Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
|
|
|
- Alma Thomsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen Calculus Uge
2 En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtryk af form c 0 + c 1 (x a) 1 + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) c n erne kaldes rækkens koefficienter. Calculus Uge
3 En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtryk af form c 0 + c 1 (x a) 1 + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) c n erne kaldes rækkens koefficienter. Skrives også 2 n=0 c n (x a) n Calculus Uge
4 En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtryk af form c 0 + c 1 (x a) 1 + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) c n erne kaldes rækkens koefficienter. Skrives også 2 n=0 c n (x a) n Bemærk c 0 (x a) 0 = c 0, da (x a) 0 = 1. Calculus Uge
5 Konvergens [S] 8.5 Power series Definition For en potensrække er konvergensradius (i) R = 0 (ii) R = + (iii) R > 0 Konvergensradius skiller konvergens og divergens. er konvergensintervallet. (a R,a + R) Calculus Uge
6 Konvergens [S] 8.5 Power series Definition For en potensrække er konvergensradius (i) R = 0 (ii) R = + (iii) R > 0 Konvergensradius skiller konvergens og divergens. er konvergensintervallet. (a R,a + R) a R a a + R x Calculus Uge
7 Koefficienter [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 5 Sætning Hvis en potensrœkke med centrum i a har konvergensradius R > 0, så har sumfunktionen f(x) = n=0 c n (x a) n koefficienter c n = f(n) (a) n! Calculus Uge
8 Taylorrække [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Definition En vilkårlig ofte differentiabel funktion f(x) har Taylorrække om a 6 f(x) = n=0 f (n) (a) (x a) n n! og Maclaurinrække, a = 0, 7 f(x) = n=0 f (n) (0) x n n! Calculus Uge
9 Opgave Calculus 2, januar 2004 Opgave 4 Angiv en potensrække i x, der fremstiller en stamfunktion til Arctan(x) (= tan 1 (x)) i intervallet ( 1, 1). Det er nok at angive så mange led, at mønsteret træder frem. Calculus Uge
10 Opgave Calculus 2, januar 2004 Opgave 4 Angiv en potensrække i x, der fremstiller en stamfunktion til Arctan(x) (= tan 1 (x)) i intervallet ( 1, 1). Det er nok at angive så mange led, at mønsteret træder frem. Opgave 4 - Løsning Man har ([S] 8.6 Example 7) og Arctan(x) = x 2 dx x 2 = 1 x2 + x 4 x 6 + x Calculus Uge
11 Opgave Calculus 2, januar 2004 Opgave 4 - Løsning fortsat Heraf ved ledvis integration (eller: direkte fra [S] 8.7 side 618) Arctan(x) = 1 1 x 1 3 x x5 1 7 x x9... og fortsat integration giver den søgte stamfunktion Arctan(x) dx = x x x x x10... ( 1) n+1 = (2n 1)2n x2n. n=1 Calculus Uge
12 Opgave Calculus 2, august 2004 Opgave 4 Betragt funktionen f(x) = sin( x2 2 ). 1) Angiv nogle af de første led i en potensrække i x, der på hele den reelle akse fremstiller funktionen f(x). (Det er tilstrækkeligt at angive leddene af grad 6.) 2) Beregn tallet f (4) (0) (hvor f (4) betegner den 4. afledede af f). Calculus Uge
13 Opgave Calculus 2, august 2004 Opgave 4 - Løsning 1) Fra [S] haves Indsæt y = x2 2 sin y = y 1 3! y ! y5... sin( x2 2 ) = x ! (x2 2 ) ! (x2 2 )5... Altså sin( x2 2 ) = 1 2 x x Calculus Uge
14 Opgave Calculus 2, august 2004 Opgave 4 - Løsning 2) I en potensrække f(x) = a n x n gælder Heraf f (4) (0) = 0. f (n) (0) = n!a n. Calculus Uge
15 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a ab + b 2 Calculus Uge
16 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a ab + b 2 (a + b) 3 = a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Calculus Uge
17 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a ab + b 2 (a + b) 3 = a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a a 3 b + 6 a 2 b ab 3 + b 4 Calculus Uge
18 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a ab + b 2 (a + b) 3 = a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a a 3 b + 6 a 2 b ab 3 + b 4 (a + b) k = k n=0 ( ) k n a k n b n, Calculus Uge
19 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series hvor ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n (n faktorer i tælleren, nedstigende fra k n faktorer i nævneren, opstigende fra 1). Calculus Uge
20 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series hvor ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n (n faktorer i tælleren, nedstigende fra k n faktorer i nævneren, opstigende fra 1). ( ) 4 = = 12 2 = 6 Calculus Uge
21 Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. [S] 8.8 The binomial series Calculus Uge
22 Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n [S] 8.8 The binomial series giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. ( ) ( 0.4) = = = Calculus Uge
23 Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n [S] 8.8 The binomial series giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. ( ) ( 0.4) = = = Hvis k er et positivt helt tal, så ( ) k = 1 og 0 ( ) k k = 1 Calculus Uge
24 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series Hvis k er positivt helt tal, så ( ) ( ) k k (a + b) k =a k + ka k 1 b + a k 2 b 2 + a k 3 b ( ) k... + a 2 b k 2 + kab k 1 + b k k 2 Calculus Uge
