Noter til Perspektiver i Matematikken
|
|
- Bjarne Jakobsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden af de hele tal, altså Z = {0, ±1, ±2,...}, og N delmængden bestående af de naturlige tal, dvs. N = {1, 2,...}. I parentes bemærket, så er 0 ikke et naturligt tal ifølge vores definition af N. Nogle af disse egenskaber ved de hele tal er velkendte for jer, så dem vil vi uden videre godtage, men andre kender I ikke, eller også er de ikke indlysende. Dem vil vi præsentere beviser for, så vi kan være sikre på, at de er korrekte. Som et eksempel på et resultat, som ikke er indlysende, kan vi tage Fermats lille sætning (Sætning 29, side 36 i lærebogen): For ethvert primtal p og ethvert helt tal n N vil p gå op i n p n; det er i hvert fald ikke umiddelbart klart for undertegnede, at 2003 går op i De naturlige tal og deres egenskaber er kilden til al matematisk kendskab, for ud fra dem kan man definere de hele tal, de rationale tal Q, de reelle tal R og de komplekse tal C, og udlede deres velkendte aritmetiske og analytiske egenskaber. Dette har fundet et karakteristisk udtryk i de kendte ord af den tyske matematiker Kronecker: De hele tal har Gud skabt, alt det andet er menneskeværk. (Leopold Kronecker ). Konstruktionen af de andre talsystemer ud fra de naturlige tal er dog for omfattende et program til, at det kan passes ind i rammerne for indeværende kursus. Men det er egentlig ikke for svært til, at det kunne præsenteres for jer på jeres nuværende stade, hvis ellers tiden tillod det. I denne forelæsning vil vi koncentrere os om mængden N af de naturlige tal og om nogen af egenskaberne ved N. De naturlige tal er en af de mest fundamentale matematiske begrebsdannelser. Det at tælle var for de fleste af os et af vores første møder med det abstrakte, og historisk set er det menneskehedens ældste matematiske begreb. Mange matematiske problemer involverer heltal. Computere udfører deres operationer med heltalsaritmetik. I mener sikkert, at I har et godt kendskab til de naturlige tal. Men som eksemplet med Fermats lille sætning demonstrerer, så er der generelle resultater, som I ikke kender, endsige har en fornemmelse for. Man kan 1
2 selvfølgelig også spørge, hvor godt vores kendskab til individuelle tal egentlig er? Tallene 24, 25, 49 og 1024 har vel for de fleste en vis bekendskabskvalitet, men hvad med tallet ? 2 Induktionsprincippet Den vigtigste egenskab ved de naturlige tal kan formuleres som induktionsprincippet. Det tror vi her på uden bevis. Vi vender tilbage til induktion i Matematisk Analyse 1, hvor lærebogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe Thue Poulsen benyttes. Visse passager nedenfor er ordret citeret fra denne lærebog. Sætning 2.1 (Induktionsprincippet). Lad D være en delmængde af N med følgende to egenskaber: (a) 1 D, og (b) for alle k N gælder, at k D medfører, at k + 1 D. Så er D = N. Lad os se en anvendelse af Induktionsprincippet: Eksempel 2.2. Vi vil vise, at det for ethvert n N er sandt, at n = n(n + 1)/2. (2.1) Således er summen af de første 100 tal 100( )/2 = Vi introducerer en vis delmængde D af N, nemlig D = {n N n = n(n + 1)/2}. Mængden D består altså af de naturlige tal n, for hvilke (2.1) gælder. Vi observerer, at 1 D, idet 1 = 1(1 + 1)/2, hvilket viser, at betingelsen (a) i Induktionsprincippet (Sætning 2.1) er opfyldt for D. Lad os dernæst antage, at k D, altså at formlen (2.1) gælder med n erstattet med k. Vi vil vise, at k + 1 D, så vi regner, idet vi i udregningen benytter, at formlen gælder for k: k(k + 1) k + (k + 1) = + (k + 1) 2 = (k + 1)( k (k + 1)(k + 2) (k + 1)((k + 1) + 1) + 1) = = Dette viser, at også betingelsen (b) i Induktionsprincippet (Sætning 2.1) er opfyldt for D. Induktionsprincippet fortæller os nu, at D = N, dvs at formlen (2.1) er sand for ethvert n N. 2
