Kvantemekanik 2 Side 1 af 11 Schrödingerligningen. Bølgefunktionen

Transkript

1 Kvantemean Sde af Bølgefuntonen Inden for den lassse fys an en partels bevægelse besrves ved en, der ndeholder alle oplysnnger om partlens bevægelse. stedfunton r( t) Pga. den KM besrevne partel-bølge-dualtet må man nden for KM opgve dette med noget, der sger noget om determnstse bllede og erstatte r( t) sandsynlgheden for at fnde vantepartlen et gvet sted rummet og samtdg ndeholder alle oplysnnger om vantepartlens bevægelse. Ovenstående opnås ved tl enhver vantepartel at nytte en omples bølgefunton ( rt, ) ψ. Sandsynlgheden for tl tden t at fnde en vantepartel endetegnet ved ψ rumfanget V er således gvet ved P t r t dv, (.) V () = ψ (, ) V svarende tl at det er mest sandsynlgt at fnde vantepartlen der, hvor dens bølgefunton har størst modulus. dr dr F.es. hastghed v =, nets energ E = m, osv. n dt dt Denne gang e af matemats bevemmelghed, som tlfældet var med lassse EM bølger, men af ren og sær fyss nødvendghed. Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

2 Kvantemean Sde af Bølgepaer Jf. EM-urset er den smpleste form for bølge en plan, monoromats bølge på formen r ωt f ( r, t) = Ae med veldefneret bølgevetor og vnelfrevens ω udbredelseshastghed v = ˆ. (.) ω og dermed veldefneret En vantepartel endetegnet ved en bølgefunton på formen (.) fndes med lge stor sandsynlghed overalt rummet: V () V r ωt. (.3) P t = Ae dv = A V V Loalserede vantepartler er således e endetegnet ved en bølgefunton form af en enelt plan, monoromats bølge, men må være endetegnet ved en overlejrng/superposton/vægtet sum af alle sådanne bølger form af Fourerntegralet 3 : ψ r ωt 3 rt = A e d (, ) 3 ( ), (.4) 3 hvor d = d d dz er et volumenelement -rum, og hvor Foureroeffcenten A( ) x y som beendt angver den vægt, hvor med den plane bølge endetegnet ved ndgår overlejrngen 4. Jf. de matematse resultater fra Fourer-teoren an enhver pæn funton srves som et Fourerntegral, og dermed an bølgefuntonen for prass hvlen som helst vantepartel srves som en såaldt bølgepae som den udtry (.4). 3 Bemær, at dette er helt analogt tl besrvelsen af polyromatse bølger EM4. 4 ω an bestemmes ud fra vha. dspersonsrelatonen. Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

3 Kvantemean Sde 3 af Hvs der un ndgår én plan, monoromats bølge overlejrngen, svarende tl A = A δ ', er der som sagt ngen loalserng, og som det også es. fremgår ( ) ( ) af opg.., blver loalserngen større, jo flere plane, monoromatse bølger, der ndgår bølgepaen. Dette følger også drete af userhedsrelatonen fra udtry (.7), som, det p følge de Brogle-relatonen udtry (.4) er gvet ved h h p = π λ = π λ =, an srves ΔxΔ x. (.5) A = A δ ' Den ene yderlghed form af én plan, monoromats bølge med ( ) ( ) svarer således tl Δ 0 Δx svarende tl ngen loalserng. A Den anden yderlghed A( ) = x andre to dmensoner) og dermed tl ( ) = ˆ loalserng. (tlsvarende de andre to dmensoner), svarer tl Δ Δx 0 (og tlsvarende de x ω ψ rt, δ r t, svarende tl fuldstændg Bemær, jf. dsussonen KM, hvordan målng af en vantepartels poston radalt omformer dens bølgefunton fra at være en egentlg bølgepae med en eller anden grad af loalserng tl at antage form som en deltafunton. Målng af es. postonen sges således at få bølgefuntonen tl at ollapse. Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

