Talfølger og -rækker

Transkript

1 Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber 0 gage hurtigere ed skildpadde, så de får et forsprig på 00 fod. Når Achilleus har tilbagelagt de første 00 fod, vil skildpadde have bevæget sig 0 fod. Efter yderligere 0 fod for Achilleus vil skildpadde stadig føre med fod, og så fremdeles. Achilleus ka aldrig overhale skildpadde.

2

3 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009

4

5 Idholdsfortegelse Forord Idledig iii v Kapitel Talfølger. Følger af tal Koverges af talfølger Regeregler for græseværdier Cauchy-følger Mootoe følger Supremum og ifimum Limes superior og limes iferior Opgaver Kapitel 2 Uedelige rækker Defiitio og koverges af talrækker Additio og multiplikatio af rækker Geometriske rækker Altererede rækker og absolut koverges Kovergeskriterier Potesrækker Opgaver Appedikser Appediks A De komplekse tal 93 Appediks B De reelle tal 99 B. Uedelige decimalbrøker B.2 Mægder og talområder B.3 Fuldstædighed B.4 Opgaver i

6 Idholdsfortegelse Appediks C Logik og bevistekik C. Udsag C.2 De logiske operatioer C.3 Regeregler C.4 Beviser C.5 Opgaver Appediks D Om limsup og limif 25 Litteratur 29 ii

7 Forord Disse oter er blevet til i løbet af foråret 2009 og udgør de cetrale del af udervisigsmaterialet til kurset Itroduktio til Matematisk Aalyse ved det aturvideskabelige fakultet på Aarhus Uiversitet. Ambitioe har været at lave e lærebog der passer til målgruppe som udgøres af førsteårsstuderede optaget på Matematikog Matematik-Økoomi-idgagee. Hesigte er at give e itroduktio til teorie om uedelige rækker, på e såda måde at læsere samtidig tileger sig ogle vigtige og cetrale begreber og metoder i de matematiske aalyse. Det drejer sig især om at itroducere matematiske beviser og bevismetoder, som er e uudværlig del af de modere matematik. Tilegelse af disse metoder er midst lige så vigtig som kedskabet til teorie for talfølger og rækker. Vi har derfor valgt at supplere fremstillige af de matematiske emer med e række bemærkiger, der fremhæver vigtige og geerelle træk ved de avedte metoder. Disse bemærkiger er markeret med e lille advarselstavle i margie. Desude har vi medtaget e midre serie appedikser som bl.a. omhadler bevismetoder og logik. Størstedele af tekste udgøres af defiitioer, sætiger og beviser samt e stor portio eksempler. Nogle sætiger har status af lemma, dvs. hjælpesætig, adre kaldes korollar eller følgesætig. Et lemma er typisk et resultat som ikke er iteressat i sig selv, me som bruges i beviset for e seere sætig. Et korollar er et resultat som let følger af e etop bevist sætig. Læsere vil også støde på propositioer. E propositio er et resultat som er vigtigere ed et lemma me ikke vigtigt ok til at blive kaldt e sætig. Til hjælp for læsere markeres afslutige af et bevis med e lille firkat. Eksempler afsluttes med og bemærkiger med. Visse af boges afsit afsluttes med e lille sad/falsk quiz, markeret med e oplysigstavle i margie. Hver af disse quizzer omhadler de teori der er behadlet side de sidste quiz, dvs. materiale fra ét eller to afsit. Læsere opfordres til at prøve kræfter med quizzere uder læsige af otere for at styrke forståelse af de ye begreber der itroduceres. Vores fremstillig er på flere pukter ispireret af Ebbe Thue Poulses bog Fuktioer af e og flere variable (Gads Forlag, 200) som hidtil er blevet brugt ved udervisige i Itroduktio til Matematisk Aalyse, selvom det ku er e begræset del af emere fra dee vi behadler her. Mage af vores opgaver er hetet direkte iii

8 Forord fra Thue Poulses bog, og vi er ham takemlig for tilladelse til at avede dette materiale. I Idledige til Fuktioer af e og flere variable har vi fudet følgede formulerig, som vi meer beskriver et meget væsetligt forhold, og som vi derfor gere getager her fordi det også gælder for disse oter: Der er i præsetatioe af stoffet lagt mere vægt på præcisio og beviser, ed der er traditio for i gymasiet. Faktisk er mage af bevisere geemført med så mage detaljer, at ogle givetvis vil kalde fremstillige pedatisk. [...] Formålet med de [...] pedatiske fremstillig er at mide læsere om, at alle matematiske beviser pricipielt skal være fuldstædige. Dette krav er imidlertid et ideal, som matematikere ofte vælger at gå på kompromis med, fordi kravet om fuldstædighed gør bevisere lægere og ofte også midre overskuelige. Når ma skriver for læsere med mere erfarig og større overblik, udelader ma derfor tit e del af detaljere [...]. I så fald er det uderforstået, at forfattere for sig selv har geemtækt disse detaljer, og at læsere bør gøre det samme. Vi har lagt et stort arbejde i at udradere fejl i disse oter. Det være sig matematiske såvel som typografiske. Rue Esdahl-Schou har læst ogle foreløbige versioer af otere og har på dee måde hjulpet os med at rette e række fejl og magler. Lars Madse har stillet si store L A TEX iske ekspertise til rådighed. Vi udskylder på forhåd for de fejl, der med garati stadig er at fide. De er alle de ade forfatters skyld! Da Beltoft og Klaus Thomse, Jui 2009 iv

9 Idledig E uedelig sum af tal a 0 + a + a 2 + a 3 + kaldes også for e uedelig række. Fx ka det være række () eller række (2) Dee bog hadler om de matematik der skal bruges for at give meig til og avede sådae uedelige rækker af tal. Egetlig hadler det altså blot om at lægge uedeligt mage tal samme. Me det er ikke så ekelt, og giver let aledig til mærkelige resultater hvis ma ikke passer på. Et helt aivt forsøg på at bestemme summe af leddee i række () kue bestå i at hådtere de som e almidelig edelig sum, og argumetere på følgede måde: Vi keder ikke summe af række så lad os betege de x. Hvis vi gager () med 2 og tillader os at avede sædvalige regeregler for edelige summer fider vi, at 2x = = , (3) hvilket er de samme række som (), me med første led,, udeladt. Det leder os til, at x bør opfylde ligige 2x = x, der som bekedt ku har løsige x =. Så hvis vi tror på at uedelige summer ka hådteres efter samme pricipper som edelige summer år vi frem til det urimelige resultat at summe af række () bør være. Hvis vi derimod beytter samme fremgagsmåde på (2) og kalder summe y, fider vi at 2y = = , v

10 Idledig der jo er det samme som (2), me med det ekstra led. Altså bør y være løsig til ligige 2y = + y, og dermed y =. Hvilket jo de fleste ka se er et uhyre rimeligt bud på hvad summe af (2) må være. Alligevel ka det faktum at summe af række (2) giver et edeligt resultat, for tilstrækkeligt filosofisk alagte persoer opfattes som et paradoks. Uder alle omstædigheder bør disse ekle eksempler mae læsere til forsigtighed i si omgag med uedelige rækker og tjee som legitimatio for de meget grudige tilgag som de modere matematik foreskriver, og som er emet for dee bog. Udgagspuktet er i de modere tilgag de såkaldte afsitssummer s = a 0 + a + a a som fremkommer ved at addere de første + led. For de første rækkes vedkommede, altså (), ser ma let at disse afsitssummer s, s 2, s 3, osv. vokser ud over alle græser og ikke ærmer sig oget edeligt tal. Derimod fider ma ude de store problemer at afsitssummere for de ade rækkes vedkommede vil være givet ved formle s = 2 +, der jo ærmer sig mere og mere år vokser. Så e hel del tyder på, at de afgørede forskel på de to eksempler ka aflæses af, hvorda afsitssummere opfører sig. Og at det afgørede syes at være, hvorvidt følge af afsitssummer s, s 2, s 3, s 4, osv. ærmer sig et tal år vokser. For at forfølge dette syspukt, at e uedelig rækkes opførsel skal afgøres af hvorledes afsitssummere opfører sig, må vi først udvikle oget teori om følger af tal, og om hvorda vi på sikker grud ka give meig til at e følge af tal ærmer sig oget. vi

11 Kapitel Talfølger. Følger af tal Først de formelle defiitio af, hvad e talfølge er for oget: Defiitio.. E følge af tal er e fuktio a: N C. Her beteger N de aturlige tal, iklusive 0, og C de komplekse tal. De reelle tal beteger vi med R og vi opfatter dem som e delmægde af C. I Appediks A fides e kort geemgag af hvad de komplekse tal er og hvorda ma reger med dem. Sædvaligvis afører ma følge a: N C ved at agive værdiere af fuktioe a i de aturlige rækkefølge: {a } = {a 0, a, a 2, a 3, a 4,... }, hvor a = a(). Tallet a siges at have ideks. I otatioe {a } er det ude betydig hvilket symbol der bruges for idekset. Talfølge kue lige så vel skrives {a i } i=0 eller {a } =0. Eksempel.2. Følge a =, =, 2, 3,..., svarer til fuktioe a: N C som seder N til. Bemærk at a ikke er defieret for = 0. Som oveståede eksempel viser er det ogle gage aturligt at begyde idicerige af e følge adre steder ed med = 0. Vi vil geerelt ku iteressere os for talfølgers opførsel år vokser mod uedelig, og derfor er det ikke vigtigt hvor ummererige starter.

12 Kapitel Talfølger Eksempel.3. De aturlige tal N ka opfattes som e følge: a =, = 0,, 2, 3,..., som svarer til fuktioe a: N N givet ved at a() =. Eksempel.4. Lad i = C. Vi defierer e talfølge {a } a = i. ved at Altså er a tallet i opløftet til te, altså gaget med sig selv gage. Så a 0 = i 0 =, a = i, a 2 = i i =, a 3 = i 3 = i i i = i = i, a 4 = i 4 = i 2 i 2 = ( ) 2 =, osv. Mere formelt: år 0 modulo 4 i år modulo 4 a = år 2 modulo 4 i år 3 modulo 4 Følge er periodisk, idet tallee, i,, i getages i det uedelige. Eksempel.5. Fuktioer ka også give aledig til følger. Fx ka sius-fuktioe bruges til at defiere følge a = si. Ved brug af e lommereger ka ma så bestemme approksimative værdier for a : a 0 = si 0 = 0 a = si 0, a 2 = si 2 0, a 3 = si 3 0, a 4 = si 4 0, a 5 = si 5 0, a 6 = si 6 0, a 7 = si 7 0, og så videre. Eksempel.6. Følger ka være kostate. For ethvert komplekst tal z ka vi defiere e følge {a } ved at a = z for alle. Eksempel.7. Følger ka defieres rekursivt. Et berømt eksempel er Fiboaccifølge {a } = som defieres ved at a = a 2 = og a = a + a 2, 3. Altså er a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8 osv. 2

13 .2 Koverges af talfølger.2 Koverges af talfølger Defiitio.8. E talfølge {a } er koverget år der fides et tal a C som opfylder, at der for ethvert ε > 0 fides et aturligt tal N N således at år N. a a ε Betigelse i Defiitio.8 ka også skrives ved brug af kvatorer: ε > 0 N N: a a ε N. (.) Dee smøre af matematiske symboler ka læses på følgede måde: For alle epsilo større ed ul fides der et aturligt tal N, således at afstade mellem a og a ikke er større ed epsilo, år er større ed eller lig med N. E alterativ formulerig kue være: For alle epsilo større ed ul fides der et aturligt tal N, således at år er større ed eller lig med N, er afstade mellem a og a ikke større ed epsilo. På matematisk ville dette skrives ε > 0 N N N : a a ε. (.2) Hvilke af de to matematiske skrivemåder der beyttes er mest e smagssag. I disse oter vil vi oftest beytte kvatorer som forkortelser for sproglige formuleriger, og ikke som logiske symboler. I Appediks C ka du læse mere om kvatorer. I helt jæve ord ka betigelse i Defiitio.8 fx beskrives ved at sige, at elemetere i følge fra et vist tri alle skal ligge så tæt på a som vi måtte øske. Hvis vi tæker på de komplekse tal som e pla ka betigelse beskrives ved, at ehver cirkelskive af radius ε med cetrum i puktet a C ideholder alle de tal i følge, som har idex N eller højere. Der er altså ku edeligt mage tal i følge som ikke ligger idefor e såda cirkel. Se Figur.. Figur.: Koverges af e talfølge Et N N som opfylder (.) for et givet ε > 0 siges at afparere dette ε. Når betigelse i Defiitio.8 er opfyldt kalder vi a for følges græseværdi, og vi siger at følge kovergerer mod a. Dette skrives kort: lim a = a. E talfølge der ikke er koverget kaldes diverget. 3

14 Kapitel Talfølger 4 Eksempel.9. Følge a = fra Eksempel.2 kovergerer mod 0, og har altså græseværdie 0. For at vise det, skal vi ifølge Defiitio.8 for ethvert positivt ε gøre rede for, at der fides et aturligt tal N så for alle N. Nu er a 0 ε (.3) a 0 = 0 =, så kravet er, at der skal fides et N så ε år N. Me ε ε, så vi ser, at hvis blot N er et aturligt tal større ed ε, så vil (.3) være opfyldt for alle N. Eksempel.0. Følge a = kovergerer også mod 0: Lad ε > 0 være givet. 2 Ifølge Eksempel.9 ka vi fide et N N så ε for alle N. Me så er 2 0 = 2 ε for alle N. Se også Opgave.27. Eksempel.. Følge a = + kovergerer mod. Dette ka idses på følgede måde: a = + = + =. (.4) Fra Eksempel.9 ved vi at lim = 0, så for ethvert ε > 0 ka vi fide et N N så ε år N. Og så fortæller (.4) os, at a ε år N. Ikke alle følger har e græseværdi. Fx er det ikke svært at idse at følge a = fra Eksempel.3 ikke har e græseværdi. Me hvis der er e græseværdi, er de etydigt bestemt: E følge ka ikke have mere ed é græseværdi. Et bevis for dee påstad ka forløbe som følger ved brug af et modstridsargumet: Atag a og b begge opfylder betigelse i Defiitio.8 og atag for modstrid at a b. Så er a b > 0 og vi ka avede betigelse med til at fide N a, N b N således at år N a og ε = a b (.5) 3 a a ε (.6) a b ε (.7) år N b. Når er større ed både N a og N b ka vi bruge både (.6) og (.7), og fider så ved brug af trekatsulighede (A.7), at a b = a a + a b a a + a b ε 3 + ε 3 = 2ε 3. Det er i modstrid med (.5), og derfor må atagelse om at a b, være forkert.

15 .2 Koverges af talfølger Eksempel.2. Følge a = i fra Eksempel.4 er ikke koverget. De skifter jo hele tide mellem tallee, i,, i, og kommer ikke vilkårligt tæt på oget adet tal. Me lad os give et formelt bevis for, at dee følge ikke kovergerer: Atag for modstrid at der fides et tal a C således at vi for ethvert ε > 0 ka fide et N N med de egeskab at a a ε år N. Et sådat N skal vi altså specielt kue fide år ε = 2 3. Altså må vi have, at 2 a a 3 år N. Heraf følger så, at a a + = a a + a a + a a + a a = år N. Me det ka ikke være rigtigt, for uaset hvilket vi betragter er (.8) a a + = i i + = i (i ) = i i (jvf. (A.0)) = i i = i = i = = 2. (.9) i modstrid med (.8). Altså ka følge ikke være koverget. Bemærkig. Både i Eksempel.2 og i beviset for etydighede af e græse- værdi har vi e atagelse om at kovergesbetigelse (.) er opfyldt. Og det er jo et krav, der omfatter alle ε > 0. Som det er tilfældet i de to eksempler, bruger ma ofte såda e atagelse ved at vælge et særlig sedigt ε og så udytte at ma, ifølge (.), skal kue fide et N der virker for etop dette valg af ε. Valget af det rette ε kræver aturligvis at ma aalyserer situatioe først. Da forfattere fadt på Eksempel.2 lavede ha fx vurderige i (.9) først, og valgte derefter sit ε. Lad t ]0, [ og sæt a = t, =, 2, 3,.... Dee følge ko- Eksempel.3. vergerer mod : lim t =. (.0) Dette ka vises på følgede måde. Fuktioe f(x) = x = e l x er differetiabel på itervallet ]0, [ og f (x) = x e l x. Fra differetialregiges middelværdisætig (side 279 i [S]) ved vi, at der fides et s [t, ] så f() f(t) = f (s)( t). (.) Da l s 0 er e l s og derfor er Idsættes dette i (.) får vi estimatet f (s) s t. t = f() f(t) = f (s) t t t. (.2) 5

16 Kapitel Talfølger Lad så ε > 0 være givet. Vælg N N så stor at N t t tε. Når N er tε dermed er t t ε. Ved brug af (.2) fider vi, at t ε og år N. Dermed har vi verificeret (.0). Eksempel.4. Lad z C. Følge a = z, = 0,, 2,..., er koverget med græseværdi 0 år z <. For at vise det skal vi for et givet ε > 0 fide et N så z 0 = z ε (.3) år N. Til det formål ka vi atage, at ε <. Thi hvis vi har vist, at vi ka afparere ethvert ε ]0, [ ka vi også afparere et ε : Vi vælger blot et N som afparerer 2. Så vil (.3) være opfyldt for alle N. Vi atager altså, at ε > 0 og at ε <. Ifølge Eksempel.3 er lim ε =, så der fides at N N så stort at ε z år N. Heraf følger specielt, at ε z år N, og derfor også at z ε år N. Da z = z (ifølge (A.0)) ser vi at (.3) er opfyldt år N. Bemærkig. I det foregåede eksempel argumeterede vi for, at det er ok at verificere betigelse (.) for alle ε er midre ed. Dette er et geerelt pricip, som ofte avedes. For at verificere at kovergesbetigelse (.) er opfyldt, er det tilstrækkeligt at betragte ε er som er midre ed et eller adet fast tal, fx alle ε > 0 som er midre ed 0 23, hvis ma foretrækkker det. Eksempel.5. Talfølge ( a = ), der begyder med tallee a = 0, a 2 = 2, a 3 = 3 2 3, a 4 = osv., kovergerer mod. Dette ka vises ved at sammelige med følge fra Eksempel.3: Når 2 er 2, så da fuktioe s s = exp ( l s) er voksede følger at ( ) 2 ( ) = 6

17 .2 Koverges af talfølger år 2, og dermed er a ( ) 2. (.4) Når vi så har givet et ε > 0 ka vi ifølge Eksempel.3 fide et N 2 så ( ) 2 ε år N. Og så følger det fra (.4) at år N. a ε Quiz. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } være e kompleks talfølge. Udsag Sad Falsk () Hvis N N afparerer ε > 0 i betigelse (.), så vil 2N afparere ε 2. (2) Hvis N N afparerer ε > 0 i betigelse (.), så vil N 2 afparere 2ε. (3) Hvis N N afparerer ε > 0 i betigelse (.), så vil ethvert N N også afparere ε. (4) E kostat talfølge er koverget. (5) Hvis e følge af heltal er koverget, så er græseværdie et heltal. (6) Hvis e følge af ratioale tal er koverget, så er græseværdie et ratioalt tal. (7) Hvis e følge af irratioale tal er koverget, så er græseværdie et irratioalt tal. (8) Ehver rekursivt defieret følge er koverget. (9) Hvis der fides et a C som opfylder at N N ε > 0 N : a a ε, så er {a } koverget med græseværdi a. (0) Hvis {a } er e koverget følge og f : N N er e bijektio, så er følge {a f() } også koverget. 7

18 Kapitel Talfølger.3 Regeregler for græseværdier Idtil videre har vi ku påvist koverges af talfølger ved at bevise direkte, at betigelse i Defiitio.8 er opfyldt. Vi skal i dette afsit bevise e stribe resultater som giver os vide om koverges af ye talfølger bygget op af kedte følger ved fx additio og multiplikatio. Sætig.6. Lad {a } og {b } være kovergete talfølger med græseværdi a, hhv. b, og lad s C. Så er talfølge {a + sb } koverget med græseværdi a + sb. Bevis. Lad ε > 0 være givet. Vi skal vise, at der fides et N N så a + sb (a + sb) ε for alle N. Til det formål laver vi først vurderige a + sb (a + sb) = a a + s(b b) a a + s(b b) = a a + s b b (.5) Da lim a = a ka vi fide et N N så a a ε + s for alle N. Og da lim b = b ka vi fide et N 2 N så b b ε + s for alle N 2. Sæt N = max{n, N 2 }. Når N er a a + s b b ε + s + s ε + s = ε. Ifølge (.5) betyder det, at a + sb (a + sb) ε for alle N, som øsket. De korte udgave af Sætig.6 er lim a + sb = lim a + s lim b. (.6) Eksempel.7. Lad {a } være talfølge givet ved a = +22 i. Lad b 2 = og c = i for alle. Så er lim b = 0 ifølge Eksempel.9 og lim c = i. Da a = b + 2c for alle fortæller Sætig.6 at lim a = 2i. Eksempel.8. Ved hjælp af Eulers formler (side A8 i [S]) har vi at e i = cos + i si. (.7) 8

19 .3 Regeregler for græseværdier Vi ka derfor udersøge kovergesforholdee for følge { } e i ved at udersøge kovergesforholdee for følgere { cos } { og si }. Dette ka gøres på følgede måde: Da cos = si giver differetialregiges middelværdisætig (side 279 i [S]) at for alle t R fides et s R så cos t = cos t cos 0 = (t 0)( si s) = t si s. Da si s giver dette os estimatet cos t t for alle t R. På tilsvarede måde fider ma, ige ved brug af differetialregiges middelværdisætig, at si t t. Idsætter vi t = og at i de to sidste ligiger får vi at cos (.8) si (.9) for alle N. Fra (.8) følger, at lim cos = og fra (.9) at lim si = 0. Ved brug af (.7) følger u fra Sætig.6 at lim e i = lim cos + i lim si = + i0 =. Sætig.9. Lad {a } og {b } være kovergete talfølger med græseværdi a, hhv. b. Så er talfølge {a b } koverget med græseværdi ab. Bevis. Beviset overlades til læsere som Opgave.22. De komprimerede udgave af Sætig.9 skrives ( ) ( ) lim a b = lim a lim b (.20) Sætig.20. Lad {a } og {b } være kovergete talfølger med græseværdi a, hhv. b. Hvis b 0 fides et K N så b 0 for K, og følge { } a er koverget med græseværdi a b. b =K 9

20 Kapitel Talfølger Bevis. Da b 2 > 0 fides et K N så b b b 2 år K. Ved brug af (A.24) følger så at b b b b b 2 år K. Altså er b b b 2 = b 2 > 0 (.2) år K. Dermed er det første udsag i sætige bevist. a For at vise at lim b = a b lader vi ε > 0 være vilkårlig. Når K er a a b b = a b ab b b = a b ab b b a b ab b 2 2 = 2 a b ab + ab ab b 2 (ved brug af (A.2) og (A.0)) (ved brug af (.2)) (.22) 2 a b ab b ab ab b 2 (ved brug af (A.7)) = a a 2 b + b b 2 a b 2 Da lim a = a pr. atagelse, ka vi fide N N så år N og da lim b = b ka vi fide N 2 N så a a b ε 4, (.23) b b b 2 ε 4( a + ) (.24) år N 2. Sæt N = max{n, N 2 }. Når N ka vi bruge både (.23) og (.24) i (.22) og fider på de måde, at a a b b b ε 2 4 b + b 2 ε 2 a 4( a + ) b 2 ε 2 + ε 2 = ε. Sætig.2. Lad {a } og {b } være kovergete reelle talfølger. Atag, at der fides et N N så a b (.25) for alle N. Så er lim a lim b. (.26) 0

21 .3 Regeregler for græseværdier Bevis. Sæt a = lim a og b = lim b. For at vise, at a b er det ok at vise, at a ε b for ethvert ε > 0 (hvis læsere har problemer med at idse dette, opfordres ha/hu til at placere a og b på e tal-akse). Da a = lim a og b = lim b ka vi fide N a, N b N så år N a og a a ε 2 b b ε 2 (.27) (.28) år N b. Vælg så max{n, N a, N b }, således at vi har både (.25), (.27) og (.28) til rådighed. Så er a ε a + ε 2 ε = a ε 2 b ε 2 (ved brug af (.27)) (ved brug af (.25)) b + ε 2 ε 2 = b (ved brug af (.28)), præcis som vi øskede. Korollar.22. Lad {a } være e koverget reel talfølge, og lad t R. Hvis a t for alle er lim a t. Hvis a t for alle er lim a t. Bevis. Atag først a t for alle. Lad {b } være de kostate følge b = t. Så følger det fra Sætig.2 at lim a lim b = t. Det adet tilfælde, hvor a t for alle, vises på samme måde. Sætig.23. Lad {z } være e følge af komplekse tal, og lad a = Re z og b = Im z være real- hhv. imagiærdele af z. Så er {z } koverget hvis og ku hvis følgere {a } og {b } begge er kovergete. Når dette er opfyldt er lim z = lim a + i lim b. (.29) Bevis. Atag først at {z } er koverget, med græseværdi z. Sæt a = Re z og b = Im z. Så er z z = (a a ) + i(b b ). Så er a a z z og b b z z. Så år ε > 0 er givet fider vi et N N så z z ε år N, hvilket vi ka fordi lim z = z. Me så er også a a ε og b b ε år N, hvilket viser at lim a = a og lim b = b. Altså er a og b begge kovergete, og (.29) følger. De omvedte implikatio, at {z } er koverget år både {a } og {b } er det, følger fra Sætig.6, avedt med s = i. Vi skal seere flere gage få brug for flg.

