FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( )

Transkript

1 FORDELINGER: HYERGEOMETRIS FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI Mddelværd MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt U, ( ) Mddelværde af X beteges ( X ) bare µ V deferer: E ( X ) = X ( u) ( u) u U E eller kort µ X eller Bemærk, at dette altså også gælder for kke-symmetrske, edelge U, sadsylghedsfelter ( ) SÆTNING 1 For X og Y, der er stokastske varable på et edelgt sadsylghedsfelt ( ) for c R gælder: E ( c) = c E( c X ) = c E( X ) E ( X + Y ) = E( X ) + E( Y ) U, og c R skal dee sammehæg forstås som e kort skrvemåde for e stokastsk varabel Y, deferet ved følgede forskrft, u U : Y ( u) = c Øvelse 1 Bevs sætg 1 12g mat (JL) ovember 2009 s 1

2 SÆTNING 2 X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt ( U, ) Lad Vm ( X ) { x x, } Der gælder så: =,, 1 2 x E( X ) = x ( X = ) = 1 x Bevs For = 1,2,, fastlægger v følgede hædelser, det vl sge delmægder af H = u U X u = udfaldsrummet U ved { ( ) } x Hædelsere H, H, 1 2, H udgør da e klassedelg af U, det vl som bekedt sge, at H, H, 1 2, H er dsjukte, kke tomme hædelser udfaldsrummet U og U = H H 1 2 H For de ekelte = 1,2,, gælder åbebart: u H ( u) ( u) = x ( u) = x ( u) = x ( H ) X Hermed får v: E u H ( X ) = X ( u) ( u) = = = u U u H1 u H ( u) ( u) + X ( u) ( u) + + X ( u) ( u) X = 1 u H = 1 X x u H 2 ( u) ( u) ( X = ) x Hermed er sætge bevst u H 12g mat (JL) ovember 2009 s 2

3 Stokastsk varabel, fordelgsfukto og sadsylghedsfordelg V ka bruge e stokastsk varabel tl at defere hædelser (delmægder) det U,, som X er deferet på udfaldsrum U, der hører tl det sadsylghedsfelt ( ) For s, t R bruger v ( X t) = som e kort skrvemåde for ({ u U X ( u) = t }) Der gælder { u U X ( u) = t } U ( U, ) og dermed er dee mægde e hædelse Tlsvarede bemærkger gælder for ( X t) = ( { u U X ( u) t }), ( X < t) = ( { u U X ( u) < t }), ( X t) = ( { u U X ( u) t }), ( X > t) = ( { u U X ( u) > t }), ( s X t) = ( { u U s X ( u) t }) osv, osv Specelt teresserer v os for og gver specelle ave tl ( X = t) og ( X t) X er e stokastsk varabel, deferet på et U, sadsylghedsfelt ( ) FORDELINGSFUNTION (TYS: WAHRSCHEINLICHEITSFUNTION) DEFINTION Fuktoe F ( t) = ( X t) med Dm( F ) = R og Vm ( F ) [ 0,1] kaldes fordelgsfuktoe for X For at uderstrege sammehæge skrver v ofte F X F X ( t) kaldes også de kumulerede sadsylghed for t Det ses umddelbart, at e fordelgsfukto ( t) følgede egeskaber: F X for e stokastsk varabel X har F er aldrg aftagede, lm ( t) = 0 X F X t og lm ( t) = 1 F X t 12g mat (JL) ovember 2009 s 3

4 X er e dskret stokastsk varabel, deferet på et edelgt U, eller tællelgt sadsylghedsfelt ( ) SANDSYNLIGHEDSFORDELING, FREVENSFUNTION (TYS: WAHRSCHEINLICHEITSVERTEILUNG) DEFINTION Fuktoe ( t) = ( X t) f = med Dm( f ) = R og Vm ( f ) [ 0,1] kaldes sadsylghedsfordelge eller frekvesfuktoe for X For at uderstrege sammehæge skrver v ofte f X Øvelse 2 Betragt det stokastske ekspermet, der består at kaste e far møt 3 gage Lad X være de stokastske varabel, der tæller atallet af gage, møte vser tal -sde Teg samme koordatsystem e graf for F og et stolpedagram for f Betragt det stokastske ekspermet, der består at kaste e terg Lad Y være de stokastske varabel, der agver atallet af øje, som terge vser Teg samme koordatsystem e graf for F Y og et stolpedagram for f Y Beskrv sammehæge mellem grafe for fordelgsfuktoe og stolpedagrammet for sadsylghedsfordelge X X Hypergeometrsk fordelg, stkprøve ude tlbagelægg Lad os først se på et eksempel Eksempel: pger og drege på et matematkhold å et matematkhold med 13 elever er der 4 pger og 9 drege Der skal tlfældgt (ved lodtrækg eller adet) sammesættes e (kke-ordet) gruppe, beståede af 5 elever alt 13 elever, heraf 4 p 9 d 5 12g mat (JL) ovember 2009 s 4

5 Øvelse 3 De 4 pger er Aa, Berta, Chrste og Dors De 9 drege er Erk, Fdo, Gert, Has, Ib, Jes, laus, Ludwg og Mads (v ka forkorte deres ave tl A, B, C,, M) Hvorda ser det stokastske ekspermet dee sammehæg? Hvorda udfaldsrummet? Gv et eksempel på et mulgt udfald! Er udfaldsrummet edelgt? Er det symmetrsk? Lad os se på e stokastsk varabel X, deferet så ( u) udvalget X agver atallet af pger Udfra prcppet for beregg af hædelses-sadsylgheder edelge, symmetrske udfaldsrum ka v berege feks ( X = 3) atal = udfald hædelse atal udfald U { X = 3} = 4,3 13,5 9, = = ,1119 { = 3} { X = 3} er e kort skrvemåde for hædelse u U X ( u) Med e sadsylghed på ca 0,1119 deholder gruppe altså etop 3 pger V ka umddelbart geeralsere vores eksempel tl type A alt N elemeter, heraf q X : atal type A bladt de q N type kke-a Sktse skal llustrere, at v ser på e mægde med N elemeter, hvoraf er af type A Bladt de N elemeter udtager v et udvalg på q elemeter og tæller ved hjælp af vores stokastske varabel X atallet af type-a-elemeter bladt de q udvalget V taler også om at v har udtaget e stkprøve på q elemeter ude tlbagelægg Dermed meer v, at v har udtaget de q elemeter ete på é gag eller é efter é, me ude at lægge de udtage tlbage buke de udtagg af det æste elemet stkprøve Et elemet ka altså højst optræde é gag stkprøve 12g mat (JL) ovember 2009 s 5

6 Hvs v vl betoe dette aspekt, ka v otere det vores sktse: type A alt N elemeter, heraf stkprøve ude tlbagelægg: q X : atal type A bladt de q N type kke-a For = 0,1, 2,3,, m, hvor m = m( {, q }), gælder derefter:, N, q = = ( X ) De stokastske varabel X sges at være hypergeometrsk fordelt og skrver kort: N, q X ~ h ( q, N ), De hypergeometrske fordelg bestemmes altså af tre parametre; q : atal elemeter stkprøve, : atal af type-a-elemeter de samlede mægde og N : atal elemeter de samlede mægde De stokastske varabel X fra overvejelse med vores matematkhold på s 4 er h 5, 4,13 altså fordelt X ~ ( ) SÆTNING 3: HYERGEOMETRIS FORDELING Med e beskrvelse som ovefor gælder for e hypergeometrsk fordelt stokastsk h q,, N, for 0,1, 2,3,, m m = m, q : varabel X ~ ( ) ( X ), N, q = = N, q =, hvor ({ }) Bevs Se ovefor 12g mat (JL) ovember 2009 s 6

