Marts Geogebra-manual ver.0.1

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Marts Geogebra-manual ver.0.1"

Transkript

1 Marts 2016 Geogebra-manual ver.0.1

2 Indholdsfortegnelse Installation... 3 Introduktion... 4 Funktioner Statistik Diskrete observationer Kontinuerte observationer Lineær programmering Differentialregning Integralregning Kvadratisk programmering... 63

3 Installation Hvad er Geogebra Geogebra er et open-source matematikprogram, der kan bruges til undervisning og opgaveløsning i matematik. Programmet er gratis og kan anvendes på forskellige niveauer, lige fra grundskolen til gymnasiet og opefter. Programmet er nemt at bruge og brugerfladen er intuitivt opbygget. Det bliver desuden ofte opdateret og der er meget online-hjælp/materiale til det. Sådan installeres Geogebra 1. Gå ind på siden 2. Under Geogebra til desktops vælger du dit operativsystem ved at klikke på f.eks. Windows ikonet. 3. Hent og installér programmet. NB! Det er muligt at køre Geogebra direkte i browseren (altså uden at installere programmet), men det kan ikke anbefales! Det er bedre at hente og installere programmet, som beskrevet foroven. NB! Bemærk at Geogebra kræver, at man har installeret java på computeren. Java kan hentes på: (af sikkerhedsmæssige grunde, er det godt have java opdateret) NB! Geogebra bliver som skrevet opdateret regelmæssigt, så hvis noget af nedenstående ikke virker, kan det skyldes, at du skal opdatere til en nyere version.

4 Introduktion Når du åbner Geogebra vil du blive mødt af følgende vindue: Du kan se et Algebra vindue og en Tegneblok, som er standardvinduer i Geogebra - dvs. de åbnes automatisk hver gang programmet startes. I menuen øverst under Vis kan du se de andre vinduer man kan arbejde med. Bemærk også input-feltet nederst - det kan kaldes frem ved at vælge Vis og sætte flueben ud for Inputfelt. Nedenfor følger en kort beskrivelse af de vigtigste vinduer: Algebra, Tegneblok, CAS, Regneark og Sandsynligheds lommeregner. Algebra Et vigtigt vindue, hvor du har et overblik over alle dine objekter: funktioner, punkter, osv. Alle objekter vil have et navn, som enten du selv eller Geogebra vil tildele. Skriver du en udregning i inputfeltet nederst, f.eks. 2+3 vil resultatet gemmes i et objekt, som Geogebra selv opretter (her a ):

5 Her er det angivet at a er et numerisk objekt - dvs. et tal. Hvis vi definerer funktionen f(x)=2x+3 og punktet B=(4,7), ved at skrive dem ind i input-feltet, vil de ligeledes fremgå i oversigten i Algebra-vinduet: Bemærk at objekter der defineres i Algebra, vil automatisk blive gengivet grafisk i Tegneblokken. Det ses at Geogebra selv har valgt at tegne grafen for f(x) og markere punktet B i koordinatsystemet. Når du skal oprette et punkt, er det vigtigt at det første bogstav er stort, da Geogebra ellers vil fortolke inputtet som en vektor. Dvs. havde vi i stedet skrevet b=(4,7) havde Geogebra opfattet det som en vektor med komponenterne 4 og 7. I Algebra-vinduet har du mulighed for at ændre indstillinger for dine definerede objekter. Det kunne f.eks. være at du ville ændre forskriften for en funktion eller vil give grafen en anden farve. Så kan du højreklikke på det tilhørende objekt i Algebra og foretage de nødvendige ændringer. Vi kan f.eks. vælge at funktionen f(x) i stedet skal have forskriften f(x)=2x+1, at forskriften også skal stå i Tegneblokken og at farve på linjen skal være rød:

6 Med disse ændringer, får vi: Har du et objekt, som du ikke ønsker vist i tegneblokken, eller af anden grund ikke er relevant for det du skal til at lave kan du enten slette objektet (ved at højreklikke på det og vælge slet) eller slukke for det, ved at klikke på den blå udfyldte cirkel længst til venstre ud for objektet. Når cirklen bliver hvid, vil Geogebra ignorere objektet - indtil du aktiverer objektet ved at klikke på cirklen igen. Tegneblok Tegneblokken består af et koordinatsystem:

7 Her vil Geogebra tegne grafen for de funktioner du arbejder med eller markere de punkter du definerer. Ved hjælp af ikonet nr. 2 fra venstre (punkt med tekst A), kan man nemt afsætte punkter i koordinatsystemet. Ved at bruge ikonet nr. 5 fra venstre kan man nemt markere områder, f.eks. et kapacitetsområde, når man skal løse en opgave i lineær programmering. Det sidste ikon i menuen bruges til at tilpasse koordinatsystemet på en bekvem måde, idet man vha. det kan trække i akserne. CAS Hvis du åbner CAS-vinduet, ser det ud på følgende måde: I CAS kan du foretage almindelige beregninger, så vel som mere komplicerede beregninger - herunder løse ligninger, differentiere funktioner, bestemme stamfunktioner osv. En fordel ved at arbejde i CAS, er at man kan se det indtastede input. CAS skelner mellem ligninger og funktioner, idet en ligning skrives med et lighedstegn (=), mens en funktion skrives med kolon og lighedstegn (:=). Hvis man f.eks. ønsker at definere funktionen f(x)=2x+3 og blot skriver f(x)=2x+3, får man følgende:

