Talfølger og -rækker

Transkript

1 Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber 0 gage hurtigere ed skildpadde, så de får et forsprig på 00 fod. Når Achilleus har tilbagelagt de første 00 fod, vil skildpadde have bevæget sig 0 fod. Efter yderligere 0 fod for Achilleus vil skildpadde stadig føre med fod, og så fremdeles. Achilleus ka aldrig overhale skildpadde.

2

3 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009

4

5 Idholdsfortegelse Forord Idledig iii v Kapitel Talfølger. Følger af tal Koverges af talfølger Regeregler for græseværdier Cauchy-følger Mootoe følger Supremum og ifimum Limes superior og limes iferior Opgaver Kapitel 2 Uedelige rækker Defiitio og koverges af talrækker Additio og multiplikatio af rækker Geometriske rækker Altererede rækker og absolut koverges Kovergeskriterier Potesrækker Opgaver Appedikser Appediks A De komplekse tal 93 Appediks B De reelle tal 99 B. Uedelige decimalbrøker B.2 Mægder og talområder B.3 Fuldstædighed B.4 Opgaver i

6 Idholdsfortegelse Appediks C Logik og bevistekik C. Udsag C.2 De logiske operatioer C.3 Regeregler C.4 Beviser C.5 Opgaver Appediks D Om limsup og limif 25 Litteratur 29 ii

7 Forord Disse oter er blevet til i løbet af foråret 2009 og udgør de cetrale del af udervisigsmaterialet til kurset Itroduktio til Matematisk Aalyse ved det aturvideskabelige fakultet på Aarhus Uiversitet. Ambitioe har været at lave e lærebog der passer til målgruppe som udgøres af førsteårsstuderede optaget på Matematikog Matematik-Økoomi-idgagee. Hesigte er at give e itroduktio til teorie om uedelige rækker, på e såda måde at læsere samtidig tileger sig ogle vigtige og cetrale begreber og metoder i de matematiske aalyse. Det drejer sig især om at itroducere matematiske beviser og bevismetoder, som er e uudværlig del af de modere matematik. Tilegelse af disse metoder er midst lige så vigtig som kedskabet til teorie for talfølger og rækker. Vi har derfor valgt at supplere fremstillige af de matematiske emer med e række bemærkiger, der fremhæver vigtige og geerelle træk ved de avedte metoder. Disse bemærkiger er markeret med e lille advarselstavle i margie. Desude har vi medtaget e midre serie appedikser som bl.a. omhadler bevismetoder og logik. Størstedele af tekste udgøres af defiitioer, sætiger og beviser samt e stor portio eksempler. Nogle sætiger har status af lemma, dvs. hjælpesætig, adre kaldes korollar eller følgesætig. Et lemma er typisk et resultat som ikke er iteressat i sig selv, me som bruges i beviset for e seere sætig. Et korollar er et resultat som let følger af e etop bevist sætig. Læsere vil også støde på propositioer. E propositio er et resultat som er vigtigere ed et lemma me ikke vigtigt ok til at blive kaldt e sætig. Til hjælp for læsere markeres afslutige af et bevis med e lille firkat. Eksempler afsluttes med og bemærkiger med. Visse af boges afsit afsluttes med e lille sad/falsk quiz, markeret med e oplysigstavle i margie. Hver af disse quizzer omhadler de teori der er behadlet side de sidste quiz, dvs. materiale fra ét eller to afsit. Læsere opfordres til at prøve kræfter med quizzere uder læsige af otere for at styrke forståelse af de ye begreber der itroduceres. Vores fremstillig er på flere pukter ispireret af Ebbe Thue Poulses bog Fuktioer af e og flere variable (Gads Forlag, 200) som hidtil er blevet brugt ved udervisige i Itroduktio til Matematisk Aalyse, selvom det ku er e begræset del af emere fra dee vi behadler her. Mage af vores opgaver er hetet direkte iii

8 Forord fra Thue Poulses bog, og vi er ham takemlig for tilladelse til at avede dette materiale. I Idledige til Fuktioer af e og flere variable har vi fudet følgede formulerig, som vi meer beskriver et meget væsetligt forhold, og som vi derfor gere getager her fordi det også gælder for disse oter: Der er i præsetatioe af stoffet lagt mere vægt på præcisio og beviser, ed der er traditio for i gymasiet. Faktisk er mage af bevisere geemført med så mage detaljer, at ogle givetvis vil kalde fremstillige pedatisk. [...] Formålet med de [...] pedatiske fremstillig er at mide læsere om, at alle matematiske beviser pricipielt skal være fuldstædige. Dette krav er imidlertid et ideal, som matematikere ofte vælger at gå på kompromis med, fordi kravet om fuldstædighed gør bevisere lægere og ofte også midre overskuelige. Når ma skriver for læsere med mere erfarig og større overblik, udelader ma derfor tit e del af detaljere [...]. I så fald er det uderforstået, at forfattere for sig selv har geemtækt disse detaljer, og at læsere bør gøre det samme. Vi har lagt et stort arbejde i at udradere fejl i disse oter. Det være sig matematiske såvel som typografiske. Rue Esdahl-Schou har læst ogle foreløbige versioer af otere og har på dee måde hjulpet os med at rette e række fejl og magler. Lars Madse har stillet si store L A TEX iske ekspertise til rådighed. Vi udskylder på forhåd for de fejl, der med garati stadig er at fide. De er alle de ade forfatters skyld! Da Beltoft og Klaus Thomse, Jui 2009 iv

9 Idledig E uedelig sum af tal a 0 + a + a 2 + a 3 + kaldes også for e uedelig række. Fx ka det være række () eller række (2) Dee bog hadler om de matematik der skal bruges for at give meig til og avede sådae uedelige rækker af tal. Egetlig hadler det altså blot om at lægge uedeligt mage tal samme. Me det er ikke så ekelt, og giver let aledig til mærkelige resultater hvis ma ikke passer på. Et helt aivt forsøg på at bestemme summe af leddee i række () kue bestå i at hådtere de som e almidelig edelig sum, og argumetere på følgede måde: Vi keder ikke summe af række så lad os betege de x. Hvis vi gager () med 2 og tillader os at avede sædvalige regeregler for edelige summer fider vi, at 2x = = , (3) hvilket er de samme række som (), me med første led,, udeladt. Det leder os til, at x bør opfylde ligige 2x = x, der som bekedt ku har løsige x =. Så hvis vi tror på at uedelige summer ka hådteres efter samme pricipper som edelige summer år vi frem til det urimelige resultat at summe af række () bør være. Hvis vi derimod beytter samme fremgagsmåde på (2) og kalder summe y, fider vi at 2y = = , v

10 Idledig der jo er det samme som (2), me med det ekstra led. Altså bør y være løsig til ligige 2y = + y, og dermed y =. Hvilket jo de fleste ka se er et uhyre rimeligt bud på hvad summe af (2) må være. Alligevel ka det faktum at summe af række (2) giver et edeligt resultat, for tilstrækkeligt filosofisk alagte persoer opfattes som et paradoks. Uder alle omstædigheder bør disse ekle eksempler mae læsere til forsigtighed i si omgag med uedelige rækker og tjee som legitimatio for de meget grudige tilgag som de modere matematik foreskriver, og som er emet for dee bog. Udgagspuktet er i de modere tilgag de såkaldte afsitssummer s = a 0 + a + a a som fremkommer ved at addere de første + led. For de første rækkes vedkommede, altså (), ser ma let at disse afsitssummer s, s 2, s 3, osv. vokser ud over alle græser og ikke ærmer sig oget edeligt tal. Derimod fider ma ude de store problemer at afsitssummere for de ade rækkes vedkommede vil være givet ved formle s = 2 +, der jo ærmer sig mere og mere år vokser. Så e hel del tyder på, at de afgørede forskel på de to eksempler ka aflæses af, hvorda afsitssummere opfører sig. Og at det afgørede syes at være, hvorvidt følge af afsitssummer s, s 2, s 3, s 4, osv. ærmer sig et tal år vokser. For at forfølge dette syspukt, at e uedelig rækkes opførsel skal afgøres af hvorledes afsitssummere opfører sig, må vi først udvikle oget teori om følger af tal, og om hvorda vi på sikker grud ka give meig til at e følge af tal ærmer sig oget. vi

11 Kapitel Talfølger. Følger af tal Først de formelle defiitio af, hvad e talfølge er for oget: Defiitio.. E følge af tal er e fuktio a: N C. Her beteger N de aturlige tal, iklusive 0, og C de komplekse tal. De reelle tal beteger vi med R og vi opfatter dem som e delmægde af C. I Appediks A fides e kort geemgag af hvad de komplekse tal er og hvorda ma reger med dem. Sædvaligvis afører ma følge a: N C ved at agive værdiere af fuktioe a i de aturlige rækkefølge: {a } = {a 0, a, a 2, a 3, a 4,... }, hvor a = a(). Tallet a siges at have ideks. I otatioe {a } er det ude betydig hvilket symbol der bruges for idekset. Talfølge kue lige så vel skrives {a i } i=0 eller {a } =0. Eksempel.2. Følge a =, =, 2, 3,..., svarer til fuktioe a: N C som seder N til. Bemærk at a ikke er defieret for = 0. Som oveståede eksempel viser er det ogle gage aturligt at begyde idicerige af e følge adre steder ed med = 0. Vi vil geerelt ku iteressere os for talfølgers opførsel år vokser mod uedelig, og derfor er det ikke vigtigt hvor ummererige starter.

12 Kapitel Talfølger Eksempel.3. De aturlige tal N ka opfattes som e følge: a =, = 0,, 2, 3,..., som svarer til fuktioe a: N N givet ved at a() =. Eksempel.4. Lad i = C. Vi defierer e talfølge {a } a = i. ved at Altså er a tallet i opløftet til te, altså gaget med sig selv gage. Så a 0 = i 0 =, a = i, a 2 = i i =, a 3 = i 3 = i i i = i = i, a 4 = i 4 = i 2 i 2 = ( ) 2 =, osv. Mere formelt: år 0 modulo 4 i år modulo 4 a = år 2 modulo 4 i år 3 modulo 4 Følge er periodisk, idet tallee, i,, i getages i det uedelige. Eksempel.5. Fuktioer ka også give aledig til følger. Fx ka sius-fuktioe bruges til at defiere følge a = si. Ved brug af e lommereger ka ma så bestemme approksimative værdier for a : a 0 = si 0 = 0 a = si 0, a 2 = si 2 0, a 3 = si 3 0, a 4 = si 4 0, a 5 = si 5 0, a 6 = si 6 0, a 7 = si 7 0, og så videre. Eksempel.6. Følger ka være kostate. For ethvert komplekst tal z ka vi defiere e følge {a } ved at a = z for alle. Eksempel.7. Følger ka defieres rekursivt. Et berømt eksempel er Fiboaccifølge {a } = som defieres ved at a = a 2 = og a = a + a 2, 3. Altså er a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8 osv. 2

13 .2 Koverges af talfølger.2 Koverges af talfølger Defiitio.8. E talfølge {a } er koverget år der fides et tal a C som opfylder, at der for ethvert ε > 0 fides et aturligt tal N N således at år N. a a ε Betigelse i Defiitio.8 ka også skrives ved brug af kvatorer: ε > 0 N N: a a ε N. (.) Dee smøre af matematiske symboler ka læses på følgede måde: For alle epsilo større ed ul fides der et aturligt tal N, således at afstade mellem a og a ikke er større ed epsilo, år er større ed eller lig med N. E alterativ formulerig kue være: For alle epsilo større ed ul fides der et aturligt tal N, således at år er større ed eller lig med N, er afstade mellem a og a ikke større ed epsilo. På matematisk ville dette skrives ε > 0 N N N : a a ε. (.2) Hvilke af de to matematiske skrivemåder der beyttes er mest e smagssag. I disse oter vil vi oftest beytte kvatorer som forkortelser for sproglige formuleriger, og ikke som logiske symboler. I Appediks C ka du læse mere om kvatorer. I helt jæve ord ka betigelse i Defiitio.8 fx beskrives ved at sige, at elemetere i følge fra et vist tri alle skal ligge så tæt på a som vi måtte øske. Hvis vi tæker på de komplekse tal som e pla ka betigelse beskrives ved, at ehver cirkelskive af radius ε med cetrum i puktet a C ideholder alle de tal i følge, som har idex N eller højere. Der er altså ku edeligt mage tal i følge som ikke ligger idefor e såda cirkel. Se Figur.. Figur.: Koverges af e talfølge Et N N som opfylder (.) for et givet ε > 0 siges at afparere dette ε. Når betigelse i Defiitio.8 er opfyldt kalder vi a for følges græseværdi, og vi siger at følge kovergerer mod a. Dette skrives kort: lim a = a. E talfølge der ikke er koverget kaldes diverget. 3

14 Kapitel Talfølger 4 Eksempel.9. Følge a = fra Eksempel.2 kovergerer mod 0, og har altså græseværdie 0. For at vise det, skal vi ifølge Defiitio.8 for ethvert positivt ε gøre rede for, at der fides et aturligt tal N så for alle N. Nu er a 0 ε (.3) a 0 = 0 =, så kravet er, at der skal fides et N så ε år N. Me ε ε, så vi ser, at hvis blot N er et aturligt tal større ed ε, så vil (.3) være opfyldt for alle N. Eksempel.0. Følge a = kovergerer også mod 0: Lad ε > 0 være givet. 2 Ifølge Eksempel.9 ka vi fide et N N så ε for alle N. Me så er 2 0 = 2 ε for alle N. Se også Opgave.27. Eksempel.. Følge a = + kovergerer mod. Dette ka idses på følgede måde: a = + = + =. (.4) Fra Eksempel.9 ved vi at lim = 0, så for ethvert ε > 0 ka vi fide et N N så ε år N. Og så fortæller (.4) os, at a ε år N. Ikke alle følger har e græseværdi. Fx er det ikke svært at idse at følge a = fra Eksempel.3 ikke har e græseværdi. Me hvis der er e græseværdi, er de etydigt bestemt: E følge ka ikke have mere ed é græseværdi. Et bevis for dee påstad ka forløbe som følger ved brug af et modstridsargumet: Atag a og b begge opfylder betigelse i Defiitio.8 og atag for modstrid at a b. Så er a b > 0 og vi ka avede betigelse med til at fide N a, N b N således at år N a og ε = a b (.5) 3 a a ε (.6) a b ε (.7) år N b. Når er større ed både N a og N b ka vi bruge både (.6) og (.7), og fider så ved brug af trekatsulighede (A.7), at a b = a a + a b a a + a b ε 3 + ε 3 = 2ε 3. Det er i modstrid med (.5), og derfor må atagelse om at a b, være forkert.

15 .2 Koverges af talfølger Eksempel.2. Følge a = i fra Eksempel.4 er ikke koverget. De skifter jo hele tide mellem tallee, i,, i, og kommer ikke vilkårligt tæt på oget adet tal. Me lad os give et formelt bevis for, at dee følge ikke kovergerer: Atag for modstrid at der fides et tal a C således at vi for ethvert ε > 0 ka fide et N N med de egeskab at a a ε år N. Et sådat N skal vi altså specielt kue fide år ε = 2 3. Altså må vi have, at 2 a a 3 år N. Heraf følger så, at a a + = a a + a a + a a + a a = år N. Me det ka ikke være rigtigt, for uaset hvilket vi betragter er (.8) a a + = i i + = i (i ) = i i (jvf. (A.0)) = i i = i = i = = 2. (.9) i modstrid med (.8). Altså ka følge ikke være koverget. Bemærkig. Både i Eksempel.2 og i beviset for etydighede af e græse- værdi har vi e atagelse om at kovergesbetigelse (.) er opfyldt. Og det er jo et krav, der omfatter alle ε > 0. Som det er tilfældet i de to eksempler, bruger ma ofte såda e atagelse ved at vælge et særlig sedigt ε og så udytte at ma, ifølge (.), skal kue fide et N der virker for etop dette valg af ε. Valget af det rette ε kræver aturligvis at ma aalyserer situatioe først. Da forfattere fadt på Eksempel.2 lavede ha fx vurderige i (.9) først, og valgte derefter sit ε. Lad t ]0, [ og sæt a = t, =, 2, 3,.... Dee følge ko- Eksempel.3. vergerer mod : lim t =. (.0) Dette ka vises på følgede måde. Fuktioe f(x) = x = e l x er differetiabel på itervallet ]0, [ og f (x) = x e l x. Fra differetialregiges middelværdisætig (side 279 i [S]) ved vi, at der fides et s [t, ] så f() f(t) = f (s)( t). (.) Da l s 0 er e l s og derfor er Idsættes dette i (.) får vi estimatet f (s) s t. t = f() f(t) = f (s) t t t. (.2) 5

16 Kapitel Talfølger Lad så ε > 0 være givet. Vælg N N så stor at N t t tε. Når N er tε dermed er t t ε. Ved brug af (.2) fider vi, at t ε og år N. Dermed har vi verificeret (.0). Eksempel.4. Lad z C. Følge a = z, = 0,, 2,..., er koverget med græseværdi 0 år z <. For at vise det skal vi for et givet ε > 0 fide et N så z 0 = z ε (.3) år N. Til det formål ka vi atage, at ε <. Thi hvis vi har vist, at vi ka afparere ethvert ε ]0, [ ka vi også afparere et ε : Vi vælger blot et N som afparerer 2. Så vil (.3) være opfyldt for alle N. Vi atager altså, at ε > 0 og at ε <. Ifølge Eksempel.3 er lim ε =, så der fides at N N så stort at ε z år N. Heraf følger specielt, at ε z år N, og derfor også at z ε år N. Da z = z (ifølge (A.0)) ser vi at (.3) er opfyldt år N. Bemærkig. I det foregåede eksempel argumeterede vi for, at det er ok at verificere betigelse (.) for alle ε er midre ed. Dette er et geerelt pricip, som ofte avedes. For at verificere at kovergesbetigelse (.) er opfyldt, er det tilstrækkeligt at betragte ε er som er midre ed et eller adet fast tal, fx alle ε > 0 som er midre ed 0 23, hvis ma foretrækkker det. Eksempel.5. Talfølge ( a = ), der begyder med tallee a = 0, a 2 = 2, a 3 = 3 2 3, a 4 = osv., kovergerer mod. Dette ka vises ved at sammelige med følge fra Eksempel.3: Når 2 er 2, så da fuktioe s s = exp ( l s) er voksede følger at ( ) 2 ( ) = 6

17 .2 Koverges af talfølger år 2, og dermed er a ( ) 2. (.4) Når vi så har givet et ε > 0 ka vi ifølge Eksempel.3 fide et N 2 så ( ) 2 ε år N. Og så følger det fra (.4) at år N. a ε Quiz. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } være e kompleks talfølge. Udsag Sad Falsk () Hvis N N afparerer ε > 0 i betigelse (.), så vil 2N afparere ε 2. (2) Hvis N N afparerer ε > 0 i betigelse (.), så vil N 2 afparere 2ε. (3) Hvis N N afparerer ε > 0 i betigelse (.), så vil ethvert N N også afparere ε. (4) E kostat talfølge er koverget. (5) Hvis e følge af heltal er koverget, så er græseværdie et heltal. (6) Hvis e følge af ratioale tal er koverget, så er græseværdie et ratioalt tal. (7) Hvis e følge af irratioale tal er koverget, så er græseværdie et irratioalt tal. (8) Ehver rekursivt defieret følge er koverget. (9) Hvis der fides et a C som opfylder at N N ε > 0 N : a a ε, så er {a } koverget med græseværdi a. (0) Hvis {a } er e koverget følge og f : N N er e bijektio, så er følge {a f() } også koverget. 7

18 Kapitel Talfølger.3 Regeregler for græseværdier Idtil videre har vi ku påvist koverges af talfølger ved at bevise direkte, at betigelse i Defiitio.8 er opfyldt. Vi skal i dette afsit bevise e stribe resultater som giver os vide om koverges af ye talfølger bygget op af kedte følger ved fx additio og multiplikatio. Sætig.6. Lad {a } og {b } være kovergete talfølger med græseværdi a, hhv. b, og lad s C. Så er talfølge {a + sb } koverget med græseværdi a + sb. Bevis. Lad ε > 0 være givet. Vi skal vise, at der fides et N N så a + sb (a + sb) ε for alle N. Til det formål laver vi først vurderige a + sb (a + sb) = a a + s(b b) a a + s(b b) = a a + s b b (.5) Da lim a = a ka vi fide et N N så a a ε + s for alle N. Og da lim b = b ka vi fide et N 2 N så b b ε + s for alle N 2. Sæt N = max{n, N 2 }. Når N er a a + s b b ε + s + s ε + s = ε. Ifølge (.5) betyder det, at a + sb (a + sb) ε for alle N, som øsket. De korte udgave af Sætig.6 er lim a + sb = lim a + s lim b. (.6) Eksempel.7. Lad {a } være talfølge givet ved a = +22 i. Lad b 2 = og c = i for alle. Så er lim b = 0 ifølge Eksempel.9 og lim c = i. Da a = b + 2c for alle fortæller Sætig.6 at lim a = 2i. Eksempel.8. Ved hjælp af Eulers formler (side A8 i [S]) har vi at e i = cos + i si. (.7) 8

19 .3 Regeregler for græseværdier Vi ka derfor udersøge kovergesforholdee for følge { } e i ved at udersøge kovergesforholdee for følgere { cos } { og si }. Dette ka gøres på følgede måde: Da cos = si giver differetialregiges middelværdisætig (side 279 i [S]) at for alle t R fides et s R så cos t = cos t cos 0 = (t 0)( si s) = t si s. Da si s giver dette os estimatet cos t t for alle t R. På tilsvarede måde fider ma, ige ved brug af differetialregiges middelværdisætig, at si t t. Idsætter vi t = og at i de to sidste ligiger får vi at cos (.8) si (.9) for alle N. Fra (.8) følger, at lim cos = og fra (.9) at lim si = 0. Ved brug af (.7) følger u fra Sætig.6 at lim e i = lim cos + i lim si = + i0 =. Sætig.9. Lad {a } og {b } være kovergete talfølger med græseværdi a, hhv. b. Så er talfølge {a b } koverget med græseværdi ab. Bevis. Beviset overlades til læsere som Opgave.22. De komprimerede udgave af Sætig.9 skrives ( ) ( ) lim a b = lim a lim b (.20) Sætig.20. Lad {a } og {b } være kovergete talfølger med græseværdi a, hhv. b. Hvis b 0 fides et K N så b 0 for K, og følge { } a er koverget med græseværdi a b. b =K 9

20 Kapitel Talfølger Bevis. Da b 2 > 0 fides et K N så b b b 2 år K. Ved brug af (A.24) følger så at b b b b b 2 år K. Altså er b b b 2 = b 2 > 0 (.2) år K. Dermed er det første udsag i sætige bevist. a For at vise at lim b = a b lader vi ε > 0 være vilkårlig. Når K er a a b b = a b ab b b = a b ab b b a b ab b 2 2 = 2 a b ab + ab ab b 2 (ved brug af (A.2) og (A.0)) (ved brug af (.2)) (.22) 2 a b ab b ab ab b 2 (ved brug af (A.7)) = a a 2 b + b b 2 a b 2 Da lim a = a pr. atagelse, ka vi fide N N så år N og da lim b = b ka vi fide N 2 N så a a b ε 4, (.23) b b b 2 ε 4( a + ) (.24) år N 2. Sæt N = max{n, N 2 }. Når N ka vi bruge både (.23) og (.24) i (.22) og fider på de måde, at a a b b b ε 2 4 b + b 2 ε 2 a 4( a + ) b 2 ε 2 + ε 2 = ε. Sætig.2. Lad {a } og {b } være kovergete reelle talfølger. Atag, at der fides et N N så a b (.25) for alle N. Så er lim a lim b. (.26) 0

21 .3 Regeregler for græseværdier Bevis. Sæt a = lim a og b = lim b. For at vise, at a b er det ok at vise, at a ε b for ethvert ε > 0 (hvis læsere har problemer med at idse dette, opfordres ha/hu til at placere a og b på e tal-akse). Da a = lim a og b = lim b ka vi fide N a, N b N så år N a og a a ε 2 b b ε 2 (.27) (.28) år N b. Vælg så max{n, N a, N b }, således at vi har både (.25), (.27) og (.28) til rådighed. Så er a ε a + ε 2 ε = a ε 2 b ε 2 (ved brug af (.27)) (ved brug af (.25)) b + ε 2 ε 2 = b (ved brug af (.28)), præcis som vi øskede. Korollar.22. Lad {a } være e koverget reel talfølge, og lad t R. Hvis a t for alle er lim a t. Hvis a t for alle er lim a t. Bevis. Atag først a t for alle. Lad {b } være de kostate følge b = t. Så følger det fra Sætig.2 at lim a lim b = t. Det adet tilfælde, hvor a t for alle, vises på samme måde. Sætig.23. Lad {z } være e følge af komplekse tal, og lad a = Re z og b = Im z være real- hhv. imagiærdele af z. Så er {z } koverget hvis og ku hvis følgere {a } og {b } begge er kovergete. Når dette er opfyldt er lim z = lim a + i lim b. (.29) Bevis. Atag først at {z } er koverget, med græseværdi z. Sæt a = Re z og b = Im z. Så er z z = (a a ) + i(b b ). Så er a a z z og b b z z. Så år ε > 0 er givet fider vi et N N så z z ε år N, hvilket vi ka fordi lim z = z. Me så er også a a ε og b b ε år N, hvilket viser at lim a = a og lim b = b. Altså er a og b begge kovergete, og (.29) følger. De omvedte implikatio, at {z } er koverget år både {a } og {b } er det, følger fra Sætig.6, avedt med s = i. Vi skal seere flere gage få brug for flg.

22 Kapitel Talfølger Lemma.24. Lad {a } være e koverget talfølge med græseværdi a = lim a. Så er er følge { a } koverget og lim a = a. Bevis. Beviset er et direkte check som bruger ulighede fra Korollar A.2: Lad ε > 0 være givet. Da lim a = a fides et N N så a a ε for alle N. Ulighede fra Korollar A.2 medfører så, at år N. a a a a ε Eksempel.25. Lad t > være et reelt tal stregt større ed. Ved brug af Sætig.9 og Eksempel.3 ka vi let vise at lim t =. Vi sætter blot a = og b = ( ) t. Ifølge Eksempel.3 er lim b =, så da lim a = fider vi ved brug af Sætig.9 at lim t a = lim = b =. Eksempel.26. Lad z C være et komplekst tal med lægde z <. Vi viser at lim k z = 0 (.30) for ethvert k = 0,, 2,.... Da dette udsag er trivielt år z = 0 atager vi at z 0. Vælg et vilkårligt k N og sæt a = k z. Så er Da lim + a + a ( ) + k = z. (.3) = lim + = følger det fra Sætig.9 at lim Ved brug af (.3) får vi dermed at ( ) + k =. a + lim = z. (.32) a Sæt ε = 2 ( z ). Det følger så fra (.32) at der fides et N N så a + a z a + a z ε = ( z ) 2 2

23 .3 Regeregler for græseværdier år N. Altså er a + a z + ε = z + ( z ) 2 år N. Sæt r = z + 2 ( z ) og bemærk at r < z + ( z ) =. Da år N ser vi at a + a r a m r a m r 2 a m 2 r 3 a m 3 r m N a N (.33) år m N +. Da 0 r < ved vi fra Eksempel.4 at lim m rm = 0. Ved at bruge (.33) følger det så fra Sætig.2 at lim a = 0. Dermed er (.30) bevist. Eksempel.27. I dette eksempel viser vi at der for alle reelle x R gælder, at følge ( + ) x, =, 2, 3, 4,... er koverget, og at Tilfældet x = 0 er let, så vi atager, at x 0. Lad ε > 0. Da d l( + t) = dt + t ( lim + x = e ) x. (.34) ka vi avede differetialregiges middelværdisætig (side 279 i [S]) på fuktioe t l( + t) til at vise, at der for alle t >, t 0, fides et s mellem 0 og t så Når t 2 er +s l( + t) t = + s. 2. Heraf får vi estimatet l( + t) t = + s = s + s 2 s 2 t (.35) år t 2. Vælg N N så stor at x x2 2 og 2 år N. Ved at sætte t = x fås fra (.35) at ( l + x ) ( ) + x x = xl x = x l ( + x ) 2x2 (.36) år N. Fra (.36) ser vi at ( l + x ) x + x x 3

24 Kapitel Talfølger år N. Aveder vi differetialregiges middelværdisætig på fuktioe t e t ser vi at der for ethvert t R fides et s mellem x og t så e t e x = e s (t x). Når t x + giver det os estimatet e t e x e x+ t x. Specielt får vi, at ( e l(+ ) x e x e x+ l + x ) x for alle N. Da e l(+ x ) = ( + x ) får vi ved udyttelse af (.36) at for alle N. Me lim 2ex+ x2 for alle N. Og så er også ( + x for alle N. Dermed er (.34) bevist. ( + x ) e x x+ x2 2e = 0 så vi ka fide N N så 2ex+ x2 ) e x ε ε Quiz 2. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } og {b } være komplekse talfølger. Udsag Sad Falsk () Kovergesforholdee for e kompleks talfølge er fuldstædig bestemt af kovergesforholdee for real- og imagiærdele. (2) Hvis lim a = a, så er følge {a 2 } også koverget, med græseværdi a 2. (3) Hvis lim a = a, så er følge {a } også koverget, med græseværdi a. (4) Hvis {a } er koverget og {b } er diverget, så er {a + b } diverget. (5) Hvis {a } er koverget og {b } er diverget, så er {a b } diverget. (6) Hvis {a } er reel og koverget og a < t for alle, så er lim a < t. (7) Hvis {a } er koverget, A C og a A for alle, så er lim a A. 4 (8) Hvis P og Q er komplekse polyomier af samme grad og Q() 0 for alle, så er følge koverget. { } P () Q()

25 .3 Regeregler for græseværdier Udsag Sad Falsk (9) Der fides e talfølge {c } med c 0 for alle, så lim a c = 0. (0) Hvis a R for alle og følge {i a } er koverget, så er des græseværdi 0. 5

26 Kapitel Talfølger.4 Cauchy-følger Når ma ved brug af Defiitio.8 vil verificere at e give følge er koverget, må ma ødvedigvis kede græseværdie på forhåd. De optræder jo eksplicit i betigelse (.). Me i mage tilfælde, og især i forbidelse med teoretiske overvejelser, har ma ikke mulighed for at vide hvilke tal der ka tækes at være græseværdie, og det er derfor ikke muligt at bruge Defiitio.8 direkte. I dette afsit beskriver vi e ødvedig og tilstrækkelig betigelse for koverges af e talfølge, som ikke refererer eksplicit til græseværdie. Defiitio.28. E talfølge {a } er begræset år der fides et positivt tal K 0 så a K for alle. E talfølge der ikke er begræset kaldes ubegræset. Propositio.29. E koverget følge er begræset. Bevis. Lad {a } være e koverget følge med græseværdi a. Avedes betigelse (.) med ε = ses det at der fides et N N så a a for alle N. Heraf følger så, ved brug af trekatsulighede (A.7), at a = a a + a a a + a + a år N. Sæt K = max { + a, a 0, a,..., a N }. Så er a K for alle. Propositio.29 giver e ødvedig betigelse for, at e følge ka være koverget. Betigelse er lagt fra tilstrækkelig. Fx er følge a = ( ) begræset, me ikke koverget. Følge fra Eksempel.4 er et adet eksempel på det samme fæome, at e følge sagtes ka være begræset ude at være koverget. Eksempel.30. Lad z C være et komplekst tal af lægde z >. Vi påstår så, at følge {z } er ubegræset, og beviser det ved et modstridsargumet. Atag altså, at der fides et K 0 så z K (.37) for alle N. Fra Eksempel.25 ved vi, at lim (K + ) =. Da z > følger heraf, at der fides et N N så (K + ) N z. Ved brug af (A.0) følger så at z N = z N K +, i modstrid med (.37). Bemærkig. Et modstridsargumet som det vi brugte i Eksempel.30, og iøvrigt også da vi viste at e talfølge højest ka have é græseværdi, kaldes også med e latisk betegelse for reductio ad absurdum. Reductio ad absurdum is oe of a mathematicia s fiest weapos. It is a far fier gambit tha ay chess gambit: a chess player may offer the sacrifice of a paw or eve a piece, but a mathematicia offers the game. G.H. Hardy ( ), egelsk matematiker Modstridsbeviser bliver brugt rigtig ofte, også i situatioer hvor det ikke er stregt ødvedigt. I Appediks C ka du læse mere om modstridsbeviser. 6

27 .4 Cauchy-følger Eksempel.3. Lad {a } være Fiboacci-følge som blev idført i Eksempel.7. Altså er a = a 2 = og I dette eksempel vil vi vise at ulighede a = a + a 2, 3. (.38) a 2 (.39) gælder for alle. Dette viser bl.a. at Fiboacci-følge er ubegræset. Me vigtigere er metode vi vil bruge, idet vi vil bevise (.39) ved et iduktiosbevis. Til det formål lader vi for ethvert 2, p() betege udsaget at a 2 og a. 2 Altså er p(2) udsaget at a = og a 2, p(3) udsaget at a og a =, p(4) udsaget at a = 2 og a osv. Udsaget p(2) er åbelyst korrekt idet a 2 = og a =. Dee observatio udgør det, der kaldes iduktiosstarte i iduktiosbeviset. For at kue kokludere at p() er sad for alle 2 er det ok at vise implikatioe p() = p( + ). Dee del af beviset kaldes for iduktiostriet. I de aktuelle situatio ka vi hådtere iduktiostriet på følgede måde: Vi atager at p() er sad, dvs. at a 2 og a 2. Heraf følger så ved brug af rekursiosformle (.38) at a + = a + a fordi 2 2 år 2. Dermed har vi vist at p( + ) er sad år p() er det. Vi har vist de afgørede implikatio i iduktiostriet, og dermed afsluttet iduktiosbeviset for (.39). Bemærkig. I afit C.4 fider du e lidt mere geerel beskrivelse af iduktios- beviser baseret på det såkaldte iduktiospricip, som er et af aksiomere for de aturlige tal. Defiitio.32. Vi siger, at e talfølge {a } klumper sig samme år der for ethvert ε > 0 ka fides et N N så for alle, m N. a a m ε (.40) E følge der klumper sig samme kaldes for e Cauchy-følge. At e følge klumper sig samme ka også formuleres på flg. måde: Lemma.33. E talfølge {a } klumper sig samme hvis og ku hvis der for ethvert ε > 0 fides et N N så a a N ε (.4) for alle N. 7

28 Kapitel Talfølger Bevis. Atag først at {a } klumper sig samme. Så fides der altså for ethvert ε > 0 et N N så (.40) er opfyldt for alle, m N. Ved at vælge m = N ser vi, at (.4) er opfyldt for alle N. Atag så, at der for ethvert ε > 0 fides et N N så (.4) er opfyldt for alle N. Lad så ε > 0 være givet. Der fides så også et N N så a a N ε 2 (.42) for alle N. For ethvert par, m N gælder så, at a a m a a N + a N a m ε 2 + ε 2 = ε. Dermed har vist, at (.40) er opfyldt for alle, m N, og altså verificeret at {a } klumper sig samme. Sætig.34. E koverget følge er e Cauchy-følge. Bevis. Lad {a } være e koverget følge. Vi skal så vise, at de klumper sig samme. Til det formål lader vi ε > 0 og skal så fide et N N så (.40) er opfyldt år, m N. Lad a = lim a være følges græseværdi. Så fides et N N så a a ε 2 år N. Ved brug af trekatsulighede (A.7) følger så, at år, m N. a a m = a a + a a m a a + a a m ε 2 + ε 2 = ε Det er et meget vigtigt faktum, at de modsatte implikatio af Sætig.34 også er rigtig: Sætig.35. E Cauchy-følge af tal er koverget. Beviset for Sætig.35 er oget sværere ed beviset for Sætig.34 og ka fides i Appediks B..5 Mootoe følger Defiitio.36. E talfølge {a } af reelle tal er voksede år a a + (.43) for alle, og aftagede år for alle. a a + (.44) E reel talfølge som ete er voksede eller aftagede kaldes mooto. Bemærk at følge { a } er voksede år {a } er aftagede og vice versa. 8

29 .5 Mootoe følger Sætig.37. er begræset. E mooto reel talfølge er koverget hvis og ku hvis de Bevis. Lad {a } være e mooto reel talfølge. Vi skal vise at {a } er begræset, hvis de er koverget, og at {a } er koverget, hvis de er begræset. De første implikatio, at koverges medfører begræsethed, blev påpeget i Propositio.29 (og har ikke oget med mootoie at gøre). De ade implikatio derimod, at begræset medfører koverget, er ku rigtig fordi vi atager, at følge er mooto. Da {a } er koverget hvis og ku hvis { a } er koverget ka vi ude tab af geeralitet atage, at {a } er voksede. For at kokludere at {a } er koverget er det ifølge Sætig.35 ok at vise, at {a } er e Cauchy-følge. Vi skal altså bevise at {a } er begræset = {a } er Cauchy. (.45) Det er imidlertid lettere at bevise de kotrapoerede implikatio: {a } er ikke Cauchy = {a } er ikke begræset. (.46) De to udsag er logisk ækvivalete, så vi ka frit vælge om vi vil bevise det ee eller det adet. Atag altså at {a } ikke klumper sig samme, jvf. Defiitio.32. Det betyder, at der fides et ε > 0 således at (.40) ikke er opfyldt for oget N N. Altså ka vi for ethvert 0 N fide, m 0 så a a m > ε. Lad os atage at er det største af tallee og m. Da {a } er voksede er a 0 a m og derfor er a a 0 a a m > ε. Vi getager så argumetet med 0 erstattet af : Der fides 2 > m 2 så a 2 a m2 > ε. Heraf følger så, at a 2 a a 2 a m2 > ε. Herefter getager vi argumetet med 0 erstattet med 2 og får på dee måde et 3 > 2 så a 3 a 2 > ε. Vi skal bevise at {a } ikke er begræset, det vil sige, for alle K R fides et N så a > K. Lad altså K R være vilkårlig, og vælg L N så Lε + a 0 > K. Når vi har getaget argumetet ovefor L gage har vi skaffet os aturlige tal 0 < < 2 < < L så a j a j > ε for alle j =, 2,..., L. Dette giver os så, at a L = a L a L + a L a L 2 + a L 2 a L a a 0 + a 0 Lε + a 0 > K. Dermed har vi vist at hvis {a } ikke er Cauchy, så er de heller ikke begræset, hvilket beviser (.45) og dermed sætige. 9

30 Kapitel Talfølger Bemærkig. I beviset for Sætig.37 brugte vi begrebet kotrapoerig af e implikatio. Ækvivalese af de to udsag (.45) og (.46) er re logik og har ikke oget med talfølger, koverges eller begræsethed at gøre. Hvis P og Q er to udsag, gælder det altid at ( P = Q ) ( Q = P ). Læs mere om kotrapoerig i Appediks C. Eksempel.38. Defier følge {a } = ved at a = og a + = 6 + a, (.47). Bemærk at a 2 = 6 + = 7 >. Vi ka så bevise ved iduktio at a k+ > a k (.48) for alle k =, 2, 3,.... Lad p(k) være udsaget, at (.48) er opfyldt. Da a 2 = 7 > = a er p() sad. Atag så at p(k) er sad. Da har vi ved brug af både (.47) og (.48) at a k+2 = 6 + a k+ > 6 + a k = a k+. Dee ulighed viser, at p(k + ) holder og dermed har vi bevist at p(k) er sad for alle k N \ {0}, dvs. vi har bevist at følge {a } er stregt voksede. For at se, at følge også er begræset kostaterer vi, ige ved et iduktiosargumet, at a k 3. (.49) Dette er tydeligvis sadt for k =, og fra (.47) følger at a k+ = 6 + a k = 3 år a k 3. På dee måde følger det ved iduktio at (.49) er sad for alle k. Altså er følge {a } både voksede og begræset. Ifølge Sætig.37 er de så også koverget, og vi lader a være græseværdie. For at fide a kvadrerer vi først (.47) og fider, at a 2 + = 6 + a. (.50) Da a = lim a + fider vi ved brug af Sætig.9 at lim a2 + = lim a +a + = aa = a 2. Aveder vi deræst Sætig.6 på (.50) får vi, at Ved at løse ligige (.5) fider ma at a 2 = lim a2 + = 6 + lim a = 6 + a. (.5) a = 3 eller a = 2. Me da vi ved at = a a k 3 for alle k, følger fra Korollar.22, at a 3. Så a = 3. 20

31 .5 Mootoe følger Eksempel.39. Lad A være et reelt tal større ed eller lig med. Defier talfølge {a } = rekursivt ved at a = A og a = ( a + A ), 2 2. (.52) a Bemærk at dee rekursive formel ka bruges fordi a > 0 og fordi formle (.52) har de egeskab at a > 0 = a > 0. Dette sikrer at alle a ere er forskellige fra 0 således at vi ikke kommer til at dividere med 0 i (.52). Vi vil vise, at {a } er koverget, og at Dette gøres i tre tri: lim a = A. (.53) (i) Vi viser først at {a } er aftagede. (ii) Vi viser deræst at {a } er begræset. (iii) Fra (i) og (ii) følger det ved brug af Sætig.37 at {a } er koverget. Til sidst viser vi at græseværdie er A, altså at lim a = A. Dee fremgagsmåde er ofte brugbar år det gælder rekursivt defierede talfølger, hvis ellers følge er mooto og begræset. (i) Ved brug af (.52) får vi a a + = a ) (a + Aa = ) (a Aa 2 2 = 2a ( a 2 A ) (.54) Vi reger så videre på a 2 A, og bruger ige (.52): a 2 A = ( a + A ) 2 A = (a 2 + A2 4 a 4 = ) (a 2 + A2 2A = ( a A 4 4 a 2 a 2 a ) + 2A A ) 2 (.55) Af (.55) ser vi at a 2 A 0 og år dette idsættes i (.54) får vi så at a a + 0 eller a a +. Dermed har vi vist, at {a } er aftagede. (ii) Da {a } er aftagede har vi også at a a = A. Da vi ved at a > 0 for alle har vi altså at a A for alle. (iii) Vi ved u fra Sætig.37 at a = lim a fides. Desude følger fra (.52) at a a = ( 2 a 2 + A ). (.56) Ved brug af Sætig.9 fider vi, at lim a a = a 2 = lim a 2. Fra Sætig.6 og (.56) følger at a 2 = lim a ( a = lim 2 a 2 + A ) = ( 2 a 2 + A ). Løser ma ligige a 2 = ( 2 a 2 + A ) fås at a = A eller a = A. Me da a 0 for alle får vi fra Sætig.2 at a 0. Altså er a = A. 2

32 Kapitel Talfølger Quiz 3. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } være e kompleks talfølge. Udsag Sad Falsk () E ubegræset følge er diverget. (2) E diverget følge er ubegræset. (3) E Cauchy-følge er begræset. (4) E reel Cauchy-følge er mooto. (5) E reel talfølge ka ikke være både aftagede og voksede. (6) Hvis e reel følge er både begræset og diverget, så er de hverke voksede eller aftagede. 22

33 .6 Supremum og ifimum Udsag Sad Falsk (7) Hvis {a } klumper sig samme og f : N N er e fuktio, så klumper følge {a f() } sig også samme. (8) Hvis {a } er e Cauchy-følge og f : N N er e bijektio, så er følge {a f() } også e Cauchyfølge. (9) Hvis følge { a } er aftagede, så er de koverget. (0) Hvis følge { a } er aftagede, så er {a } koverget..6 Supremum og ifimum I dette afsit skal vi bruge de opåede resultater om talfølger til at geeralisere begrebere maximum og miimum. Der er som bekedt ige ordig på de komplekse tal, så vi holder os til de reelle tal i dette afsit. Lad A være e delmægde af de reelle tal R. Et tal a A er maximum for A år a er det største elemet i A. Mere formelt er kravee til a at (i) a A, og (ii) b a for alle b A. Når A har et maximum beteges det ofte max A. Tilsvarede ka A have et miimum, hvilket så er et tal a, der skal opfylde at, (i ) a A, og (ii ) b a for alle b A. Der er selvfølgelig delmægder A af R som ikke har oget maximum, og delmægder der ikke har et miimum. Fx har delmægde A = N ikke oget maximum, simpelthe fordi A ideholder vilkårligt store tal. Det midste vi må forlage om e delmægde A R for at vi ka gøre os håb om, at max A fides, er at A skal være opadtil begræset, dvs. at der skal være et K R så a K for alle a A. Me det er jo heller ikke ok: Mægde A = {x R x < 2} (.57) er gaske vist opadtil begræset, me har itet maximum. Der er jo itet tal i A som er større ed alle adre tal i A. Der er gaske vist et tal som stærkt kadiderer til at være max A, emlig 2. Me 2 er ikke selv elemet i A, og derfor ikke et maximum for A. 23

34 Kapitel Talfølger Vi idfører u et begreb, der præciserer de relatio tallet 2 har til mægde (.57). Lad B R være e delmægde af de reelle tal. E følge i B er e talfølge {x i } i=0 så x i B for alle i. Sætig.40. Lad B R være e ikke-tom opadtil begræset delmægde af de reelle tal. Så fides et reelt tal, som vi beteger sup B og kalder for supremum af B, som opfylder, at (i) sup B er græseværdi for e følge i B, og (ii) b sup B for alle b B. 24 Bevis. Lad k N. Da B er opadtil begræset er [ j k, j + ] B = k for alle tilstrækkeligt store j Z. Lad { j k = max j Z og vælg et tal b k [ j k, j + ] } B k [ jk k, j ] k + B. (.58) k Ved hjælp af e tegig (se figur.2) overbeviser ma sig let om, at [ jk b, j ] k + 2 k k (.59) år k. Et mere aalytisk argumet for (.59) ka forløbe som følger: Bemærk først at der ikke ka være ogle elemeter fra B i itervallet [ ) jk +, = k Så år vi for et adet N ed k sætter { j = max j Z : { t R : t j k + k [ j, j + }. ] } B må j j k +. (.60) k [ ] For ellers ka der jo ikke ligge oget fra B i j, j+. Af samme grud (byt om på k og ) er k j k k j +. (.6) [ ] (.59) følger u på flg. måde: Da b j, j+ er b j+. Når k er så ved brug (.60) får ma at b j + = j + j k + + k j k + + k k = j k + 2 k (.62)

35 år k. Desude er b j fordi b at.6 Supremum og ifimum [ ] j, j+. Så ved brug af (.6) fider vi, b j = j + j k k j k k k = j k k (.63) år k fordi så er k. Ved kombiatio af (.62) og (.63) får vi u (.59): [ jk b, j ] k + 2 k k år k. Fra (.59) følger at b b m 3 k (.64) år, m k. Fra (.64) følger så, at {b k } k= klumper sig samme: Lad ε > 0, og vælg N N så stor at 3 N ε. Så giver (.64) at b b m 3 N ε år, m N. Altså er {b } e Cauchy-følge, og dermed koverget, ifølge Sætig.35. Sæt sup B = lim b. Så er (i) opfyldt pr. kostruktio. For at vise, at (ii) også er opfyldt lader vi b være et elemet i B. For ethvert k N er der u ku to muligheder, ete er b [ j k k, j k+2 k Atag først at der fides et k N så b < j k ifølge (.59) følger det, at sup B = lim b j k > b, k k. Da b [ j k k, j k+2 k ] eller også er b < j k ] k. for alle k jvf. Korollar.22. Så b < sup B år der fides et k N så b < j k k. Atag så, at et sådat k ikke fides. Så er b [ j k k, j ] k+2 k for alle k, og da bk [ j kk, j ] k+ k [ jk k, j ] k+2 k ifølge (.58), har vi at b b k 3 k for alle k N. Heraf ser vi, at b = lim k = sup B. Så b = sup B i dette tilfælde. Uder alle omstædigheder er (ii) opfyldt. I Opgave.53 skal du bevise at sup B er etydigt bestemt, dvs. at der fides præcis ét tal som opfylder (i) og (ii) i Sætig.40. Et overtal for B er et tal t R som opfylder at b t for alle b B. Supremum for B kaldes også for det midste overtal for B etydighede sikrer at vi ka tale om det midste overtal. Figur.2: Mægde B og itervallet [ j kk, j ] k+ k med bk markeret. 25

36 Kapitel Talfølger Bemærkig. Eksistes- og etydighedsbeviser i stil med Sætig.40 og Opgave.53 er meget udbredte. Mage matematiske problemer hadler om hvorvidt et objekt med visse foreskreve egeskaber eksisterer, og hvis det gør, om der fides flere af dem eller ku ét. Det søgte objekt ka være et tal, e mægde, e fuktio eller oget mere eksotisk, me i pricippet er spørgsmålet det samme hver gag: Eksisterer det, og er det etydigt? De tilsvarede geeraliserig af miimum defieres i de æste sætig, som bevises på helt samme måde som sætige ovefor. Sætig.4. Lad B R være e ikke-tom edadtil begræset delmægde af de reelle tal. Så fides et reelt tal, som vi beteger if B og kalder for ifimum af B, som opfylder, at (i) if B er græseværdi for e følge i B, og (ii) b if B for alle b B. Bevis. Vi overlader til læsere at justere beviset for Sætig.40, idet vi gør opmærksom på, at B er edadtil begræset år der fides et K R så K b for alle b B. Et udertal for B er et tal t R som opfylder at b t for alle b B. Ifimum for B kaldes også for det største udertal for B. E delmægde af R som er både opadtil og edadtil begræset kaldes blot begræset..7 Limes superior og limes iferior Da ikke alle følger har e græseværdi, er det yttigt at kue tale om de størst mulige og de midst mulige græseværdi af e følge af reelle tal. For at få e ide om hvorda ma ka idføre disse begreber, kigger vi først på et par eksempler. Eksempel.42. Følge x = ( ) er som bekedt ikke koverget. For lige er x = og for ulige er x =. Hvis ma meigsfyldt skal kue tale om de størst mulige og de midst mulige græseværdi for dee følge, må det være, der er de største og, der er de midste. Eksempel.43. Følge x = ( ) +, =, 2, 3,..., består af to grupper tal. De ee gruppe er {x ulige}, der ligger og klumper samme lige til højre for mes de ade gruppe, {x lige}, klumper samme lige til højre for. Ige er det rimeligt at sige, at de størst mulige græseværdi for følge er tallet. Der er gaske vist uedeligt mage x er, der er stregt større ed, me på de ade side vil der om ethvert tal større ed gælde, at det ku er edeligt mage af x ere, der er større. Tilsvarede er de midst mulige græseværdi for følge. 26

37 .7 Limes superior og limes iferior Figur.3: Approksimativ placerig på de reelle akse af de første seks tal i følge. Gaske vist er alle tal i følge større ed, og uedeligt mage af dem er edda større ed, me på de ade side er der uedeligt mage af x ere, der ligger vilkårligt tæt på. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Et første bud på, hvorda ma kue defiere de størst mulige græseværdi for {x }, ville måske være sup{x N}. Det er ret klart, at ethvert tal der er stregt større ed sup{x N} ihvertfald ikke ka være græseværdi for {x }. Tilsvarede er sup{x 7} også et rimeligt bud, idet e evetuel græseværdi af {x } ku afhæger af, hvorda x opfører sig år vokser mod uedelig, og tallee x, x 2, x 3,..., x 6 spiller ige rolle i de forbidelse. Faktisk ville sup{x k} være et bud for ethvert k N. Det er let at se, at sup{x k} geerelt afhæger af k. Til eksempel ka læsere se på følge x = +. Så vi ser, at helt aive overvejelser om, hvorda ma ka idføre begrebet de størst mulige græseværdi for e følge af reelle tal, ka give aledig til e hel stribe kadidater, heribladt k =, 2, 3,... Bemærk u at sup{x k}, sup{x k + } sup{x k} for alle k N, idet {x k + } {x k}. Så tallee sup{x k}, k =, 2, 3,..., (.65) udgør e aftagede følge af reelle tal. Desude er følge (.65) begræset fordi {x } er det, og de er er dermed koverget ifølge Sætig.37. Græseværdie må vel siges at være et rigtig seriøst bud på title de størst mulige græseværdi for {x }. Defiitio.44. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Vi defierer limes superior af følge {x } som græseværdie [ sup{x k} ]. (.66) lim k Limes superior af e følge beteges kort ved lim sup x. 27

38 Kapitel Talfølger Som det burde være fremgået af det foregåede er det e god ide at tæke på lim sup x som de størst mulige græseværdi af følge {x }. I Appediks D bliver dee idé uddybet og præciseret. Lad os sammelige oveståede defiitio med et af eksemplere ovefor. Eksempel.45. Vi kigger atter på følge x = ( ) +, =, 2, 3,..., fra Eksempel.43. Vi fider, at og helt geerelt at Heraf ses let, at sup{x } = x 2 = + 2, sup{x 2} = x 2 = + 2, sup{x 3} = x 4 = + 4, sup{x 4} = x 4 = + 4, sup{x 5} = x 6 = + 6, sup{x k} = { + k+, år k er ulige + k, år k er lige. ( lim sup ( ) + ) [ = lim sup{x k} ] =, k hvilket jo også var det eeste rimelige bud på title de størst mulige græseværdi for følge. Vi skal aturligvis også have givet meig til begrebet de midst mulige græseværdi. Det er imidlertid ige sag, år ma ved hvorda limes superior skal defieres. Bemærk at for e begræset følge {x } er if{x k} if{x k + } for alle k, fordi {x k + } {x k}. På baggrud af defiitioe af limes superior er det derfor aturligt at lave følgede defiitio. Defiitio.46. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Vi defierer limes iferior af følge {x } som græseværdie [ if{x k} ]. lim k Limes iferior af e følge beteges kort ved lim if Ma ka også defiere limes superior og limes iferior af reelle talfølger som ikke er begræsede. Lad {x } være e vilkårlig reel talfølge. Hvis {x } ikke er opadtil begræset, sætter vi lim sup x =. x. 28

39 .7 Limes superior og limes iferior Hvis {x } er opadtil begræset, kigger vi på følge (.65). Hvis de er edadtil begræset ka vi gøre som før og sætte lim sup x = lim k sup {x k}, og hvis (.65) ikke er edadtil begræset sætter vi lim sup x =. På e tilsvarede måde ka ma give meig til limes iferior for e vilkårlig reel talfølge: Hvis {x } ikke er edadtil begræset, sætter vi lim if x =. Hvis {x } er edadtil begræset, kigger vi på følge if {x k} som vokser med k. Hvis dee følge er opadtil begræset ka vi gøre som før og sætte lim if x = lim k if {x k}, og hvis de ikke er opadtil begræset sætter vi lim if x =. Eksempel.47. Følge x = { år er lige år er ulige er ubegræset. Og sup {x k} = for alle k, så lim sup x =. Da {x } ikke er edadtil begræset er lim if x =. Bemærk at vi altid har, at lim if x lim sup x. (.67) Eksempel.48. Lad os atter kigge på følge x = ( ) +, =, 2, 3,..., fra Eksempel.43, me u med heblik på at fide limes iferior. Vi fider, at if{x N} =. Faktisk er if{x k} = for alle k, så lim if ( ( ) + ) er græseværdie af de kostate følge. Altså er lim if ( ( ) + ) =. E meget væsetlig grud til at idføre lim sup og lim if er, at ma ka bruge dem til at afgøre, om e give følge er koverget, også i situatioer hvor der ikke a priori er oge åbelys kadidat til e græseværdi. Dette skyldes de følgede sætig, som siger at e følge er koverget, hvis og ku hvis limes superior og limes iferior er es. Som matematisk udsag er dette lidt rigeligt upræcist, me for de fleste praktiske formål er det godt ok, og det er uder alle omstædigheder e god huskeregel. Bemærk iøvrigt hvor fit formulerige stemmer med idee om limes superior og limes iferior som de størst mulige heholdsvis de midst mulige græseværdi: E talfølge har aturligvis e græseværdi, etop år de størst mulige græseværdi også er de midst mulige. 29

40 Kapitel Talfølger Sætig.49. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Lad t R. Så er {x } koverget med græseværdi t hvis og ku hvis lim if x = lim sup x = t. Bevis. Atag først at {x } kovergerer mod t. Lad ε > 0. Så fides et N N, som opfylder at x t ε for alle N. (.68) Heraf følger, at x t ε for alle N, og dermed er t ε if{x k} (.69) for alle k N. Samtidig medfører (.68), at x t + ε for alle N. Derfor er for alle k N. Desude er det klart, at sup{x k} t + ε (.70) if{x k} sup{x k} (.7) for alle k, og år vi sætter (.69), (.70) og (.7) samme, får vi at t ε if{x k} sup{x k} t + ε (.72) for alle k N. Lader vi k gå mod uedelig i (.72), fider vi at t ε lim if x lim sup x t + ε. Da ε > 0 er vilkårligt, kokluderer vi at lim if x = lim sup x = t. Atag u omvedt at lim if x = lim sup x = t. Da er så der fides et N N, som opfylder at [ lim sup{x k} ] = t, k sup{x k} t ε for alle k N. Specielt er sup{x k} t + ε k N, og dermed er Me vi har også, at x m t + ε m N. (.73) [ lim if{x k} ] = t, k så der fides et N 2 N, som opfylder at t if{x k} ε k N 2. 30