Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
|
|
- Philip Skov
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark Efterår 2016 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
2 enote 2: Kontinuerte fordelinger Grundlæggende koncepter: Tæthedsfunktion: f (x) (pdf) Fordelingsfunktion: F(x) = P(X x) (cdf) Middelværdi (µ) og varians (σ 2 ) Regneregler for stokastiske variabler Specifikke fordelinger: Normal Log-Normal Uniform Eksponential t χ 2 (Chi-i-anden) F DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
3 enote 2: Continuous Distributions General concepts: Density function: f (x) (pdf) Distribution: F(x) = P(X x) (cdf) Mean (µ) and variance (σ 2 ) Calculation rules for random variables Specific distributions: Normal Log-Normal Uniform Exponential t χ 2 (Chi-square) F DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
4 Oversigt 1 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Tæthedsfunktion Fordelingsfunktion Middelværdi af en kontinuert stokastisk variabel Varians af en kontinuert stokastisk variabel 2 Konkrete Statistiske fordelinger Kontinuerte fordelinger i R Uniform fordeling Eksempel 1 Normalfordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 Eksempel 4 Log-Normal fordelingen 3 Eksponentialfordelingen Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 8 Eksempel 9 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
5 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Tæthedsfunktion Tæthedsfunktion (probability density function (pdf)) Tæthedsfunktionen for en stokastisk variabel betegnes ved f (x) f (x) siger noget om hyppigheden af udfaldet x for den stokastiske variabel X For kontinuerte variable svarer tætheden ikke til sandsynligheden, dvs. f (x) P(X = x) Et godt plot af f (x) er et histogram (kontinuert) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
6 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Tæthedsfunktion Tæthedsfunktion for en kontinuert variabel f (x) P(a < X b) -4-2 a 0 b 2 4 x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
7 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Tæthedsfunktion Tæthedsfunktion for en kontinuert variabel For en kontinuert stokastisk variabel skrives tæthedsfunktionen som: Der gælder: f (x) f (x) 0 for alle mulige x f (x)dx = 1 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
8 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Fordelingsfunktion Fordelingsfunktion (distribution function eller cumulative density function (cdf)) Fordelingsfunktion for en kontinuert stokastisk variabel betegnes ved F(x) Fordelingsfunktionen svarer til den kumulerede tæthedsfunktion: F(x) = P(X x) x F(x) = f (u)du f (x) = F (x) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
9 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Fordelingsfunktion Fordelingsfunktion (distribution function eller cumulative density function (cdf)) F(x) P(a < X b) = F(b) F(a) -4-2 a 0 b 2 4 x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
10 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Fordelingsfunktion Spørgsmål om sandsynligheder (socrative.com, room: PBAC) f (x) ? a b x Spørgsmål: Hvilket areal (sandsynlighed) er markeret? A: b f (x)dx Svar C: b a f (x)dx B: 1 b a f (x)dx C: b a f (x)dx D: 1 a f (x)dx DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
11 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Fordelingsfunktion Spørgsmål om sandsynligheder (socrative.com, room: PBAC) f (x) ? a b x Spørgsmål: Hvordan kan vi nemmest udregne det markerede areal? A: b a f (x)dx B: b a F(x)dx C: f (b) f (a) D: F(b) F(a) Svar D: F(b) F(a) (vi gør det i R med (normalfordelt): pnorm(b) - pnorm(a)) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
12 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Fordelingsfunktion Den empiriske cumulative distribution function - ecdf vs. cdf Student height example from Chapter 1: ## Plot empirisk cdf (ecdf) og estimeret cdf ## Højderne x <- c(168,161,167,179,184,166,198,187,191,179) ## Plot den empiriske cdf plot(ecdf(x), verticals = TRUE) ## En række x punkter xp <- 150:210 ## Den estimerede cdf lines(xp, pnorm(xp, mean(x), sd(x))) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
13 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Middelværdi af en kontinuert stokastisk variabel Middelværdi (mean) af en kontinuert stokastisk variabel Middelværdien af en kontinuert stokastisk variabel µ = x f (x)dx Sammenlign med den diskrete definition: µ = x f (x) alle x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
14 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Varians af en kontinuert stokastisk variabel Varians af en kontinuert stokastisk variabel Variansen af en kontinuert stokastisk variabel: σ 2 = (x µ) 2 f (x)dx Sammenlign med den diskrete definition: σ 2 = (x µ) 2 f (x) alle x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