8 Geogebra har ikke tegnet grafen for f(x), da den opfatter udtrykket som værende en ligning. Derfor kan man heller ikke få den til at evaluere funktionen i en bestemt værdi eller bede den om at differentiere funktionen ved at skrive f (x). Hvis vi vil have en defineret en funktion, må vi derfor skrive f(x):=2x+3. Så vil grafen automatisk blive tegnet, ligesom vi kan evaluere funktionen i et punkt, f.eks. x=4 og differentiere ved at skrive f (x): I CAS er det muligt at løse ligninger og uligheder ved at bruge kommandoen Løsninger. Syntaksen er Løsninger[ligning, variabel der skal isoleres]. Indeholder ligningen kun én ubekendt, kan den sidste del udelades. Vil vi f.eks. finde det punkt, hvor funktionsværdien er 20, skrives: Geogebra vil som udgangspunkt regne eksakt, men ønskes et decimaltal, vælges det bølgede lighedstegn og man får et decimaltal:

9 Bemærk at Geogebra bruger punktum (.) som decimalseparator, så hvis du ønsker at skrive decimaltallet 4,5 skal du skrive ellers vil programmet melde om ugyldigt input. Regneark Hvis man åbner Regneark, vil man se følgende: Regnearket fungerer meget som Excel og har nogenlunde de samme funktioner. I regnearket kan man lave statistik over observationssæt og give en grafisk fremstilling af data: både grupperede og ugrupperede. De

10 lister man opretter i regnearket vil også blive samlet i Algebra-vinduet. Der er også mulighed for at kopiere diagrammer til tegneblokken. Sandsynlighedslommeregneren Sandsynlighedslommeregneren ser ud på følgende måde: Med sandsynlighedslommeregneren kan man bestemme sandsynligheder ved at bruge Fordeling - menuen. Ønsker man at lave tests (f.eks. Goodness of Fit eller Uafhængighedstest) og opstille konfidensintervaller, skal man i stedet vælge Statistik -menuen:

11 Funktioner i Geogebra Vi har funktionen: Vi vil gerne denne definere denne funktion i Geogebra, så vi åbner CAS-vinduet og skriver: f(x):=-x^2+6x-5 (enter) Bemærk at Geogebra automatisk tegner grafen for den definerede funktion (grøn graf til højre). Som regel vil man have brug for at tilpasse koordinatsystemet, så man får et godt billede af grafen. Den nemmeste måde at gøre det på, er at gå ind i tegneblokken og klikke på ikonet for flytning af tegnefladen. Derefter kan man trække i x-aksen og y-aksen, så grafen fremstår på en overskuelig måde.

12 Vi kan også tilpasse koordinatsystemet ved at højreklikke et sted i tegneblokken og vælge Tegneblok :

13 Her kan vi så indstille hvad den største og mindste x og y værdi skal være, så vi kun ser en bestemt del af koordinatsystemet. Vi kan vælge at sætte den mindste x-værdi til -3 og den største til 7 og den mindste y- værdi til -10 og den største y-værdi til 10. Så burde grafen se ud på følgende måde: Hvis vi nu gerne vil have flere detaljer på akserne, kan vi igen gå ind i indstillingerne for tegneblokken og vælge x-akse:

14 Her kan man selv indstille den afstand man ønsker mellem tallene på aksen. Hvis vi sætter den til 1 for x- aksen og y-akse vil det se ud på følgende måde: Ønsker man et gitter, skal man bare højreklikke et sted i tegneblokken og vælge Gitter : Ønsker vi at kunne se forskriften for funktionen i tegneblokken, kan vi højreklikke på grafen i tegneblokken og vælge Egenskaber :

15 Vi kan der sætte flueben ud for vis navn og ændre indstillingen til Navn og værdi. Derefter vil forskriften fremstå i tegneblokken og den kan flyttes rundt, så længe den står tæt på grafen: Vi kan se at vores funktion har to nulpunkter, da den rammer x-aksen to steder. Vi kan finde de punkter ved at løse ligningen f(x)=0. Så i CAS-vinduet kan vi skrive: solve(f(x)=0,x) (enter)

16 Vi har altså to nulpunkter: et i x=1 og et i x=5, hvilket stemmer overens med tegningen. Vi kan markere de to punkter på tegningen ved at definere de to punkter i CAS. Vi kan skrive: NP1:=(1,0) (enter) Og på samme måde med det andet nulpunkt: NP2:=(5,0) (enter)

17 Ved at højreklikke på punkterne og vælge Egenskaber, kan vi ligesom for funktionen f(x), vælge at vi gerne have visning af navn og værdi: Vi kan se parablen har et toppunkt mellem sine nulpunkter. Dette toppunkt er åbenlyst et ekstremum (maksimum), idet funktionen antager i punktet. Vi kan bestemme dette punkt i Geogebra ved at skrive følgende i CAS: Ekstremum[f(x), 1, 5] (enter)

18 De to tal 1 og 5, angiver intervallet på x-aksen, hvor Geogebra skal lede efter et ekstremum. Da f(x) ikke har andre ekstrema, kunne det udelades, men for at være sikker på at Geogebra finder det ekstremum, vi er interesseret i, er det generelt nødvendigt at oplyse hvilket interval programmet skal undersøge for ekstrema. Vi har altså et ekstremum i (3,4). Ønsker vi at markere dette punkt på grafen, kan vi definere punktet Maksimum med disse koordinater i CAS: Maksimum:=(3,4) (enter) Ved at højreklikke på punktet i tegneblokken, kan vi ligesom foroven (under Egenskaber ) få Geogebra til at vise punktet og koordinaterne:

19 Lad os nu definere funktionen g(x)=2x-5 idet vi i CAS-vinduet skriver: g(x):=2x-5 (enter) Vi burde derefter kunne se: Igen kan vi ved at højreklikke på g(x) s graf og vælge Egenskaber, få forskriften frem. Vi har nu åbenlyst to skæringspunkter mellem f(x) og g(x). Vi kan bestemme disse ved at løse ligningen f(x)=g(x) i CAS:

20 X-koordinaterne i de to skæringspunkter, er hhv. 0 og 4. Vi kan nemt udregne y-koordinaterne ved at indsætte disse tal i forskriften for f(x) eller g(x). Så I CAS, kan vi skrive: f(0) (enter) f(4) (enter) Dvs. skæringspunkterne er (0,-5) og (4,3). Vi kan også finde skæringspunkterne ved at bruge skæringsværktøjet i Tegneblokken:

21 Dette værktøj kan vælges i menuen øverst - ikon nr. 2. Derefter klikkes der først på den ene graf og så på den anden, hvorefter de to skæringspunkter fremkommer. Igen kan man i Tegneblokken få Geogebra til at angive punkternes koordinater, så de i stedet for at hedde A og B, f.eks. vil hedde Sk1 og Sk2:

22 Vi ønsker at tegne grafen for funktionen: Stykkevis lineære funktioner Da kan vi i inputfeltet skrive: Hvis[-6<=x<=0, -x+3] (enter) Nu ønsker vi at tegne grafen for den stykkevis lineære funktion: Så kan vi skrive følgende i inputfeltet: Hvis[-6<=x<=0, -x+3,hvis[0<x<3, x+3]] (enter)

23 Til sidst vil vi gerne tegne grafen for funktionen: I CAS skrives: Hvis[-6<=x<=0, -x+3,hvis[0<x<3, x+3,hvis[3<=x<=9, -1/3x+7]]] (enter) Herefter fås:

24 Statistik Diskrete observationssæt Åbn programmet Geogebra og vælg Regneark i menuen til højre. Du skulle nu gerne kunne se følgende: Regnearket fungerer meget lig Excel, så hvis du har erfaring med Excel, vil du opdage at fremgangsmåden er den samme på mange områder. Der går lidt tid inden vi skal bruge tegneblokken, så den lukkes ned for nu. I den første søjle, kan vi indtaste vores observationer og i den anden søjle, indtaster vi hyppighederne, altså hvor ofte de forskellige observationer er forekommet. Det er ofte en god idé at give søjlerne beskrivende navne, derfor har jeg valgt at skrive obs i feltet A1 og hyp i feltet B1. For at centrere tallene, har jeg trykket på ikonet markeret med rød:

25 I den tredje søjle ønsker vi at finde frekvensen, som angiver den relative hyppighed, altså hvor stor en andel, en given observation udgør af et observationssæt. Vi finder frekvensen ved at sige hyppigheden divideret med antal observationer, altså f=h/n. I feltet C2, kan vi få Geogebra til at udregne frekvensen ved at skrive: =B2/20. Når vi har den første frekvens, kan vi finde de øvrige frekvenser ved at klikke i det nederste højre hjørne og trække ned:

26 For at finde den summerede frekvens, kan vi gøre følgende i feltet D2: =Sum(C$2:C2) : Når den første summerede frekvens er beregnet, kan de resterende findes ved at trække ned : I søjlen E, ønsker vi at beregne gennemsnittet. Dette kan gøres ved at gange observationerne med de tilhørende frekvenser og lægge alle bidragene sammen. Så i feltet E2, skrives: =A2*C2 :

27 Vi trækker ned igen for at finde de andre bidrag:

28 Nu har vi alle bidragene, som skal lægges sammen. Jeg vil udregne gennemsnittet i feltet E10, så der skrives: =Sum(E2:E7) : Dvs. gennemsnittet er 9.3. Det næste vi ønsker at udregne, er variansen. Der skal vi bruge summen af leddene (obs-gns)^2*frek. I søjlen f, kan vi udregne disse led. Så i feltet F2, skrives: =(A2-E$10)^2*C2

29 Vi trækker ned for at finde de øvrige bidrag: Variansen er summen af disse led, så vi kan lægge sammen ved skrive følgende i feltet F10: =Sum(F2:F7) :

30 Spredningen findes som kvadratroden af variansen, så i feltet E13, kan spredningen udregnes ved at skrive =sqrt(f10) : For at tegne et pindediagram, markeres observationerne:

31 Derefter klikker vi på ikonet med søjlerne i undermenuen. Så klikker vi på tandhjulet øverst til højre i den fremkomne menu og vælger hyppighedsopdelt data. Derefter markeres de felter, der indeholder hyppighederne og så trykker man på hånden, så der kommer til at stå: Når du så trykker Analyser fremkommer:

32 Derefter vælger du at indstille bredden, så pindene bliver smallere. Du klikker på Indstillinger (markeret med rød), fjerner fluebenet ud for automatiske mål og indstiller bredden til f.eks. 0.1: Resultatet er nu et pænt pindediagram. Ved at klikke på sumtegnet(markeret med rød), kan du få vist alle de interessante deskriptorer:

33 Vi kan ud fra tallene i den fremkomne tabel aflæse, at: n= 20, dvs. vi har 20 observationer i alt Middel=9.3, dvs. gennemsnittet er 9.3 Sigma=1.9261, dvs. populationsspredningen er s=1.9762, dvs. stikprøvespredningen er Min=5, dvs. mindsteobservationen er 5 Q1=8, dvs. nedre kvartil er 8 Median=9.5, dvs. medianen er 9.5 Q3=10.5, dvs. øvre kvartil er 10.5 Maks=12, dvs. størsteobservationen er 12. Ønsker du at lave et boxplot, kan du i menuen vælge Boxplot :

34 For at lave trappediagrammet, markeres observationerne, sammen med de summerede frekvenser. Derefter højreklikker der og vælges Lav -> Liste af punkter. Vælg derefter Vis og Tegneblok og Algebra. Hvis du ikke kan se inputfeltet nederst, skal det også vælges i Vis. Højreklik et sted i tegneblokken og vælg Vis alle objekter : Derefter skriver du i inputfeltet: TrappeGraf[liste1, True] og får:

35 Højreklik et sted i tegneblokken og vælg Tegneblok nederst. Vælg derefter y-aksen og sæt et flueben ud for afstand og sæt den til 0.1 og sæt et flueben ud for hold til kant. I basis sætter du den mindste x- værdi til -1. Højreklik på a i Algebravinduet og fjern fluebenet ud for Vis navn. Derefter skulle det gerne se ud på følgende måde: Hvis du vil gøre trappediagrammet lidt pænere kan du tilføje 2 ekstra punkter til din liste, nemlig (5,0) og (15,1). De skrives ind i inputfeltet som Start=(5,0) og Slut=(15,1). Derefter højreklikker du på liste1 og tilføjer Start og Slut til definitionen af listen:

36 Så burde det se ud sådan: Vi har hermed fået tegnet trappediagrammet.

37 Kontinuerte observationssæt Vi åbner igen regnearket i Geogebra og skriver nogle intervaller og hyppigheder ind: Vi ønsker nu at lave et histogram, der beskriver fordelingen af vores observationer. Vi kan da markere hyppigheder og vælge Enkeltvariabelanalyse. Derefter trykker vi på tandhjulet og vælger Intervalopdelt data. Vi kan så klikke på hånden ud for Hyppighed og den vil kopiere hyppighederne fra tabellen. Derefter kan vi angive hvor vores først interval skal starte (150) og hvor brede intervallerne skal være (10): Når vi så trykker på Analyser, får vi et histogram:

38 Frekvensen og den summerede frekvens, kan bestemmes som foroven: Nu ønsker vi at lave en sumkurve. Vi ved at vi der skal bruge de højre intervalendepunkter sammen med den summerede frekvens, så vi markerer tallene i søjlen Til og i Sum Frek : (hold Ctrl/Cmd nede mens du markerer):

39 Derefter klikker på ikonet: Og vælger Opret liste med punkter og trykker ok: Hvis vi nu åbner Algebra-vinduet og lukker Regnearket, kan vi se at de samhørende værdier af endepunkter og summerede frekvenser, er gemt i liste1: Derefter åbner vi tegneblokken og tilpasser koordinatsystemet, så vi kan vi se punkterne:

40 Igen kan det være en god idé at tilføje et ekstra punkt i begyndelsen og til sidst, så sumkurve bliver pænere, så vi definerer punkterne Start og Slut, som foroven, hvor vi lader Start være punktet (150,0) og Slut være punktet (210,1):

41 Nu vil vi gerne forbinde disse punkter, så vi får en sumkurve. Vi klikker på ikonet: og vælger Linjestykke. Derefter forbinder vi punkterne, idet vi først forbinder punkt 1 og punkt 2, så punkt 2 og punkt 3, osv Derefter højreklikker vi på Linjestykkerne i Algebravinduet og fjerner fluebenet ud for Vis navn. Sumkurven bliver da:

42 Lad os nu bestemme medianen. Vi ved at vi der skal finde, hvor den summerede frekvens er på 0.5, så I inputfeltet skriver vi y=0.5 Derefter klikker vi på ikonet og tager Skæringsværktøj. Derefter klikker vi på sumkurve og på den vandrette linje og så angiver markerer Geogebra skæringspunktet. Ved at vælge Vis værdi for det punkt får vi:

43 Dvs. medianen er altså 175. På samme måde bestemmes nedre kvartil og øvre kvartil: Ønsker at man finde hvor stor en del af observationerne, der højst var 195, kan man i input-feltet skrive x=185 og derefter aflæse: Dvs. 95% af observationerne var højst 195.

44 Lineær programmering Anvendt teori: Når du får præsenteret et lineært programmeringsproblem starter du med at opstille de lineære funktioner der beskriver begrænsningerne og Kriteriefunktionen. I det følgende er der brugt et eksempel for at vise hvordan man benytter GeoGebra til, ud fra disse lineære funktioner, at beregne den optimale løsning på problemet. Niveaulinjen (Kriteriefunktionen) beskrives ved den lineære funktion: f(x,y) = 75x + 100y Vi ønsker at finde maksimum for denne funktion indenfor kapacitetsområdet, som består af de punkter, der opfylder betingelserne: Vi starter med betingelserne. Vi kalder linjerne for Bet1 og Bet2 og skriver således i inputfeltet: Bet1:x+2y=12 (Enter) Bet2:x+y=8 (Enter) Så får vi følgende skærmbillede:

45 Nu kan vi markere kapacitetsområdet ved at bruge ikonet med den røde trekant: Vi klikker på hjørnerne ét efter ét og afslutter med at klikke på det samme hjørne, hvor vi startede. Det skraverede område kaldes Kapacitetsområdet, eller Polygonområdet. Vi er ikke interesserede i navnene på linjestykkerne eller navnene på hjørnepunkterne. Dog ville det være praktisk at have koordinaterne til hjørnepunkterne i Tegneblokken. Dette kan opnås ved at deaktivere linjestykkerne (klik på cirklerne, så de bliver hvide) i Algebra vinduet og højreklikke på punkterne, vælge egenskaber og ændre Vis navn til Vis Værdi :

46 Lad os nu definere vores Kriteriefunktion: Vi skriver således i inputfeltet: f(x,y) = 75x + 100y Der sker ingenting i Tegneblokken, da dette er en funktion, der ikke kan tegnes med mindre man kan vise funktioner i tre dimensioner. For at give f(x,y) en bestemt værdi starter vi med at definere værdien. Vi kalder den t og skriver i inputfeltet: t = 0 For at få lov til at ændre t på en let måde klikker vi på cirklen ud for t og får derved en skyder. Nu ser skærmbilledet sådan ud:

47 Ved at klikke på ikonet med pilen på tegnefladen: og pege på skyderen, kan vi flytte den til et mere praktisk sted Da t er værdien af løsningen (ofte det samlede dækningsbidrag, men det kan også være samlede udgifter eller andet) kan den ikke være negativ. Hvor stor den skal være kan vi ikke vide endnu, Lad os sætte grænseren for t til 0 og Vi højreklikker på skyderen, vælger egenskaber og Skyder og sætter Min til 0 og Maks til 1000.

48 Nu skal vi have tegnet vores Niveaulinje. Vi skriver udtrykket Kriteriefunktionen en gang til, men denne gang sætter vi det lig med t: Niveaulinje: 75x y = t I tegneblokken dukker den op som en ret linje igennem (0,0) I algebra-vinduet forkorter GeoGebra automatisk udtrykket. Hvis vi skubber skyderen fremad, vil Niveaulinjen bevæge sig opad i koordinatsystemet.

49 Hvis vi skyder den højt nok op kan man se at den skærer (4,4) ved værdien 700. Man kan dog også beregne denne værdi. Vi kan se på Niveaulinjen, at dens højeste værdi må ligge i (4,4) og vi kan beregne værdien af t i dette punkt ved at finde værdien af f(x,y) i punktet. Dette gøres ganske let ved at skrive i Inputfeltet: Maks=f(A) (Enter) Grunden til at vi skriver A er at det er navnet på skæringspunktet mellem Betingelserne. Derved får vi at vide at f(4,4) = 700 Ved nu at sætte t til den værdi vi har fået oplyst, ses det at Niveaulinjen går igennem (4,4). Vi har derved vist at den højeste værdi Kriteriefunktionen kan have er 700 og at denne værdi opnår i punktet (4,4) I kan komme ud for at skulle beregne en minimumsværdi, eller at der er tre betingelser i stedet for to. I må selv finde ud af at tilføje en betingelse, og hvordan man får GeoGebra til at tegne kapacitetsområdet over betingelserne i stedet for under..

50 Denne måde at opbygge et GeoGebra-dokument på, giver stor fleksibilitet. Hvis vi ændrer en eller begge betingelser, eller Kriteriefunktionen (husk at gøre det begge steder, både ved f(x,y) og hvor den er sat lig med t) vil skærmbilledet ændres tilsvarende. Man ændrer funktionerne ved at dobbeltklikke på funktionsudtrykket i Algebra vinduet. Her er Bet1 ændret til x + 3y = 12 Kriteriefunktionen er ændret til 80x + 120y Maks (som jo er Kriteriefunktionens maksimale værdi) ændrer sig automatisk, når betingelserne eller Kriteriefunktionen ændres, da Maks jo er defineret som Kriteriefunktionens værdi i skæringspunktet mellem betingelserne.

51 Differentialregning 1. Hvordan differentieres en funktion 2. Hvordan finder man monotoniforhold 3. Hvordan bestemmes ekstrema 4. Hvordan bestemmes krumningsforhold 5. Hvordan findes tangenter - herunder vendetangenten 6. Hvordan findes en sekant 7. Differentialregning vha. CAS Sekant/tangent argumentet kan ses i dokumentet: Differentialregning sekant tangent 1. I GeoGebra er det ganske let at finde den afledte af en funktion. Hvis parametre ikke er angivet med bogstaver (fx. f (x) = ax 2 + bx + c) men kun som tal (fx f (x) = 2x 2 + 3x + 1) kan man blot anvende input-feltet. Dette gennemgås i det følgende. Hvis funktionen er angivet med bogstaver skal man benytte CAS-værktøjet. Scroll ned i bunden af dokumentet hvor dette er gennemgået. Skriv funktionsudtrykket i inputfeltet: f (x) = 2x 2 + 3x + 1 tryk Enter Skriv i inputfeltet: f (x), så for du resultatet: f (x) = 4x + 3 Denne metode kan benyttes til alle de funktioner du skal kunne differentiere og en hel du ikke skal kende. Prøv fx at finde den afledede til følgende funktioner, og se om du får det rigtige resultat: f (x) = 2x2 + 3x+1 x 2 +1 f (x) = e x2 +2 Resultat : f '(x) = -3x2 + 2x+3 x 4 + 2x 2 +1 Resultat : f '(x) = 2x e x

