Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Transkript

1 lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008

2 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7. INDLDNING...7. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT HÆNDLSR Brug af summatosteg Symmetrsk sadsylghedsfelt RGNING MD HÆNDLSR OG SANDSYNLIGHDR... KAP 3. BTINGT SANDSYNLIGHD...7. DFINITION AF BTINGT SANDSYNLIGHD...7. UDVIKLING PÅ HÆNDLSR...9 KSMPLR UAFHÆNGIG HÆNDLSR...0 KAP 4. BINOMIALFORDLINGN...3. GNTAGLS AF T KSPRIMNT t eksempel på e bomalfordelg De geerelle bomalfordelg...5. PASCALS TRKANT OG BINOMIALFORMLN BINOMIALFORDLINGN FORTSAT Stolpedagrammer for bomalfordelge Kumulerede sadsylgheder Stkprøveudtagg med tlbagelægg Stkprøveudtagg ude tlbagelægg...30 KAP 5. STOKASTISK VARIABL...3. HVAD R N STOKASTISK VARIABL...3. Mddelværd for e stokastsk varabel...3. Varas og spredg af e stokastsk varabel GNNMSNIT OG STANDARDAFVIGLS MIDDLVÆRDI OG SPRDNING AF BINOMIALFORDLINGN CHBYCHVS ULIGHD GRAFISK AFBILDNING. FORDLINGSFUNKTION...39 KAP 6. NORMALFORDLINGN...4. KONTINURT SANDSYNLIGHDSFORDLINGR...4. NORMALFORDLINGN ANVNDLSR AF NORMALFORDLINGN...4

3 KSMPL Avedelse af ormalfordelgspapr...44 OPGAVR...45 Kombatork...45 delgt sadsylghedsfelt...45 Betget sadsylghed...46 Bomalfordelg...46 Stokastsk varabel...47 Normalfordelge...47 INDKS...49

4 Kombatork Kap. Kombatork. Multplkatos- og addtosprcppet I kombatorkke beskæftger ma sg med metoder tl e systematsk optællg af atallet af forskellge måder, hvorpå e udvælgelse af elemeter fra e mægde ka fde sted. Kombatorkke bygger på to smple prcpper, som kaldes for multplkatosprcppet også kaldet for både-og prcppet og addtosprcppet også kaldet for ete-eller prcppet. Først vl v fastslå e helt elemetær tg. Hvs ma har e mægde på forskellge elemeter, ka ma udvælge etop ét elemet på forskellge måder. For eksempel, ka ma I e klasse med 4 elever udvælge e elev på 4 forskellge måder. Skal ma u udvælge både e elev på x-klasse 4 elever og e elev fra y-klasse 8 elever ræsoerer ma som følger: Hver gag ma har udvalgt e elev fra x-klasse 4 mulgheder, så har ma 8 mulgheder for at vælge e elev fra y-klasse. Adderer ma de 8 mulgheder 4 gage gver det alt mulgheder. Dette er et eksempel på dholdet af multplkatosprcppet: Skal ma både udvælge et elemet fra e mægde med -elemeter og et elemet fra e ade mægde med m- elemeter ka det gøres på m forskellge måder. Multplkatosprcppet kaldes også for både- og prcppet, af de grud, at hvs ma ved formulerge af udvælgelse ka sge både og, så skal ma multplcere atallet af valgmulgheder ved de to valg. Lad os u atage, at ma ete skal udvælge e elev fra x-klasse eller e elev fra y-klasse. I dette tlfælde er udvælgelse af e elev bladt 48, så der er 48 4 mulgheder. Dette er et eksempel på dholdet af addtosprcppet: Skal ma ete udvælge et elemet fra e mægde med -elemeter eller et elemet fra e ade mægde med m- elemeter ka det gøres på m forskellge måder. Addtosprcppet kaldes også for ete - eller prcppet, af de grud, at hvs ma ved formulerge af udvælgelse ka sge ete...eller, så skal ma addere atallet af valgmulgheder ved de to valg. Sker udvælgelse fra flere ed to mægder, skal ma aturlgvs blot multplcere eller addere atallet af mulgheder for udvælgelse fra hver af mægdere med hade. ksempler:

5 Kombatork. Skal ma f.eks. vælge e meu både forret, hovedret og dessert fra et meu med 4 forretter,7 hovedretter og 6 desserter, ka det gøres på måder. Har ma ku råd tl e ret ete forret, hovedret eller dessert er der mulgheder. cykellås har 6 taster, der hver ka placeres tre stllger Ud, Neutral, Id. Hvor mage forskellge mulgheder for lås gver det? Da v både skal vælge hvorda de. tast skal stå og de ade, og de tredje..., og da der er 3 mulgheder for hver gver multplkatosprcppet koder. De kode, hvor ge af tastere røres, er ok kke tlrådelg prakss. 3. tpskupo udfyldes ved at sætte et kryds et af tre felter, dette getaget 3 gage. Hvor mage mulgheder er der for at udfylde e kupo?. Lgesom ved cykellåse har v tre mulgheder for hver kamp, og v skal både vælge. og. og kamp. Ifølge multplkatosprcppet er der derfor mulgheder. Permutatoer Har ma -forskellge elemeter e mægde, tæk på elevere e klasse med 4, kaldes e rækkefølge på q-elemeter tæk på sdste række klasse, hvor q8 for e q-permutato af e - mægde. V øsker at opstlle e formel for atallet af forskellge q-permutatoer af e -mægde. Dette atal vl v betege med P,q eller P,q. Først vl v berege P, altså atallet af forskellge rækkefølger af elemeter - som v blot kalder atallet af permutatoer af e -mægde. V tæker os altså at v har 4 pladser og v fder atallet af forskellge måder, hvorpå dsse pladser ka besættes med elemeter Da både de første og de ade og de tredje, osv. plads skal besættes, skal v avede multplkatosprcppet. De første plads ka besættes på 4 måder. Når de er besat ka de æste plads besættes på - 3 måder. I alt ka de to første pladser følge multplkatosprcppet besættes på måder. De tredje på - måder...de æstsdste på måder og de sdste på måde. I alt følge multplkatosprcppet P, P4, For produktet af hele postve tal fra tl bruger ma betegelse! og det læses -udråbsteg eller -fakultet. Af hesy tl gyldghede af ogle seere formler deferer ma 0!.! ka udreges på lommeregere. F.eks. er 6! 70 og 0! V har altså vst formle: P,!.

6 Kombatork 3 Det er u relatvt smpelt at udlede e formel for P,q, hvor q. Altså atallet af q-rækkefølger af e -mægde. q 8, 4. Sdste række klasse Første plads på 4 måder. plads på - 3 måder, 3. plads på - måder...sdste plads på -q- -q Ifølge multplkatosprcppet fder v derfor: P,q q og som eksempel P4, , Første gag ma ser det, overraskes ma som regel over hvor stort et tal P4,8 egetlg er. For at få e mere kompakt formel, multplcerer ma højresde med -q! - med 6! eksemplet P4,8 - tæller og æver. Hermed får ma... q q!! ! P, q P4,8 q! q! 6! V fder altså formle :! P, q q! 4! 6! Bemærk, at med deftoe 0! blver formle også korrekt for q. P,!/0!! 3. Kombatoer Har ma e mægde A med elemeter, kaldet e -mægde tæk på e klasse med 4 elever, ka ma udvælge e delmægde af A på q-elemeter, kaldet e q-delmægde. et udvalg på 4 elever. såda q-delmægde er kke e permutato, ford rækkefølge af elemetere q-delmægde er uderordet. Rækkefølge af de 4 elever er uderordet. q-delmægde af e -mægde kaldes også for e kombato Atallet af forskellge kombatoer med q-elemeter udtaget af e -mægde atallet af forskellge udvalg på 4 elever, der ka daes e klasse med 4 elever beteges K,q. V øsker at fde e formel for K,q. V bemærker, at det trvelt gælder, at K, og K, V geemfører først ræsoemetet med udvalget på 4 elever. Udvalget skal - efter de er valgt - kosttuere sg med e formad, e æstformad, e kasserer og e referet. V vl u berege atallet af mulgheder for et udvalg på to forskellge måder. Udvalget ka edsættes på K4,4 forskellge måder, følge deftoe ovefor, me v keder foreløbg kke tallet K4,4. Når et af de K4,4 forskellge udvalg er edsat, ka det kosttuere sg på 4 3 måder 4 mulgheder for formad, deræst 3 for æstformad osv.. Det kosttuerede udvalg ka derfor vælges på K4,4 4 3 K4,4 4! forskellge måder.

7 Kombatork 4 V kue mdlertd også tæke os at udvalget blev edsat ved drekte valg af formad, æstformad, osv. Da rækkefølge u er væsetlg det er f.eks. et yt udvalg, hvs ma f.eks. bytter om på formad og referet - er atallet af mulgheder P4,4. Atallet af forskellge udvalg må være det samme, hvad ete det vælges drekte eller kosttuerer sg. Derfor må der gælde. K4,4 4 3 P4,4 P 4, 4 4! K 4, ! 4! 0.66 Dette er de øskede formel for K4,4. Ræsoemetet ka geemføres ordret med og q stedet for 4 og 4. Skal v udvælge e q- permutato, ka det gøres på P,q forskellge måder. Me v ka også få e q-permutato ved først at udvælge e kombato e q-delmægde, hvlket ka gøres på K,q forskellge måder og så permutere de q elemeter. Der er q! forskellge permutatoer. Der må således gælde: P, q K,q q! P,q K, q q!! q! q! V har u opået e geerel formel for K,q, som v vl gøre e del brug af det følgede. Tl praktsk beregg af P,q og sær K,q, aveder ma ofte e formel, hvor ma dvderer -q! op tællere.: Dette gver formlere:... q P, q... q K, q 3... q Bemærk, at de sdste formel er der det samme atal faktorer q tæller og æver. ksempler. Lotto. Når ma spller lotto, skal ma vælge 7 tal bladt 36. V vl fde, hvor mage forskellge lottokupoer, der ka daes. lottokupo er det samme, som e 7-delmægde af e 36 mægde, så svaret er smpelthe 36! K 36, !7!. e klasse med 0 drege og pger, skal der edsættes et udvalg beståede af drege og pger. På hvor mage måder ka udvalget edsættes. De to drege ka vælges på K0, 45 måder og de to pger på K, 66 måder. Ifølge multplkatosprcppet, er atallet af forskellge udvalg herefter K0, K, Af e forsamlg på 8 kvder og mæd, skal der edsættes et udvalg på 5 medlemmer. På hvor mage måder ka det gøres år, a Der ka vælges frt mellem de 0 medlemmer. b Udvalget skal have mdst e kvde og e mad. c Udvalget skal have mdst to kvder og to mæd. a K0,

8 Kombatork 5 b V fder atallet ved at subtrahere de udvalg, som består af lutter mæd eller lutter kvder: K0,5 K8,5 K, c Der er ku mulgheder, ete er der 3 kvder og mæd eller kvder og 3 mæd. V aveder da såvel multplkatos- som addtosprcppet. K,3 K8, K, K8,3 985