3 Induktionsprincippet anvendes hovedsagelig i den specielle type beviser, som kaldes induktionsbeviser. Beviset for formlen (2.1) i eksemplet ovenfor er et induktionsbevis. Et induktionsbevis er et bevis for en sætning, der handler om et udsagn, hvori der indgår et naturligt tal n. Udsagnet kunne f.eks. være n = n(n + 1)/2. Udsagnet kunne også være Ethvert polynomium af grad n har n rødder. Hvis udsagnet betegnes med U n, så afhænger det af n, om U n er sandt eller falsk. Målet med et induktionsbevis er at vise, at udsagnet U n er sandt for alle n N. For lettere at kunne opstille induktionsbeviser noterer vi følgende sætning. Sætning 2.3 (Bevis ved induktion). Lad U n være et udsagn, som for alle n N er enten sandt eller falsk. Hvis (a) U 1 er sandt, og (b) for alle k N gælder, at U k er sandt medfører U k+1 er sandt, så er U n sandt for alle n N. Bevis. Lad D være mængden D = {n N U n er sandt}. Så er 1 D ifølge (a), og der gælder ifølge (b), at k D medfører, at k + 1 D. Af Induktionsprincippet følger nu, at D = N, hvormed sætningen er bevist. Et bevis for (a) kaldes ofte for induktionsstarten, og et bevis for (b) kaldes tilsvarende for induktionsskridtet. Lad os se på nok et eksempel på et induktionsbevis for at illustrere, hvordan Sætning 2.3 kan anvendes. Eksempel 2.4. Lad q være et reelt tal forskellig fra 1. For alle n N er 1 + q + q q n 1 = qn 1 q 1, (2.2) hvor vi for en sikkerheds skyld minder om, at x 0 = 1 for ethvert reelt tal x R. Vi lader for n N udsagnet U n være Udsagnet U 1 bliver dermed 1 + q + q q n 1 = qn 1 q 1. 1 = q1 1 q 1, hvilket jo er korrekt, så U 1 er et sandt udsagn. Dermed har vi induktionsstarten. 3
4 Hvad induktionsskridtet angår, så skal vi ud fra gyldigheden af U k, dvs fra deducere gyldigheden af U k+1, dvs at 1 + q + q q k 1 = qk 1 q 1, 1 + q + q q k = qk+1 1 q 1. Lad os derfor simpelthen regne på venstre side af U k+1, idet vi udnytter, at U k er sandt: 1 + q + q q k 1 + q k = qk 1 q 1 + qk = qk 1 + (q 1)q k q 1 = qk+1 1 q 1, hvilket jo er U k+1. Så U k+1 er et sandt udsagn. Ifølge Sætning 2.3 er U n sandt for alle n N, dvs formlen (2.2) gælder for alle n N. Det er ikke væsentligt, at induktionen i Sætning 2.3 starter med n = 1. Mere præcist har vi nedenstående generalisation af sætningen: Sætning 2.5 (Bevis ved induktion). Lad N Z. Lad U n være et udsagn, som for alle n Z, n N er enten sandt eller falsk. Hvis (a) U N er sandt, og (b) for alle k Z med k N gælder, at U k er sandt medfører, at U k+1 er sandt, så er U n sandt for alle n Z med n N. Som et korollar af Sætning 2.3 nævner vi det stærke induktionsprincip, der er nyttigt i visse sammenhænge. Det siger følgende: Sætning 2.6 (Det stærke induktionsprincip). Lad U n være et udsagn, som for alle n N er enten sandt eller falsk. Hvis (a) U 1 er sandt, og (b) der for ethvert k N med k 2 gælder, at U i er sandt for alle i < k medfører, at U k er sandt, så er U n sandt for alle n N. Bevis. Overladt til læseren, der kunne arbejde med udsagnet U n, der siger, at udsagnene U 1, U 2,..., U n alle er sande. 4
5 3 Opgaver Opgave 3.1. Find et udtryk for (2n 1), altså for summen af de første n ulige naturlige tal. Vink: Kig på højresiderne i 1 = = = = 16 Angiv og bevis en tilsvarende formel for de første n lige naturlige tal. Opgave 3.2. Vis, at n k 2 = n 2 = k=1 for ethvert naturligt tal n. n(n + 1)(2n + 1) 6 Opgave 3.3. For hvilke n N er 2 n > n 2? Opgave 3.4. For hvilke n N er 3 n > n 3? Opgave 3.5. Vis for ethvert n N at ( n ) 2 n k = k 3. (3.1) k=1 I denne opgave optræder der summationstegnet, der er det store græske bogstav sigma (svarende til vores bogstav S). Hvis n er et helt tal og p er et naturligt tal eller nul, så er n+p k=1 a i = a n + a n a n+p. (3.2) i=n Udtrykket (3.1) er derfor præcis det samme som ( n) 2 = n 3. Opgave 3.6. Vis, at 8 går op i 3 2n 1 for ethvert n N. Opgave 3.7. Vis, at 73 går op i 8 n n+1 for ethvert n N. Opgave 3.8. Vis, at ethvert positivt helt tal m 12 kan skrives som en sum af 3-taller og 7-taller. Opgave 3.9. Hvilke positive helt tal kan skrives som en sum af 3-taller og 5-taller? Bevis din påstand! 5
6 Opgave Vis, at en mængde med n N elementer har 2 n delmængder. Opgave Lad U n være et udsagn, som for alle n N er enten sandt eller falsk. Er følgende korrekt: Når U 2n er sandt for alle n N, og at U k er sandt medfører, at U k+1 er sandt for alle k N, så er U n er sandt for alle n N? Opgave Lad a 1, a 2,..., a n,... være en følge af reelle tal, som opfylder, at a 1 = 2, a 2 = 8, og at a n = 4(a n 1 a n 2 ) for n 3. Find en formel for a n for alle n N. Opgave Lad a være et positivt reelt tal. En student viser ved hjælp af det stærke induktionsprincip, at a n = 1 for ethvert helt tal n 1 på følgende måde: Induktionsstarten er a 0 = 1. Induktionsskridtet er a k+1 = a k ak a k 1 = = 1. Hvad er din uforbeholdne kommentar? Opgave Lad f(x) = x n for x R og n N. Vis, at f (x) = nx n 1 for x R og n N. Du må gerne bruge reglen for, hvordan man differentierer et produkt. 4 Dirichlets skuffe-princip Dirichlets skuffe-princip eller the Pigeonhole Principle siger, at hvis man putter n + 1 eller flere genstande (duer) i n huller (duehuller), så findes der et hul med mindst 2 genstande (duer) i. Jeg har også hørt det formuleret som følger: Hvis man putter n + 1 skjorter i en kommode med n skuffer, så vil der være en skuffe med mindst 2 skjorter i. Eksempelvis, hvis man har 8 personer, så er mindst 2 født på samme ugedag. Dette følger af Dirichlets skuffe-princip: Der er 7 huller (de 7 ugedage), og flere end 7 duer (de 8 personer). Den korte version er: Ud af 3 normale mennesker må 2 nødvendigvis have samme køn. Det behøver man dog ikke Dirichlets skuffe-princip til at indse. Princippet er opkaldt efter den tyske matematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ). Princippet er i sig selv ganske elementært; subtiliteten kommer i anvendelserne af det. Lad os se på et eksempel: Eksempel 4.1. Lad n, p N være indbyrdes primiske tal, p > 1. Hvad vi skal bruge, er, at hvis nm er delelig med p, så går p op i m. Vi vil i dette eksempel vise, at der findes netop ét x {0, 1, 2,..., p 1}, så nx 1 er delelig med p. 6
