EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer sider

Transkript

1 EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer sider Formaliteter Eksamen er en 24-timers eksamen, der udleveres mandag den 23/ klokken 0.00 og afleveres tirsdag den 24/ inden klokken Opgavesættet består af to opgaver med hhv. 2 og 5 delspørgsmål. Alle delspørgsmål indgår med samme vægt i bedømmelsen. Der gives karakter efter 7-trinsskalaen. Besvarelsen skal udarbejdes af den studerende alene. Opgave Lad R n være søjlevektoren med på alle pladser og lad L = span{} være det etdimensionale underrum af R n, som den udspænder. Lad X M(n,p) med n p have fordeling N(µ,I n Σ) hvor µ L R p og Σ er positiv definit. Likelihoodfunktionen er således L X (µ,σ) = (2π) np/2 2 tr(σ (X µ) t (X µ)). (detσ) n/2e Lad X = n t X samt SSD = (X X) t (X X). Spørgsmål.. Gør rede for at MLE findes og er entydig med sandsynlighed, at samt at L X (ˆµ, ˆΣ) = ˆµ = X, ˆΣ = n SSD, n np/2 np (2π) np/2 e 2 (det(ssd)) n/2. Rummet L R p er parametriseret ved R p via µ = β t for β R p. Spørgsmål.2. Vis at ˆβ t = n t X og find fordelingen af (ˆβ, ˆΣ).

2 I de følgende spørgsmål skal vi studere en linear hypotese i β. Spørgsmål.3. Vis at for alle µ L R p er tr(σ (X µ) t (X µ)) = tr(σ (SSD + (X µ) t (X µ))). Spørgsmål.4. Vis at for fast µ L R p findes MLE for Σ med sandsynlighed og er givet ved nˆσ µ = SSD + (X µ) t (X µ). Vis derefter at profil-likelihoodfunktionen for µ er L X (µ) = L X (µ, ˆΣ µ ) = max Σ L X(µ,Σ) = Spørgsmål.5. Vis at n np/2 (2π) np/2 (det(nˆσ µ )) n/2e det(nˆσ µ ) = det(ssd)det(i n + (X µ)ssd (X µ) t ). np 2. Vink: Udregn determinanten af blok-matricen { SSD (X µ) t på to forskellige måder. (X µ) I n Det kan i den følgende opgave uden bevis benyttes at for c R er jf. beviset for Proposition 8.. } det(i n + c t ) = + nc Spørgsmål.6. Vis at hvis µ = β t for β R p så er og dernæst at (X µ)ssd (X µ) t = n (ˆβ β) tˆσ (ˆβ β) t det(i n + (X µ)ssd (X µ) t ) = + (ˆβ β) t ˆΣ (ˆβ β). Lad L 0 R p være et underrum af R p af dimension < p. Vi skal nu undersøge nulhypotesen H 0 : µ L L 0. Spørgsmål.7. Gør rede for at med udgangsmodellen µ L R p med µ = β t for β R p, så kan nulhypotesen også skrives H 0 : β L 0. 2

3 Spørgsmål.8. Vis at under H 0 er MLE for β givet ved β = PˆΣ ˆβ hvor PˆΣ betegner projektionen på L 0 i R p, når R p er udstyret med indre produkt givet ved ˆΣ. Vis endvidere at MLE for Σ under H 0 er givet ved hvor µ = β t. n Σ = SSD + (X µ) t (X µ) Spørgsmål.9. Vis at kvotientteststørrelsen for H 0 er givet ved Q 2/n = + (ˆβ β) tˆσ (ˆβ β). Gør rede for at kvotienttestet (med små værdier kritiske) er ækvivalent med et test, hvor store værdier af er kritiske. T 2 = (n )(ˆβ β) tˆσ (ˆβ β) () Lad F være en p k matrix af rang k med k p hvis søjler udspænder L 0 med det sædvanlige indre produkt. Lad endvidere ˆΣ = BB t hvor B har fuld rang p. Rummet B L 0 er således et underrum af R p af dimension p k og (B L 0 ) igen med det sædvanlige indre produkt er et underrum af dimension k. Spørgsmål.0. Gør rede for at søjlerne i B t F udspænder (B L 0 ) og vis at projektionen på (B L 0 ) med det sædvanlige indre produkt er Spørgsmål.. Vis at B t F(F tˆσf) F t B. (2) (ˆβ β) tˆσ (ˆβ β) = ˆβ t F(F t ˆΣF) F t ˆβ. Vink: Vis først at B β er den sædvanlige projektion af B ˆβ på rummet B L 0 således at B ˆβ B β er den sædvanlige projektion af B ˆβ på (B L 0 ). Beregn normen af B ˆβ B β direkte og beregn den dernæst ved at bruge formlen (2) for projektionen på (B L 0 ). Spørgsmål.2. Vis at fordelingen af T 2 som defineret ved () under H 0 følger en Hotellings fordeling med dimensionsparameter k og n frihedsgrader. 3

4 Opgave 2 Med V = {,2,3,4} betragt grafen G = (V,E): Lad X = (X,X 2,X 3,X 4 ) t R 4 have fordeling N(0,Σ). Som udgangsmodel opstiller vi hypotesen H : fordelingen af X opfylder den parvise markovegenskab mht. grafen G Spørgsmål 2.. Gør rede for at under H er X og X 4 betinget uafhængige givet (X 2,X 3 ). Gør dernæst rede for, at også X og (X 3,X 4 ) er betinget uafhængige givet X 2 under H. Vis dernæst at under H er Λ := Σ = λ γ 0 0 γ λ 2 γ γ 2 λ 3 γ γ 3 λ 4 hvor λ,λ 2,λ 3,λ 4,γ,γ 2,γ 3 R under den restriktion at Λ i (3) skal være positiv definit. Lad { } Σ Σ Σ = 2 Σ 2 Σ 22 være blokopdelingen af Σ i 2 2 matricer. Lad også σ ij for i,j {,2,3,4} betegne indgangene i Σ. Spørgsmål 2.2. Vis at den betingede kovariansmatrix for (X,X 4 ) givet (X 2,X 3 ) er { σ σ2 2 /σ } σ 44 σ34 2 /σ. 33 Vis dernæst at det(σ) = ( ) σ2 23 det(σ )det(σ 22 ). σ 22 σ 33 Betragt nu Z M(n,4) hvor rækkerne er uafhængige med samme fordeling som X t, dvs. Z N(0,I n Σ) hvor Σ er givet ved (3). Lad (Z Z 2 ) være blokopdelingen af Z i to n 2 matricer. Spørgsmål 2.3. Gør rede for at for n 4 findes med sandsynlighed en entydig MLE, ˆΣ, der opfylder ˆΣ = n Zt Z ˆΣ22 = n Zt 2Z 2 (3) samt at ˆσ 23 = ˆσ 32 = n n Z i2 Z i3. i= 4

5 I det følgende betragter vi hypotesen H 0 : γ 2 = 0. Spørgsmål 2.4. Vis at H 0 også kan angives som og fortolk hypotesen. H 0 : Σ 2 = 0 Spørgsmål 2.5. Bevis at kvotientteststørrelsen Q for H 0 mod H er givet ved og find fordelingen af Q 2/n. Q 2/n = ˆσ2 23 ˆσ 22ˆσ 33 5