9

10 delgt Sadsylghedsfelt 7 Kap. delgt Sadsylghedsfelt. Idledg I daglgsprog aveder ma ofte begrebet "sadsylghede for ", og ofte syoymt med begrebet "chace for ". Ma agver da sadsylghede ete som e ægte brøk mellem 0 og eller ma agver de procet. Når ma aveder begrebet sadsylghed, er det altd forbudet med e uvshed om, hvorvdt e hædelse vl dtræffe eller ej. Chace for, at ma vder på roulette et Caso. Sadsylghede for, at togee kører ude forskelse tl morge. Sadsylghede er udtryk for e vurderg af hvorvdt e hædelse vl dtræffe eller ej. I matematkke er sadsylghedsregge e "model" af et "ekspermet", hvor udfaldet er delvs ukedt. I matematkke beskæftger ma sg kke med at fastsætte sadsylgheder for et bestemt ekspermet, f.eks. sadsylghede for at slå e sekser ved kast med e terg. Me så sart ogle prmære sadsylgheder er fastsat, ka ma drage e række vdtgåede og ofte overraskede kosekveser. Dette vl v u beskæftge os med det følgede. Først vl v defere grudlaget for e matematsk model af et "tlfældgt ekspermet". Det ka for eksempel være kast med e terg eller at trække et kort fra e kortbuke.. delgt sadsylghedsfelt t edelgt sadsylghedsfelt U,P er e formalserg af et "tlfældgt ekspermet". Det består af e edelg mægde U og e fukto P med deftosmægde U, og som har egeskabere U {u, u, u 3,, u } U kaldes for udfaldsrummet, og elemetere U beteges udfald. Pu beteges "Sadsylghede for udfaldet u" dtræffer. For alle u U gælder: 0 Pu. samt at: Pu Pu Pu 3 Pu Formuleret ord, så er sadsylghede for et udfald altd et tal mellem 0 og, og summe af sadsylghedere for alle udfald udfaldsrummet er. Dsse betgelser er de eeste, der skal være opfyldt for et edelgt sadsylghedsfelt. Teore beskæftger sg dermod kke med fastsættelse af sadsylghedere, eller hvorvdt de har oget som helst at gøre med udførelse af et vrkelgt ekspermet. ksempel. Kast med e terg. Udfaldsrummet er her U {,,3,4,5,6}. V atager, at alle udfald har samme sadsylghed. Ifølge de. betgelse, må der derfor gælde: 6 Pu eller Pu /6 for samtlge udfald.. Kast Med to møter. Her ka v skrve udfaldee, det pplat og kkroe: U {p,p, p,k, k,p, k,k} Idet v atager, at dsse 4 udfald har samme sadsylghed, er sadsylghede for hvert af udfaldee ¼.

11 delgt Sadsylghedsfelt 8 3. Ved spl på e roulette et caso er der 37 felter med umre Udfaldsrummet er derfor U {0,,, 3 36} Det er e almdelg atagelse, at sadsylghede er de samme Pu /37 for at kugle lader på et af dsse 37 felter. 4. Kast med to terger. rød og e grø. V ka skrve udfaldee som atal øje på rød terg, atal øje på grø terg. Med dee otato, blver udfaldsrummet U U {,,,,.,6,,,,,,6..6,5, 6,6} Da der er 6 mulgheder for, hvad de røde terg vser og for hver af dsse 6 mulgheder, 6 mulgheder for de grøe terg, gver dette alt udfald udfaldsrummet. V atager, at alle dsse udfald har samme sadsylghed, og sadsylghede for ethvert af udfaldee er derfor /36 3. Hædelser hædelse H er formelt deferet som e delmægde af udfaldsrummet. Hædelser skrves altd med store bogstaver. Udfald skrves med små bogstaver. Hvs et udfaldsrum er deferet ved U {u, u, u 3,, u }, så ka hædelser være A {u, u 7, u 8 }, B {u 4 } eller C {u, u 7 }. Ma formulerer ofte e hædelse ord. I eksemplet med kast med e terg, ka ma f.eks. om hædelse. A: at ma får et lge øjetal, B: at ma kke får e sekser, C: at ma får et øjetal, som er større ed 4. De 3 hædelser ka skrves: A {, 4, 6}, B {,, 3, 4, 5} og C {5,6}. I sadsylghedsregge er opgave ofte de at afgøre og ofte ved hjælp af kombatork, hvlke udfald, der tlhører e bestemt hædelse. I eksemplet ovefor er det trvelt, me det er ofte lagt fra tlfældet. Ret Itutvt, vl ma ok eksemplet ovefor udrege sadsylghedere for de 3 hædelser tl: PA 3/6 ½, PB 5/6 og PC /6 /3 Hvlket også er korrekt, og som fører tl følgede defto. Ved sadsylghede for e hædelse PH forstår ma summe af sadsylghedere for de udfald, som tlhører hædelse H Hvs U {u, u, u 3,, u }, og A {u, u 7, u 8 }, så er PA Pu Pu 7 Pu 8 Det er let at godtgøre, at de udregede sadsylgheder for hædelsere A, B og C eksemplet med kast med e terg er overesstemmelse med dee defto. Da såvel udfaldsrummet U, som de tomme mægde Ø er delmægder af udfaldsrummet fører det tl to specelle hædelser. U kaldes for de skre hædelse. PU, følge deftoe Ø kaldes for de umulge hædelse. PØ 0, følge deftoe

12 delgt Sadsylghedsfelt 9 3. Brug af summatosteg Når ma opererer med hædelser, er det praktsk for kke at sge ødvedgt at avede det såkaldte summatosteg Σ. Summatosteget er e forkortet skrvemåde for e sum af led. Nedefor er vst ogle eksempler på dette P H P u u H Det første summatosteg agver summe af brøkere / tl /0. kaldes for edre græse og 0 for øvre græse. Summe udreges ved at sætte udtrykket der står efter ma sger "uder" summatosteget og sætte et plusteg, derefter sætte 3, og såda fremdeles, dtl 0. I det adet udtryk er der kke agvet edre og øvre græse. I stedet skal det forstås således, at ma summerer sadsylghedere over alle udfald som tlhører H. Hvlket etop er sadsylghede for hædelse H. 3. Symmetrsk sadsylghedsfelt V har eksemplere ovefor betragtet udfaldsrum, hvor alle udfald har samme sadsylghed. t sådat sadsylghedsfelt kaldes symmetrsk. Hvs der er udfald et symmetrsk udfaldsrum, må sadsylghede for ethvert udfald være, da summe af de sadsylgheder skal være. I et symmetrsk sadsylghedsfelt med -udfald er Pu I et symmetrsk sadsylghedsfelt er det specelt smpelt at fde sadsylghede for e hædelse H. Ifølge deftoe, skal ma emlg addere sadsylghede for de elemeter, som tlhører hædelse. Hvs udfaldsrummet har elemeter, og hædelse H har q elemeter, skal ma udrege summe: P u... u H P H q Ma udreger sadsylghede for e hædelse, som atallet af udfald hædelse dvderet med atallet af udfald udfaldsrummet. I dee forbdelse aveder ma e bestemt sprogbrug. Udfaldee udfaldsrummet, kaldes de mulge udfald. t udfald, som tlhører hædelse kaldes et gustgt udfald for hædelse. Ma ka da opskrve sadsylghede for e hædelse på e måde, som er let at huske. gustge udfald gustge H P H eller blot P H eller P H mulge udfald mulge U I det sdste udtryk læses H og U som atallet af udfald heholdsvs H og U.

13 delgt Sadsylghedsfelt 0 ksempler. V tæker os, at v trækker et kort fra et almdelgt kortspl med 5 kort. V vl bestemme sadsylghede for følgede hædelser: A: V trækker e spar. B: v trækker et blledkort. C: V trækker et es. Idet U 5, og for de 3 hædelser gælder: A 3, B og C 4, fder ma sadsylghedere: P A 3 A U 5 4 P B B U P C 4 C U 5 3. V ser u på kast med to terger e grø og e rød. V øsker at fde sadsylghedere P, P3,., P for at summe af øjetallee er, 3, 4,,. V har før set på udfaldsrummet. Det ka opskrves som følger: U {,,,,.,6,,,,,,6..6,5, 6,6}. Udfaldsrummet er symmetrsk, består af 36 elemeter og sadsylghede for et af dsse udfald er /36. Beregge af sadsylghederee P,,P, går derfor blot ud på at optælle, hvor mage udfald, der er hver af hædelsere. Heraf fås: P 36 Udfaldet {,} P Udfaldee {,,,} P4 36 Udfaldee {,3, 3,,,} P Udfaldee {,4, 4,,,3, 3,} 5 P6 36 Udfaldee {,5, 5,,,4, 4,,3,3} P Udfaldee {,6, 6,,,5, 5,, 3,4, 4,3} På helt tlsvarede måder fder ma sadsylghedere: 5 P8, P9 4 36, P , P 36 og P V ka u defere et yt kke symmetrsk sadsylghedsfelt med udfaldsrum U {,3,4,,} og sadsylgheder gvet ved tabelle: delg ka ma tege et pdedagram over sadsylghedsfordelge

14 delgt Sadsylghedsfelt 3. Fødselsdagsproblemet. Dette er et klasssk eksempel, som fdes de fleste lærebøger om sadsylghedsregg. Hvs ma har e klasse på 4 elever. Hvad er så sadsylghede for at mdst to elever har fødselsdag på samme dag. Mere geerelt, hvs ma har persoer, hvor <365, hvad er så sadsylghede for at mdst to har fødselsdag på samme dag. I tlfældet 4 er det teressat f.eks. med heblk på et væddemål at udersøge, hvorvdt dee sadsylghed er større ed ½. V bestemmer først atallet af elemeter udfaldsrummet. Da hver perso har 365 mulgheder for fødselsdag er der mulgheder for placerg af fødselsdage på de persoer. For at udrege de øskede sadsylghed, udreger v stedet sadsylghede PH for de komplemetære hædelse, altså at de persoer alle har fødselsdag på forskellge dage. Sadsylghede for mdst et sammefald, ka så udreges som -P. De gustge udfald for H er faktorer. 365 mulgheder for de første, 364 for de ade osv. PH udreges da som tdlgere, som atal gustge udfald dvderet med atal mulge udfald. P H Med ldt tålmodghed, ka ma på e lommereger udrege dette udtryk for 4. Ma fder at sadsylghede er ldt mdre ed ½, o dermed, at der ldt overraskede er mere ed 50% chace for sammefald af fødselsdage e klasse med 4 elever. For er der dermod mdre ed 50% chace for sammefald af fødselsdage. Selv om det er ldt over det faglge veau for dsse oter, vl v vse, hvorledes ma smplere ka berege sadsylghede ovefor. For at udlede formle dvderer v 365 op tællere hver af brøkere udtrykket ovefor og tager de aturlge logartme tl begge sder. P H l P H l l l For l fuktoe gælder der følgede tlærmelsesformel, år h er umersk meget mdre ed mdre ed /0 lh h. Avedes dee formel på de - led fder ma: l P H V søger da at bestemme således at PH < ½ l PH < l½ l PH < -0,693 Dette gver ulghede 365 < 0,693 > 505,963 Udreger ma u - for,,3, 4 fder ma: 40, 46, 506, 55. Koklusoe er altså, at der skal være mdst 3 elever e klasse for at sadsylghede for sammefald af fødselsdage er større ed ½. Udreger ma sadsylghede fder ma: -PH 0, Regg med hædelser og sadsylgheder For to delmægder A og B af e mægde U ka ma som bekedt dae ogle ye mægder: Foregsmægde A B, som er de elemeter, som ete tlhører A eller tlhører B. Fællesmægde A B, som er de elemeter, som både tlhører A og B. Dfferesmægde A\B, som er de elemeter A, som kke tlhører B. Komplemetærmægde tl A, A som er de elemeter U, som kke tlhører A. Nedefor er de 4 begreber llustreret grafsk.

