Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
|
|
|
- Stine Aagaard
- 9 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable Differentialet af en funktion Test differentialet Calculus Uge
2 Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Figur y y = f(a) + f (a)(x a) (a, f(a)) f(x) x I R, f : I R Calculus Uge
3 Ligning for tangent [S] 2.7 Derivatives Definition Tangentlinjen for grafen for en funktion y = f(x) i et punkt (a,b), b = f(a) er linjen gennem (a,b), som indeholder tangentvektoren (1,f (a)) til grafen x (x,f(x)) Calculus Uge
4 Ligning for tangent [S] 2.7 Derivatives Definition Tangentlinjen for grafen for en funktion y = f(x) i et punkt (a,b), b = f(a) er linjen gennem (a,b), som indeholder tangentvektoren (1,f (a)) til grafen En ligning for tangentlinjen er x (x,f(x)) y b = f (a)(x a) Calculus Uge
5 Find tangentlinjen [S] 2.7 Derivatives Eksempel 2 Find ligningen for tangentlinjen til y = x 2 8x + 9 i punktet (3, 6). Calculus Uge
6 Find tangentlinjen [S] 2.7 Derivatives Eksempel 2 Find ligningen for tangentlinjen til y = x 2 8x + 9 i punktet (3, 6). Den afledede er y = 2x 8, y (3) = 2 Calculus Uge
7 Find tangentlinjen [S] 2.7 Derivatives Eksempel 2 Find ligningen for tangentlinjen til y = x 2 8x + 9 i punktet (3, 6). Den afledede er y = 2x 8, y (3) = 2 Ligningen for tangentlinjen er y ( 6) = ( 2)(x 3) eller y = 2x Calculus Uge
8 Tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Figur y D (x, y) f(x, y) 0 x D R 2, f : D R Calculus Uge
9 Tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition Tangentplanen til grafen for en funktion z = f(x,y) i et punkt (x 0,y 0,z 0 ), z 0 = f(x 0,y 0 ) er planen gennem (x 0,y 0,z 0 ), som indeholder tangentvektorerne til koordinatkurverne (1, 0,f x (x 0,y 0 )), (0, 1,f y (x 0,y 0 )) x (x,y 0,f(x,y 0 )), y (x 0,y,f(x 0,y)) på grafen Γ f. Calculus Uge
10 Ligning for tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. 2 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f x,f y i en lille cirkelskive om (x 0,y 0 ). Tangentplanen for grafen i et punkt (x 0,y 0,z 0 ), z 0 = f(x 0,y 0 ) har ligning z z 0 = f x (x 0,y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) Calculus Uge
11 Ligning for tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. 2 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f x,f y i en lille cirkelskive om (x 0,y 0 ). Tangentplanen for grafen i et punkt (x 0,y 0,z 0 ), z 0 = f(x 0,y 0 ) har ligning Bevis Indsættes z z 0 = f x (x 0,y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 ) + (1, 0,f x (x 0,y 0 )) = (x 0 + 1,y 0,z 0 + f x (x 0,y 0 )) er ligningen opfyldt. Ligeså for den anden tangentvektor. Calculus Uge
12 Find tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Eksempel 1 Find ligningen for tangentplanen til i punktet (1, 1, 3). z = 2x 2 + y 2 Calculus Uge
13 Find tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Eksempel 1 Find ligningen for tangentplanen til i punktet (1, 1, 3). Løsning De partielle afledede er z = 2x 2 + y 2 z x = 4x,z y = 2y z(1, 1) = 3, z x (1, 1) = 4, z y (1, 1) = 2 Calculus Uge
14 Find tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Eksempel 1 Find ligningen for tangentplanen til i punktet (1, 1, 3). Løsning De partielle afledede er z = 2x 2 + y 2 z x = 4x,z y = 2y z(1, 1) = 3, z x (1, 1) = 4, z y (1, 1) = 2 I punktet (1, 1, 3) er tangentplanen givet ved z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) Calculus Uge
15 Tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Figur - Eksempel 1 z x y Tangentplan i (1, 1, 3) Calculus Uge
16 Find endnu en tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Eksempel Find en ligning for tangentplan i (1, 2,f(1, 2)). f = x 3 + x 2 y 3 2y 2 f x = 3x 2 + 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 4y f(1, 2) = 1, f x (1, 2) = 19, f y (1, 2) = 4 Calculus Uge
