Sandsynlighedsregning i biologi

Transkript

1 Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6. Hvis vi får at vide, at sadsylighede for, at e mad er rød-grø farveblid, er 5%, er vi også umiddelbart klar over, hvad det betyder. Alligevel er de to sadsyligheder meget forskellig af atur. I tilfældet med terige behøver vi ikke at kaste de for at kue udtale os om sadsylighede for at få e femmer; de er ærmest givet på forhåd. E såda sadsylighed kaldes e a priori sadsylighed. I tilfældet med farveblidhede forholder det sig aderledes. For at vi skal have e chace for at kue udtale os om sadsylighede her, må vi have ogle statistiske oplysiger om rød-grø farveblidhed for mæd. E sadsylighed, der bestemmes på dee måde, kaldes e frekvetiel sadsylighed. Øvelse 1 Hvad er sadsylighede for at få plat ved kast med e møt? Øvelse 2 Vi kaster e tædstikæske på gulvet. Hvad er sadsylighede for, at de lader på svovlet? Øvelse 3 25 ud af kvider er rød-grø farveblide. a) Hvad er sadsylighede for, at e kvide er rød-grø farveblid. b) Hvad ka årsage være til forskelle på farveblidhed hos mæd og kvider? Øvelse 4 a) Overvej i hvert tilfælde i øvelse 1 til 3, om der er tale om e a priori sadsylighed eller e frekvetiel sadsylighed. b) Fid selv ogle eksempler på heholdsvis a priori sadsyligheder og frekvetielle sadsyligheder. Betiget sadsylighed Øvelse 5 Aders og Bet er kokke på restaurat Bayes i heholdsvis 6 dage og 1 dag om uge. Aders mad er god i 90% af tilfældee, mes Bets mad er god i 50% af tilfældee. E afte serverer Bayes et eledigt måltid. a) Syes du umiddelbart, det er rimeligt at kokludere, at det er Bet, der har lavet made de afte? b) I de uge er der blevet serveret måltider på Bayes. Fordel de måltider i følgede skema: Aders Bet Godt Dårligt c) Hvor mage dårlige måltider er der blevet serveret i de uge? d) Hvor mage af dem har Bet lavet? e) Hvad er sadsylighede for, at et dårligt måltid er lavet af Bet? De sadsylighed, vi fider i sidste spørgsmål i øvelse 5 kaldes e betiget sadsylighed. Vi fider emlig sadsylighede for, at det er Bet, der har lavet made, år vi ved, at måltidet er dårligt. Dee sadsylighed vil vi betege P(Bet Dårligt) eller kort P(B D). I skemaet i øvelse 5 bør I have fudet frem til, at Aders har lavet 60 og Bet 50 dårlige måltider. Der er altså i alt lavet 110 dårlige måltider de uge, og sadsylighede for, at et tilfældigt måltid er dårligt, er Sadsylighedsregig i biologi 1

