Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til Matematisk Statistik 2. udgave

Transkript

1 3. februar 2012 Stat 1TS / EH Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til Matematisk Statistik 2. udgave Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2. udgave af Stat1TS-noterne indtil nu Forkert: Lad os undersøge om observationen x = 1 kan tænkes at stamme fra en χ 2 -fordelingen med 10 frihedsgrader. Lad os undersøge om observationen x = 1 kan tænkes at stamme fra en χ 2 -fordeling med 10 frihedsgrader. Opdaget af: Therese Graversen 16 2 Forkert:såkankonkrete, kontekstbaserede argumenteraltsånogen gange føre til samme konklusion. så kan konkrete, kontekstbaserede argumenter altså nogle gange føre til samme konklusion. 1

2 16 7 Forkert: f (x) = 1 2π exp ( 1 2 xt ( ) 1 x), x = ( x1 x 2 ) R f (x) = 1 2π exp ( 1 2 xt ( ) 1 x), x = ( x1 ) R 2 x 2 Opdaget af: Sandra de Blécourt Forkert: j k (x) = [2 k x], x R. j k (x) = 2 k x, x R Forkert: Forskellen på disse to konkordansområder skyldes at χ 2 - fordelingens skævhed. Forskellen på disse to konkordansområder skyldes χ 2 - fordelingens skævhed. Opdaget af: Mads Birkholm 29 1 Forkert: og det giver nogen gange det problem at ν((c, )) < α. og det giver nogle gange det problem at ν((c, )) < α. 2

3 28 5 Forkert: Som anført p. 17 kan man vise, Som anført i eksempel 1.6 kan man vise, Opdaget af: Mads Birkholm Forkert: Som anført p. 17 kan man vise, Som anført i eksempel 1.6 kan man vise, Opdaget af: Mads Birkholm Forkert: q 1 = p 1 +p 1, q 2 = p 1 p 2, q 1 = p 1 +p 2, q 2 = p 1 p 2, Opdaget af: Sandra de Blécourt 50 3 Forkert: men det virker vel og mærke kun hvis variansstrukturen er specificeret korrekt. men det virker vel at mærke kun hvis variansstrukturen er specificeret korrekt Forkert: Lad X være en Poissonfordelt stokastisk variable med middelværdi λ. Lad X være en Poissonfordelt stokastisk variabel med middelværdi λ. 3

4 55 7 Forkert: Den oprindelige parametermængde (θ,σ 2 ) R (0, ) Denoprindelige parametermængde (ξ,σ 2 ) R (0, ) Opdaget af: David Backchi 56 6 Forkert: f ξ (x) = e ξ2 /2σ 2 e ξθ for alle x R, f ξ (x) = e ξ2 /2σ 2 e ξx/σ2 for alle x R, Forkert: Der er tale om en étdimensional eksponentiel familie på R med kanonisk stikprøvefunktion t(x) = x. Der er tale om en étdimensional eksponentiel familie på R med kanonisk stikprøvefunktion t(x) = x/σ Forkert: N e θtt(x) max j=1,...,n eθ j Tt(x) e ǫt(x) e ǫt(x) j=1 e θ j T t(x). N e θtt(x) max j=1,...,n eθ j Tt(x) e ǫ t(x) e ǫ t(x) j=1 e θ j T t(x). Opdaget af: Jacob Kolind 4

5 58 12 Forkert: N t(x) m e ǫt(x) e θ j Tt(x) dµ(x) j=1 N t(x) m e ǫ t(x) e θ j Tt(x) dµ(x) j=1 Opdaget af: Jacob Kolind 58 6 Forkert: Hvis den underliggende eksponentielle familie er k- dimensional er τ(θ) en k-søjle mens κ(τ) er en k k matrix. Hvis den underliggende eksponentielle familie er k- dimensional er τ(θ) en k-søjle mens κ(θ) er en k k matrix. Opdaget af: Martin Theil Jensen 59 2 Forkert: men den har en meget simpelt struktur. men den har en meget simpel struktur. Opdaget af: Søren Grimstrup 62 7 Forkert: hvis disse personers reaktionstid vel og mærke også kan beskrives med en normalfordeling med standardafvigelse hvis disse personers reaktionstid vel at mærke også kan beskrives med en normalfordeling med standardafvigelse Forkert: Disse begreber er forsøg illustreret på figur 2.4. Disse begreber er forsøgt illustreret på figur 2.4. Opdaget af: Thomas Kildegaard Styrk 5

