Inertimoment for arealer

Transkript

1 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme for at sætte det rotaton. Et nertmoment for et areal er altd postvt og enheden er en længde. potens. = = d d J O = r d = + Beskrvelse Bruges tl at fnde nertmomentet omkrng -aksen. (1) Bruges tl at fnde nertmomentet omkrng -aksen. () Bruges tl at fnde det polære nertmoment (omkrng z-aksen). (3) Parallel-akse sætnng Hvs nertmomentet om en akse kendes, kan nertmomentet om en parallel akse tl denne beregnes på nedenstående måde. = ' + d Beskrvelse Forskdnng af -aksen. er arealet af legemet og d er afstanden fra reference-aksen tl den parallelle akse. () = + d ' Forskdnng af -aksen. (5) J O = J + C ( d + d ) Forskdnng af z-aksen. (6) Vtus Berng Sde 1 af 1 DYN M1

2 Søren Rs nertmoment Beregnng af nertmomenter Under beregnng af nertmomenter for fgurer, der kke kan fndes et opslagsværk, kan man anvende følgende modeller: Model 1 Hvs dfferentalelementet d er parallelt-orenteret med aksen (alle dele af d lgger lge langt fra aksen), kan (1) og () drekte anvendes. Model Hvs dfferental elementet d står lodret på aksen, kan (1) og () kke drekte anvendes. Her er man nødt tl først at beregne nertmomentet for d omkrng en horsontal akse, som går gennem d s geometrske tngdepunkt. Herefter kan man så bestemme nertmomentet omkrng d vha. parallelakse sætnngen. Hvlken løsnngsmodel der vælges afhænger også af, hvor kompleks løsnngen blver. Hvs f.eks. model 1 er valgt og løsnngen ser svær ud, kan man måske med fordel anvende model stedet. Ofte anvendte nertmomenter Tpe r Crkel = ( r ) r 1 d = π r Rektangel h 3 = b d = b h = h h 1 1 b b d = h b nertmomenter for sammensatte arealer Hvs et areal kan splttes op mndre dele, kan nertmomentet for et sådant legeme beregnes som summen af nertmomenterne for delene. Sammensatte dele Lav en sktse som vser: 1. Hvordan arealet kan opdeles mndre dele. fstanden fra hver dels geometrske tngdepunkt og ud tl reference-aksen. Parallel-akse sætnngen nertmomentet omkrng hver del bestemmes for den akse, hvorpå det geometrske tngdepunkt lgger (som er parallel med reference-aksen). Hvs aksen med det geometrske tngepunkt kke falder sammen med reference-aksen, anvendes parallel-akse sætnngen tl at bestemme nertmomentet omkrng denne. Summaton nertmomentet for hele arealet omkrng reference-aksen bestemmes ved at summere alle de enkelte deles nertmoment. Hvs en del har et hul, beregnes nertmomentet for hullet og dette trækkes fra det samlede nertmoment. Vtus Berng Sde af 1 DYN M1

3 Søren Rs nertmoment Gratonsradus for arealer Generelt Gratonsradus for et areal beskrver afstanden fra en gven akse tl det punkt, hvor en plades samlede masse skal anbrnges for at gve samme nertmoment omkrng den gvne akse. k På det venstre sde ses et rektangel, som man beregner nertmomentet for. Vl man dernæst beregne gratonsradus for rektanglet, skal man forestlle sg at man krøller rektanglet sammen tl en punktmasse. Gratonsradus er så den afstand denne punktmasse skal lgge fra aksen, der beregnes fra, for at have præcst samme nertmoment som rektanglet tl venstre. Det har blandt andet den betdnng at de to legemer ovenfor vl have samme svngnngstd, hvs de sættes tl at svnge tngdefeltet omkrng de vste akser. Beskrvelse k k k = Bruges tl at fnde gratonsradus omkrng -aksen. (7) = Bruges tl at fnde gratonsradus omkrng -aksen. (8) O J O = Bruges tl at fnde gratonsradus omkrng z-aksen. (9) Vtus Berng Sde 3 af 1 DYN M1