4 Kvantemean Sde 4 af Dsperson Hvs udbredelsesfarten af de plane bølger, der udgør bølgepaen udtry (.4), afhænger af 5, vl de forsellge plane bølger e udbrede sg lge hurtgt, og bølgepaen vl dermed ændre form tat med sn udbredelse 6. For at bestemme den hastghed, som bølgepaen udbreder sg med, betragtes to, ω + d, ω + dω, der nterfererer onstrutvt et punt nabo plane bølger ( ) og ( ) r, hvs deres faser er ens: r ωt= ( + d) r ( ω+ dω) t d r = dω t: r = ω t så bølgepaens toppunt vl altså udbrede sg med den såaldte gruppehastghed 8 v = ω. (.6) g Gruppehastgheden dentfceres således som bølgepaens udbredelseshastghed, og da bølgepaen repræsenterer en vantepartel, er v g dermed den KM pendant tl det lassse begreb partelhastghed. Bemær, at v g afhænger af og dermed un er veldefneret den udstrænng, er det 9., 7 5 Jf. udtry (4.0) EM4 svarer dette tl en dspersonsrelaton, hvor ω e er proportonal med, sådan at v ( ). 6 I så fald sges bølgepaens udbredelse at være dspersv. 7 ω ω ω ω ω ω d ω t = ( d xˆ+ d yˆ + d zˆ) xˆ yˆ zˆ t d d d t dω t x y z + + = + + x y z =. x y z x y z 8 De enelte plane, monoromatse bølgers udbredelseshastgheder aldes fasehastgheder. 9 I prass ndgår begrebet gruppehastghed derfor oftest besrvelsen af bølgepaer, hvs bølgetal er fhv. snævert centreret om en central -værd. Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

5 Kvantemean Sde 5 af En vantepartels bevægelse an således besrves vha. en bølgefunton ( rt, ) ψ, men hvordan fndes netop den bølgefunton, der besrver en gven vantepartel? Fr vantepartel Betragt en fr 0 vantepartel, der bevæger sg D, og som er endetegnet ved massen m, hastgheden dω v =, bevægelsesmængden d p = og energen p E ( n) m m Da p dω v = =, m d m fås flg. dspersonsrelaton for en fr vantepartel med masse m: ω ( ) =. m (.7) Betragt den partelle dfferentallgnng ψ ψ =, (.8) t m x for hvlen den plane bølge ψ ( xt, ) x ( ωt = Ae ) (.9) er en løsnng, såfremt dspersonsrelatonen udtry (.7) er opfyldt: ( ωψ ) ( xt, ) = ( ) ψ( xt, ): m ω =. m 0 En partel er fr, hvs den e påvres af ræfter, svarende tl at dens potentelle energ er den samme overalt rummet, f.es. nul. Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

6 Kvantemean Sde 6 af Dfferentallgnngen udtry (.8) har altså den egensab, at dens planbølgeløsnnger opfylder dspersonsrelatonen udtry (.7). Da udtry (.8) er lneær og homogen, er dens fuldstændge løsnng gvet ved ψ x ( t = A e ω ) d, (.0) ( x, t) ( ) hvlet netop er den D pendant tl bølgepaen udtry (.4). Dermed vl enhver bølgefunton for en fr vantepartel D være løsnng tl (.8), der derfor aldes for en fr partel D. Hvor udtry (.0) er det generelle D-udtry for ψ, udgør planbølgeløsnngerne udtry (.9) den specelle gruppe af bølgefuntoner for fre vantepartler, for hvle p = og E = ω er veldefneret (an bestemmes esat). Som nævnt ovenfor fås for A( ) hvlen det er postonen, der er veldefneret. = A bølgefuntonen ψ ( x, t) δ ω x t =, for I 3D generalserer for fre vantepartler tl ψ = ψ t m. (.) Opstllet første gang af østrgeren Erwn Schrödnger 96, der f en nobelprs 933 for st bdrag tl KM. Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