15 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Varians af en kontinuert stokastisk variabel Spørgsmål om middelværdi (socrative.com, room: PBAC) f (x) f 1 (x) f 2 (x) x Spørgsmål: Hvilken middelværdi er størst? A: µ 1 < µ 2 B: µ 1 > µ 2 C: µ 1 = µ 2 D: Kan ikke afgøres Svar A: µ 1 < µ 2. (D er også fint at svare, da man ikke kan se hvad der er under -4 og over 4.) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
16 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Varians af en kontinuert stokastisk variabel Spørgsmål om middelværdi (socrative.com, room: PBAC) f (x) f 1 (x) f 2 (x) x Spørgsmål: Hvilken spredning er størst? A: σ 1 < σ 2 B: σ 1 > σ 2 C: σ 1 = σ 2 D: Kan ikke afgøres Svar B: σ 1 > σ 2. (D er også fint at svare, da man ikke kan se hvad der er under -4 og over 4.) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
17 Konkrete Statistiske fordelinger Konkrete statistiske fordelinger Der findes en række statistiske fordelinger, som kan bruges til at beskrive og analysere forskellige problemstillinger med Følgende kontinuerte fordelinger: Uniform fordeling Normalfordelingen Log-normalfordelingen Eksponentialfordelingen DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
18 Konkrete Statistiske fordelinger Kontinuerte fordelinger i R Kontinuerte fordelinger i R R norm unif lnorm exp Betegnelse Normalfordelingen Uniform fordeling Log-normalfordelingen Eksponentialfordelingen d Tæthedsfunktion f (x) (probability density function). p Fordelingsfunktion F(x) (cumulative distribution function). q Fraktil (quantile) i fordeling. r Tilfældige tal fra fordelingen. DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
19 Uniform fordeling Konkrete Statistiske fordelinger Uniform fordeling Skrivemåde: X U(α,β) (Læses: X følger en uniform fordeling med parametre α og β) Tæthedsfunktion: f (x) = 1 β α Middelværdi: µ = α+β 2 Varians: σ 2 = 12 1 (β α)2 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
20 Uniform fordeling Konkrete Statistiske fordelinger Uniform fordeling Uniform fordeling U(4,5) Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
21 Konkrete Statistiske fordelinger Uniform fordeling Spørgsmål om uniform fordelt variabel (socrative.com, room: PBAC) Medarbejdere på en arbejdsplads ankommer mellem klokken 8.00 og Det antages, at ankomsttiden kan beskrives ved en uniform fordeling. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt medarbejder ankommer mellem 8.20 og 8.30? A: 1/2 B: 1/6 C: 1/3 D: 0 E: Ved ikke Svar C: 10/30=1/3 punif(30,0,30)-punif(20,0,30) [1] 0.33 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
22 Konkrete Statistiske fordelinger Uniform fordeling Spørgsmål om uniform fordelt variabel (socrative.com, room: PBAC) Medarbejdere på en arbejdsplads ankommer mellem klokken 8.00 og Det antages, at ankomsttiden kan beskrives ved en uniform fordeling. Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt medarbejder ankommer efter 8.30? Svar: P(X > 30) = 0 1-punif(30,0,30) [1] 0 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
23 Normalfordelingen Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Skrivemåde: X N(µ,σ 2 ) Tæthedsfunktion: f (x) = 1 (x µ)2 σ e 2σ 2 2π Middelværdi: µ = µ Varians: σ 2 = σ 2 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
24 Normalfordelingen Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen 0.5 Normalfordeling Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
25 Normalfordelingen Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Sammenligning af to normalfordelinger med forskellig middelvardi og ens varians 0.45 N(0,1 2 ) N(5,1 2 ) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
26 Normalfordelingen Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Sammenligning af tre normalfordelinger med ens middelvardi og forskellig varians Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
27 Normalfordelingen Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen En standard normalfordeling: Z N(0,1 2 ) En normalfordeling med middelværdi 0 og varians 1. Standardisering: En vilkårlig normalfordelt variabel X N(µ,σ 2 ) kan standardiseres ved at beregne Z = X µ σ DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
28 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel 2 Målefejl: En vægt har en målefejl, Z, der kan beskrives ved en standard normalfordeling, dvs Z N(0,1 2 ) dvs. middelværdi µ = 0 og spredning σ = 1 gram. Vi måler nu vægten af ét emne Spørgsmål a): Hvad er sandsynligheden for at vægten måler mere end 2 gram for lidt? DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
