca ca ca ca ca. 250 Fortsæt på side 4 3

4 Opgave III Sammenhæng mellem lysforhold og antal trafikulykker har været genstand for intens opmærksomhed. Tallene nedenfor viser antal alvorlige ulykker i aftentimerne de sidste 5 dage inden og de første 5 dage efter indførelse af sommertid (tallene er fra UK og omfatter 3 år) Før sommertid Efter sommertid Antal Ulykker Spørgsmål III.1 (3): Hvilken af nedenstående teststørrelser (her blot benævnt T ) kan anvendes til at teste, om antallet af ulykker kan antages at være det samme før og efter indførelse af sommertid? 1 T = ( ) ( ) T = T = (1 47 ) 4 T = (1 75 ) 5 T = ( ) ( ) Spørgsmål III.2 (4): Hvilken af nedenstående fordelinger er mest hensigtsmæssig til at beskrive antal ulykker pr. dag for perioden før indførelse af sommertid? 1 Binomialfordelingen 2 Den hypergeometriske fordeling 3 Poissonfordelingen 4 Eksponentialfordelingen 5 Normalfordelingen Fortsæt på side 5 4

5 Opgave IV Nedenstående tabel viser fordelingen af antal personer pr. familie i en stikprøve. Man interesserer sig for om stikprøven er repræsentativ og vil derfor sammenligne den med fordelingen fra den seneste folketælling. Antal i familien Antal i stikprøve Andel i stikprøve Andel fra folketælling > Total 2904 Spørgsmål IV.1 (5): Hvilken af nedenstående kritiske værdier er mest hensigtsmæssig at anvende, når man vil teste om fordelingen i stikprøven svarer til fordelingen fra folketællingen, og dette gøres med signifikansniveau α = 1%? Ingen af ovenstående Opgave V Tæthedsfunktionen for den diskrete stokastiske variabel X, der kan antage værdierne {0, 1, 2, 3, 4, 5}, er givet i nedenstående tabel. Dog mangler tætheden for x =2. x f(x) ? Spørgsmål V.1 (6): Angiv middelværdien, µ, for den stokastiske variabel X 1 µ = µ = µ = µ = µ =2.500 Fortsæt på side 6 5

6 Opgave VI I en artikel, hvor forskere har studeret en eventuel sammenhæng mellem vægt og alder, er rapporteret: En ensidet variansanalyse blev udført for at sammenligne vægt for de 3 aldersgrupper ung, etableret og gammel. P-værdien blev fundet til Spørgsmål VI.1 (7): Angiv nul-hypotesen, som forskerne har rapporteret, i ord 1 Middelværdien af vægten for de 3 aldersgrupper antages at være ens 2 Variansen af vægten for de 3 aldersgrupper antages at være forskellig 3 Middelværdien af vægten antages at være ens for mindst 2 aldersgrupper 4 Variansen af vægten er proportional med alderen 5 Middelværdien af vægten for de 3 aldersgrupper antages at være forskellig Opgave VII Nedenstående tabel indeholder sammenhørende (x i,y i ) værdier af CO 2 -udledning (mio. tons) og bruttonationalprodukt (BNP) for EU-landende i 1997 Land BNP, x CO 2 -udledning, Y Østrig Belgien Danmark Finland Frankrig Tyskland Grækenland Irland Italien Luxenborg Holland Portugal Spanien Sverige UK x = ȳ = (x i x) 2 = (y i ȳ) 2 = Man vil anvende følgende model til at beskrive sammenhæng mellem C0 2 -udledning og BNP: CO 2 = a + b BNP + e Fortsæt på side 7 6

7 Ved brug af data har man estimeret a =6.00, b =0.42 og s 2 e = Spørgsmål bliver VII.1 (8): Den sædvanlige teststørrelse for om a kan antages at være lig nul Opgave VIII I et studie var man interesseret i måle modstanden (Ω) i forsøgspersoners hud. I forsøget indgik 15 forsøgspersoner, der hver afprøvede 5 forskellige typer elektroder, således at der i alt blev udført 5 15 = 75 forsøg. Et udsnit af forsøgsresultaterne er vist i nedenstående tabel Person 1 Person 2 Person 3... Person 15 Elektrode I Elektrode II Elektrode III Elektrode IV Elektrode V Spørgsmål VIII.1 (9): Såfremt målingerne kan antages at være normalfordelt, hvilken af følgende metoder er da mest hensigtsmæssig hvis man vil sammenligne de 5 elektroder? 1 En almindelig t-test 2 En tosidet variansanalyse (randomiseret blokforsøg) 3 Test i en antalstabel 4 Et goodness-of-fit test 5 En rank-sum test Fortsæt på side 8 7