4 Søren Rs nertmoment Centrfugalmoment for arealer Generelt Centrfugalmomentet beskrver stablteten for et legeme under rotaton og relaterer tl nertmomentet. Er centrfugalmomentet forskellgt fra 0, er legemet kke stablt. Centrfugalmomentet kan være både postvt, negatvt og nul. Enheden angves, som nertmomentet, med en længde. potens. Som eksempel kan nævnes en blæser. Hvs man gør ét af blæserens blade større vl nertmomentet stge, men man vl kke kunne afgøre ud fra nertmomentet om blæseren stadg er stabl (om den begnder at rste ved brug). Her vl man kunne anvende centrfugalmomentet tl at afgøre om den er stabl under rotaton. Desuden gælder det, at hvs et areal er smmetrsk omkrng enten - eller -aksen, er dets centrfugalmoment lg nul. Beskrvelse = d Bruges tl at fnde centrfugalmomentet. (10) Parallel-akse sætnng Hvs centrfugalmomentet om en akse kendes, kan centrfugalmomentet om en akse parallel tl denne beregnes på nedenstående måde. Beskrvelse = ' ' + d d er arealet af legemet, d og d er afstanden fra referenceaksen tl den parallelle akse. (11) Hvs legemet f.eks. lgger. kvadrant, vl afstanden tl -aksen blve negatv hvlket vl betde at centrfugalmomentet også blver det. Samme gør sg gældende, hvs det lgger. kvadrant (her vl det så være afstanden tl -aksen, der blver negatv). Vtus Berng Sde af 1 DYN M1

5 Søren Rs nertmoment nertmomenter for arealer omkrng skrå akser Generelt Det er mulgt at beregne nertmomenter og centrfugalmomenter omkrng et sæt af skrå akser (kaldet u og v), når værderne for θ,,, er kendte. Dette gøres ved at transformere de kendte værder for - og - akserne over tl de ne akser u og v. Beskrvelse + u = + cos( θ ) sn( θ ) nertmoment omkrng u-aksen. (1) + v = cos( θ ) + sn( θ ) nertmoment omkrng v-aksen. (13) uv = sn( θ ) + cos( θ ) Centrfugalmoment. (1) J = + = + O u v Sætnng som bevser at det polære nertmoment (omkrng z-aksen) er uafhænggt af orenterngen af u- og v-aksen. (15) Vtus Berng Sde 5 af 1 DYN M1

6 Søren Rs nertmoment Hovednertmoment Ud fra ovenstående formler (1+13+1) kan man se at u, v og uv afhænger af vnklen på hældnngen, kaldet θ, af u- og v-akserne. Man ønsker nu at bestemme orenterngen for de akser, hvor nertmomentet for arealet opnår maksmum og mnmum. Dette sæt af akser kaldes for hovedakserne for arealet og det tlhørende nertmoment kaldes for hovednertmoment. Beskrvelse tan ( θ ) p = ( )/ Gver rødder (θ p1 og θ p ), som har 90º mellem sg. Dsse angver hældnngen på hovedakserne. (16) ma + mn = ± + ngver det størst eller det mndst mulge nertmoment (alt efter valg af fortegn) for arealet der beregnes på. (17) For at fnde ud af hvlken akse ma tlhører, kan man anvende metoder: 1. Den tlhører den akse, som lgger ±5º fra den akse, som har den største værd af.. ndsæt den fundne vnkel (1) eller (13) gver resultatet ma, tlhører ma netop den akse. Vtus Berng Sde 6 af 1 DYN M1

7 Søren Rs nertmoment Mohr s crkel for nertmoment Generelt Mohr s crkel er en grafsk løsnng på hvorledes man kan bestemme hovednertmomenterne og hovedakserne. Ved at bruge Mohr s metode slpper man for at bruge formlerne fra sdste sde. Fremgangsmåde. Bestem,, og B. Konstruér crklen C. Bestem hovednertmomenterne D. Bestem hovedakserne Eksempel Bestem hovednertmomenter og hovedakser for nedenstående fgur forhold tl en akse der passerer gennem punktet C (det geometrske tngdepunkt for fguren). Bestem,, og Tl opgaven er nertmomenterne og centrfugalmomentet gvet på forhånd, men ellers kunne de beregnes efter normal procedure. =,90*10 9 mm = 5,60*10 9 mm = -3,00*10 9 mm Vtus Berng Sde 7 af 1 DYN M1

8 Søren Rs nertmoment B Konstruér crklen Først konstrueres et koordnatsstem med nertmomentet ud af -aksen og centrfugalmomentet ud af -aksen. Herefter skal crklens centrum placeres, hvlket gøres vha. følgende formel: +,90mm + 5,60mm O = = =,5mm Så ndsættes et referencepunkt, som angver et punkt på crklens perfer. P, = P,90mm ; 3,00mm ( ) ( ) Herefter kan crklens radus beregnes vha. pthagoras sætnng: R = (,5mm,90mm ) + ( 3,00mm ) = 3,9mm Vtus Berng Sde 8 af 1 DYN M1