7 V ka altså beskrve sadsylghedsfordelge for de hypergeometrsk fordelte h q,, N : stokastske varabel X ~ ( ) f X ( t) =, t N 0 N, q t, q for t = 0,1,2,3,, m, hvor ellers m = m ({, q }) De tlhørede fordelgsfukto ka bereges ved ( t) = ( X t) = ( X t] ) = ( X = 0) + ( X = 1) + ( X = 2) + + ( X ) m( {[ t], q }) F X [ =, hvor =, ESURS GAUSS TRAEFUNTION ( x) = x] = for x < + og G [ 1 Z G ( 9 ) = 9, G ( 1,7) = 1, G ( 3) = 3, ( 1,2) = 2 ( x) G G er altså det største hele tal, der er mdre ed eller lg med x Heruder er der teget stolpedagram for de hypergeometrske stokastske varabels sadsylghedsfordelg f X ( ) = ( X = ) og fordelgsfukto = X for 0,1, 2,3,, m m = m, q : F X ( ) ( ) =, hvor ({ }) X~h(q,, N), sere 1: (X=), sere 2: (X<=) 1,2000 1,0000 0,8000 0,6000 0,4000 0,2000 0, (X=) (X<=) X ~ h ( q, N ), med parametree q = 10, = 70, N = g mat (JL) ovember 2009 s 7

8 SÆTNING 4: HYERGEOMETRIS FORDELING, MIDDELVÆRDI For e hypergeometrsk fordelt stokastsk varabel X ~ h ( q, N ) E ( X ) = q N, gælder: I eksemplet med matematkholdet fra s 4 gælder altså: 4 20 E ( X ) = 5 = 1, 54 Læg mærke tl, at mddelværde (vores Erwartugswert ) her atager e værd, som de stokastske varabel slet kke ka atage Hvs v laver mage forskellge grupper med 5 elever bladt de 13 på holdet, vl der geemst altså være 1,54 pger gruppere Øvelse 4 Bereg ( X ) E for de stokastske varabel X fra beskrvelse af matematkholdet på s 4 drekte ved hjælp af sætg 2 Bemærkg For e stokastsk varabel X ~ h ( q,, N ) med E( X ) j og j N 0, hvor j fremkommer ved ormal afrudg af E ( X ), gælder kke ødvedgvs, at ( X = j) er de størst mulge værd af f X ( t) For X ~ h ( 30, 45,100) gælder feks E ( X ) =13,5 14, me samtdgt ( X = 13 ) 0,1696 > 0,1690 ( X = 14) Bomalfordelg, stkprøve med tlbagelægg Lad os først se på et eksempel Eksempel: pger og drege på et matematkhold å et matematkhold med 13 elever er der 4 pger og 9 drege (det er det samme hold som beskrevet på s 4) De 4 pger er som ævt Aa, Berta, Chrste og Dors De 9 drege er Erk, Fdo, Gert, Has, Ib, Jes, laus, Ludwg og Mads (v ka forkorte deres ave tl A, B, C,, M) Lærere er ldt glemsom og starter hver tme med at spørge e tlfældgt udvalgt elev, hvad holdet har arbejdet med de foregåede tme Lærere er faktsk ret glemsom, så valget falder helt tlfældgt på é af de 13 elever og altså også fuldstædg ude 12g mat (JL) ovember 2009 s 8

9 hesy tl, om de valgte elev også blev spurgt om det samme de foregåede tme V ka altså sktsere de grudlæggede stuatoe således: alt 13 elever, heraf 4 p 9 d 1 Hvs hver af elevere har samme sadsylghed for at blve spurgt og v deferer e hædelse Q = { A, B, C, D} (Q er altså de hædelse, at de adspurgte er e pge), 4 har v altså p = ( Q) = Dee sadsylghed kalder v prmærsadsylghede 13 E af elevere Berta, der er holdets lgeberettgelsesasvarlge begyder at teressere sg for, hvem der spørges, og laver over e perode på 20 tmer e lste over de adspurgte, det hu dog ku oterer, om lærere har stllet spørgsmålet tl e pge eller tl e dreg alt 13 elever, heraf 4 p 9 d 1 oteres: p eller d getages: 20 gage X : atal p bladt de 20 V taler også om at v har udtaget e stkprøve på 20 elemeter med tlbagelægg Dermed meer v, at v har udtaget de 20 elemeter é efter é, og såda, at de udtage er lagt tlbage buke de udtagg af det æste elemet stkprøve Et elemet ka altså ude vdere optræde mere ed é gag stkprøve Atallet af getagelser, her altså de 20, kalder v også lægde Dee formulerg kue v sktsere: alt 13 elever, heraf 4 p 9 d 1 oteres: p eller d getages: 20 gage stkprøve med tlbagelægg: 20 X : atal p bladt de 20 12g mat (JL) ovember 2009 s 9

10 Bertas otat ka altså feks se såda ud: ppddp dppdd pdppd ddddp Sadsylghede for at otatet ser etop sådat ud (altså vser p er og d er etop dee rækkefølge) må være: ( Q) ( Q) ( 1 ( Q) ) ( 1 ( Q) ) ( Q) ( 1 ( Q) ) ( Q) ( Q) ( 1 ( Q) ) ( 1 ( Q) ) ( Q) ( 1 ( Q) ) ( Q) ( Q) ( 1 ( Q) ) ( 1 ( Q) ) ( 1 ( Q) ) ( 1 ( Q) ) ( 1 ( Q) ) ( Q) = p p ( 1 p) ( 1 p) p ( 1 p) p p ( 1 p) ( 1 p) p ( 1 p) p p ( 1 p) ( 1 p) ( 1 p) ( 1 p) ( 1 p) p = p 9 ( 1 p ) = 4, = De rækkefølge, som Berta har oteret: ppddp dppdd pdppd ddddp deholder etop 9 p er I alt fdes der 20, 9 forskellge mulge rækkefølger af 9 p er og 11 d er Hver af dsse forskellge rækkefølger må have samme sadsylghed, emlg de etop fude = 4, Der må altså gælde: ( X = 9) = 20, , , V sger, at de stokastske varabel X er bomalfordelt med prmærsadsylghed 4 p = og lægde q = g mat (JL) ovember 2009 s 10

11 V ka umddelbart geeralsere vores eksempel tl type A alt N elemeter, heraf 1 oteres: A eller kke-a getages q gage stkprøve med tlbagelægg: q X : atal type A bladt de q N type kke-a Sadsylghede for udtagge af ét elemet at få e type A er p = ( A) =, N hvor A er de hædelse, at det udtage elemet er af type A Dee sadsylghed kalder v prmærsadsylghede V taler også om at v har udtaget e stkprøve på q elemeter med tlbagelægg Dermed meer v, at v har udtaget de q elemeter é efter é, og såda, at de udtage er lagt tlbage buke de udtagg af det æste elemet stkprøve Et elemet ka altså ude vdere optræde mere ed é gag stkprøve Atallet af getagelser, her altså de q, kalder v også lægde V behøver mdlertd kke at se på det som e udtagg af e stkprøve V ka også bare tæke på det som q getagelser af det samme stokastske ekspermet (feks kast med e terg), hvor v ser på om v får et resultat A eller resultatetet kke-a (feks at få e 6 er eller kke at få e 6 er) E såda getagelses-sere kaldes på tysk e Beroull-ette rmærekspermetet, der getages e såda kæde, kaldes på tysk et Beroull-Expermet efter matematkere Jakob Beroull ( ) Et Beroull-Expermet er kedeteget ved at have etop 2 mulge udfald De stokastske varabel X er så bomalfordelt med lægde q og b q, p prmærsadsylghed p: X ~ ( ) For = 0,1, 2,3,, q gælder der q ( X = ) = p ( 1 p) q, 12g mat (JL) ovember 2009 s 11

12 SÆTNING 8: BINOMIALFORDELING Med e beskrvelse som ovefor gælder for e bomalfordelt stokastsk varabel b q, p, for = 0,1, 2,3,, q : X ~ ( ) q ( X = ) = p ( 1 p) q, Med p = ka dette formuleres: N ( X ) q q, = = 1 N N Bevs Se ovefor Øvelse 5 E far møt kastes 12 gage Hvad er sadsylghede for, at møte etop 4 gage vser tal? E terg kastes 9 gage Hvad er sadsylghede for, at møte etop 3 gage vser ete 1 eller 2? Et medkamet, der atages at vrke på 3 1 af patetere, testes på 200 pateter Hvad er sadsylghede for, at medkametet vrker på etop 67 af patetere? V ka altså beskrve sadsylghedsfordelge for de bomalfordelte stokastske b q, p : varabel X ~ ( ) f X ( t) ( 1 p) t q t q, t p for t = 0,1,2,3,, q = 0 ellers De tlhørede fordelgsfukto ka bereges ved ( t) = ( X t) = ( X t] ) = ( X = 0) + ( X = 1) + ( X = 2) + + ( X ) m( {[ t] q }) F X [ =, hvor =, 12g mat (JL) ovember 2009 s 12

13 Heruder er der teget stolpedagram for de bomalfordelte stokastske varabels sadsylghedsfordelg f X ( ) = ( X = ) og fordelgsfukto F X ( ) = ( X ) for = 0,1, 2,3,,q X~b(q, p), sere 1: (X=), sere 2: (X<=) 1, , , , , , , X ~ ( q p) b, med parametree q = 10 og = 0, 7 (X=) (X<=) Hvs v ser på Bertas ekspermet fra matematkholdets udervsg på s 9 har v altså: 4 80 E ( X ) = 20 = 6, 1538 Læg mærke tl, at mddelværde (vores Erwartugswert ) her ge atager e værd, som de stokastske varabel slet kke ka atage Hvs Berta mage forskellge gage observerer forløbet over 20 tmer, vl hu geemst altså regstrere 6,15 pger bladt de 20 adspurgte Bemærkg For e stokastsk varabel X ~ b ( q, p ) med E( X ) j og j N 0, hvor j fremkommer ved ormal afrudg af E ( X ), gælder kke ødvedgvs, at ( X = j) er de størst mulge værd af f X ( t) For X ~ b ( 30;0,45 ) gælder feks E ( X ) =13,5 14, me samtdgt ( X = 13 ) 0,1433 > 0,1422 ( X = 14) 12g mat (JL) ovember 2009 s 13

14 Sammelgg: hypergeometrsk og bomalfordelg Lad os starte med at se på et eksempel med udtagg af e stkprøve Eksempel: artsbestemmelse af e flok hjorte 70 rådyr (Rehe) alt 100 hjorte, heraf stkprøve: 10 ude tlbagelægg: X : atal rådyr bladt de 10 med tlbagelægg: Y : atal rådyr bladt de dådyr (Damhrsche) V ka forestlle os e stkprøveudtagg ude tlbagelægg (10 hjorte samles feks e fold på é gag) eller med tlbagelægg (de 10 hjorte dfages é efter é, udersøges og slppes så fr ge, før de æste dfages e hjort ka således dfages og optræde stkprøve mere ed e gag) Ude e ærmere beskrvelse, af om stkprøve udtages ude eller med tlbagelægg, ka v kke komme vdere Lad os derfor se på begge stuatoer X er de ovefor fastlagte stokastske varabel, deferet udfra e stkprøveudtagg ude tlbagelægg, og Y er de tlsvarede stokastske varabel, deferet udfra e stuato med tlbagelægg V har så med betegelsere fra s 11 og s 17: q = 10 (stkprøves størrelse), = 70 (atal rådyr [type A] de samlede populato), N = 100 (de samlede populatos størrelse) og dermed: X ~ h ( 10,70,100 ) Y ~ b 10, 7 10, det prmærsadsylghede er 70 7 p = = = N g mat (JL) ovember 2009 s 14