8 Spørgsmål VIII.2 (10): Vi betragter nu udelukkende Elektrode I og antager, at dennes måleusikkerhed, X, kan beskrives ved en normalfordeling med middelværdi µ = 0 og varians σ 2 =10 2,dvs.X N(0, 10 2 ), når målingen foretages på en enkelt person. Hvor mange målinger (eller gentagelser) n skal der mindst udføres, såfremt man ønsker at bestemme et 95% konfidensinterval for den gennemsnitlige modstand i en forsøgspersons hud, der højst må være2ωbredt? 1 n ( ) 2 n = n ( ) 2 n = n ( ) n =79 4 n ( ) n =40 5 n ( ) n =20 Opgave IX Nedenstående tabel indeholder sammenhørende værdier af antal kørte kilometer (i 1000 km), x, og omsætning (i 1000 kr), Y, for 12 taxavogne i et bestemt område Vogn i x i Y i Det antages, at følgende model beskriver sammenhæng mellem antal kørte kilometer x, og omsætning Y godt: Y i = x i + e i Spørgsmål IX.1 (11): Hvor meget forventes en taxavogns omsætning at stige (i 1000 kr), såfremt den kører 1000 km ekstra?

9 Spørgsmål IX.2 (12): En anden taxavogn indrapporterer antal kørte kilomenter, x 13,ogomsætning, Y 13, til skattevæsnet, som vil anvende modellen til at kontrollere om de indberettede tal er troværdige. Hvordan skal skattevæsnet gøre dette? 1 Vurdere om e 13 = y 13 ( x 13 ) er nummerisk stort 2 Vurdere om e 13 = y 13 ( x 13 ) er mindre end Vurdere om Y 13 er normalfordelt 4 Vurdere om x 13 er normalfordelt 5 Undersøge korrelationen mellem x 13 og Y 13 Fortsæt på side 10 9

10 Opgave X Nedenstående tabel viser antal hjertetilfælde over en 5-årig periode for 2 grupper forsøgspersoner, der deltog i en blindtest. Gruppe I modtog aspirin, mens Gruppe II modtog placebo. Behandling Antal hjertetilfælde Totale antal deltagere Gruppe I (Aspirin) Gruppe II (Placebo) Spørgsmål X.1 (13): Ladˆp I angive den estimerede andel af hjertetilfælde i Gruppe I. Standardafvigelsen på denne estimerede andel s pi bliver da ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Spørgsmål X.2 (14): Ladˆp I angive andelen af hjertetilfælde i Gruppe I, og ˆp II andelen af hjertetilfælde i Gruppe II. Et 95% konfidensinterval for forskellen i andelene p I p II bliver da? 1 ( ) ± ( ) ( ) 2 ( ) ± ( ) 3 ( ) ± ( ) ( ) 4 ( ) ± ( )+ ( ) 5 Ingen af de ovenstående Fortsæt på side 11 10

11 Spørgsmål X.3 (15): I et efterfølgende studie deltog personer, der alle modtog aspirin. Fra dette studie har man estimeret et (1 α) % konfidensinterval for den andel, p 1,derfik et hjertetilfælde <p 1 < Angiv α for det ovenstående interval 1 α = α = α = α = α =0.99 Fortsæt på side 12 11

12 Opgave XI I et studie undersøgte man 9 ældre og 8 yngre personers balance. Balancen blev målt ved, at man skulle reagere så hurtigt som muligt på en lyd,mens man stod på en bevægelig platform, hvorefter man målte udsving (mm) fra side til side. Data er vist i nedenstående tabel. Udsving (mm) Ældre personer, X Yngre personer, Y x i = y i = x 2 i = yi 2 = 2745 Spørgsmål XI.1 (16): Man interesserer sig indledningsvis for at teste om varianserne af målingerne for de 2 aldersgruppers kan antages at være ens, dvs. teste om H 0 : σ 2 ældre = σ2 yngre mod alternativt H 1 : σ 2 ældre σ2 yngre Såfremt målingerne (udsving fra side til side) i hver aldersgruppe er normalfordelt, bliver den sædvanlige teststørrelse /9 145/ ( ) 9 8 ( ) 5 ( )/(9 8) Fortsæt på side 13 12