17 Find endnu en tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Eksempel Find en ligning for tangentplan i (1, 2,f(1, 2)). f = x 3 + x 2 y 3 2y 2 f x = 3x 2 + 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 4y f(1, 2) = 1, f x (1, 2) = 19, f y (1, 2) = 4 I punktet (x 0,y 0,z 0 ) = (1, 2, 1) er tangentplanen givet ved z z 0 = f x (x 0,y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) Som giver z 1 = 19(x 1) + 4(y 2) Calculus Uge
18 Test tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Lad f(x, y) = x + xy. Så har grafen for f vandret tangentplan i (0, 0, 0). Afkryds: ja nej Calculus Uge
19 Test tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Lad f(x, y) = x + xy. Så har grafen for f vandret tangentplan i (0, 0, 0). Afkryds: ja nej Løsning Udregningen giver f x = 1 + y, f y = x f x (0, 0) = 1 0 Calculus Uge
20 Test tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Lad f(x, y) = x + xy. Så har grafen for f vandret tangentplan i (0, 0, 0). Løsning Udregningen giver f x = 1 + y, f y = x f x (0, 0) = 1 0 Afkryds: ja nej Calculus Uge
21 Lineær approximation [S] 3.8 Linear approximations Definition Tangentlinjen for en funktion i en variabel er grafen for en lineær funktion L(x) = f(a) + f (a)(x a) kaldet lineariseringen af f i a. Calculus Uge
22 Lineær approximation [S] 3.8 Linear approximations Definition Tangentlinjen for en funktion i en variabel er grafen for en lineær funktion L(x) = f(a) + f (a)(x a) kaldet lineariseringen af f i a. Approximationen f(x) f(a) + f (a)(x a) kaldes den lineære approximation af f for x a. Calculus Uge
23 Find approximation [S] 3.8 Linear approximations Eksempel Find den lineære approximation af f(x) = x i a = 1. Calculus Uge
24 Find approximation [S] 3.8 Linear approximations Eksempel Find den lineære approximation af f(x) = x i a = 1. Løsning f (x) = 1 2 x, f (1) = 1 2 Calculus Uge
25 Find approximation [S] 3.8 Linear approximations Eksempel Find den lineære approximation af f(x) = x i a = 1. Løsning Lineariseringen er f (x) = 1 2 x, f (1) = 1 2 L(x) = (x 1) 2 Calculus Uge
26 Find approximation [S] 3.8 Linear approximations Eksempel Find den lineære approximation af f(x) = x i a = 1. Løsning Lineariseringen er Approximationen er f (x) = 1 2 x, f (1) = 1 2 L(x) = (x 1) 2 1 x 1 + (x 1), for x 1 2 Calculus Uge
27 Approximation i to variable [S] 11.4 Tangent planes and lin Definition Tangentplanen er grafen for en lineær funktion L(x,y) = f(a,b) + f x (a,b)(x a) + f y (a,b)(y b) kaldet lineariseringen til f i (a,b). Calculus Uge
28 Approximation i to variable [S] 11.4 Tangent planes and lin Definition Tangentplanen er grafen for en lineær funktion L(x,y) = f(a,b) + f x (a,b)(x a) + f y (a,b)(y b) kaldet lineariseringen til f i (a,b). Approximationen f(x,y) f(a,b) + f x (a,b)(x a) + f y (a,b)(y b) kaldes den lineære approximation af f for (x, y) (a, b). Calculus Uge
29 Brug approximation Eksempel [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = x 3 + x 2 y 3 2y 2 f x = 3x 2 + 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 4y f(1, 2) = 1,f x (1, 2) = 19,f y (1, 2) = 4 I punktet (1, 2) er den lineære approximation f(x,y) (x 1) + 4(y 2) Calculus Uge
30 Brug approximation Eksempel [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = x 3 + x 2 y 3 2y 2 f x = 3x 2 + 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 4y f(1, 2) = 1,f x (1, 2) = 19,f y (1, 2) = 4 I punktet (1, 2) er den lineære approximation f(x,y) (x 1) + 4(y 2) Benyttes til tilnærmelse f(1.1, 1.9) (1.1 1) + 4(1.9 2) = 2.5 Calculus Uge
31 Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Betragt den lineære approximation til funktionen f(x,y) = 1 x 2 + y 1 2 i punktet (x,y) = (1, 1). Den er givet ved (a) f(x,y) 1 2 (c) f(x,y) 1 + y. 1 (x 1) + (y 1). (b) f(x,y) 2xy. 4 (d) f(x,y) 1 (x 2 + y) 2. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) (d) Calculus Uge
32 Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Betragt den lineære approximation til funktionen f(x,y) = 1 x 2 + y 1 2 i punktet (x,y) = (1, 1). Den er givet ved (a) f(x,y) 1 2 (c) f(x,y) 1 + y. 1 (x 1) + (y 1). (b) f(x,y) 2xy. 4 (d) f(x,y) 1 (x 2 + y) 2. Afkryds den rigtige: Løsning Udeluk (b), (c), (d) ved indsættelse af (1, 1). (a) (b) (c) (d) Calculus Uge