15 V ka u (feks) berege følgede størrelser: X, stkprøve ude tlbagelægg Y, stkprøve med tlbagelægg jf s 11 7 X ~ h ( 10,70,100 ) Y ~ b 10, 10 det jf sætg p = = ved hjælp af sætg 3 70,7 ( X = 7) = 70,7 = 100,10 30, , , , ,2812 ved hjælp af sætg 6 70 E ( X ) = 10 = ved hjælp af sætg 8 7 = = 10, = 120 0,7 0,3 0,2668 ( Y 7) ved hjælp af sætg 9 7 E ( Y ) = 10 = Hvs v udreger alle relevate sadsylgheder lgesom ( X = 7) og ( Y = 7) ovefor, det vl sge ( X = ) og ( Y = ) for = 0,1,2,, 10, og dteger dsse sadsylgheder et stolpedagram, ka v umddelbart sammelge fordelgere: 12g mat (JL) ovember 2009 s 15

16 sslh for stkprøve med rådyr - Y med (sere 1) og X ude (sere 2) tlbagelægg 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 Sere1 Sere2 0,1000 0,0500 0, hjorte, heraf 70 rådyr stkprøve på 10 hjorte Det ses såvel af bereggere som af stolpedagrammet ovefor, at forskelle mellem de to fordelger dette tlfælde er beskede Såda forholder det sg mdlertd kke altd De fælles parametre for de følgede sammelgg er q = 10 (stkprøves størrelse), = 2 (atal rådyr [type A] de samlede populato), N = 20 (de samlede populatos størrelse) og dermed 2 1 p = = = (prmærsadsylghede for bomalfordelge) N sslh for stkprøve med rådyr - Y med (sere 1) og X ude (sere 2) tlbagelægg 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0, Sere1 Sere2 20 hjorte, heraf 2 rådyr stkprøve på 10 hjorte 12g mat (JL) ovember 2009 s 16

17 Her ses væsetlg større afvgelser mellem de to fordelger Det er jo feks klart, at X (dteget som sere 2) her slet kke ka atage værder, der er større ed 2, mes dette er mulgt for Y (her dteget som sere 1) Sammelgg: hypergeometrsk og bomalfordelg geerelt Med de fælles parametre type A alt N elemeter, heraf stkprøve: q ude tlbagelægg: X : atal type A bladt de q med tlbagelægg: Y : atal type A bladt de q N type kke-a ser v på stkprøver ude tlbagelægg med de hypergeometrsk fordelte stokastske varabel X ~ h ( q,, N ) og med tlbagelægg med de bomalfordelte stokastske varabel Y ~ b ( q, p ) jf sktse I begge tlfælde agver de stokastske varable atallet af type-a-elemeter stkprøve V ka så (med de samme hevsger som ovefor, s 23) stlle de to stokastske varable overfor hade X, stkprøve ude tlbagelægg X ~ h ( q,, N ) Y ~ b ( q, p ) E Y, stkprøve med tlbagelægg p = N, N, q ( X = ) = ( Y ) N N, q = = q, 1 N E Y = q = q N ( X ) = q ( ) p N q Det ses umddelbart, at med fælles parametre gælder: E ( X ) = E( Y ) 12g mat (JL) ovember 2009 s 17

18 V ka sammefatte: Med de ovefor sktserede forstad samme parametre har e hypergeometrsk fordelt stokastsk varabel samme mddelværd som e bomalfordelt stokastsk varabel E hypergeometrsk fordelt stokastsk varabels værder lgger dog tættere omkrg mddelværde ed e bomalfordelt stokastsk varabel, forudsat selvfølgelg, at de to varable har samme parametre Hvs stkprøve er meget mdre ed de samlede populato, så er de to forskellge fordelger stort set es Dette svarer tl e umddelbar forståelse af de to stuatoer, for hvs stkprøve er meget llle forhold tl de samlede populato, er det vel ret lgegyldgt, om v lægger de udtage elemeter tlbage eller ej 12g mat (JL) ovember 2009 s 18