2 således 110/. Dee sadsylighed kalder vi P(D). Sadsylighede for at få et måltid, der både er lavet af Bet og er dårligt, er 50/, og dee sadsylighed kalder vi P(B D). Der gælder u ifølge sidste spørgsmål i øvelse 5, at 50 P(B D) = = P(B D) =. P(D) Vi har altså idført e betiget sadsylighed P(B D) og har fudet e formel, som ka bruges til beregig af de. P(B D) P(B D) =. P(D) Skrivemåde B D svarer til, at vi ser på de måltider, der lavet af Bet og er dårlige. På samme måde svarer A G til de måltider, der er lavet af Aders og er gode. Tallee i skemaet fra øvelse 5 ka oversættes til sadsylighedere eller Godt Dårligt Aders P(A G) P(A D) Bet P(B G) P(B D) Aders Bet Godt Dårligt Øvelse 6 Ligesom P(D) i oveståede er sadsylighede for at få et dårligt måltid, er P(A) sadsylighede for, at et tilfældigt måltid er lavet af Aders. a) Fid P(A). b) Fid også P(B) og P(G) og forklar med ord, hvad disse sadsyligheder betyder. c) Fid P(A D), P(B G).og P(A G) og forklar med ord, hvad disse sadsyligheder betyder. Defiitio Ved de betigede sadsylighed P(A B) forstår vi sadsylighede for, at A sker uder forudsætig af, at B er sket, og P(A B) er givet ved formle P(A B) P(A B) =, hvor det er forudsat, at P(B) > 0. P(B) Eksempel 1 På Miikøbig Gymasium og HF fordelte atallet af elever sig et år således Gymasieelever Hf-elever I alt Drege Piger I alt Med G forstår vi, at e elev er gymasieelev, og med D forstår vi, at e elev er e dreg. Vi ser af skemaet, at P(G) = 135/250, P(D) = 113/250 og P(G D) = 64/250. De betigede sadsylighed P(G D) er så: P(G D) P(G D) = = P(D) = 56,6%. 113 Sadsylighedsregig i biologi 2

3 Tager vi e tilfældigt valgt dreg på Miikøbig Gymasium og HF, er der altså kap 57% chace for, at ha går i gymasiet. Øvelse 7 Udreg P(D G) og beskriv med ord, hvad dee sadsylighed betyder. Øvelse 8 Vis ved hjælp af defiitioe ovefor, at P(A B)P(B) P( B A) =. P(A) Fælles for de idledede eksempler og øvelser er, at der eksisterer e række alterative muligheder, hvis sadsylighed ma udtaler sig om. Disse alterativer kalder ma også for udfald, og alle udfaldee udgør tilsamme udfaldsrummet. Delmægder af udfaldsrummet kaldes hædelser. To hædelser kaldes disjukte, hvis de ikke har oge udfald til fælles. I eksempel 1 udgøres udfaldsrummet af de 250 elever, der går på Miikøbig Gymasium og HF, og G er et eksempel på hædelse, at e tilfældigt valgt elev er e gymasieelev. Hvis H beteger hædelse, at e tilfældigt valgt elev er e Hf-elev, er G og H disjukte. Ma siger også, at G og H udelukker hiade. Ma ka desude se, at G og H tilsamme udgør hele udfaldsrummet. Sætig (Bayes formel) Hvis et udfaldsrum er delt op i hædelser H 1, H 2,, H, som er parvis disjukte, og der er givet e hædelse A med P(A) > 0, så vil P(H i P(A Hi )P(H i ) A) =, P(A H )P(H ) + P(A H )P(H ) + + P(A H )P(H ) for i = 1, 2,, Bevis: Vi ka dele udfaldee i A op i de udfald, der ligger i H 1, de udfald, der ligger i H 2, de udfald, der ligger i H 3 osv. Derfor bliver P(A) = P(A H ) + P(A H ) + + P(A H ). 1 2 Af defiitioe på betiget sadsylighed ka vi omskrive dette til P(A) = P(A H1 )P(H 1) + P(A H2)P(H2) + + P(A H Fra øvelse 8 ved vi, at P(A Hi )P(Hi ) P(H i A) =, P(A) og idsætter ma u udtrykket for P(A) i ævere, fås sætige. )P(H ) Sadsylighedsregig i biologi 3