15 delgt Sadsylghedsfelt A B A B A\B A Hvs A og B er hædelser I et udfaldsrum U, svarer de 4 mægder: A B, A B, A\B og A tl hædelser. Ma udtrykker dette på følgede måde: Foregs-hædelse A B, dtræffer, hvs mdst e af hædelsere A og B dtræffer Fælles-hædelse A B, dtræffer, hvs både A og B dtræffer samtdg. Dfferes-hædelse A\B, dtræffer, hvs A dtræffer, og B kke dtræffer. Komplemetær-hædelse A, dtræffer, hvs A kke dtræffer. Der gælder ogle regeregler for sadsylgheder for hædelser. V opskrver først dsse sadsylgheder ved hjælp af summatosteg, der jo som ævt betyder, at v adderer sadsylghedere for de udfald, som tlhører e hædelse. A P u B P P u A P P u u B AU B P u P A B u AUB V ka så udlede følgede regeregler: I P u P A \ B P u P A P u u AIB u A\ B u CA

16 delgt Sadsylghedsfelt 3 P AU B P u P u P u - P u u AUB u A u B u AIB Når skal summere over atallet af udfald fællesmægde, ved at summere over elemetere A plus elemetere B, så tæller v elemetere fællesmægde af A og B to gage, hvorfor v må trække dem fra. V får derfor formle: PA B PA PB PA B Sadsylghede for at ete A eller B dtræffer, er sadsylghede for at A dtræffer plus sadsylghede for at B dtræffer mus sadsylghede for at de dtræffer samtdg. Hvs A B Ø, altså hvs fællesmægde er tom, sges de to hædelser at udelukke hade. I dette tlfælde blver formle smplere, det PØ 0. PA B PA PB På helt tlsvarede vs fder ma: P A P u P u - P u u CA P A PA u U Sadsylghede for at A kke dtræffer er mus sadsylghede for at de dtræffer. P A \ B P u u A\ B u A PA\B PA PA B u A P u - P u u AIB Sadsylghede for at A dtræffer, me B dtræffer kke, er sadsylghede for at A dtræffer mus sadsylghede for at A og B dtræffer samtdg. ksempler. V betragter først eksemplet, hvor v trækker et kort fra e kortbuke. V vl fde sadsylghede for følgede hædelser: A: Ma trækker et blledkort eller e spar. B: Ma trækker kke et blledkort. C: Ma trækker et blledkort, me kke e hjerter. Ifølge formlere ovefor gælder: PA PBlledkort Pspar PBlledkort spar 40 0 PB PBlledkort PC PBlledkort - PBlledkort hjerter

17 delgt Sadsylghedsfelt 4. V betragter deræst eksemplet med samtdg kast med to terger. V ser på følgede hædelser: A: De to terger vser samme øjetal. B: De to terger vser forskellge øjetal. C: De røde terg vser mere ed de grøe. D: V slår kke e sekser. D: V slår mdst e sekser. PA 6 PB - PA I øjagtg halvdele af de 36-6 udfald, hvor tergere vser forskellgt, vser de røde mere ed de grøe, så svaret er: 5 5 PC P B 36 5 Der er udfald, hvor ge af terger vser 6 øje. Derfor er PD P PD Stkprøveudtagg ude tlbagelægg. Dette er e klasssk dscpl defor sadsylghedsregge, som oftest blver formuleret ved at ma tager et atal kugler af forskellge farver fra e ure, og bereger sadsylghede for forskellge farvekombatoer. V skal se på to eksempler på e såda problematk. 3. I e klasse er der 0 drege og pger, og der skal edsættes et udvalg på 4 elever. V vl bestemme sadsylghede for følgede hædelser. A: udvalget består af lutter pger. B: Udvalget består af to drege og to pger. C: Der er mdst e dreg udvalget. For at udrege dsse sadsylgheder, vl v erdre om formle for sadsylghede for e hædelse H P H Gustge udfald Mulge udfald! 4! 4! De mulge udfald er K, De 4 pger ka vælges på K,4 495 måder. Herefter får v: K,4 K, P4 pger PA Helt på samme måde fder ma: K0, K, K, P dregepger PB 0, 4060 PMdst e dreg PC -P4 pger - 0,0667 0, I e skuffe lgger der uordet 6 blå, 8 grå og 0 sorte sokker. perso tager ude at kotrollere farve 3 sokker det håb at få to af samme farve. V vl udrege sadsylghedere for hædelsere. A: Ma får 3 forskellge sokker. B: Ma får ete 3 blå eller 3 grå eller 3 sorte sokker. C: Ma får mdst sokker samme farve De mulge udfald er K680,3 K4,

18 delgt Sadsylghedsfelt K4,3 04 P3 forskellge 0, 37 K6,3 K8,3 K0,3 K4, P3 samme farve 0, 0968 PMdst samme farve - P3 forskellge - 0,37 0, Sadsylgheder ved lottospl. Der vælges 7 tal ud af 36 mulge. Der udtrækkes på tlfældg måde 7 vdertal og tllægstal.ma får præme for 7 rgtge, 6 rgtge plus et tllægstal, 6rgtge, 5 rgtge og 4 rgtge. V vl udrege sadsylghedere for at få ehver af dsse præmer. De mulge måder at udvælge 7 tal ud af 36 er 36! K 36, !36 7! Følgelg er sadsylghede for 7 rgtge P7 p7,979 0 K36,7 7 Når vs skal udrege sadsylghede for 6 rgtge plus et tllægstal, ræsoerer v på følgede måde: De 6 rgtge ka vælges ud af 7 på K7,6 7 forskellge måder, og tllægstallet ka vælges på måder. Da v både skal have 6 rgtge og et tllægstal rgtgt, skal de to tal multplceres for at fde atal gustge udfald. P6 rgtge tt K7,6*/K36,74/K36,74*p 7,677*0-6 På samme måde ka v fde sadsylghede for 6 rgtge, det atal gustge er K7,6 gage med atal måder det forkerte tal ka vælges på: det må hverke være et af de 7 rgtge eller et tllægstal. P6 rgtge K7,6*7/K36,7 89*p 7,64*0-5 Sadsylghede for 5 rgtge fdes som atallet af måder at udtage 5 rgtge ud af 7 lg med K7,5, gage atallet af mulgheder for udvælgelse af de to sdste tal, som ka vælges bladt tal. Dette atal er K9,. P5 rgtge K7,5*K9,/K36,7 856*p 7,0*0-3,0 / På helt samme måde opskrver v sadsylghede for 4 rgtge, det de gustge er K7,4 *K9,3 4 rgtge ud valgt bladt 7, gage 3 forkerte udvalgt bladt 9. P4 rgtge K7,4*K9,3/K36, *p 7 0,053,53% Af dette fremgår, at chace for at få mere ed 4 rgtge er uhyre rge. Tl gegæld er der e rmelg chace for at få 4 rgtge. Dette er helt bevdst for dem der har plalagt spllet. rfarge vser emlg, at hvs ma aldrg vder, holder ma op med at splle efter e vs td.

19 delgt Sadsylghedsfelt 6

20 Betget sadsylghed 7 Kap 3. Betget sadsylghed. Defto af betget sadsylghed På et gymasum er 56% af elevere matematkere og 44% sproglge. Bladt matematkere er 60 % drege, mes der bladt de sproglge er 5% drege. Dette er søgt llustreret edefor. Mat 0,56 Spr 0,44 Drege Drege 0,5 0,60 Pger 0,40 Pger 0,75 V betragter det ekspermet, at ma på tlfældg måde udtager e elev, og v dfører ogle betegelser for hædelser M: Der udtrækkes e matematker. S: Der udtrækkes e sproglg. D: Der udtrækkes e dreg. K: Der udtrækkes e pge. V ka da umddelbart opskrve ogle sadsylgheder: PM 0,56 og PS 0,44. Sadsylghedere PD og PK ka v mdlertd kke umddelbart opskrve. Udtrækkes e elev ku bladt matematkere er sadsylghede for at udtrække e dreg mdlertd 0,60 følge oveståede. Dette ka v udtrykke således: Sadsylghede for at udtrække e dreg, år det er gvet, at det er e matematker er 0,60. Dette kalder ma matematkke for de betgede sadsylghed for dreg, gvet matematker. Sadsylghede skrves på følgede måde: PD M 0,60 De lodrette streg mellem de to hædelser læses som "gvet". PD M læses da som: "Sadsylghede for dreg, gvet matematker". Helt på de samme måde ka v skrve: PK M 0,40, PD S 0,5 og PK S 0,75 V skal u se på hvorledes ma ka udrege PD M et symmetrsk sadsylghedsfelt. Som sædvalg beteger v med H atallet af elemeter e mægde H. atal udfald e hædelse H

21 Betget sadsylghed 8 Hædelse " matematsk dreg" er D M. PD M udreges da som sædvalg som gustge/mulge, altså som: Atallet af matematske drege dvderet med atallet af matematkere. D M P D M M Dvderer v u dee formel tæller og æver med U atallet af udfald udfaldsrummet fås: D M P D M M D M u M U P D M P M V deferer u for to vlkårlge hædelser A og H Ø et vlkårlgt kke ødvedgvs symmetrsk sadsylghedsfelt: De betgede sadsylghed for hædelse A gvet H dvs. år H er dtruffet, som: P A H P A H P H Sadsylghede for A: gvet H er sadsylghede for at både A og H dtræffer, dvderet med sadsylghede for at H dtræffer. Ofte aveder ma formle ved at gage geem med PH. PA H PA H PH Da A H H A, gælder der åbebart PA H PH A og hermed PA H PH PH A PA P A H P H A P A P H Dee formel kaldes for Bayes formel. Ret formelt er Bayes formel helt ekel, me det uderlge er, at der formle blver byttet om på kausaltete hvad der er årsage tl hvad af de to hædelser. Det er emlg megsløst at tale om sadsylghede for e hædelse, som er dtruffet. Hvs f.eks. sadsylghede for e ulykke er betget af glat føre, så ka ma ved formle udrege sadsylghede for at det har været glat føre, hvs ulykke er dtruffet. Pote er så de, at det faktsk er kedt om det var glat føre på ulykkestdspuktet, og at det derfor er megsløst, at tale om sadsylghede for at det dtræffer. Statstsk set, vl det dog ok passe, at de dertl svarede procet af alle ulykker er sket glat føre.