6 71 5 Forkert: Om man i praksis evner at udnytte denne kraft, er anden sag. Om man i praksis evner at udnytte denne kraft, er en anden sag. Opdaget af: Sandra de Blécourt Forkert:arbejdsprocesseniselskabetforløberessentielt påsammen måde, arbejdsprocessen i selskabet forløber essentielt på samme måde, Opdaget af: Therese Graversen Forkert: Gør rede for at den betingede fordeling af (N ij ) ij givet N = n en polynomialfordeling med længde n og sandsynlighedsvektor (r ij ) ij, Gør rede for at den betingede fordeling af (N ij ) ij givet N = n er en polynomialfordeling med længde n og sandsynlighedsvektor (r ij ) ij, 91 7 Forkert: At forklare hvordan det hænger sammen, kræver vi udvikler lidt teori. At forklare hvordan det hænger sammen, kræver at vi udvikler lidt teori. Opdaget af: Sandra de Blécourt 92 6 Forkert: Vi ser at ν θ = 1 (0,θ) m, Vi ser at ν θ = 1 θ 1 (0,θ) m, Opdaget af: Jacob Kolind 6

7 93 14 Forkert: Vi vil finde en D-kæde med størst muligt µ-mål Sæt Vi vil finde end-kædemed størst muligt µ-mål.(punktum) Sæt Opdaget af: Sandra de Blécourt 94 6 Forkert: A f n dµ = 0, A f νn dµ = 0, Opdaget af: Jacob Kolind Forkert:eratfindeetprofillikelihoodfunktionenformiddelværdien α = βλ. er at finde profillikelihoodfunktionen for middelværdien α = βλ. Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz Forkert: λ f λ(x 1,...,x n ) = λ 1 λ n e x /λ = nλn 1 e x /λ +λ n 2 x e x /λ λ 2n. λ f λ(x 1,...,x n ) = λ 1 λ n e x /λ = λn 2 x e x /λ nλ n 1 e x /λ λ 2n. Opdaget af: Søren Grimstrup 7

8 Forkert: Lad X være en stokastisk variabel med værdier i (X,E), hvis fordeling modelleres af en 1-dimensional eksponentiel familie med parametermængde Θ R, kanonisk stikprøvefunktion t : X R k, grundmål µ og normaliseringskonstant c(θ). Lad X være en stokastisk variabel med værdier i (X, E), hvis fordeling modelleres af en 1-dimensional eksponentiel familie med parametermængde Θ R, kanonisk stikprøvefunktion t : X R, grundmål µ og normaliseringskonstant c(θ) Forkert: mens l X er loglikelihoodfunktonen i θ-koordinater. mens l x er loglikelihoodfunktonen i θ-koordinater Forkert: hvor ĩ(θ) er den forventede information θ- parametriseringen, hvor ĩ(θ) er den forventede information i θ- parametriseringen, Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz Forkert: uden at vi behøver at finde reparametriseringen eksplict. uden at vi behøver at finde reparametriseringen eksplicit. Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz Forkert: Ikke desto mindre viste en omhyggelig undersøgelse af simulationsresultaterne at ˇλ i tre ud af de de simulerede datasæt lå tættere på den sande værdi end de to andre estimatorer. Ikke desto mindre viste en omhyggelig undersøgelse af simulationsresultaterne at ˇλitreudafde40000simulerededatasæt lå tættere på den sande værdi end de to andre estimatorer. Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz 8

9 Forkert: så følger det af appendiks B at loglikelihoodfunktionen strengt konveks. så følger det af appendiks B at loglikelihoodfunktionen er strengt konveks Forkert: er typisk at estimere selve µ ved det empirisk mål ˆµ, er typisk at estimere selve µ ved det empiriske mål ˆµ, Opdaget af: Therese Graversen Forkert: Lad ǫ > 0 være så lille at kuglen B(θ 0,ǫ) er helt indeholdt i τ(θ). Lad ǫ > 0 være så lille at kuglen B(τ(θ 0 ),ǫ) er helt indeholdt i τ(θ) Forkert: En mere frugtbar forståelse - i hvert fald på R - er at den asymptotisk normalfordeling har at gøre med konvergens af fordelingsfunktioner. En mere frugtbar forståelse - i hvert fald på R - er at den asymptotiske normalfordeling har at gøre med konvergens af fordelingsfunktioner. Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz Forkert: Lad ǫ > 0 være så lille at kuglen B(θ 0,ǫ) er helt indeholdt i τ(θ). Lad ǫ > 0 være så lille at kuglen B(τ(θ 0 ),ǫ) er helt indeholdt i τ(θ). 9