4 Retsgeetik- case. Case: Alle bør skal have e fader. Biologisk baggrudsstof: - DNA molekylet. - Cellekere med 46 kromosomer. - Meiose (ikke overkrydsig) - Et-gesedarvig: cystisk fibrose, Hutigtos Chorea, blodtyper ABO, rhesus og blødersygdom/farveblidhed Øvelse 9 Hvor mage forskellige køsceller ka daes ved e meiotisk delig ude overkrydsig og ude mutatioer? Hvad er frekvese af cystisk fibrose i de daske befolkig? (fid det evt. på ettet) Et ægtepar har fået to ormale bør og et bar med cystisk fibrose og veter et fjerde bar. Hvilke geotype har fadere og modere? Opskriv et edarvigsskema. Hvad er sadsylighede for, at det vetede bar får cystisk fibrose? Hvorda ka ma udersøge om fosteret har cystisk fibrose? Øvelse 10 E kvide på 25 år veter et bar. Kvides far på 51 år har lige fået kostateret Hutigtos Chorea. Hvad er sadsylighede for at kvide har arvet geet for sygdomme? Vil du råde kvide til e geetisk test? Øvelse 11 Aalyse af stamtræ med blødersygdom f.eks. droig Victorias. Udregig af sadsylighede for udvalgte persoers geotype. Forsøg: - DNA opsamlig f.eks. fra løg + DNA elektroforese. - Et-geedarvig hos byg. - Blodtypebestemmelse. - Farveblidhedsudersøgelse. Øvelse 12 Faderskabssag: Moder har blodtype A, baret har B. Følgede mæd gør krav på faderskabet: e med blodtype A, e med blodtype O, og e med AB. Hvilke geotype har modere og baret? Hvilke mæd ka straks udelukkes? B B B Hvor stor er sadsylighede for barets geotype, givet at fadere har geotype I I, I i og A B I I? Hvor stor er sadsylighede for, at de oveståede mæd er far til baret år edeståede geotypefordelig er gældede? Tabel over geotypefordelige i de daske befolkig: Geotype A A I I A B I I A I i B B I I B I i ii Fæotype A AB A B B 0 Frekves % ,84 0,64 10,24 40,96 Kotroller die resultater på Er det rimeligt at tilkede faderskabet på dette grudlag? Sadsylighedsregig i biologi 4

5 A Avedelse af Bayes formel: (f= farther, c=child, vi skriver A i stedet for I og B i stedet for I B, og c i stedet for cbi på højresidere af ligige). P( fab cbi) = P(fAB c) = P(c fab)p(fab) P(c fbi)p(fbi) + P(c fbb)p(fbb) + P(c fab)p(fab) + P(c f ii)p(fii) + P(c faa)p(faa) + P(c fai)p(fai) Teori: PCR Bruges til at opformere et lille stykke DNA i mage kopier. Stykket udvælges ved at fide to stykker DNA, primers, der ligger på hver side af det øskede stykke DNA. Det svarer til, at ma i de daske sagskat leder efter stykket mellem Mariehøe Evigglad gik tur og Evigglad til madam Segl. Det vil etydigt give de sag, og ikke oget som helst adet. Hvis ma leder mellem viter og vår, så får ma sikkert mage forskellige stykker ud af det. Der fides flere forskellige aimatioer af PCR på ettet, f.eks. (hvis ma har chock wave) (hvor ma dog ikke ka se forskel på korte og halvlage DNA stykker). Øvelse 13 Gør rede for, at efter kopieriger ud fra 1 lagt, dobbeltstregede DNA, er der 2 2 stykker af det søgte (korte) dobbeltstregede DNA. (Hit: Tæl ekeltstregee i stedet for dobbeltstregee, og hold styr på, hvor mage af stregee, der har de opridelige lægde, hvor mage der er halvlage, og hvor mage der er korte, me som sidder på de halvlage.) Teori: STR Ma reger med, at vi bruger 0,5% af vores DNA. Id imellem det livsvigtige DNA er der mage stykker DNA, hvori der ka ske ædriger ude at det får kosekveser for idividet. E af disse typer ædriger er, at et stykke DNA repeteres. Et kopieret stykke kue f.eks. bestå af stykket GAGGCA, der optræder i et helt atal getagelser på et bestemt sted på et bestemt kromosom. STR står for Short Tadem Repeats, og e STR på 8 betyder, at stykket optræder i 8 kopier. Ma har fudet flere steder på det meeskelige kromosom, hvor sådae getagelser optræder. Heraf udvælger ma de steder, hvor meesker varierer meget, og hvor der sker meget få mutatioer fra geeratio til geeratio, idet e høj mutatiosrate vil ødelægge avedelse i faderskabssager. Der er typisk mellem 6 og 30 kopier af e bestemt sekves. Hvis 2 meesker er forskellige i såda et STR sted, vil forskelle derfor være et multiplum af lægde af stykket. Da de stykker DNA, som ma udvider vha. PCR, er baser lage, er ma faktisk i stad til at adskille 2 stykker DNA, der afviger med bare 4 baser. Det DNA, der er daet i PCR, ka evetuelt klippes med restriktiosezymer. Så skal ezymere klippe primer-edere af, me de må ikke klippe i selve STR stedet. Til forskel for adre aalyser, er STR emlig ikke bestemt af, hvor restriktiosezymere klipper, me ku af hvor mage getagelser der er. Ma skal så være sikker på, at restriktiosezymere klipper es hos alle meesker. E persos geotype for e bestemt STR regio agives med et talsæt, f. eks. (8,12), hvor ma har arvet et stykke med 8 sekveser fra de ee forælder og et stykke med 12 sekveser fra de ade forælder. Teori: Elektroforese Da DNA er egativt ladet, vil DNA stykker vadre mod de positive pol i et elektrisk spædigsfelt. I e agarose- eller polyacrylamid-gel, vil små stykker DNA vadre hurtigst, og derfor lægst. Med farvig vil ma derfor kue se forskellige båd af DNA stykker. Ma sætter også e prøve, der ideholder mage forskellige DNA stykker med kedt lægde i elektroforese, så har ma e lieal. På figur 1 er 12 STR sites valgt ud og iddelt i 3 grupper, således at ma laver 4 tests samme i hver elektroforese. På grud af stykkeres størrelser, vil de adskille sig pæt i 4 veldefierede grupper i hver af de 3 elektroforesere. Sadsylighedsregig i biologi 5

6 Figur 1 På hver af de tre elektroforeser ses 4 lodrette liealer. Hver eeste vadret streg er e portio DNA med et bestemt atal getagelser. De øverste til vestre har således mellem 7 og 16 getagelser, de æste er mellem 6 og 13. I de tre mellemrum mellem liealere er der i alt 6 persoer L1 L6. Bemærk, at hver perso har 1 eller 2 streger i hvert STR site. Kilde: New approaches to DNA Figerpritig Aalysis af J.W. Schumm, Notes magazie Number 58, 1996 p. 12. Øvelse 14 Prøv at aflæse STR talsættee for persoere L1 L6 i e af de 12 STR regioer på figure. Klasse ka fordele regioere eller persoere mellem sig, så alle persoere får aflæst deres 12 talsæt. Øvelse 15 Mor er (10,12) i e bestemt STR regio, baret er (12,12), ægtemade er (10,12). Ka ægtemade være far til baret? Ka ma med sikkerhed sige, at ha er far til baret? Øvelse 16 I de daske befolkig er P(10)=0,28425, P(12)=0,25942, P(X)=0,45634 (X er alt adet). Hvad er sadsylighede for, at e tilfældig perso i befolkige er (10,12)? Defiitio: Faderskabskvotiet = P(modere og de give mad får dette bar) P(modere og e tilfældig mad fra populatioe får dette bar) Eksempel 2 I opgave ovefor har baret fået r 12 fra både mor og far. Sadsylighede for at ægtemade giver 12 til baret er 0,5, mes sadsylighede for, at e tilfældig mad giver 12 til baret er 0, Vi defiere så faderskabskvotiet som 0,5 = 1,9274. Det betyder, at ægtemade er 1,92 gage så sadsylig som far til baret ed e 0,25942 tilfældig mad af dask afstamig. Sadsylighedsregig i biologi 6