22 Betget sadsylghed 9 ksempler. Der trækkes et kort fra et kortspl. Det oplyses, at det er e hjerter H. Fd sadsylghede for at det er et blledkort B. Opgave ka løses på to måder: Atallet af blledekort hjerter er 3 og der er 3 hjerter, derfor er sadsylghede: PB H 3 3. Opgave ka mdlertd også løse ved formle ovefor: 3 P B H 5 3 P B H P H famle har 3 bør. a Fd sadsylghede for, at der bladt børee er e dreg og e pge A Der er alt 3 8 mulgheder. På samme måde som 3 kast med e møt. Der er udfald lutter drege eller 6 3 lutter pger, hvor det kke er tlfældet. Sadsylghede er derfor PA. 8 4 b Samme spørgsmål, år det oplyses, at de har e pge P. V skal altså bestemme sadsylghede PA P 6 P A P 8 6 P A P P P De to sadsylgheder følger af at A P A og A 6, samt P 7 8-lutter drege. 3. Dette eksempel, agår egetlg kke betget sadsylghed. Det er dermod e klasssk gåde, som også har været stllet matematklæreres fagblad, og som ofte gver aledg tl fejlslutger. Det ka formuleres som følger. Der er 3 es skabe. De to af dem er tomme, mes der er e guldmøt de tredje. perso blver bedt om at vælge et skab. fter dette valg er foretaget, blver et af de tomme skabe åbet. Spørgsmålet er da: Skal ma vælge om? Skal ma kke vælge om? r det uderordet om ma vælger om eller ej? De fleste er tlbøjelge tl at svare, at det er uderordet om ma vælger om eller ej, me dette er forkert af følgede grud. Ved det første valg har ma udpeget guldkrukke med sadsylghede /3. Dee sadsylghed ædres kke ved at ma åber et af de to tomme skabe. fter det ee skab er åbet har ma mdlertd ku to mulgheder og dermed sadsylghede ½ for at vælge skabet med guldkrukke. Ma skal følgelg altd vælge om.. Udvklg på hædelser V magler stadg, at besvare ogle spørgsmål fra det dledede eksempel med elevere et gymasum. V vl u fde sadsylghede for at de udtruke elev er e dreg. V keder sadsylghedere PD M 0,60 og PD S 0,5 samt sadsylghedere PM 0,56 og PS 0,44. V "udvkler" u hædelse D på de to hædelser M og S: D D M D S Dregee er de som går I matematsk gymasum samt de som går I sproglg gymasum. Da de to hædelser: D M og D S er dsjukte de har ge fælles elemeter, ka v avede de forkortede verso af regg med hædelser: PD PD M PD S På højresde af udtrykket ovefor aveder v deræst formle for betget sadsylghed: PD PD M PM PD S PS

23 Betget sadsylghed 0 Dee formel ka ku avedes, år M S U og M S Ø. Ma sger dette tlfælde at M og S udgør e klassedelg af U. Mere geerelt sger ma at mægdere H, H, H 3,, H udgør e klassedelg af e mægde U, hvs U H H H 3 H og H H j Ø for alle j. De geerelle formel blver herefter: ksempler PA PA H PH PA H PH PA H 3 PH 3 PA H PH. V ka u jf. ovefor berege PD 0,60 0,560,5 0,44 0,446. Der udtrækkes e elev. Det oplyses, at det er e dreg. Fd sadsylghede for at det er e sproglg. V øsker altså at bestemme sadsylghede PS D. V keder ku de omvedte sadsylghed, så v aveder Bayes formel: P D S P S 0,5 0,44 P S D 0,47 P D 0, Der er 75% sadsylghed for at e spller lyver. Ha kaster e terg, og blver spurgt om det var e sekser. a Hvad er sadsylghede for at har svarer ja? b Hvad er sadsylghede for at det var e sekser, hvs ha svarede ja. V udvkler på hædelsere "sekser" "Ikke sekser" Pja Pja Ikke sekser PIkke sekser Pja sekser Psekser Pja PHa lyver PIkke sekser PHa lyver kke Psekser a b P ja P ja Sekser P Sekser P Sekser ja 4 6 P ja Uafhægge hædelser V har kke edu gvet e geerel formel tl beregg af sadsylghede for "både og hædelse", altså sadsylghede PA B, år PA og PB er kedte. De fleste vl mee, at ma ok skal multplcere de to sadsylgheder, me dette er ku korrekt hvs de to hædelser A og B er uafhægge af hade. ksempel Hvs ma trækker et kort fra et kortspl og ser på hædelsere A: t blledkort. B: t rødt blledkort. C: hjerter. Så er såvel A C, som B C: t blledkort hjerter. Da der er 3 blledkort hjerter er PA C PB C 3/5. Imdlertd er : PA PC /5 3/5 /5 /43/5 PA C, mes PB PC 6/5 3/5 PB C, så de to hædelser A og C er uafhægge af hade, mes B og C afhæger af hade, hvlket vel også er klart ok. Der er det samme atal blledkort alle farver

24 Betget sadsylghed Veder v mdlertd tlbage tl deftoe af betget sadsylghed, så gælder der: PA B PA B PB Hvlket er de korrekte måde at udrege PA B. Begrebet uafhægge hædelser, hvler på følgede defto. hædelse A sges at være uafhægg af hædelse B, hvs PA PA B. Idsættes dette udtrykket for betget sadsylghed, fder ma: PA B PA B PB PA PB Ofte ka det være svært at geemskue om to hædelser er uafhægge af hade eller ej. Spørgsmålet ka da afgøres ved at udrege PA B og PA PB og sammelge. Da formle PA B PA PB er symmetrsk A og B samme formel, hvs ma ombytter A og B, så følger det, at hvs A er uafhægg af B, så er B også uafhægg af A. Ma sger derfor, at de to hædelser er uafhægge. ksempler. Det er e udbredt fejlslutg, at hvs ma f.eks. kaster e møt, og har slået plat 5 gage, så er der større sadsylghed for at slå kroe æste kast. Det er kke tlfældet. thvert kast er uafhæggt af de foregåede og har samme sadsylghed for at gve kroe. Noget helt tlsvarede gør sg gældede, hvs ma spller på rød eller sort et caso eller hvs ma meer, at der er større sadsylghed for at få e dreg, hvs ma har 3 pger forveje. Det er dermod korrekt, at der er lagt større sadsylghed for at få kroe mdst e gag e sere på 5 kast med e møt ed ge kroe. Helt præcst gælder der: P5 plat gustge mulge 5 3 PMdst kroe P5 plat 3. Sadsylghede for at få e sekser er /6. I geemst skulle ma derfor få e sekser 6 forsøg. V vl bestemme sadsylghede for kke at få e sekser 6 kast. Pej sekser 5/6. Da de 6 kast er uafhægge af hade, skal v blot multplcere 5/6 med sg selv 6 gage. Pej sekser 6 kast 0, Det ka godt være svært umddelbart at geemskue, hvorvdt to hædelser er uafhægge eller ej. I forbdelse med kast med e terg, betragter v følgede hædelser: A: Første kast vser 4 øje. B: Summe af de to øjetal er 7. C: Summe af de to øjetal er 5. V fder: 6 4 P A P B P C P A B P A C Af dette slutter v, at A og B er uafhægge, mes A og C afhæger af hade

25

26 Bomalfordelge 3 Kap 4. Bomalfordelge. Getagelse af et ekspermet V vl u se på de stuato, at ma getager et ekspermet et vst atal gage, og hvor hver udførelse er uafhægg af de foregåede. Ved hver udførelse, vl v ku teresserer os for, hvorvdt e bestemt hædelse dtræffer eller ej. Helt kokret vl v betragte kast med e terg, og for hvert kast se på hædelse: Terge vser 6 øje. Resultatere fra dette eksempel, ka mdlertd drekte overføres tl ethvert adet forsøg, som blot opfylder kravee om uafhægghed... t eksempel på e bomalfordelg Bomalfordelge er e sadsylghedsfordelg, der fremkommer, år et "forsøg" getages et atal gage uafhæggt af hade, og hvor ma ku teresserer sg for, hvor mage gage e bestemt hædelse dtræffer. Mere kokret skal v se på et eksempel, hvor ma kaster e terg gage, og hvor v vl udrege sadsylghede for at få etop. seksere kast. Ved kast med e terg er har v et edelgt sadsylghedsfelt U, P med udfaldsrummet U {,,3,4,5,6}. Beteger A hædelse {6}, og A {,,3,4,5} de komplemetære hædelse, gælder åbebart: P A /6 og P A 5/6. Forestller v os, at forsøget går ud på at kaste e terg gage, består udfaldsrummet U dette sadsylghedsfelt af udfald, der hver er e sekves af udfald fra udfaldsrummet U. U u,u,u 3,...u,u, hvor hver af u 'ere er et af udfaldee..6. Udfaldsrummet U har 6 mulge udfald, emlg 6 for hver getagelse, og ma skrver ofte U U xu x...xu U. V vl først betragte hædelse A 4 : " sekser det 4. kast" udfaldsrummet U. Da udfaldet af det 4. kast er uafhægg af de øvrge kast vl sadsylghede for dette være PA 4 P 6 /6. Tlsvarede fder v for A 7 " sekser det 7. kast": PA 7 /6. V ser u på hædelse A 4 A 7 : "Både e sekser det 4. og det 7. kast". Bemærk u - og det er vgtgt - at v har ataget at hædelsere A 4 og A 7 er uafhægge af hade, så sadsylghede for "både og hædelse" ka bereges som produktet af de to sadsylgheder: PA 4 A 7 PA 4 PA 7 Ved de samme argumetato, ka v f.eks. bestemme sadsylghede for hædelse: A 4 A 5 A 7 A 8 A 0 som PA 4 A 5 A 7 A 8 A 0 /6 /6 /6 5/6 5/6 /6 3 5/6 Nemlg /6 for hver gag v får e sekser og 5/6, hver gag v kke får e sekser. V er teresseret hædelse: " Netop to seksere kast". mulghed bladt mage kue være: sekser de to første kast og kke sekser de 0. følgede kast. Sadsylghede for dee hædelse er:

27 Bomalfordelge 4 Psekser. og. kast; ej sekser 3 - kast /6 *5/6 0 De to seksere kue også være 4. og 7. kast eller et hvlket som helst par af de kast. Pote er u de, at lgegyldg hvor de to seksere dtræffer vl sadsylghede for hædelse "etop to seksere' være de samme, emlg e faktor /6 for hver gag v slår e sekser og e faktor 5/6 for hver gag v kke slår e sekser. For at berege sadsylghede for "Netop to seksere kast", skal v derfor addere alle de detske sadsylgheder. Da de er es behøver v derfor blot at vde hvor mage der er. V skal derfor stlle spørgsmålet: På hvor mage måder ka v udvælge eller abrge to seksere på pladser, eller på hvor mage måder ka v udtage e -delmægde f.eks. {,} eller {4,7}, af e -mægde. Me svaret på dette er kedt, det er K,. V ka da opskrve de søgte sadsylghed: PNetop. seksere kast med e terg K, * /6 *5/6 0 Tallee K,q kaldes også for bomalkoeffceter, og ma har e alteratv skrvemåde for K,q. K, q q Det sdste symbol læses som: " over q" som altså kke betyder dvderet med q Sadsylghede for at e hædelse dtræffer etop q gage forsøg, kaldes for e bomalsadsylghed, og alle dsse sadsylgheder kaldes tl samme for bomalfordelge. Ma har tradto for at skrve bomalsadsylgheder, med avedelse af det ye symbol for bomalkoeffcetere. Hvs beteger atallet af seksere kast, fder v da: P Sadsylghede ka øvrgt udreges tl P 0,96. På helt samme måde ka ma fde sadsylghedere P j ; j 0,,,... j j j j 5 P j ; j 0,,,..., j 6 6 j 6 6 På dee måde har v åbebart fået deferet et edelgt sadsylghedsfelt med udfaldsrum U {0,,,...}, svarede tl at ma får 0,,... seksere kast. For at vse, at det vrkelg drejer sg om et sadsylghedsfelt, magler v at bevse, at summe af sadsylghedere P 0 P...P. Dette vl blve gjort edefor, år v ser på det mere geerelle tlfælde.