13 Spørgsmål XI.2 (17): Det antages, at målingerne (udsving fra side til side) i hver aldersgruppe er normalfordelt og med ens varians. Et fælles skøn over variansen bliver s 2 p = Man interesserer sig dernæst for at sammenligne de 2 aldersgruppers gennemsnitlige udsving fra side til side, dvs. teste om H 0 : µ ældre = µ yngre mod alternativt H 1 : µ ældre µ yngre Angiv den sædvanlige teststørrelse for ovenstående hypotesetest 1 215/9 145/ / /9+1/ /9 145/ /9+1/ /8 145/ /9+1/8 5 Ingen af de ovenstående Spørgsmål XI.3 (18): I et tilsvarende eksperiment deltog kun yngre forsøgspersoner (data er ikke gengivet her), dog blev balancen ikke målt direkte. Formålet var at undersøge om balancen blev forbedret efter indtagelse af et medicinsk præparat, som muligvis havde en beroligende effekt. 20 testpersoner deltog og heraf fandt man, at 3 havde bedst balance uden indtagelse af præparat, 16 havde bedst balance efter indtagelse af præparat, mens 1 havde lige god balance i begge tests. Hvordan kan man ud fra disse oplysninger analysere statistisk, om præparatet har betydning for balancen? 1 En almindelig t-test 2 En parret t-test 3 Test i en antalstabel 4 Et sign test 5 En rank-sum test Fortsæt på side 14 13

14 Opgave XII For at kunne forudsige servicetiden, det tager at reparere en computer, har et firma udtaget en stikprøve på n = 14 serviceopkald. Man interesserer sig specielt for om servicetiden, Y, afhænger af antal defekte enheder, x, i computeren. Enheder, x i Servicetid, y i Firmaet anvender følgende model til at forudsige reparationstiden: Y = α + β x + ɛ Spørgsmål XII.1 (19): I ovenstående model angiver ɛ modellens residualer. Hvilken af følgende forudsætninger gøres om dette led? 1 ɛ er normalfordelt med middelværdi 0 og varians 1 2 ɛ er afhængig af x 3 ɛ er normalfordelt med middelværdi 0 og varians σɛ 2 4 ɛ skal have lille varians 5 Ingen af ovenstående Spørgsmål XII.2 (20): Såfremt man vil anvende ovenstående model til, at påvise en sammenhæng mellem antal defekte enheder x og reparationstid Y gøres dette ved at 1 Teste om α kan antages at være lig nul 2 Teste om ɛ kan antages at være lig nul 3 Teste om β kan antages at være lig nul 4 Teste om variansen for ɛ er større end 1 5 Undersøge et konfidensinterval for parameteren α Fortsæt på side 15 14

15 Opgave XIII Modstanden (ohm cm) i nogle elektroniske komponenter blev målt ved brug af 5 forskellige instrumenter (Inst. I-V). Der blev lavet 5 gentagne målinger for hvert instrument. Resultaterne er vist i nedenstående tabel Inst. I Inst. II Inst. III Inst. IV Inst. V Endvidere har statistikafdelingen givet følgende skema, som dog ikke indeholder talværdier Kilde Kvadratafvigelsessum Frihedsgrader Teststørrelse Instrumenter SS instrument f instrument Fejl SS fejl f fejl Total SS total f total Spørgsmål XIII.1 (21): Iovenstående tabel bliver antal frihedsgrader for fejlens kvadratafvigelsessum, dvs. talværdien svarende til f fejl 1 f fejl =4 2 f fejl =5 3 f fejl =20 4 f fejl =24 5 f fejl =25 Spørgsmål XIII.2 (22): Antag, at der ikke kan påvises forskel på de5instrumenter. Et estimat af forsøgsfejlens varians, ˆσ ɛ 2, bliver da 1 SS instrument /f instrument 2 SS instrument /SS fejl 3 SS total /SS fejl 4 (SS instrument + SS fejl )/(f instrument + f fejl ) 5 SS instrument /f instrument + SS fejl /f fejl 15