9 Søren Rs nertmoment C Bestem hovednertmomenterne Nu kan man tegne crklen nd og aflæse ma og mn. Dsse værder aflæses der hvor crklen skærer -aksen. Værderne kan også beregnes ved ldt smpel hovedregnng: =,5mm + 3,9mm = 7,5mm ma mn =,5mm 3,9mm = 0,96mm Bemærk også at de steder hvor crklen skærer -aksen, vl centrfugalmomentet være lg nul. Vtus Berng Sde 9 af 1 DYN M1

10 Søren Rs nertmoment D Bestem hovedakserne Med udgangspunkt fguren på foregående sde, kan man også fnde ud af hvordan hovedakserne skal lgge. Vnklen θ p1 bestemmes ved at måle vnklen fra radus gennem referencepunktet tl den postve - akse (mod uret, som vst på fguren på foregående sde). lternatvt kan vnklen også beregnes på følgende måde: 1 reference 1 3,00mm θ = 180 sn = 180 sn p1 R 3,9mm = 11. Dette betder at hovedaksen for ma blver placeret med en vnkel på θ p1 = 57.1º fra den postve -akse tl den postve u-akse. Vnkelret på denne akse placeres v-aksen, som vst herunder. Vtus Berng Sde 10 af 1 DYN M1

11 Søren Rs nertmoment Massenertmoment Generelt Lgesom man kan fnde nertmomenter for arealer, kan man gøre det samme for rummelge objekter med en masse. Massenertmomentet er altd postvt og enheden er kg*m. Nedenstående formler kan anvendes tl at bestemme nertmomenter for fgurer, der kke kan fndes et opslagsværk. Beskrvelse = r dm m Massenertmomentet, hvor r er afstanden fra reference-aksen tl det abtrere element dm. (18) Gælder det dermod en tnd plade, hvor man kan slå nertmomentet op for arealet, kan man bruge følgende formler. Beskrvelse m = akse Bruges tl at fnde massenertmomentet omkrng -aksen. (19) m = akse Bruges tl at fnde massenertmomentet omkrng -aksen. (0) = + z akse Bruges tl at fnde massenertmomentet omkrng z-aksen. (1) ndre formler Samme prncp som gælder for arealer, kan genbruges ved massenertmomenter. = G + d m Beskrvelse Forskdnng af kendt massenertmoment (parallel-akse sætnng). G er nertmomentet omkrng z-aksen, som passerer gennem massemdtpunktet. Formlen kan kun bruges hvs man kender massenertmomentet for den akse, som passerer gennem massemdtpunktet. () k = Bruges tl at fnde gratonsradus for massenertmomentet. (3) m Sammensatte legemer Hvs et legeme er sammensat af flere forskellge fgurer (kasser, clndre, kegler osv.) kan nertmomentet beregnes ved at summere alle de fundne nertmomenter omkrng z-aksen (prncpperne fra arealer gælder også her). Hvs massemdtpunktet for den enkelte del kke lgger på z-aksen, anvendes parallel-akse sætnngen. Vtus Berng Sde 11 af 1 DYN M1

12 Bestemmelse af det geometrske tngdepunkt GT for sammensatte legemer 1. Udvælg dele - opdel arealet dele, hvor det geometrske tngdepunkt er kendt.. Bestem det geometrske tngdepunkt for de enkelte dele. 3. Beregn det samlede geometrske tngdepunkt ved hjælp af: Søren Rs nertmoment = = Eksempel Bestem det geometrske tngdepunkt for nedenstående fgur. Fguren kan deles op dele et rektangel og en halvcrkel. På grund af smmetr fguren, behøves v kun at koncentrere os om at bestemme -koordnaten tl det geometrske tngdepunkt. Det kan derfor allerede nu fastslås at: = 0 Vtus Berng Sde 1 af 1 DYN M1

13 Søren Rs nertmoment Geometrsk tngdepunkt - rektangel X-koordnaten for det geometrske tngdepunkt kan meget let bestemmes for et rektangel, da det blot er den halve bredde. ( mm) 100 ( mm ) ( mm ) 100 ( 00 80) Vtus Berng Sde 13 af 1 DYN M1

14 Søren Rs nertmoment B Geometrsk tngdepunkt - halvcrkel Ved hjælp af et opslagværk, fastsættes -koordnaten for det geometrske tngdepunkt tl halvcrklen ved: R = 3π ( mm) ( mm ) 100 3π 1 π ( mm ) π 100 3π Vær opmærksom på at ford halvcrklen skal trækkes fra fguren, opfattes arealet som negatvt. C Geometrsk tngdepunkt hele fguren X-koordnaten for det geometrske tngdepunkt for hele fguren blver da: = π 100 3π = π 100 = 1mm Vtus Berng Sde 1 af 1 DYN M1