28 Bomalfordelge 5.. De geerelle bomalfordelg V tæker os u uafhægge udførelser af et ekspermet. V teresserer os for om e hædelse A dtræffer det j' te forsøg eller ej. I sadsylghedsregge har ma tradto for at agve de komplemetære hædelse ved at sætte e streg over det symbol, som beteger hædelse. A beteger således de komplemetære hædelse tl A. V sætter PA p, som kaldes for prmærsadsylghede. Hermed er P A -p, sadsylghede for at A kke dtræffer. Sadsylghede for at A dtræffer "j" af forsøgee og kke dtræffer de resterede "-j" forsøg, ka bereges helt på samme måde som eksemplet med terge ovefor, som p j -p -j. Sadsylghede for at A dtræffer etop j gage uafhæggt af rækkefølge er u sadsylghede p j -p -j gage med atallet af forskellge rækkefølger de j gage A dtræffer. Me dette atal er det samme som atallet af j-delmægder ma ka udtage af e -mægde, som er K,j j. Heraf fås formle for bomalsadsylghede. j j p j P j p ; j 0,,,..., Dee sadsylghedsfordelg kaldes for bomalfordelge. For at godtgøre, at dsse sadsylgheder faktsk udgør et edelgt sadsylghedsfelt, magler v blot at vse at summe af sadsylghedere for j 0 tl er lg med. Umddelbart syes det kke særlg smpelt at føre bevs for dette, og det lader sg heller kke gøre ude kedskab tl de såkaldte bomalformel. V vl derfor avede det æste afst tl at omtale bomalformle og de dertl kyttede Pascals trekat.. Pascals trekat og bomalformle Pascals trekat, er opkaldt efter Blase Pascal, e frask matematker, som levede 600-tallet. Ha reges for grudlæggere af sadsylghedsregge, lgesom ha var de første som kostruerede e mekask regemaske. Pascal trekat er blot e opstllg af bomalkoeffcetere K, q et skema. q

29 Bomalfordelge 6 q q q q q Tl vestre har v opstllet bomalkoeffcetere q q K, op tl 4, og tlføjet rækker med - og, ordet e trekat. Tl højre har v udreget bomalkoeffcetere op tl 4. Ma bemærker, at der står et-taller lags med sdere og at, ethvert tal, som kke står lags sdere er summe af de to abo-tal række ove over. Dette kue tyde på at der gælder formle: q q q eller K,q K-,q- K-,q At dee formel faktsk er korrekt, ka vses algebrask ved at sætte højresdere på fælles brøkstreg og reducere, me formle vses lettere ved et ræsoemet. Lad os atage at v har e mægde U med elemeter. U {a, a, a 3,, a }. V vl u dele q- kombatoere dee mægde, hvoraf der fdes K,q forskellge op to grupper.. De q-kombatoer, hvor elemetet a er med: De resterede q- elemeter skal udtages af - elemeter, hvlket ka gøres på K-,q- forskellge måder.. De q-kombatoer, hvor elemetet a kke er med. De q elemeter skal da udtages af - elemeter, hvlket ka gøres på K-,q forskellge måder, hvoraf formle følger. V ser deræst på et såkaldt bomum: a b, hvor a og b er tal, og er et helt postvt tal eller 0. V øsker at fde e formel tl udregg af et sådat bomum. V vser først resultatet for 0 tl 4 edefor

30 Bomalfordelge 7 a b 0 a b a b a b a ab b a b 3 a 3 3a b 3ab b 3 a b 4 a 4 4a 3 b 6a b 4ab 3 b 4 Det ma opdager er, at koeffcetere tl hvert af leddee, øjagtg svarer tl e række Pascals trekat. Dette er kke oget tlfælde, og det ka dses, ved f.eks. at betragte udregge af a b 5 a b a b a b a b a b Stadardsvaret på dette er Hvert af leddee, der er et resultat af udregge, vl fremkomme ved at gage med a eller b, fra hver af de 5 pareteser. Hvert led vl derfor være et udtryk af forme a j b 5-j, j0,..,5. F.eks. a 3 b, hvor v har gaget med a 3 af paretesere og med b af paretesere. Hvs v spørger, hvor mage led, der blver af forme a 3 b,så er svaret, at v skal vælge b fra etop af paretesere. På hvor mage måder ka v udvælge pareteser elemeter af e 5-mægde? 5 K 5,. Så der blver altså K5, led af forme a 3 b. Noget helt tlsvarede ka opås for de øvrge led. Herefter ka v opskrve: a b a b a b a b a b a b a b Formle ka ude vdere geeralseres tl a b og skrves da lettes ved avedelse af summatosteg. j j a b a b j 0 j Dee formel kaldes for bomalformle. Det erdres, at bomalkoeffcetere tl leddee a j b -j, etop svarer tl de 'te række Pascals trekat. 3. Bomalfordelge fortsat V maglede, at godtgøre at bomalfordelge er et edelgt sadsylghedsfelt, hvlket debærer at vse, at summe af bomalsadsylghedere for j 0 tl er lg med. Dette er mdlertd emt at vse, år ma aveder bomalformle Atag emlg at v har to tal s og t, hvor s t, og dermed t -s. V vl da udrege st. Ved avedelse af bomalformle fder v: 0 j s 0 j j 0 s t s t s t... s t... Hvs ma dee formel sætter t p og dermed s - p, får ma: t

31 Bomalfordelge 8 0 j 0 j j p p p p... p p... p p Ma ka da se, at bomalformle etop er summe af sadsylghedere P 0 P... P, som følge oveståede er lg med. Ma beteger ofte det, at prmærhædelse dtræffer som "succes" f.eks. at ma slår e sekser, og at de kke dtræffer beteges som "fasko", me ma skal øvrgt kke tllægge dsse ord deres sædvalge betydg. Prmærhædelse ka f.eks. være at ma blver dræbt trafkke eller ma pådrager sg e dødelg sygdom. Sadsylghede P j, som altså beteger sadsylghede for at få etop j-succeser forsøg, år prmærsadsylghede er p, beteges ofte mere udførlgt med bj;, p eller blot med b j, hvs og p er uderforstået. Ofte ka ma være teresseret det atal "succeser", der har de største sadsylghed, altså det j, for hvlket b j bj;, p er størst. For at udersøge dette udreger v forholdet b j /b j-. 0 b b j p j p j j p j p p j p j j j j Det sdste udtryk fremkommer ved at opskrve udtrykkee for bomalkoeffcetere og forkorte. V ka u opskrve e betgelse for at række b 0, b, b,..., b. er voksede. b j b j p j > b j > > p j > p j j < p p b p j j Heraf sluttes: j p > b j > b j- > række er voksede. På helt tlsvarede vs, ved at vede ulghedsteget udregge ovefor, fder ma at række er aftagede hvs og ku hvs j > pp, hvoraf ma slutter, at j p > b j < b j-, eller j p > b j < b j > række er aftagede Af dette ses, at række b 0, b, b,..., b. er voksede for j p og aftagede for j p. Størsteværde må derfor være for j p, hvs p er et heltal og ellers e af de heltallge aboer tl p. 3. Stolpedagrammer for bomalfordelge For at få et overblk over bomalfordelge, llustrerer ma det ofte ved et stolpedagram. Nedefor er vst et stolpedagram, svarede tl og p/3. Bemærk, at de største sadsylghed befder sg ved jp4.

32 Bomalfordelge 9 3. Kumulerede sadsylgheder Det ka selv efter matematkregeres fremkomst godt være omstædelgt, at udrege bomalsadsylgheder. Tdlgere var ma hevst tl tabelopslag og terpolato tabeller. Ma aveder stadg tabeller, me de er og har altd været drettet på e bestemt måde, det de ku deholder de kumulerede, dvs. summerede sadsylgheder. V betragter ge kast med e terg, hvor v ser på hædelse 6 øje. Sadsylghede for at v får etop seksere kast, skrver v P. Her er det uderforstået, hvlet forsøg og hvlke prmærhædelse det drejer sg om. Tlsvarede ka ma skrve: P 4 Sadsylghede for at ma får højst 4 seksere Dette kaldes for e kumuleret sadsylghed, og det er ku de kumulerede sadsylgheder, der er tabuleret. ksempler. V vl fde sadsylghede for at slå etop seksere kast. I tabelle fder v uder, p/6 P 0,6774 og P 0,383. Heraf fder ma P P - P 0,96. Samme forsøg. V vl fde sadsylghede for at ma slår mdst seksere. PMdst seksere P - P - 0,383 0, famle plalægger 4 bør. Lad prmærhædelse være "e dreg" med sadsylghede ½. V vl bestemme de mest sadsylge fordelg på drege af pger, samt hvor stor dee sadsylghed er. De mest sadsylge atal drege er j p 4 ½. Sadsylghede for at ma får drege og pger er: P K4, ½ ½ 6/6 3/ Stkprøveudtagg med tlbagelægg Dee form for stkprøveudtagg er baseret på bomalfordelge. Ma har e mægde, hvor ma udtager et elemet fra og udersøger det. For at det er det samme forsøg ma getager, skal ma lægge elemetet tlbage evetuelt med mulghed for at tage det samme elemet ge. Heraf avet: Stkprøveudtagg med tlbagelægg. I prakss udtages elemetere fra så store populatoer, at tlbagelægg er uderordet. ksempel. Lad os atage, at ma køber oge frø, hvor der står at 80% af dem sprer ved korrekt behadlg. Ma plater 50 frø, og 34 af dem sprer. r dette statstsk set acceptabelt? Atallet af frø, der sprer er bomalfordelt med 50 og p0,80. V vl fde sadsylghede for at der sprer 34 eller deruder. Ved tabelopslag fder ma: P 34 0,0308 I dette tlfælde vl ma almdelghed forkaste hypotese atagelse at "80% af frøee sprer".