7 Eksempel 3 Mor er (10,12), baret er (10,12); ægtemade er (12,12). Hvis ægtemade er far giver ha 12 og modere giver 10, me hvis e tilfældig mad er far, ka modere give ete 10 eller 12 og made giver så 12 eller 10. Vi får altså at: 0,5 1 Faderskabskvotiete = = 1, 9 0,5 0, ,5 0,28425 Øvelse 17 Et adet sted på kromosomere sidder e ade STR regio, hvor P(14)=0,508, P(16)=0,373 og P(X)=0,119 =P(alt muligt adet ed 14 og 16) Hvis mor er (14,16), baret er (x,16) og far er (x,16), Hvad er så faderskabskvotiete? Eksempel 4 Hvis to forskellige STR regioer giver faderskabskvotieter på hhv. 1,355 og 1,281, er Faderskabsidekset = 1,355 1,281 = 1, 735 Øvelse 18 Tag resultatere fra øvelse 17 og eksempel 3. Hvad bliver det samlede faderskabsidex for de 3 sites? Øvelse Er der oget, der taler imod, at Peter Jese (skemaet æste side) er far til baret? 2. Bereg faderskabsidekset og overstreg for eller imod og større eller midre i tekste. 3. Kommer made til at betale for baret ifølge retsmedicieres regler? 4. Er et rimeligt tal for faderskabsidekset sammeliget med f.eks. 1000? Fid ud af, hvor mage meesker, der er i di by. Reg med at halvdele er mæd og halvdele af disse er i e attraktiv alder. Giv ud fra faderskabsidekset et skø over, hvor mage af disse mæd, der kue være fader til baret. 5. Hvad er grude til, at beregigere ikke gælder ved sammeligig med e ær slægtig? Sadsylighedsregig i biologi 7

8 Retsgeetisk Afdelig Retsmedicisk Istitut Rekviret: Dommere i Miikøbig Sagstype: Faderskabssag Rekvirets J.r. Kvide: Birte Jese Bar: Lie Jese Mad: Peter Jese Blodprøver fra made: Resultater: Geetisk system Kvide Bar Mad D3s P(11)=0,201 P(14)=0,313 P(18)=0,345 P(X)=0,141 HumVWA P(15)=0,391 P(16)=0,041 P(17)=0, P(X)=0,325 FGA P(20)=0,301 P(21)=0,121 P(22)=0, P(23)=0,386 P(X)=0,146 D8s P(8)=0,156 P(12)=0,388 P(15)=0, P(X)=0,2 D21s P(30)=0,219 P(31)=0,332 P(32)=0, P(X)=0,16 D18s P(12)=0,385 P(14)=0,228 P(15)=0, P(X)=0,178 D5s P(8)=0,276 P(10)=0,391 P(11)=0, P(X)=0,133 D13s P(9)=0,433 P(10)=0,012 P(11)=0, P(12)=0,185 P(X)=0,2 D7s P(9)=0,129 P(10)=0, P(X)=0,579 Faderskabsideks: Resultatere taler for/imod mades faderskab til baret med e vægt større/midre ed til 1. Resultatere taler således for/imod at de udersøgte mad er mere/midre ed gage mere sadsylig som far til baret ed e tilfældig mad af dask afstamig. Beregigere gælder ikke ved sammeligig med e ær slægtig til made. Odds Odds for e hædelse defieres som sadsylighede for hædelse divideret med sadsylighede for de komplemetære hædelse. Faderskabskoefficiete er sadsylighede for de give far divideret med sadsylighede for e hvilke som helst far, altså stort set faderes odds for faderskabet. Selv om fadere ikke specifikt er trukket ud af pulje til beregige af ævere, går vi ud fra, at pulje af mulige fædre er så stor, at det er uderordet om ha er talt med eller ej. Redigeret af Helle Aagaard-Hase, oktober 2004 Sadsylighedsregig i biologi 8