10 186 6 Forkert:ogdaantagelsenompositivdefinithedforκiéndimension reducerer til at κ (θ) > 0, og da antagelsen om positiv definithed for κ i én dimension reducerer til at κ(θ) > 0, Forkert: ˆθ n = τ 1 ( 1 n ) n Y i, i=1 med den lille fælde at formlen kun passer hvis 1 n billedmængden τ(θ). ˆθ n = τ 1 ( 1 n ) n t(y i ), i=1 med den lille fælde at formlen kun passer hvis 1 n billedmængden τ(θ). i=1 Y i ligger i i=1 t(y i) ligger i Forkert: Betragt modellen for afskårne eksponentialfordelinger fra eksempel 2.33 Vi følger notationen fra eksemplet, Betragt modellen for afskårne eksponentialfordelinger fra eksempel (punktum) Vi følger notationen fra eksemplet, Opdaget af: Christina Haugsted Nielsen Forkert: Dl X (α,β) =... Dl X (α,β) T =... Opdaget af: Kristian Buchardt Forkert: Nogen fluer døde af den påførte gift, Nogle fluer døde af den påførte gift, 10

11 215 1 Forkert: Likelihoodfunktionen for en glat hypotese i en polynomialfordelingsmodel er Loglikelihoodfunktionen for en glat hypotese i en polynomialfordelingsmodel er Opdaget af: Katrine Stagaard Forkert: C(x) = {θ Θ (θ,x) A(θ)} C(x) = {θ Θ x A(θ)} Opdaget af: Søren Grimstrup Forkert: Den naturlige estimator gennemsnitsestimator ˆp bliver i dette tilfælde Den naturlige gennemsnitsestimator ˆp bliver i dette tilfælde Forkert: 1 ) (ˆλn λ n D N ( 0,λ 2) for n. n (ˆλn λ) D N ( 0,λ 2) for n. 11

12 236 1 Forkert: ˆλ n λ nλ D N(0,1) for n. n ˆλn λ λ D N(0,1) for n Forkert: ( P λ 1.96 < ˆλ ) n λ < for n, nλ P λ ( 1.96 < n ˆλ n λ λ < 1.96 ) 0.95 for n, Forkert: C(X 1,...,X n ) = { λ > < ˆλ } n λ < 1.96 nλ. C(X 1,...,X n ) = { λ > < n ˆλ n λ λ < 1.96 }. 12

13 Forkert: store positive værder tyder derimod på diskordans. store positive værdier tyder derimod på diskordans. Opdaget af: Therese Graversen Forkert: og vi konstaterer at R 1 er t-fordelt med n frihedsgrader. og vi konstaterer at R 1 er t-fordelt med n 1 frihedsgrader. Opdaget af: Søren Grimstrup Forkert: Vi ønsker at opstillet et 95% konfidensområde for medianen af µ, Vi ønsker at opstille et 95% konfidensområde for medianen af µ, Forkert: Sammenlign estimatorerne â og ã for a. Sammenlign estimatorerne ˆα og α for α. Opdaget af: Søren Grimstrup Forkert: Konstruer på baggrund af den asymptotiske fordeling af â et approksimativt 95% konfidensområde for a. Gentag øvelsen på baggrund af den asymptotiske fordeling af ã. Konstruer på baggrund af den asymptotiske fordeling af ˆα et approksimativt 95% konfidensområde for α. Gentag øvelsen på baggrund af den asymptotiske fordeling af α. Opdaget af: Søren Grimstrup 13