29 Eksempel 2 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen dnorm(z) z Svar: P(Z 2) = pnorm(-2) [1] DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
30 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel 2 Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for at vægten måler mindst 2 gram for meget? Svar: P(Z 2) = 1 P(Z < 2) = pnorm(2) dnorm(z) [1] z DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
31 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel 2 Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for at vægten måler mere end ±1 gram forkert? A: pnorm(1) - pnorm(-1) B: 2*pnorm(-1) C: 2*pnorm(1) D: Ved ikke Svar B: P(Z 1 Z > 1) = P(Z 1) + P(Z > 1) = 2P(Z 1) = *pnorm(-1) dnorm(z) [1] z DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
32 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel 3 Indkomstfordeling: Det antages, at blandt en gruppe lærere i folkeskolen, at lønnen kan beskrives ved en normalfordeling med middelværdi µ = og spredning σ = Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt lærer tjener mere end ? A: P(Z > ) B: P(Z > 300) C: P(Z > ) D: Ved ikke Svar: P(X > 300) = P(Z > ) = P(Z > 2) = X N(300,10 2 ) Z = X N(0,1 2 ) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
33 Eksempel 3 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Indkomstfordeling: Det antages, at blandt en gruppe lærere i folkeskolen, at lønnen kan beskrives ved en normalfordeling med middelværdi µ = og spredning σ = Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt lærer tjener mere end ? Svar: 1-pnorm(( )/10) [1] dnorm(z) 1-pnorm(300, mean = 280, sd = 10) [1] z DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
34 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel 4 Ny indkomstfordeling Det antages, at blandt en gruppe lærere i folkeskolen, at lønnen kan beskrives ved en normalfordeling med middelværdi µ = og spredning σ = Omvendt spørgsmål Angiv det interval, der dækker over 95% af læreres løn Svar: qnorm(0.025, mean = 290, sd = 4) [1] qnorm(0.975, mean = 290, sd = 4) [1] DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
35 Log-Normalfordelingen Konkrete Statistiske fordelinger Log-Normal fordelingen Skrivemåde: X LN(α,β 2 ) (Hvis X følger log-normal så følger log(x) normal) Tæthedsfunktion: f (x) = { 1 x 2πβ e (ln(x) α)2 /2β 2 x > 0, β > 0 0 ellers Middelværdi: µ = e α+β 2 /2 Varians: σ 2 = e 2α+β 2 (e β 2 1) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
36 Konkrete Statistiske fordelinger Log-normal fordelingen Log-Normal fordelingen 0.25 Log Normalfordeling LN(1,1) 0.2 LN(1,1) Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
37 Konkrete Statistiske fordelinger Log-normal fordelingen Log-Normal fordelingen Lognormal og Normalfordelingen: En log-normal fordelt variabel Y LN(α,β 2 ), kan transformeres til en standard normalfordelt variabel X ved dvs. X = ln(y) α β X N(0,1 2 ) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
38 Eksponentialfordelingen Eksponentialfordelingen Skrivemåde: X Exp(λ) Tæthedsfunktionen { λe λx x > 0 f (x) = 0 ellers Middelværdi µ = 1 λ Varians σ 2 = 1 λ 2 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
39 Eksponentialfordelingen Eksponentialfordelingen Eksponential fordeling med β= EXP(1) Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
40 Eksponentialfordelingen Eksponentialfordelingen Eksponentialfordelingen er et special tilfælde af Gammafordelingen Eksponentialfordelingen anvendes f.eks. til at beskrive levetider og ventetider Eksponentialfordelingen kan bruges til at beskrive (vente)tiden mellem hændelser i poissonproces DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
41 Eksponentialfordelingen Sammenhæng mellem eksponential- og poissonfordelingen Poisson: Diskrete hændelser pr. enhed Eksponential: Kontinuert afstand mellem hændelser t 1 t 2 tid t DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
42 Eksponentialfordelingen Eksempel 5 Eksempel 5 Kø-model - poissonproces Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponentialfordelt med middelværdi µ = 2 minutter. Spørgsmål: En kunde er netop ankommet. Hvad er sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter? Svar: 1-pexp(2, rate = 1/2) [1] 0.37 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
43 Eksponentialfordelingen Eksempel 6 Eksempel 6 Spørgsmål: En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. poissonfordelingen Svar: λ 2min = 1, P(X = 0) = e 1 1! 10 = e 1 dpois(0,1) [1] 0.37 exp(-1) [1] 0.37 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
44 Eksponentialfordelingen Eksempel 7 Eksempel 7 Andre tidsperioder: Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponentialfordelt med middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Spørgsmål: Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. poissonfordelingen Svar: λ 10min = 5, P(X = 0) = e 5 1! 50 = e 5 dpois(0,5) [1] DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