33 Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Betragt den lineære approximation til funktionen f(x,y) = 1 x 2 + y 1 2 i punktet (x,y) = (1, 1). Den er givet ved (a) f(x,y) 1 2 (c) f(x,y) 1 + y. 1 (x 1) + (y 1). (b) f(x,y) 2xy. 4 (d) f(x,y) 1 (x 2 + y) 2. Afkryds den rigtige: Løsning Udeluk (b), (c), (d) ved indsættelse af (1, 1). (a) (b) (c) (d) Calculus Uge
34 Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test - løsning f(x,y) = 1 x 2 + y 1 2 Calculus Uge
35 Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test - løsning f(x,y) = 1 x 2 + y 1 2 f x = giver i punktet (1, 1) 2x (x 2 + y) 2, f y = 1 (x 2 + y) 2 f x (1, 1) = 1 2, f y(1, 1) = 1 4 Calculus Uge
36 Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test - løsning f(x,y) = 1 x 2 + y 1 2 f x = giver i punktet (1, 1) 2x (x 2 + y) 2, f y = 1 (x 2 + y) 2 f x (1, 1) = 1 2, f y(1, 1) = 1 4 Approximationen af f for (x, y) (1, 1) skrives f(x,y) (x 1) + (y 1) 4 Calculus Uge
37 Omskriv differentiabel [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Bemærkning En funktion y = f(x) er differentiabel i a, hvis 5 y = f (a) x + ǫ x hvor ǫ 0, når x 0 Calculus Uge
38 Tilvækst [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition For funktion z = f(x,y) er tilvæksten i (a,b) 6 z = f(a + x,b + y) f(a,b) Calculus Uge
39 Tilvækst [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition For funktion z = f(x,y) er tilvæksten i (a,b) 6 z = f(a + x,b + y) f(a,b) Eksempel For z = x 2 + y 2 er tilvæksten i (a,b) z = (a + x) 2 + (b + y) 2 (a 2 + b 2 ) Altså z = 2a x + 2b y + x 2 + y 2 Calculus Uge
40 Differentiabilitet i to variable [S] 11.4 Tangent planes and linear... 7 Definition z = f(x,y) er differentiabel i (a,b), hvis z = f x (a,b) x + f y (a,b) y + ǫ 1 x + ǫ 2 y hvor ǫ 1,ǫ 2 0, når x, y 0 Calculus Uge
41 Differentiabilitet i to variable [S] 11.4 Tangent planes and linear... 7 Definition z = f(x,y) er differentiabel i (a,b), hvis z = f x (a,b) x + f y (a,b) y + ǫ 1 x + ǫ 2 y hvor ǫ 1,ǫ 2 0, når x, y 0 Bemærkning En funktion er differentiabel, når den lineære approximation er god. Calculus Uge
42 Differentiabilitet som forventet [S] 11.4 Tangent planes and lin... 8 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f x,f y i en omegn af (a, b). Så er f differentiabel i (a, b). Calculus Uge
43 Differentiabilitet som forventet [S] 11.4 Tangent planes and lin... 8 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f x,f y i en omegn af (a, b). Så er f differentiabel i (a, b). Bemærkning I så fald f(a + x,b + y) f(a,b) + f x (a,b) x + f y (a,b) y når x, y 0. Calculus Uge
44 Brug approximation Eksempel 2 [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = xe xy f x = e xy + xye xy, f y = x 2 e xy f(1, 0) = 1,f x (1, 0) = 1,f y (1, 0) = 1 I punktet (1, 0) er den lineære approximation xe xy 1 + (x 1) + y Calculus Uge
45 Brug approximation Eksempel 2 [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = xe xy f x = e xy + xye xy, f y = x 2 e xy f(1, 0) = 1,f x (1, 0) = 1,f y (1, 0) = 1 I punktet (1, 0) er den lineære approximation xe xy 1 + (x 1) + y Benyttes til tilnærmelse 1.1e 1.1 ( 0.1) 1 + (1.1 1) + ( 0.1) = 1 Calculus Uge
46 Differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Definition Differentialet af en funktion y = f(x) er 9 dy = f (x)dx Calculus Uge
47 Differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Definition Differentialet af en funktion y = f(x) er 9 dy = f (x)dx og for funktionen z = f(x,y) 10 df = f x (x,y)dx + f y (x,y)dy dz = z z dx + x y dy Calculus Uge
48 Differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Definition Differentialet af en funktion y = f(x) er 9 dy = f (x)dx og for funktionen z = f(x,y) 10 Bemærk df = f x (x,y)dx + f y (x,y)dy dz = z z dx + x y dy z dz Calculus Uge
49 Skriv differentialet Eksempel 4 [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = x 2 + 3xy y 2 f x = 2x + 3y, f y = 3x 2y dz = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy Calculus Uge