16 Opgave XIV En sælgers indkomst er sammensat af fast løn og provision. Den faste løn udgør et beløb på kr. om året. Provisionen udgør en fast procentdel af sælgerens månedlige omsætning. Da omsætningen varierer tilfældigt, bliver også provisionen en tilfældig (stokastisk) variabel. Antag, at denne har middelværdi kr. og standardafvigelsen kr. pr. år. Spørgsmål XIV.1 (23): Angiv middelværdi, µ, ogvarians,σ 2, af sælgerens samlede indkomst (dvs. løn + provision). 1 µ = , og σ 2 = µ = , og σ 2 =0 3 µ = , og σ 2 = µ = , og σ 2 = µ = , og σ 2 = Opgave XV I et klassisk genetisk eksperiment, krydsede Mendel glatte gule ærter med grønne rynkede ærter. Udbyttet (antal ærter) blev Farve Form Gul Grøn Rund Rynkede Spørgsmål XV.1 (24): Angiv den mest hensigtsmæssige af nedenstående forslag, til at vurdere om udbyttes farve og form er uafhængige 1 Test i en antalstabel 2 En parret t-test 3 En ensidet variansanalyse 4 En tosidet variansanalyse 5 Simpel lineær regression Fortsæt på side 17 16

17 Opgave XVI Psykologer ved Berkeley (USA) undersøgte, om billister ændrede adfærd ved, at man stirrede pådem,når de ventede i et kryds i deres bil. Man målte tiden (s), fra bilen holdt stille til den havde forladt krydset. Dette blev gjort for to grupper, en man stirrede på og en, der ikke blev stirret på. Resultaterne er givet i nedenstående tabel Stirret på Ikke stirret på Spørgsmål XVI.1 (25): Antag at målingerne i hver gruppe er normalfordelt og med ens varians. Angiv de kritiske værdier, såfremt man vil sammenligne middelværdierne med signifikansniveau 5% og et tosidet alternativ 1 ± ± ± ± ±1.708 Opgave XVII Hvad ville du gøre resten af dit liv, hvis du vandt 10 millioner dollar i lotteriet? Dette spørgsmål stillede Gallup i USA til 616 tilfældigt udvalgte personer, der havde fuldtids arbejde. Heraf svarede 59% at de ville fortsætte med at arbejde, 40 % at de ville holde op med at arbejde, og 1% at de ikke havde nogen mening. Spørgsmål at arbejde. XVII.1 (26): Angiv et 99% konfidensinterval for andelen, der vil fortsætte med ± / ± / ± / ± / ± /616 17

18 Opgave XVIII For at sammenligne slidstyrken af 2 forskellig typer skomateriale, A og B, udførte man følgende forsøg: 10 drenge fik hver et par sko, den ene sko var af materiale A, den anden var af materiale B. Efter et stykke tid målte man slidstyrken af hver sko, og resultaterne er givet i nedenstående tabel Dreng nr Materiale A Materiale B Spørgsmål XVIII.1 (27): Angiv den mest hensigtsmæssige af nedenstående forslag, til at vurdere om der er forskel på de to materialer, såfremt data er normalfordelt 1 Test i en antalstabel 2 En parret t-test 3 En ensidet variansanalyse 4 En Rank-sum test 5 En Sign test Spørgsmål XVIII.2 (28): Angiv den mest hensigtsmæssige af nedenstående forslag, til at vurdere om der er forskel på detomaterialer,såfremt data ikke kan antages at være normalfordelt 1 Test i en antalstabel 2 En parret t-test 3 En ensidet variansanalyse 4 En Rank-sum test 5 En Sign test Fortsæt på side 19 18

19 Opgave XIX En vinproducent tager jævnligt prøver af sin vin, bl.a. af alkoholprocenten. Af erfaring ved hun, at en måling af alkoholprocenten i middel er 12.00% og standard afvigelsen er 0.10%. Desuden skal det antages, at målingerne er normalfordelt, dvs. X N(12, ) Spørgsmål XIX.1 (29): Der tages nu en enkelt ny måling, og denne viser x ny =12.40%. Er denne måling usædvanlig høj? 1 nej, idet Φ(0.4) = ja, idet Φ(0.4) = ja, idet 1 Φ(0.04) = nej, idet P (X >12.4) ja, idet P (X >12.4) Vinproducenten beslutter sig nu for følgende stikprøveprocedure. Hun udtager en stikprøve på n =16målinger. Hvis det gennemsnitlige indhold fra denne stikprøve er mindre end eller større end 12.05, konkluderes at alkoholprocenten er forskellig fra %. Spørgsmål XIX.2 (30): Angiv signifikansniveauet af ovenstående testprocedure 1 ca ca ca ca Ingen af de ovenstående Slut på opgavesættet. God Sommer! 19