52 Monotoniforhold findes ved at differentiere funktionen og finde de intervaller hvor f (x) er hhv. positiv og negativ. Skriv i inputfeltet: f (x) = x 3-3x 2 +6 Find f (x). Den viser sig at være f '(x) = 3x 2-6x Find nulpunkter for f (x) ved at skrive: Rod[f (x)] svaret er A = (0,0), B = (2,0) Herefter kan man aflæse fortegn et for f (x): f '(x) > 0 for x Î]- ;0[ f '(x) < 0 for x Î]0;2[ f '(x) > 0 for x Î]2; [ Ud fra dette resultat kan man konkludere at

53 f (x) er voksende for x Î]- ;0] f '(x) er aftagende for x Î [0;2] f '(x) er voksende for x Î [2; [ 3. Ekstrema for en funktion findes hvor f (x) er lig nul. Ud fra resultaterne ovenfor kan vi se at f (x) må have ekstrema i x = 0 og x = 2. For at finde de konkrete punkter skrives: C = (0, f (0)) D = (2, f (2)) Så finder GeoGebra de relevante punkter. Grunden til at det virker er, at f (0) er funktionsværdien af f, for x = 0, hvilket jo præcis er hvad vi leder efter. Derfor er (0, f (0)) det punkt på grafen hvor x = 0. Da vi i forvejen har fundet at f (x) = 0 for x = 0, er det vi har fundet et ekstremumspunkt for f (x).

54 Om det er et maksimum eller minimum, globalt eller lokalt, må vi afgøre ved at kigge på grafen. I enkelte tilfælde er det IKKE et ekstremum, men en vandret vendetangent vi har fundet. Prøv fx at skrive f (x) = x 3 +1 Her viser det sig at f ikke har noget ekstremum, men derimod en vandret vendetangent, der hvor f (x) = Krumningsforhold findes hvor f (x) (den anden afledede) = 0. Vi går videre med funktionen f (x) = x 3-3x 2 +6 Skriv f (x) i inputfeltet. Som forventet bliver f (x) en ret linje. For f (x) gælder at f ''(x) < 0 for x Î]- ;1[ f ''(x) > 0 for x Î]1; [ Derfor gælder det at krumningsforholdene er:

55 f (x) er konkav for x Î]- ;1] f (x) er konveks for x Î [1; [ 5. Tangenter findes meget let i GeoGebra vha. Kommandoen tangent Hvis vi fortsætter med funktionen f (x) = x 3-3x 2 +6 og har fundet f (x) og dennes nulpunkt (1,0) kan vi finde vendetangenten ved af skrive i tangent inputfeltet: og vælge tangent[<punkt>, <funktion>] og skrive tangent[1, f]. Så tegner GeoGebra den relevante tangent til f igennem punktet (1, f (1)) Hvis vi herefter vil finde røringspunktet mellem funktionen og tangenten skrives: skæring[f, a] da tangenten hedder a. Det viser sig at være punktet (1,4) Alle andre tangenter findes på tilsvarende måde. Fx tangenten gennem punktet (-1, f (-1))

56 Her viser det sig at der er to røringspunkter, da tangenten skærer grafen i punktet (5,56) Vendetangenten kan også findes ved hjælp af kommandoen vendepunkt[funktion]. Skriv vendepunkt[f] så returnerer GeoGebra punktet (1,4) der så er vendetangentens røringspunkt. 6. Sekanter findes i GeoGebra ved at forbinde de to punkter, det drejer sig om med en ret linje. Skriv de to punkter i inputfeltet. Fx: A = (-2, f (-2)) og B = (1, f (1)) Benyt kommandoen linje[<punkt>, <punkt>] og skriv linje[a,b] Resultatet er at GeoGebra skriver tangentens ligning. Alternativt kan du benytte ikonet: og pege på de to relevante punkter.

57 Dokumentet Differentialregning Overskud Tredjegrad viser et eksempel på brug af nogle af disse metoder. Åbn dokumentet og peg på nogle af de forskellige punkter og funktioner i AlgebraVinduet for at se, hvordan de er lavet.

58 7. CAS-værktøjet i GeoGebra kan benyttes i de tilfælde hvor funktionen er angivet med bogstaver. Start med at finde Indsæt i Menu-linjen og vælg CAS. Så ser skærmbilledet således ud: i skrivefeltet ud for 1-tallet skrives den funktion man gerne vil differentiere. Man skal dog IKKE skrive f (x), men blot funktionsudtrykket. Læg mærke til at jeg har skrevet gangetegn * imellem parametrene a og b, og x Herefter vælges funktionen ved at klikke på den, så får man følgende: Samtidig skifter linjen med ikoner til:

59 Hvis man her vælger f vil GeoGebra returnere den differentierede funktion: Ved at klikke på resultatet skrives dette i det næste felt og proceduren kan gentages for at finde den anden afledede: Indimellem får man nogle lidt underlige resultatet, der skyldes at GeoGebra ikke altid forkorter resultatet så meget som muligt. Hvis man fx differentierer funktionen: f (x) = e ax2 +x Ved jeg godt at resultatet skal være: f '(x) = (2ax+1) e ax2 +x (Hvis du ikke har haft sammensatte funktioner må du stole på at er det rigtige resultat) Men GeoGebra returnerer:

60 Resultatet ser forkert ud, men hvis man kigger efter indgår ln(e) i resultatet og ln(e) = 1, som derfor kan udgå, og man ender med det udtryk man selv ville være nået frem til.

61 Integration Vi har funktionen: Vi ønsker at bestemme stamfunktionen til f(x) i Geogebra. Vi åbner CAS-vinduet og skriver der: Integral[2x^3-4x+5] (enter) Geogebra har altså bestemt stamfunktionen til: Nu er vi interesserede i at udregne det bestemte integral: I CAS-vinduet skrives nu: Integral[2x^3-4x+5,-3,5] (enter) Geogebra har altså udregnet det bestemte integral til 280. Nu ønsker vi at udregne integralet mellem funktionerne: i intervallet fra 1 til 6. Vi skriver da i CAS-vinduet: IntegralMellem[3x^2+1, 2x, x, 1, 6] (enter)

62

63 Kvadratisk programmering Vi har den kvadratiske funktion: Vi ønsker at finde maksimum for denne funktion indenfor kapacitetsområdet, som består af de punkter, der opfylder betingelserne: Vi kan starte med at markere kapacitetsområdet i Geogebra, idet vi skriver de første betingelser ind i inputfeltet med lighedstegn: x+2y=18 (enter) x+y=8 (enter) Derefter burde man få følgende billede: Vi kan vælge at give betingelserne mere beskrivende navne i stedet for blot a og b. Så vi højreklikker på disse objekter i Algebra-vinduet, vælger Egenskaber og laver navnene om til f.eks. Bet1 og Bet2:

64 Og når vi tilsvarende omdøber b til Bet2, fås: Nu kan vi markere kapacitetsområdet ved at bruge den røde trekant ( Polygon ) i Tegneblokken: Vi klikker på hjørnerne ét efter ét og afslutter med at klikke på det samme hjørne, hvor vi startede.

65 Efter at vi har tegnet polygonområdet vælger vi igen flyt-ikonet (nr. 1 i menuen): Vi er ikke interesserede i navnene på linjestykkerne eller navnene på hjørnepunkterne. Dog ville det være praktisk at have koordinaterne til hjørnepunkterne i Tegneblokken. Dette kan opnås ved at deaktivere linjestykkerne (klik på cirklerne, så de bliver hvide) i Algebra og højreklikke på punkterne, vælge Egenskaber og så ændre Vis navn til Vis Værdi : Og når vi har gjort det for alle punkterne, fås:

66 Lad os nu definere vores kvadratiske funktion (skrives ind i input-feltet): f(x,y)=-5x^2+80x-10y^2+60y (Enter) Vi kan nu definere niveaukurverne ved at sætte f(x,y)=t, så i input-feltet skrives: -5x^2+80x-10y^2+60y=t (Enter)

67 Efterfølgende vil vi blive spurgt om vi ønsker at oprette en skyder for t, hvilket vi siger ja til: Vi ser at niveaukurverne består af ellipser. Geogebra vil som standard sætter værdierne for t til at ligge mellem -5 og 5. Det vil ofte være for små tal og her kan vi vælge at sige at det største tal som t skal kunne antage er 500 og det mindste tal er -100 (generelt må man prøve sig frem). Så vi højreklikker på skyderen for t og sætter maks til 500 og min til -100:

68 Det kan være en god idé at finde centrum for vores ellipser, så vi klikker på ikon nr. 2 i menuen: og vælger Midtpunkt eller centrum : Så klikker vi på vores ellipse i Algebra-feltet under Keglesnit (her med navn e):

69 Det ses at centrum for ellipsen ligger i punktet E, som har koordinaterne (8,3). Ligesom med kapacitetsområdet kan vi ændre indstillingerne for punktet, så vi ser koordinaterne i stedet for navnet: Højreklik på punktet i Algebra -> Egenskaber -> Vælg Vis værdi : Ved at trække i skyderen kan vi se at ellipser, der er tættere på centrum i (8,3) giver større niveauer og ellipser, der ligger længere væk fra centrum giver mindre niveauer. Så for at finde maksimum for vores funktion indenfor kapacitetsområdet skal vi forskyde ellipserne fra centrum i (8,3) og finde det første punkt i kapacitetsområdet, som vi rammer: Vi har fundet punktet, hvor vores niveaukurve rammer et punkt i kapacitetsområdet første gang. Det punkt er skæringspunktet mellem ellipsen og betingelse 2. Vi kan nu bruger skæringsværktøjet til at finde punktets koordinater, idet vi igen klikker på ikon nr. 2 fra venstre og vælger Skæringsværktøj

70 Derefter klikker på linjen Bet2 og derefter på ellipsen e i Tegneblokken: Vi kan heraf se at punktet har koordinaterne (6,2), dvs. i dette punkt antages maksimum. At skyderen for t kan vi se at selve maksimum er 380, hvilket også kan udregnes ved at indsætte koordinaterne (6,2) i funktionen - i input feltet skrives: Maksimum=f(6,2) (Enter)

71 Altså er maksimum for vores kvadratiske funktion 380 og det antages i (6,2). En anden måde at finde punktet maksimumsstedet på, ville være at udnytte at vores maksimumspunkt ligger på linjen Bet2, hvor alle punkter opfylder ligningen y=-x+8. På denne måde kan vi eliminere en variabel i funktionen f(x,y), idet vi kan skifte y ud med -x+8 og definere funktionen g(x)=f(x,-x+8). Vi vælger Vis CAS og skriver der: g(x)=f(x,-x+8) (Enter) Det ses at g(x) er en andengradsfunktion, hvor grenene vender nedad. Derfor kan vi finde maksimum (i toppunktet) for g(x) ved at løse ligningen g (x)=0. Så i CAS-værktøjet skrives: solve[g (x)=0] (Enter)

72 Vi ved altså nu at maksimumsstedet har x-koordinaten 6. For at finde y-koordinaten indsætter vi 6 på x ets plads i ligningen for betingelse 2, så vi skriver: y=-x+8 Nu kender vi også y-koordinaten og kan konkludere at maksimum antages i punktet (6,2). Selve maksimum er funktionsværdien i punktet, som udregnes ved at skrive: f(6,2) (Enter)

73 Igen fås maksimum til 380.

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

GeoGebra metoder MatB

GeoGebra metoder MatB GeoGebra metoder MatB Geogebra Metoder version 15c Søren Toft 2015 marts Virum Gymnasium Side 1 af 14 GeoGebra metoder, MatB Her har jeg beskrevet Geogebra version 4.4.43 fra den 8.aug 2014, for matematik

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema Formålet med denne note er at tegne os frem til nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema for en funktion ved hjælp af

Læs mere

QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra

QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra Nspire: Vi har et datasæt. Der er overordnet to metoder til at tegne sumkurver i programmet, og vi beskriver

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Skanderborg-Odder Center for Uddannelse Højvangens Torv 2 8660 Skanderborg Uddannelse

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 17. august Stamfunktionen til t 1 /2. Grænserne er indsat i stamfunktionen. a 2 +9.

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 17. august Stamfunktionen til t 1 /2. Grænserne er indsat i stamfunktionen. a 2 +9. Opgave 6 Arealet under grafen udregnes. b) Arealet er givet ved M = 4 0 2x x 2 + 9 dx Arealet udregnes ved at integrere funktionen. M = 25 9 t dt Der er foretaget substitution t = x 2 + 9. [ ] 25 M = Stamfunktionen

Læs mere

Grupperede observationer

Grupperede observationer Grupperede observationer Tallene i den følgende tabel viser antallet af personer på Læsø 1.januar 2012, opdelt i 10-års intervaller. alder antal 0 131 10 181 20 66 30 139 40 251 50 318 60 421 70 246 80

Læs mere

Stx matematik B maj 2009

Stx matematik B maj 2009 Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv 2 8660 Skanderborg Uddannelse Fag

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2017 Institution Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv 2 8660 Skanderborg Uddannelse Fag

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015

Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015 Opgave 6 a) Stationært punkt beregnes. f (x) = 0 Den afledte sættes lig nul for at bestemme stationært punkt. 5 ln (x) + 5 = 0 Funktionen er differentieret ved hjælp af produktreglen. ln (x) = 1 Der er

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Kompendium til Geogebra

Kompendium til Geogebra Kompendium til Geogebra Hardsyssel Efterskole Matematik 8. Klasse Side 1 af 12 Kompendium til Geogebra 1. Generel præsentation af Geogebra 1.1 Download af programmet Geogebra kan gratis downloades fra

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Statistik. Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal.

Statistik. Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal. Statistik Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over talmaterialet, og man kan konkludere

Læs mere

Deskriptiv statistik for hf-matc

Deskriptiv statistik for hf-matc Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 16/17 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Haderslev Handelsskole hhx Matematik B Mette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Campus Vejle HHX Matematik A Ejner Husum

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi

Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Delprøven uden hjælpemidler

Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Ved aflæsning på graf fås følgende: Median: 800 kr. Andel dyrere end 1000 kr.: 45%. Opgave 2 Givet funktionen: f (x)= 3x 2 8x +5. a) F(x)= x 3 4x 2 +5x + k. Delprøven uden hjælpemidler Vi finder

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

M A T E M A T I K B A NK E NS G E O G E B R A K O M P E ND I U M

M A T E M A T I K B A NK E NS G E O G E B R A K O M P E ND I U M M A T E M A T I K B A NK E NS G E O G E B R A K O M P E ND I U M Geometri Funktioner Boksplot Konstruktioner Kommandolinjen Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen INDHOLD Indhold...

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Nspire opskrifter (Ma)

Nspire opskrifter (Ma) Nspire opskrifter (Ma) 18. maj 2018 1. Funktioner 1.1 Definér funktion 1.2 Bestem funktionsværdi 1.3 Tegn graf for funktion 1.4 Udfør regression 1.5 Find skæringspunkter mellem to grafer 2. Ligninger 2.1

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stam til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 19 Institution Business College Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Winnie Bjørn Mosegaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Videndjurs - Handelsgymnasium Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder center for uddannelse Højvangens

Læs mere

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Mads Jørgensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2012 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Mads Jørgensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Jørn Ole Spedtsberg

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B (læreplan 2017) Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien

Læs mere

Peter Harremoës Matematik B eksamen med hjælpemidler 25. maj 2016

Peter Harremoës Matematik B eksamen med hjælpemidler 25. maj 2016 Opgave 6 a) Skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne l : 10x + 20y = 1000 og m : 90x 30y = 600 bestemmes. 10x + 20y = 1000 og 90x 30y = 600Ligningerne er skrevet op. y = 0.5x + 50 og y = 3x 20y

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Mads Jørgensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2016/2017 Institution Uddannelsescenter Holsterbro Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX Matematik B

Læs mere

Løsninger til kapitel 1

Løsninger til kapitel 1 Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015 Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder Center for Uddannelse Højvangens

Læs mere

Undersøgelse af sammenhængen mellem sidelængden og arealet i regulære polygoner Elevark

Undersøgelse af sammenhængen mellem sidelængden og arealet i regulære polygoner Elevark Undersøgelse af sammenhængen mellem sidelængden og arealet Elevark Indholdsfortegnelse Fremgangsmåde til GeoGebra installeret på computeren:... 2 Fremgangsmåde til GeoGebra-appen:... 6 Opgaver... 10 1:...

Læs mere