50 Skriv differentialet Eksempel 4 [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = x 2 + 3xy y 2 f x = 2x + 3y, f y = 3x 2y dz = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy Benyttes til tilnærmelse f(2, 3) = 13,f x (2, 3) = 13,f y (2, 3) = 0 f(2.05, 2.96) ( 0.04) = Calculus Uge
51 Opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Øvelse 9 f(x,y) = x y Begrund differentiabilitet om (1, 4) og find den lineære approximation. Calculus Uge
52 Opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Øvelse 9 f(x,y) = x y Begrund differentiabilitet om (1, 4) og find den lineære approximation. Løsning f x = y, f y = x 2 y er kontinuerte om (1, 4). Calculus Uge
53 Opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Øvelse 9 f(x,y) = x y Begrund differentiabilitet om (1, 4) og find den lineære approximation. Løsning f x = y, f y = x 2 y er kontinuerte om (1, 4). når (x,y) (1, 4). x y 2 + 2(x 1) + 1 (y 4) 4 Calculus Uge
54 Opgave fortsat [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Øvelse 9 - fortsat Skrives også (1 + x) 4 + y x y Calculus Uge
55 Opgave fortsat [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Øvelse 9 - fortsat Skrives også Beregn tilnærmelse (1 + x) 4 + y x y ( 0.1) = Calculus Uge
56 Test differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Givet z = ln(ax + by). Differentialet er: (a) dz = adx + bdy. (b) dz = a dx + ax+by (c) dz = a ln(ax + by)dx + b ln(ax + by)dy. Afkryds den rigtige: b dy. ax+by (a) (b) (c) Calculus Uge
57 Test differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Givet z = ln(ax + by). Differentialet er: (a) dz = adx + bdy. (b) dz = a dx + ax+by (c) dz = a ln(ax + by)dx + b ln(ax + by)dy. Afkryds den rigtige: b dy. ax+by (a) (b) (c) Løsning Udregningen z x = a, z ax+by y = b ax+by giver differentialet dz = z x dx + z y dy Calculus Uge
58 Test differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Givet z = ln(ax + by). Differentialet er: (a) dz = adx + bdy. (b) dz = a dx + ax+by (c) dz = a ln(ax + by)dx + b ln(ax + by)dy. Løsning Udregningen giver differentialet z x = Afkryds den rigtige: a, z ax+by y = b ax+by dz = z x dx + z y dy b dy. ax+by (a) (b) (c) Calculus Uge
59 Udvid til mange variable [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition Omtalen af tangentplan, lineær approximation og differentialer udvides umiddelbart til funktioner af tre eller flere variable. Calculus Uge
60 Udvid til mange variable [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition Omtalen af tangentplan, lineær approximation og differentialer udvides umiddelbart til funktioner af tre eller flere variable. Funktionen w = f(x, y, z) har tangentplan i punktet (a,b,c,d), d = f(a,b,c) med ligning w d = f x (a,b,c)(x a) + f y (a,b,c)(y b) + f z (a,b,c)(z c) Calculus Uge
61 Udvid til mange variable [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition - fortsat Funktionen w = f(x, y, z) har lineær approximation f(x,y,z) f(a,b,c) + f x (a,b,c)(x a) + f y (a,b,c)(y b) + f z (a,b,c)(z c) Calculus Uge
62 Udvid til mange variable [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition - fortsat Funktionen w = f(x, y, z) har lineær approximation f(x,y,z) f(a,b,c) + f x (a,b,c)(x a) + f y (a,b,c)(y b) + f z (a,b,c)(z c) og differential dw = w x dx + w y dy + w z dz Calculus Uge
63 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse Find differentialet af w = ln x 2 + y 2 + z 2 Calculus Uge
64 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse Find differentialet af w = ln x 2 + y 2 + z 2 Løsning Beregn først w x = = 1 d x2 + y 2 + z 2 dx x x 2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 Calculus Uge
65 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse - alternativ w = ln x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 ln(x2 + y 2 + z 2 ) Calculus Uge
66 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse - alternativ Løsning Beregn w = ln x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 ln(x2 + y 2 + z 2 ) w x = x 2 + y 2 + z 2x 2 x = x 2 + y 2 + z 2 Calculus Uge