22 Kapitel Talfølger Lemma.24. Lad {a } være e koverget talfølge med græseværdi a = lim a. Så er er følge { a } koverget og lim a = a. Bevis. Beviset er et direkte check som bruger ulighede fra Korollar A.2: Lad ε > 0 være givet. Da lim a = a fides et N N så a a ε for alle N. Ulighede fra Korollar A.2 medfører så, at år N. a a a a ε Eksempel.25. Lad t > være et reelt tal stregt større ed. Ved brug af Sætig.9 og Eksempel.3 ka vi let vise at lim t =. Vi sætter blot a = og b = ( ) t. Ifølge Eksempel.3 er lim b =, så da lim a = fider vi ved brug af Sætig.9 at lim t a = lim = b =. Eksempel.26. Lad z C være et komplekst tal med lægde z <. Vi viser at lim k z = 0 (.30) for ethvert k = 0,, 2,.... Da dette udsag er trivielt år z = 0 atager vi at z 0. Vælg et vilkårligt k N og sæt a = k z. Så er Da lim + a + a ( ) + k = z. (.3) = lim + = følger det fra Sætig.9 at lim Ved brug af (.3) får vi dermed at ( ) + k =. a + lim = z. (.32) a Sæt ε = 2 ( z ). Det følger så fra (.32) at der fides et N N så a + a z a + a z ε = ( z ) 2 2

23 .3 Regeregler for græseværdier år N. Altså er a + a z + ε = z + ( z ) 2 år N. Sæt r = z + 2 ( z ) og bemærk at r < z + ( z ) =. Da år N ser vi at a + a r a m r a m r 2 a m 2 r 3 a m 3 r m N a N (.33) år m N +. Da 0 r < ved vi fra Eksempel.4 at lim m rm = 0. Ved at bruge (.33) følger det så fra Sætig.2 at lim a = 0. Dermed er (.30) bevist. Eksempel.27. I dette eksempel viser vi at der for alle reelle x R gælder, at følge ( + ) x, =, 2, 3, 4,... er koverget, og at Tilfældet x = 0 er let, så vi atager, at x 0. Lad ε > 0. Da d l( + t) = dt + t ( lim + x = e ) x. (.34) ka vi avede differetialregiges middelværdisætig (side 279 i [S]) på fuktioe t l( + t) til at vise, at der for alle t >, t 0, fides et s mellem 0 og t så Når t 2 er +s l( + t) t = + s. 2. Heraf får vi estimatet l( + t) t = + s = s + s 2 s 2 t (.35) år t 2. Vælg N N så stor at x x2 2 og 2 år N. Ved at sætte t = x fås fra (.35) at ( l + x ) ( ) + x x = xl x = x l ( + x ) 2x2 (.36) år N. Fra (.36) ser vi at ( l + x ) x + x x 3

24 Kapitel Talfølger år N. Aveder vi differetialregiges middelværdisætig på fuktioe t e t ser vi at der for ethvert t R fides et s mellem x og t så e t e x = e s (t x). Når t x + giver det os estimatet e t e x e x+ t x. Specielt får vi, at ( e l(+ ) x e x e x+ l + x ) x for alle N. Da e l(+ x ) = ( + x ) får vi ved udyttelse af (.36) at for alle N. Me lim 2ex+ x2 for alle N. Og så er også ( + x for alle N. Dermed er (.34) bevist. ( + x ) e x x+ x2 2e = 0 så vi ka fide N N så 2ex+ x2 ) e x ε ε Quiz 2. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } og {b } være komplekse talfølger. Udsag Sad Falsk () Kovergesforholdee for e kompleks talfølge er fuldstædig bestemt af kovergesforholdee for real- og imagiærdele. (2) Hvis lim a = a, så er følge {a 2 } også koverget, med græseværdi a 2. (3) Hvis lim a = a, så er følge {a } også koverget, med græseværdi a. (4) Hvis {a } er koverget og {b } er diverget, så er {a + b } diverget. (5) Hvis {a } er koverget og {b } er diverget, så er {a b } diverget. (6) Hvis {a } er reel og koverget og a < t for alle, så er lim a < t. (7) Hvis {a } er koverget, A C og a A for alle, så er lim a A. 4 (8) Hvis P og Q er komplekse polyomier af samme grad og Q() 0 for alle, så er følge koverget. { } P () Q()

25 .3 Regeregler for græseværdier Udsag Sad Falsk (9) Der fides e talfølge {c } med c 0 for alle, så lim a c = 0. (0) Hvis a R for alle og følge {i a } er koverget, så er des græseværdi 0. 5

26 Kapitel Talfølger.4 Cauchy-følger Når ma ved brug af Defiitio.8 vil verificere at e give følge er koverget, må ma ødvedigvis kede græseværdie på forhåd. De optræder jo eksplicit i betigelse (.). Me i mage tilfælde, og især i forbidelse med teoretiske overvejelser, har ma ikke mulighed for at vide hvilke tal der ka tækes at være græseværdie, og det er derfor ikke muligt at bruge Defiitio.8 direkte. I dette afsit beskriver vi e ødvedig og tilstrækkelig betigelse for koverges af e talfølge, som ikke refererer eksplicit til græseværdie. Defiitio.28. E talfølge {a } er begræset år der fides et positivt tal K 0 så a K for alle. E talfølge der ikke er begræset kaldes ubegræset. Propositio.29. E koverget følge er begræset. Bevis. Lad {a } være e koverget følge med græseværdi a. Avedes betigelse (.) med ε = ses det at der fides et N N så a a for alle N. Heraf følger så, ved brug af trekatsulighede (A.7), at a = a a + a a a + a + a år N. Sæt K = max { + a, a 0, a,..., a N }. Så er a K for alle. Propositio.29 giver e ødvedig betigelse for, at e følge ka være koverget. Betigelse er lagt fra tilstrækkelig. Fx er følge a = ( ) begræset, me ikke koverget. Følge fra Eksempel.4 er et adet eksempel på det samme fæome, at e følge sagtes ka være begræset ude at være koverget. Eksempel.30. Lad z C være et komplekst tal af lægde z >. Vi påstår så, at følge {z } er ubegræset, og beviser det ved et modstridsargumet. Atag altså, at der fides et K 0 så z K (.37) for alle N. Fra Eksempel.25 ved vi, at lim (K + ) =. Da z > følger heraf, at der fides et N N så (K + ) N z. Ved brug af (A.0) følger så at z N = z N K +, i modstrid med (.37). Bemærkig. Et modstridsargumet som det vi brugte i Eksempel.30, og iøvrigt også da vi viste at e talfølge højest ka have é græseværdi, kaldes også med e latisk betegelse for reductio ad absurdum. Reductio ad absurdum is oe of a mathematicia s fiest weapos. It is a far fier gambit tha ay chess gambit: a chess player may offer the sacrifice of a paw or eve a piece, but a mathematicia offers the game. G.H. Hardy ( ), egelsk matematiker Modstridsbeviser bliver brugt rigtig ofte, også i situatioer hvor det ikke er stregt ødvedigt. I Appediks C ka du læse mere om modstridsbeviser. 6

27 .4 Cauchy-følger Eksempel.3. Lad {a } være Fiboacci-følge som blev idført i Eksempel.7. Altså er a = a 2 = og I dette eksempel vil vi vise at ulighede a = a + a 2, 3. (.38) a 2 (.39) gælder for alle. Dette viser bl.a. at Fiboacci-følge er ubegræset. Me vigtigere er metode vi vil bruge, idet vi vil bevise (.39) ved et iduktiosbevis. Til det formål lader vi for ethvert 2, p() betege udsaget at a 2 og a. 2 Altså er p(2) udsaget at a = og a 2, p(3) udsaget at a og a =, p(4) udsaget at a = 2 og a osv. Udsaget p(2) er åbelyst korrekt idet a 2 = og a =. Dee observatio udgør det, der kaldes iduktiosstarte i iduktiosbeviset. For at kue kokludere at p() er sad for alle 2 er det ok at vise implikatioe p() = p( + ). Dee del af beviset kaldes for iduktiostriet. I de aktuelle situatio ka vi hådtere iduktiostriet på følgede måde: Vi atager at p() er sad, dvs. at a 2 og a 2. Heraf følger så ved brug af rekursiosformle (.38) at a + = a + a fordi 2 2 år 2. Dermed har vi vist at p( + ) er sad år p() er det. Vi har vist de afgørede implikatio i iduktiostriet, og dermed afsluttet iduktiosbeviset for (.39). Bemærkig. I afit C.4 fider du e lidt mere geerel beskrivelse af iduktios- beviser baseret på det såkaldte iduktiospricip, som er et af aksiomere for de aturlige tal. Defiitio.32. Vi siger, at e talfølge {a } klumper sig samme år der for ethvert ε > 0 ka fides et N N så for alle, m N. a a m ε (.40) E følge der klumper sig samme kaldes for e Cauchy-følge. At e følge klumper sig samme ka også formuleres på flg. måde: Lemma.33. E talfølge {a } klumper sig samme hvis og ku hvis der for ethvert ε > 0 fides et N N så a a N ε (.4) for alle N. 7

28 Kapitel Talfølger Bevis. Atag først at {a } klumper sig samme. Så fides der altså for ethvert ε > 0 et N N så (.40) er opfyldt for alle, m N. Ved at vælge m = N ser vi, at (.4) er opfyldt for alle N. Atag så, at der for ethvert ε > 0 fides et N N så (.4) er opfyldt for alle N. Lad så ε > 0 være givet. Der fides så også et N N så a a N ε 2 (.42) for alle N. For ethvert par, m N gælder så, at a a m a a N + a N a m ε 2 + ε 2 = ε. Dermed har vist, at (.40) er opfyldt for alle, m N, og altså verificeret at {a } klumper sig samme. Sætig.34. E koverget følge er e Cauchy-følge. Bevis. Lad {a } være e koverget følge. Vi skal så vise, at de klumper sig samme. Til det formål lader vi ε > 0 og skal så fide et N N så (.40) er opfyldt år, m N. Lad a = lim a være følges græseværdi. Så fides et N N så a a ε 2 år N. Ved brug af trekatsulighede (A.7) følger så, at år, m N. a a m = a a + a a m a a + a a m ε 2 + ε 2 = ε Det er et meget vigtigt faktum, at de modsatte implikatio af Sætig.34 også er rigtig: Sætig.35. E Cauchy-følge af tal er koverget. Beviset for Sætig.35 er oget sværere ed beviset for Sætig.34 og ka fides i Appediks B..5 Mootoe følger Defiitio.36. E talfølge {a } af reelle tal er voksede år a a + (.43) for alle, og aftagede år for alle. a a + (.44) E reel talfølge som ete er voksede eller aftagede kaldes mooto. Bemærk at følge { a } er voksede år {a } er aftagede og vice versa. 8

29 .5 Mootoe følger Sætig.37. er begræset. E mooto reel talfølge er koverget hvis og ku hvis de Bevis. Lad {a } være e mooto reel talfølge. Vi skal vise at {a } er begræset, hvis de er koverget, og at {a } er koverget, hvis de er begræset. De første implikatio, at koverges medfører begræsethed, blev påpeget i Propositio.29 (og har ikke oget med mootoie at gøre). De ade implikatio derimod, at begræset medfører koverget, er ku rigtig fordi vi atager, at følge er mooto. Da {a } er koverget hvis og ku hvis { a } er koverget ka vi ude tab af geeralitet atage, at {a } er voksede. For at kokludere at {a } er koverget er det ifølge Sætig.35 ok at vise, at {a } er e Cauchy-følge. Vi skal altså bevise at {a } er begræset = {a } er Cauchy. (.45) Det er imidlertid lettere at bevise de kotrapoerede implikatio: {a } er ikke Cauchy = {a } er ikke begræset. (.46) De to udsag er logisk ækvivalete, så vi ka frit vælge om vi vil bevise det ee eller det adet. Atag altså at {a } ikke klumper sig samme, jvf. Defiitio.32. Det betyder, at der fides et ε > 0 således at (.40) ikke er opfyldt for oget N N. Altså ka vi for ethvert 0 N fide, m 0 så a a m > ε. Lad os atage at er det største af tallee og m. Da {a } er voksede er a 0 a m og derfor er a a 0 a a m > ε. Vi getager så argumetet med 0 erstattet af : Der fides 2 > m 2 så a 2 a m2 > ε. Heraf følger så, at a 2 a a 2 a m2 > ε. Herefter getager vi argumetet med 0 erstattet med 2 og får på dee måde et 3 > 2 så a 3 a 2 > ε. Vi skal bevise at {a } ikke er begræset, det vil sige, for alle K R fides et N så a > K. Lad altså K R være vilkårlig, og vælg L N så Lε + a 0 > K. Når vi har getaget argumetet ovefor L gage har vi skaffet os aturlige tal 0 < < 2 < < L så a j a j > ε for alle j =, 2,..., L. Dette giver os så, at a L = a L a L + a L a L 2 + a L 2 a L a a 0 + a 0 Lε + a 0 > K. Dermed har vi vist at hvis {a } ikke er Cauchy, så er de heller ikke begræset, hvilket beviser (.45) og dermed sætige. 9

30 Kapitel Talfølger Bemærkig. I beviset for Sætig.37 brugte vi begrebet kotrapoerig af e implikatio. Ækvivalese af de to udsag (.45) og (.46) er re logik og har ikke oget med talfølger, koverges eller begræsethed at gøre. Hvis P og Q er to udsag, gælder det altid at ( P = Q ) ( Q = P ). Læs mere om kotrapoerig i Appediks C. Eksempel.38. Defier følge {a } = ved at a = og a + = 6 + a, (.47). Bemærk at a 2 = 6 + = 7 >. Vi ka så bevise ved iduktio at a k+ > a k (.48) for alle k =, 2, 3,.... Lad p(k) være udsaget, at (.48) er opfyldt. Da a 2 = 7 > = a er p() sad. Atag så at p(k) er sad. Da har vi ved brug af både (.47) og (.48) at a k+2 = 6 + a k+ > 6 + a k = a k+. Dee ulighed viser, at p(k + ) holder og dermed har vi bevist at p(k) er sad for alle k N \ {0}, dvs. vi har bevist at følge {a } er stregt voksede. For at se, at følge også er begræset kostaterer vi, ige ved et iduktiosargumet, at a k 3. (.49) Dette er tydeligvis sadt for k =, og fra (.47) følger at a k+ = 6 + a k = 3 år a k 3. På dee måde følger det ved iduktio at (.49) er sad for alle k. Altså er følge {a } både voksede og begræset. Ifølge Sætig.37 er de så også koverget, og vi lader a være græseværdie. For at fide a kvadrerer vi først (.47) og fider, at a 2 + = 6 + a. (.50) Da a = lim a + fider vi ved brug af Sætig.9 at lim a2 + = lim a +a + = aa = a 2. Aveder vi deræst Sætig.6 på (.50) får vi, at Ved at løse ligige (.5) fider ma at a 2 = lim a2 + = 6 + lim a = 6 + a. (.5) a = 3 eller a = 2. Me da vi ved at = a a k 3 for alle k, følger fra Korollar.22, at a 3. Så a = 3. 20

31 .5 Mootoe følger Eksempel.39. Lad A være et reelt tal større ed eller lig med. Defier talfølge {a } = rekursivt ved at a = A og a = ( a + A ), 2 2. (.52) a Bemærk at dee rekursive formel ka bruges fordi a > 0 og fordi formle (.52) har de egeskab at a > 0 = a > 0. Dette sikrer at alle a ere er forskellige fra 0 således at vi ikke kommer til at dividere med 0 i (.52). Vi vil vise, at {a } er koverget, og at Dette gøres i tre tri: lim a = A. (.53) (i) Vi viser først at {a } er aftagede. (ii) Vi viser deræst at {a } er begræset. (iii) Fra (i) og (ii) følger det ved brug af Sætig.37 at {a } er koverget. Til sidst viser vi at græseværdie er A, altså at lim a = A. Dee fremgagsmåde er ofte brugbar år det gælder rekursivt defierede talfølger, hvis ellers følge er mooto og begræset. (i) Ved brug af (.52) får vi a a + = a ) (a + Aa = ) (a Aa 2 2 = 2a ( a 2 A ) (.54) Vi reger så videre på a 2 A, og bruger ige (.52): a 2 A = ( a + A ) 2 A = (a 2 + A2 4 a 4 = ) (a 2 + A2 2A = ( a A 4 4 a 2 a 2 a ) + 2A A ) 2 (.55) Af (.55) ser vi at a 2 A 0 og år dette idsættes i (.54) får vi så at a a + 0 eller a a +. Dermed har vi vist, at {a } er aftagede. (ii) Da {a } er aftagede har vi også at a a = A. Da vi ved at a > 0 for alle har vi altså at a A for alle. (iii) Vi ved u fra Sætig.37 at a = lim a fides. Desude følger fra (.52) at a a = ( 2 a 2 + A ). (.56) Ved brug af Sætig.9 fider vi, at lim a a = a 2 = lim a 2. Fra Sætig.6 og (.56) følger at a 2 = lim a ( a = lim 2 a 2 + A ) = ( 2 a 2 + A ). Løser ma ligige a 2 = ( 2 a 2 + A ) fås at a = A eller a = A. Me da a 0 for alle får vi fra Sætig.2 at a 0. Altså er a = A. 2

32 Kapitel Talfølger Quiz 3. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } være e kompleks talfølge. Udsag Sad Falsk () E ubegræset følge er diverget. (2) E diverget følge er ubegræset. (3) E Cauchy-følge er begræset. (4) E reel Cauchy-følge er mooto. (5) E reel talfølge ka ikke være både aftagede og voksede. (6) Hvis e reel følge er både begræset og diverget, så er de hverke voksede eller aftagede. 22

33 .6 Supremum og ifimum Udsag Sad Falsk (7) Hvis {a } klumper sig samme og f : N N er e fuktio, så klumper følge {a f() } sig også samme. (8) Hvis {a } er e Cauchy-følge og f : N N er e bijektio, så er følge {a f() } også e Cauchyfølge. (9) Hvis følge { a } er aftagede, så er de koverget. (0) Hvis følge { a } er aftagede, så er {a } koverget..6 Supremum og ifimum I dette afsit skal vi bruge de opåede resultater om talfølger til at geeralisere begrebere maximum og miimum. Der er som bekedt ige ordig på de komplekse tal, så vi holder os til de reelle tal i dette afsit. Lad A være e delmægde af de reelle tal R. Et tal a A er maximum for A år a er det største elemet i A. Mere formelt er kravee til a at (i) a A, og (ii) b a for alle b A. Når A har et maximum beteges det ofte max A. Tilsvarede ka A have et miimum, hvilket så er et tal a, der skal opfylde at, (i ) a A, og (ii ) b a for alle b A. Der er selvfølgelig delmægder A af R som ikke har oget maximum, og delmægder der ikke har et miimum. Fx har delmægde A = N ikke oget maximum, simpelthe fordi A ideholder vilkårligt store tal. Det midste vi må forlage om e delmægde A R for at vi ka gøre os håb om, at max A fides, er at A skal være opadtil begræset, dvs. at der skal være et K R så a K for alle a A. Me det er jo heller ikke ok: Mægde A = {x R x < 2} (.57) er gaske vist opadtil begræset, me har itet maximum. Der er jo itet tal i A som er større ed alle adre tal i A. Der er gaske vist et tal som stærkt kadiderer til at være max A, emlig 2. Me 2 er ikke selv elemet i A, og derfor ikke et maximum for A. 23

34 Kapitel Talfølger Vi idfører u et begreb, der præciserer de relatio tallet 2 har til mægde (.57). Lad B R være e delmægde af de reelle tal. E følge i B er e talfølge {x i } i=0 så x i B for alle i. Sætig.40. Lad B R være e ikke-tom opadtil begræset delmægde af de reelle tal. Så fides et reelt tal, som vi beteger sup B og kalder for supremum af B, som opfylder, at (i) sup B er græseværdi for e følge i B, og (ii) b sup B for alle b B. 24 Bevis. Lad k N. Da B er opadtil begræset er [ j k, j + ] B = k for alle tilstrækkeligt store j Z. Lad { j k = max j Z og vælg et tal b k [ j k, j + ] } B k [ jk k, j ] k + B. (.58) k Ved hjælp af e tegig (se figur.2) overbeviser ma sig let om, at [ jk b, j ] k + 2 k k (.59) år k. Et mere aalytisk argumet for (.59) ka forløbe som følger: Bemærk først at der ikke ka være ogle elemeter fra B i itervallet [ ) jk +, = k Så år vi for et adet N ed k sætter { j = max j Z : { t R : t j k + k [ j, j + }. ] } B må j j k +. (.60) k [ ] For ellers ka der jo ikke ligge oget fra B i j, j+. Af samme grud (byt om på k og ) er k j k k j +. (.6) [ ] (.59) følger u på flg. måde: Da b j, j+ er b j+. Når k er så ved brug (.60) får ma at b j + = j + j k + + k j k + + k k = j k + 2 k (.62)

35 år k. Desude er b j fordi b at.6 Supremum og ifimum [ ] j, j+. Så ved brug af (.6) fider vi, b j = j + j k k j k k k = j k k (.63) år k fordi så er k. Ved kombiatio af (.62) og (.63) får vi u (.59): [ jk b, j ] k + 2 k k år k. Fra (.59) følger at b b m 3 k (.64) år, m k. Fra (.64) følger så, at {b k } k= klumper sig samme: Lad ε > 0, og vælg N N så stor at 3 N ε. Så giver (.64) at b b m 3 N ε år, m N. Altså er {b } e Cauchy-følge, og dermed koverget, ifølge Sætig.35. Sæt sup B = lim b. Så er (i) opfyldt pr. kostruktio. For at vise, at (ii) også er opfyldt lader vi b være et elemet i B. For ethvert k N er der u ku to muligheder, ete er b [ j k k, j k+2 k Atag først at der fides et k N så b < j k ifølge (.59) følger det, at sup B = lim b j k > b, k k. Da b [ j k k, j k+2 k ] eller også er b < j k ] k. for alle k jvf. Korollar.22. Så b < sup B år der fides et k N så b < j k k. Atag så, at et sådat k ikke fides. Så er b [ j k k, j ] k+2 k for alle k, og da bk [ j kk, j ] k+ k [ jk k, j ] k+2 k ifølge (.58), har vi at b b k 3 k for alle k N. Heraf ser vi, at b = lim k = sup B. Så b = sup B i dette tilfælde. Uder alle omstædigheder er (ii) opfyldt. I Opgave.53 skal du bevise at sup B er etydigt bestemt, dvs. at der fides præcis ét tal som opfylder (i) og (ii) i Sætig.40. Et overtal for B er et tal t R som opfylder at b t for alle b B. Supremum for B kaldes også for det midste overtal for B etydighede sikrer at vi ka tale om det midste overtal. Figur.2: Mægde B og itervallet [ j kk, j ] k+ k med bk markeret. 25

36 Kapitel Talfølger Bemærkig. Eksistes- og etydighedsbeviser i stil med Sætig.40 og Opgave.53 er meget udbredte. Mage matematiske problemer hadler om hvorvidt et objekt med visse foreskreve egeskaber eksisterer, og hvis det gør, om der fides flere af dem eller ku ét. Det søgte objekt ka være et tal, e mægde, e fuktio eller oget mere eksotisk, me i pricippet er spørgsmålet det samme hver gag: Eksisterer det, og er det etydigt? De tilsvarede geeraliserig af miimum defieres i de æste sætig, som bevises på helt samme måde som sætige ovefor. Sætig.4. Lad B R være e ikke-tom edadtil begræset delmægde af de reelle tal. Så fides et reelt tal, som vi beteger if B og kalder for ifimum af B, som opfylder, at (i) if B er græseværdi for e følge i B, og (ii) b if B for alle b B. Bevis. Vi overlader til læsere at justere beviset for Sætig.40, idet vi gør opmærksom på, at B er edadtil begræset år der fides et K R så K b for alle b B. Et udertal for B er et tal t R som opfylder at b t for alle b B. Ifimum for B kaldes også for det største udertal for B. E delmægde af R som er både opadtil og edadtil begræset kaldes blot begræset..7 Limes superior og limes iferior Da ikke alle følger har e græseværdi, er det yttigt at kue tale om de størst mulige og de midst mulige græseværdi af e følge af reelle tal. For at få e ide om hvorda ma ka idføre disse begreber, kigger vi først på et par eksempler. Eksempel.42. Følge x = ( ) er som bekedt ikke koverget. For lige er x = og for ulige er x =. Hvis ma meigsfyldt skal kue tale om de størst mulige og de midst mulige græseværdi for dee følge, må det være, der er de største og, der er de midste. Eksempel.43. Følge x = ( ) +, =, 2, 3,..., består af to grupper tal. De ee gruppe er {x ulige}, der ligger og klumper samme lige til højre for mes de ade gruppe, {x lige}, klumper samme lige til højre for. Ige er det rimeligt at sige, at de størst mulige græseværdi for følge er tallet. Der er gaske vist uedeligt mage x er, der er stregt større ed, me på de ade side vil der om ethvert tal større ed gælde, at det ku er edeligt mage af x ere, der er større. Tilsvarede er de midst mulige græseværdi for følge. 26

37 .7 Limes superior og limes iferior Figur.3: Approksimativ placerig på de reelle akse af de første seks tal i følge. Gaske vist er alle tal i følge større ed, og uedeligt mage af dem er edda større ed, me på de ade side er der uedeligt mage af x ere, der ligger vilkårligt tæt på. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Et første bud på, hvorda ma kue defiere de størst mulige græseværdi for {x }, ville måske være sup{x N}. Det er ret klart, at ethvert tal der er stregt større ed sup{x N} ihvertfald ikke ka være græseværdi for {x }. Tilsvarede er sup{x 7} også et rimeligt bud, idet e evetuel græseværdi af {x } ku afhæger af, hvorda x opfører sig år vokser mod uedelig, og tallee x, x 2, x 3,..., x 6 spiller ige rolle i de forbidelse. Faktisk ville sup{x k} være et bud for ethvert k N. Det er let at se, at sup{x k} geerelt afhæger af k. Til eksempel ka læsere se på følge x = +. Så vi ser, at helt aive overvejelser om, hvorda ma ka idføre begrebet de størst mulige græseværdi for e følge af reelle tal, ka give aledig til e hel stribe kadidater, heribladt k =, 2, 3,... Bemærk u at sup{x k}, sup{x k + } sup{x k} for alle k N, idet {x k + } {x k}. Så tallee sup{x k}, k =, 2, 3,..., (.65) udgør e aftagede følge af reelle tal. Desude er følge (.65) begræset fordi {x } er det, og de er er dermed koverget ifølge Sætig.37. Græseværdie må vel siges at være et rigtig seriøst bud på title de størst mulige græseværdi for {x }. Defiitio.44. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Vi defierer limes superior af følge {x } som græseværdie [ sup{x k} ]. (.66) lim k Limes superior af e følge beteges kort ved lim sup x. 27

38 Kapitel Talfølger Som det burde være fremgået af det foregåede er det e god ide at tæke på lim sup x som de størst mulige græseværdi af følge {x }. I Appediks D bliver dee idé uddybet og præciseret. Lad os sammelige oveståede defiitio med et af eksemplere ovefor. Eksempel.45. Vi kigger atter på følge x = ( ) +, =, 2, 3,..., fra Eksempel.43. Vi fider, at og helt geerelt at Heraf ses let, at sup{x } = x 2 = + 2, sup{x 2} = x 2 = + 2, sup{x 3} = x 4 = + 4, sup{x 4} = x 4 = + 4, sup{x 5} = x 6 = + 6, sup{x k} = { + k+, år k er ulige + k, år k er lige. ( lim sup ( ) + ) [ = lim sup{x k} ] =, k hvilket jo også var det eeste rimelige bud på title de størst mulige græseværdi for følge. Vi skal aturligvis også have givet meig til begrebet de midst mulige græseværdi. Det er imidlertid ige sag, år ma ved hvorda limes superior skal defieres. Bemærk at for e begræset følge {x } er if{x k} if{x k + } for alle k, fordi {x k + } {x k}. På baggrud af defiitioe af limes superior er det derfor aturligt at lave følgede defiitio. Defiitio.46. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Vi defierer limes iferior af følge {x } som græseværdie [ if{x k} ]. lim k Limes iferior af e følge beteges kort ved lim if Ma ka også defiere limes superior og limes iferior af reelle talfølger som ikke er begræsede. Lad {x } være e vilkårlig reel talfølge. Hvis {x } ikke er opadtil begræset, sætter vi lim sup x =. x. 28

39 .7 Limes superior og limes iferior Hvis {x } er opadtil begræset, kigger vi på følge (.65). Hvis de er edadtil begræset ka vi gøre som før og sætte lim sup x = lim k sup {x k}, og hvis (.65) ikke er edadtil begræset sætter vi lim sup x =. På e tilsvarede måde ka ma give meig til limes iferior for e vilkårlig reel talfølge: Hvis {x } ikke er edadtil begræset, sætter vi lim if x =. Hvis {x } er edadtil begræset, kigger vi på følge if {x k} som vokser med k. Hvis dee følge er opadtil begræset ka vi gøre som før og sætte lim if x = lim k if {x k}, og hvis de ikke er opadtil begræset sætter vi lim if x =. Eksempel.47. Følge x = { år er lige år er ulige er ubegræset. Og sup {x k} = for alle k, så lim sup x =. Da {x } ikke er edadtil begræset er lim if x =. Bemærk at vi altid har, at lim if x lim sup x. (.67) Eksempel.48. Lad os atter kigge på følge x = ( ) +, =, 2, 3,..., fra Eksempel.43, me u med heblik på at fide limes iferior. Vi fider, at if{x N} =. Faktisk er if{x k} = for alle k, så lim if ( ( ) + ) er græseværdie af de kostate følge. Altså er lim if ( ( ) + ) =. E meget væsetlig grud til at idføre lim sup og lim if er, at ma ka bruge dem til at afgøre, om e give følge er koverget, også i situatioer hvor der ikke a priori er oge åbelys kadidat til e græseværdi. Dette skyldes de følgede sætig, som siger at e følge er koverget, hvis og ku hvis limes superior og limes iferior er es. Som matematisk udsag er dette lidt rigeligt upræcist, me for de fleste praktiske formål er det godt ok, og det er uder alle omstædigheder e god huskeregel. Bemærk iøvrigt hvor fit formulerige stemmer med idee om limes superior og limes iferior som de størst mulige heholdsvis de midst mulige græseværdi: E talfølge har aturligvis e græseværdi, etop år de størst mulige græseværdi også er de midst mulige. 29