33 Bomalfordelge 30 Dette er et eksempel på e hypotesetest eller e kvaltetskotrol ved stkprøve udtagg. Når ma laver e hypotesetest e kvaltetskotrol, vælger ma et sgfkasveau. I almdelghed 90%, 95% eller 99%. Vælger v sgfkasveauet på 90%, betyder det, at ved stkprøve skal der være 90% sadsylghed eller derover for udfaldet af stkprøve. V skal altså for 50 og p0,80 bestemme det største j, således at P j 0,0, altså, så der er 90% chace for at v får et udfald større ed j. Ved opslag tabelle fder v P 35 0,0607 og P 36 0,06. Vælger v et sgfkasveau på 0,95 fder v P j 0,05, altså, så der er 95% chace for at v får et udfald større ed j. Ved opslag tabelle fder v P 34 0,0308 og P 35 0,0607. På sgfkasveauet 95% skal v således kræve, at 35 plater eller derover sprer for at stkprøve ka accepteres. Hvs e kvaltetskotrol fejler, ka det aturlgvs skyldes statstske tlfældgheder, og ma ka da vælge at foretage e y stkprøvekotrol med et større atal eheder eller ma ka afvse de agve specfkatoer. Sadsylghede for at e stkprøvekotrol fejler er et ret omfattede eme de for statstk.. t poltsk part påstår at have e vælgertlslutg på 0%. For at udersøge dette spørger ma 40 persoer om de vlle stemme på partet. Ma vlle forvete 8, me ku 6 svarer ja. Ka ma på dette grudlag med sgfkasveauet 90% afvse påstade? V har 40 og p 0,0. og v skal bestemme det største j, så P j 0,0. V fder tabelle: P 4 0,0759 og P 5 0,63. Hermed skal tlslutge være på 4 eller deruder for at ma ka forkaste hypotese på dette grudlag 3.4 Stkprøveudtagg ude tlbagelægg Stkprøveudtagg ude tlbagelægg llustreres ofte ved e ure, hvor der er et atal røde og blå kugler. Ma udtager e stkprøve på et atal kugler og oterer sg atallet af røde kugler. Stkprøveudtagg med tlbagelægg var baseret på bomalfordelge, mes stkprøveudtagg ude tlbagelægg er baseret på de såkaldte hypergeometrske fordelg. ksempel. I e ure er der 8 røde og blå kugler. Ma udtager e stkprøve på 5, og ma vl bestemme Sadsylghede for j 0,,,3,4, 5 røde kugler. Der er K0,5 mulgheder for at udtage stkprøve. V vl f.eks. berege P3 røde kugler P3. De 3 røde kugler ka udtages på K8,3 måder og de blå kugler på K, måder. Heraf fder v: K 8,3 K, P 3 0,384 K 0, Hvs ma har e mægde med elemeter, hvoraf q er af e slags -q af e ade slags, og ma udtager e stkprøve på r elemeter, ka ma helt på samme måde opskrve sadsylghede for at få etop j af de ee hermed slags. Ma skrver almdelghed dsse sadsylgheder med brug af bomalkoeffcetere q fås: q q j r j P j j 0,,... r r Sadsylghedere Pj kaldes for de hypergeometrske fordelg.

34 Stokastske varable 3 Kap 5. Stokastske varable. Hvad er e stokastsk varabel Lad der være gvet et edelgt sadsylghedsfelt U,P. stokastsk varabel er formelt deferet som e fukto med deftosmægde U. Stokastske varable agves tradtoelt med de store bogstaver,y og Z. For e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt er værdmægde for også e edelg mægde. Ma har tradto for at betege elemeter værdmægde med bogstavet t. Hvs der er elemeter værdmægde, ka ma derfor skrve Vm {t, t, t 3,, t } Begrebet stokastsk varabel er lettest at askue, ved at betragte ogle eksempler. V har allerede set eksempler på stokastske varable. Hvs udfaldsrummet består af tal, ka selve udfaldee betragtes som stokastske varable. ksempler. Ved kast med e terg ka øjetallet på terge betragtes som e trvel stokastsk varabel. Ma ka emlg skrve,.. osv, Me ma ka defere e vlkårlg ade stokastsk varabel Yu u- 3,5 eller Zu u.. V har allerede set på avedelse af e stokastsk varabel, da v omtalte bomalfordelge. Getager ma et ekspermet med udfaldsrum U gage, skrves udfaldsrummet UxUxUx xu U. I dette udfaldsrum agver atallet af "succeser" f.eks. atallet af seksere 0 kast med e terg. Værdmægde for er {0,,,,}. p j j P j p ; j 0,,,..., er sadsylghede for etop j-"succeser" forsøg. j 3. Der tlbydes et spl, hvor ma kaster e terg. Ved hvert af udfaldee {,,3,4,5} vder ma kr., me hvs ma slår e sekser taber ma 6 kr. Gevste ved dette spl er e stokastsk varabel, hvor og 6-6. P 5/6 og P-6 /6. Værdmægde for er {,-6}. r dette et fordelagtgt spl? 4. På e roulette er der 37 felter {0,,, 36}. Hvs kugle lader på det ummer, ma spller på, får ma udbetalt 36 gage s dsats. V betragter e stokastsk varabel, som er gevste ved dette spl. Lad os atage at kugle lader på , 3 35, Værdmægde for er {-,35}. r dette et fordelagtgt spl for spllere æppe!. Mddelværd for e stokastsk varabel Mddelværd ka også opfattes som et teoretsk geemst af e størrelse, der er uderkastet statstske tlfældgheder. Mddelværde af de stokastske varabel skrves. Ofte avedes det græske bogstav µ my tl at betege mddelværd. Begrebet llustreres lettest med et eksempel. ksempel Ma tæker sg et spl, hvor der blver kastet to møter. Hvs møtere vser forskellgt taber ma kroe, hvs de begge vser plat taber ma kroer, me hvs de begge vser kroe vder ma 3 kroer. V deferer u e stokastsk varabel, som er gevste ved dette spl. For emheds skyld kalder v de fre udfald for a, b, c, d. Nedefor er udfaldsrummet og de stokastske varabel vst e tabel. Udfald u a pl,pl B pl,kr c kr,pl d kr,kr

35 Stokastske varable 3 Pu ¼ ¼ ¼ ¼ u V tæker os u at ma spller dette spl et stort atal 00 gage. V vl berege de opåede gevst ved de spl. Lad os atage at udfaldet a er dtruffet a gage, b er dtruffet b gage, osv. Der gælder: a b c d Gevste G er derfor: G - a - b - c 3 d a a b b c c d d Gevste pr. spl de geemstlge gevst er G/. Hvs v dvderer op hvert led det sdste udtryk, fås: G a a b b c c d d Nu er forholdee a /, b /, c /, d / frekvese de relatve hyppghed af udfaldee a, b, c, d, som jo etop svarer tl sadsylghedere Pa, Pb, Pc, Pd for dsse udfald de teoretske model. Hvs mddelværde af de stokastske varabel, skal svare tl geemsttet af de stokastske varabel e forsøgsrække, så begruder det følgede defto. a Pa b Pb c Pc d Pd - /4 - /4 - /4 3 /4 -/4 De geemstlge gevst pr. spl er derfor teoretsk 5 øre. Defto: Lad der være gvet et edelgt sadsylghedsfelt U,P og e stokastsk varabel deferet på dette udfaldsrum. Mddelværde af er deferet som: u Pu u Pu u 3 Pu 3... u Pu ller opskrevet med summatosteg: u P u u U Det er dog sjældet, at ma aveder dee formel tl at udrege. Af formle følger dog æste umddelbart ogle regeregler for mddelværder. Lad og Y være stokastske varable deferet et sadsylghedsfelt U,P og lad c være et vlkårlgt reelt tal. Y Y c c c c V bevser ku de første af de 3 formler. De øvrge bevses helt på samme måde. Y u U u Y u P u u U u P u u U Y u P u Y De udfald, hvor de stokastske varabel atager e værd t værdmægde er e hædelse udfaldsrummet. Hvs Vm {t, t, t 3,, t }, så deferer v hædelse A k ved: A k {u U u t k }

36 Stokastske varable 33 Sadsylghede for dee hædelse PA k vl v herefter af dlysede grude skrve som P t k. Hædelsere A, A, A 3,, A udgør e klassedelg af udfaldsrummet, og v ka derfor dele summe udregge af op på dsse hædelser: A u A u A u U u u P u u P u u P u u P u... Da u har de samme værd t k på hver af hædelsere A k fder ma: A u A u A u U u u P t u P t u P t u P u U u t P t t P t t P t u P u V fder derfor følgede formel tl beregg af, som ma prakss aveder. k k t k P t ksempler. I eksemplet 3 ovefor med tergspllet er Vm{,-6} og P 5/6 og P6/6. Heraf fås: 5/6-6 /6 -/6. Spllet er kke fordelagtgt.. I eksempel 4 med Caso er Vm{-,35} og P - 36/37 og P 35/37. Heraf fås: - 36/37 35 /37 -/37. Spllet er kke fordelagtgt. 3. V vl bestemme mddelværde af øjetallet ved kast med e terg. U {,, 3, 4, 5, 6} og Pu /6 for alle u. V sætter u og fder: /6 /6 /6 6 / /6 3½.. Varas og spredg af e stokastsk varabel Nedefor er vst sadsylghedsfordelge, for tre stokastske varable, som alle har mddelværde 3, me som allgevel er meget forskellge. Ma sger at spredge er forskellg på de tre varable, det spredge vokser, år ma går fra vestre mod højre. Bladt adet for at kue skele sådae fordelger fra hade dfører ma begrebet spredg på e stokastsk varabel.

37 Stokastske varable 34 Mes mddelværde, ka beskrves som et teoretsk estmat af geemsttet af e stokastsk varabel, er spredge ldt vaskelgere at forklare. Spredge er mest relevat, år ma har e sadsylghedsfordelg, hvor de fleste udfald samler sg om mddelværde. Lad os atage, at e slkbutk sælger bolsjer kræmmerhuse. Mddelværde af atallet af bolsjer kræmmerhusee er 35, me det ka varere fra 30 tl 40. V øsker at bestemme mddelværde af afvgelse fra mddelværde af atallet af bolsjer. mulghed er at ma fder mddelværde af u -, me det gør ma kke af flere grude. I stedet fder ma mddelværde af u - u - µ. Dee størrelse kaldes for varase eller spredgskvadratet og beteges Var eller. Kvadratrode af varase beteges spredge og beteges. Formelt deferes varase af stokastsk varabel ved udtrykket: Var - µ Der gælder følgede vgtge formel, som følger af regereglere for stokastske varable. Hermed: - µ µ - µ µ - µ - µ Var - µ - µ I lagt de fleste tlfælde er det lettere at avede dee formel ed deftoe. udreges på samme måde som. t k P t k k Der gælder følgede regeregler for varas og spredg, som ka bevses helt tlsvarede tl regereglere for mddelværd. Var c 0 Var c c Var Var c Var c 0 c c c V øjes med at vse at Var c Var: c µc og dermed Var cc-µc - µ Var. I almdelghed gælder der dermod kke, at Y Y. Dette gælder ku, hvs Y Y. Det sdste er tlfældet, hvs og Y er uafhægge stokastske varable. Lemma I det følgede får v brug for følgede llle sætg. Hvs og Y er to stokastske varable på det samme udfaldsrum og hædelsere t og Y s j er uafhægge for alle t Vm og s j VmY, altså hvs P t Y s j P t PY s j, så er Y Y Y t Vm t P j t Vm, s Vm Y t t s P j s Vm Y j j t s P Y s j Y s Y j t s P j t Vm, s Vm Y j t P Y s j Lad u og Y være to uafhægge stokastske varable. V vl vse at Y Y.

38 Stokastske varable 35 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Ved at avede dee sætg, ka v vse e vgtg sætg vedrørede mddelværd og geemst af e række uafhægge målger af værde af e stokastsk varabel. Lad være e stokastsk varabel med mddelværd µ og spredg Foretager v målger {x, x, x 3,, x } af dee og daer geemsttet... 3 x x x x s så svarer mddelværde af de stokastske varabel... 3 G Ved brug af regereglere ovefor fder ma: µ µ G... 3 Hvlket æppe ka overraske. For spredge fder ma dermod G Og hermed G. Spredge på et geemst af målger er således af spredge på hver af målgere. ksempler. V vl berege varas og spredg på øjetallet ved kast med e terg: Varx /6 /6 3 /6 4 /6 5 /6 6 /6 3,5,9 Varx,70. Geemst og stadardafvgelse Lad os atage, at v har e række observatoer x, x, x 3,, x, svarede tl stokastske varable., med de samme mddelværd og spredg. Lad os atage at v kke keder, sadsylghedsfordelge for, og dermed heller kke mddelværde og spredge for. Ma bereger da to estmater af mddelværd og spredg efter følgede formler:

39 Stokastske varable 36 k k k k x x s x x Svarede tl de stokastske varable k k k k s Begrudelse for dsse valg er aturlgvs, at µ _ x og s Dette vl u bevse: Det første er æste trvelt, mes de ade del kræver ldt algebra. µ µ k k De ade halvdel vser v ved først, at udrege. V mder om, at - µ så µ. k k µ Da og k er ataget at være uafhægge, er µ µ k k og k for Summe har led og har derfor led. Heraf led, og derfor led k, hvor er forskellg fra k. Samler v u det hele fder ma: k k µ µ µ µ µ µ Heraf følger emlg: s k k k k Hvlket skulle vses. µ µ µ

40 Stokastske varable Mddelværd og spredg af bomalfordelge V tæker os e bomalfordelg med getagelser og med prmærsadsylghed p. For bomalfordelge er dsse to begrebere mddelværd og spredg ofte meget vgtge. Det er mdlertd kke så ekelt at udrege mddelværd og spredg for bomalfordelge drekte fra deftoe. I stedet dfører ma e stokastsk varabel ved deftoe., hvs prmærhædelse dtræffer det 'te forsøg og 0 ellers V fder umddelbart p 0 -p p. Idet prmærhædelse dtræffer med sadsylghed p det 'te forsøg. Hvs er de stokastske varabel, der beteger atallet af "succeser" atal gage prmær hædelse dtræffer, så er det dlysede, at 3, hvor k beteger de stokastske varabel, som v dførte ovefor. Ifølge regeregler for mddelværder fder v så: 3 3 p ksempel. Det er formodetlg kke overraskede, at hvs ma kaster e terg 00 gage, så er de geemstlge atal seksere 00/6 6.. I e famle med 4 bør 4, p½ er det geemstlge atal drege 4 ½. Når v skal udrege spredge på e bomalfordelg, får v brug for at udrege spredge på e af de stokastske varable j. Der gælder at j, år der er succes 'te og ellers 0. Var j j - j p-p p-p Da de stokastske varable,, 3,, er uafhægge, ka v smpelthe bestemme varase af 3, som summe af varasere på hver af dem. Da j 'er alle har de samme varas fder ma: Var Var j p-p. Og dermed p p Ma deferer frekvese af "succes" forsøg, som Y. Ifølge regeregler for mddelværder og spredg fder ma følgede udtryk for frekvese: Y p og Y p p p p ksempel Kaster ma e terg 00 gage med heblk på at slå e sekser, så er spredge på atallet af seksere , Chebychevs ulghed Chebychevs ulghed er grudlaget for det, der ofte løst beteges som "De store tals lov", og som ofte fejlagtgt formuleres, som at frekvese af e hædelse et stort atal forsøg f.eks. kast med e

41 Stokastske varable 38 terg med heblk på e sekser vl kovergere mod sadsylghede for hædelse. Det ka ma mdlertd kke bevse, me ma ka bevse, at sadsylghede for at få e afvgelse fra mddelværde, går mod ul, år atallet af forsøg går mod uedelg. Hvs er e vlkårlg stokastsk varabel med mddelværd µ og spredg. V er altså teresseret e vurderg af afvgelse fra mddelværde - µ målt eheder af. V deferer e stokastsk varabel Y c c for - µ c og ellers 0. Ud fra deftoe af Y c følger umddelbart: Y c - µ og hermed µ Y c Y c c P µ c 0 P µ < c c P µ c Af dsse to relatoer fder ma Chebychevs ulghed: c P µ c P µ c c Som udtrykker, at sadsylghede for at få e afvgelse fra mddelværde, som er større ed et vlkårlgt tal c, er mdre ed eller lg spredge dvderet med c potes. Umddelbart vrker Chebychevs ulghed kke særlg mpoerede, me v vl u avede på de stokastske varabel Y, som er frekvese af succes forsøg. V udledte tdlgere Heraf fder v: Y p P Y p c c og Y p p c 4c p p De sdste ulghed er opået ford p-p har størsteværd ¼ for p½ Vælges u f.eks. c0,0, så ser ma at sadsylghede for at få e frekves, der afvger fra p med mere ed 0,0 er. Kræver v at dee sadsylghed er mdre ed 0,, skal v løse ulghede: 4c 4c ,0 t resultat, der ok har større teoretsk ed praktsk teresse. I prakss ka ma almdelghed øjes med lagt færre forsøg for at op å de samme skkerhed.

42 Stokastske varable Grafsk afbldg. Fordelgsfukto Sadsylghedsfordelge for e stokastsk varabel, altså sadsylghedere P t, hvor t Vm, kaldes også frekvesfuktoe og beteges ft. ft P t er ku deferet for t Vm. Fordelgsfuktoe Ft P t P t ka dermod deferes for ethvert reelt tal. I et t t edelgt sadsylghedsfelt, hvor værdmægde for er {t, t, t 3 t } vl Ft være kostat hver af tervallere t t < t, Ft 0 for t < t og Ft for t t. Nedefor er vst et par eksempler på fordelgsfuktoer for e bomalfordelg. Som tdlgere omtalt er det kke frekvesfuktoere, som er tabuleret, me fordelgsfuktoere.

43

44 Normalfordelge 4 Kap 6. Normalfordelge. Kotuerte sadsylghedsfordelger Mage stokastske varable, har de egeskab, at de ka atage alle værder et terval. Det gælder f.eks. højde eller vægte af e perso, størrelse eller vægte af e bestemt kompoet e dustrprodukto. Ma taler dee sammehæg om e kotuert sadsylghedsfordelg. Hvs e stokastsk varabel, ka atage uedelg mage værder, gver det kke meg, at tale om sadsylghede for at opå e bestemt værd. I stedet deferer ma e tæthedsfukto ft, hvor sadsylghede for at å e værd et llle terval dt omkrg t er dp ftdt. For at ft er e tæthedsfukto, skal de være ormalseret. Summe af alle sadsylgheder skal være. Det er kke væsetlgt, at forstå edeståede formel, me for kotuerte sadsylghedsfordelger skrver ma dette: f t dt Fordelgsfuktoe er herefter deferet som: t F t P t f x dx Ft er således arealet uder grafe for ft fra mus uedelg tl t. Der er ge grud tl at forsøge, at forstå dsse formler, me da begrebet sadsylghed for e kotuert sadsylghedsfordelg er baseret på dsse formler er de medtaget. V vl kke avede formlere drekte.. Normalfordelge Hvs ma bomalfordelge med prmærsadsylghed p, mddelværd µp og spredg p-p lader gå mod uedelg, samtdg med at p går mod 0, på e såda måde, at µp holdes kostat, ærmer ma sg e kotuert sadsylghedsfordelg. Ma ka vse me det kræver matematk lagt ud over gymaseveau, at bomalsadsylghede vl ærme sg asymptotsk tl følgede fukto, som kaldes ormalfordelge tæthedsfuktoe med mddelværd µ og spredg. tµ t t P t p p e for p 0 p kostat π p Det vser sg, at æste alle sadsylghedsfordelger e græse, ærmer sg tl ormalfordelge, hvlket er e begrudelse for avet på dee fordelg. Normalfordelge har mdlertd e ade egeskab, som måske er edu vgtgere. Hvs ma har e stokastsk varabel med e vlkårlg sadsylghedsfordelg, mddelværd µ og spredg,

45 Normalfordelge 4 så vl geemsttet af målger: < x > x x x... x græse hvor går mod uedelg være ormalfordelt med samme mddelværd og spredg. Det er sær dee sdste egeskab, der er årsage tl, at ma atager at e stokastsk varabel er ormalfordelt, hvs ma øvrgt kke ved adet. 3. Avedelser af ormalfordelge Stadardormalfordelge er e ormalfordelg som har mddelværd 0, og spredg. For Stadard ormalfordelge har v tæthedsfukto og fordelgsfukto ϕ t t x t e og Φ t e π π Hvs e stokastsk varabel er ormalfordelt med mddelværd µ og spredg, så vl de reducerede varabel tµ have mddelværd 0 og spredg. Dette følger drekte af regeregler for mddelværder og spredg, det tµ 3 dx t µ µ µ 0 og t µ 0 tµ Øsker v da at bestemme sadsylghede for at v får et udfald a, så skal v bestemme P a F a, hvor Ft er ormalfordelgsfuktoe svarede tl mddelværd µ og spredg. Dette ka mdlertd udreges som aµ F a Φ, hvor Φ er stadard-ormalfordelgsfuktoe Φ-fuktoe er e tabuleret fukto, og de fdes også på ogle statstske lommeregere. Nedefor er først vst grafe for tæthedsfuktoe og deræst fordelgsfuktoe for stadardormalfordelge.

46 Normalfordelge 43 Når ma skrver sadsylgheder for kotuerte sadsylghedsfordelger er det uderordet om ma skrver Ft P < t eller Ft P t. Sadsylghede P t 0. For Φ fuktoe gælder følgede værder, som også fører tl ogle resultater for e vlkårlg ormalfordelgsfukto: µ µ F µ P < µ Φ Φ0 Der er altd 50% chace for at få et udfald mdre ed eller lg mddelværde. µ µ F µ P < µ Φ Φ 0,587 Der er således kap 6% sadsylghed for at få et udfald, som er mdre ed µ-. Tlsvarede fås: µ µ F µ P < µ Φ Φ 0,843 Som det ses, er summe af de to sdste resultater lg med. Dette er kke oget tlfælde. På grud af symmetre af ϕ fuktoe omkrg 0, gælder der ogle små sætger om Φ-fuktoe, som v blot æver: Φ-t -Φt og dermed: Φt - Φ-t Φt- Vl ma bestemme sadsylghede for at e Stokastsk varabel lgger tervallet fra a tl b, gøres det som følger: ksempel P a t b Φ bµ aµ Φ bestemt fødevare, sælges 500 g pakker. Producete oplyser, at de faktske vægt er ormalfordel med mddelværd 500 og spredg 5. a Hvor mage % af pakkere, vl ma herefter forvete vejer mdre ed 475 g. b Hvor mage % af pakkere, vl ma herefter forvete vejer mdre ed 450 g. c Fd det terval omkrg mddelværde,, hvor 90% af pakkeres vægt befder sg. d Aftagere kræver, at 90% af pakkere har e vægt mellem 490 g og 50 g. Hvor stor skal spredge være for at producete ka opfylde dette? a P µ - Fµ - Φ- 0,587 5,9% b P µ - Fµ - Φ- 0,08,3% Resultatet fudet ved tabelopslag c Pµ - α µ α Fµ - Φα - Φ-α Φα 0,90. Heraf fder ma Φα 0,95. Ved tabel opslag vers ormalfordelg α,65 90% befder sg altså tervallet fra 500-5,65 tl 500 5,65, dvs. tervallet [459, 54] d V skal åbebart løse lgge jf. sp. c , som gver 6.