67 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse - fortsat w = ln x 2 + y 2 + z 2 x w x = x 2 + y 2 + z 2 Calculus Uge
68 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse - fortsat w = ln x 2 + y 2 + z 2 x w x = x 2 + y 2 + z 2 Ved symmetri w y = y x 2 + y 2 + z 2,w z = z x 2 + y 2 + z 2 Calculus Uge
69 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse - fortsat w = ln x 2 + y 2 + z 2 x w x = x 2 + y 2 + z 2 Ved symmetri w y = Differentialet er y x 2 + y 2 + z 2,w z = z x 2 + y 2 + z 2 dw = xdx + ydy + zdz x 2 + y 2 + z 2 Calculus Uge
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/40/21809007.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7
Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Oversigt [S] 4.5, 5.10
![Oversigt [S] 4.5, 5.10](/thumbs/20/426063.jpg "Oversigt [S] 4.5, 5.10")
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 + 2
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS + INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 4 Indhold Forord 5 I. Differentiation 7. Kontinuitet 7. Partielle afledede 7 3. Tangentplan 5 4. Kædereglen 34 5. Gradient
Mere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
er en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Differentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/49/20647678.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Differentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/48/24452097.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Gradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Største- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
![Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5](/thumbs/58/42578746.jpg "Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5")
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Partielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Epistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Mike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Funktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK
AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK A. SEMESTER NANOTEKNOLOGI EFTERÅR 7 Indholdsfortegnelse Matematik A, Lek. 7 Opgave regning A.7 - A.8 7
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Funktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Prøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Matematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Differential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
PeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Løsningsforslag MatB Jan 2011
Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige
8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable. udgave 015 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Differentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Anvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011
Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 06 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
N 0 3gleord og begreber 7 0 Dobbelt integral 7 0 Fubinis s 0 3tning 7 0 Generelle omr 0 2der. 7 0 Regneregler 7 0 Nem ulighed
1 3Oversigt 7 4 [S] 12.1, 12.2, 12.3 N 0 3gleord og begreber 7 0 obbelt integral 7 0 Fubinis s 0 3tning 7 0 Generelle omr 0 2der 7 0 Type I 7 0 Type II 7 0 Regneregler 7 0 Nem ulighed Calculus 2-2006 Uge
Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Pointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Contents. Introduktion 2
Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering
Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
TERMINSPRØVE APRIL x MA, 3z MA og 3g MA/2 MATEMATIK. onsdag den 11. april Kl
TERMINSPRØVE APRIL 2018 3x MA, 3z MA og 3g MA/2 MATEMATIK onsdag den 11. april 2018 Kl. 09.00 14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
M A T E M A T I K B 2
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Kapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Løsningsforslag 27. januar 2011
Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne