DM72 Diskret matematik med anvendelser

Transkript

1 DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater).

2 Logik Åbne udsagn = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n 2 ( y N : y x P (y)) Sandhedstabeller A B A B s s s s f f f s s f f s Omskrivning af udsagn Udsagn kan omskrives fx. vha. reglerne p. 24: ( x : P (x)) ( x : P (x)) Tautologier (Er noget altid sandt?) Afgøres vha. sandhedstabller eller reglerne p. 24.

3 Bevisteknikker Induktionsbeviser (Bevis n N : P (n)) Basis: Bevis P (0), P (1),..., P (k) Induktionsskridt: Bevis, at P (n 1) P (n) eller P (n) P (n + 1) eller (P (0) P (1)... P (n 1)) P (n) for n k + 1 Modstridsbeviser (Bevis p) Bruger, at p p F Kontrapositionsbeviser (Bevis p q) Bruger, at p q q p

4 Mængder Kendte mængder N = {1, 2, 3,...} N 0 = {0, 1, 2,...} Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} P(A) = Mængden af alle delmængder af A (A s potensmængde) A er antallet af elementer i A. Tællelig og utællelige mængder Man viser, at en mængde A er tællelig ved at finde en bijektiv funktion mellem N og A eller ved at vise, at den kan skrives op på række, fx. Z = {0, 1, 1, 2, 2,...}

5 Funktioner En funktion f : A B. A er domænet. range(f) = {f(a) a A} B er billedet / billedmængden. En funktion f : A B kan være injektiv (en-til-en): f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2. surjektiv (på): hvis range(f) = B. bijektiv: Hvis den er både injektiv og surjektiv. Særlige funktioner : n i=1 a i := a 1 + a a n n a i := a 1 a 2 a n i=1 NB: Se også tabellen side 232.

6 Talteori Euklids (udvidede) algoritme Givet a og b N finder EUA tal s, t Z så s a + t b = gcd(a, b) Kongruens a b (mod m) m (a b) a mod m = b mod m k Z : a = b + km Z m Vi har også kigget på multiplikation og addition i Z m, fx. i Z = = 0 Aritmetikkens Fundamentalsætning Ethvert heltal har netop én primtalsfaktorisering. Derudover en masse regneregler for (går-op-i)

7 Den Kinesiske Restklassesætning Hvis m 1, m 2,..., m n er parvis indbyrdes primiske heltal, da har x a i (mod m i ), 1 i n en unik løsning modulo m 1 m 2... m n. Find løsning: 1. Lad m = m 1 m 2... m n 2. Lad M i = m/m i, 1 i n 3. For i = 1 til n Find invers y i til M i modulo m i D.v.s. find y i, så M i y i 1 (mod m i ) n 4. x = a i M i y i i=1 5. Da udgør {x + km k Z} samtlige løsninger. Fermats lille sætning p primtal, a heltal, p a: a p 1 1 (mod p) og for alle heltal a a p a (mod p)

8 Tælleteknikker Sum-regel (indbyrdes disjunkte muligheder) A = t i=1 A i A = t i=1 A i Produkt-regel (en sekvens af muligheder) A = A 1 A 2 A t A = t i=1 A i

9 Tælleteknikker C(n, r) = ( ) n r = n! r!(n r)! Kombinationer og permutationer af en mængde med n elementer Type Med tilbagelægning Antal forskellige r-komb. Nej C(n, r) r-perm. Nej n! (n r)! r-komb. Ja C(r + n 1, r) r-perm. Ja n r kombinationer: ingen rækkefølge på valgte elementer. permutationer: med rækkefølge på valgte elementer. ( n Vi har også lært en masse regneregler for r), herunder binomialsætningen: n j=0 ( n j ) x n j y j = (x + y) n

10 Tælleteknikker k kasser n = k i=1 n i forskellige elementer n i elementer i kasse nr. i, 1 i k n! Da er der n 1!n 2! n k! kasserne. måder at fordele elementerne i Inklusion-eksklusion n A i = A i A i A j + i=1 1 i n + ( 1) n 1 1 i<j n n i=1 A i Stærekasseprincippet f : A B, A := n > 0, B := k > 0. Da er der et y B, så n f 1 (y) k

11 Rekursionsligninger Lineære homogene rek.ligninger af orden 2 med konst. koeff. d.v.s. ligninger på formen a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 Opskriv karakteristisk ligning r 2 c 1 r c 2 = 0, og find rødder r 1 og r 2. r 1 r 2 : a n = α 1 r1 n + α 2 r2 n r 1 = r 2 : a n = α 1 r1 n + α 2 nr1 n α 1 og α 2 bestemmes ud fra beg.betingelserne.

12 Lineære inhomogene rek.ligninger af orden 2 med konst. koeff. D.v.s. ligninger på formen a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + F (n), F (n) 0 Gæt løsning p n mht. F (se i bogen for muligheder) Find løsning h n til den associerede HRL a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 Løs for α 1 og α 2 i den samlede løsning: p n + h n

13 Sandsynlighedsregning Definitioner Udfaldrum S. Hændelse A. A S. Elementarhændelser {s} for s S. To hændelser A og B udelukker hinanden hvis A B =. Sandsynlighedsfordeling for et udfaldsrum S er en funktion P : P(S) R, der opfylder: P (A) 0 for alle A S. P (S) = 1 For enhver (tællelig) sekvens A 1, A 2,... af hændelser A i S som parvist udelukker hinanden: ( ) P A i = i i P (A i )

14 Sandsynlighedsregning Betinget sandsynlighed: P (A B) = P (A B) P (B) Hvis alle udfald er lige sandsynlige: P (A B) = A B B Uafhængige hændelser: A og B er uafhængige P (A)P (B) = P (A B) P (A B) = P (A) P (B A) = P (B) Bayes sætning P (A B) = = P (A) P (B A) P (B) P (A) P (B A) P (A) P (B A)+P (Ā) P (B Ā)

15 Stokastiske variable En funktion fra udfaldsrummet til et tal i R. Forventningsværdi E(X) := x R x P (X = x) = s S X(s) P (s) Mange regneregler for E. Varians Hvor Var(X) := E((X E(X)) 2 ) = E(X 2 ) E(X) 2 E(X 2 ) := x 2 P (X = x) x R = s S X(s) 2 P (s) Mange regneregler for Var.

16 Bernoulli-forsøg Forsøg med to mulige udfald: succes eller fiasko P (X = 1) = p: sands. for succes P (X = 0) = q = 1 p: sands. for fiasko E(X) = p Var(X) = pq Geometrisk fordeling X: # uafh. Bernoulli-forsøg t.o.m. første succes P (X = k) = pq k 1, hvor k 1. E[X] = 1 p Var(X) = q p 2 Binomialfordeling X: # succeser i n uafh. Bernoulli-forsøg P (X = k) = E[X] = np Var(X) = npq ( n k ) p k q n k, hvor 0 k n

17 Chebyshevs ulighed X en stok.var på udfaldsrummet S. For r R, r > 0 gælder P ( X E(X) r) Var(X) r 2

18 Grafteori Definition m.v. af grafer G = (V, E). Grad, udgrad, indgrad Håndtrykslemma: For en graf G = (V, E): 2 E = u V deg(v ) Eksempler på grafer, fx. K n, to-delte grafer. Delgrafer H G Grafisomorfi: To grafer er isomorfe, hvis der mellem deres knuder er en bijektiv funktion, der bevarer kanterne. Stier og kredse.

19 Eksamen Husk: Tydeligt! Præcist! Henvisninger! (til bogen, opgaver, ugesedler) Evt. en side per (del)opgave. Lav nemme (del)opgaver først. Fx.: Jens har 6 kageopskrifter. Hvor mange måder kan Jens udvælge 2 forskellige kager? Svaret er 17. Svaret er ( 6 2) = 15 Det søgte er en 2-kombination ud af en mængde med 5 elementer. Jvf. sætning 2 side 322 i lærebogen er der ( 6 2) = 15 muligheder muligheder. Umiddelbart vil jeg foreslå en Othello lagkage og Karolines banankage med chokoladeovertræk.

20 Held og lykke!