47 Normalfordelge Avedelse af ormalfordelgspapr Hvs ma skal udersøge, og et statstsk materale er ormalfordelt, udreger ma de kumulerede frekveser og skal da udersøge om dette passer med ormalfordelges Φ-fukto. Dette er mdlertd kke så lgetl, hvs ma hverke keder mddelværd eller spredg. I stedet aveder ma det såkaldte ormalfordelgspapr. Normalfordelgspapr er prcppet fremstllet på samme måde som ekeltlogartmsk papr, blot med de forskel at. akse kke er e logartmsk skal, me e Φ-fuktos skala, forstået på de måde, at alle fordelgsfuktoer, svarede tl e ormalfordelg: F t P t Φ tµ er rette ler, år de afbldes på ormalfordelgspapr. Valget af eheder på. akse er uderordet. Afsætter ma de udregede kumulerede frekveser på ormalfordelgspapr, og lgger puktere med tlærmelse på e ret le, ka ma med god grud atage at de stokastske varabel er ormalfordelt. I eksemplet edefor er vst, hvorledes ma ud fra de rette le let ka berege mddelværd og spredg for talmateralet. ksempel µ µ V har tdlgere vst, at F µ P µ Φ Φ0. Mddelværde ka derfor umddelbart aflæses som. koordate tl det pukt, som har.koordate ½. Spredge ka derefter fdes ud fra e af lggere: F µ P µ Φ µ µ Φ 0,587 µ µ F µ P µ Φ Φ 0,843 det µ- og µ ka aflæses som. koordate tl de pukter, som har.koordatere 0,587 og 0,843 Ofte aflæser ma ku de to sdstævte værder som er markeret på. akse af ormalfordelgspapret, og bestemmer µ og ud fra de to fremkommede lgger. Hvs ma f.eks. aflæser: µ- 48 og µ 58, så fder ma umddelbart µ 500 og 8.

48 Opgaver Kombatork. Morsealfabetet består af "tegee" og. kode bogstav eller cffer består af fra et tl 5 teg. Hvor mage forskellge koder ka der daes?. I e skakturerg er der 8 deltagere. Alle skal splle mod alle. Hvor mage parter skal der splles? 3. Hvor mage forskellge bordplaer er mulge, år et selskab på 7 herrer og 6 damer skal bækes omkrg et crkulært bord, og to damer kke må sdde ved sde af hade? Hvor mage forskellge bordplaer er mulge, år der er 6 herrer og 6 damer. 4. Ved e prøvesmagg af øl, stlles 5 glas op rækkefølge. Hvor mage mulgheder er der for rækkefølger? 5. Hvor mage 3-cfrede tal fdes der, hvor alle 3 cfre er forskellge? Hvor mage 3-cfrede tal fdes der, hvor etop cfre er es? 6. Regstrergsummeret Nummerplade på e bl består af to bogstaver A-Z og 5 cfre ude for astllede uller. F.eks. OS 59 eller RU Hvor mage forskellge regstrergsumre ka der daes? For to gve bogstaver, hvor mage regstrergsumre ka der daes, hvor alle cfree er forskellge? 7. Som omtalt ovefor er der 3 forskellge måder at udfylde e tpskupo på. af dsse har 3 rgtge. Hvor mage har, og 0 rgtge? delgt sadsylghedsfelt 8. Lad P være e sadsylghedsfukto på mægde U {,,3,4,5}. Fd P5, år a P P 0, og P3 P4 0, b P P P3 P4 P5 c P 0,4 og P P3 P4 P5 9. Ved kast med 3 terger, skal ma fde sadsylghede for at de 3 terger kke vser samme øjetal. 0. Hvs e famle plalægger at få 4 bør, skal ma bestemme sadsylghede for a at ma får 4 pger eller 4 drege b at ma får mdst e pge og e dreg. c at ma får to søde pger og to uartge drege.. Ved kast med to terger, skal ma fde sadsylghede for at ma slår etop sekser.. blst skal på vej tl arbejde passere 4 stoplys. Det atages, at sadsylghede for rødt og grøt lys begge er ½. a Hvor mage forskellge mulgheder er der for, rødt og grøt lys lags med rute? b Hvad er sadsylghede for 4 røde lys? c Hvad er sadsylghede for 3 grøe og rødt lys? d Hvad er sadsylghede for grøe og røde lys? 3. Fd ud fra resultatere opgave 7, sadsylghede for at ma ved at udfylde e tpskupo, får 3, eller 0 rgtge. 4. Poker. Fra et spl kort trækkes 5 kort. Hvor mage mulgheder er der for dette? Hvor mage mulgheder er der for at få 5 samme farve e Flush. Opgaver 45

49 Hvad er sadsylghede for at få e flush? 5. I e ure er der 6 røde og 4 hvde kugler. Der trækkes 3 kugler fra ure. Fd sadsylghede for a at der trækkes lutter røde kugler b at der trækkes mdst hvde kugler c at der trækkes etop hvd kugle 6. svær opgave. Ved e prøvesmagg af øl, stlles 5 glas op rækkefølge, hvor ma skal gætte hvlket mærke de for skellge glas er. Uder forudsætg af, at ma gætter, skal ma berege sadsylghede for at ma gætter 0,, 3, og 5 rgtge. Betget sadsylghed 7. To kort trækkes fra e buke beståede af essere og kogere fra et sædvalgt kortspl. Fd sadsylghede for at begge kort er esser, år det oplyses at a det ee kort er et es, b det ee kort er et sort es, c det ee kort er spar es 8. læge meer, at der er 80% sadsylghed for at e patet lder af sygdomme S. Ha uderkaster patete e prøve, hvor der er 90% sadsylghed for e postv reakto, hvs patete lder af sygdomme S og 5% sadsylghed for e postv reakto, hvs patete lder kke af sygdomme S. Hvlke sadsylghed meer læge der er for e postv reakto? Det vser sg, at patete reagerer postvt. Hvlke sadsylghed meer læge u der er for at patete har sygdomme S? 9. 0% af befolkge er vestrehådede. af de vestrehådede er 45% højre/vestre kofuse, mes det for de højrehådede ku er 5%. Fd sadsylghede for at e tlfældg udvalgt perso er højre/vestre kofus. tlfældg udvalgt perso vser sg at være højre/vestre kofus. Fd sadsylghede for at persoe er højrehådet. 0. Olga læger e bestemt kabale, som går op geemstlg hver tyvede gag. Hu har lagt mærke tl, at hvs hu laver et bestemt llle syder, er der 50% chace for at de går op. Olgas kabaler går op geemstlg hver tede gag. Hvad er sadsylghede for at Olga syder, år hu lægger kabale? Bomalfordelg. terg kastes 40 gage. Fd sadsylghede for a at ma slår etop 6 seksere. b at ma slår mdre ed 4 seksere. c at ma slår mellem 4 og 7 seksere. Hvad er størst: Sadsylghede for at få etop e sekser 6 kast med e terg eller sadsylghede for at få etop seksere kast med e terg? 3. Ifølge Statstsk årbog er 73,3% af 43 årge mæd lve som 68 årge. 0 herrer er samlet tl deres 5 års studeterjublæum. Hvad er sadsylghede for at de samme kreds vl kue samles ved deres 50 års jublæum? Hvad er det mest sadsylge atal, der ka samles ved 50 års jublæet? Hvad er sadsylghede for at etop dette atal samles? 4. Uder e epdem af e bestemt kvægsygdom regede ma med, at sadsylghede for smtte var 5%. 0 dyr blev vacceret med e y vacce, og der vste sg, at ku et af dsse dyr blev smttet. r dette resultat sgfkat, hvs ma forlager, at der bladt uvaccerede dyr skal være uder 5% sadsylghed for et så gustgt eller gustgere resultat? Opgaver 46

50 Stokastsk varabel 5. Sadsylghedsfordelge for e stokastsk varabel er gvet ved x P x 0.0 0,08 0,6 0,4 0,4 a Teg et stolpedagram, samt det grafske bllede for fordelgsfuktoe for b Fd mddelværd og spredg for 6. Fra e populato på 0 elemeter, hvoraf 4 er defekte, udtages ude tlbagelægg e stkprøve på 3 elemeter. Fd mddelværde af atallet af defekte elemeter. Fd deræst mddelværde af atallet af defekte elemeter stkprøve, år de udtages med tlbagelægg. Bereg spredge på atallet af defekte elemeter begge tlfælde. 7. Ved et lotter med sedler er der præme på 5000 kr., 3 præmer på 000 kr., 0 præmer på 00 kr., og 0 præmer på 50 kr. Når hver seddel koster 0 kr. skal ma fde mdddelværd og spredg for gevste på e vlkårlg seddel. Normalfordelge 8. ormalfordelt stokastsk varabel har mddelværd 43 og spredge 5.Fd sadsylghede for, at atager e værd tervallet [430;440], og Fd sadsylghede for, at atager e værd tervallet [40;450]. Hvor stor skal k, for er der 90% sadsylghed for, at atager e værd tervallet [43-k;43k]. 9. Ved 50 målger af e fyssk størrelse fadt ma edeståede målger:,6,63,3,,77,37 3,30,,0,03,55,40,6,69,74,50,35,,64,0,30,39,60,40,9,3,98,07,44,94,79 3,0,5,73,99,86,5,36,40,63,78,89,9,7,3,95,47,73,65,5,3 V at dette talmaterale er tlærmelsesvs ormalfordelt, og bereg mddelværd og spredg. Opgaver 47

51

52 Ideks addtosprcppet... Bayes formel...8 betget sadsylghed...7 bomalfordelge...5 Bomalfordelge...3 bomalformle...7 bomalkoeffceter...6 bomum...6 både- og prcppet... Chebychevs ulghed edelgt sadsylghedsfelt...7 ete - eller prcppet... Fordelgsfuktoe...37 frekvesfuktoe...37 Getagelse af et ekspermet...3 hædelse...8 K,q...3 kombatoer...3 kombatork... Kotuerte sadsylghedsfordelger...39 Kumulerede sadsylgheder...9 Mddelværd...3 Bomalfordelg...33 multplkatosprcppet... -fakultet... Normalfordelge...39 ormalfordelgspapr...4 -udråbsteg... P,q...3 Pascals trekat...5 permutatoer... prmærsadsylghed...5 Regg med hædelser... sadsylghed...7 sadsylghed for e hædelse...8 skre hædelse...8 spredg...33 Spredg Bomalfordelg...33 Stkprøveudtagg med tlbagelægg...9 Stokastske varable...3 stolpedagram...8 store tals lov...36 summatosteg...9 symmetrsk sadsylghedsfelt...9 Uafhægge hædelser...0 udfald...7 udfaldsrum...7 Udvklg på hædelser...9 umulge hædelse...9 Varas...33 Opgaver 49

53 Opgaver 50