7 Lad mig først minde om, at ethvert helt tal m Z på netop én måde kan skrives på formen z = qp + r, hvor q Z og r {0, 1,..., p 1}. Tallet r kaldes for resten af z efter division med p. Vi deler mængden Z af hele tal op i p klasser, nemlig H r = {z Z z har resten r efter division med p} for r = 0, 1, 2,..., p 1. Se nu på de p forskellige tal nx 1 for x = 0, 1,..., p 1. Hvis disse tal ikke rammer alle H r erne, så er der altså mindst ét H r, som ikke bliver ramt. Vores p tal er dermed fordelt blandt de resterende p 1 klasser. Ifølge Dirichlets skuffe-princip ligger mindst 2 forskellige tal i samme klasse. Lad os sige, at nx 1 1 og nx 2 1 ligger i H r, dvs har samme rest r efter division med p. Her er x 1, x 2 {0, 1,..., p 1}. Ved eventuelt at skifte notation kan vi antage, at x 1 > x 2, så p 1 x 1 > x 2 0. Idet vi benytter, at nx 1 1 og nx 2 1 har samme rest efter division med p, får vi, at n(x 1 x 2 ) = (nx 1 1) (nx 2 1) er delelig med p. Da n og p er indbyrdes primiske, vil p gå op i x 1 x 2. Men p 1 x 1 x 2 0, så det medfører, at x 1 x 2 = 0, altså at x 1 = x 2. Det strider mod, at x 1 > x 2 (se ovenfor). Vores antagelse om, at tallene nx 1 for x = 0, 1,..., p 1 ikke ramte alle H r erne, er dermed forkert. Så ethvert H r rammes. Specielt rammes H 0, dvs der findes et x {0, 1,..., p 1}, så nx 1 H 0. Vi har hermed vist, at der findes et x {0, 1,..., p 1}, så nx 1 er delelig med p. Vi mangler at vise, at der højst findes ét sådant x {0, 1,..., p 1}. Den påstand overlader vi til læseren, idet den ikke involverer Dirichlets skuffeprincip. 5 Opgaver Opgave 5.1. Hvad er det mindste antal elever i en klasse, som skal til for at sikre, at mindst 2 af dem er født i samme måned (ikke nødvendigvis samme år)? Opgave 5.2. Svenske nummerplader på biler har tre bogstaver fulgt af tre cifre. Hvor mange biler skal der til, før man kan være sikker på, at der findes to biler med samme taldel på nummerpladen? Opgave 5.3. Lad der være givet 5 punkter i planen, hvis koordinater alle er hele tal. Vis, at der blandt de 5 punkter findes 2 punkter, sådan at midtpunktet for liniestykket mellem dem også har heltallige koordinater. Opgave 5.4. Betragt et rektangel med sider af længde 6 og 8. Vis, at hvis 5 punkter placeres vilkårligt i rektanglet, så findes der mindst 2 af disse 7
8 punkter, hvis indbyrdes afstand er mindre end eller lig med 5. Vink: Inddel rektanglet i et passende antal mindre dele. Opgave 5.5. Vis den sidste påstand i Eksempel 4.1. Opgave 5.6. Lad n, p N være indbyrdes primiske tal. Givet m Z vis, at der findes netop ét x {0, 1, 2,..., p 1}, så nx m er delelig med p. Opgave 5.7. Vælg 6 forskellige éncifrede tal. Vis, at der blandt dem findes 2, hvis sum er 10. 8
Matematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFibonacci følgen og Det gyldne snit
Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...
Læs mereBevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereBevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)
Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereAlgebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereOm brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling
Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereHvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?
Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereEulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mere