25 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series Hvis k er positivt helt tal, så ( ) ( ) k k (a + b) k =a k + ka k 1 b + a k 2 b 2 + a k 3 b ( ) k... + a 2 b k 2 + kab k 1 + b k k 2 Specielt (sæt a = 1 og b = x) ( ) k (1 + x) k = 1 + k x + x ( ) k x x k 3 Calculus Uge
26 Maclaurin række for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series For vilkårlig k f(x) = (1 + x) k f (x) = k(1 + x) k 1 f (x) = k(k 1)(1 + x) k 2 f (x) = k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 Calculus Uge
27 Maclaurin række for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series For vilkårlig k f(x) = (1 + x) k f (x) = k(1 + x) k 1 f (x) = k(k 1)(1 + x) k 2 f (x) = k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 f(0) = 1 f (0) = k f (0) = k(k 1) f (0) = k(k 1)(k 2) Calculus Uge
28 Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Calculus Uge
29 Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Koefficienter i Maclaurin rækken: c n = f(n) (0) n! = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n! = ( ) k n Calculus Uge
30 Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Koefficienter i Maclaurin rækken: c n = f(n) (0) n! = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n! = ( ) k n Maclaurinrække for (1 + x) k kaldes binomialrækken, [S] 8.8. Calculus Uge
31 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x Calculus Uge
32 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x Ex. 1: Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 Calculus Uge
33 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x Ex. 1: Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 ikke at forveksle med (jvf. Ex. 1 i [S] 6.6.) x 2 = 1 x2 + x 4 x Calculus Uge
34 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 Binomialrække med k = 2. (Konvergensradius 1) ( ) ( ) 2 2 = 1, = 2, 0 1 ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( 2)( 3) 2! = ( 2)( 3)( 4) 3! = 3 = 4 Calculus Uge
35 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series altså begynder rækken: 1 2x + 3x 2 4x Calculus Uge
36 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series altså begynder rækken: 1 2x + 3x 2 4x F.eks. (med x = 0.1) (1.1) 2 = Calculus Uge
37 Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) 2! (x a) 2 }{{} T 2 (x) + f (a) 3! (x a) 3 } {{ } T 3 (x) +... Calculus Uge
38 Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) 2! (x a) 2 }{{} T 2 (x) + f (a) 3! (x a) 3 } {{ } T 3 (x) T 1 (x) er den lineære approximation til f i a; +... Calculus Uge
39 Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) 2! (x a) 2 }{{} T 2 (x) + f (a) 3! (x a) 3 } {{ } T 3 (x) T 1 (x) er den lineære approximation til f i a; T 2 (x) kaldes det approximerende 2.grads polynomium, eller Taylor-polynomiet af grad 2 for f i a Calculus Uge
40 Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) Calculus Uge
41 Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) 1! T 2 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) (x a) + f (a) (x a) 2 2! Calculus Uge
42 Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) 1! T 2 (x) = f(a) + f (a) 1! T 3 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) (x a) + f (a) (x a) 2 2! (x a) + f (a) (x a) 2 + f (a) (x a) 3 2! 3! Calculus Uge
43 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. Calculus Uge
44 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = = 2 Calculus Uge
45 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = = 2 f (x) = 1 3 x 2 3 ;f (8) = 1 12 Calculus Uge
46 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = = 2 f (x) = 1 3 x 2 3 ;f (8) = 1 12 f (x) = 2 9 x 5 3 ;f (8) = Calculus Uge
47 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) (x 8) + f (8) (x 8) 2 1! 2! Calculus Uge
48 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) (x 8) + f (8) (x 8) 2 1! 2! = 2 + 1/12 1! (x 8) + 1/144 (x 8) 2 2! Calculus Uge
49 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) (x 8) + f (8) (x 8) 2 1! 2! = 2 + 1/12 1! (x 8) + 1/144 (x 8) 2 2! = (x 8) (x 8) Calculus Uge
50 Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Calculus Uge
51 Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Hvis f (k) (a) f(x) = (x a) k k! så er R n (x) = k=0 k=n+1 f (k) (a) k! (x a) k Calculus Uge
52 Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Hvis f (k) (a) f(x) = (x a) k k! så er R n (x) = k=0 k=n+1 f (k) (a) k! (x a) k - men det siger ikke noget om hvor stor den er Calculus Uge
53 Taylor s restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 9 Sætning Hvis f (n+1) (x) M for alle x med x a d, så for alle med x a d. R n (x) M (x a) n+1 (n + 1)! Calculus Uge
54 Taylor s restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 9 Sætning Hvis f (n+1) (x) M for alle x med x a d, så for alle med x a d. R n (x) M (x a) n+1 (n + 1)! Sammenlign udtrykket i vurderingen med det næste led i Taylor-rækken, som jo er f (n+1) (a) (n + 1)! (x a)n+1 Calculus Uge
55 Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Calculus Uge
56 Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f(x) = sin x. Da f(0) = 0 og f (0) = cos(0) = 1, er den lineære approximation til sin i a = 0 givet ved T 1 (x) = x = x Calculus Uge