40 Kapitel Talfølger Sætig.49. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Lad t R. Så er {x } koverget med græseværdi t hvis og ku hvis lim if x = lim sup x = t. Bevis. Atag først at {x } kovergerer mod t. Lad ε > 0. Så fides et N N, som opfylder at x t ε for alle N. (.68) Heraf følger, at x t ε for alle N, og dermed er t ε if{x k} (.69) for alle k N. Samtidig medfører (.68), at x t + ε for alle N. Derfor er for alle k N. Desude er det klart, at sup{x k} t + ε (.70) if{x k} sup{x k} (.7) for alle k, og år vi sætter (.69), (.70) og (.7) samme, får vi at t ε if{x k} sup{x k} t + ε (.72) for alle k N. Lader vi k gå mod uedelig i (.72), fider vi at t ε lim if x lim sup x t + ε. Da ε > 0 er vilkårligt, kokluderer vi at lim if x = lim sup x = t. Atag u omvedt at lim if x = lim sup x = t. Da er så der fides et N N, som opfylder at [ lim sup{x k} ] = t, k sup{x k} t ε for alle k N. Specielt er sup{x k} t + ε k N, og dermed er Me vi har også, at x m t + ε m N. (.73) [ lim if{x k} ] = t, k så der fides et N 2 N, som opfylder at t if{x k} ε k N 2. 30

41 .7 Limes superior og limes iferior Det medfører at og dermed også at t ε if{x k} k N 2, t ε x m m N 2. (.74) Sæt u N = max{n, N 2 }. Ved kombiatio af (.73) og (.74) ser vi, at t ε x m t + ε, år m N, og dermed er t x m ε m N. Altså har vi vist, at lim x = t. Eksempel.50. Følge x = 2 + ( ), = 0,, 2, 3,..., har lim if = 3 og lim sup x =. Dette følger af, at x = år er ulige, og x = 3 år er lige. Thi så er sup {x k} =, og if{x k} = 3 for alle k N. Vi slutter dette afsit af med e vigtig teoretisk avedelse af limes superior og limes iferior. Lemma.5. at Lad {x } = være e følge af ikke-egative reelle tal som opfylder, x +m x + x m (.75) for alle, m. Så er følge { x } = (.76) koverget og lim x = if { x =, 2, 3,... }. Bevis. Vi viser, at limes superior og limes iferior af følge (.76) begge er lig med if { x =, 2, 3,... }. Til dette formål lader vi ε > 0 være vilkårligt, og vælger deræst et vilkårligt m N. Vælg så N N så stor at m { N max x, x 2 2,..., x } m ε. (.77) m Hvis N ka vi skrive = lm + r 3

42 Kapitel Talfølger hvor l N og r {, 2,..., m}. Så er x x lm + x r (ved brug af (.75)) l x m + x r (ved l avedelser af (.75)) = lm m x m + r r x r = m x m + r r x r r m x m m x m + m { N max x, x 2 2,..., x m m m x m + ε (takket være (.77)). } ( fordi r m x m 0 og r m ) N Bemærk at dee vurderig bl.a. fortæller os at følge (.76) er begræset. Desude følger det at lim sup x sup x m x m + ε. N Da m N var vilkårlig får vi at lim sup x if { m x m Da ε > 0 var vilkårlig giver det os estimatet lim sup x if { m x m ka vi kokludere fra Sæt- Og fordi if { m x m m =, 2, 3,... } lim if ig.49 at lim x = if { x =, 2, 3,... }. m =, 2, 3,... } + ε. m =, 2, 3,... }. x Lemma.5 bruges i forbidelse med ekspoetiel vækst. Hvis {b } er e følge af tal større ed, som opfylder at b +m b b m, så fortæller Lemma.5 at græseværdie β = lim l b (.78) eksisterer. Dee græseværdi kaldes de ekspoetielle vækstrate af følge. Bemærk at (.78) er e præciserig af, at for store. b e β 32

43 .7 Limes superior og limes iferior Quiz 4. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } være e reel talfølge. Med a(n) mees i det følgede mægde {a N}. Udsag Sad Falsk () Supremum for e mægde er også maximum for mægde. (2) Maximum for e mægde er også supremum for mægde. (3) Supremum for itervallet [a, b] er b. (4) Mægde {w C w 7 = 5} har et supremum. (5) Mægde {w C w 2 = 4} har et supremum. (6) E edelig delmægde af de reelle tal har både et supremum og et ifimum. (7) Hvis lim sup a lim if a, så er mægde a(n) uedelig. (8) Hvis {a } er voksede, så er sup(a(n)) = lim a, forudsat begge sider af ligige er defierede. (9) Hvis a(n) ideholder uedeligt mage egative tal, så er lim if a 0. (0) Hvis {a } er koverget og a(n) ideholder både uedeligt mage positive og uedeligt mage egative tal, så er lim a = 0. 33

44 Kapitel Talfølger.8 Opgaver. Lad {a } = være Fiboacci-følge fra Eksempel.7. Fid a 8..2 Lad a = i. Fid a 7..3 Lad {a } være e talfølge. Vis at {a } er koverget med græseværdi a hvis og ku hvis følge {a a} er koverget med græseværdi 0. Eller på matematisk : Vis at lim a = a lim a a = 0..4 For hver af de efterfølgede talfølger, afgør om de er koverget og fid i bekræftede fald græseværdie. (i) { 7+ 2 }. =2 (ii) { } i =. (iii) { } i +7 i =..5 Lad {a } være e reel talfølge. Vis at {a } er koverget hvis of ku hvis der fides et reelt tal a R med egeskabe, at der for ethvert ε > 0 fides et N N så for alle N. a ]a ε, a + ε[.6 (a) Giv eksempler på divergete følger {a } og {b } så følge {a + b } er koverget. (b) Giv eksempler på divergete følger {a } og {b } så følge {a b } er koverget. (c) Giv eksempler { } på kovergete følger {a } og {b } så b 0 for alle N og følge a b er diverget..7 Lad {a } være e koverget talfølge med græseværdi a. (i) Lad m N\{0}. Gør rede for at mægde {k N : a a m k } har et midste elemet m. (ii) Atag at følge { m } m=, defieret ved brug af (i), er koverget. Gør rede for at følge {a } er kostat fra et vist tri i de forstad, at der fides et N N så a = a for alle N..8 Defier talfølge {x } ved at x 0 = og x = 0 x + x si x år. Vis at {x } er koverget og fid græseværdie. 34

45 .8 Opgaver { }.9 (a) Vis at følge 7 +7 er koverget med græseværdi. (b) Fid det midste N N med de egeskab at for alle N. { } (c) Følge 3+4i +3 er koverget med græseværdi a. Fid a. (d) Fid det midste N N med de egeskab at 3 + 4i a for alle N..0 Lad {a } være e talfølge. (a) Atag at der for ethvert positivt R > 0 fides et N så a R. Vis at {a } er diverget. (b) Atag at der fides et r > 0 og et L N så a a + r for alle L. Vis at {a } er diverget.. a) Gør udførligt rede for hvert af triee i flg. vurderig, hvor w, z C: w + z 2 = (w + z) (w + z) = ww + zz + wz + zw = w 2 + z Re (wz) w 2 + z wz = w 2 + z w z = ( w + z ) 2. b) Udled trekatsulighede w + z w + z for komplekse tal. (Sammelig iøvrigt med Sætig A.. på side 88 i Talfølger og rækker.).2 Lad x, y R være reelle tal, og defier e følge {a } ved at a = x + y. Fid x og y så a 0 =, a = 3, a 2 = 5 og a 3 = 7. 35

46 Kapitel Talfølger.3 Lad {a } være e talfølge med græseværdi 0. Vis at lim ( ) a = 0..4 Lad {a } være e talfølge. Lad K N være vilkårlig, og lad b 0, b,..., b K C være frit valgte tal. Defier e y følge {c } ved at { b, = 0,, 2,..., K c = a, K +. (a) Vis at {a } er koverget hvis og ku hvis {c } er koverget. (b) Atag at {a } er koverget. Vis at lim a = lim c. Morale er at kovergesforholdee for e talfølge ku afhæger af følges uedelige hale. Ma ka fx ædre de første 0 23 tal i følge ude at kovergesforholdee ædres..5 Betragt følge {a } fra Eksempel.4 givet ved a = i. (a) Læs om egatio af udsag med kvatorer på side 8 og opskriv (med kvatorer) defiitioe af at følge ikke er koverget. (b) Vis at følge ikke er koverget ved at give et bevis for udsaget fra (a)..6 Vis at lim 3 = 0..7 Vis at lim = 0..8 Lad a = + i i. Vis at følge {a } = er koverget og fid lim a..9 Fid følgede græseværdier: (a) (d) lim (b) lim 3 lim 2 (e) lim 7 ( ) + i + 7 ( i 2 ) (c) ( lim + 3 ) (f) lim cos(π) si(π).20 Lad {a } være Fiboacci-følge som blev idført i Eksempel.7. Det blev vist i Eksempel.3 at a 2 for alle, og vi ka derfor defiere e y følge {b } ved at sætte b = a + a for =, 2, 3,.... (a) Vis at for alle 2. b = + b 36

47 .8 Opgaver (b) Defier f : ]0, [ ]0, [ ved at f(t) = + t. Gør rede for, at og at ( ) + 5 f 2 = f (t) 4 9 år t (c) Vis at b b år 3. (d) Gør rede for, at {b } er koverget og fid lim b..2 Lad {a } være e talfølge, og a C. Vis at {a } er koverget hvis og ku hvis {a + a } er koverget..22 Bevis Sætig (a) Vis at følge e πi 2, =, 2, 3,... er koverget, og fid græseværdie. (b) Fid græseværdie af følge for ethvert k N. e kπi 2, =, 2, 3, Hvis t er et reelt tal lader vi t betege det største heltal som er midre lig t, altså t rudet ed. (a) Lad φ > 0 være et reelt tal. Vis at φ φ for. (b) Lad x > 0 være et reelt tal. Kostruer to talfølger {a } og {b } som opfylder a + b = for alle og a b x for..25 Afgør om hver af følgede følger er koverget eller ej. Fid i bekræftede fald græseværdie. { } { } } (a) 2 (b) + 2 (c) {4 ( ) { (d) }.26 Lad {a } være e følge af ratioale tal som er koverget med græseværdi a. For hvert har vi a = p q for et p Z og et q Z \ {0}. (a) Atag at følge {q } er koverget. Vis at a Q. 37

48 Kapitel Talfølger (b) Er det rigtigt at hvis q for, så er a / Q? Er det ødvedigt at atage at brøke p q er uforkortelig for alle?.27 I dee opgave skal du bevise det klassiske klemmelemma for reelle talfølger. (a) Lad {a } være e talfølge som kovergerer mod 0. Lad {x } være e talfølge som opfylder, at x a for alle. Vis at lim x = 0. (b) Lad u {b }, {c } og {y } være reelle talfølger som opfylder at b y c for alle N og atag at talfølgere {b } og {c } er kovergete med de samme græseværdi s. Vis at så er {y } også koverget med græseværdi s..28 Lad {a } = være e talfølge og lad talfølge {b } = være defieret ved b = a + a a. (a) Atag at a 0 for, og vis at så gælder også b 0 for. Udyt fx at hvis > N, så er b = a + +a N + a N++ +a. (b) Atag u i stedet at a a for. Brug talfølge x = a a til at vise at så gælder også b a for..29 Hvilke af følgede følger er opadtil begræset? Nedadtil begræset? Koverget? { (a) } { (b) } { ( 3 (c) si π )} { ( (d) si π )} Fid græseværdiere af flg. kovergete talfølger: ) a = , =, 2, 3,.... 2) a = 3i+i 7+2, =, 2, 3,.... 3) a = si, =, 2, 3,.... 4) a = 4+i si 7+3, =, 2, 3, Lad z C, z =. Atag at følge a = z er koverget. Vis at z =..32 Lad P være et polyomium. Vis at lim e P () = 0.33 Defier talfølge {a } ved at a = for alle N. Vis at de er koverget og fid græseværdie. 38

49 .8 Opgaver.34 (a) Vis ved iduktio at k 2 for alle k N. (b) Lad, k N, k. Vis at (k + )! + (k + 2)! + +! 2 k + 2 k (c) Sæt a = + 2! 3! + + ( )!. Vis at {a } = dermed koverget. er e Cauchyfølge, og.35 Afgør for hver af edeståede talfølger om de er kovergete, og fid i bekræftede fald græseværdie: ) a = + i, 2) a = + i, 3) a = +i i, 4) a = i si + cos..36 I dee opgave vil vi vise, at følgere {si } = og {cos } = Sæt z 0 = cos + i si. begge er divergete. a) Vis at Im z k 0 = si k for alle k Z. b) Sæt G = { z k 0 : k Z}. Vis at z = for alle z G, og at x, y G xy G. Sæt δ = if { z : z G, z }. c) Atag at δ > 0. Vis at z z 2 δ år z, z 2 G og z z 2. d) Brug b) og c) til at kokludere, at G ku ideholder edeligt mage elemeter hvis δ > 0. e) Stadig uder atagelse af at δ > 0, vælg z G så z = δ. (Husk at G er edelig ifølge d).) Vis at der fides et N så G = {, z, z, z 2, z 2,..., z, z +} og f) Vis at der fides et m N så z m 0 z =. = hvis δ > 0. g) Vis at hvis δ > 0 er {si : N} e edelig mægde (= ideholder ku edeligt mage tal), og at der gælder at for alle N N fides N så si = 0 mes si( + ) = si. 39

50 Kapitel Talfølger h) Vis at følgere { (si ) 2} { og (cos ) 2} begge er divergete hvis δ > 0. (Ma ka vise at δ > 0 er umuligt. Me oveståede koklusio er ok for os her.) Atag u at δ = 0. i) Vis at for ethvert ε > 0 og ethvert N N fides, m N så (si ) 2 ε og (si m) 2 ε. j) Vis at lim sup (si ) 2 = og lim if (si ) 2 = 0. k) Vis at følgere {si } = og {cos } = er divergete..37 (a) Bevis at + = for alle N. (b) Bevis ved iduktio at ( + ) for alle N Dee opgave fortsætter temaet fra Eksempel.25. (a) Bevis at ( ) for ved at betragte x = ( ) og bruge Beroullis ulighed fra Opgave C.3 til at give e vurderig af x. (b) Kokluder at for..39 Giv eksempler på mootoe reelle talfølger som ikke er kovergete..40 Vis at følgere begge er mootoe. a = ( ) 2 og b =, = 2, 3, 4,... ( ) 2.4 Vis at hvis e mooto reel talfølge har e koverget delfølge, så er de selv koverget..42 Sæt (a) Vis at {a } = (b) Vis at {a } = a = er begræset. er koverget. 40

51 .8 Opgaver Ved hjælp af lidt itegratiosteori ka ma bevise at græseværdie af følge er l Defier talfølge {x } = ved at x = 0 x = x for >. (a) Bevis at x < for alle. (b) Bevis at følge er voksede. (c) Bevis at følge er koverget og bestem græseværdie..44 Defier følge {a } = ved at a = a + = + 2a for. Vis at {a } er koverget, og fid lim a..45 Lad u, v R med u < v. Defier talfølge {a } = ved at a = u, a 2 = v, og a = a + a 2, 3. 2 (a) Teg de første 6 elemeter i følge id på e talliie. Vis derefter at a 2k < a 2k+ < a 2k+2 < a 2k for alle k 0. (b) Vis at talfølge a, a 3,... er voksede og opad begræset og at talfølge a 2, a 4,... er aftagede og edad begræset. (c) Vis at a a = 2 a a 2 og vis derefter at {a } er koverget. (d) Vis at 2a + a er kostat og fid lim a, udtrykt ved u og v..46 Lad u, v R med 0 < u < v. Defier talfølgere {a } = og {b } = ved at for alle 2. a = u, b = v, a = 2a b og b = a + b a + b 2 (a) Vis at a < b for alle. (b) Vis at {a } er voksede og {b } er aftagede. (c) Vis at {a } og {b } begge er kovergete og at græseværdiere er es. (d) Vis at a b er kostat, og fid derefter de fælles græseværdi for talfølgere {a } og {b }, udtrykt ved u og v. 4

52 Kapitel Talfølger.47 Defier fuktioe f : R + R ved f(x) = x x. (a) Vis at f har præcis ét ulpukt, gør rede for f s mootoiforhold og skitser grafe for f. Lad u a være et positivt reelt tal og defier talfølge {x } ved at (b) Vis at x 3 for alle. x 0 = a og x + = f(x ),. (.79) (c) Vis at talfølge {x } =, altså følge der fremkommer ved at slette x 0 fra følge (.79), er aftagede. (d) Vis at følge {x } = er koverget og bestem græseværdie..48 Betragt talfølge {x } = givet ved x = 2 og x + = x 2,. (a) Udreg de første 5 elemeter i følge. (b) Vis at {x } er edadtil begræset af 0 og opadtil begræset af. Betragt u talfølgere {l } = og {u } = givet ved 42 l = x 2 og u = x 2. Følge {l } består altså af tallee med lige ideks i {x }, og {u } består af tallee med ulige ideks. (c) Vis at l + = l 4 + 2l 2 (.80) for alle, og at de samme rekursiosligig gælder for følge {u }. Defier polyomiumsfuktioe p(t) = t 4 + 2t 2 t, t R. (d) Vis at l + l hvis og ku hvis p(l ) 0. Vis også at u + u hvis og ku hvis p(u ) 0. (e) Fid alle rødder i p og bestem forteget for p(t) for alle t R. (f) Vis at {u } er aftagede og at {l } er voksede. (g) Vis at {u } og {l } er kovergete, fid græseværdiere, og kokluder at følge {x } er diverget..49 (Madelbrotmægde) For hvert c C ka vi defiere fuktioe P c : C C givet ved P c (z) = z 2 + c. I dee opgave skal vi udersøge talfølge {z } der fremkommer ved at iterere P c startede i 0, altså følge z 0 = 0, z = P c (0) = c og z + = P c (z ) = z 2 + c for Vi husker på at z afhæger af c, selvom det ikke fremgår af otatioe.

53 .8 Opgaver (a) Udreg de første 6 7 elemeter i følge for c = 0, c = og c = i. Ser følge koverget ud? Er de begræset? Mægde af c er som giver e begræset følge, M = {c C følge {z } hørede til c er begræset} kaldes Madelbrotmægde, opkaldt efter de fraske matematiker Beoît Madelbrot (924 ). (b) Vis at hvis c > 2 så er {z } ubegræset. Atag fx at c = 2 + δ med δ > 0, og vis ved iduktio at z 2 + δ for alle. (c) Kokluder at M ligger idefor cirkle i de komplekse pla med cetrum i 0 og radius 2. I de æste tre opgaver skal du bestemme hvilke reelle tal der ligger i Madelbrotmæde. (d) Atag at c R og at 2 c 4. Sæt r = 4c + og vis at P c afbilder itervallet [ r 2, r 2] til sig selv. (e) Brug metode fra (b) til at vise at hvis c > 4 så er {z } ubegræset. (f) Kokluder at M R = [ 2, 4]. Det sidste spørgsmål afslører e stor bid af Madelbrotmægde, emlig e del af de såkaldte kardioide af c er, som giver aledig til e koverget følge. (g) Lad µ C med µ < 3 4, og sæt c = µ 2 µ2 4. Vis at z µ 2 for, fx ved at give et iduktiosbevis for at z µ 2 < 4 ( ε), hvor ε = 3 4 µ. Det er ikke muligt at give e fuldstædig beskrivelse af Madelbrotmægde, forstået som e metode til at kostruere hvert pukt i mægde i stil med hvad vi har gjort i det oveståede. På trods af si simple defiitio er Madelbrotmægde et uhyre komplekst objekt. Des rad er et eksempel på e fraktal, e type geometrisk figur som i e vis forstad er uedeligt kompliceret uaset hvor meget ma forstørrer de, bliver de aldrig pæ, i modsætig til fx e cirkel, som liger e ret lije mere og mere, hvis ma zoomer id på et pukt Figur.4: Hovedkardioide i Madelbrotmægde (idefor kurve). 43

54 Kapitel Talfølger.50 Lad {a } være e reel talfølge som er positiv og stregt aftagede med græseværdi. Defier talfølge {x } ved at x 0 = og x = { a x for ulige for lige a x (a) Vis at følge y = x 2 er voksede, og at følge z = x 2+ er aftagede. (b) Vis at følge {x } er begræset. (c) Vis at følge {x } er koverget, og at græseværdie er stregt større ed. (d) Vis at hvis a = +, så er x lig produktet af de første faktorer i det uedelige produkt (.8) Det ka vises at græseværdie af følge {x } i dette tilfælde er π 2. Produktet (.8), som med produktotatio ka skrives (2i) 2 i= (2i )(2i+), kaldes Wallis produkt efter de egelske matematiker Joh Wallis (66 703). Se Opgave 2.3 for mere om uedelige produkter..5 (Delfølger) Lad {a } være e talfølge. E delfølge af {a } er e følge {b k } k=0 givet ved b k = a k, hvor k er e stregt voksede følge af aturlige tal. Med adre ord, e delfølge er e talfølge som består af visse af tallee i følge {a }, i samme rækkefølge som de forekommer i {a }. E delfølge skrives ofte {a k } k=0. For eksempel er følge 2, 4, 6,... e delfølge af følge, 2, 3, 4, 5, 6,... af aturlige tal. I praksis defieres delfølger ofte rekursivt, dvs. ma specificerer hvad skal være, og agiver hvorda idekset k vælges, givet at idekset k allerede er valgt. I dee opgave skal vi se lidt på egeskabere ved delfølger. 44 (a) Vis at hvis {a } er koverget, så er ehver delfølge også koverget, med samme græseværdi. (b) Vis at hvis e talfølge {a } har to kovergete delfølger med forskellige græseværdier, så er {a } selv diverget. Atag fra u af at {a } er e reel talfølge. Til brug i det følgede defierer vi begrebet e top: a er e top a a m for alle m E top er altså et elemet som er større ed alle de efterfølgede elemeter i følge. (c) Atag først at der er uedelig mage toppe i følge {a }. Vis at delfølge af toppe udgør e aftagede delfølge. (d) Atag u i stedet at der ku er edelig mage toppe. Vis at {a } har e voksede delfølge. (e) Vis at ehver begræset reel talfølge har e koverget delfølge. Pukt (e) er kedt som Bolzao-Weierstrass sætig. De ihærdige læser ka prøve at udvide sætige til begræsede komplekse talfølger ved at vise at realdele og imagiærdele af følge hver især har kovergete delfølger, og på passede vis kombiere disse til e koverget delfølge af de komplekse følge.

55 .8 Opgaver.52 Lad A C og lad f : A C være e fuktio. Vi mider om at f er kotiuert i et pukt a A hvis ε > 0 δ > 0 z C: z a δ = f(z) f(a) ε. Lad {a } være e koverget talfølge med græseværdi a A. Vis at hvis f er kotiuert i a, så er talfølge {f(a )} koverget med græseværdi f(a)..53 Vis at supremum af e ikke-tom opadtil begræset mægde af reelle tal er etydigt bestemt. Atag fx at der fides to tal b b 2 som begge opfylder betigelse i Sætig.40, og udled e modstrid heraf..54 Fid ifimum og supremum for følgede mægder: (a) A = {, 2, 3} (b) B = [5, 8] (c) C = { = 2, 3, 4,... } (d) D = [0, [ (e) E = { t R t 2 < 2 } (f) F = { x 2 < x < }.55 Fid supremum og ifimum af følgede begræsede delmægder af de reelle tal: (a) A = {t R 0 t } (b) B = {t R 0 < t } (c) C = {t Q 0 t } (d) D = {t R \ Q 0 t } Hvilke af disse mægder har et maximum, og hvilke et miimum?.56 Lad {a } være e mooto begræset følge. Vis at år følge er voksede, og at år de er aftagede. lim a = sup {a k k = 0,, 2, 3,... } lim a = if {a k k = 0,, 2, 3,... }.57 Lad A R være e ikke-tom begræset delmægde. (a) Vis at sup A if A. (b) Hvor mage elemeter har A hvis sup A = if A?.58 Lad A R være e ikke-tom og begræset delmægde af de reelle tal. (a) Lad B A være e ikke-tom delmægde. Vis at sup B sup A og at if B if A. (b) Lad r > 0 og betragt mægde ra = {ra a A}. Vis at ra har et supremum og at sup(ra) = r sup A. (c) Lad A = { a a A} være spejlige af mægde A omkrig 0. Vis at sup( A) = if A og at if( A) = sup(a). 45

56 Kapitel Talfølger.59 Lad A og B være to ikke-tomme opadtil begræsede delmægder af R. (a) Vis at sup(a B) = max(sup A, sup B). Mægde A + B defieres ved A + B = {a + b a A, b B}, altså mægde af summer af et elemet fra A og et fra B. (b) Vis at A + B er ikke-tom og opadtil begræset. (c) Vis at sup A + sup B er et overtal for A + B. (d) Vis at sup(a + B) = sup A + sup B..60 Lad A R være e ikke-tom opadtil begræset delmægde, og lad b R være et overtal for A, dvs. a A: a b. Vis at b er supremum for A hvis og ku hvis b opfylder betigelse ε > 0 a A: a > b ε..6 Lad {a } = være e aftagede følge af positive reelle tal. Gør rede for, at lim k k k a = if {a =, 2, 3,... }. =.62 Fid limes iferior og limes superior for følgede følger af reelle tal: (a) {3 ( ) } (b) { 3 ( ) } (c) { } { e ( ) (d) 3 ( ) + 7 ( ) +} (e) (g) (i) (k) )} { } + 2 (f) 2 5 } { {( ) + + ( ) } + (h) { ( + ( ) ) + (( ) ) } (j) { l( + ) l } { ( π cos 2 { ( l( + ) l )}.63 Fid lim sup og lim if af følgede begræsede reelle talfølger: (l) {y /} hvor {y } = er begræset (a) a = ( ) 3 + ( ) (b) b = Re e πi (c) c = 7 + ( ).64 Lad {x } være e følge af reelle tal. Vis at og at lim if ( x ) = lim sup x lim sup( x ) = lim if x. 46

57 .8 Opgaver.65 Fid limes superior og limes iferior for hver af følgere a = + i og b = 2 + ( ) + i..66 Formuler og bevis e sætig, der svarer til Sætig.49, for vilkårlige reelle talfølger..67 Lad {x } og {y } være følger af reelle tal. Vis at ulighedere lim sup lim if (x + y ) lim sup (x + y ) lim if x + lim sup y x + lim if y, holder i alle tilfælde påær år højreside har forme eller +. Vis ved eksempler at ige af ulighedere geerelt ka forbedres til idetiteter..68 Lad {x } og {y } være følger af reelle tal. Atag at {x } er koverget med græseværdi x ]0, [. Vis at lim sup (x y ) = x lim sup y..69 Lad {x } være e følge af reelle tal. Vis at lim x = 0 hvis og ku hvis lim sup x = Lad {a } være e følge af positive tal. Gør rede for, at lim if a + a lim if a lim sup a a + lim sup. a.7 Kostruer e følge {x } af reelle tal, således at mægde {x N} etop er mægde af alle ratioale tal mellem 0 og. Fid limes superior og limes iferior af e såda følge..72 Fid limes superior og limes iferior af følge a = cos..73 Lad N. Lad os sige, at et tal x mellem 0 og har -periodisk decimalbrøksfremstillig år der fides tal a, a 2, a 3,..., a {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} så x = 0, a a 2 a 3... a a a 2 a 3... a a a 2 a 3... a a a Eller i komprimeret selvforklarede otatio: x = 0, (a a 2... a ). (a) Lad P betege atallet af tal mellem 0 og med -periodisk decimalbrøks fremstillig. Vis at P P m P m for alle, m N. (b) Fid de ekspoetielle vækstrate af P. 47