14 264 8 Forkert: Konstruer på baggrund af den asymptotiske fordeling af ˆα et approksimativt 95% konfidensområde for a. Gentag øvelsen på baggrund af den asymptotiske fordeling af ã. Konstruer på baggrund af den asymptotiske fordeling af ˆα et approksimativt 95% konfidensområde for α. Gentag øvelsen på baggrund af den asymptotiske fordeling af α. Opdaget af: Christina Haugsted Nielsen Forkert: Et godt test på niveau α opfylder at γ K (θ) er stor for θ Θ\Θ 0 Et godt test på niveau α opfylder at γ K (θ) er stor for θ Θ\Θ 0 Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz 279, figur Forkert: P p,p ( X Y c) P p,p ( X Y c) Opdaget af: Trine Toftkær Hansen Forkert: (ξ,σ 2 ) P ( z α < U + ) n ξ σ 2 < z α V, (ξ,σ 2 ) 1 P ( z α < U + ) n ξ σ 2 < z α V, Opdaget af: Trine Toftkær Hansen 14

15 278 6 Forkert: Hvis det fælles p er 0.5, vil sandsynligheden for at gøre en observation i A være tæt på Hvis det fælles p er 0.5, vil sandsynligheden for at gøre en observation i K være tæt på Opdaget af: Søren Grimstrup Forkert: Og omvendt - har man en samling niveaukonstante teststørrelse for alle disse hypoteser, Og omvendt - har man en samling niveaukonstante teststørrelser for alle disse hypoteser, Forkert: Lad X 1,...,X n være indbyrdes uafhængige og identisk normaltfordelte stokastiske variable Lad X 1,...,X n være indbyrdes uafhængige og identisk normalfordelte stokastiske variable Opdaget af: Therese Graversen Forkert: Hvis man man forestiller sig at den virkelige værdi af p er omtrent 0.4, Hvis man forestiller sig at den virkelige værdi af p er omtrent 0.4, Opdaget af: Rimma Zelenina Bjørnskov Forkert: Det kan aflæses fra figur 8.9 at rangsummen for standardgruppen W = 56. Det kan aflæses fra figur 8.9 at rangsummen for standardgruppen er W = 56. Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz 15

16 319 6 Forkert: Vis at rangteststørrelsen 1 (Xi +X j >0) = i j i j 1 (Ui +U j >1), udregnet på baggrund af X i erne, er den samme som rangteststørrelsen udregnet på baggrund af U i erne. Vis at 1 (Xi +X j >0) = i j i j 1 (Ui +U j >1) Forkert: hvis i < j så findes der ét par (k,l) med k < l der matcher (i,j) på begge koordinater, og 2(n 1) par, der matcher på præcis én koordinat. hvis i < j så findes der ét par (k,l) med k < l der matcher (i,j) på begge koordinater, og 2(n 2) par, der matcher på præcis én koordinat Forkert: Hvis i = j så findes der n 1 par (k,j) med k < l der matcher på præcis én koordinat, Hvis i = j så findes der n 1 par (k,l) med k < l der matcher på præcis én koordinat, Opdaget af: Caroline Jørgensen 16

17 345 8 Forkert: (v 1,w 2 ),(v 2,w 2 ) = v 1,v w 1,w 2 2. (v 1,w 1 ),(v 2,w 2 ) = v 1,v w 1,w 2 2. Opdaget af: Henrik Nygaard Jensen Forkert: Hvis Y = (Y 1,...,Y k ) T følger en standard normalfordeling på R k, Hvis Y = (Y 1,...,Y n ) T følger en standard normalfordeling på R n, Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz Forkert: Lad X være en stokastisk variabel med værdier R n, Lad X være en stokastisk variabel med værdier i R n, Opdaget af: Rune Rudbeck Forkert: B 1 B T 1 = Σ 11, B 2 B T 2 = Σ 22, (komma) B 1 B T 1 = Σ 11, B 2 B T 2 = Σ 22. Opdaget af: Rune Rudbeck 17

18 395 6 Forkert: kan vi konkludere at ˆξ og ˆσ 2 uafhængige. kan vi konkludere at ˆξ og ˆσ 2 er uafhængige. Opdaget af: Rune Rudbeck Forkert: ogser atx regulært normalfordelt medsamme præcision som X, og ser at X er regulært normalfordelt med samme præcision som X, Forkert: en t fordeling med N k frihedsgrader. en t-fordeling med N k frihedsgrader. Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz Forkert: ( ) ( ) ˆα 1 N + t2 z δ σ SSD 2, ˆα+ 1 t N + t2 z δ σ SSD 2, (komma) t ( ) ( ) ˆα 1 N + t2 z δ σ SSD 2, ˆα+ 1 t N + t2 z δ σ SSD 2 t Opdaget af: Rimma Zelenina Bjørnskov Forkert: man kan simpelthen ikke sig noget om hvorvidt modellen passer i denne situation man kan simpelthen ikke sige noget om hvorvidt modellen passer i denne situation 18

19 446 3 Forkert: så vil den tilhørende observationen være så vil den tilhørende observation være Opdaget af: Christina Haugsted Nielsen Forkert: Σ 21 = Σ 12, Σ 11 > 0, Σ 22 > 0, Σ 12 2 Σ 11 Σ 22. Σ 21 = Σ 12, Σ 11 > 0, Σ 22 > 0, Σ 12 2 < Σ 11 Σ 22. Opdaget af: Jing Cheng Li Forkert: ( Σ N/2 22 e (T i ξ 2 ) 2 /2Σ 22 ) ( (σ 2 ) N/2 e (X i α βt i )/2σ 2 ). ( Σ N/2 22 e (T i ξ 2 ) 2 /2Σ 22 ) ( (σ 2 ) N/2 e (X i α βt i ) 2 /2σ 2 ). Opdaget af: Jing Cheng Li Forkert: Vi skal være på vagt over for tegn på variansheterogenintet: Vi skal være på vagt over for tegn på variansheterogenitet: 19

20 457 1 Forkert: Opstilles den kvadratisk regressionsmodel med middelværdistruktur givet ved (11.15) Opstilles den kvadratiske regressionsmodel med middelværdistruktur givet ved (11.15) Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz Forkert: ˆβ = 29.0 ( 1.4,59.4) ˆβ = 0.16 ( 0.56,0.87) Forkert: ˆγ = 0.16 ( 0.56,0.87) ˆγ = 29.0 ( 1.4,59.4) Forkert: Under hvilket omstændigheder har alle observationer samme leverageværdi? Under hvilke omstændigheder har alle observationer samme leverageværdi? Opdaget af: Therese Graversen 20

21 502 8 Forkert: Men det gælder vel og mærke kun hvis vi ved at de to faktorer har et pænt forhold til hinanden. Men det gælder vel at mærke kun hvis vi ved at de to faktorer har et pænt forhold til hinanden Forkert: Tester man hypoteser om ingen sorteffekt, henholdsvis ingen tæthedseffekt, mod den additive hypoteser, Tester man hypoteser om ingen sorteffekt, henholdsvis ingen tæthedseffekt, mod den additive hypotese, Opdaget af: Rune Rudbeck Forkert: og samtidig trækker den samme konstant fra hver komponent at β-vektoren, og samtidig trækker den samme konstant fra hver komponent af β-vektoren, Opdaget af: Therese Graversen Forkert: Det er nemt at skrive maksimaliseringsestimatoren op for fen parameter der koder for forskellen mellem B-niveau j og B- niveau j 0 : Det er nemt at skrive maksimaliseringsestimatoren op for den parameter der koder for forskellen mellem B-niveau j og B-niveau j 0 : Opdaget af: Rune Rudbeck Forkert: Et (1 α)konfidensområde for δ j er Et (1 α) konfidensområde for δ j er Opdaget af: Caroline Jørgensen 21

22 Forkert: Vi repræsenter ofte et design ved dets faktorstrukturdiagram, Vi repræsenterer ofte et design ved dets faktorstrukturdiagram, Forkert: 14.4 Opgave 14.4 Opgaver Opdaget af: Therese Graversen Forkert: Hvis vi for eksemplet skyld forestiller os Hvis vi for eksemplets skyld forestiller os Opdaget af: Therese Graversen Forkert: Med denne definition har vi for alle y Y og alleb K at Med denne definition har vi for alle y Y og alle B K at Opdaget af: Lars Lau Forkert: Lad X være en stokastisk variable, Lad X være en stokastisk variabel, Opdaget af: Lars Lau Forkert: skønt det det kan forekomme os uinformativt skønt det kan forekomme os uinformativt Opdaget af: Brian Bundgaard Schwartz 22