57 Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f(x) = sin x. Da f(0) = 0 og f (0) = cos(0) = 1, er den lineære approximation til sin i a = 0 givet ved T 1 (x) = x = x Da f (x) = sin(x) er numerisk 1 for alle x, har vi for alle x fejlvurderingen R 1 (x) 1 2! x2 Calculus Uge
58 Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + x a F (s) ds; Calculus Uge
59 Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + anvend på F = f f(x) = f(a) + x a x a F (s) ds; f (s) ds Calculus Uge
60 Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + anvend på F = f f(x) = f(a) + x a x a F (s) ds; f (s) ds anvend på F = f inden under integraltegnet: = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds Calculus Uge
61 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds Calculus Uge
62 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. Calculus Uge
63 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. Calculus Uge
64 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. De to første led er Taylor-polynomiet T 1 (x) for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet R 1 (x). Calculus Uge
65 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. De to første led er Taylor-polynomiet T 1 (x) for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet R 1 (x). t a a x s Calculus Uge
66 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f (t) over trekanten D i (s, t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret linie) og linien s = t Calculus Uge
67 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f (t) over trekanten D i (s, t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret linie) og linien s = t Trekanten D har areal 1 (x 2! a)2. Da f (t) M for alle punkter i D, er 1 2! (x a)2 M = M (x a)2 2! D Calculus Uge
68 Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. Calculus Uge
69 Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? Calculus Uge
70 Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? For hvilke x gælder R n (x) 0 for n? Calculus Uge
71 Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? For hvilke x gælder R n (x) 0 for n? For alle x! THI: Calculus Uge
72 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er f (n+1) (x) = e x e d Calculus Uge
73 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Calculus Uge
74 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 (n+1)! 0 for n. Calculus Uge
75 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 0 for n. (n+1)! Altså R n (x) 0 for n Calculus Uge
76 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 0 for n. (n+1)! Altså R n (x) 0 for n Altså T n (x) f(x) = e x for n. Calculus Uge
Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
MM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel
![Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel](/thumbs/64/51092035.jpg "Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel")
Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske
Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Taylor-polynomier. John V Petersen
Taylor-polynomier John V Petersen Taylor-polynomier 2018 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning... 4 2. Udledning af Sætning om Taylor polynomiet... 4 3. Sætning og Definition af Taylor
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Tallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Numeriske metoder i matlab
NMM minimodul 6 p. 1/2 Numeriske metoder i matlab Lektion 6 Tom Søndergaard Pedersen Palle Andersen Aalborg University NMM minimodul 6 p. 2/2 Interpolation Polynomium, splines, mindste kvadraters metode.
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
er en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
ANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/48/24452097.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,
10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018 25. maj 2018: Delprøven UDEN hjælpemidler 2 Opgave 1: 2 2 12 0 Man kan løse andengradsligningen med diskriminantmetoden, men man kan også som her forkorte
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/48/24213798.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Differentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
ANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Iterativ beregning af Rodapproximationer.
Iterativ beregning af Rodapproximationer. Jacob Nielsen I det følgende forklares med udgangspunkt i binomialformlen algoritmer til beregning af approxomationer til kvadratrødder og kubikrødder. Grund ideen
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Ang. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier
. 17. april 008 for I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for I Givet
Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk
Eksamensspørgsma l Mat B
Eksamensspørgsma l Mat B 1. Lineære funktioner og tangentligningen Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.
Integralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Uendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 09 ; Michael Szymanski ; [email protected] Indholdsfortegnelse
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013
Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række
af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,