58 Kapitel Talfølger.74 Lad {b } være e følge af positive reelle tal som opfylder at Atag at β > 0. b + lim = β. b (a) Vis at lim l b = l β. (b) Lad {a } være Fiboacci-følge fra Eksempel.7. Vis at a a m a +m for alle, m N. (c) Brug resultatet fra Opgave.20 til at fide de ekspoetielle vækstrate af Fiboacci-følge..75 Lad V være atallet af ord af lægde der ka forekomme i et sprog med alfabet {a, b}. (a) Vis at V = 2, og at de ekspoetielle vækstrate af V er l 2. Lad u S være atallet af ord af lægde der ka forekomme i et sprog med alfabet {a, b}, med de klausul at bogstavkombiatioe baaa ab ku må forekomme hvis atallet af a er er lige. (b) Vis at de ekspoetielle vækstrate af {S } fides, og at de er > 0, me midre ed eller lig l 2. Lad u W være atallet af ord af lægde, der ka forekomme i et sprog med alfabet {a, b, c}, med de klausul at b altid skal efterfølges af c. (c) Vis at de ekspoetielle vækstrate af {W } fides, og at de er > 0, me midre ed eller lig l 3. 48

59 Kapitel 2 Uedelige rækker 2. Defiitio og koverges af talrækker Defiitio 2.. Lad {a } være e talfølge. De uedelige række med leddee a er følge {s k } k=0 af afsitssummer s k = a 0 + a + a a k = k a. Dee uedelige række, der altså blot er afsitssummere af de give følge {a }, beteger vi kort ved symbolet a. Hvis talfølge {s k } er koverget siger vi, at række a er koverget, og vi skriver så a = s hvor s = lim k s k. I dee situatio kalder vi s for rækkes sum. Hvis derimod {s k } ikke er koverget siger vi, at a er diverget. Eksempel 2.2. Lad {a } være følge () fra idledige. Så er s k = a 0 + a + + a k = k og de uedelige række ka skrives 2. (2.) 49

60 Kapitel 2 Uedelige rækker Da s k 2 k er følge {s k } af afsitssummer ikke begræset, og derfor heller ikke koverget ifølge Propositio.29. Altså er række (2.) diverget. Fordi leddee er positive i dette eksempel aføres divergese ved blot at skrive 2 =. Eksempel 2.3. Lad a = 2, =, 2, 3,..., være følge (2) fra idledige. Så er s k = a 0 + a + + a k = k og de uedelige række ka skrives 2. (2.2) = Da s k = og lim 2 k k = er række (2.2) koverget og rækkes sum 2 k er. Vi skriver 2 =. Eksempel 2.4. = Række ( + ) = = er koverget med sum. Dette ka idses på følgede måde: For ethvert er så de k te afsitssum s k = k = s k = k = ( + ) = +, (+) ( ) + af række er = k k + = k +. Da lim k k+ = følger påstade. Rækker af dee type, hvor leddee spiser hiade to og to kaldes e teleskoperede række. Følgede sætig giver et simpelt ødvedigt kriterium for at e række er koverget. Sætig 2.5. Atag at række a er koverget. Så er lim a = 0. 50

61 2. Defiitio og koverges af talrækker Bevis. Lad a være rækkes sum, altså a = a, og lad {s k } være følge af afsitssummer. For ethvert ε > 0 fides så et N N således at s k a ε 2 (2.3) år k N. Da følger så, at år N +. s s = a 0 + a + + a (a 0 + a + + a ) = a a = s a + a s s a + a s ε 2 + ε 2 = ε Når ma får stukket er uedelig række ud, og bliver bedt om at afgøre om de er koverget, er det første ma bør gøre, at afgøre om leddee i række kovergerer mod 0. Hvis det ikke er tilfældet ved ma med det samme, ved brug af Sætig 2.5, at række er diverget. Eksempel 2.6. Ved brug af Sætig 2.5 følger det, at række er diverget fordi i = i = for alle N. Hvis derimod leddee går mod 0 er der e chace for at række er koverget. Som følgede berømte eksempel viser, er der dog ige garati for, at række er koverget blot fordi leddee går mod 0. Sætig 2.5 giver e ødvedig betigelse for koverges, me lagtfra e tilstrækkelig betigelse. i Bemærkig. Dee sprogbrug er meget udbredt. Med Q er e ødvedig beti- gelse for P eller P er e tilstrækkelig betigelse for Q mees simpelthe P Q. Læs mere om implikatioer og biimplikatioer i Appediks C. Eksempel 2.7. Række = = (2.4) kaldes de harmoiske række. Da lim = 0 ka vi ikke bruge Sætig 2.5 til at afgøre om de harmoiske række er koverget eller ej. Divergese af (2.4) ka ses af, at afsitssummere {s k } udgør e ubegræset følge, og derfor ikke ka være koverget, jvf. Propositio.29. Vi har emlig, at = 2 (2.5) for alle N. Fra dee vurderig følger at s 2 j j 2 (2.6) 5

62 Kapitel 2 Uedelige rækker for alle j. Dee ulighed ka formelt etableres ved et iduktiosargumet: Lad p(m) være udsaget at (2.6) er korrekt for j = m. Da s 2 = s 2 = 3 2 2, er p() sad, og dermed har vi klaret iduktiosstarte. Atag så at p(m) er sad. Da s 2 m+ = s 2 m + 2 m m m+ fider vi ved brug af (2.5) at s 2 m+ s 2 m + 2. Da vi atager, at p(m) er sad, er s 2 m m 2, så vi har altså også at s 2 m+ m = m+ 2. Altså er p(m + ) sad og vi har geemført et fuldstædigt iduktiosbevis for at (2.6) er opfyldt for alle j. Eksempel 2.8. Række =2 l er diverget selvom lim l = 0. Thi vi ved jo, at l x x år x > 0, så derfor har vi at år 2. Dette medfører at l Ved brug af (2.6) følger at j =2 l 2 j =2 j =. l j 2 ikke er be- for alle j, og heraf ses, at følge af afsitssummer af række græset. Række er derfor ikke koverget. =2 l 2.2 Additio og multiplikatio af rækker Da uedelige rækker jo blot er talfølger i forklædig, ka vi høste et par simple regeregler om rækker fra de tilsvarede regeregler for talfølger. Sætig 2.9. Så er række Lad a og b være kovergete rækker. Lad c C. a + cb 52

63 2.2 Additio og multiplikatio af rækker koverget og a + cb = a + c b. Bevis. Pr. atagelse udgør afsitssummere s k = to kovergete følger. Da k a og t k = k a + cb = s k + ct k følger sætige fra Sætig.6. Udsaget i Sætig 2.9 gælder ikke geerelt de modsatte vej: Selvom vi ved at a + cb er koverget, ka vi ikke sige oget om hvorvidt a eller b kovergerer. Fx er rækkere = og = tydeligvis divergete mes deres sum er række = 0, som er så koverget som de fås. Hvis der specifikt er tale om realdele hhv. imagiærdele af e kompleks række, gælder dog følgede resultat. k b Sætig 2.0. Lad z (2.7) være e række med komplekse led, og lad a = Re z og b = Im z være realog imagiærdele af z, hhv. Så er række (2.7) koverget hvis og ku hvis rækkere og b (2.8) a begge er kovergete. Når det er tilfældet er z = a + i b. Bevis. Atag først at de to rækker (2.8) begge kovergerer. Vi aveder så Sætig 2.9 med c = i til at kokludere, at z = a + ib er koverget, og at z = a + i b. Tilbage er så at vise, at rækkere (2.8) er kovergete år (2.7) er det. Til det formål observerer vi, at k k k z = a + i b. Sætig.23 fortæller os u at afsitsfølgere { k a } k= og { k b } k= er kovergete fordi { k z } er det. Altså er begge rækkere i 2.8 kovergete k= fordi z er det. 53

64 Kapitel 2 Uedelige rækker Sætig 2.0 ka fx bruges til at fide summe af e gestridig reel række ved at opfatte de som real- eller imagiærdel af e kompleks række som måske er lettere at hådtere. Omvedt ka sætige også bruges til at afgøre koverges af komplekse rækker ved at avede reelle metoder på real- og imagiærdel hver for sig. Se Eksempel 2.3 for e avedelse af de førstævte type. Quiz 5. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad a være e uedelig række. Udsag Sad Falsk () Til ehver kompleks talfølge {x } fides e uedelig række med afsitsfølge {x }. (2) Hvis følge {a } er kostat, så er række a koverget. (3) Hvis afsitssummere s k = k a udgør e kostat følge, så er række a koverget. (4) Hvis a 2+ = a 2 for alle N, så er a koverget. (5) Række a er diverget hvis og ku hvis række a er koverget. (6) Hvis {a } er reel og lim a =, så er række l a koverget. (7) Hvis talfølge {a } er koverget, så er række = a a det også. (8) Hvis Im a > 0 for alle, og række a er koverget med sum s, så er Im s > 0. (9) Hvis rækkere a og b er divergete, så er række a b også diverget. (0) Hvis række a er koverget og f : N N er e stregt voksede fuktio, så er række a f() også koverget. 54

65 2.3 Geometriske rækker 2.3 Geometriske rækker Defiitio 2.. Lad t C. E række af forme t = + t + t 2 + t 3 + t 4 + (2.9) kaldes for e geometrisk række. Rækkere () og (2) fra idledige er eksempler på geometriske rækker, svarede til t = 2 og t = 2. Sætig 2.2. Lad t C. De geometriske række t (2.0) er koverget år t < og diverget år t. Når t < er summe t = t. (2.) Bevis. Lad s k = k t = + t + t t k være de k te afsitssum af (2.0). Når t fider vi ved brug af (A.0) at t = t for alle. Dermed ka følge {t } ikke kovergere mod 0, og så er (2.0) diverget ifølge Sætig 2.5. Vi atager så, at t <. Da ts k = t + t 2 + t t k + t k+ = s k + t k+. fider vi ved divisio med t at og dermed er s k = tk+, t t s k = t k+ t. Ved brug af (A.0) fider vi så, at t s k = t k+ t. (2.2) Når t < følger det fra Eksempel.4 at lim k t k+ lim k s k = t. t = 0, og så viser (2.2) at 55

66 Kapitel 2 Uedelige rækker Eksempel 2.3. Aveder vi Sætig 2.2 med t = i 2 får vi koklusioe, at ( ) i = 2 i. (2.3) 2 Da ( i ) ( + i ) = = 5 4 fider vi, at Altså fortæller (2.3) os, at ( i ) = i. ( ) i = i. (2.4) 5 For at fide real- og imagiærdele af række ( i 2) observerer vi først, at Altså er mes Så er år 0 modulo 4 ( ) i = 2 i år modulo 4 2 år 2 modulo 4 i år 3 modulo 4 Re Im år 0 modulo 4 ( ) i = 2 0 år modulo 4 2 år 2 modulo 4 0 år 3 modulo 4 0 år 0 modulo 4 ( ) i = 2 år modulo år 2 modulo 4 år 3 modulo 4 ( ) i Re = = 2 og ( ) i Im = = 2 Ved brug af Sætig 2.0 fider vi så, at ( ) k 2 2k = Re i = 4 5, 2 mes k=0 ( ) k 2 2k ) = Im i = k=0 ( ) k 2 2k k=0 ( ) k 2 2k. k=0 56

67 2.4 Altererede rækker og absolut koverges 2.4 Altererede rækker og absolut koverges Vi begyder dette afsit med at se på e af de simpleste typer af rækker, emlig dem med ikke-egative led. Defiitio 2.4. hvor a R og a 0 for alle. E positiv række er e række Positive rækker er på flere pukter lidt lettere at ha med at gøre ed geerelle rækker, hvor leddee ka skifte forteg eller være komplekse tal. a Sætig 2.5. afsitssummere udgør e begræset følge {s k }. E positiv række a er koverget hvis og ku hvis s k = k a Bevis. Atag først at a er koverget. Det betyder, pr. defiitio, at følge {s k } af afsitssummer er koverget. Me så er {s k } også begræset ifølge Propositio.29. Atag omvedt at {s k } er begræset. Da leddee i række er ikke-egative er s k s k+ for alle k. Dvs. at {s k } er e voksede følge. Det følger så fra Sætig.37 at {s k } er koverget. Altså er a koverget. For e positiv række a formulerer ma ofte udsaget, at række er koverget, ved kort at skrive a <, og diverges af række ved a =. I Opgave 2.26 skal du vise at kovergesforholdee for e positiv række ikke ædres ved ombytig af leddee i række, og summe heller ikke. Opgave 2.35 giver et eksempel på at summe af e række med både positive og egative led i ogle tilfælde ka ædre sig, hvis rækkefølge af leddee ædres! Vi skal u se på e ade type af reelle rækker, med led som skifter forteg hele tide. De præcise defiitio er som følger. Defiitio 2.6. E række af forme ( ) a med a R og ete a 0 for alle, eller a 0 for alle, kaldes e altererede række. 57

68 Kapitel 2 Uedelige rækker Om altererede rækkers koverges gælder følgede praktiske sætig. Sætig 2.7. Lad ( ) a være e altererede række og atag at a a + 0 for alle. Så er de altererede række ( ) a koverget hvis og ku hvis lim a = 0. Bevis. Hvis ( ) a er koverget ved vi fra Sætig 2.5 at lim a = 0. Vi skal altså vise, at vores atagelser om, at a ere er e aftagede følge som kovergerer mod 0, sikrer at de modsatte implikatio også er rigtig. Atag derfor at lim a = 0. Vi skal vise at afsitssummere s k = k ( ) a = a 0 a + a 2 + ( ) k a k udgør e koverget følge {s k }. Ifølge Sætig.35 er det ok at vise, at {s k } er e Cauchy-følge. Lad k N. Vi viser først at ( ) a + ( ) + a + + ( ) +2 a ( ) +k a +k 2a (2.5) for alle k = 0,, 2, 3,.... Ved at sætte ( ) udefor paretes får vi at ( ) a + ( ) + a + + ( ) +2 a ( ) +k a +k = a a + + a +2 a +3 + ± a +k (2.6) hvor forteget for a +k afhæger af, om k er lige eller ulige. Når k er lige har vi, at a a + + a +2 a +3 + ± a +k hvoraf følger at = a (a + a +2 ) (a +3 a +4 ) (a +k a +k ), (2.7) 0 a a + + a +2 a +3 + ± a +k a fordi a j a j+ 0 for alle j. Sammeholdt med (2.6) viser dette, at ( ) a + ( ) + a + + ( ) +2 a ( ) +k a +k a (2.8) år k er lige. Når k er ulige er k lige og derfor er ( ) a + ( ) + a + + ( ) +2 a ( ) +k a +k ( ) a + ( ) + a + + ( ) +2 a ( ) +k a +k + a +k a + a +k (ved brug af (2.8)) 2a (fordi a +k a ) (2.9) Dermed har vi vist, at (2.5) gælder for alle k. Vi ka u hurtigt afslutte beviset ved at vise, at {s k } er e Cauchy-følge. Lad ε > 0. Da lim a = 0 fides et N N således at a ε 2 (2.20) 58

69 2.4 Altererede rækker og absolut koverges år N. Når m N har vi så, at s s m = ( ) + a + + ( ) +2 a ( ) m a m 2a + ε (ved brug af (2.5) og (2.20)) Dette viser at {s k } klumper sig samme og derfor er e Cauchy-følge. Bemærkig. Der er ikke oge etydig korrekt måde at præsetere et matema- tisk bevis på. Dette har at gøre med, at mes selve det matematiske idhold i et bevis i pricippet er objektivt og behageligt tømt for meeskelige hesy, er præsetatioe (eller beskrivelse) af argumetet i beviset uderlagt samme vilkår som al ade kommuikatio, og må ødvedigvis tage højde for tig som fx modtageres forudsætiger og geerelle baggrud. For at illustrere dette har vi edefor aført et bevis for Sætig 2.7 som er idetisk med det vi etop har givet, me som adskiller sig ved de avedte otatio. Bevis for Sætig 2.7, u med Σ. Hvis ( ) a er koverget ved vi fra Sætig 2.5 at leddee går mod ul. Så gælder det samme om deres umeriske værdier, så vi kokluderer at lim a = 0. Vi skal altså vise, at vores atagelse om at {a } er aftagede og har græseværdi 0, sikrer at de modsatte implikatio også er rigtig. Atag derfor at lim a = 0. Vi skal vise at afsitssummere s k = k ( ) a udgør e koverget følge {s k }. Ifølge Sætig.35 er det ok at vise, at {s k } er e Cauchy-følge. Vi er altså iteresserede i differese s k s l, og vi vil begyde med at vise at s k s l 2a l+ for alle aturlige tal k l. k s k s l = ( ) a l ( ) a = k =l+ k l ( ) a = ( ) a l+ (2.2) Vi deler op i to tilfælde, alt efter om k l er lige eller ulige. Hvis k l = 2m + er ulige, ka vi omskrive yderligere på udtrykket ved at gruppere leddee to og to, bortset fra det første: s k s l = = a l+ a l+ = m ( ( ) 2j a l+2j + ( ) 2j+ ) a l+2j+ j= m (a l+2j a l+2j+ ) j= (2.22) Atagelse a a + medfører at hvert led i summe i (2.22) er positivt, så vi kokluderer at s k s l a l+ 2a l+ som var det vi øskede at vise. Atag u i stedet at k l er lige. Så er (k ) l ulige, og vi ka gebruge hvad vi viste ovefor: s k s l = k =l+ ( ) a k =l+ ( ) a + a k = s k s l + a k a l+ + a k 2a l+ 59

70 Kapitel 2 Uedelige rækker Dermed har vi vist at s k s l 2a l+ for alle k l 0. Vi ka u hurtigt afslutte beviset ved at vise, at {s k } er e Cauchy-følge. Lad ε > 0. Da lim a = 0 fides et N N således at 60 år N. Når k l N har vi så, at a ε 2 s k s l 2a l+ ε Dette viser at {s k } klumper sig samme og derfor er e Cauchy-følge. Det er ikke svært at se, at metode i de to beviser er helt idetiske, og at forskelle alee beror på avedelse af summatiossymbolet Σ. De matematiske litteratur ideholder masser af eksempler på e eller flere forskellige fremstilliger af det samme bevis, hvor forskellee i fremstillige er meget større ed i eksemplet ovefor. Eksempel 2.8. Række ( ) + = , = som tydeligvis er altererede, kaldes for de altererede harmoiske række. Da + følger det fra Sætig 2.7 at række er koverget. Vi røber at summe er l 2, altså de aturlige logaritme af 2, me det har vi edu ikke redskaber til at kue bevise. Eksempel 2.9. Betragt række ( 2). (2.23)! Da ( 2) = ( ) 2 er række tydeligvis altererede. Når 2 er = 2! 2+ ( + )! og desude er lim 2! = 0. Det følger fra Sætig 2.7 at (2.23) er koverget. Summe er e 2 hvor e er grudtallet for de aturlige logaritme, me det bevis kræver lidt mere ed hvad vi har til rådighed her. Det er et karakteristisk træk ved de altererede rækker hvis koverges er sikret ved brug af Sætig 2.7, at det meget ofte ikke er helt ekelt at bestemme summe af række. De skiftede forteg gør at altererede rækker i e vis forstad oftere er kovergete ed tilfældet er med geerelle rækker. De harmoiske række er jo for eksempel diverget, mes des altererede fætter fra Eksempel 2.8 faktisk er koverget. Forelagt e koverget altererede række ka ma derfor spørge om det ku er på grud af de skiftede forteg at række kovergerer, eller om de stadig kovergerer hvis vi tager de umeriske værdi af leddee. Samme spørgsmål er relevat for e geerel kompleks række.

71 2.4 Altererede rækker og absolut koverges Defiitio koverget. E række a er absolut koverget år a er Eksempel 2.2. E positiv række a er absolut koverget hvis og ku hvis de er koverget. Det er fordi a = a år a 0. Eksempel Række ( ) + = fra Eksempel 2.8 er koverget, me ikke absolut koverget. Thi række ( ) + = = er de harmoiske række som ikke er koverget, jvf. Eksempel 2.7. Det foregåede eksempel viser, at ikke alle kovergete rækker er absolut kovergete. Det modsatte er derimod altid tilfældet: E absolut koverget række er automatisk koverget. = Sætig E absolut koverget række a er koverget, og a a. (2.24) Bevis. Vi viser, at afsitssummere s k = k udgør e Cauchy-følge. Til det formål bruger vi, at række a er koverget. Det medfører emlig, ved brug af Sætig.34, at des afsitssummer t k = a k a udgør e Cauchy-følge. Så for vilkårligt ε > 0 ka vi fide N N så l =k+ a = t l t k ε (2.25) for alle l k N. Me fra trekatsulighede (A.7) følger at l =k+ og ved idsættelse i (2.25) ser vi så, at a s l s k = l =k+ l =k+ a a ε 6

72 Kapitel 2 Uedelige rækker år l k N. Dermed har vi vist, at {s k } udgør e Cauchy følge, således at række er koverget. Lad s betege rækkes sum, altså s = lim k s k = a. Fra Korollar A.2 følger, at s k s s k s og dermed at Fra trekatsulighede (A.7) følger også at k s k = a og ved brug af Sætig.2 at s = lim k s k. (2.26) lim s k lim k k Fra (2.27) og (2.26) får vi (2.24). k a, k a = a. (2.27) Absolut kovergete rækker opfører sig på flere måder pæere ed geerelle kovergete rækker. I Opgave 2.26 og 2.32 skal du for eksempel vise at kovergesforholdee for absolut kovergete rækker ikke ædres ved ombytig af leddee. Opgave 2.35 viser derimod et eksempel på at situatioe er oget mere eksotisk for rækker som er kovergete me ikke absolut kovergete, såkaldt betiget kovergete rækker. De tyske matematiker Berhard Riema ( ) viste følgede resultat om betiget kovergete reelle rækker: Hvis a R for alle, række a er betiget koverget, og S R er vilkårlig, fides e bijektio f : N N så række a f() er koverget med sum S. Med adre ord, leddee i e betiget koverget reel række ka ombyttes på e såda måde at de fremkome række har vilkårligt givet sum! Et bevis for dee påstad kue forløbe som følger. Lad S R være et givet tal, og lad os se på hvorda vi omorgaiserer leddee i e give betiget koverget række a for at lave de om til e række med sum S. Lad os fx sige at S er positiv. Fra Opgave 2.38 ved vi at både de positive og egative led i a hver for sig udgør divergete rækker. Vi ka altså tage positive led fra de opridelige række og lægge samme idtil vi akkurat år op over S. Derefter tager vi egative led med idtil vi akkurat år ed uder S. Da vi ku har taget edeligt mage af de positive led idtil videre, er der stadig e uedelig sum at tage af, så vi fortsætter ved at tage de æste positive led i række med, idtil vi ige får e afsitssum som er større ed S. På dee måde bliver vi ved i det uedelige. Resultatet i Opgave 2.38 sikrer at vi aldrig løber tør for hverke positive eller egative led. Eftersom række vi startede med er koverget, ved vi at leddee går mod ul. Det betyder at det stykke vi går for lagt bliver midre og midre jo lægere vi bliver ved. Ma ka på dee måde bevise at de ye række bliver koverget med sum S. 62

73 2.4 Altererede rækker og absolut koverges Quiz 6. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad a være e uedelig række. Udsag Sad Falsk () Hvis e geometrisk række er altererede, så er de koverget. (2) Hvis t < og Im t 0, så er Im ( t) 0. (3) Hvis a er positiv og koverget, og der gælder a for alle, så er række a2 også koverget. (4) Hvis rækkere a og b er kovergete, så er række a b også koverget. (5) Hvis e række er både positiv og altererede, så er de koverget. (6) Hvis afsitssummere af e altererede række udgør e begræset følge, så er række koverget. (7) Hvis e reel række er absolut koverget, så er des sum ikke-egativ. (8) Hvis række ( ) a er absolut koverget, så er række a det også. (9) Hvis der om e reel talfølge {b } gælder at lim b = 0 og b > b + fra et vist tri, så er række ( ) b koverget. (0) Hvis de altererede række ( ) b er diverget, så går følge {b } ikke mod 0 for. 63

74 Kapitel 2 Uedelige rækker 2.5 Kovergeskriterier I dette afsit skal vi bevise e række sætiger som giver kriterier for at e give række er koverget, vel at mærke ude at berege des sum. Følgede sætig giver e simpel og meget avedelig metode til at afgøre koverges af positive rækker ud fra adre rækker hvis kovergesforhold er kedt. Lad a og b væ- Sætig 2.24 (Sammeligigskriteriet). re to positive rækker. Atag at a b (2.28) for alle N. (i) Hvis b er koverget er a også koverget, og der gælder, at a b. (2.29) (ii) Hvis a er diverget er b også diverget. Bevis. (i) Når b er koverget udgør afsitssummere k b, k = 0,, 2,... e begræset følge ifølge Sætig 2.5. Dvs. at der fides et K 0 så for alle k. Me så følger fra (2.28) at k b K k a k b K (2.30) for alle k, og så sikrer Sætig 2.5 at også a er koverget. Ulighede (2.29) følger fra (2.30) ved brug af Sætig.2. (ii) Hvis a er diverget udgør dee rækkes afsitssummer e ubegræset følge, og det samme gør så afsitssummere for række b, som dermed er diverget ifølge Sætig 2.5. Bemærkig. Bemærk at udsaget (ii) i Sætig 2.24 blot er det kotrapoerede til (i). Da et udsag altid har samme sadhedsværdi som si kotrapoerig er det faktisk ikke ødvedigt med et separat bevis for (ii), hvis ma ellers stoler på at beviset for (i) er korrekt. Eksempel Række = cos ( ) 7 (2.3) 64

75 2.5 Kovergeskriterier er diverget. Dette ka ses ved sammeligig med de harmoiske række på følgede måde: Når 7 er ( ) 7 cos cos og derfor er cos ( ) 7 cos() for alle 7. Som vi så i Eksempel 2.7 er =7 diverget. Og da cos > 0 følger heraf, at også række =7 cos er diverget. Pukt (ii) i Sætig 2.24 fortæller os så, at cos ( ) 7 =7 er diverget. Me så er (2.3) også diverget. Eksempel Række = 2 er koverget. Dette ka ses sammeligig med de geometriske række som er koverget ifølge Sætig 2.2. (2.32) = 2 Bemærkig. Som Eksempel 2.25 og 2.26 atyder, er Sammeligigskriteriet et utroligt yttigt redskab at have i værktøjskasse, år koverges og diverges af rækker skal afgøres. For at bruge Sammeligigskriteriet skal ma aturligvis have oget at sammelige med, så det er e god ide at huske på e samlig af stadardrækker hvis kovergesforhold er kedte. De harmoiske række er fx et godt sted at starte si samlig, og række af reciprokke kvadrattal samt familie af geometriske rækker bør også stå på liste. Sammeligigskriteriet har følgede korollar om absolut koverges af talrækker med vilkårlige (dvs. ikke ødvedivis positive) led. Korollar Lad a og b være to rækker. Atag at a b (2.33) for alle N. (i) Hvis b er absolut koverget er a også absolut koverget. (ii) Hvis a ikke er absolut koverget er b det heller ikke. Bevis. Dette følger direkte fra defiitioe på absolut koverges ved brug af Sammeligigskriteriet. Vi overlader detaljere til læsere. De æste sætig er også e avedelse af Sammeligigskriteriet til absolut kovergete rækker. 65

76 Kapitel 2 Uedelige rækker Sætig Lad a og b være absolut kovergete rækker, og lad c C. Så er række a + cb absolut koverget. Bevis. Fra Sætig A. fider vi, at a + cb a + c b. Sammeligigskriteriet og Sætig 2.9 medfører så at a +cb er koverget, og altså at a + cb er absolut koverget. Eksempel Lad a være e absolut koverget række og {b } e begræset følge. Så er række b a (2.34) absolut koverget. Det ka idses på følgede måde: Da {b } er begræset fides et K 0 så b K for alle, og så er b a K a = Ka. Da Ka er absolut koverget ifølge Sætig 2.28 ser vi fra Korollar 2.27 at (2.34) er absolut koverget. På dee måde ser ma for eksempel let, at række = cos 2 er absolut koverget. De ysgerrige læser ka jo fudere over hvad summe af dee række er. Forfattere har ige aelse! Sætig 2.30 (Kvotietkriteriet). Lad {a } være e talfølge som er forskellig fra 0 fra et vist tri, dvs. der fides et N N så a 0 for alle N. Atag at følge { a + a er koverget og sæt } =N q = lim a +. a (i) Hvis q > er række a diverget. (ii) Hvis q < er række a absolut koverget. Bevis. (i) Vælg et r ], q[. Da lim a + a > r ka vi fide et M > N så a + a r 66

77 2.5 Kovergeskriterier for alle M, og dermed også således at a + r a (2.35) for alle M. Fra (2.35) følger først at a M+ r a M, deræst at a M+2 r a M+ r 2 a M, osv. Ved et formelt iduktiosbevis, som vi overlader til læsere, ka ma på dee måde vise at a r M a M (2.36) for alle M. Da r M a M a M > 0 følger fra (2.36) at følge {a } ikke kovergerer mod 0. Det følger så fra Sætig 2.5 at række a er diverget. (ii) Hvis q < vælger vi et r ]q, [. Samme argumet som ovefor viser så, at der fides et M N så a + r a for alle M, og et iduktiosargumet mage til det vi overlod til læsere ovefor viser så at a r M a M (2.37) for alle M. Da r < er de geometriske række =M+ koverget, jvf. Sætig 2.2, og da r M a M = a M r følger at også r M r M a M =M+ er koverget. Me så følger fra (2.37), ved brug af Korollar 2.27 at a er absolut koverget. r Eksempel 2.3. Det følger fra Kvotietkriteriet at række z! er absolut koverget for alle komplekse tal z. Thi vi har jo, for z 0, at z+ (+)! z = z + som går mod 0 for.! (2.38) Eksempel Række =2 l 2 l 3 l 4 l er koverget. Dette følger af Kvotietkriteriet, idet lim l 2 l 3 l 4 l l(+) l 2 l 3 l 4 l = lim l( + ) = 0. 67

78 Kapitel 2 Uedelige rækker Sætig 2.33 (Rodkriteriet). græseværdie eksisterer. Lad a være e række og atag at a q = lim (i) Hvis q > er række a diverget. (ii) Hvis q < er række a absolut koverget. Bevis. (i) er Lad r ], q[. Så fides der et N så a r for alle N, og dermed a r for alle N. Heraf følger at leddee a i række ikke går mod 0, og række er derfor ikke koverget ifølge Sætig 2.5. (ii) Lad r ]q, [. Så fides der et N så a r for alle N, og dermed er a r for alle N. Ved sammeligig med de geometriske række følger heraf, at a er absolut koverget, jvf. Korollar Eksempel Række = 2 + (2.39) er koverget. Det ka vises ved brug af Rodkriteriet på følgede måde: for alle, så vi ser, at 2 + = 2 lim + 22 = = 0, og Sætig 2.33 sikrer at (2.39) kovergerer. Eksempel begge er kovergete. Ved hjælp af Rodkriteriet er det let at vise at rækkere = ( si ) og =2 (l ) Vi slutter dette afsit med et lidt aderledes kovergeskriterium, som giver e forbidelse mellem itegratiosteori og rækketeori. Det er et af de kraftigste værktøjer til at afgøre koverges og absolut koverges for mage rækker. 68

79 2.5 Kovergeskriterier Lad f være e ikke-egativ fuktio defieret på [, ), dvs. for alle positive tal større lig. Restriktioe af f til de positive aturlige tal giver aledig til række f(). Fx fremkommer række = = på dee måde ved at bruge fuktioe f(t) = t 2. Som det er tilfældet med dee fuktio, atager vi i de følgede sætig udover kotiuitet, at f skal være aftagede, dvs. opfylde implikatioe 2 x y = f(y) f(x). Sætig 2.36 (Itegralkriteriet). Lad f : [, ) [0, ) være e kotiuert og aftagede fuktio. Så er række f() (2.40) koverget hvis og ku hvis følge = er koverget. { k } f(x) dx k= Bevis. For ethvert N gælder ulighede f( + ) f(x) f() for alle x [, + ] fordi f er aftagede. Det følger så fra elemetære egeskaber ved bestemte itegraler (se fx side 363 i [S]) at + f( + ) dx + f(x) dx + f() dx. Da + f( + ) dx = f( + ) og + f() dx = f() får vi ved summatio at k k + k f( + ) f(x) dx f() (2.4) = = for alle k. Ved brug af idskudsregle for itegraler (se fx ederst side 362 i [S]) fider vi at k + k+ f(x) dx = f(x) dx. = Ved idsættelse i (2.4) får vi ulighedere k f() + f(k + ) f() = k+ = f(x) dx k f() (2.42) = 69

80 Kapitel 2 Uedelige rækker Figur 2.: Grafe for e fuktio f som i Itegralkriteriet. for alle k. Se figur 2.. Fra (2.42) følger det, at følge { k f(x) dx} hvis og ku hvis følge k s k = f() = k= er begræset af afsitssummer for række (2.40) er begræset. Ifølge Sætig.37 betyder det at { k f(x) dx} k= er koverget hvis og ku hvis {s k} er det. Bemærkig. Beviset for Sætig 2.36 er atypisk i og med at det er et bevis for e biimplikatio som ikke består i at vise de to implikatioer e ad gage. Det skyldes at vi ka etablere dobbeltulighede (2.42), og på de måde slå to fluer med ét smæk. Hver af de to uligheder beviser e af retigere i biimplikatioe { k } k følge f(x) dx er begræset følge f() er begræset. k= Hvilke ulighed viser hvilke implikatio? = Eksempel Det følger fra Sætig 2.36 at række 2 (2.43) = er koverget: Først oterer vi os, at fuktioe f(t) = er kotiuert og aftagede t 2 på [, ) således at f(t) = er e af de fuktioer Sætig 2.36 hadler om. For t 2 ethvert har vi at [ x 2 dx = ] = x. Da følge { } tydeligvis er koverget (med græseværdi ) fortæller Sætig 2.36 os at (2.43) er koverget. = Vi har edu ikke geemgået metoder til at bestemme summe af (2.43). For at pirre læseres ysgerrighed skal vi allerede u røbe at 2 = π2 6. = (Her bør de matematik-midede læser, der stadig har e smule af si medfødte ysgerrighed i behold, udbryde (eller i det midste tæke): Hvad pokker har summe af de reciprokke kvadrat-tal med forholdet mellem omkreds og diameter i e cirkel at gøre? ) 70

81 2.6 Potesrækker Eksempel Række = l( + ) (2.44) er diverget. Det ka vises ved brug af Itegralkriteriet på følgede måde: Fuktioe f(t) = t l(t+) er kotiuert på [, ) og da f l(t + ) + t t+ (t) = t 2 l(t + ) 2 0 for alle t ved vi, at f også er aftagede på [, ). Altså er f e af de fuktioer Sætig 2.36 hadler om. Som det første udreger vi itegralet (x+) l(x+) dx ved at foretage substitutioe s = l(x + ): Da følge { l(l( + )) } (x + ) l(x + ) dx = = { er ubegræset. Vi ved også, at 0 l(+) l 2 s ds = [ l s ] l(+) l 2 = l(l( + )) l(l 2). er ubegræset ser vi fra (2.45) at følge (x + ) l(x + ) dx } = (x + ) l(x + ) x l(x + ) for alle x, og det medfører som bekedt at 0 (x + ) l(x + ) dx for alle. Heraf slutter vi, at også følge { x l(x + ) dx } x l(x + ) dx = (2.45) er ubegræset og derfor diverget. Ifølge Sætig 2.36 er det samme derfor tilfældet for række (2.44). 2.6 Potesrækker E potesrække er e række af forme a (z a) (2.46) hvor a og a 0, a, a 2, a 3,... er komplekse tal, og z er e kompleks variabel. Ma ka tæke på e potesrække som et polyomium af uedelig grad. De k te afsitssum k a (z a) 7

82 Kapitel 2 Uedelige rækker af (2.46) er jo et polyomium af orde k. De mest fudametale potesrække er de geometriske række z (2.47) som vi allerede er stødt på.vi ved fra Sætig 2.2 at de geometriske række er koverget år z < og diverget år z. Så række (2.47) er altså koverget år z ligger idefor cirkle med cetrum i 0 og radius, og diverget år z ligger på cirkle eller udefor. Ved at bruge dette ka vi også bestemme kovergesforholdee for række (z a) (2.48) som fremkommer fra de geometriske række ved at erstatte z med z a. Det er emlig klart, at (2.48) kovergerer i puktet z = z 0 hvis og ku hvis (2.47) kovergerer i puktet z = z 0 a. Altså er (2.48) koverget for alle z idefor cirkle med cetrum i a og radius og diverget for alle z på eller udefor dee cirkel. Det viser sig at kovergesforholdee for e geerel potesrække i det store hele er som for række (2.48). Der fides e cirkel i de komplekse pla med cetrum i a, kaldet kovergescirkle, såda at potesrække kovergerer år z ligger idefor kovergescirkle, og divergerer år z ligger udefor kovergescirkle. I eksemplet med de geometriske række havde kovergescirkle radius, me geerelt ka radius være et hvilket som helst positivt tal R. I Eksempel 2.3 så vi på e potesrække som kovergerer for alle komplekse tal z. I dette tilfælde sætter vi R =. Figur 2.2: Række (2.46) kovergerer år z ligger idefor cirkle med cetrum i a og radius R. Det der afgør hvor stor radius kovergescirkle har, er koefficietere a 0, a,... i (2.46). I (2.48) er alle disse koefficieter lig. Hvis for eksempel a =! eller a =, således at absolutværdie af a ere vokser usympatisk hurtigt, vil det geerelle led a (z a) i række (2.46) ikke gå mod ul, år går mod uedelig, med midre z = a. I sådae tilfælde kovergerer række (2.46) ku for e ekelt værdi af z emlig z = a, og vi siger at kovergescirkle har radius 0. Eksempel Lad os se på følgede eksempel: (i) (z 2). 72

83 2.6 Potesrækker Dee potesrække kovergerer åbelyst for z = 2, me hvad med adre z-værdier? Bemærk at (i) (z 2) = i (z 2) = i (z 2) = i z 2 = z 2 = ( z 2 ) for alle N. Hvis z 2 er z 2 > 0, og år > / z 2, er z 2 >. Så (i) (z 2) = ( z 2 ) > for alle > / z 2. Derfor er (i) (z 2) diverget for z 2, thi rækkes led går ikke mod 0, jvf. Sætig 2.5. Eksempel Betragt potesrække 2 z (2.49) der fremkommer fra (2.46) ved at sætte a = 0, a 0 =, a = /2, a 2 = /4, a 3 = /8, og så videre. Dee potesrække kovergerer, år z < 2, og divergerer år z 2. For at overbevise læsere om det, er det ok at omskrive (2.49) e lille smule : for alle N så ( z 2 z = 2) 2 z = ( z ). 2 Me det er jo de geometriske række svarede til variabel-værdie z/2. Så vi ser, at række ( z ) 2 kovergerer, år z 2 < og divergerer, år z 2. Ved at gage igeem med 2 ser vi altså, at (2.49) er koverget for z < 2 og diverget for z 2 som påstået. Vi skal u formulere og bevise e sætig som præciserer vores observatioer om kovergesforhold for potesrækker. Givet e potesrække a (z a), sætter vi R =, (2.50) lim sup a idet vi beytter kovetioe, at 0 = og = 0. Så er R et elemet i [0, ], kaldet kovergesradius for potesrække. Det at vi tillader som værdi for kovergesradius bør ikke friste læsere til at begyde at rege med som et almideligt tal. Ma ka tæke på som et ekstra pukt føjet til mægde R, som opfylder at > x for alle x R, me som ikke ka bruges til plus, gage og så videre. Ma ka til ød defiere at fx + =, me så stopper feste også. Udtryk som og er ikke defierede, og ma bør geerelt ikke joglere rudt med -symbolet. Læsere ka som e opgave geemgå beviset for de følgede sætig med R = i takere, og overbevise sig om at ige af disse ulovligheder fider sted. 73

84 Kapitel 2 Uedelige rækker Sætig 2.4. Lad R [0, ] være kovergesradius for potesrække a (z a). (2.5) Så er (2.5) absolut koverget, år z a < R, og diverget år z a > R. Bevis. Atag først at z a < R. Vi skal vise, at (2.5) er absolut koverget, og det er trivielt år z = a. Så vi ka atage at z a. Da z a <, er lim sup a Vi ka vælge et t ]0, [ så tæt på, at hvorved vi også opår, at Da lim sup a K N, så z a lim sup a <. z a lim sup a < t <, (2.52) lim sup a t < z a. (2.53) [ { = limk sup a k }] får vi fra (2.53), at der fides et sup { a K } < t z a. Me så er a z a < t for alle K, og dermed er a z a < t for alle K. Heraf følger at a (z a) < t, K. (2.54) Da =K t t = t giver Sammeligigskriteriet (Sætig 2.24) sammeholdt med (2.54), at række =K a (z a) er koverget. Me så er også a (z a) koverget, og det betyder jo etop at a (z a) er absolut koverget. Atag deræst at z a > R. Så er Da sup { a lim sup a > z a. k } lim sup a for alle k N, har vi, at sup { a k } > z a for alle k N. Heraf ser vi, at vi for ethvert k N ka fide et m k k, som opfylder at a mk m k > z a, og dermed også at a mk (z a) m k = a mk z a m k >. 74

85 2.6 Potesrækker Vi har altså vist, at vi til ethvert k N ka fide et m k k, så a mk (z a) m k >. (2.55) Heraf følger det, at a (z a) ikke går mod 0, thi i så fald skulle vi kue fide et N N, som opfylder, at a (z a) < for alle N i modstrid med (2.55). Vi har altså vist, at leddee i række (2.5) ikke går mod 0, og dermed ka (2.5) ikke være koverget, jvf. Sætig 2.5. Sætig 2.4 siger, at der til e potesrække a (z a) fides e cirkel med cetrum i a, evt. med radius 0 eller, således at potesrække er koverget år z ligger idefor cirkle, og diverget år z ligger udefor. Kovergesradius er etop radius for dee cirkel. Fuktioe z a (z a), z C kaldes for potesrækkes sumfuktio. Med midre adet bliver agivet, lader vi defiitiosmægde være cirkelskive {z C z a < R}. Ved brug af potesrækker ka ma på dee måde defiere e magfoldighed af ye spædede fuktioer. Bemærk at Sætig 2.4 itet siger om kovergese af potesrække for z C med z a = R. Det er ofte e kompliceret affære at afgøre hvorvidt e give potesrække kovergerer i et pukt på kovergescirkle. Det ka sagtes forekomme at række kovergerer i ét pukt på dee cirkel, me ikke i et adet. Hele dee matematisk iteressate problemkreds vil vi dog ikke gå id på i disse oter. Eksempel Hvis a, b C er faste tal, ka ma betragte potesrække b (z a). (2.56) Potesrække i Eksempel 2.40 er et specialtilfælde, svaree til b = 2 Kovergesradius for (2.56) er ikke svær at fide ud fra defiitioe: og a = 0. R = ( lim sup b ) ( = lim sup ( b ) ) ( = lim sup b ) = b. Det er ikke altid, at formle (2.50) er de letteste måde at bestemme kovergesradius for e potesrække. Det illustreres fit af de vel ok vigtigste potesrække i matematikke overhovedet, emlig z!. (2.57) ( Det er ikke gaske ligetil at fide lim sup!. Til gegæld ka ma bruge Kvotietkriteriet (Sætig 2.30) som vi gjorde i Eksempel 2.3, til at vise at z! er koverget for alle z C. Det følger så fra Sætig 2.4 at kovergesradius for potesrække (2.57) er. Det ka vises, at sumfuktioe z z! faktisk er de komplekse expoetialfuktio. Ispireret af dette eksempel har vi følgede sætig som er e specialiserig af Kvotietkriteriet til brug for potesrækker. ) 75

86 Kapitel 2 Uedelige rækker Sætig Lad a (z a) være e potesrække og atag at a 0 fra et vist tri. Hvis græseværdie a R = lim a + fides, evt. som, så har potesrække a (z a) kovergesradius R. Bevis. Når z a giver atagelsere, at a + (z a) + z a lim a (z a) = R Det følger fra Kvotietkriteriet at a (z a) kovergerer år z a R <, dvs. år z a < R, og divergerer år z a R >, dvs. år z a > R. Altså må R være kovergesradius for potesrække a (z a). Eksempel Vi søger kovergesradius for potesrække (2 + 7)(z 3). (2.58) Lad os først prøve om ikke Sætig 2.43 klarer ærtere: ( + ) + 7 = kovergerer mod år går mod uedelig. Sætig 2.43 fortæller os så at (2.58) har kovergesradius R =. Eksempel Vi søger kovergesradius for potesrække 3 (z 3). (2.59) Atter sætter vi først vores lid til Sætig 2.43, og søger at fide græseværdie for kvotietere 3 ( + ) 3. Efter omskrivige 3 ( + ) 3 = ( + )3 ser ma straks at lim 3 (+) 3 =. Så (2.59) har altså kovergesradius. 76

87 2.6 Potesrækker Quiz 7. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad a være e uedelig række. Udsag Sad Falsk () Hvis lim a = 0, så er række 000 a koverget. a (2) Hvis lim + a = 0, så er række koverget.!a (3) Hvis f, g : [, ) [0, ) er to aftagede kotiuerte fuktioer med f(t) g(t) for alle t, og følge { g(t) dt} er koverget, så er række = f() også koverget. = (4) Hvis f : [, ) [0, ) er aftagede og kotiuert, og f har et ulpukt, så er række = f() koverget. (5) Hvis potesrække a (z a) er koverget for z = a + i me diverget for z = a, så har de kovergesradius. (6) Kovergescirkle for e potesrække er etydigt bestemt. (7) Hvis potesrække a (z a) har kovergesradius 4, så har potesrække (2a )(z a) kovergesradius 2. (8) Hvis potesrække a (z a) har kovergesradius 4, så har potesrække a (2z a) kovergesradius 2. (9) Hvis potesrække a (z a) har kovergesradius R =, så gælder det samme om potesrække (a + )(z a). (0) Hvis græseværdie R = lim a eksisterer, så har potesrække a (z a) kovergesradius R. 77

88 Kapitel 2 Uedelige rækker 2.7 Opgaver 2. (Edelige summer) I det følgede repræseterer k, l, m,, p og q hele tal. Atag at k l m. Læsere er formetlig bekedt med sumotatioe l a = a k + a k+ + a k a l + a l, (2.60) =k hvor a ere er komplekse tal, defieret for alle Z. Hvilke af følgede formler er korrekte? (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) Formel Korrekt Forkert m =k a = l=k a + m m =k a = l=k a + m l a q = l l q=0 a q = l a a l a q = (l + )a q l a q = la q l p =k p a = l=k a l p =k p a = l=k a p l p =k p a = l=k a +p l =k a = a k + l l =k a = a k + l =k a =k+ a l =k a = a l + l =k a =l a =l+ a 2.2 (Biomialformle) Hvis, j N og j defieres biomialkoefficiete ( ) j ved formle ( )! = j j!( j)!. Bemærk at 0! = pr. kovetio. Biomialkoefficiete ( j) agiver atallet af muligheder for at vælge j objekter ud af e pulje på. (a) Vis at for alle hele tal j 0. ( ) ( ) + = j j (b) Vis ved iduktio at biomialformle (r + s) = holder for alle r, s C og N. j=0 ( ) + j ( ) r j s j (2.6) j 78

89 2.7 Opgaver 2.3 Lad r, s C og lad N. (a) Giv et iduktiosbevis for formle r s = (r s) r j s j. (2.62) (b) Giv et direkte bevis for (2.62) ved at omskrive højreside. 2.4 Hvilke af flg. rækker er kovergete? ) = 4. 2) = 4. 3) = ) = 3. 5) = ( ) ( ( ) ) ( )+. j=0 2.5 Fid summe af flg. kovergete uedelige rækker: ) z = (+), hvor z er et vilkårligt komplekst tal. 2) ( 2 i. 2) 3) =7 t, hvor t C og t <. 2.6 a) Fid summe af række = ( i 2) 2, idet du gør rede for hvorda du bærer dig ad. b) Fid summe af række idet du gør rede for hvorda du bærer dig ad. c) Gør rede for, at række er koverget. 2 + er diverget, og at række ( ) (Teleskoperede rækker) Lad {a } = være e talfølge. Atag at {a } er koverget med græseværdi 0, og sæt b = a a +. (a) Brug prik-prik-prik -otatio til at vise at række = b er koverget. (b) Gør det samme ved brug af sumotatio. (c) Vis at = 3 3(+), og udyt dette til at vise, at række er koverget. Fid rækkes sum. 2.8 Følgede rækker er teleskoperede. Fid deres sum. = (a) = (b) e (e ) (c) = ( + ) 2 79

90 Kapitel 2 Uedelige rækker 2.9 Betragt række = 4 2. (2.63) (a) Udreg de første tre afsitssummer s, s 2 og s 3, og skriv dem som uforkortelige brøker. (b) Formuler er hypotese om hvorda s k ka beskrives, og bevis de, fx ved et iduktiosbevis. (c) Vis at række (2.63) er koverget med sum (Halelemmaet) E række af forme =N+ a for et N kaldes e hale af række = a. (a) Vis at hvis række = a har e koverget hale, så er de selv koverget. (b) Vis at hvis række = a er koverget, så er ehver hale af række ligeledes koverget. (c) Vis at i tilfælde af koverges gælder at a = = N a + = =N+ 2. Giv eksempler på divergete rækker a og b med de egeskab at a + b er koverget. a 2.2 Lad z C. Fid e koverget række a, hvis led alle er forskellige fra 0, så a = z. 2.3 Afgør om oge af de følgede rækker er kovergete: (a) = + 7 (b) ( ) 2 = (c) = l 2.4 Fid summe af række ( = 2 + (+)) 2i. 2.5 Lad k N, og lad z C, z <. Vis at række er koverget, og fid summe. =k z 2.6 Giv e matematisk forklarig på historie om Achilleus og skildpadde. 2.7 I Eksempel 2.3 fadt vi summere ( ) k 2 2k = 4 og 5 k=0 ( ) k 2 2k = 2 5 ved brug af komplekse tal. Gør det ige, me ude brug af komplekse tal. k=0 80

91 2.7 Opgaver 2.8 Lad z C være et komplekst tal. Vis at der fides e koverget geometrisk række t med sum z hvis og ku hvis Re z > Vis at række er koverget og fid des sum. = ( ) + i 3 + i 2.20 Vis at e geometrisk række t er absolut koverget hvis og ku hvis de er koverget. 2.2 Hvilke af følgede rækker er kovergete: (a) ( ) 2 (b) si (( ) ) 2 = = (c) = cos (( ) ) Vis at række e 2+i er absolut koverget og fid des sum Lad = a være e absolut koverget række. Hvilke af følgede rækker er absolut kovergete? (a) i a = (b) a arcta = (c) a cos a = 2.24 Fid summe af rækkere cos π 2 4 og si π (a) Vis at række e πi 2 er absolut koverget og fid rækkes sum. (b) Brug resultatet fra (a) til at fide summe af rækkere e cos π 2 (c) Fid summe af rækkere ( ) e 2 og og e si π 2. ( ) e 2. = 2.26 Lad a være e positiv koverget række. (a) Vis at { a = sup a j F N e edelig mægde }. j F 8

92 Kapitel 2 Uedelige rækker (b) Lad f : N N være e ijektiv afbildig. Vis at række a f() er koverget, og at a f() a. (c) Atag at f også er surjektiv. Vis at så er a f() = a. Med adre ord: Summe af e positiv koverget række afhæger ikke af hvilke rækkefølge leddee summeres i Vis at følgede rækker er kovergete: (a) ( ) 2 = (b) = ( ) (c) = ( si ( ) ) 2.28 For hvilke reelle tal x er række koverget? = x a a Lad {a } være e kompleks talfølge med a 0 for alle N. Atag at a er reel og ikke-positiv (dvs. at a + 0) for alle N, samt at følge { a } er aftagede med græseværdi 0. Vis at række a er koverget Lad = a og = b være to rækker med positive led. (a) Atag at der fides e positiv kostat c, såda at a cb fra et vist tri. Vis at hvis = b er koverget, så er = a det også. (b) Atag u i stedet at græseværdie b q = lim a eksisterer og er positiv. Vis at = a er koverget hvis og ku hvis er det. (c) Vis at række = er koverget. = b (d) Lad P være et polyomium af grad k, og lad Q være et polyomium af grad m, med Q() 0 for alle N. Vis at række = P () Q() er koverget hvis og ku hvis m k

93 2.7 Opgaver 2.3 (Uedelige produkter) I aalogi til uedelige summer ka ma betragte uedelige produkter, dvs. udtryk som a = a 0 a a 2 (2.64) Produktet (2.64) defieres til at være koverget hvis talfølge { k a } er koverget med e græseværdi som er forskellig fra 0. I tilfælde af koverges beteger k=0 symbolet a græseværdie, øjagtig som med uedelige rækker. (a) Atag at a > 0 for alle. Brug resultatet fra Opgave.52 til at vise at produktet (2.64) er koverget hvis og ku hvis række l a er det, og at i tilfælde af koverges er l a = l a. (b) Vis at e ødvedig betigelse for at (2.64) kovergerer, er at følge {a } er koverget med græseværdi. (c) Atag at a = + x med x 0 for alle N. Vis at + k x k ( k ) a exp x for alle k N. Kokluder at produktet a er koverget hvis og ku hvis række x er det Lad a være e absolut koverget række, og f : N N e bijektio (altså e ijektiv og surjektiv afbildig). Vis at a f() er absolut koverget, og at a f() = a. På slogaform siger dette resultat, at vi ka summere e absolut koverget række i de rækkefølge vi har lyst til. Det er altså uvæsetligt, i hvilke rækkefølge leddee på forhåd er skrevet op, så vi ka idføre otatioe i I for e absolut koverget række hvis led er idiceret ved ideksmægde I. Mægde I ka fx være de aturlige tal, som det er tilfældet med de fleste rækker i disse oter, me de kue også være e delmægde af de aturlige tal, eller måske e helt ade type mægde. Det eeste krav er at I skal være tællelig, dvs. der skal fides e surjektiv afbildig N I, altså at der fides e eller ade måde at stille alle tallee a i op i rækkefølge Lad a være e absolut koverget række, og lad f : N N være e stregt voksede fuktio. a i 83

94 Kapitel 2 Uedelige rækker (a) Defier talfølge {b j } j=0 ved at { a j hvis j f(n) b j = 0 ellers for hvert j N. Vis at hver af rækkere k=0 a f(k) og j=0 b j er absolut kovergete, og at rækkere har samme sum. Lad u g : N N være e stregt voksede fuktio, og atag at f(n) g(n) =. Sæt B = f(n) g(n). (b) Atag først at B = N. Vis at a f(k) + a g(k) = k=0 Drop atagelse om at B = N. Lad h: N B være stregt voksede og surjektiv. k=0 (c) Vis at fuktioere f : N N og g : N N givet ved a f = h f og g = h g er veldefierede og stregt voksede, og at f(n) g(n) = N. (d) Vis at f(n) a + g(n) a = B hvor vi beytter os af otatioe som blev idført i Opgave Du ka fx betragte talfølge c k = a h(k) og udytte at a f(k) = a (h h f)(k) = c f(k) (Summe af de reciprokke primtal) I dee opgave skal du bevise at række p primtal hvis led er de reciprokke primtal, er diverget. p a, (2.65) (a) Brug primtalsfaktoriserig til at vise at ethvert aturligt tal ka skrives etydigt som produktet af et kvadrattal og et tal som ikke ka deles med oget kvadrattal større ed (et såkaldt kvadratfrit tal). (b) Lad k. Brug resultatet fra (a) til at vise at k = ( ( + ))( k ) p 2 p k = hvor produktet tages over alle primtal midre lig k. (c) Skriv l( + ) som et itegral og brug idskudsregle for itegraler til at vise at k l( + ). = 84

95 2.7 Opgaver (d) Udyt ulighede e x + x for alle x 0 samme med Eksempel 2.37 eller Opgave 2.9 til at vise at p k l(l( + )) l 2 p hvor summe tages over primtal som er midre lig k. Kokluder at række (2.65) er diverget I Eksempel 2.8 beviste vi at de altererede harmoiske række ( ) + = (2.66) er koverget og påstod at summe er l 2. Da vi ikke har bevist at summe er l 2 beteger vi de i det følgede blot med S. For at få poite med dee opgave frem er det ok at vide, at S 0. Vi beder derfor først læsere om at idse at S > 0. ( )+ = Række (2.66) er ikke absolut koverget, for er jo de sædvalige harmoiske række som er diverget ifølge Eksempel 2.7. I dee opgave skal vi bytte rudt på leddee i (2.66) og se at rækkes sum ka ædres. (a) Defier fuktioe f : N N ved Vis at f er e bijektio. 2k hvis = 3k 2 f() = 2(2k ) hvis = 3k 4k hvis = 3k ( ) f()+ Vi er iteresserede i række = f() som fremkommer ved at bytte om på leddee i de altererede harmoiske række efter opskrifte givet ved f. De første par led i række er = ( ) f()+ f() = (2.67) Vi beteger afsitssummere for række (2.67) med s m, m N. Afsitssummere for de altererede harmoiske række (2.66) beteges t m, altså t m = m = ( ) +. (b) Vis at for alle l. s 3l = l k= 2k 2(2k ) 4k = t 2l 2 (c) Vis at 2 t 2l s m 2 t 2l + 2l, for l og m {3l 2, 3l, 3l}. (d) Vis at (2.67) er koverget med sum S 2. Ved at bytte lidt rudt på leddee i (2.66) er det altså lykkedes os at få række til at summere til det halve af de opridelige sum! 85

96 Kapitel 2 Uedelige rækker 2.36 Betragt række hvor x > 0 er et reelt tal. x = x (2.68) = = (a) Vis at række er diverget år x, fx ved at sammelige med de harmoiske række. (b) Giv et iduktiosbevis for at afsitssummere s 2 m opfylder at s 2 m (c) Vis at række er koverget år x >. m j=0 2 ( x)j. For x > afhæger summe aturligvis af x, så vi ka idføre fuktioe ζ(x) = x, = defieret for x >. Dee fuktio er kedt som Riemas zetafuktio, efter de tyske matematiker Berhard Riema ( ). Noget overraskede har zetafuktioe e tæt sammehæg med primtal (se Opgave 2.37), og spiller derfor e vigtig rolle i talteori. Zetafuktioe ka ved hjælp af avaceret kompleks fuktiosteori udvides til hele de komplekse pla, bortset fra puktet. Et af matematikkes vigtigste uløste problemer er Riemahypotese, som siger at alle såkaldt ikke-trivielle ulpukter for zetafuktioe ligger på liie Re z = I dee opgave skal du bruge metode kedt som Eratosthees si til at bevise Eulers produktformel for Riemas zetafuktio. Lad {p k } k= være følge af primtal (i de aturlige rækkefølge), altså p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5 og så videre. Defier for hvert k mægde B k = { N p i i =, 2,..., k}, dvs. mægde af aturlige tal som ikke har oge af de første k primtal som faktorer. Sæt B 0 = N\{0}. (a) Hvad er de to midste tal i B k? Prøv først med k =, k = 2 og k = 3. (b) Vis at B k = B k+ p k+ B k og B k+ p k+ B k =, hvor p k+ B k = {p k+ B k }. Lad u s > være et reelt tal. Fra Opgave 2.36 ved vi at række = s er koverget. Rækkes sum beteges ζ(s). (c) Brug resultatet fra Opgave 2.33 til at vise at B k s = B k+ s + B k (p k+ ) s. 86

97 2.7 Opgaver (d) Vis ved iduktio at ζ(s) for alle k N og alle s >. k ( p s ) = j= (e) Vis at det uedelige produkt j= at ζ(s) = j p s j j= B k s er koverget (jvf. Opgave 2.3) og p s. j 2.38 Lad a være e reel række som er koverget, me ikke absolut koverget, og atag at a 0 for alle N. Defier for hvert N: (a) Vis at a + = a + = a + a 2 { a hvis a > 0 0 hvis a < 0 og a = a a 2 og a = { 0 hvis a > 0 a hvis a < 0 (b) Vis at a + = og a = Lad {a } = være e positiv, aftagede talfølge, og betragt række med afsitssummer t l = l 2 a 2. 2 a 2 (2.69) (a) Lad s k = k = a være afsitssummere for række = a. Vis ved iduktio at s 2 m+ t m og s 2 m 2 t m for alle m N. (b) Vis at række = a er koverget hvis og ku hvis række (2.69) er det, og at i tilfælde af koverges er a = 2 a 2 2 a. Dette resultat er kedt uder avet Cauchy s fortætigskriterium. (c) Brug (b) til at give et yt bevis for at række (2.68) fra Opgave 2.36 er koverget år x > og diverget år x. = 87

98 Kapitel 2 Uedelige rækker (d) Vis at det samme er tilfældet for række =2 (l ) x. (2.70) 2.40 Lad {a } = være e følge af komplekse tal som opfylder at a 0 for alle, og lim a = 0. Vis at række er absolut koverget. a a 2 a 3 a = 2.4 Fid kovergescirkle for følgede potesrækker: (a) (d) (g) 4 (z 2) (b) = 3 (z + 2) ( + ) 3 (z 4)! (e) (h) e z = z + (c) (f) l( + )z (i) 2 (z i) (( ) + 3) (z 2i) 2 3 (2 ) z 2 ( + )! 2.42 Lad a C være et vilkårligt komplekst tal og r et vilkårligt elemet i [0, ]. Kostruer e potesrække som er koverget for alle z C med z a < r og diverget for alle z med z a > r Lad potesrækkere a (z a) og b (z a) have kovergesradius R a og R b, hhv. (a) Gør rede for at kovergesradius for potesrække (a + b )(z a) midst er mi{r a, R b }. (b) Gør rede for at kovergesradius for potesrække (a b )(z a) midst er mi{r a, R b }. (c) Lad c 0, c, c 2,... være e følge af komplekse tal af lægde. Vis at kovergesradius for potesrække c a (z a) er R a, og at potesrække (a + c b )(z a) har e kovergesradius, der er midst mi{r a, R b } Bevis følgede idetiteter for alle z C med z <. (a) (c) + z = ( ) z (b) ( z) 2 = ( + )z (d) z 2 = z 2 z 2 z 3 = z For ethvert aturligt tal lader vi q betege atallet af aturlige tal, der går op i, altså q = #{k N k }. 88

99 2.7 Opgaver Fid kovergesradius for følgede potesrækker: (a) q z = (b) q 3 z = (c) q z = (d) (q ) z = 2.46 Afgør for hver af de følgede rækker, om de er absolut koverget, betiget koverget eller diverget. (a) (d) (g) (j) = ( ) (b) ( ) 2 2 (e) ( ) π (h) 00 cos(π) (k) = = = ( ) 2 + l ( ) ( 2 ) = = ! ( 00) (c) (f) (i) (l) = cos(π) ( + ) l( + ) ( 3) = = =0! si ( ( + 2 )π) l l 2.47 Bestem de værdier af det reelle tal x for hvilke hver af følgede rækker er absolut koverget, betiget koverget eller diverget. (a) (d) (g) = x + 2 (2x + 3) = 3 4 (b) ( ) 3x + 2 (e) 5 (h) = =2 = (x 2) x 2 l ( + x ) (c) (f) (x ) ( ) (4x + ) 3 = 89

100

101 Appedikser

102

103 Appediks A De komplekse tal Dette appediks ideholder e kort geemgag af de komplekse tals basale egeskaber, heribladt udsag som er blevet brugt i kapitel og 2, og som ikke, eller ku delvist, er behadlet i [S]. Det er met som e opfriskig af forhåbetlig kedt stof. Mægde af komplekse tal De komplekse tal udgør e mægde C, hvorpå er defieret e additio og e multiplikatio (som beteges med de sædvalige + og ). Mægde C ideholder e kopi af de reelle tal R, samt et særligt elemet i, og der gælder C = {a + ib a, b R}. Hvis z = a + ib er et komplekst tal, med a, b R, kaldes a for realdele, mes b kaldes imagiærdele: a = Re z og b = Im z (A.) Som læsere formetlig er klar over, er tallet i e kvadratrod til : i 2 = (A.2) Det tog flere hudrede år fra de komplekse tal først blev opdaget i 500-tallet, og til de blev geerelt accepteret. E tig som gjorde matematikere ervøse ved kvadratrødder af egative tal, var udregige = 2 = = ( ) 2 = =. Dee fejlagtige udregig viser det foruftige i at idføre et særligt symbol for det komplekse tal i fremfor blot at betege det som. Poite er at hvis i 2 =, så er også ( i) 2 =, så både i og i er kvadratrødder til. Notatioe er med et matematisk ord ikke veldefieret. Mere om komplekse kvadratrødder seere. 93

104 Appediks A De komplekse tal Regig med komplekse tal Additio og multiplikatio af komplekse tal sker efter forskriftere (a + ib ) + (a 2 + ib 2 ) = (a + a 2 ) + i(b + b 2 ) (A.3) (a + ib )(a 2 + ib 2 ) = (a a 2 b b 2 ) + i(a b 2 + b a 2 ). (A.4) Additio er altså simpel vektoradditio, mes de ved første øjekast idviklede multiplikatio faktisk blot er de distributive lov kombieret med lighede i 2 =. Komplekse tal på forme a + ib, hvor b = 0, udgør de ævte kopi af de reelle tal i C. Læsere ka let overbevise sig om at summe, heholdsvis produktet, af to sådae tal ikke afhæger af om de opfattes som reelle eller komplekse. Subtraktio af komplekse tal sker ligesom additio koordiatvis, mes divisio er lidt mere ivolveret. At dividere består som bekedt i at fide z for et komplekst tal z 0. Hvis z = a + ib viser det sig at vi med fordel ka forlæge brøke med a ib. Herved opår vi at ævere bliver et reelt tal, og vi er på hjemmebae ige: z = a + ib = a ib (a + ib)(a ib) = a a 2 + b 2 i b a 2 + b 2 (A.5) Hvis ma er bekymret om hvorvidt brøke z i det hele taget er defieret, ka ma blot tage højreside af oveståede lighed som defiitio. Hvis z = a + ib, kaldes z = a ib (A.6) det komplekst kojugerede til z. Poite er at det ikke er ødvedigt at huske på oge idviklede formler år ma skal dividere komplekse tal ma forlæger bare brøke med det komplekst kojugerede til ævere. Om kompleks kojugerig gælder følgede regeregler, som læsere let ka verificere. z = z z + z = 2 Re z z + z 2 = z + z 2 zz = a 2 + b 2 z z = 2i Im z z z 2 = z z 2 (A.7) Geometrisk fortolkig Ma tæker ofte på de komplekse tal som e pla, de såkaldt komplekse pla. Hvis z = a+ib opfatter vi a og b som koordiater i et retviklet koordiatsystem. De vadrette a-akse kaldes ofte for de reelle akse, mes de lodrette b-akse kaldes de imagiære akse. De geometriske sysvikel har mage fordele, ikke midst fordi det viser sig at både additio og multiplikatio har pæe geometriske fortolkiger. Det kommer vi til. Når vi tæker på et komplekst tal som e vektor i plae ka vi fide dets lægde og retig. Lægde af et komplekst tal z kaldes dets modulus og beteges z. Modulus er e udvidelse af begrebet umerisk værdi for reelle tal. Ifølge Pythagoras er modulus af det komplekse tal z = a + ib givet ved z = a 2 + b 2. (A.8) Modulus af komplekse tal opfylder de yttige trekatsulighed, som bevises i Sætig A. til sidst i dette appediks. 94

105 Appediks A De komplekse tal For at specificere et komplekst tal ved hjælpe af dets modulus må vi også kede dets retig, hvilket vi vil måle ved vikle med de reelle akse. Mere præcist defieres et argumet for det komplekse tal z 0 til at være et reelt tal v som opfylder at z = z (cos v + i si v). (A.9) Argumetet beteges arg z, me ma bør huske på at dette ku er defieret op til additio af et helt multiplum af 2π. Ligige (A.9) kaldes z s polarform. Med disse betegelser ka vi give de tidligere lovede geometriske fortolkig af de komplekse regeregler. Additio er som ævt blot sædvalig vektoradditio. Det viser sig at multiplikatioe ka beskrives ved ligigere z z 2 = z z 2 (A.0) arg(z z 2 ) = arg z + arg z 2 (A.) hvor (A.) skal fortolkes på de måde, at hvis v er et argumet til z og v 2 er et argumet til z 2, så er v + v 2 et argumet til z z 2. Bemærk også at det følger fra (A.0) at z = z (A.2) z 2 z 2 år z 2 0. Det var de daske matematiker og ladmåler Caspar Wessel, som i artikle Om directioes aalytiske betegig fra 799 første gag beskrev de geometriske fortolkig af de komplekse tal. Uheldigvis skrev Wessel på dask, så artikle blev ikke opdaget af det iteratioale matematikersamfud før adre havde fået de samme ideer og taget ære for dem. Poteser og rødder Med kombiatioe af polarforme (A.9) og de geometriske beskrivelse af multiplikatioe i (A.0) og (A.) ka vi give e sedig beskrivelse af poteser af komplekse tal. Resultatet er kedt som de Moivres formel efter Abraham de Moivre ( ), og omhadler i første omgag komplekse tal af modulus, dvs. tal på de komplekse ehedscirkel. Formle siger at (cos v + i si v) = cos v + i si v (A.3) for alle reelle v R og Z. I opgave C.8 skal du selv bevise formle. Fra de Moivres formel følger det straks at hvis z = r(cos v + i si v), så er potesere af z givet ved z = r (cos v + i si v). (A.4) Læsere ka som e opgave bruge (A.4) til at formulere e geometrisk beskrivelse af iversio i C, altså e geometrisk regel for at fide z givet z 0. Fra de Moivres formel ka vi også udlede reglere for rødder af komplekse tal. Lad os mide om at vi med e rod af et komplekst tal c meer e løsig til ligige z = c. Lad os få det simpleste tilfælde ud af verde først, emlig rødder af 0. Ligige z = 0 har ku løsige 0. Lad os som det æste se på rødder af tallet, de såkaldte ehedsrødder. Hvis N, så har ligige z = præcis forskellige løsiger, emlig tallee ε k = cos 2πk 2πk + i si, k = 0,,...,. (A.5) 95

106 Appediks A De komplekse tal De te ehedsrødder udgør hjørere i e regulær -kat, idskrevet i ehedscirkle med et af hjørere i puktet (svarede til k = 0). I det geerelle tilfælde har vi givet et c 0, som vi skriver som c = r(cos v + i si v). Ligige z = c har præcis løsiger, givet ved z = r ( cos v + 2kπ + i si v + 2kπ ), k = 0,,...,. (A.6) Bemærk at ethvert k Z giver e løsig ved idsættelse i (A.5) eller (A.6), me det er ok med k er mellem 0 og for at få alle løsigere med. Trekatsulighede Som lovet kommer her e formulerig af (og et bevis for) de praktiske trekatsulighed, som bruges utallige steder i ærværede oter. Sætig A.. Lad z, z 2 C. Så er z + z 2 z + z 2, (A.7) Bevis. Før vi begyder på det egetlige bevis, oterer vi først, at for reelle tal s, t R er s 2 + t 2 2st = (s t) 2 0, eller 2st s 2 + t 2. (A.8) Lad z = a + ib, z 2 = a 2 + ib 2 hvor a, a 2, b, b 2 R. Hvis vi i (A.8) idsætter s = a b 2 og t = a 2 b fider vi at 2a b 2 a 2 b a 2 b2 2 + a2 2 b2 og dermed at (a a 2 + b b 2 ) 2 = a 2 a b 2 b a a 2 b b 2 Tager vi kvadratrode af begge sider i (A.9) fider vi at a 2 a b 2 b a 2 b a 2 2b 2 (A.9) = ( a 2 + b 2 ( ) a b 2 ) 2. a a 2 + b b 2 a a 2 + b b 2 (a 2 + b2 ) ( a b 2 2). (A.20) Så begyder det egetlige bevis: Da z + z 2 = (a + a 2 ) + i(b + b 2 ) fider vi, at z + z 2 = (a + a 2 ) 2 + (b + b 2 ) 2 (jvf. side A75 i [S]) = a 2 + a a a 2 + b 2 + b b b 2 Altså er Til sammeligig er z + z 2 2 = a 2 + a a a 2 + b 2 + b b b 2. (A.2) ( z + z 2 ) 2 = z 2 + z z z 2 = a 2 + b 2 + a b a 2 + b2 a b2 2 (a = a 2 + b 2 + a b ( ) ) b2 a b 2 2 (A.22) 96

107 Appediks A De komplekse tal Sammeliger ma (A.22) med (A.2) fider ma ved brug af (A.20) at z + z 2 2 ( z + z 2 ) 2. (A.23) Ulighede (A.7) følger u ved at tage kvadratrode af begge sider i (A.23). Ulighede (A.7) kaldes ofte for trekatsulighede på grud af de geometriske fortolkig i figur A.. Figur A.: Trekatsulighede Følgede variat af trekatsulighede er ofte yttig. Korollar A.2. Lad z, z 2 C. Så er z z 2 z z 2. (A.24) Bevis. Ved brug af (A.7) fider vi, at z = z z 2 + z 2 z z 2 + z 2. Dette giver, at z z 2 z z 2. (A.25) Bytter vi om på z og z 2 får vi ligeledes at z 2 z z z 2 (A.26) og ulighedere (A.25) og (A.26) medfører (A.24). 97

108

109 Appediks B De reelle tal Dette appediks ideholder e kort redegørelse for kostruktioe af og egeskabere ved de reelle tal, iklusive beviset for Sætig.35. Det er tækt som e smagsprøve til de iteresserede læser, som gere vil vide mere om det mægdeteoretiske grudlag for de teori som geemgås i Kapitel og 2. B. Uedelige decimalbrøker Til daglig tæker de fleste ok på et reelt tal som e uedelig decimalbrøk: E uedelig følge af cifree 0,, 2, 3,..., 9, med et komma idsat på et passede sted, og evetuelt med et mius fora. Hvis dee uedelige følge af cifre tilfældigvis slutter med lutter 0 er, udelader vi 0 ere og taler om e edelig decimalbrøk, fx 5 = 0,2. Det ka også tækes at de uedelige følge af cifre eder med at getage fast møster af cifre, som fx i = 0, eller 70 =, Sådae uedelige decimalbrøker siges at være præ-periodiske. De edelige decimalbrøker ka vi også tæke på som præ-periodiske ved at tilføje uedeligt mage uller: 5 = 0, Tal hvis decimalbrøksfremstillig er præ-periodisk kalder vi ratioale, (eller ratioelle) og mægde af dem beteges Q. Tal hvis decimalbrøksfremstillig ikke er præ-periodisk kaldes irratioale tal, (eller irratioelle) og omfatter eksempelvis 2, det gylde sit + 5 2, π og e, grudtallet for de aturlige logaritme. Bevis for Sætig.35 I dette afsit giver vi et bevis for Sætig.35 ud fra præsetatioe af de reelle tal som decimalbrøker. Vi beviser først sætige for e særlig klasse af Cauchy-følger. 99

110 Appediks B De reelle tal Lemma B.. Lad {a } være e Cauchy-følge af reelle tal som opfylder at 0 a < for alle. Så er {a } koverget. Bevis. For ethvert skriver vi a som e uedelig decimalbrøk: a = 0, a a 2 a 3 a 4... Det er her vi bruger atagelse om at a <, for det sikrer at decimalopskrivige starter med et 0. Hvert af tallee a, =, 2, 3,... er så et af tallee 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Der må være (midst) et af disse tal, 3 fx, som forekommmer for uedeligt mage af ere. Altså at a = 3 for uedeligt mage er. Eller mere formelt: Der fides et tal b {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} og e delmægde A N med uedeligt mage elemeter så a j = b j A. Tilsvarede må et af tallee fra {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} optræde uedeligt mage gage bladt tallee a j 2, j A. Så der fides altså et b 2 {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} og e delmægde A 2 A med uedeligt mage elemeter så a j 2 = b 2 j A 2. Fortsættes rekursivt får vi på dee måde e følge b, b 2, b 3,..., af tal fra mægde {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} og delmægder A A 2 A 3... af aturlige tal, alle med uedeligt mage elemeter, så a j m = b m j A m. Sæt a = 0, b b 2 b Bemærk at år j A m stemmer a j og a overes på de første m pladser efter kommaet. Dette medfører at a j a 0 m (B.) for alle j A m. Vi vil vise, at lim a = a. Til det formål lader vi ε > 0 være givet. Da {a } klumper sig samme ka vi fide N N så a a m ε 2 (B.2) for alle, m N. Vælg derefter M N så 0 M ε 2. Da A M ideholder uedeligt mage aturlige tal må der fides et j A M som er større ed N. Fra (B.) følger at a j a 0 M ε 2, (B.3) 00

111 B. Uedelige decimalbrøker og fra (B.2) at a a j ε 2 (B.4) for alle N. Kombierer vi (B.3) og (B.4) får vi at a a a a j + a j a ε 2 + ε 2 = ε for alle N. Altså er a = lim a som påstået. Lemma B.2. Lad {a } være e Cauchy-følge af reelle tal. Så er {a } koverget. Bevis. Da {a } klumper sig samme fides et N N så a a m 4, m N. Så er for alle a N 4 a a N + 4 for alle N og dermed er 0 a a N for alle N. Da a j a N + ( 4 a i a N + ) = a j a i 4 ser vi at følge { a a N + 4} =N er Cauchy fordi {a } er det. Ifølge Lemma B. er dee følge koverget. Me så er også {a } koverget ifølge Sætig.6. Se også Opgave.2. Bevis for Sætig.35. Vi skriver a = b + ic hvor b R er realdele af a og c R er imagiærdele af a. Så er a a m = (b b m ) + i(c c m ) og b b m (b b m ) 2 + (c c m ) 2 = a a m c c m (b b m ) 2 + (c c m ) 2 = a a m for alle, m. Heraf slutter vi, at følgere {b } og {c } begge er Cauchy fordi {a } er det. Ifølge Lemma B.2 er disse følger begge kovergete og vi sætter så b = lim b og c = lim c. Lad a = b + ic. Så er a a = b b + i(c c) b b + c c for alle, og det følger let at lim a = a. Sætig.35 er ikke rigtig hvis vi ku betragter følger af ratioale tal. Defiitioe på e Cauchy-følge virker fit for sådae følger (vi tæker bare på ε som et ratioalt tal). I Opgave.20 så vi fx på følge af ratioale tal hvis elemeter er kvotieter mellem tallee i Fiboacci-følge. De følge er Cauchy, me ikke koverget ide for Q. Græseværdie er jo det irratioale tal + 5 2, også kedt som det gylde sit. Se også Eksempel.39. Dette er e af de afgørede forskelle på Q og R, og er grude til at vi i disse oter beskæftiger os med reelle (eller komplekse) tal. Mage af resultatere bygger på Sætig.35, og e teori hvor dee sætig ikke holder, er ikke så iteressat. 0

112 Appediks B De reelle tal B.2 Mægder og talområder Præsetatioe af de reelle tal som uedelige decimalbrøker har mage fordele. For eksempel er det emt at afgøre, forelagt to reelle tal, hvilket af dem der er størst. Fra et teoretisk syspukt har dee model imidlertid også et par ulemper. Det er fx meget besværligt at beskrive multiplikatio, ligesom opskrivige som uedelig decimalbrøk ikke altid er etydig. Tallet 9, er fx lig med 0, hvilket let ka vises ved at skrive det som e geometrisk række: 9, = 9 0 = 9 0 = 0 Hvis ma tæker lidt over dette giver det faktisk god meig hvilket tal skulle ligge mellem 9, og 0? Stillet over for de slags ubehageligheder får ma som matematiker trag til at kostruere e model for de reelle tal som giver overblik over hvorår to objekter repræseterer det samme tal, og som giver mulighed for e præcis defiitio af additio og multiplikatio. Det mest aturlige er at tage udgagspukt i de ratioale tal, me hvad er egetlig et ratioalt tal? Eller et helt tal? Eller et aturligt tal? Vi må starte fra bude med at defiere hvad vi i det hele taget forstår ved e mægde. Zermelo-Fraekel aksiomere Behovet for e præcis defiitio af hvad vi forstår ved e mægde kommer bladt adet fra det berømte Russell s paradoks, formuleret af de egelske matematiker og filosof Bertrad Russell ( ). I jæve ord siger paradokset: Hvis regimetsbarbere barberer alle, der ikke barberer sig selv, hvem barberer så regimetsbarbere? I e matematisk sammehæg omhadler paradokset mægde R = {x x / x} altså mægde beståede af alle de mægder som ikke ideholder sig selv. Spørgsmålet er u: Er R R? Hvis R er elemet i sig selv, er de jo per defiitioe af R ikke elemet i sig selv, så vi føres til e modstrid. På de ade side, hvis R / R, så er R jo e af de mægder der ideholder sig selv, ige per defiitio af R. Det er ikke så godt. Løsige er gaske ekelt at udelukke R fra det gode selskab R ka ikke være e mægde. Altså er vi ødt til at defiere hvad e mægde så ka være, og det er etop hvad de berømte Zermelo-Fraekel aksiomer fortæller. Aksiomere blev formuleret i de første par årtier af det tyvede århudrede, og er et almideligt accepteret fudamet for de modere matematik. Vi vil ikke gå i detaljer med alle aksiomere, me lad os æve et par eksempler. Udvidelsesaksiomet To mægder er es hvis og ku hvis de har de samme elemeter. Eller med adre ord: E mægde er fuldstædigt bestemt ved sie elemeter. Specifikatiosaksiomet Hvis P (x) er et åbet udsag som gælder elemeter x i e mægde A, så er {x A P (x) er sad} e mægde. Heraf følger eksistese af de tomme mægde: tag A til at være e vilkårlig mægde, og P til at være et udsag som altid er falsk. Bemærk at dette aksiom ikke tillader 02

113 B.2 Mægder og talområder os at kostruere Russell s mægde vi skal på forhåd specificere hvilke mægde A vi vælger elemeter ud fra. Russell s paradoks bygger etop på idee om at der fides e mægde af alle mægder, me Zermelo-Frakel aksiomere tillader os ikke at kostruere e såda. Regularitetsaksiomet Ehver ikke-tom mægde B ideholder et elemet som er disjukt med B. Bemærk at det ævte elemet selv opfattes som e mægde i Zermelo-Fraekel aksiomeres verde er altig mægder! Dette aksiom udelukker eksistese af uedelige kæder af type x x 2 x 3. Hvis e såda kæde fadtes, kue vi dae mægde X = {x, x 2, x 3,...}. Ifølge Regularitetsaksiomet fides så et x k bladt elemetere i X som er disjukt fra X, dvs. X x k =. Me mægde x k+ ligger jo i både x k, pr. atagelse, og i X, pr. kostruktio af X. Modstrid. Dette udelukker specielt at e mægde A ka være elemet i sig selv, for så kue vi dae kæde A A A. Udover de ævte fides aksiomer til at sikre eksistese af foreigsmægder, potesmægder og uedelige mægder. I alt omfatter liste otte aksiomer samt det til tider omstridte udvalgsaksiom. De iteresserede læser hevises til [BN]. De aturlige tal N Før ma begyder at kostruere de aturlige tal, må ma selvfølgelig gøre sig klart hvad ma forstår ved de aturlige tal. De modere defiitio er idkapslet i Peaos aksiomer fra 888, opkaldt efter de italieske matematiker Giuseppe Peao ( ). Afhægig af formulerig er der fire eller fem aksiomer, bladt adet iduktiosaksiomet som ligger til grud for iduktiosbeviser. Vi skal ikke gå i detaljer med aksiomere, me heviser ige til [BN]. Med Zermelo-Fraekel aksiomere i håde ka vi kostruere de aturlige tal på følgede måde: De tomme mægde spiller rolle som 0. Derefter defieres elemetet = 0 {0} = { }, og på tilsvarede vis 2 = {} = {, { }} = {0, }, og så videre. Uedelighedsaksiomet sikrer at der fides e mægde beståede af alle de elemeter de fremkommer ved dee kostruktio. Ma ka så bevise at dee mægde samme med efterfølgerfuktioe + = {} opfylder Peaos aksiomer. Desude ka ma kostruere regeoperatioere + og på sedig vis, og bevise at de opfylder de velkedte regeregler, fx de kommutative lov a + b = b + a. De hele tal Z Bogstavet Z kommer fra tysk Zahle, tal. På egelsk bruges ordet iteger som stammer fra det latiske ord for itakt. At kostruere de hele tal ud fra de aturlige tal består aturligvis i at idføre egative tal, altså at give meig til miusteget. Dette gøres ved at betragte par (a, b) af aturlige tal. Mægde af sådae par beteges N N. Parret (a, b) skal repræsetere differese a b. For eksempel ka vi repræsetere 7 ved parret (2, 9), me vi kue også have valgt (4, ). Tallet a b ka altså repræseteres af mage forskellige talpar, så vi må leve med at opskrivige (a, b) ikke er etydig. Fordele er imidlertid at vi har fuldstædig styr over hvorår to talpar repræseterer de samme differes. I det formelle sprog defierer ma e ækvivalesrelatio på mægde N N. E ækvivalesrelatio er e formaliserig af at vi tæker på to elemeter som det samme elemet. Eftersom 03

114 Appediks B De reelle tal vi er ved at defiere hvad mius betyder, ka vi ikke så godt bruge miusteget i defiitioe, så vi må flytte lidt rudt på leddee. Vi defierer at (a, b) (a, b ) a + b = a + b (B.5) ispireret af at dette er tilfældet etop hvis a b = a b. Dermed har vi defieret hvad vi forstår ved mægde af heltal, og vi ka så begyde at defiere additio og multiplikatio samt de ye operatio subtraktio. Defiitioe af mius er heldigvis gaske simpel. Ispireret af at (a b) = b a ka mius defieres til at være ombytig af tallee i et talpar. Additio defieres ved at addere koordiatvis: Summe af tallee repræseteret af parree (a, b), hhv. (c, d), er tallet repræseteret af parret (a + c, b + d). Ma skal så vise at resultatet ikke afhæger af hvilke repræsetater vi valgte, eller med et fit ord at additio er veldefieret. Hvis for eksempel (a, b ) (a, b) er to ækvivalete par, skal vi kotrollere at (a +c, b +d) (a+c, b+d), dvs. ifølge (B.5) at a + c + b + d = b + d + a + c. (B.6) Da (a, b ) (a, b) ved vi at a + b = a + b, og (B.6) følger. Multiplikatio ka defieres på ligede vis, og ige ka det kotrolleres at det er veldefieret. De ratioale tal Q Bogstavet Q kommer af egelsk quotiet. For at kostruere de ratioale tal ud fra heltallee bruger vi tricket med at dae par ige. De ratioale tal defieres som mægde af par af heltal (p, q), hvor q 0, uder e passede ækvivalesrelatio. Vi tæker på parret (p, q) som tallet p q. Ligesom før skal ækvivalesrelatioe sikre at fx parree (, 2) og ( 2, 4) repræseterer det samme tal, eftersom vores vide om brøker fortæller os at 2 = 2 4. Ækvivalesrelatioe som vi lægger på Z Z siger at (p, q) (p, q ) pq = p q. Som før ka vi udvide plus, gage og mius til de ratioale tal, og tilføje de ye operatio divisio. De reelle tal R Nu til det egetlige mål: kostruktio af de reelle tal. Dee gag er det ikke ok med par af ratioale tal, faktisk skal vi bruge uedeligt mage kopier af Q. Vi betragter mægde af følger af ratioale tal, eller mere formelt det uedelige produkt Q Q Q. Ud af alle disse følger tager vi dem som klumper sig samme, dvs. alle følger {a } som opfylder betigelse ε Q + N N m, N: m, N = a m a < ε hvor Q + beteger de positive ratioale tal. Uformelt er idee u at lade såda e følge repræsetere det reelle tal de kovergerer imod. Dette er ikke så lagt ude som det måske ka lyde. Hvis vi tæker på et reelt tal som e uedelig decimalbrøk, er der jo i e vis forstad også tale om at approksimere med ratioale tal, emlig de tal der fremkommer ved at tage ku edelig mage af decimalere med. Eftersom der er mage Cauchy-følger der kovergerer mod det samme reelle tal, har vi ige brug for e ækvivalesrelatio. Vi erklærer at hvis differese af to følger kovergerer mod 04

115 B.3 Fuldstædighed ul, så repræseterer de det samme reelle tal: {a } {b } a b 0 for. Det er ikke svært at defiere plus og gage. Summe af to reelle tal x og y, repræseteret af følger {x } og {y } defieres til at være tallet repræseteret af følge {x +y }, og produktet defieres tilsvarede til at være tallet repræseteret af følge {x y }. Det er e række tekiske tig at bevise før såda e defiitio er i orde, i dette tilfælde skal ma fx bevise at summe, heholdsvis produktet, af to ratioale Cauchy-følger ige er e ratioal Cauchy-følge, og at sum og produkt er veldefierede, dvs. x + y, heholdsvis xy, ikke afhæger af hvilke repræsetater {x } og {y } vi har valgt. Når disse forhidriger er overstået har vi løst et af de opridelige problemer, emlig at fide e god defiitio af multiplikatio af reelle tal. I de ye model for de reelle tal er det aturligvis også muligt at bevise Sætig.35, altså at ehver Cauchy-følge af reelle tal er koverget. Da et reelt tal selv er repræseteret ved e følge, ledes ma således til at betragte følger af følger, og følgelig bliver beviset e smule tekisk. De komplekse tal C For fuldstædighedes skyld skal de komplekse tal også æves. Kostruktioe af de komplekse tal ud fra de reelle er i modsætig til kostruktioe af R ud fra Q ret algebraisk. De komplekse tal er simpelthe produktmægde R R udstyret med koordiatvis additio og de særlige multiplikatio (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + x y). Udvidelse R C sker for at gøre det muligt at tage kvadratrødder af egative tal, altså med adre ord at skaffe løsiger til ligige x 2 + = 0 og adre reelle polyomiumsligiger som ikke ka løses ide for R. De er således mere beslægtet med udvidelsere N Z Q (som motiveres af at vi vil løse ligigere x + y = 0, heholdsvis xy = ), ed med udvidelse Q R. Det gode ved de komplekse tal er at alle komplekse polyomiumsligiger ka løses! Dette berømte faktum er kedt som algebraes fudametalsætig, og avet er gaske fortjet de komplekse tal har alt hvad vi skal bruge, både til koverges af talfølger og rækker, og til løsig af ligiger. Er ma stadig ikke tilfreds ka udvidelse fortsættes til de mere eksotiske talområder kvaterioere H, eller edu bedre oktoioere O, som begge er udvidelser af de komplekse tal. I aalogi med at et komplekst tal er et par af reelle tal, består e kvaterio af 4 reelle tal, mes der skal 8 reelle tal til at beskrive e oktoio. Imidlertid besidder kvaterioere og oktoioere ikke de samme pæe egeskaber som C. Multiplikatioe i H er ikke kommutativ, og multiplikatioe i O er ikke egag associativ! B.3 Fuldstædighed De reelle tal besidder e overflod af struktur, hvilket er e af grudee til at de får så meget opmærksomhed. På slogaform siger ma at de reelle tal udgør et fuldstædigt ordet legeme. Her refererer legeme til de algebraiske egeskaber ved R, som vi ikke har gjort så meget ud af. Kort fortalt betyder det at regeoperatioere plus og 05

116 Appediks B De reelle tal gage er defieret og opfylder de sædvalige love om kommutativitet, associativitet og distributivitet, samt at subtraktio og divisio er defieret. Ordet ordet refererer aturligvis til ordige på R, dvs. at der for hvert par af reelle tal x, y altid gælder ete x < y, x > y eller x = y, samt at dee ordig er kompatibel med regeoperatioere, fx at x < y = x + z < y + z for alle x, y, z R. Edelig refererer fuldstædig til egeskabe i Sætig.35, altså at ehver Cauchy-følge er koverget. Der fides flere forskellige ækvivalete formuleriger af dee egeskab. Sætig.37, som siger at e mooto reel talfølge er koverget hvis og ku hvis de er begræset. I afsit.5 beviste vi Sætig.37 ved at bruge Sætig.35, me det er også muligt at gå de ade vej og bevise Sætig.35 uder atagelse af Sætig.37. E ade formulerig af fuldstædighed er de der blev præseteret i Sætig.40 om supremum for e begræset delmægde af R. Fuldstædighede af R ka formuleres: Ehver ikke-tom opadtil begræset delmægde af R har e midste øvre græse. E helt fjerde formulerig af fuldstædighede er Bolzao-Weierstrass sætig (Opgave.5), som siger at ehver begræset reel talfølge har e koverget delfølge. Som almidelig ysgerrig matematiker får ma lyst til at udersøge om adre matematiske objekter besidder ogle af de samme pæe egeskaber. Ma ka for eksempel overveje om adre mægder fortjeer betegelse fuldstædig. Med et fit ord øsker vi at geeralisere begrebet fuldstædig til adre mægder ed de reelle tal. Nu ka vi jo ikke rege med at adre mægder besidder al de struktur som R har, så det er ikke sikkert alle de forskellige formuleriger af fuldstædighede fugerer for geerelle mægder. Det viser sig at formulerige om Cauchy-følgere er bedst eget til geeraliserig, da de forudsætter midre struktur ed de adre formuleriger. For eksempel bygger supremumsegeskabe på at R er ordet. Ma vælger derfor i det geerelle tilfælde at defiere begrebet fuldstædighed ved at kræve at Cauchy-følger skal være kovergete. 06

117 B.4 Opgaver B.4 Opgaver B. (Periodiske decimalbrøker) (a) Da de to decimalbrøker 0, og, er periodiske, repræseterer de ratioale tal. Hvilke? (b) Betragt de periodiske decimalbrøk a = 0, p p 2... p k p p 2... p k... Skriv a som e geometrisk række og vis at a = p p 2...p k , hvor tallet i ævere består af k italler. (c) Opstil og bevis e tilsvarede formel for e geerel periodisk decimalbrøk med periode p = p p 2... p k. B.2 Lad r og s betege reelle tal. x = a a 2... a m, b b 2... b l p p 2... p k p p 2... p k... (a) Vis at hvis r Q og s / Q, så er r + s / Q. (b) Vis at hvis r 2 / Q, så er r / Q. (c) Vis at hvis r Q \ {0} og s / Q, så er rs / Q. B.3 I dee opgave skal du bevise at ethvert iterval ]a, b[ R ideholder uedeligt mage ratioale tal og uedeligt mage irratioale tal. Itervaller af dee type, hvor edepuktere ikke er med, kaldes åbe itervaller. (a) Atag først at a > 0. Vælg et N så > b a. Ifølge Opgave B.5 fides der et tal p N som er miimalt med de egeskab at p > a. Vis at p ]a, b[. (b) Lad ]a, b [ R være et vilkårligt iterval. Vis at det ideholder et ratioalt tal. (c) Vis at ethvert åbet iterval ideholder uedeligt mage ratioale tal. (d) Brug resultatere fra Opgave B.2 til at vise at ethvert åbet iterval ideholder uedeligt mage irratioale tal. B.4 Lad ]a, b[ R være et begræset åbet iterval. (a) Bestem supremum og ifimum af mægde A = ]a, b[ Q. (b) Samme opgave for mægde B = ]a, b[ \ Q. B.5 (Velordig) Vis at ehver ikke-tom delmægde A N har et midste elemet. Du ka fx bruge et iduktiosbevis til at vise at udsaget holder i tilfældet hvor A er edelig, og derefter geeralisere til e vilkårlig ikke-tom mægde. E ordet mægde med egeskabe at ehver delmægde har et midste elemet kaldes velordet. 07

118 Appediks B De reelle tal B.6 (π er irratioalt) I dee opgave skal du bevise at π er et irratioalt tal. Dette blev bevist første gag i 768 af de schweiziske matematiker Joha Heirich Lambert. Beviset som præseteres her er fra 946 og skyldes de caadisk-amerikaske matematiker Iva Nive. Atag for modstrid at der fides aturlige tal a og b 0, såda at a b = π. Lad N være et aturligt tal og defier fuktioe f : R R ved f (x) = x (a bx).! (a) Vis at 0 < f (x) si(x) < π a! for 0 < x < π og for alle N. (b) Vis at π a! 0 for. Vi ka u kokludere at itegralet π 0 f (x) si(x) dx er positivt me midre ed π a! som går mod ul år vokser. Reste af opgave går ud på at vise at vores atagelse om at π er ratioal medfører at dette itegral er et heltal! Til dette formål defierer vi fuktioe F (x) = ( ) i f (2i) (x) i=0 hvor f (j) beteger de j te afledede af f. (c) Vis at x F (x) si(x) F (x) cos(x) er stamfuktio til x f (x) si(x) og vis deræst at π 0 f (x) si(x) dx = F (0) + F (π). (d) Vis ved hjælp af biomialformle (2.6) fra Opgave 2.2 at fuktioe f ka skrives som f (x) = 2 ( ) a 2 j ( b) j x j.! j j= (e) Vis at f (j) (0) er et heltal for alle j N. (f) Vis at f (x) = f (π x) for alle x, og kokluder at f (j) (π) er et heltal for alle j N. (g) Udled e modstrid med atagelse om at π = a b. 08 B.7 (Ratioale rødder i heltalspolyomier) I dee opgave skal du bevise at ethvert tal af forme p, hvor p er et primtal og 2, er irratioalt. Specielt viser det at 2 er et irratioalt tal, et faktum som ifølge overleverige første gag blev opdaget af grækere Hippasus uder e sejltur, og som gjorde ham så upopulær at has veer smed ham overbord. Vi mider om at to heltal siges at være idbyrdes primiske hvis de ikke har fælles divisorer større ed. Hvis a og b er idbyrdes primiske, c er et helt tal og a går op i bc, så går a op i c.

119 B.4 Opgaver (a) Lad a x + a x + + a x + a 0 være et polyomium med heltalskoefficieter, og atag at hverke a eller a 0 er lig 0. Lad p q Q og atag at p og q er idbyrdes primiske, dvs. brøke p q er uforkortelig. Vis at p går op i a 0 og at q går op i a. Dee regel ka være vældig yttig at huske på år ma leder efter rødder i et polyomium med heltalskoefficieter. Ma behøver jo ku at lede bladt brøker hvis æver går op i højestegradskoefficiete, og hvis tæller går op i kostatleddet. (b) Lad p være et primtal og lad 2. Vis at p er irratioalt. B.8 (R er overtællelig) E mægde M siges at være tællelig, hvis der fides e surjektiv afbildig N M. Mere kokret betyder det at mægdes elemeter skal kue stilles op på e liste m, m 2, m 3,... såda at de alle samme er med. E mægde som ikke er tællelig kaldes overtællelig. Mægder med edelig mage elemeter er aturligvis tællelige, og de aturlige tal er det simpleste eksempel på e uedelig tællelig mægde. Mere overraskede er det måske at de ratioale tal Q er tællelige. For at tælle alle positive brøker sorterer ma dem gaske ekelt efter summe af tæller og æver, sekudært efter tællere. Brøker som ka forkortes hopper vi over der er ige grud til at tage et tal med to gage. Her er starte af liste:, 2, 2, 3, 3, 4, 2 3, 3 2, 4, 5, 5, 6, 2 5, 3 4, 4 3, 5 2, 6,... De egative brøker ka tælles på samme måde, og de to lister ka så flettes samme til e liste over alle brøker (vi ka passede starte liste med 0). Formålet med dee opgave er at vise at de reelle tal er e overtællelig mægde, dvs. at ige reel talfølge {a } ka ideholde alle reelle tal. Lad altså {a } være e vilkårlig reel talfølge. Vi skal vise at der fides et x R, så a x for alle. Følgede argumet for dette skyldes Georg Cator (845 98) og er kedt som Cators diagoalargumet. Vi realiserer a som e uedelig decimalbrøk: a = b, t t 2 t 3 t 4... hvor b N og t i {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} for alle i =, 2, 3, 4,... (idekset i er ikke e ekspoet!). For ethvert t i vælger vi et tal s i {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} forskelligt fra t i. Lad u x R være tallet Gør rede for, at a x for alle N. x = 0, s s 2 s 3 s 4... B.9 (Karakterisatio af itervaller) Lad A R være e delmægde med midst 2 elemeter og atag at [ x, y A og x < r < y ] = r A for alle x, y, r R. Atag i første omgag at A er begræset, og sæt α = if A og β = sup A. (a) Vis at α < β og at A [α, β]. 09

120 Appediks B De reelle tal (b) Vis at ]α, β[ A. Atag u i stedet at A er edadtil, me ikke opadtil begræset. Sæt α = if A. (c) Vis at A [α, [ og at ]α, [ A. (d) Betragt edelig tilfældet hvor A er hverke edadtil eller opadtil begræset. 0

121 Appediks C Logik og bevistekik C. Udsag Matematikke omhadler objekter, typisk mægder, som er kostrueret ud fra et sæt fudametale aksiomer. Som matematiker er ma iteresseret i at fremsætte og bevise påstade om sådae objekter. Et udsag er e såda påstad, som ka tildeles e af sadhedsværdiere sad eller falsk. Her kommer et par eksempler: (i) I mægde af aturlige tal fides der uedelig mage primtal er et udsag. (ii) Hvis er et aturligt tal, og x, y og z er hele tal forskellige fra 0, så er x + y = z (C.) et udsag. (iii) Følgede er et udsag om de reelle tal R og de ratioale tal Q: x R ρ > 0 a Z b Z \ {0}: a b x < ρ. (iv) Hvis f : R R er e fuktio, så er ε > 0 δ > 0 x, y R: ( x y < δ f(x) f(y) > ε ) (C.2) (C.3) et udsag. Udsaget i (i) er åbelyst ete sadt eller falsk ete fides der uedelig mage primtal, eller også fides der ku edelig mage. Euklid beviste omkrig år 300 f.kr. at dette udsag faktisk er sadt liste af primtal er uedelig lag. Sadhedsværdie af (C.) afhæger derimod af værdiere af x, y, z og. Hvis fx = 2, x = 3, y = 4 og z = 5 er udsaget sadt. Udsag der som (C.) ideholder é eller flere variable (som ka repræsetere tal, fuktioer, mægder eller oget helt

122 Appediks C Logik og bevistekik fjerde) kaldes åbe udsag. Sadhedsværdie af åbe udsag afhæger typisk af værdie af de frie variable, me behøver ikke at gøre det. Udsaget (C.2) ideholder e hel stribe variable, me er alligevel ikke et åbet udsag alle de variable er budet til e af kvatorere eller. Sådae bude variable spiller ku e rolle i præcis det udsag de idgår i. Det giver ikke meig at referere til dem ude for de sammehæg, specielt ka ma ikke tilskrive dem e værdi. Sadhedsværdie af (C.2) ka således afgøres é gag for alle, og vi ka afsløre at udsaget er sadt. I (iv) har vi et udsag med både e fri variabel f og e samlig bude variable der er altså tale om et åbet udsag. For de ysgerrige læser ka vi afsløre at udsaget udtrykker at fuktioe f ikke er uiformt kotiuert. I det følgede vil vi betragte geerelle udsag, beteget P, Q og så videre. Hvis der er tale om et åbet udsag agiver vi det med fx P (, x, y, z), som i tilfældet (C.). Om et geerelt udsag ved vi at det ka være sadt eller det ka være falsk der er ikke adre muligheder. På lati tertium o datur. Pricippet er fudametalt i klassisk logik, og kedes også uder avet pricipium tertii exclusi, det udelukkede tredies pricip. Eksempel. Lad os bevise at der fides irratioale tal a, b, således at a b er ratioalt. Da 2 er et irratioalt tal kue vi jo prøve at tage a = b = 2. Vi betragter altså udsaget P : 2 2 er ratioalt Hvis P er sadt er vi færdige vores valg af a og b virkede. Hvis P ikke er sadt, er det ifølge udelukkelsespricippet ødvedigvis falsk, dvs. 2 2 er irratioalt. Me så ka vi jo tage a = 2 2 og b = 2 og udersøge om a b er ratioalt: ( 2 2 ) 2 = ( 2 ) 2 2 = ( 2 ) 2 = 2 Uaset om P er sad eller falsk ka vi altså vælge a og b som øsket, og beviset er fuldført. Som det var tilfældet i dette eksempel møder vi ofte udsag som vi ikke ka afgøre sadhedsværdie af. I sådae tilfælde er vi ødt til at overveje hvilke kosekveser det har at udsaget er sadt, og hvilket kosekveser det har at udsaget er falsk, og så argumetere på passede vis i hvert tilfælde. 2 C.2 De logiske operatioer Hvis P og Q er to udsag ka vi dae ye udsag ved at kombiere de to, for eksempel til udsaget ete P eller Q, me ikke begge. For at defiere et sådat sammesat udsag skal vi specificere præcis hvorår det er sadt, og hvorår det er falsk, afhægig af sadhedsværdiere af P og Q. Udsaget ete P eller Q, me ikke begge er således sadt hvis ét af udsagee P eller Q er sadt, og det adet er falsk. Ma opstiller gere si defiitio i e lille tabel over sadhedsværdiere:

123 C.2 De logiske operatioer P Q ete P eller Q, me ikke begge S S F S F S F S S F F F Her følger e liste over de mest almidelige logiske operatioer. Negatio P Negatioe af udsaget P er udsaget P som er defieret til at være sadt hvis P er falsk, og falsk hvis P er sadt. Symbolet P læses ikke P eller o P. Eksempel. Hvis x beteger et heltal og P (x) er udsaget x er et primtal, så er egatioe P (x) udsaget x er ikke et primtal. Kojuktio P Q Kojuktioe af de to udsag P og Q er udsaget P Q som læses P og Q, og som defieres til at være sadt hvis P og Q begge er sade, og ellers falsk. Eksempel. Kojuktioe af de to udsag x er et primtal og x er lige er udsaget x er et lige primtal, som er sadt hvis x = 2, og ellers falsk. Disjuktio P Q Disjuktioe af P og Q er udsaget P Q, som læses P eller Q, og som defieres til at være falsk hvis både P og Q er falske, og ellers sadt. Eksempel. Disjuktioe af de to udsag fra oveståede eksempel er udsaget tallet x er lige eller det er et primtal, eller begge dele. Eksempel. Disjuktioe af et udsag med dets egerede, dvs. udsaget P P, er ifølge udelukkelsespricippet altid sadt. Kvatorer Hvis P (x) er et åbet udsag som for hvert x i e mægde X er ete sadt eller falsk, ka vi dae de to udsag og x X : P (x) x X : P (x) som betyder P (x) er sad for alle x i X, heholdsvis der fides et x i X som gør P (x) sad. For at udtrykke at der eksisterer præcis ét elemet x X som gør P (x) sad bruger ma udertide otatioe!x X : P (x). 3

124 Appediks C Logik og bevistekik Symbolet kaldes al-kvatore og kaldes eksisteskvatore. Bemærk slægtsskabet mellem og kojuktio: begge bruges til at udtrykke at flere udsag skal være sade samtidig. Tilsvarede med og disjuktio, som bruges til at udtrykke at midst ét ud af give samlig af udsag er sadt. Udsaget P (x) er et åbet udsag dets sadhedsværdi afhæger af x. Udsaget x X : P (x) er derimod ikke et åbet udsag. De frie variabel x er budet til e kvator. Eksempel. Lad os se på udsaget x + y = z fra eksempel (C.) ige. Ved at bide de frie variable til kvatorer ka vi fx dae udsaget 3: ( x, y, z Z \ {0}: x + y = z ) bedre kedt som Fermats sidste sætig, bevist af Adrew Wiles i 994. (C.4) Biimplikatio P Q Biiplikatioe P Q er udsaget P og Q har samme sadhedsværdi. Defiitioe turde være oplagt. Ma bruger også udtrykket P og Q er esbetydede, eller P og Q er logisk ækvivalete. Implikatio P Q E implikatio er e formaliserig af det sproglige udtryk hvis P, så Q, eller P medfører Q. Det er derfor klart at udsaget P Q skal være sadt hvis både P og Q er sade, me falsk hvis P er sad mes Q er falsk. Me hvilke sadhedsværdi skal udsaget tildeles hvis P er falsk? I det tilfælde skal udsaget P Q ikke give os oge iformatio om Q, så sadhedsværdie må ikke afhæge af Q. Vi fastlægger derfor at P Q skal være sad hvis P er falsk, uaset sadhedsværdie af Q. Vi opsummerer defiitioe i e tabel: P Q P Q S S S S F F F S S F F S Med adre ord er implikatioe P Q ku falsk år P er sad mes Q er falsk, dvs. etop hvis udsaget ( P Q ) er sadt: ( P = Q ) ( P Q ) (C.5) Dee defiitio af implikatio sikrer at udsaget P Q er ækvivalet til udsaget ( P Q ) ( Q P ). 4 Advarsel I e matematisk sammehæg betyder e implikatiospil hverke mere eller midre ed hvad dee defiitio siger. At e implikatio er sad fortæller i sig selv itet om hvorvidt hvert af de to udsag der idgår er sade, eller for de sags skyld om oge årsagssammehæg. Ma skal være påpasselig med at tæke på e matematisk implikatio som e præcis afspejlig af det sproglige udsag hvis P så Q. For eksempel ligger der ikke

125 C.2 De logiske operatioer oget i de sproglige betydig om hvad der sker hvis P ikke er sad. Vi defierede implikatioe P Q til at være sad i dette tilfælde, så vi må acceptere at et udsag som hvis måe er lavet af grø ost så er Jorde flad er sadt. Hvis P er falsk, er udsaget P Q jo altid sadt. Defiitioe af implikatiospile ka føre til udsag som for det utræede øje liger paradokser. Betragt for eksempel udsaget (P Q) R. Ved et par omskriviger (jvf. regereglere i afsit C.3) kommer vi frem til ( (P Q) = R ) ( (P Q) R ) P Q R ( P R ) ( Q R ) ( P = R ) ( Q = R ) (C.6) Vi har altså vist at P og Q medfører R hvis og ku hvis P medfører R eller Q medfører R. Dette ka virke paradoksalt. Hvis P er udsaget x 2, Q er udsaget x 2 og R er udsaget x = 2, så bryder det hele da samme! Hvis x er både større lig 2 og midre lig 2, så er x aturligvis lig 2. Me det er i hvert fald ikke rigtigt at det ete er sadt at hvis x 2 så er x = 2 eller at hvis x 2 så er x = 2. Eller hvad? Faktisk er der itet galt i dette udsag. Husk at defiitioe på implikatioe ligger i tabelle over sadhedsværdier. Ækvivalesere i (C.6) siger ikke adet ed at hver gag vi vælger e værdi af tallet x, så atager alle udsagee mellem ækvivalespilee samme sadhedsværdi. Med midre x = 2 vil ete P eller Q være falsk, så e af implikatioere P R eller Q R vil være sad fordi des forudsætig er falsk, som i eksemplet med de grøe ost ovefor. Det paradoksale ligger ku i at vi kommer til at fortolke implikatioe som udtryk for e årsagssammehæg. Morale er, at i e matematisk sammehæg betyder implikatiospile præcis hvad der står i defiitioe filosofisk fortolkig af implikatiosudsag sker for ege regig. Pareteser Da hver af de logiske operatioer (bortset fra egatio) er defieret for sammesætig af præcis to udsag, er det vigtigt at sætte pareteser i store sammesatte udsag for at idikere i hvilke rækkefølge operatioere skal avedes. Betragt for eksempel udtrykket heruder, hvor {a } er e reel talfølge. ( P : {a } er diverget ) ( Q: {a } er begræset ) ( R: {a } er mooto ) Dette udtryk er ikke veldefieret, dvs. dets sadhedsværdi ka ikke afgøres etydigt. Betragt for eksempel talfølge a = si. Dee følge er begræset og diverget, me ikke mooto. De gør altså udsaget P (Q R) sadt, mes udsaget (P Q) R er falsk for dee talfølge. Som udgagspukt bør ma altid have i takere at et udsag skal paretetiseres så det ikke ka misforstås. Pareteser ka på de ade side gøre udsag uoverskuelige, så ma ka vælge at udelade dem hvis ma skøer at meige ikke ka misforstås. Her er tre eksempler hvor pareteser ormalt udelades: Sadhedsværdie af et udsag af type P Q R eller P Q R afhæger ikke af paretetiserige, og paretesere udelades derfor. Operatioere og siges at være associative. 5

126 Appediks C Logik og bevistekik I et udsag af type P Q R T bider og tættere ed. Ma udelader således paretesere, hvis det ma meer er (P Q) (R T ). Hvis det ikke var dee meig ma havde havde i takere er det derfor meget vigtigt at sætte pareteser. Ma udelader ofte paretesere i udsag, hvor flere kvatorer følger efter hiade. Størstedele af ærværede oter hadler om et ekelt sådat udsag, emlig defiitioe på koverges af talfølger, så lad os se ærmere på det. Defiitioe på at e talfølge {a } er koverget med græseværdi a C er at for hvert ε > 0 fides et N N, så a a < ε år N. De helt præcise formulerig af dette med kvatorer er: ε > 0: ( N N: ( N: ( N = a a < ε) )) Bemærk at hver paretes ideholder et velformuleret udsag, og at hver af kvatorere bider e af de frie variable i de efterfølgede paretes. Hele udsaget er et åbet udsag med de frie variable {a } og a. Hvis u ma i stedet er iteresseret i udsaget ( ε > 0: ( N N: ( N: N) )) = ( a a < ε) er det vigtigt at sætte oge pareteser, så læsere ikke tror at det hadler om koverges af talfølger. C.3 Regeregler Der gælder e stribe regeregler for de logiske operatioer. Beviset for hver regeregel består i at opskrive e tabel over sadhedsværdiere, og kotrollere at de to udsag altid har samme sadhedsværdi. Dobbelt egatio Det kommer ok ikke bag på oge at to egatioer ophæver hiade: ( P ) P (C.7) Kommutativitet af og Det er heller ikke overraskede at kojuktio og disjuktio er kommutative, dvs. P Q Q P og P Q Q P (C.8) Distributivitet Om og gælder de distributive love og P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) (C.9) (C.0) 6

127 C.3 Regeregler Bemærk at operatioere distribuerer over hiade, i modsætig til de sædvalige distributive lov for (eksempelvis reelle) tal. Multiplikatio distribuerer som bekedt over additio, a(b + c) = ab + ac, mes additio ikke distribuerer over multiplikatio: a + (bc) er almideligvis ikke lig (a + b)(a + c). Distributivitet er i modsætig til de to oveståede regeregler ikke selvidlysede, så lad os give et bevis for (C.9) i form af e tabel over sadhedsværdiere. P Q R Q R P Q P R P (Q R) (P Q) (P R) S S S S S S S S S S F S S F S S S F S S F S S S S F F F F F F F F S S S F F F F F S F S F F F F F F S S F F F F F F F F F F F F Tabelle viser at de to udsag i søjlere til højre har samme sadhedsværdi uaset hvilke sadhedsværdi P, Q og R har. Dette beviser (C.9), og (C.0) ka aturligvis bevises på samme måde. De Morgas regler Om egatio af disjuktioer og kojuktioer gælder De Morgas regler: og (P Q) P Q (P Q) P Q (C.) (C.2) Reglere siger at hvis ikke P og Q begge er sade, så må e af dem være falsk, og tilsvarede, hvis ikke e af P og Q er sade, så er de begge falske. Negatio af implikatioer Implikatiospile P Q er som bekedt defieret til at være ækvivalet med udsaget (P Q). Det er derfor oplagt at ( P = Q ) P Q (C.3) Det modsatte af at P medfører Q er således udsaget P er sadt og Q er falsk. Kotrapoerig Med almidelig logik er det ikke svært at idse at år P medfører Q, og Q samtidig vides at være falsk, så ka P umuligt være sad. E klassisk børesag udtrykker det således: Mi hat de har tre buler, tre buler har mi hat, og har de ikke tre buler, så er det ej mi hat. 7

128 Appediks C Logik og bevistekik Med adre ord, udsaget hvis hatte tilhører mig, så har de tre buler og udsaget hvis hatte ikke har tre buler, så tilhører de ikke mig er to sider af samme sag. De matematiske formaliserig af dette pricip kaldes kotrapoerig. Defiitioe (C.5) af implikatio ka omskrives på følgede måde: ( P = Q ) ( P Q ) ( Q P ) ( Q ( P ) ) ( Q = P ) Udsaget Q P kaldes det kotrapoerede til udsaget P Q, og som omskrivige viser har de to udsag altid samme sadhedsværdi. Dette ka være yttigt i beviser for implikatioer oge gage er det lettere at bevise de kotrapoerede udgave af et udsag ed at bevise udsaget selv. Negatio af kvatorer Udsaget x X : P (x) betyder som bekedt at udsaget P (x) er sadt for alle elemeter x i mægde X. Det modsatte af dette udsag er således at der fides et x i X såda at P (x) ikke er sad. I symboler: På tilsvarede vis idser vi at ( x X : P (x) ) x X : P (x) (C.4) ( x X : P (x) ) x X : P (x) (C.5) Det er heldigvis let at huske disse regler: Ma egerer et udsag der starter med e kvator ved at skifte kvatore ud med de ade kvator og egere udsaget bag kvatore. I udsag der idledes med flere kvatorer efter hiade, skifter ma således alle kvatorere ud og egerer det efterfølgede udsag: ( ) ( ) x X y Y z Z : P (x, y, z) x X y Y z Z : P (x, y, z) C.4 Beviser Matematiske sætiger ka atage mage former. Der ka være tale om e simpel lighed mellem tal, fuktioer eller mægder, det ka være e implikatio, e biimplikatio eller e kombiatio af flere udsag, evetuelt krydret med et par kvatorer. Som matematiker har ma heldigvis e pæ værktøjskasse af bevistekikker til rådighed. 8 Modstridsbevis Også kedt som idirekte bevis. Et modstridsbevis ka bruges til at bevise alle typer af udsag, me bruges typisk til udsag som ikke aturligt formuleres som implikatioer, for eksempel 2 er irratioalt eller der fides uedelig mage primtal. Ofte ka et modstridsbevis for e implikatio omformuleres til et bevis ved kotrapoerig.

129 C.4 Beviser I et idirekte bevis forsøger ma at bevise et udsag U ved at bevise implikatioe U K, hvor K er et udsag som vides at være falsk. Det følger så ved kotrapoerig at K U, så da K er sad, følger det at U også er sad. Udsaget K er typisk e åbelys absurditet som fx P P, hvor P er et eller adet udsag. At udsaget P P altid er falsk, kaldes modsigelsespricippet og går tilbage til Aristoteles, me som følgede citat viser har det ydt udbredt popularitet: Ehver som beægter love om ikke-modsigelse skal tæves og brædes idtil ha aerkeder at det at blive tævet ikke er det samme som ikke at blive tævet, og det at blive brædt ikke er det samme som ikke at blive brædt. Abu Ali Sia Balkhi ( ), persisk filosof Bevis for e idetitet Et af de simpleste matematiske udsag er e idetitet a = b. Symbolere a og b ka repræsetere tal, fuktioer, mægder eller oget helt fjerde. Hvis fx a og b repræseterer tal, ka ma bevise at a = b ved at præsetere e kæde af idetiteter a = u = v = = z = b, hvor hvert lighedsteg følger af velkedte sætiger eller regeregler. Dette virker i pricippet også for fuktioer og mægder, me i praksis bruger ma ofte adre metoder. For at vise at to mægder A og B er es, skal ma bevise at de ideholder præcis de samme elemeter, med adre ord at x A x B. Fremgagsmåde er altså først at vise at hvis x A så er x også i B, dvs. bevise at A B, og derefter vise de modsatte implikatio, dvs. at B A. Dee metode beyttes i æste alle beviser for idetiteter mellem mægder. For at vise at e give mægde A er tom, dvs. A =, er fremgagsmåde ofte et idirekte bevis: Atag at der fides et elemet x i A, og udled e modstrid heraf. To fuktioer f, g : A B er es hvis og ku hvis de har de samme værdi for alle x A. Det er derfor oplagt at betragte et vilkårligt x A og vise at f(x) = g(x). Afhægig af hvilke type fuktioer der er tale om, ka adre metoder også tages i avedelse. Hvis fx f og g er differetiable reelle fuktioer kue vi forsøge at vise at d dx (f(x) g(x)) = 0 for alle x, dvs. at f g er kostat, og så fide et x 0 R hvor f(x 0 ) = g(x 0 ). Bevis for e implikatio Der er to grudlæggede måder at bevise e implikatio U V på. Eftersom implikatioe altid er sad hvis U er falsk, er det ok at kotrollere at hvis U er sad, så er V det også. Et sådat bevis begyder altså med e atagelse om at U er sad, og uder brug af dee atagelse viser ma så at V er sad. Dette kaldes et direkte bevis. Noge gage er det smart at fide e trædeste i sit bevis, dvs. vise at U T og T V for et eller adet udsag T. Hvis ma viser implikatioe T V først, bruger ma ofte vedige det er altså ok at vise at U T. De ade mulighed er et bevis ved kotrapoerig, dvs. at give et bevis for de kotrapoerede implikatio V U ved at atage at V er falsk og udlede at så må U også være falsk. 9

130 Appediks C Logik og bevistekik Bevis for e biimplikatio Et bevis for e biimplikatio U V består praktisk taget altid i et bevis for hver af de to implikatioer U V og V U. Dee metode har de fordel at ma ku skal tæke fremad i si argumetatio. Hvis ma prøver med et bevis af type U P Q V kommer ma let til at lave fejl, fordi ma skal overveje at det æste udsag i række både følger af, og medfører det foregåede. Ma gør livet lettere for sig selv ved at gøre é tig ad gage. Bemærk at ved kotrapoerig af de ee af implikatioere, fx V U, reduceres beviset for biimplikatioe U V til et bevis for de to udsag: hvis U, så V og hvis ikke U, så ikke V. Bevis for e disjuktio Ved et par simple omskriviger får vi ved hjælpe af de Morgas regler: U V ( U V ) ( U = V ) Et bevis for disjuktioe U V er altså det samme som et bevis for at hvis U er falsk, så er V sad. Det stemmer jo fit overes med vores ituitio for at vise at midst ét af udsageee er sadt, er det ok at kotrollere at hvis det ee er falsk, så er det adet sadt. Bevis for et for alle -udsag Et bevis for et udsag af type x X : P (x) består i at betragte et vilkårligt elemet x i mægde X og bevise at udsaget P (x) holder for dette x. Ma begyder ofte beviset med e formulerig i retig af lad x X være vilkårligt. Bemærk at et bevis for at udsaget x X : P (x) ikke holder, dvs. et bevis for det egerede udsag x X : P (x), gaske ekelt består i at fide et modeksempel. Bevis for et eksistesudsag Et bevis for et udsag af type x X : P (x) består i at give e præcis kostruktio af et sådat elemet x. Ma har ofte e række atagelser, fx ka ma være heldig at have atagelser om eksistes af adre elemeter, som ka bruges til at kostruere det øskede x. Det er ikke vigtigt hvor mage sådae x er ma meer at kue påvise eksistese af, det vigtige er at fide bare ét. Et godt eksempel på et eksistesbevis er beviset for Sætig.40 om supremum for delmægder af R, hvor det øskede elemet tilvejebriges geem e sidrigt kostrueret talfølge og påkaldelse af et adet eksistesudsag, emlig Sætig.35 som siger at Cauchy-følger er kovergete. Et eksistesbevis ka også føres ved modstrid. Ma atager i så fald egatioe x X : P (x) og viser at dette fører til e modstrid. De såkaldt kostruktivistiske skole idefor matematikke accepterer ikke sådae idirekte eksistesbeviser. Geerelt foretrækker ma et kostruktivt bevis, og det er uder alle omstædigheder iteressat at kostruere objekter hvis eksistes ku er bevist idirekte. Bevis for udsag med flere kvatorer Udsag af forme x X y Y z Z : P (x, y, z) (C.6) 20

131 C.4 Beviser optræder overalt i kapitel og 2, eftersom koverges af talfølger og -rækker er defieret ved et udsag af de type. Læsere har derfor set utallige eksempler på beviser for sådae udsag, me lad os for fuldstædighedes skyld sige lidt om dem alligevel. Når ma giver sig i kast med et bevis for et sammesat kvatorudsag ka det være e god ide at tæke på det som e kogebog. Hver kvator er et skridt på veje og fortæller hvad der kræves for at komme videre. Hvis udsaget for eksempel begyder med e al-kvator ved vi straks at vores bevis skal begyde med e formulerig af type Lad x X være givet. Vi går så videre til æste kvator, som kue være e eksisteskvator. På dette tri i kogeboge skal vi producere et elemet med de egeskaber der er specificeret efter eksisteskvatore, så vi vil typisk lave e aalyse af hvad der egetlig kræves af dette elemet. Når vi har kostrueret et passede elemet, fortsætter vi med æste kvator, og så videre. Når alle kvatorer på dee måde er hådteret skal vi til sidst vise at de forskellige elemeter vi har bragt på bae opfylder udsaget efter kvatorere, altså udsaget P (x, y, z) i (C.6). Iduktiosbevis Et iduktiosbevis bruges til at bevise at et åbet udsag P () som afhæger af et aturligt tal, er sadt for alle N. Iduktiosbeviser er baseret på det såkaldte iduktiospricip, som er et af aksiomere for de aturlige tal. Iduktiospricippet Hvis e delmægde A N besidder de to egeskaber (i) Tallet ligger i A (ii) Hvis k A, så er k + A, for alle k N, så er A = N. At bevise at P () er sadt for alle, er aturligvis det samme som at vise at mægde { N P () er sad} udgør hele N. Ifølge iduktiospricippet er det således ok at vise at (i) P () er sad. (ii) Hvis P (k) er sad, så er P (k + ) også sadt, for alle k N. Beviset for at P () er sadt, kaldes for iduktiosstarte, og beviset for implikatioe P (k) P (k + ) kaldes iduktiostriet. Der fides også e variat af iduktiosbeviser, kaldet stærk iduktio, som består i at bevise at hvis P (k) er sad for alle k <, så er P () også sadt. I dee variat er der ige eksplicit iduktiosstart, me bemærk at ma specielt skal bevise at P () er sad, ude yderligere atagelser, så iduktiosstarte ligger implicit i formulerige. Læsere ka let fide eksempler på korrekte iduktiosbeviser, så her kommer et eksempel på et forkert iduktiosbevis, udtækt af de ugarske matematiker George Pólya ( ). Vi vil bevise at alle heste har samme farve. Da der er ku fides edeligt mage heste ka vi bevise sætige ved iduktio, dvs. bevise udsaget i ehver mægde af heste har alle hestee samme farve for alle N. Hvis der ku er é hest, har de selvfølgelig samme farve som sig selv, så iduktiosstarte er triviel. Atag u at vi har bevist udsaget for = k, og lad os bevise de for = k +. Vi tager altså e flok beståede af k + heste. Ud af dem vælger vi 2

132 Appediks C Logik og bevistekik k heste, og kostaterer at de må have samme farve ifølge iduktiosatagelse. Vi sætter så e af hestee tilbage og tager de sidste hest med i stedet, så vi ige har e flok på k heste. Disse har også de samme farve. Me de to mægder af k heste overlapper jo, så alle hestee har de samme farve. Beviset er fuldført. Me hvor er fejle? Hvorår er et bevis færdigt? Med e ældre århusiask matematikprofessors ord, er et matematisk bevis i sidste ede et overbevis. Målet med et bevis for e påstad er at overbevise læsere (eller tilhørere) om at påstade er sad, ved at præsetere strigete, ubestridelige argumeter. I pricippet skal disse argumeter demostrere hvorda påstade ka reduceres fuldstædigt til adre kedte påstade eller aksiomer. I praksis går ma ofte på kompromis med detaljeiveauet og overlader dele af beviset til læsere i forvetig om at dee sætter sig med papir og blyat og kotrollerer evetuelle udeladte detaljer. Som tilhører udsættes ma således jævligt for bevis ved eergisk vifte med armee, me det er godt at holde sig for øje at alle detaljer i pricippet skal kotrolleres. 22 Om ituitio: Pas på! Efterhåde som ma får sat sig id i et matematisk område, som fx teorie om uedelige rækker, udvikler de fleste e vis foremmelse for hvilke udsag der er sade og hvilke der ikke er. Ma opår e vis grudlæggede ituitio om emet som gør det muligt hurtigt at tage stillig til ekle udsag. Med e såda ballast bliver det ofte smertefuldt, og ihvertfald kedeligt, at være tvuget til at give beviser i de detalje som de ideelle pricipper foreskriver. Ma tillader sig derfor ofte at udelade argumeter for påstade og udsag som ma har e ituitiv foremmelse af må være sade. Det er etop på dee måde de mage fejl, der laves af selv meget garvede matematikere, opstår. Faktisk laves der ok ligeså mage fejl af rutierede matematikere som af ybegydere. Me karaktere af fejlee ædres. E ulevede amerikask matematiker har udtrykt det på følgede måde, i fri oversættelse: Fordele ved at blive ældre er ikke at es fejltagelser bliver færre, me at de bliver mere iteressate. Alligevel er det både yttigt og vigtigt, og heldigvis også uudgåeligt, at ma udvikler e solid ituitio om de matematiske emer ma beskæftiger sig med. Det er ku ved massiv brug af ituitio at ma ka løse problemer og opgaver, både idefor og udefor de ree matematik, som kræver bestemte matematiske forudsætiger. Desude ville kommuikatioe om og med matematiske begreber være uedelig besværlig, hvis ma ikke kue forudsætte det midste om modtageres matematiske ituitio. Me det er farligt ku at lade sig lede af si ituitio, og i for høj grad lade håt om de strigete bevisførelse. Følgede lille hstorie fra det virkelige liv bør tjee som advarsel mod at stole blidt på si ituitio. Ved åbige af Ceter for Sciece Educatio ved det aturvideskabelige fakultet i jui 2009 holdt fysikprofeesor Eric Mazur fra Harvard Uiversity et foredrag om udervisigsformer. Uder dette foredrag gav ha det tilstedeværede publikum følgede spørgsmål: Lad os tæke os at jorde er kuglerud, og at der er spædt e sor stramt rudt på ækvator. Forlæg sore med meter, og løft sore jævt så afstade fra sore til jordoverflade er es hele veje rudt. Hvor højt over jordoverflade vil sore så være? Publikum fik følgede

133 C.4 Beviser svarmuligheder: () Nogle få ågstrøm (dvs. som bredde af ogle molekyler). (2) Nogle få millimeter. (3) Cirka som højde af e katste. (4) E meter. (5) Mere ed e meter. Efter miuts betækigstid, ude samtale, skulle de ca. 00 tilstedeværede give et foreløbigt svar ved at trykke på et uddelt tastatur. Deræst fik de mulighed for at koferere i et par miutter med deres sidemæd hvorefter de havde mulighed for at korrigere deres svar. Efter adet forsøg var 3/4 af de tilstedeværede blevet eige om at (3) er det korrekte svar. Dette er også gaske rigtigt, som ma hurtigt ka overbevise sig om ved at bruge at omkredse af e cirkel er 2π gage radius. På trods af, at spørgsmålet lader sig løse let og smertefrit ved brug af e simpel matematisk formel, som de stedeværede, der alle var professioelle aturvideskabsfolk, havde kedt i årtier, og som de fleste ok følte de havde fået id med modermælke, var der altså selv efter flere miutters fri takevirksomhed og kommuikatio stadig /4 som ikke havde det rigtige svar. Forklarige er ok, at istiktet eller ituitioe siger e, at fordi Jorde er så stor ka e ekelt meter ikke gøre særlig mege forskel, og sore ka derfor ku løftes meget lidt op over jordoverflade. Hvilket altså er helt forkert. Morale er at ituitio er et vigtigt og uudværligt værktøj som med tide ka udvikles til et særdeles potet redskab, me som i lighed med adre effektive virkemidler må hådteres med forsigtighed. 23

134 Appediks C Logik og bevistekik C.5 Opgaver C. Hvilke af følgede udsag er åbe? (a) p er et primtal (b) ε > 0: ε (c) ε > 0 N: ε (d) a er koverget (e) ( a 0 for ) = a er koverget (f) x R: f(x) C (g) R ideholder et elemet x som opfylder x 2 = π C.2 Bevis De Morgas regler (C.) og (C.2) ved at opstille sadhedstabeller. C.3 Lad r. Bevis ved iduktio at ( + r) + r (C.7) for alle N. Ulighede (C.7) er kedt som Beroullis ulighed. C.4 Bevis ved iduktio at C.5 Bevis ved iduktio at = = ( + ) 2 ( + )(2 + ) 6 for alle N. for alle N. C.6 Bevis ved iduktio at tallet er deleligt med 7 for alle N. C.7 Bevis ved iduktio at C.8 Lad v R. Bevis de Moivres formel for alle N. (cos v + i si v) = cos v + i si v for alle Z. 24

135 Appediks D Om limsup og limif Vi har søgt at sælge begrebet limes superior som e matematisk præciserig af de størst mulige græseværdi. I dette appediks vil vi prøve at agribe de opgave fra e ade vikel ved brug af delfølger. Lad os først mide om hvad e delfølge af e talfølge er for oget. Hvis {a } er e talfølge, ka vi kostruere e y talfølge ved ku at tage oge af tallee i {a } med, og smide de adre væk. Vi ka smide edeligt mage eller uedeligt mage tal væk, me der skal stadig være uedeligt mage tal tilbage. Mere præcist er e delfølge af {a } e følge {b k } k=0 med b k = a k, hvor k er e stregt voksede følge af aturlige tal. Hvis for eksempel a = og vi vælger 2 k = 2k får vi delfølge b k = a k = a 2k =. 4k 2 I Opgave.25 beviste vi at ehver begræset reel talfølge har e koverget delfølge. Græseværdie for e såda delfølge må vel betragtes som e mulig græseværdi for talfølge. Det syes derfor ærliggede at defiere de størst mulige græseværdi for e begræset følge af reelle tal som det største tal, der er græseværdi for e koverget delfølge. Tilsvarede må det midste tal som er græseværdi for e koverget delfølge være et foruftigt bud på e matematisk præciserig af de midst mulige græseværdi. Følgede sætig viser, at dee alterative sysvikel giver det samme resultat, som de defiitio vi etablerede i afsit.7. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Så har mæg- Sætig D.. de L = { t R {x } har e delfølge {x k } k= med et maksimum og et miimum. Der gælder } lim x k = t k lim sup x = max L og lim if x = mi L. 25

136 Appediks D Om limsup og limif Bevis. Strategie i beviset er at vise begge ulighedere lim sup x sup L og lim sup x sup L for at kokludere at lim sup = sup L. Udervejs kostruerer vi e delfølge af {x }, som kovergerer mod lim sup x, hvilket i kombiatio med førævte lighed beviser lim sup-dele af sætige. De tilsvarede udsag for lim if bevises aturligvis på samme måde. Lad t R være græseværdi for delfølge {x k } af {x }. Lad ε > 0 og m N være vilkårlige. Da lim k x k = t, fides et K N så stort, at x k ]t ε, t + ε[ år k K. (D.) Da lim k k =, fides der et k K så k m. Fra (D.) får vi så at sup{x i i m} x k > t ε. Me m N var vilkårlig, så vi ser heraf, at [ lim sup x = lim sup{xi i m} ] t ε. m Dee koklusio gælder for alle ε > 0, så vi fider at lim sup x t. (D.2) Vi har altså vist, at (D.2) gælder for ethvert t R, som er græseværdi af e delfølge af {x }, dvs. for alle t L. Ved at tage supremum t giver det os, at lim sup x sup L (D.3) som var det første vi ville vise. Vi hævder u, at der fides e delfølge {x k } af {x }, som opfylder, at lim x k = lim sup x. k For at vise dette bemærker vi først, at s = lim sup x <, da {x } er begræset. Vi vil kostruere e følge < 2 < 3 < i N således, at x k ]s k, s + k [ (D.4) for alle k N. Dette gøres rekursivt på følgede måde: Da sup{x i i } kovergerer mod lim sup x, ka vi fide et N, så sup{x i i N} ]s, s + [. Der må derfor fides et tal, som opfylder at N og at x ]s, s + [. Vi vælger som det første elemet i de følge af aturlige tal, vi er ved at kostruere. Atag u at vi har kostrueret < 2 < 3 < < k, således at x i ] s i, s + i [, i =, 2, 3,..., k. Ved atter at bruge at sup{x i i } kovergerer mod s, fider vi et M så stort at sup{x i i m} ] s k+, s + [ k+ (D.5) 26

137 Appediks D Om limsup og limif for alle m M. Specielt ka vi vælge et m > k således, at (D.5) er opfyldt. Fra (D.5) følger det, at der må være et k+ m, således at x k+ ] s m+, s + m+[. Da m > k, har vi også k+ > k. Dermed har vi kostrueret < 2 < < k+, således at x i ] s i, s + i [ for alle i =, 2, 3,..., k +. Ved fortsættelse af dee procedure får vi de øskede følge < 2 < 3 <, der opfylder (D.4). Fra (D.4) følger, at lim k x k = s. Eksistese af dee delfølge viser at og det følger at lim sup x L lim sup x sup L. Vi kokluderer at der gælder lighed i (D.3). Samme med eksistese af delfølge {x k } med lim k x k = lim sup x viser dette at sup L L, så supremet er et maximum. Dermed har vi vist at lim sup x = max L. Vi overlader til læsere at justere beviset på passede vis for at bevise de tilsvarede påstade om lim if x. For at kostruere e delfølge {x k } af {x } med græseværdi lim if x ka ma fx udytte resultatet fra Opgave.64, som fortæller at lim if x = lim sup ( x ). 27

138

139 Litteratur [S] James Stewart, Calculus, Cocepts & Cotexts, Thomso, [BN] Jørge Bradt, Kud Nisse, Q.E.D. E itroduktio til matematisk bevis, ABACUS,