7 Kvantemean Sde 7 af Kvantepartel et potental Betragt en e-fr vantepartel, der bevæger sg et onservatvt raftfelt V r, t. besrevet ved den potentelle energ ( potentalet ) ( ) Bemær, at operatoren m vrende på en fr vantepartels bølgefunton form af en plan bølge gver den fre vantepartels (netse) energ gange bølgefuntonen: r t r t r t Ae ω Ae ω E Ae m = m = ω ( n). (.) Som m således repræsenterer den netse energ, repræsenterer + V ( r, t) den totale/meanse energ, og generalserer m derfor tl ψ t m = + V, ψ. (.3) ( r t) Bemær, at der for V ( r, t) = V0 er tale om en fr vantepartel. Alle bølgefuntoner for vantepartler, der bevæger sg onservatve raftfelter, an således ( prncppet) fndes som løsnnger tl udtry (.3), som dermed en eller anden forstand er den KM pendant tl Newtons anden lov. r V r, t = F r, t dr, F r, t = V r, t. ( ) ( ) ( ) ( ) rref Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

8 Kvantemean Sde 8 af Dsrete stoastse 3 varable Sandsynlghedsregnng Betragt den stoastse varabel Χ med det dsrete udfaldsrum = {,,, n}, hvortl der er nyttet sandsynlghedsfordelngen ( ) U x x x P Χ= x =p. Normerng Sandsynlghedsfordelngen er normeret, hvs den samlede sandsynlghed for alle udfald er : n p =. (.4) = Forventnngsværd Forventnngsværden af hvormed de foreommer: Χ er summen af udfald vægtet med den sandsynlghed, n Χ = x p. (.5) = Sprednng Sprednngen af Χ er et mål for, hvor langt den stoastse varabels realsatoner må forventes at lgge fra forventnngsværden: ΔΧ ( Χ Χ ). (.6) Sprednngen, der er vadratroden af varansen, har således samme enhed som den pågældende stoastse varabel. 3 Stochos er græs og betyder at gætte. Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

9 Kvantemean Sde 9 af Sprednngen omsrves af pratse årsager som følger: n ( ) ( ) n x p x x = = ΔΧ = Χ Χ = Χ = + Χ Χ n n n x p p xp = = = = + Χ Χ = Χ + Χ Χ Χ :. (.7) ΔΧ = Χ Χ p Esempel Χ : Antallet af øjne ved slag med to ternnger. U = {,,,}. p = p4 =, {, 7 }. 36 Denne sandsynlghedsfordelng er normeret, ford p =. = Hvs man slår N gange med de to ternnger og herunder får det te udfald N gange, har man gennemsnt fået flg. antal øjne: N + N + + N N N Da lm = p N, er forventnngsværden således gennemsnttet (mddelværden) ved N et stort antal realsatoner : N + N + + N lm p p p N xp N = = = = Χ.. Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

10 Kvantemean Sde 0 af Kontnuerte stoastse varable Betragt den stoastse varabel Χ med det ontnuerte udfaldsrum U, hvortl der er nyttet sandsynlghedsfordelngen P ( ; ) ρ ( ) x x x x = x dx, (.8) hvor ρ er sandsynlghedstætheden, det ρ ( x) dx er sandsynlgheden for at få et udfald ntervallet x; x+ dx. x Normerng Sandsynlghedsfordelngen er normeret, hvs U ( x) dx ρ =. (.9) Forventnngsværd Forventnngsværden af Χ er gvet ved U x ( ) Χ = ρ xdx. (.0) Sprednng Sprednngen af Χ er gvet ved ΔΧ = Χ Χ. (.) Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007

11 Kvantemean Sde af Esempel H : Højden af ndbyggere Danmar. U =. ρ ( h) = e π ΔH ( h H ) ( Δ ) H. ρ ( h) H = 75cm Areal = h Thomas B. Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 05/03/007