45 Regneregler for stokastiske variable Regneregler for stokastiske variable (Gælder BÅDE kontinuert og diskret) X er en stokastisk variabel Vi antager at a og b er konstanter. Da gælder: Middelværdi-regel: E(aX + b) = ae(x) + b Varians-regel: Var(aX + b) = a 2 Var(X) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
46 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 8 Eksempel 8 X er en stokastisk variabel En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. Spørgsmål: Beregn middelværdi og varians for Y = 3X + 2 Svar: E(Y) = 3E(X) + 2 = = 10 Var(Y) = ( 3) 2 Var(X) = 9 6 = 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
47 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 8 Regneregler for stokastiske variable X 1,...,X n er stokastiske variable Da gælder (når de er uafhængige): Middelværdi-regel: E(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) a n E(X n ) Varians-regel: Var(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 2 1 Var(X 1) a 2 nvar(x n ) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
48 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 9 Eksempel 9 Flypassager-planlægning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70,10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Spørgsmål: Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet Hvad er Y=Total passagervægt? Hvad er Y? I hvert fald IKKE: Y = 55 X!!!!!! DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
49 Eksempel 9 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 9 Hvad er Y=Total passagervægt? Y = 55 i=1 X i, hvor X i N(70,10 2 ) Middelværdi og varians for Y: E(Y) = Var(Y) = 55 i=1 55 i=1 E(X i ) = Var(X i ) = 55 i=1 55 i=1 70 = = = = 5500 Bruger normalfordeling for Y: 1-pnorm(4000, mean = 3850, sd = sqrt(5500)) [1] DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
50 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 9 Eksempel 9 - FORKERT ANALYSE Hvad er Y? I hvert fald IKKE: Y = 55 X!!!!!! Middelværdi og varians for Y: E(Y) = = 3850 Var(Y) = 55 2 Var(X) = = Bruger normalfordeling for Y: 1-pnorm(4000, mean = 3850, sd = 550) [1] 0.39 Konsekvens af forkert beregning: MANGE spildte penge for flyselskabet!!! DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
51 Oversigt Regneregler for stokastiske variable Eksempel 9 1 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Tæthedsfunktion Fordelingsfunktion Middelværdi af en kontinuert stokastisk variabel Varians af en kontinuert stokastisk variabel 2 Konkrete Statistiske fordelinger Kontinuerte fordelinger i R Uniform fordeling Eksempel 1 Normalfordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 Eksempel 4 Log-Normal fordelingen 3 Eksponentialfordelingen Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 8 Eksempel 9 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 55
enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereModul 3: Kontinuerte stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereEksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter.
Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 1 Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereNanostatistik: Middelværdi og varians
Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Den flerdimensionale normalfordeling, fordeling af ( X,SSD) Helle Sørensen Uge 9, mandag SaSt2 (Uge 9, mandag) Flerdim. N, ford. af ( X,SSD) 1 / 16 Program Resultaterne
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereModul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................
Læs mereAlmindelige kontinuerte fordelinger
Almindelige kontinuerte fordelinger Den uniforme fordeling Symbol: X Uniform a,b Beskrivelse: Et tilfældigt tal mellem a og b. Støtte: V X a, b. Tæthedsfunktion: f x 1/ b a for x a,b Fordelingsfunktion:
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Transformation af kontinuerte fordelinger på R, flerdimensionale kontinuerte fordelinger, mere om normalfordelingen Helle Sørensen Uge 7, onsdag SaSt2 (Uge 7, onsdag)
Læs mereForelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning)
Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereOversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.1
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.1 April 2013 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereProgram. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration
Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mere02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)
02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mere